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Modelagem de Indicadores

de Sustentabilidade

Luís Alberto Duncan Rangel

Mestrado em Sistema de Gestão

Universidade Federal Fluminense

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Métodos Ordinais.

• Aplicar o Método de Borda.

• Aplicar o Método de Concorcet.

• Aplicar o Método de Copeland.

• Aplicar o Método Lexográfico.

AMD – Métodos Ordinais

INTRODUÇÃO

Os Métodos Ordinais de Apoio Multicritério à Decisão tiveram como precursores os métodos de Escolha Social.

Nos métodos de Escolha Social, as preferências individuais de um grupo de votantes em relação aos candidatos a serem eleitos são agregadas através de algum procedimento, passando a representar a preferência do grupo de indivíduos votantes.

Ainda hoje, existem muitas formas de se eleger os representantes de uma determinada região, um clube, um país, ou o campeão de uma atividade esportiva com os métodos ordinais.

AMD - Introdução

INTRODUÇÃO

Os diferentes métodos de escolha social possuem características e propriedades diferentes, mas todos visam à ordenação de candidatos numa eleição.

Os Métodos Ordinais de AMD possuem a característica que os critérios que avaliam as alternativas utilizam somente a ordem entre as alternativas para realizar uma avaliação.

Os Métodos Ordinais são utilizados em competições esportivas, na ordenação de projetos, na avaliação de desempenho de funcionários de uma empresa, e muitas outras situações.

AMD - Introdução

INTRODUÇÃO

Jean-Charles de Borda (1770) propôs o sistema de votação de Borda, também chamado de Método de Borda (Barba-Romero & Pomerol, 1997).

O método proposto por Borda fui utilizado pela Academia Francesa de Ciências para eleger seus membros naquela época.

No mesmo período o Marques de Condorcet propôs o método de Condorcet.

Outros métodos ordenais foram propostos posteriormente, como o método de Copeland e o Lexográfico.

AMD - Introdução

MÉTODO DE BORDA

O Método de Borda, proposto originalmente, era empregado em eleição para a escolha de candidatos em processos de escolha.

No método de votação de Borda, os eleitores demonstram as suas preferências em seus candidatos através de pontuação escalonada.

A implementação do método de Borda na sua proposição original consiste na adição de coeficientes Borda, obtidos por um candidato (ou uma alternativa), em cada um dos eleitores (ou critérios).

AMD – Método de Borda

MÉTODO DE BORDA

Os coeficientes de Borda utilizados para avaliar os candidatos por cada eleitor nas posições são diretamente proporcionais ao número de candidatos de um processo de votação.

Para uma pessoa votante é atribuído um ponto para um candidato que aparece em primeiro lugar.

Para o segundo candidato é atribuído o valor de 2 pontos.

Para o terceiro candidato é atribuído o valor de 3 pontos e assim sucessivamente para todos os candidatos.


MÉTODO DE BORDA

No Método de Borda o candidato ganhador é aquele em que, se somando todos os pontos recebidos pelas pessoas votantes, é o que apresenta a menor pontuação.

O candidato que está em segundo lugar é aquele que tem a segunda menor pontuação.

A ordenação de todos os candidatos participantes do processo é obtida com a listagem dos candidatos da menor para a maior pontuação.


MÉTODO DE BORDA

Considere a seguinte situação: Em um problema de decisão, quatro alternativas são avaliadas numa escala ordinal empregando o método de Borda clássico.

Nesta situação, os coeficientes de Borda são:

- 1 para o primeiro

- 2 para o segundo

- 3 para o terceiro

- 4 para o quarto.

Assim, os coeficientes de Borda empregados foram:

k1 = 1, k2 = 2, k3 = 3, k4 = 4.


MÉTODO DE BORDA

Empregue o Método de Borda clássico para três eleitores X, Y e Z, avaliando quatro candidatos A, B, C e D.

O eleitor X propôs a ordenação: A B C D.

O eleitor Y propôs a ordenação: B A C D.

O eleitor Z propôs a ordenação: B C A D.

Verifica-se a seguinte atribuição dos coeficientes de Borda:

Para o eleitor X: A(1) B (2) C(3) D(4);

Para o eleitor Y: B(1) A(2) C(3) D(4);

Para o eleitor Z: B(1) C(2) A(3) D(4).


MÉTODO DE BORDA

Calculando a soma dos coeficientes de Borda para a cada candidato (A, B, C e D) pelos eleitores (X, Y, e Z), tem-se:

A ( 1 + 2 + 3 = 6 );

B ( 2 + 1 + 1 = 4 );

C ( 3 + 3 + 2 = 8 );

D ( 4 + 4 + 4 = 12 ).

Verifica-se que o candidato B está em primeiro com 4 pontos, o candidato A está em segundo com 6 pontos, o candidato C em terceiro com 8 pontos, e o quarto e último o candidato D tem 12 pontos.


MÉTODO DE BORDA

Observa-se neste exemplo que cada ordenação foi proposta

por três eleitores.

Se em algum processo decisório um número maior de

eleitores propuser a mesma ordenação, tem-se que

multiplicar os coeficientes de Borda obtidos por cada

candidato, pelo número de eleitores que propuseram a

mesma ordenação, para determinar a pontuação obtida por

cada candidato.


MÉTODO DE BORDA – Exemplo Eleição em um Clube:

A eleição de um presidente de um clube é realizada pelo Método de Borda. Para esta vaga de presidente, três candidatos (A,B,C) fizeram a sua inscrição, determine o candidato vencedor.

Temos então: A(400*1+550*1+700*3=3050);

B(400*2+550*2+700*1=2600); C(400*3+550*3+700*2=4250)

O vencedor da eleição é o candidato B (com menor pontuação), em segundo A e C por último.

Número de sócios votantes Primeiro (1) Segundo (2) Terceiro (3)

400 A B C

550 A B C

700 B C A


MÉTODO DE BORDA com Coeficientes Invertidos

Neste processo de votação do Método de Borda, a pontuação atribuída é invertida.

Assim, para n candidatos, atribui-se para o primeiro lugar (n-1) pontos, para o segundo (n-2), para o terceiro (n-3), e assim por diante, até (n-n) para a última preferência do eleitor.

Neste caso, o candidato vencedor pelo Método de Borda Invertido é aquele que tem mais pontos.


MÉTODO DE BORDA com Coeficientes Invertidos

Empregue o Método de Borda com coeficiente invertidos para a quatro eleitores, avaliando cinco candidatos A, B, C, D, E.

O eleitor W propôs a ordenação: C B E D A. O eleitor X propôs a ordenação: A D B C E. O eleitor Y propôs a ordenação: B A D E C. O eleitor Z propôs a ordenação: B C E A D.

Com os coeficientes invertidos de Borda, tem-se:

Para o eleitor W: C(4) B(3) E(2) D(1) A(0) Para o eleitor X: A(4) D(3) B(2) C(1) E(0) Para o eleitor Y: B(4) A(3) D(2) E(1) C(0) Para o eleitor Z: B(4) C(3) E(2) A(1) D(0)

.


MÉTODO DE BORDA – Coeficiente Invertido:

Calculando a soma dos coeficientes de Borda para a cada candidato (A, B, C e D) pelos eleitores (X, Y, e Z), tem-se:

A(0+4+3+1=8);

B(3+2+4+4=13);

C(4+1+0+3=8);

D(1+3+2+0=6);

E(2+0+1+2=5)

Verifica-se que: B em primeiro (13 pontos), A e C empatados em segundo (8 pontos), D em terceiro (6 pontos) , o candidato E em último com 5 pontos.


MÉTODO DE BORDA – Coeficientes de Borda:

Exemplos de outros valores dos coeficientes de Borda.

Por exemplo, na Fórmula 1 empregou-se em 1980:

Posteriormente, este coeficiente foram alterados 2003-2009:

Hoje em dia os coeficientes empregados na Fórmula 1 são:

Lugar 1 2 3 4 5 6

Pontuação 9 6 4 3 2 1

Lugar 1 2 3 4 5 6 7 8

Pontuação 10 8 6 5 4 3 2 1

Lugar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pontuação 25 18 15 12 10 8 6 4 2 1


MÉTODO DE CONDORCET

Um outro método de ordenação que é muito conhecido e utilizado é o Método de Condorcet, também conhecido por “votação por maioria simples”, proposto pelo Marques de Condorcet (1743-1794).

Barba-Romero e Pomerol (1997) comentam que o Marques Caritat de Condorcet pode ser considerado um dos precursores do emprego da matemática nas Ciências Sociais.

No Método de Condorcet a avaliação entre os candidatos é feita realizando a comparação par a par entre os candidatos do processo de eleição.

AMD – Método de Condorcet

MÉTODO DE CONDORCET

Após a comparação de todos os candidatos, par a par,

verifica-se o quanto um candidato supera os demais

candidatos, sempre comparando os candidatos, dois a dois.

Após realizar esta análise de todas os candidatos com os

demais, verifica-se qual deles será o vencedor.


MÉTODO DE CONDORCET – TRIPLETA DE CONDORCET

O Método de Condorcet por realizar a comparação par a par dos candidatos, pode gerar uma situação em que:

A B, B C, C A.

Considere o exemplo: Os lojistas de um shopping estão verificando três projetos (A,B,C) de expansão do shopping. Para eleger qual projeto será realizado, fizeram uma eleição dos projetos pelo Método de Condorcet.

Número de Lojistas Preferências pelos projetos expansão

33 A B C

35 B C A

37 C A B


MÉTODO DE CONDORCET – TRIPLETA DE CONDORCET

Verifica-se com a votação pelo Método de Condorcet:

“A” supera a alternativa “B” em (33+37-35) em 35 votos.

“B” supera a alternativa “C” em (33+35-37) em 31votos.

“C” supera a alternativa “A” em (35+37-33) em 39 votos.

Desta forma, tem-se

a Tripleta de Condorcet.

Número de Lojistas Preferências pelos projetos expansão

33 A B C

35 B C A

37 C A B


MÉTODO DE CONDORCET – EXEMPLO 1

Considere o exemplo: uma empresa está selecionando um estagiário para o próximo semestre. Para tanto, pretende considerar os desempenhos dos três alunos inscritos no processo de seleção, considerando as notas das provas de Física, Matemática e Português, conforme apresentado:

Alunos Física Matemática Português

A 6 8 5,5

B 5 6 6,5

C 4 7 7,5



Realizando as comparações par a par, temos:


A 6 8 5,5

B 5 6 6,5

C 4 7 7,5

Disciplina Aluno Vencedor Comparação Vencedor Aluno

Física A 1 X 0 B

Física A 1 X 0 C

Física B 1 X 0 C

Matemática A 1 X 0 B

Matemática A 1 X 0 C

Matemática B 0 X 1 C

Português A 0 X 1 B

Português A 0 X 1 C

Português B 0 X 1 C



Resumindo as comparações par a par, temos:

A ganha duas vezes de B e perde 1;

A ganha duas vezes de C e perde 1;

B ganha uma vez de C e perde 2;

Pelo Método de Condorcet temos: A C B



Considere o exemplo: quatro casais querem passar o próximo feriado nas praias do município de São João da Barra. Para escolher a praia, eles fizeram uma votação pelo Método de Condorcet, em que 4 (melhor nota), e 1 (pior nota).

Local Casal 1 Casal 2 Casal 3 Casal 4

Atafona 4 4 2 2

Chapéu de Sol 3 3 1 3

Grussaí 2 1 4 4

Açu 1 2 3 1

Candidato Vencedor Comparação Vencedor Candidato

Atafona 3 X 1 Chapéu de Sol

Atafona 2 X 2 Grussaí

Atafona 3 X 1 Açu

Chapéu de Sol 2 X 2 Grussaí

Chapéu de Sol 3 X 1 Açu

Grussaí 3 X 1 Açu

Atafona Chapéu de Sol

Grussaí Açu



Como resultado:

Atafona Chapéu de Sol

Atafona Açu

Chapéu de Sol Açu

Grussaí Açu. Atafona Chapéu de Sol

Grussaí Açu


MÉTODO DE COPELAND

O Método de Copeland emprega a comparação par a par, como realizada no método de Condorcet.

Na implementação do Método Ordinal de Condorcet, verifica-se que a abordagem de um problema de decisão pode não encontrar uma alternativa dominante, isto é, uma alternativa que domina as demais do processo decisório.

Copeland, em 1951, propôs um método que busca obter a ordenação das alternativas a partir do Método de Condorcet.

AMD – Método de Copeland

MÉTODO DE COPELAND

O Método de Copeland é implementado da seguinte forma: verificam-se as vitórias e as derrotas de todas as alternativas sobre as demais, empregando a comparação par a par, entre as alternativas.

Depois, o Método de Copeland realiza o cálculo da diferença entre o número de vitórias menos o número de derrotas para ordenar as alternativas.


MÉTODO DE COPELAND – EXEMPLO 1

O Método de Copeland é implementado da seguinte forma: realizam-se as comparações par a par, e verificam-se as vitórias e as derrotas de todas as alternativas sobre as demais (como é realizado no método de Condorcet).

Depois, o Método de Copeland realiza o cálculo da diferença entre o número de vitórias menos o número de derrotas para ordenar as alternativas.

Considere o exemplo: uma empresa está selecionando um estagiário empregando o Método de Copeland. Para tanto, pretende considerar os desempenhos dos três alunos inscritos no processo de seleção, considerando as notas das provas de Física, Matemática e Português, conforme apresentado:



Realizando as comparações par a par, temos:


A 6 8 5,5

B 5 6 6,5

C 4 7 7,5

Disciplina Aluno Vencedor Comparação Vencedor Aluno

Física A 1 X 0 B

Física A 1 X 0 C

Física B 1 X 0 C

Matemática A 1 X 0 B

Matemática A 1 X 0 C

Matemática B 0 X 1 C

Português A 0 X 1 B

Português A 0 X 1 C

Português B 0 X 1 C



Resumindo as comparações par a par, temos:

A ganha duas vezes de B e perde 1 => A ganha de B

A ganha duas vezes de C e perde 1 => A ganha de C

B ganha uma vez de C e perde 2 => C ganha de B

Resultado do Método de Copeland: A C B.

Alternativas A B C Diferença de Vitórias - Derrotas

A 0 1 1 2

B -1 0 -1 -2

C -1 1 0 0



Considere o exemplo: quatro casais querem passar o próximo feriado nas praias do município de São João da Barra. Para escolher e fizeram uma votação pelo Método de Condorcet, em que 4 (melhor nota), e 1 (pior nota).

Local Casal 1 Casal 2 Casal 3 Casal 4

Atafona 4 4 2 2

Chapéu de Sol 3 3 1 3

Grussaí 2 1 4 4

Açu 1 2 3 1

Candidato Vencedor Comparação Vencedor Candidato

Atafona 3 X 1 Chapéu de Sol

Atafona 2 X 2 Grussaí

Atafona 3 X 1 Açu

Chapéu de Sol 2 X 2 Grussaí

Chapéu de Sol 3 X 1 Açu

Grussaí 3 X 1 Açu



A ganha de B e D, e empata com C

B ganha de D, e empata com C

C ganha de D

D perde para A, B e C

Resultado do Método de Copeland: A C B D.

Alternativas Atafona Chapéu de Sol Grussaí Açu Diferença de Vitórias - Derrotas

A – Atafona 0 1 0 1 2

B - Chapéu de Sol -1 0 0 1 0

C – Grussaí 0 0 0 1 1

D - Açu -1 -1 -1 0 -3


MÉTODO LEXOGRÁFICO

O Método Lexográfico considera, primeiramente, as prioridades dos critérios para, posteriormente, ordenar as alternativas segundo estas prioridades dos critérios.

Este é o método empregado para ordenar as palavras em um dicionário. Primeiramente são ordenadas todas as palavras que começam com a letra A no início da palavras, depois a letra B e assim por diante.

Havendo empate, na primeira posição, passa-se a considerar a segunda letra da palavra, começando novamente pela letra A, e depois a letra B, e assim por diante.

Assim, pode-se ordenar todas as palavras de um dicionário.

AMD – Método Lexográfico

EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO LEXOGRÁFICO

Exemplo de uma aplicação do Método Lexográfico. Uma lista de onze palavras aparecem no orçamento de uma loja para a reforma de uma casa.

Os itens que aparecem no levantamento de preço de uma loja de material de construção são:

PAPEL DE PAREDE, PORTA, TINTA, LIXA, MAÇANETA, TORNEIRA, MADEIRA, TELHA, MASSA, CIMENTO, AREIA.

Aplicando o método Lexográfico tem-se as seguintes lista ordenada:

AREIA, CIMENTO, LIXA, MAÇANETA, MADEIRA, MASSA, PAPEL DE PAREDE, PORTA, TELHA, TINTA, TORNEIRA,


FIM


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