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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ
MARLON ANTONIO ROCHA
RAFAEL ARGÜELLO MEZA
MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO
ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES
Curitiba
2005
ii
MARLON ANTONIO ROCHA
RAFAEL ARGÜELLO MEZA
MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO
ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES
Curitiba 2005
Trabalho de graduação apresentado à disciplina de Projeto Final 2 do Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Eletrotécnica do Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná. Orientador: Prof. Alvaro Augusto de Almeida.
iii
MARLON ANTONIO ROCHA RAFAEL ARGÜELLO MEZA
MODELAGEM DE CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO PARA SOLUÇÃO ITERATIVA DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO LINEARES
Este Projeto Final de Graduação foi julgado e aprovado como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Eletricista pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná.
Curitiba, 23 de Março de 2005.
____________________________________ Prof. Esp. Paulo Sérgio Walenia
Coordenador de Curso Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________ Prof. Dr. Ivan Eidt Colling
Coordenador de Projeto Final de Graduação Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________ Prof. Esp. Alvaro Augusto de Almeida
Orientador Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________ Prof. M. Antonio Ivan Bastos Sobrinho Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________ Prof. Dr. Antonio Carlos Pinho
Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
____________________________________ Prof. Esp. Belmiro Wolski
Engenharia Industrial Elétrica – Eletrotécnica
iv
Aos nossos pais, por todo o apoio e incentivo
dado ao longo de nossas vidas.
v
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Álvaro Augusto de Almeida, pela orientação e sugestões
apresentadas para o aprimoramento deste trabalho.
Agradecemos especialmente à Lizandra Martinez Lezcano, pelas
inestimáveis contribuições dadas ao longo do desenvolvimento deste trabalho. Sua
constante ajuda, apoio, incentivo, comentários, críticas e sugestões foram de
extrema importância para que este projeto fosse realizado com êxito.
vi
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS................................................................................. viii LISTA DE TABELAS................................................................................. ix LISTA DE SÍMBOLOS............................................................................... x RESUMO.................................................................................................... xi 1 INTRODUÇÃO........................................................................................... 1 1.1 JUSTIFICATIVA......................................................................................... 1 1.2 OBJETIVOS............................................................................................... 2 1.2.1 Objetivo Geral............................................................................................ 2 1.2.2 Objetivos Específicos................................................................................. 2 1.3 METODOLOGIA......................................................................................... 3 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................. 4 2.1 CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS.................................................... 4 2.1.1 Teoria do Magnetismo............................................................................... 4 2.1.2 Campo Magnético...................................................................................... 5 2.1.3 Indução Magnética..................................................................................... 9 2.1.4 Fluxo Magnético......................................................................................... 11 2.1.5 Momento Magnético – Magnetização........................................................ 13 2.1.6 Permeabilidade Magnética......................................................................... 17 2.1.7 Susceptibilidade Magnética....................................................................... 18 2.1.8 Processo de Magnetização........................................................................ 19 2.1.9 Curva de Magnetização............................................................................. 22 2.1.10 Histerese Magnética.................................................................................. 26 2.2 MATERIAIS MAGNÉTICOS....................................................................... 29 2.2.1 Materiais Magneticamente Moles.............................................................. 33 2.2.1.1 Ligas ferro – silício .................................................................................... 34 2.2.1.2 Ligas ferro – níquel.................................................................................... 36 2.2.1.3 Ligas ferro – cobalto................................................................................... 37 2.2.2 Materiais Magneticamente Duros.............................................................. 37 2.2.2.1 Aço martensíticos ou aços carbonos........................................................ 38 2.2.2.2 Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono ...................... 39 2.3 CIRCUITOS MAGNÉTICOS...................................................................... 40 2.3.1 Perdas em Circuitos Eletromagnéticos...................................................... 46 2.3.1.1 Perdas por histerese.................................................................................. 46 2.3.1.2 Perdas por correntes parasitas (Foucault)................................................. 47 2.4 MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS......................................................... 49 2.5 MÉTODO ITERATIVO............................................................................... 49 2.5.1 Método Iterativo de Gauss-Seidel.............................................................. 51 2.5.2 Método de Newton-Raphson..................................................................... 53 2.5.3 Método da Secante.................................................................................... 55
vii
3 METODOLOGIA........................................................................................ 56 3.1 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA..................................................... 56 3.2 METODOLOGIA PARA O AJUSTE DAS CURVAS DE
MAGNETIZAÇÃO....................................................................................... 59
3.2.1 Método Polinomial...................................................................................... 60 3.2.2 Método Exponencial................................................................................... 62 3.3 METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO DO PROCESSO
ITERATIVO................................................................................................. 63 3.3.1 Método da Secante.................................................................................... 63 4 RESULTADOS........................................................................................... 66 4.1 AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO.......................................... 66 4.2 PROGRAMA COMPUTACIONAL.............................................................. 75 4.2.1 Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic”........................ 75 4.2.2 Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional................. 77 5 CONCLUSÃO............................................................................................ 79 6 REFERÊNCIAS......................................................................................... 81 APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO............. 83
viii
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 2.1 Campo magnético Hd
no ponto P devido ao elemento de corrente
d.I .................................................................................. 6
FIGURA 2.2 Determinação da orientação de Hd
utilizando (a) a regra da mão direita ou (b) a regra do parafuso de rosca direita .........................
7
FIGURA 2.3 Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente em uma superfície, (c) corrente em um volume.............................. 8
FIGURA 2.4 Linhas de indução do campo magnético B......................................... 11 FIGURA 2.5 Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral... 11 FIGURA 2.6 Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral............ 12 FIGURA 2.7 Superfície com posição inclinada em relação ao fluxo geral.......... 12 FIGURA 2.8 a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de
corrente elementar.......................................................................... 14
FIGURA 2.9 Lei de curie-weiss para variação da susceptibilidade magnética com a temperatura para materiais ferromagnéticos.......................
19
FIGURA 2.10 Domínios magnéticos e parede de 180o......................................... 20 FIGURA 2.11 Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos...... 21 FIGURA 2.12 Curva de magnetização inicial........................................................ 22 FIGURA 2.13 Montagem para obtenção da curva de magnetização.................... 23 FIGURA 2.14 Curva B-H medida por gaussímetro ............................................. 24 FIGURA 2.15 Exemplo de curva de magnetização............................................... 25 FIGURA 2.16 Variação entre a permeabilidade () e a intensidade do campo
magnético (H)................................................................................. 26
FIGURA 2.17 Ciclo de histerese............................................................................ 27 FIGURA 2.18 Principais materiais utilizados para fins eletromagnéticos.............. 33 FIGURA 2.19 Parte de um circuito magnético ...................................................... 41 FIGURA 2.20 Enrolamento toroidal....................................................................... 41 FIGURA 2.21 Circuito magnético com entreferro.................................................. 42 FIGURA 2.22 (a) Circuito eletromagnético, (b) Circuito elétrico ........................... 44 FIGURA 2.23 Dispersão do fluxo magnético......................................................... 45 FIGURA 2.24 Fluxograma dos métodos iterativos ............................................... 50 FIGURA 2.25 Método de Newton-Raphson.......................................................... 53 FIGURA 4.1 Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m).............................................. 67 FIGURA 4.2 Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m).............................................. 68 FIGURA 4.3 Curva de magnetização – Aço fundido........................................... 74 FIGURA 4.4 Curva de magnetização – Aço silício.............................................. 74 FIGURA 4.5 Curva de magnetização – Liga ferro – níquel................................. 75 FIGURA 4.6 Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido......... 76 FIGURA 4.7 Circuito magnético proposto para ser resolvido.............................. 77 FIGURA 4.8 Entrada de dados do programa...................................................... 78 FIGURA .4.9 Saída de resultados do programa................................................... 78
ix
LISTA DE TABELAS
TABELA 2.1 Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si...................... 35 TABELA 2.2 Ligas Fe-Ni magneticamente moles............................................... 36 TABELA 2.3 Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes ....... 39 TABELA 2.4 Tipos de alnicos para ímãs permanentes...................................... 40 TABELA 2.5 “Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético......................... 43 TABELA 3.1 Cálculos envolvidos no somatório.................................................. 62 TABELA 4.1 Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente............................ 69 TABELA 4.2 Cálculos envolvidos nos somatórios............................................... 71 TABELA 4.3 Equações H = f(B) ajustadas para os materiais estudados........... 73
x
LISTA DE SÍMBOLOS
E : Campo elétrico H : Campo magnético : Comprimento G : Condutância elétrica σ : Condutividade elétrica η : Constante de Steinmetz I : Corrente elétrica K : Densidade de corrente numa superfície J : Densidade de corrente em um volume g : Entreferro f : Freqüência r : Raio D : Indução elétrica Φ : Fluxo magnético e : Força eletromotriz ℑ : Força magnetomotriz B : Indução magnética p : Intensidade do dipolo magnético M : Magnetização m : Momento do dipolo N : Número de espiras
fP : Perdas por corrente parasitas
hP : Persas por histerese µ : Permeabilidade absoluta
rµ : Permeabilidade relativa
0µ : Permeabilidade do ar P : Permeância magnética P : Potência ℜ : Relutância magnética. R : Resistência elétrica ρ : Resistividade S : Seção transversal χ : Susceptibilidade magnética Tc : Temperatura de Curie V : Volume Co : Cobalto Cu : Cobre Cr : Cromo Fe : Ferro Mo : Molibdênio Ni : Níquel Ti : Titânio W : Tungstênio
xi
RESUMO
Neste trabalho apresenta-se um estudo teórico com enfoque na resolução de problemas de circuitos magnéticos construídos com núcleos compostos por dois ou três materiais ferromagnéticos, com ou sem entreferro. Foi desenvolvida uma metodologia para a resolução de problemas onde se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético, para o qual é necessária a execução de um processo iterativo. Considerando que o método proposto baseia-se na utilização da equação H=f(B), foi necessário o ajuste matemático das curvas B-H de três materiais ferromagnéticos. Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização dos seguintes materiais: aço-silício, aço-fundido e liga ferro-níquel, utilizando-se para tal o método dos mínimos quadrados. A seguir, com base nas equações ajustadas e utilizando-se o método iterativo da Secante, foi desenvolvido um programa computacional utilizando-se o software Visual Basic for Applications, do Excel, o qual foi concebido para automatizar a resolução do problema em questão.
1
1 INTRODUÇÃO
Os circuitos magnéticos construídos com núcleos ferromagnéticos e
entreferros podem ser divididos didaticamente em dois tipos: (a) tipo I: são
problemas em que o fluxo magnético é conhecido e onde se deseja conhecer a força
magnetomotriz NI; (b) tipo II: são problemas onde se conhece a corrente e se deseja
conhecer o fluxo magnético.
Os problemas do tipo I são de resolução direta, mas são raros de se
encontrar na prática, pois geralmente o fluxo é a incógnita.
A resolução de circuitos magnéticos não lineares do tipo II pode ser
conduzida de duas formas possíveis: (a) métodos gráficos, onde se desenvolve a
equação da reta de carga do dispositivo e se determina o ponto de operação (B, H)
do mesmo; (b) métodos iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai
refinando a solução até a convergência a um erro previamente especificado.
A proposta deste trabalho é o desenvolvimento de um algoritmo que
possibilite a solução automática (computacional) de circuitos magnéticos que
envolvem dois ou três materiais magnéticos.
1.1 JUSTIFICATIVA
Problemas de circuitos magnéticos aparecem freqüentemente na área de
máquinas elétricas. Soluções básicas envolvem cálculos manuais, e, soluções mais
avançadas, envolvem o método dos elementos finitos. O que se pretende é o
desenvolvimento de uma solução de compromisso, que seja rápida de usar, mas
sem cair nas complexidades da modelagem por elementos finitos.
2
No decorrer do trabalho, espera-se obter uma gama bastante grande de
conhecimentos sobre métodos numéricos usados em engenharia, sobre materiais
ferromagnéticos usados na área de máquinas e sobre modelagem de dispositivos
eletromagnéticos de baixa freqüência (50-60 Hz).
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo Geral
Desenvolver um algoritmo que possibilite a solução computacional do
circuito magnético a partir da curva de magnetização e o método de aproximações
sucessivas.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Estudar métodos de modelagem de curvas de magnetização para
vários materiais ferromagnéticos.
• Estudar métodos numéricos para solução de circuitos magnéticos.
• Desenvolver um algoritmo que resolva problemas de circuitos
magnéticos a partir de curvas previamente modeladas e configurações
pré-estabelecidas.
• Comparar a solução computacional com soluções obtidas por outros
métodos (gráfico ou cálculos manuais).
3
1.3 METODOLOGIA
O projeto é eminentemente teórico, mas com aplicações práticas
importantes. As principais etapas da resolução do problema são as seguintes:
• pesquisa bibliográfica, incluindo pesquisa de documentação de
fabricantes de materiais ferromagnéticos (duros e macios);
• pesquisa sobre métodos numéricos de iteração e ajuste de curvas
(Gauss-Seidel, etc);
• desenvolvimento do algoritmo de modelagem e ajuste das curvas de
magnetização, usando métodos computacionais;
• testes de ajuste das curvas;
• pesquisa sobre modelagem de sistemas magnéticos;
• desenvolvimento do método iterativo de resolução de circuitos
magnéticos;
• testes e comparações com outros métodos (gráfico ou cálculos
manuais).
4
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 CONCEITOS E PRINCÍPIOS BÁSICOS
2.1.1 Teoria do Magnetismo
Os fenômenos magnéticos são conhecidos de épocas muito antigas, quando
foram observados, pela primeira vez, os efeitos da magnetita (Fe3O4), um ímã
permanente que se encontra em forma natural. A descoberta das propriedades de
orientação norte-sul desse material teve uma profunda influência na navegação e
exploração primitivas (REITZ, MILFORD E CHRISTY, 1991).
De acordo com Menezes (1981), na última década do século XIX, W.E.
Weber sugeriu que cada átomo de uma substância magnética era um ímã elementar
permanente, também denominado de átomo magnetizado, que, sob condições
normais, mantêm-se agrupados desordenadamente, de modo que não existe campo
magnético em volta do corpo constituído pelos citados ímãs elementares. Porém,
quando esse corpo se submete à magnetização, os ímãs elementares que compõem
o mesmo acabam ordenando-se, resultando o campo magnético externo.
Para melhor entender o fenômeno acima mencionado, imagine-se um corpo
suspenso pelo seu centro de gravidade e livre para se movimentar, e que o faça
“espontaneamente” se orientando ao magnetismo terrestre. Logo a seguir, imagine-
se o mesmo corpo atraindo pedaços de ferro ou de suas ligas, e, finalmente,
imagine-se este corpo sendo atraído ou repelido por outro de mesmas
características. O corpo que apresenta estas propriedades, nada mais é do que um
ímã natural.
5
Porém, além dos ímãs naturais, existem corpos que gozam de característica
de se tornarem ímãs artificiais. Estes corpos possuem a capacidade de adquirir, por
determinados processos, ainda que temporariamente, as propriedades de um ímã
natural, sendo, desta forma, considerado, naquele período, um ímã.
Com base nisto, Bocchetti e Mendel (1979, p. 105) destacam que,
“magnetismo é a propriedade que os ímãs têm de somente atrair materiais
ferromagnéticos e de atrair ou repelir outros ímãs”
O conceito acima não pode ser considerado genérico, pois é possível
alcançar algumas propriedades magnéticas sem a presença dos ímãs, sendo muitas
vezes conseguidas através da corrente elétrica, denominando-se este fenômeno de
eletromagnetismo.
2.1.2 Campo Magnético
De acordo com Bocchetti e Mendel (1979, p.108), pode-se afirmar que, “o
campo magnético é a região do espaço onde são sensíveis as observações dos
efeitos magnéticos”.
Já Sadiku (2004) comenta que, de acordo com a lei de Biot-Savart, a
intensidade do campo magnético dH gerada em um ponto P , como mostrado na
figura 2.1, pelo elemento diferencial de corrente, d.I é proporcional ao produto
entre d.I e o seno do ângulo α , entre o elemento e a linha que une o ponto P ao
elemento, e é inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre o ponto
P e o elemento.
Isto é,
6
2R
sen.d.IdH
α= (2.1)
ou
2R
sen.d.I.kdH
α= (2.2)
Onde k é a constante de proporcionalidade. Em unidades do sistema
internacional de unidades, k = 1/4, tal que a equação (2.2) torna-se a expressão
(2.3) a seguir.
24 R.
sen.d.IdH
πα= (2.3)
FIGURA 2.1 – Campo magnético Hd
no ponto P devido ao elemento de corrente
d.I
FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004
A unidade do campo magnético no sistema internacional de unidades é o
ampère por metro, A/m. O campo magnético é uma função do ponto e de uma
grandeza eletromagnética, aqui a corrente I ; se esta depende do tempo, o H
também dependerá.
De acordo com Sadiku (2004), a forma vetorial da equação (2.3) pode ser
escrita conforme a equação (2.4) mostrada a seguir:
7
32 44 R.
Rd.I
R.
ad.IHd R
ππ
×=×
= (2.4)
Onde |R|R
= e R/RaR
= .
Assim, o sentido de Hd
pode ser determinado pela regra da mão direita,
em que com o polegar apontando segundo a orientação da corrente, os outros
dedos dobrados em torno do fio indicam a orientação de Hd
, como mostra a figura
2.2 (a). Alternativamente, podemos usar a regra do parafuso de rosca direita para
determinar o sentido de Hd
. Com o parafuso posicionado ao longo do fio e
apontado no sentido do fluxo da corrente, a orientação dada pelo avanço do
parafuso é a orientação de Hd
, como mostra a figura 2.2 (b).
FIGURA 2.2 – Determinação da orientação de Hd
utilizando (a) a regra da mão direita ou (b) a regra do parafuso de rosca direita.
FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004
Da mesma maneira que podemos ter diferentes configurações de carga,
podemos ter diferentes distribuições de corrente: corrente em uma linha, corrente em
uma superfície e corrente em um volume, como mostrado na figura 2.3 Se
definirmos K
como a densidade de corrente em uma superfície (em ampères/metro)
8
e J
como a densidade de corrente em um volume (em ampères/metro2), os
elementos-fonte estão relacionados conforme a expressão (2.5) (SADIKU, 2004).
dv.JdS.Kd.I
≡≡ (2.5)
FIGURA 2.3 – Distribuição de corrente: (a) corrente em uma linha, (b) corrente em uma superfície, (c) corrente em um volume.
FONTE: SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo, 2004
Ainda segundo Sadiku (2004), em termos de fontes de corrente distribuída, a
lei de Biot-Savart, como na equação (2.4), torna-se as seguintes expressões:
×
=L
R
R.
ad.IH
24π
(corrente em uma linha) (2.6)
×
=S
R
R.
adS.KH
24π
(corrente em uma superfície) (2.7)
×
=v
R
R.
adv.JH
24π
(corrente em um volume) (2.8)
Cabe mencionar ainda que, de acordo com Macedo (1988), verifica-se
experimentalmente que o princípio da superposição linear é valido também para o
campo magnético. Se existem n correntes retilíneas iI , o campo resultante H será
9
a soma vetorial de cada campo iH produzido pela respectiva corrente, conforme a
equação (2.9) a seguir.
=
=n
iiHH
1 (2.9)
Como na equação 2.9, não importa a localização da interseção P da
corrente com o plano da curva, desde que interna a ela, pode-se escrever,
imediatamente a equação (2.10) abaixo.
=
=C
n
iiId.H
1
(2.10)
Pode-se observar que o segundo membro da equação (2.10) é uma soma
algébrica, onde cada corrente pode ser positiva ou negativa. Se a corrente total for
nula, a circulação de H também o será, o que não implicará, é claro, a nulidade do
próprio H .
2.1.3 Indução Magnética
Bastos (1992, p. 29) afirma que a indução magnética B “é chamada de
“indução” pois é uma grandeza que expressa a capacidade de induzir fluxo em um
dado meio”.
A indução magnética B
é similar à indução elétrica D
, e está relacionada à
intensidade do campo magnético H
, de acordo com a equação (2.11) a seguir:
H.B
µ= ; (2.11)
onde µ é a permeabilidade do meio.
10
A forma integral da lei de Gauss do magnetismo é dada pela expressão
(2.12) a seguir, a qual exprime matematicamente a verificação experimental de que
as linhas do vetor indução magnética B
são fechadas: seu fluxo através de
qualquer superfície fechada é nulo.
=S
Sd.B 0
(2.12)
De acordo com Macedo (1988), a expressão (2.12) exprime, portanto, a
inexistência de uma “carga magnética” - o monopolo magnético - que seria a
análoga à carga elétrica. Apesar das muitas tentativas feitas nesse sentido, não se
conseguiu até agora detectar experimentalmente o monopolo magnético. Ainda
segundo este mesmo autor, não há razão, porém, para acharmos que sua eventual
descoberta venha a invalidar a teoria de Maxwell. Tem-se, nesse caso, que
acrescentar um termo não-nulo ao segundo membro da lei, dada pela equação
(2.12), e analisar as conseqüências de tal acréscimo. Todos os resultados obtidos,
porém, a partir da nulidade daquele segundo membro, continuarão válidos na
ausência de monopolos.
A unidade no sistema internacional de unidades (SI) da indução magnética B
é o Weber/metro2 tesla, de símbolo T. Por ser 1T uma indução muito intensa em
comparação com as que usualmente ocorrem em laboratório, é costume exprimir-se
a indução magnética em Gauss, 1G = 10-4T, embora esta unidade não pertença ao
sistema internacional. A unidade SI do fluxo de B é o weber, Wb. Por isso, em lugar
do tesla, aparece muitas vezes o weber por metro quadrado, Wb/m2, que é igual.
11
2.1.4 Fluxo Magnético
De acordo com Sears, Zemansky e Young (1984), um campo de indução
magnético pode ser representado por linhas, cuja direção em cada ponto é a do
vetor campo de indução magnético, B
. Em campo de indução magnético uniforme,
onde o vetor tem o mesmo módulo, direção e sentido em todos os pontos, as linhas
de indução são retas paralelas, conforme mostra a figura 2.4 a seguir.
gΦ B
FIGURA 2.4 – Linhas de indução do campo magnético B
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
Considerando um material imerso num campo de indução magnética B
,
conforme mostra a figura 2.5 a seguir, pode-se afirmar que, genericamente, as linhas
formadas deste campo formam um fluxo magnético geral ( gΦ ). Estas linhas do fluxo
geral que cortam tal superfície formam o fluxo no material, que aqui chamaremos
simplesmente de fluxo (Φ ).
B
Φ gΦ
FIGURA 2.5 - Superfície de material ferromagnético envolvido pelo fluxo geral
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
Conforme pode ser observado na figura 2.5, é evidente que Φ < gΦ , sendo
no máximo Φ = gΦ se a superfície do material envolvido for igual a do fluxo geral
considerado.
12
B
)cos.S(fg αΦ = S
Para a caracterização do fluxo através da superfície devemos levar em conta
a posição relativa da superfície considerada. Quando o campo de indução
magnética B
for perpendicular à superfície, como é o caso mostrado na figura 2.5, o
fluxo será máximo.
Por outro lado, quando a superfície considerada ficar paralela às linhas do
fluxo geral, conforme ilustrado na figura 2.6, teremos um fluxo nulo nesta superfície.
0=Φ
B
gΦ
FIGURA 2.6 - Superfície com posição paralela em relação ao fluxo geral
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
Se a superfície recebe um fluxo máximo quando a normal a seu plano forma
0o com as linhas do campo, e um fluxo nulo quando a normal é perpendicular ao
mesmo campo, então, o fluxo na superfície é função da posição relativa que ela
ocupa com respeito ao fluxo geral – será uma função cossenoidal do ângulo α ,
ângulo entre a normal à superfície e as linhas do campo, conforme apresentado na
figura 2.7 a seguir.
(2.13)
FIGURA 2.7 - Superfície com posição inclinada em relação fluxo geral
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
13
O fluxo total através de uma superfície pode, então, ser representado como
o número de linhas de indução atravessando a superfície considerada.
Desta forma, tomando-se por base agora um elemento de superfície Sd
imerso num campo de indução B
provocando uma contribuição elementar de fluxo
Φd , torna-se evidente que o fluxo total na superfície é dado pelo somatório das
contribuições elementares, conforme é mostrado nas equações a seguir:
ΦΦ = d (2.14)
Sd.Bd
=Φ (2.15)
Um caso mais genérico, pode ser expresso pela seguinte equação:
=S
Sd.B
Φ (2.16)
ou
.dS.cos.Bd αΦ = (2.17)
Tomando, em seqüência, elementos integrais, obtemos, com B
constante
em toda superficie:
αΦ cos.S.B= . (2.18)
Finalmente, para a condição de fluxo máximo, resulta a seguinte expressão:
S.B=Φ (2.19)
2.1.5 Momento Magnético - Magnetização
Segundo Koltermann (2001), ao se analisar macroscopicamente os modelos
de estrutura de um átomo, os movimentos dos seus elétrons podem ser simulados
14
por um laço de corrente elementar, sendo que, os dipolos magnéticos resultantes, se
referem aos momentos dos laços de corrente, podendo este laço de corrente ser
considerado como a unidade elementar do magnetismo, como ilustra a figura 2.8.
(a) (b)
FIGURA 2.8 - a) Movimentos atômicos, b) Momento magnético de laço de corrente elementar
FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002.
Este laço de corrente é conhecido como o dipolo magnético por razões
históricas, uma vez que o campo produzido por tal laço é idêntico na forma, ao
campo produzido pelo cálculo de dois pólos magnéticos de intensidade p ,
separados por uma distância , sendo o momento do dipolo de tal arranjo expresso
por (KOLTERMANN, 2001):
.pm = (2.20)
ou ainda,
0µΦ
.m = (2.21)
onde Φ é o fluxo em webers passando através do dipolo e é o
movimento orbital do elétron
vetor movimento orbital
I sd
ds
sd.Im =
Núcleo
spin do elétron
spin nuclear
15
comprimento deste dipolo.
Menezes (1981) destaca que, a distância matemática entre os pólos não
pode ser perfeitamente definida, considerando que os pólos magnéticos não
identificam um ponto, mas tão somente uma região. Todavia, segundo este mesmo
autor, apesar de p e não serem medidas com precisão, o produto .p , que se
constitui no momento magnético, pode ser muito bem determinado.
O campo magnético produzido pelo laço elementar de corrente iI ,
considerado que envolve uma superfície idS pode ser representado pelo momento
magnético im
, conforme a expressão (2.22) abaixo:
iii Sd.Im = (2.22)
Leite (2002, p. 5) afirma que, “o momento magnético total num átomo é igual
à soma vetorial de todos os momentos magnéticos individuais originados pelos
movimentos dos elétrons e o núcleo”.
Em um volume V.∆ contendo n momentos magnéticos atômicos, cada um
deles sendo representado por im
, sendo i = 1, 2, ..., n, o momento resultante m
é
dado pela soma vetorial destes momentos individuais im
, conforme mostra a
expressão (2.23) a seguir:
=
=n
iimm
1
(2.23)
O efeito destes ímãs atômicos, ou dipolos magnéticos, pode ser
convenientemente descrito por uma grandeza denominada como vetor de
magnetização M
(KOLTERMANN, 2001). Este vetor é definido pela densidade
volumétrica de momentos magnéticos do material, de acordo com a equação (2.24):
16
mV
limmV
limMV
n
ii
V
∆∆ ∆∆
11010 →=→
=
= (2.24)
A equação (2.21) fornece a relação entre o momento magnético m e o fluxo
magnético Φ ; pode-se relacionar agora, o vetor magnetização M
com o vetor
indução magnética B
. Considerando um dipolo magnético com fluxo Φ no centro,
comprimento do dipolo e com seção transversal S , a magnetização é dada pela
expressão (2.25) a seguir:
.Sm
Vm
M == (2.25)
considerando 0µΦ /.m = , obtém-se a equação (2.26):
00 µµΦ B
S.M
== (2.26)
onde 0 é permeabilidade magnética do vácuo.
Neste caso não existe nenhuma fonte convencional de corrente elétrica para
gerar o campo magnético e então MB
0µ= . Pode-se notar portanto, que a
magnetização M
e o campo magnético H
contribuem para a indução magnética
de um modo similar. Se ambos, a magnetização e o campo magnético estão
presentes, então suas contribuições podem ser somadas (KOLTERMANN, 2001).
Pode-se então concluir que a indução magnética consiste de dois
contribuições, sendo uma do campo magnético imposto e a outra da magnetização
M
do material, conforme ilustrado na expressão (2.27) a seguir:
)MH(B
+= 0µ (2.27)
De acordo com Leite (2002, p. 6 ), “o campo magnético H
pode ser imposto
17
através de fontes externas, enquanto que a magnetização M
é gerada pelos
movimentos das partículas subatômicas da estrutura da matéria”.
2.1.6 Permeabilidade Magnética
Segundo Bastos (1992), a permeabilidade µ de um meio, expressa
intrinsecamente sua capacidade de se mostrar mais ou menos suscetível à
passagem de fluxo magnético. Seria difícil introduzir estes conceitos sem utilizar a
relação de passagem expressa pela equação (2.28) a seguir:
H.B
µ= (2.28)
Como pode ser observado, a equação (2.28) fornece a relação entre a
indução magnética B
e a intensidade magnética H
. Para o vácuo a permeabilidade
magnética 0µµ = e é uma constante com o valor 4.10-7 H/m no sistema
internacional de unidades (SI). Para o ar, µ é um pouco maior que 0µ podendo,
porém, ser admitida igual a 0µ nas aplicações práticas.
No entanto, a permeabilidade magnética µ não é em geral uma constante,
pois B
não é uma função linear de H
para alguns materiais. Sendo assim, mais
importante que o valor da permeabilidade, constitui-se a representação usual da
relação dada pela equação (2.28), fornecida através das curvas B-H. Estas curvas
variam consideravelmente de um material para outro, e, para o mesmo material, são
fortemente influenciadas pelos tratamentos térmicos e mecânicos.
Os diferentes materiais são comumente caracterizados, do ponto de vista
magnético, pela sua permeabilidade magnética µ .
18
É costume considerar uma permeabilidade absoluta µ e uma relativa rµ ,
sendo a segunda dada pelo quociente entre a primeira e a permeabilidade do vácuo
ou do ar 0µ , conforme mostra a equação (2.29) a seguir.
0µµ
µ =r (2.29)
2.1.7 Susceptibilidade Magnética
A susceptibilidade magnética é medida em função da taxa de crescimento
da magnetização causada pela influência de um campo magnético.
Matematicamente a susceptibilidade pode ser expressa pela equação a seguir:
HM
=χ (2.30)
onde:
M
= magnetização, que é o momento magnético por unidade de
volume; e
H
= intensidade do campo magnético.
A susceptibilidade não é necessariamente constante, podendo variar com a
intensidade do campo magnético aplicado. Esta grandeza possui valores medidos
entre 10-5 para materiais magnéticos moles até 106 para magnetos duros. Em alguns
casos ela pode assumir valores negativos.
A susceptibilidade dos materiais ferromagnéticos nas altas temperaturas,
acima da temperatura crítica cT , denominada de temperatura de Curie, obedece à
lei de Curie-Weiss, na qual χ/1 é zero no ponto Curie e aumenta linearmente com
19
a temperatura, como ilustra a figura 2.9 a seguir (LEITE, 2002). Destaca-se que a
temperatura crítica cT ou temperatura de Curie é aquela acima da qual os materiais
perdem suas características ferromagnéticas e passam a apresentar comportamento
paramagnético.
FIGURA 2.9 - Lei de Curie-Weiss para variação da susceptibilidade magnetica com a temperatura para materiais ferromagnéticos.
FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002.
2.1.8 Processo de Magnetização
Primeiramente, antes de abordar o processo de magnetização, é
conveniente apresentar o conceito de domínio, pois o mesmo está diretamente
relacionado ao processo de magnetização.
De acordo com Leite (2002), a primeira teoria que trata da existência dos
domínios magnéticos foi elaborada por Weiss no ano de 1907, e, de acordo com a
mesma, é possível afirmar que um material ferromagnético é formado por muitas
pequenas regiões, sendo que cada uma delas possui magnetização de saturação,
apontando em uma dada direção. Porém, somente uma década depois, foi realizada
a primeira verificação experimental dessa teoria, no experimento idealizado por
Barkhausen.
χ1
Tc T
20
Analisando-se um material magnético desmagnetizado, observa-se que o
mesmo é composto de um grande número de pequenas regiões conhecidas por
“domínios”, cujos contornos podem ser perfeitamente determinados, e que se
caracterizam por possuir uma única orientação magnética, ou seja são dotados,
cada um, de um vetor de campo magnético unitário próprio. Contudo, cada um
destes domínios está direcionado aleatoriamente, e, sendo assim, o material como
um todo, não possui magnetização líquida (LEITE, 2002,)
Observa-se entre os domínios a existência de uma fronteira delimitando
domínios adjacentes. Nessa fronteira a magnetização não muda de forma brusca,
mas suavemente, envolvendo vários momentos magnéticos. Quando dois domínios
adjacentes possuem magnetizações com direções opostas, a fronteira que os divide
é chamada de parede de 180°.
Na figura 2.10 a seguir pode ser observada uma representação da idéia dos
domínios magnéticos e da parede de 180°.
FIGURA 2.10 – Domínios Magnéticos e parede de 180°
FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. UFSC, 2002.
21
Uma vez definido o conceito de domínio, podemos passar à descrição do
processo de magnetização. Segundo comentários de Almeida (2003), magnetizar
um material significa alinhar os seus domínios, sendo este processo não linear, pois
quanto mais domínios estiverem alinhados, torna-se mais difícil alinhar novos
domínios. Já quando os domínios estiverem alinhados, e nenhum incremento de
magnetização for possível, significa que e o material terá atingido o seu estado de
“saturação”.
Conforme este mesmo autor, o processo de desmagnetização também é
não linear, e, dependendo do material, mais ou menos domínios podem ficar
alinhados após a remoção do campo externo. A quantidade desses domínios
alinhados é responsável pelo denominado “magnetismo residual”.
De acordo com Leite (2002, p. 17), o processo de magnetização pode dar-se
pela ação de dois fenômenos, conforme descrito a seguir:
1. Aumento do tamanho dos domínios, nos quais a orientação seja próxima ao da orientação do campo externo aplicado, às custas dos domínios cuja orientação seja diferente. Este é o processo do deslocamento das paredes de domínio. 2. Rotação da orientação conjunta de todos os momentos de um domínio, no sentido da orientação do campo externo, processo chamado de rotação de domínio.
Uma representação esquemática de ambos os fenômenos mencionados
acima pode ser observada na figura 2.11 a seguir.
FIGURA 2.11 – Deslocamento de paredes e rotação de domínios magnéticos FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços
Menores de Indução. UFSC, 2002.
22
O processo de magnetização de um material ferromagnético é normalmente
representado por uma curva denominada de “curva de magnetização”. Na figura
2.12 a seguir apresenta-se uma curva típica, sendo os dois mecanismos de
movimento dos domínios magnéticos indicados na sua parte correspondente da
curva.
FIGURA 2.12 – Curva de Magnetização Inicial FONTE: LEITE, J. V. Análise de Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços
Menores de Indução. UFSC, 2002.
2.1.9 Curva de Magnetização
As propriedades dos materiais ferromagnéticos e de suas ligas representam-
se geralmente por meio de curvas de magnetização, assim como a ilustrada na
figura 2.14 apresentada na seqüência.
De acordo com comentários de Almeida (2003), os dados utilizados para
traçar estas curvas podem ser obtidos da seguinte maneira: as peças de ensaio de
material magnético se constróem em forma de anel, com uma seção transversal em
centímetro quadrado, e um comprimento médio de trajetória magnética em
centímetro, sendo, sobre estes anéis, enroladas uniformemente espiras de fio
23
isolado, medindo-se por meio de instrumento especial, como o gaussímetro, o fluxo
resultante para diversos valores da corrente de excitação.
Para ilustrar o processo de obtenção da curva de magnetização acima
descrito, considere-se a montagem da figura 2.13, que consiste de um núcleo
ferromagnético, um amperímetro, um voltímetro e uma fonte de tensão ajustável.
FIGURA 2.13 – Montagem para obtenção da curva de magnetização FONTE: ALMEIDA, Á. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
Pode-se levantar a curva de magnetização ajustando a tensão e medindo a
corrente I . Porém, embora seja mais fácil medir tensão e corrente, é mais
conveniente desenhar a curva de magnetização em função dos campos B
e H
, de
acordo com as relações (2.31) e (2.32) a seguir:
FeFe
INH.HIN
=→= (2.31)
SB
Φ
= (2.32)
Na prática, H
é medido indiretamente por meio de corrente, e B
pode ser
medido por meio de um “gaussímetro”, resultando no gráfico da figura 2.14 a seguir.
SFe
I A
V e
Fe
24
FIGURA 2.14 – Curva B-H medida por “gaussímetro” FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
Como pode ser observado na figura 2.14 acima, a curva de magnetização
pode ser dividida nas três regiões ilustradas. Primeiramente apresenta um
andamento retilíneo (A), logo em seguida se curvam para a direita, formando um
“cotovelo” (B), e finalmente atingem a região de saturação (C) a qual possui
pequena inclinação.
A curva de magnetização tradicionalmente apresenta, no seu eixo das
abcissas, a grandeza da intensidade de campo magnético H
e, nas ordenadas, o
valor da magnetização M
ou da densidade de fluxo B
. Esta curva se inicia no
estado de desmagnetização, com H = 0. Elevando-se a intensidade de campo
gradativamente, nota-se que uma elevação de H
não traz mais uma elevação de
B
. Esse é o estado de saturação em que, apesar de elevarmos a corrente I ou o
número de espiras N (ou o produto de ampère-espiras), não haverá disponibilidade
de maior indução magnética. A figura 2.15 a seguir apresenta algumas curvas
típicas.
H (A/m)
A
B C
B (T)
25
FIGURA 2.15 - Exemplo de curvas de magnetização 1 – Ferro puro; 2 – Permalloy; 3 – Ferro tecnicamente puro; 4 – Níquel; 5 – Liga 26 Ni + 74 Fe.
FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979.
Logo, conhecendo-se a curva de )H(fB
= , e como a variação entre
ambos é a própria variação de permeabilidade µ (pois H.B
µ= ), podemos traçar a
curva de variação de )(fH µ= , dada na figura 2.16; no caso, para dois exemplos
de materiais magnéticos, um do ferro, e outro da liga permalloy. A permeabilidade
inicial do material é indicada por iµ , que se apresenta na condição de H = 0. No
outro oposto, a permeabilidade máxima maxµ , perante o estado de saturação.
16000
0 0,4 0,6 0,8 O
12000
8000
4000
G
H
B
26
FIGURA 2.16 – Variação entre a permeabilidade (µ) e a intensidade do campo magnético (H).
A – Ferro puro; B – liga Permalloy. FONTE: SCHIMIDT, W. Materiais Elétricos, 1979.
2.1.10 Histerese Magnética
A histerese pode ser definida como o fenômeno que causa o atraso de B
em relação a H
ou M
, de modo que a curva de magnetização dos campos quando
estes aumentam ou diminuem, não seja a mesma. O ciclo traçado pela curva de
magnetização é chamado de “Ciclo de Histerese” (PLONUS, 1978).
O laço de histerese, conforme já mencionado anteriormente, é obtido a partir
da curva de magnetização. Uma vez atingido o estado de saturação, podemos
diminuir a tensão no circuito em análise para tentar desmagnetizar o material.
Observa-se, então que os valores de B
assim obtidos, não coincidem com os
valores inicias da curva. Chegando-se a H = 0, não teremos B = 0, o valor de B = 0
será obtido para um certo valor negativo de H
. Repetindo-se o processo com
0 0,2 0,4 0,6 0,8 O
H
0
50000
max
100000
G/O
27
valores de H
na orientação contrária, obteremos uma repetição do fenômeno,
formando-se o denominado laço de histerese.
Almeida (2003) destaca que, “curiosamente, a desmagnetização não se dá
pelo mesmo caminho da magnetização, resultando em uma curva que ”volta por
trás”. Do grego “voltar atrás”, esse fenômeno é denominado “histerese””.
Na figura 2.17 a seguir é ilustrada a curva completa de histerese para um
material ferromagnético genérico.
FIGURA 2.17 – Ciclo de Histerese FONTE: SEARS, F.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D. Fisica 3 – Eletricidade e Magnetismo. 1984.
A seguir apresenta-se uma descrição mais detalhada para o ciclo de
histerese, utilizando como base a figura 2.17.
Se a corrente de magnetização no enrolamento de um anel não
magnetizado for constantemente aumentada, a relação de B
e H
segue a curva
Oab . Se agora a corrente for diminuída até que o ponto c seja atingido, B
é muito
28
maior do que a, ainda que H
seja o mesmo.
Quando a corrente diminui até zero, H
é nulo e atinge-se o ponto d . Mas
neste ponto d , B
não é zero, o material fica magnetizado mesmo na ausência de
corrente magnetizante, tornando-se, assim, um magneto permanente. De fato, B
não vai a zero, senão quando H
inverte o seu sentido e atinge o ponto f .
Quando H
torna-se maior na direção invertida, atinge-se o ponto g e o
material aproxima-se de magnetização de saturação, na direção invertida. À medida
que H
decresce para zero e, em seguida, aumenta na direção original, segue-se a
trajetória ghib , sendo assim obtido o ciclo completo da histerese.
Cabe mencionar que, o campo de indução magnética B
, que permanece
depois que o material foi magnetizado até a saturação, e tendo-se em seguida
reduzida a zero a intensidade magnética H
, é chamado de ”magnetismo residual ou
remanente”, e encontra-se denotado por rB na figura 2.17. Já o campo reverso H ,
necessário para reduzir B
a zero, indicado na figura 2.17 por cH , é chamado
”campo coercivo ou coercividade”. Sendo assim, pode-se afirmar que, o campo
coercitivo é o campo capaz de anular o magnetismo residual, ou seja, desmagnetizar
completamente o material.
Uma conseqüência significativa do fenômeno de histerese é a dissipação de
energia de materiais ferromagnéticos, cada vez que forem levados a percorrer seu
ciclo de histerese. Pode-se mostrar que a energia dissipada, por unidade de volume,
em cada ciclo, é proporcional à área delimitada pelo ciclo de histerese, sendo
caracterizada desta forma as perdas por histerese no material ferromagnético.
29
2.2 MATERIAIS MAGNÉTICOS
Segundo a física, os materiais encontrados na natureza, ou fabricados,
podem, conforme a suas propriedades magnéticas e facilidade de magnetização,
pertencer magneticamente a três grupos distintos, que são respectivamente:
materiais ferromagnéticos, paramagnéticos ou diamagnéticos.
Os materiais ferromagnéticos, quando colocados num campo magnético,
orientam-se na direção do campo e ficam fortemente magnetizados. Já os materiais
paramagnéticos também se orientam paralelamente ou na direção do campo, porém,
magnetizam-se fracamente, não apresentando efeitos ponderáveis. Finalmente nos
diamagnéticos os fenômenos magnéticos são reduzidos e nestes tipos de materiais
os momentos magnéticos serão antiparalelos com o campo externo aplicado.
Materiais diamagnéticos são aqueles que apresentam uma permeabilidade
relativa pouco menor do que 1 ( µ r < 1), e uma suscetibilidade negativa ( χ < 0),
sendo que, o valor numérico desta grandeza χ desses materiais é muito pequena.
Pode-se citar, como exemplo desse grupo, gases inertes, alguns tipos de óleos
resinas, alguns metais (cobre, bismuto, gálio, ouro, etc.), bem como grafita.
De acordo com Menezes (1981, p. 24), “O diamagnetismo é uma
propriedade que ocorre no átomo de estrutura eletrônica simétrica e que não possui
momento magnético permanente”.
Alem disto, Schimidt (1979) explica o diamagnetismo da seguinte maneira:
sob a ação de um campo magnético externo, os elétrons que giram em torno de seu
próprio eixo vão se ajustando, libertando durante esse ajuste um momento
magnético, dirigido contrariamente ao campo de magnetização aplicado,
enfraquecendo-se assim o campo externo aplicado.
30
Já nos materiais paramagnéticos a susceptibilidade magnética é positiva
( χ > 0), sendo o seu valor numérico novamente de pequena grandeza. No que se
refere à permeabilidade relativa, o seu valor é pouco superior ou igual a 1 ( µ r 1).
Podem-se citar, como exemplos de materiais desse grupo, o alumínio, a platina e
certos sais de ferro, de cobalto e de níquel.
“Os materiais paramagnéticos são caracterizados por átomos que têm um
momento magnético permanente. Os movimentos orbitais dos elétrons e os spins
produzem correntes circulares que são diferentes de zero” (MARTINS, 1975, p. 398).
De acordo com Menezes (1981), os materiais paramagnéticos não
apresentam o fenômeno de histerese, sendo ainda independente do poderio do
campo magnético.
Tanto os diamagnéticos como os paramagnéticos têm valor de
permeabilidade relativa em torno da unidade. Não obstante, tanto o diamagnetismo
quanto o paramagnetismo são efeitos que só persistem enquanto o campo externo
estiver sendo aplicado.
Pierre Curie mostrou que a susceptibilidade, em certas substâncias
diamagnéticas, é independente da temperatura, mas nos materiais paramagnéticos
ela varia com a temperatura, sendo que em ambos os casos não dependem do
campo magnético (MENEZES, 1981).
Ainda segundo comentários de Menezes (1981), o estudo dos materiais
diamagnéticos e paramagnéticos pode ser considerado importante para a
determinação cientifica da natureza da matéria. Além disso, sob o ponto de vista
técnico ainda não foram assinalados os valores que lhes seriam conferidos, sendo
que em alguns casos, tentou-se usá-los para a separação do ferro na lavagem de
minério.
31
Passa-se agora a descrever o terceiro grupo, composto pelos materiais
ferromagnéticos, o qual é considerado o mais importante para as aplicações
elétricas, pois são usados na construção da maioria das máquinas elétricas,
transformadores e dispositivos eletromagnéticos, e assim sendo, será mais
amplamente discutido.
Koltermann (2001, p.13) comenta a respeito dos materiais ferromagnéticos:
”as razões para seu uso tão amplo estão relacionados ao fato do grande fluxo que
pode ser estabelecido e controlado pela aplicação de uma pequena força
magnetomotriz”.
Nos materiais ferromagnéticos a grandeza da susceptibilidade χ é um valor
elevado, podendo alcançar valores da ordem de 105. No que se refere à
permeabilidade relativa, o seu valor também é muito superior a 1 (µ r >> 1), variando
em função da relação entre indução magnética B e a intensidade do campo H
podendo chegar a ordem de 106, que é o caso de algumas ligas de ferro (BASTOS,
1992).
Segundo comentários de Almeida (2003), os materiais ferromagnéticos,
respondem fortemente à aplicação de um campo externo, implicando em
permeabilidades magnéticas que podem alcançar centenas ou milhares de vezes
maiores do que a do ar. Podem se incluir nesse grupo os seguintes materiais: ferro,
níquel, cobalto, gadolínio, entre outros. Ainda, conforme este mesmo autor, os três
primeiros são os mais utilizados na construção de ligas magnéticas e o gadolínio tem
algumas aplicações como elemento de contraste em equipamentos de ressonância
nuclear magnética.
Segundo comentários de Martins (1975, p. 398), “nos materiais
ferromagnéticos, devido ao alinhamento no interior do material, estes produzem um
32
campo magnético, mesmo em ausência de campo externo”.
De acordo com Bastos (1992), é interessante notar que, se um material
ferromagnético estiver em um ambiente aquecido, e se a temperatura for
suficientemente elevada e ultrapassar um valor crítico, denominado de “temperatura
de Curie”, este material passa de ferromagnético a paramagnético. Cada material
apresenta a sua própria temperatura de Curie.
Almeida (2003) afirma que, “outra característica dos materiais
ferromagnéticos é a presença de magnetismo residual, ou seja, um campo
magnético que permanece após a remoção do campo externo”.
Por outro lado, em função das características permeabilidade e força
coercitiva, os materiais para a indústria elétrica podem ser divididos em dois grupos:
- materiais de alta permeabilidade e baixa força coerciva, ou denominados
de materiais “magneticamente moles”.
- materiais de alta força coerciva, em que a permeabilidade não é uma
característica importante, chamados materiais “magneticamente duros” ou “ímãs
permanentes”.
A força coercitiva mencionada anteriormente pode ser obtida a partir da curva
de histerese do material, o que já foi anteriormente descrito no tópico 2.1.10. A figura
2.18 a seguir apresenta uma descrição suscinta dos principais materiais utilizados
em equipamentos eletromagnéticos, e identificam-se alguns exemplos destes
materiais.
33
FIGURA 2.18 – principais Materiais utilizados para fins eletromagnéticos.
Na seqüência apresenta-se uma descrição resumida das características
principais e peculiaridades de cada um dos materiais mencionados acima.
Considerou-se desnecessário apresentá-los aqui com maior riqueza de detalhes,
pois não se constitui no objetivo principal desta pesquisa.
2.2.1 Materiais Magneticamente Moles
Segundo comentários de Bastos (1992), os materiais magneticamente moles
são aqueles que, depois de retirado o campo magnético neles aplicado, não
guardam uma indução dita “remanente” significativa. São materiais ditos de
“passivos” à presença de campo magnético, pois caso o campo externo varie em
módulo ou direção, o mesmo ocorrerá com o campo no interior deste material, sem
praticamente nenhum efeito de retardo.
De acordo com Chiaverini (1986), o ferro puro pode ser, comumente
MATERIAIS PARA FINS ELETROMAGNÉTICOS
MATERIAIS MAGNETICAMENTE MOLES
Suas características principais são: - baixa força coerciva; - alta permeabilidade.
MATERIAIS MAGNETICAMENTE DUROS OU IMÃS PERMANENTES
Suas características principais são: - alta força coerciva; - a permeabilidade não é uma
característica importante.
• Ligas de ferro-silício • Ligas de ferro-níquel • Ligas de ferro-cobalto
• Aços martensíticos • Ligas endurecíveis por
precipitação
34
considerado, o material ferromagnético “ideal”, porém, oferece uma baixa
resistividade elétrica, assim sendo, não é aconselhado o uso em circuitos de
corrente alternada, pois, para esta aplicação, a curva de histerese deve ser bastante
afilada, do modo a absorver o mínimo de energia durante a magnetização e
desmagnetização, que são aproximadamente 75% de todas as aplicações industriais
de materiais magnéticos; no entanto, adicionando-se elementos de liga ao ferro, sua
resistividade elétrica aumenta; sendo assim, o material torna-se apropriado para o
emprego em corrente alternada.
O silício age nesse sentido, do mesmo modo que o alumínio. No entanto, o
níquel e o cobalto são os outros metais utilizados como elementos de adição ao
ferro.
2.2.1.1 Liga ferro – silício
Conforme comentários de Schimidt (1979), as chapas de ferro-silício
resultam de um acréscimo de silício ao ferro, já que o silício possui propriedades
isolantes; consegue-se, portanto, um material com uma adequada resistência
elétrica, o que ocasiona uma diminuição das perdas. Desta forma, o acréscimo de
silício possibilita eliminar o carbono, como também, a eliminação de oxigênio de uma
forma quase total, e sendo assim, consegue-se aumentar a permeabilidade inicial, a
diminuição da força coercitiva, como também, a diminuição das perdas por histerese.
Na seqüência apresenta-se a tabela 2.1 com os distintos teores de silício
utilizados, que podem variar de 0,25 a 4,75%, assim como também suas
características e emprego.
35
TABELA 2.1 – Propriedades físicas e magnéticas de chapas Fe-Si.
Teor aproxim.
de silício, %
Tipo ou marca
Perda do núcleo máxima (W/lb em 60 ciclos)
Perda do núcleo máxima
(W/kg em 60 ciclos)
Resistividade ( -cm)
Limite de resistência à
tração (kgf/mm2)
Alongamento em 2” (%)
Emprego
0,25-0,30 “Campo” 1,61 5,1 28 - - (1)
0,50-0,60 “Armadura” 1,30 3,4 28 31,0 25 (2)
1,25-1,50 “Elétrico” 1,17 3,7 44 35,0 22 (3)
2,50-2,75 “Motor” 1,01 2,5 44 47,5 14 (4)
2,75-3,25 “Dínamo” 0,82 2,1 50 - - (5)
3,25-3,50 “Hipersil” 0,82 2,1 50 49,0 12 (6)
3,60-4,00 “Transformador 72” 0,72 1,58 52 56,0 8 (7)
4,00-4,25 “Transformador 65” 0,65 1,43 58 50,5 6 (7)
4,25-4,50 “Transformador 58” 0,58 1,27 60 53,0 5 (7)
4,50-4,75 “Transformador 52” 0,52 1,15 65 49,0 2 (7)
FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986.
Conforme a última coluna da tabela 2.1, os empregos desses materiais são:
(1) motores fracionários de baixo custo, para uso intermitente;
(2) motores fracionários e peças polares e outros circuitos magnéticos de
alta permeabilidade;
(3) motores e geradores de melhor qualidade, transformadores pequenos
para uso intermitente, relés e reatores;
(4) motores e geradores de eficiência média; transformadores pequenos e
reatores;
(5) motores e geradores de alta eficiência e tamanho médio;
transformadores de uso intermitentes, reatores, medidores elétricos, peças
polares laminadas;
(6) transformador de alta eficiência para redes de distribuição (fabricante:
Westinghouse Electric Corp.);
(7) todos os tipos de transformadores, para redes de distribuição e
máquinas elétricas de elevada eficiência (fabricante: Armco Steel Corp.).
36
2.2.1.2 Ligas ferro – níquel
Segundo Schimidt (1979), em presença de uma baixa intensidade de campo,
as ligas de ferro-níquel proporcionam uma elevada permeabilidade. Uma das ligas
ferromagnéticas mais conhecidas, é a liga com 70 a 90% de níquel e o restante
ferro; dita liga recebe o nome de permalloy; no entanto, possui uma resistência
elétrica baixa, o que aumenta a circulação de correntes parasitas.
De acordo com Chiaverini (1986), comumente estas ligas são aplicadas em
instrumentos elétricos, circuitos telefônicos, transmissores, aparelhos de rádio, relés,
bobinas, blindagens magnéticas e outros fins. Ainda de acordo com este mesmo
autor, para se obter um melhoramento das propriedades magnéticas dessas ligas,
realiza-se o seu recozimento em hidrogênio puro seco entre 1.000 e 1.200 oC,
durante várias horas; desta forma, diminui-se os teores de carbono, enxofre e
oxigênio. Na tabela 2.2 a seguir encontram-se as ligas de ferro-níquel com os seus
diferentes teores.
TABELA 2.2 – Ligas Fe-Ni magneticamente moles
Composição, % Característicos
Denominação Fe Ni
Outros
elementos
Permeabilidade
Inicial (G/O)
Permeabilidade
máxima (G/O)
Saturação
4Is (G)
Resistividade
( -cm)
Permalloy 45 54 45 - 2.500 25.000 16.000 50
Permalloy 78 21 78 - 8.000 100.000 10.000 16
Permalloy 4-79 16 79 4 Mo 20.000 80.000 8.700 57
Hipernik 50 50 - 4.000 80.000 16.000 35
Mumetal 18 78 2 Cr, 5 Cu 20.000 110.000 7.200 60
Supermalloy 15 79 5 Mo 100.000 800.000 8.000 60
FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986.
37
2.2.1.3 Ligas ferro-cobalto
Schimidt (1979), comenta que, o ponto elevado de saturação (máxima
intensidade de magnetização) é a característica fundamental dessa liga, que gira em
volta dos 25 kG (2,5 T), proporcionando-se assim valores um pouco superiores às
ligas de ferro-silício. No entanto, essa característica alcança seu máximo valor com
cerca de 34,5% de cobalto. Comumente são utilizados as ligas dos tipos:
- hiperco, com 35% de cobalto: utilizado nos mesmos empregos das ligas
FeSi, especificamente em aplicações com motores de alta densidade de fluxo e em
transformadores;
- permendur, com 50% de cobalto: têm restrita sua aplicação a circuitos
telefônicos, a eletromagnetos de corrente contínua e aplicações análogas.
2.2.2 Materiais Magneticamente Duros
Segundo Bastos (1992), são os materiais que conservam uma indução
remanente significativa, por um tempo suficientemente longo, uma vez extinto o
campo externo sobre o material aplicado, sem alterá-lo sensivelmente ante
mudanças de temperatura e ação de forças mecânicas, ao contrário dos moles.
Entretanto, Schimidt (1979) comenta que os materiais duros são
denominados igualmente de ímãs permanentes. Seu laço de histerese deve ser
largo e bastante alto, e não precisa-se preocupar com a energia absorvida pelo
núcleo, pois o regime de operação não é contínuo. Tais materiais são predominante
aços carbonos de textura fina e ligas sem carbono que sofrem tratamento térmico.
Os materiais empregados são:
38
- aços martensíticos, ou seja, no estado temperado, ou também chamados
aços carbonos;
- ligas endurecíveis por precitipação, ou ligas sem carbono.
2.2.2.1 Aço martensíticos ou aços carbonos
De acordo com Chiaverini (1986), estes materiais apresentam alto carbono,
de 0,70 a 1,00%, e devem ser temperados. A adição de elementos de liga que
formem carbonetos estáveis, os quais agem como centros de deformação do
reticulado, melhora as propriedades magnéticas.
Chiaverini (1986, p. 274) afirma que, “se um aço com 1,14% de carbono
apresenta um produto, máx)BH( = 0,18x106, adicionando-se 5 a 6% de tungstênio,
o valor desse produto sobe para 0,34x106.”
Ainda segundo Chiaverini (1986, p. 274), “o cromo pode substituir o
tungstênio e um aço com 5% de cromo e 1,0% de carbono, temperado em óleo, dá
um produto máx)BH( = 0,28x106.”
Segundo Schimidt (1979), o aço cobalto pode ser outro tipo de aço-carbono
usado nessa aplicação, que, se bem possui características melhores aos anteriores,
é também de mais elevado preço. Assim sendo, o cobalto influi consideravelmente
sobre o magnetismo residual, rB , e sobre o ponto de saturação; adicionando-se
cromo, tungstênio, molibdênio, magnésio e outros, a indução remanente e a força
coercitiva devem se elevar ainda mais.
39
2.2.2.2 Ligas endurecíveis por precipitação ou ligas sem carbono
São essencialmente ligas de ferro, níquel e alumínio, com adição de cobre e
outros metais.
Segundo comentários de Chiaverini (1986), a tabela 2.3 apresenta
determinadas ligas endurecíveis por precipitação; destaca-se que nelas acontece a
precipitação de uma fase, o qual provoca o estado de tensões internas, que são,
assim, necessárias para que a matriz de ferro alfa proporcione alta remanência e
alta força coerciva. Portanto, elas devem ser solubilizadas, temperadas e revenidas.
TABELA 2.3 – Ligas endurecíveis por precipitação para ímãs permanentes.
Composição (%) Propriedades Magnéticas
Tipo de liga Mo Co Ni Ti W
Hc
(oested)
Br
(gauss)
(B.H) máx
(gauss
.oested)
Fe – Mo – Co 17 12 - - - 250 10.500 1,1x106
Fe – W – Co - 24 - - 27 149 9.600 1,4x106
Fe – Mo 23,4 - - - - 219 7.000 1,5x106
Fe – Co – Ni –Ti - 30 16 12 - 920 6.350 2,0x106
FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986.
Ainda de acordo com Chiaverini (1986), outras ligas importantes para ímãs
permanentes são os chamados “Alnicos”, conforme são apresentadas na tabela 2.4;
tais ligas são primeiramente solubilizadas ou homogeneizadas a 1.200 oC, e em
seguida temperadas e envelhecidas a 650 oC. Os Alnicos caracterizam-se por serem
duros, frágeis e dificilmente usináveis; desta forma as peças de Alnico ou são
fundidas na sua forma definitiva ou são produzidas por metalurgia do pó.
40
TABELA 2.4 – Tipos de Alnico para ímãs permanentes
Composição, (%) Propriedades Magnéticas
Liga Al Ni Co Outros Fe
Hc
(oested)
Br
(gauss)
(B.H)máx.
(gauss.
oested)
Observação
Alnico I 12 20 5 - Rest
. 440 7.200 1,4x106 Duro e frágil
Alnico II 10 17 12,5 6 Cu rest. 550 7.200 1,6x106 Duro e frágil
Alnico II
(sinterizado)
10 17 12,5 6 Cu rest. 520 6.900 1,4x106 Duro
Alnico III 12 25 - - rest. 450 6.700 1,38x106 Duro e frágil
Alnico IV 12 28 5,0 - rest. 700 5.500 1,3x106 Duro e frágil
Alnico V 8 14 24 3 Cu rest. 550 12.500 4,5x106 Duro e frágil
Alnico VI 8 15 24 3 Cu
1Ti
rest. 750 10.000 3,5x106 Duro e frágil
Alnico XII 6 18 35 8 Ti rest. 950 5.800 1,5x106 Duro e frágil
FONTE: CHIAVERINI, V. Tecnologia Mecânica, Vol. III, 1986.
2.3 CIRCUITOS MAGNÉTICOS
Analogamente ao circuito elétrico, que é o percurso da corrente elétrica, o
circuito magnético constitui-se no caminho do fluxo magnético. Estes circuitos
magnéticos são normalmente constituídos de uma bobina de N espiras, em cujo
núcleo de ar se coloca comumente material ferromagnético, conforme mostra a
figura 2.19 a seguir:
41
FIGURA 2.19 – Parte de um circuito magnético
FONTE: BOCCHETTI, P.; MENDEL, C.A. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, 1979.
Segundo comentários de Magaldi (1961), o mais simples exemplo de circuito
magnético é o denominado enrolamento toroidal, o qual encontra-se ilustrado na
figura 2.20. Neste tipo de circuito as linhas de força ficam totalmente encerradas no
seu volume, pois a permeabilidade do material é muito maior que a permeabilidade
do ar.
FIGURA 2.20 – Enrolamento toroidal
FONTE: MAGALDI, M. Noções de Eletrotécnica, 1961.
Porém, segundo comentários de Martin-Artajo (1964), para se obter o fluxo
magnético no volume disponível, da forma mais econômica e favorável possível,
utilizam-se materiais ferromagnéticos formados por um circuito fechado com
algumas descontinuidades - entreferro de ar ou de um fluido - que possibilitem o
movimento das peças mecânicas entre as quais é exercida a ação energética
desejada. Na figura 2.21 a seguir ilustra-se um circuito magnético deste tipo.
42
FIGURA 2.21 – Circuito magnético com entreferro FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
Para a produção do fluxo magnético é necessária uma força magnetomotriz,
simbolizada por fmm , que é i gual a I.N , que é medida pelo trabalho realizado
para transportar uma unidade de massa magnética em torno de um circuito
magnético fechado. Esta força magnetomotriz, pode ser constante ou variável no
tempo. Nesta pesquisa, optou-se por limitar o estudo ao caso dos circuitos com
f.m.m de regime constante ou “quase-estático”. Na seqüência apresentam-se os
principiais conceitos utilizados na resolução de problemas envolvendo circuitos
magnéticos deste tipo.
Em dispositivos magnéticos operando em baixa freqüência, na faixa de 50-
60 Hz, a radiação eletromagnética é usualmente desprezível. Podemos, então,
formular soluções simplificadas para as equações de Maxwell, que serão
denominadas de soluções “quase-estáticas”.
Por exemplo, considere um indutor de N espiras percorrido por uma
corrente de intensidade I . A lei de Ampère poderá ser escrita como:
Fe
SFe
Sg
g I
43
I.Nld.HC
=
, (2.33)
no qual C é um caminho fechado que passa pelo centro das espiras. A
equação (2.33) é formalmente idêntica à equação da lei de Faraday,
dtd
ld.EeC
Φ−==
(2.34)
Onde e é a força eletromotriz induzida pela variação temporal do fluxo
magnético Φ .
A analogia entre as leis de Faraday e Ampère também mostra que o fluxo
magnético é uma grandeza análoga à corrente elétrica. Da mesma forma, haverá um
análogo magnético da resistência elétrica, que será denominada de “relutância
magnética” e pode ser entendida como a resistência à passagem do fluxo
magnético. A relutância é denotada por ℜ e seu inverso é denominado “permeância
magnética”, denotada por P. A tabela 2.5 a seguir, resume vários pontos da
“analogia eletromagnética”.
TABELA 2.5. – “Equivalência” entre circuitos elétrico e magnético
Circuito Elétrico Circuito Magnético
corrente elétrica – I (A) fluxo magnético – Φ (Wb)
força eletromotriz – e (V) força magnetomotriz NI=ℑ− (Ae)
resistência elétrica – R (Ω) relutância magnética – ℜ (H-1)
condutância elétrica – G (S) permeância magnética – P (H)
Condutividade elétrica – σ (S/m) permeabilidade magnética – µ (H/m)
campo elétrico – E
(V/m) campo magnético H
– (Ae/m)
lei de Ohm – I.Re = lei de Ampère Φ.ℜ=ℑ
FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
44
Supondo um circuito magnético de caminho médio e área de seção reta
S , a relutância total pode ser escrita como,
S.µ=ℜ , (2.35)
Um circuito eletromagnético e um circuito elétrico série são ilustrados na
figura 2.22.
FIGURA 2.22 – A) Circuito eletromagnético
FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems,
FIGURA 2.22 – B) Circuito elétrico
FONTE: DEL TORO, V. Electromechanical Devices for Energy Conversion and Control Systems,
45
A relutância do ferro será,
FeFe
FeFe Sµ
=ℜ (2.36)
enquanto a relutância do entreferro será,
gg S
g
0µ=ℜ (2.37)
Uma aproximação útil, muitas vezes, é desprezar a relutância do ferro frente
à relutância do ar. Assim, toda a relutância do circuito magnético estará concentrada
no entreferro.
g
S.
Sg
g
g
gg
ℑ=ℑ=
ℜℑ≅ 0
0
µ
µ
Φ (2.38)
A indução magnética no entreferro será dada pela equação (2.39) abaixo:
gS.g
S..
SB
g
g
g
gg
ℑ=ℑ
== 00 µ
µΦ (2.39)
A relação acima, representada pela equação (2.39), mostra claramente que
entreferros estreitos resultarão em maiores induções magnéticas. Entreferros largos
diminuirão a indução magnética (ou densidade de fluxo magnético) por causa do
aumento da dispersão de fluxo, como mostrado na figura 2.23 abaixo.
FIGURA 2.23 – Dispersão do fluxo magnético FONTE: ALMEIDA, A. A. Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, CEFET-PR, 2003.
dispersão (ou “espraiamento do fluxo magnético”.
46
2.3.1 Perdas em Circuitos Eletromagnéticos
Consideremos um circuito magnético de comprimento magnético médio e
de seção magnética média S , no qual há um enrolamento de N espiras envolvidas
por uma corrente magnetizante I .
O rendimento ou eficiência deste conjunto é afetado pelas perdas de
potência que se verificam tanto no enrolamento de fio, comumente de cobre,
quando no circuito magnético propriamente dito. Assim, as perdas totais tP podem
ser expressas conforme a equação (2.40) a seguir.
ferrofiot PPP += (2.40)
As perdas no enrolamento serão dadas pela equação (2.41) abaixo.
2I.RPfio = (watts) (2.41)
onde R é a resistência do enrolamento, dada em .
Na seqüência apresentam-se as determinações das perdas no ferro
ocasionadas pela histerese magnética e por correntes parasitárias.
2.3.1.1 Perdas por histerese ( hP )
Quando um material ferromagnético é sujeito a uma magnetização alternada
há uma perda de energia que se transforma em calor e que é, por unidade de
volume, proporcional à área do ciclo de histerese cada vez que este é percorrido.
A potência perdida será proporcional à freqüência da corrente magnetizante.
Por outro lado, a área do ciclo é aproximadamente proporcional ao valor máximo da
47
indução magnética atingida mB elevado a uma potência que depende das
características do material ferromagnético e do numero de ciclos de histerese
desenvolvidos por unidade de tempo.
Estas perdas podem, então, ser calculadas, através da expressão (2.42)
abaixo:
xmhh B.f.kP = ; (2.42)
onde:
hP = perdas por histerese;
mB = indução magnética máxima;
f = freqüência histerética;
hk e x = constantes que dependem essencialmente da qualidade do
material ferromagnético.
2.3.1.2 Perdas por correntes parasitas (Foucault) ( fP )
A circulação de corrente alternada em enrolamentos cujos núcleos são de
material ferromagnético, dá origem a correntes circulantes na própria massa do
material, conseqüentes a forças eletromotrizes induzidas nessa mesma massa.
Estas correntes serão responsáveis pelo consumo de potência e calor no material
ferromagnético, de acordo com a lei de Joule.
Uma maneira de se atenuar o desenvolvimento destas correntes de Foucault
ou parasitas é não empregar núcleos maciços nos aparelhos de corrente alternada,
e sim usar núcleos ferromagnéticos formados por lâminas de espessura reduzida
(ordem de frações de milímetros), de material de alta resistividade, além de um
48
isolamento elétrico entre elas. As chapas laminadas são dispostas de modo a reduzir
as forças eletromotrizes induzidas e as respectivas intensidades das correntes.
Em um certo volume de material ferromagnético situado em um campo
magnético alternado e formado de chapas laminadas, tem-se que:
- a força eletromotriz induzida na chapa é proporcional à espessura d da
chapa, ao valor máximo mΦ do fluxo e à freqüência f ;
- a perda por efeito Joule ( RI 2 ) nas chapas é proporcional ao quadrado da
espessura “d”, ao quadrado da indução magnética máxima mB e ao quadrado da
freqüência f ;
- a perda total é proporcional ao volume do conjunto de chapas V .
Desta forma, as perdas para sistemas laminados, devido às correntes
parasitas, pode ser obtida através da expressão (2.43) a seguir:
.V.d.f.Bk P mef222= (2.43)
onde:
mB = indução magnética máxima;
f = freqüência da fonte alternativa;
d = espessura da cada lâmina;
V = volume do material ferromagnético;
ek = constate determinável experimentalmente, dependendo
evidentemente da resistividade do material ferromagnético.
Destaca-se que, as considerações acima apresentadas, aplicam-se apenas
a núcleos de chapas delgadas e não a núcleos maciços, nos quais as correntes de
Foucault podem distorcer fortemente o fluxo magnético.
49
2.4 MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS
O problema do ajuste de curvas consiste em dado um conjunto de pontos
tabelados (x, y), tentar obter uma função que seja uma “boa aproximação” para os
valores tabelados e que nos permita “extrapolar” com certa margem de segurança.
De acordo com Campos (1983), a técnica mais comumente utilizada para se
conseguir um melhor ajuste de curvas é o método dos mínimos quadrados, e, sendo
assim, o mesmo foi o escolhido para ser utilizado neste trabalho.
Neste método o objetivo é o de obter estimativas para os parâmetros da
função de ajuste das curvas de modo que os desvios ou resíduos sejam mínimos.
Para se aplicar o método dos mínimos quadrados, é necessário que se efetue uma
linearização do problema através de alguma transformação conveniente
(RUGGIERO E LOPES, 1996).
A descrição detalhada dos procedimentos efetuados para a obtenção das
funções de ajuste das curvas analisadas neste estudo, através da aplicação do
método dos mínimos quadrados, é apresentada no item 3.2.
2.5 MÉTODO ITERATIVO
Segundo Ruggiero e Lopes (1996), um método iterativo consiste de uma
seqüência de instruções que são executadas “passo a passo”, algumas das quais
são repetidas em ciclos, sendo que a execução de um ciclo recebe o nome de
iteração. Na aplicação desta técnica, cada iteração utiliza resultados das iterações
anteriores, e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um
resultado “próximo o suficiente” do resultado esperado.
50
Ainda conforme estes mesmos autores, observa-se que os métodos
iterativos fornecem apenas uma aproximação para a solução, enquanto os métodos
diretos, teoricamente, obtêm a solução exata da equação.
Os métodos iterativos para o refinamento da aproximação inicial para a raiz
exata podem ser colocados num diagrama de fluxo, conforma mostra a figura 2.24.
FIGURA 2.24 – Fluxograma dos métodos iterativos. FONTE: RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico. Aspectos Teóricos e
Computacionais, 1988.
Destaca-se que neste trabalho será necessário utilizar um método iterativo,
pois o problema a ser resolvido é do tipo uma equação a uma incógnita. A seguir
INÍCIO
SIM
NÃO
DADOS INICIAS
CÁLCULOS INICIAS
k= 1
ESSA APROXIMAÇÃO ESTÁ
“PROXIMA O SUFICIENTE”
DA RAIZ EXATA?
CÁLCULOS FINAIS
FIM
CÁLCULOS INTERMEDIÁRIOS
k = k+1
CALCULAR A NOVA APROXIMAÇÃO
51
apresenta-se uma descrição resumida dos principais métodos de iteração
estudados.
2.5.1 Método Iterativo de Gauss-Seidel
A forma como o método de Gauss-Seidel transforma o sistema linear Ax = b
em x = Cx + g é a seguinte (RUGGIERO E LOPES, 1996):
Tomemos o sistema linear original
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
. . . .
. . . .
. . . .
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn (2.44)
e supondo aii 0, i = 1, ..., n; isolemos o vetor x mediante a separação pela
diagonal; assim:
x1 = 1/a11 (b1 – a12x2 – a13x3 – ... – a1nxn)
x2 = 1/a22 (b2 – a21x1 – a23x3 – ... – a2nxn)
. . .
. . .
. . .
x3 = 1/ann (bn – an1x1 – an2x2 – ... - an,n-1xn-1) (2.45)
Desta forma temos x = Cx + g onde:
52
0 -a12 / a11 -a13 / a11 ....... -a1n / a11
-a21 / a22 0 -a23 / a22 ....... -a2n / a22 C = . . . . (2.46) . . . . . . . . -an1 / ann -an2 / ann -an3 / ann ....... 0
e
b1 / a11
b2 / a22 g = . (2.47) . . bn / ann
O processo iterativo do método de Gauss-Seidel consiste em, sendo x(0)
uma aproximação inicial, calcular x (1), x (2), ..., x (k), ...., por:
)xa....xaxab(a
x )k(nn
)k()k()k(13132121
11
11
1 −−−−=+
)xa....xaxab(a
x )k(nn
)k()k()k(2323
11212
22
12
1 −−−−= ++
)xa....xaxaxab(a
x )k(nn
)k()k()k()k(3334
1232
11313
33
13
1 −−−−= +++
. . .
)xa....xaxab(a
x )k(nn,n
)k(n
)k(nn
nn
)k(n
111
122
111
1 1 +−−
+++ −−−−= (2.48)
53
Portanto, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular
xj(k+1) usamos todos os valores de x1
(k+1), ...., xj-1(k+1) que já foram calculados e os
valores xj+1(k), ...., xn
(k) restantes.
2.5.2 Método de Newton-Raphson
É um método iterativo, e um dos mais usados e eficientes. A diferença de
outros métodos é que este não trabalha com um intervalo, mas se baseia em sua
fórmula no processo iterativo.
Suponhamos que temos a aproximação xi a raíz xr de f(x).
FIGURA 2.25 - Método Newton-Raphson
Traçamos a reta tangente a curva no ponto (xi, f(xi)); esta cruza o eixo “x”
no ponto xi+1 que será nossa próxima aproximação à raiz.
Para calcular o ponto xi+1, calculamos primeiro a equação da reta tangente.
Sabemos que:
m = f’(xi); (2.49)
54
e, portanto a equação da reta tangente é:
Y – f(xi) = f’ (xi) (x – xi) (2.50)
Fazendo y = 0
- f(xi) = f’(xi) (x – xi) (2.51)
e isolando x:
x = xi - f(xi) / f’(xi) , (2.52)
que é a fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular a seguinte
aproximação:
xi+1= xi - f(xi) / f’(xi), desde que f’(xi) ≠ 0 (2.53)
Note que o método de Newton-Raphson não trabalha com intervalos no qual
se assegure que encontrar-se-á a raiz; e, de fato, não se tem nenhuma garantia de
que aproximar-se-a da tal raiz. Entretanto, existem exemplos no qual este método
não converge para a raiz. Em tal caso se diz que o método diverge. No entanto, nos
casos onde se converge à raiz, o faz com uma rapidez impressionante; por isso é
um dos métodos preferidos por excelência.
Também observa-se que, se f’(xi) = 0, o método não pode ser aplicado. De
fato, vemos geometricamente que isto significa que a reta tangente é horizontal, e,
portanto, não intercepta o eixo “x” em nenhum ponto, a menos que coincida com
este, em cujo caso xi mesmo é uma raiz de f(xi).
55
2.5.3 Método da Secante
O método da secante é um método iterativo baseado no método de Newton-
Raphson, tendo como principal diferença o fato que no método de Newton-Raphson
precisa-se calcular a derivada da função a ser resolvida e, no da secante, não é
necessário a realização desta etapa.
Considerando esta vantagem de não ser necessário o cálculo da derivada,
optou-se por adotar este método para resolução do problema proposto neste
trabalho, sendo que o mesmo será descrito detalhadamente no item 3.3.1.
Neste trabalho foi necessário a utilização de método iterativo para a
resolução de problemas de circuitos magnéticos, onde se têm como dados a
corrente, o número de espiras, e as equações das curvas ajustadas dos materiais
que compõem o circuito em análise, obtendo-se como resultado o fluxo magnético.
Considerando que o problema em questão depois de devidamente equacionado se
resume a um problema do tipo, uma equação a uma incógnita, a solução do mesmo
não poderá ser obtida de forma direta, e sim através da realização de um processo
iterativo, até se obter o resultado desejado.
56
3 METODOLOGIA
3.1 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA
Basicamente, a resolução de circuitos magnéticos construídos com materiais
ferromagnéticos, envolve 2 tipos de problemas conforme especificado anteriormente.
Nesta seção faremos referência à metodologia para a resolução dos problemas onde
se conhece a corrente elétrica e se deseja conhecer o fluxo magnético por métodos
iterativos, onde se arbitra valores iniciais para B e se vai refinando a solução até a
convergência a um erro previamente especificado.
Considerando que temos os dados básicos, corrente I , número de espiras
N , área S , comprimento e tipo do material.
Como o valor do fluxo magnético Φ não pode ser determinado diretamente
porque deve ser conhecida a relutância de parte do circuito magnético, os quais só
podem ser conhecidos quando a densidade do fluxo é conhecido, o que significa que
o fluxo deve ser inicialmente conhecido, o que é claramente impossível.
Verifica-se então que, com os dados fornecidos, é possível obter a força
magnetomotriz ℑ , pois a mesma pode ser obtida com base na corrente I e do
número de espiras N , que são dados neste tipo de problema, conforme é
apresentado na equação (3.1) a seguir:
I.N=ℑ , (3.1)
onde:
ℑ é dado em ampère-espiras;
N é dado em espiras;
I é dado em ampère.
57
Além disto, esta força também pode ser expressa em função da somatória
do produto entre a intensidade do campo magnético H e o comprimento de cada
material que compõe o circuito em estudo, como mostra a equação (3.2) abaixo:
=
=ℑn
iii .H
1 (3.2)
onde:
iH é dado em ampère-espiras/metro;
i é dado em metro;
i representa cada material que compõe o circuito.
Por sua vez a intensidade do campo magnético H , possui uma relação com
a indução magnética B , dada pela seguinte equação µ/BH = . Porém, neste tipo
de problema a ser resolvido, o valor de B não é diretamente conhecido.
Contudo, este conjunto de pontos )H,B( pode também ser obtido através
da denominada curva de magnetização de materiais ferromagnéticos. Esta curva
pode ser matematicamente ajustada através do método dos mínimos quadrados,
fornecendo, então, uma equação )B(fH = . O detalhamento da metodologia
utilizado para o ajuste de curva será feito no item 3.2 a seguir.
Uma vez obtida a relação )B(fH = , através do ajuste da curva de
magnetização de cada material que compõe o circuito em estudo, é possível
substituir o valor de H na equação de (3.2) pelas respectivas equações
)B(fH ii = , resultando a expressão (3.3) a seguir:
( )[ ] i
n
iii .BfH
===ℑ
1 (3.3)
58
onde B é dado em tesla (ou Wb/m2)
Como se sabe, a indução magnética B pode ser expressa pela relação em
função do fluxo magnético Φ , dada pela equação ii S/B Φ= . Então, substituindo
esta relação na equação (3.3), obtém-se a expressão (3.4):
i
n
i ii .
SfH
=
==ℑ
1
Φ (3.4)
onde:
Φ é dado em weber;
iS é dado em metro quadrado.
Finalmente, substituindo a equação (3.1) na relação (3.4) acima, e igualando
a mesma zero, obtém-se a expressão a seguir:
( )=
−
==
n
ii
ii I.N.
SfH
10
Φ (3.5)
Observa-se que todas as variáveis que compõem esta equação são dados
conhecidos no problema, com exceção do fluxo magnético Φ . Portanto, tem-se o
seguinte problema a ser resolvido: uma equação a uma incógnita. Considerando
isto, a solução deste problema não poderá ser obtida de forma direta, e sim através
da realização de um processo iterativo, até se obter o resultado desejado.
Neste trabalho optou-se em utilizar o método da secante para realizar as
iterações necessárias para resolver o problema em questão. A aplicação deste
método será melhor explanada na seqüência.
Destaca-se que a equação (3.5) é válida para o caso em que o circuito
magnético a ser resolvido é composto por diferentes materiais ferromagnéticos.
Porém, caso o circuito seja composto por um ou mais materiais ferromagnéticos,
59
mais um entreferro, esta equação passa a ter um formato pouco diferente como
mostrado a seguir:
( )=
−+
==
n
ig
gi
ii I.N.
S.
SfH
1 00
µΦΦ
(3.6)
onde:
gS é a área do entreferro, dado em metro quadrado;
g é o comprimento do entreferro, dado em metro;
oµ é o coeficiente de permeabilidade do ar, cujo valor é 4.10-7 H/m.
Nota-se que no caso da equação (3.6) a única variável desconhecida é
também o fluxo magnético Φ . Logo, a solução da mesma deverá ser obtida através
da utilização de um método iterativo, como no caso anterior.
3.2 METODOLOGIA PARA O AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Para a obtenção da equação )B(fH = de um material ferromagnético,
deve-se partir de um conjunto de n pontos )B,H( que correspondem à curva de
magnetização fornecida pelo fabricante do material. De posse desses pontos, e
dependendo do modelo matemático da curva desejada, ajustam-se os coeficientes
pelo método dos mínimos quadrados.
Visando obter o melhor ajuste possível para a representação da curva de
magnetização na forma )B(fH = dos materiais estudados, foram testados
diversos modelos matemáticos, tais como polinomial de diversos graus, logarítmico,
exponencial, hiperbólico, entre outros. Após a realização de várias tentativas,
60
concluiu-se que os métodos mais adequados para o ajuste das curvas em estudo
resultaram ser o polinomial de diversos graus e o exponencial. Considerando isto, a
seguir, é apresentada de maneira resumida a descrição destes dois modelos
matemáticos utilizados neste estudo.
3.2.1 Método Polinomial
A seguir descreve-se resumidamente o procedimento algébrico para a
aproximação polinomial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983).
Seja a função )B(fH = uma função de grau n dada por valores
tabelados e )B(PH = a função polinomial de grau m a ser ajustada, dada por:
mm
mm B.aB.a...B.aB.aa)B(P +++++= −
−1
12
210 (3.7)
Sendo m < n.
Os coeficientes ia (i = 0, 1, 2, ....m) devem ser determinados de tal
modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima, isto é:
)B(P)B(fd jjj −= (3.8)
e
= =
=−==n
j
n
jjjj mínima))B(P)B(f(dZ
0 0
22 (3.9)
ou
mínima))Ba...BaBaa()B(f(Zn
j
mjmjjj =++++−=
=0
22210 (3.10)
61
onde Z é uma função das )m( 1+ variáveis independentes ia .
De acordo com a teoria dos máximos e mínimos, os valores ai que tornam
mínima a função Z são aqueles que anulam suas derivadas parciais primeiras e
tornam positivas suas derivadas parciais segundas, isto é:
=
=++++−−=∂∂ n
j
mjmjjjj ))B.a...B.aB.aa()B(f(B)(
aZ
0
2210
0
002
=
=++++−−=∂∂ n
j
mjmjjjj ))B.a...B.aB.aa()B(f(B)(
aZ
0
2210
1
102
=
=++++−−=∂∂ n
j
mjmjjjj ))B.a...B.aB.aa()B(f(B)(
aZ
0
2210
2
202
.
.
.
=
=++++−−=∂∂ n
j
mjmjjj
mj
m))B.a...B.aB.aa()B(f(B)(
aZ
0
2210 02 (3.11)
Desenvolvendo e fazendo k = i = 0, 1, 2, ...m, podemos escrever o sistema
anterior, como segue:
=
=++++−n
j
mjmjjj
kj ))Ba...BaBaa()B(f(B
0
2210 0 (3.12)
ou
= = = = =
+++ =++++n
j
n
j
n
j
n
j
n
jj
kj
mkjm
kj
kj
kj )B(f.BBa...BaBaBa
0 0 0 0 0
22
110 (3.13)
onde, para cada valor de k, temos uma equação do sistema.
62
É esta, portanto, a expressão genérica de um sistema normal simétrico de
)m( 1+ equações lineares, cuja solução conduz aos valores de ia (i = 0, 1, 2, ...m)
que tornam mínima a função Z .
O cálculo numérico envolvido na realização dos somatórios pode ser
sistematicamente arranjado na forma tabular seguinte:
TABELA 3.1 – Cálculos envolvidos no somatório
0jB 1
jB 2jB ... )B(fB jj
0 )B(fB jj1 )B(fB jj
2 ...
1 0B
20B …
0H 00 HB 020 HB …
1 1B 21B … 1H 11 HB 1
21 HB …
1 2B 22B … 2H 22 HB 2
22 HB …
.
.
.
.
1 nB 2nB … nH nn HB nn HB2
=
n
jjB
0
0 =
n
jjB
0
1 =
n
jjB
0
2 ... =
n
jjj )B(fB
0
0 =
n
jjj )B(fB
0
1 =
n
jjj )B(fB
0
2 ...
FONTE: CAMPOS, L. B. Cálculo Numérico, 1983.
3.2.2 Método Exponencial
A seguir apresenta-se a seqüência de cálculo para o ajustamento
exponencial pelo método dos mínimos quadrados (CAMPOS, 1983).
Seja a função )B(fH = uma função do tipo exponencial dada por valores
tabelados e )B(PH = a função exponencial a ser ajustada, dada por:
B.ae.a)B(P 10= (3.14)
63
na qual 0a e 1a são constantes a determinar de maneira apropriada aos
dados.
Para este tipo de função, o ajuste será feito transformando-a em um
polinômio de primeiro grau com o auxílio de logaritmos decimais, como segue:
B.aa.log)B(flog 10 += (3.15)
Basta agora, resolver o sistema incompatível:
ii B.aa.log)B(flog 10 += , (3.16)
com i = 0, 1, 2, .... n, isto é:
0100 B.aa.log)B(flog +=
1101 B.aa.log)B(flog +=
2102 B.aa.log)B(flog +=
. . .
nn B.aa.log)B(flog 10 += (3.17)
3.3 METODOLOGIA UTILIZADA PARA A REALIZAÇÃO DO PROCESSO
ITERATIVO
3.3.1 Método da Secante
Os princípios teóricos deste método foram baseados no método de Newton-
Raphson, diferindo do mesmo somente na forma da função de iteração.
64
O que o método de Newton-Raphson faz, na tentativa de garantir e acelerar
a convergência do processo iterativo, é utilizar uma função de interação )B(ϕ dada
pela seguinte expressão (RUGGIERO E LOPES, 1996):
)B('f)B(f
B)B( −=ϕ (3.18)
Como pode ser observado, no método de Newton-Raphson, a função de
iteração é composta pela derivada )B('f da equação a ser resolvida, o que
constitui uma grande desvantagem, pois resulta necessário obter )B('f e calcular
seu valor numérico a cada iteração.
O que o método da Secante faz, de tal forma a contornar este problema, é
substituir a derivada )B('f k pelo quociente das diferenças:
1
1
−
−
−−≈
kk
kkk BB
)B(f)B(f)B('f (3.19)
onde kB e 1−kB são duas aproximações para a raiz.
Então, no método da secante, a função de iteração fica (RUGGIERO E
LOPES, 1996):
=
−−
−=
−
−
1
1
kk
kk
kkk
BB)B(f)B(f
)B(fB)B(ϕ (3.20)
)BB()B(f)B(f
)B(fB kk
kk
kk 1
1−
−−
−− (3.21)
ou ainda:
65
)B(f)B(f)B(fB)B(fB
)B(kk
kkkkk
1
11
−
−−
−−
=ϕ (3.22)
Visto que o método da secante é uma aproximação para o método de
Newton-Raphson, as condições para a convergência do método são praticamente as
mesmas; acrescenta-se ainda que o método pode divergir se )B(f)B(f kk 1−≈ .
A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do
método de Newton-Raphson (RUGGIERO E LOPES, 1996).
66
4 RESULTADOS
Os resultados deste estudo foram divididos em 2 seções. Primeiramente
serão apresentados os resultados obtidos no processo de ajuste das curvas de
magnetização dos materiais considerados neste caso. Logo depois, será
apresentado o programa computacional confeccionado para facilitar a resolução do
problema sobre circuito magnético proposto, onde se conhece a corrente elétrica e
se deseja conhecer o fluxo magnético, através da utilização de método iterativo.
4.1 AJUSTES DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
Neste estudo foram ajustadas as curvas de magnetização dos seguintes
materiais ferromagnéticos: aço fundido, aço-silício, liga ferro-níquel. Estes materiais
foram escolhidos devido à disponibilidade de suas respectivas curvas de
magnetização. Cabe mencionar que uma das dificuldades encontradas no princípio
da elaboração deste projeto foi a obtenção das curvas a serem modeladas.
Inicialmente procurou-se conseguir estas curvas junto a fabricantes deste
tipo de materiais, através da realização de diversos contatos telefônicos e por meio
de correio eletrônico, porém, não houve nenhum retorno favorável. Também foram
realizadas pesquisas na internet, acessando-se os acervos eletrônicos de várias
universidades, não sendo obtido um resultado satisfatório considerando as
condições requeridas. Optou-se, então, em utilizar as curvas que estivessem
disponíveis na literatura. Novamente neste caso encontraram-se dificuldades, pois a
maioria das curvas apresentadas na literatura se encontra em tamanhos muito
pequenos ou em escalas inadequadas, não possuindo as condições necessárias e
67
suficientes para a obtenção gráfica, e de maneira correta, do conjunto de pontos que
serão utilizados como base para o ajuste matemático destas curvas.
Finalmente, após intensa pesquisa, logrou-se encontrar umas curvas que
reunissem as condições mínimas para a sua utilização. Nas figuras a seguir
apresentam-se estas curvas, as quais foram utilizadas para a obtenção gráfica do
conjunto de pontos a serem ajustados por modelos matemáticos.
FIGURA 4.1 – Curvas B-H utilizadas (H < 400 A/m)
FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981.
68
FIGURA 4.2 – Curvas B-H utilizadas (H > 400 A/m)
FONTE: EDMINISTER, J. A. Eletromagnetismo, 1981.
Uma vez obtido graficamente o conjunto de pontos )H,B( da figura acima
apresentada, para cada material selecionado (aço fundido, aço-silício, liga ferro-
níquel), procedeu-se a realização do ajuste das respectivas curvas. Neste estudo,
optou-se por fazer o ajuste invertendo os eixos da curva de magnetização, de tal
forma a obter equações em que o campo magnético H fique em função da indução
magnética B , ou seja, )B(fH = .
O ajuste de cada uma destas 3 curvas foi realizado pelo método dos
mínimos quadrados, sendo cada curva novamente dividida em alguns trechos de tal
forma a se obter um melhor ajuste aos pontos graficamente obtidos. A seguir
apresenta-se a seqüência de cálculo executada para a obtenção da equação relativa
69
ao primeiro trecho da curva de magnetização do material aço fundido.
Neste caso, o modelo matemático que melhor se ajustou aos pontos
graficamente obtidos foi o polinomial de 2ºgrau, tendo-se obtido um coeficiente de
determinação R2 igual a 0,99989953. Ou seja, R2 1, indicando que a equação
obtida possui uma excelente correlação com os pontos que a deram origem.
Dada a função )B(fH = pelos valores tabelados seguintes:
TABELA 4.1 – Conjunto de pontos (B, H) obtidos graficamente
B (T) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50
H (A/m) 185 193 202,5 212 221 228 238 247,5 257 266 276
B (T) 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70
H (A/m) 285 295 305 315 325 335 347 357,5 368 380
Partindo da equação de polinômio de 2o grau:
2210 B.aB.aaH ++= (4.1)
Obtém-se o sistema incompatível:
P (0,30) ≅ 185,0 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2
P (0,32) ≅ 193,0 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2
P (0,34) ≅ 202,5 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2
P (0,36) ≅ 212,0 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2
P (0,38) ≅ 221,0 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2
P (0,40) ≅ 228,0 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2
P (0,42) ≅ 238,0 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2
P (0,44) ≅ 247,5 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2
70
P (0,46) ≅ 257,0 = a0 + 0,46.a1 +0,2116.a2
P (0,48) ≅ 266,0 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2
P (0,50) ≅ 276,0 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2
P (0,52) ≅ 285,0 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2
P (0,54) ≅ 295,0 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2
P (0,56) ≅ 305,0 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2
P (0,58) ≅ 315,0 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2
P (0,60) ≅ 325,0 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2
P (0,62) ≅ 335,0 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2
P (0,64) ≅ 347,0 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2
P (0,66) ≅ 357,5 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2
P (0,68) ≅ 368,0 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2
P (0,70) ≅ 380,0 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 (4.2)
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
j
n
j
n
j
n
j
n
jj
kj
mkjm
kj
kj
kj H.BBa......BaBaBa
0 0 0 0 0
22
110 (4.3)
onde n+1 = 21 e m+1 =3
ou n = 20 e m = 2,
obtém-se o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0,1,2:
= = = =
=++20
0
20
0
20
0
20
0
022
11
00
j j j jjjjjj H.BBaBaBa
71
= = = =
=++20
0
20
0
20
0
20
0
132
21
10
j j j jjjjjj H.BBaBaBa
= = = =
=++20
0
20
0
20
0
20
0
242
31
20
j j j jjjjjj H.BBaBaBa (4.4)
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
TABELA 4.2 – Cálculos envolvidos no somatório
0jB 1
jB 2jB 3
jB 4jB jj HB0 jjHB1 jj HB 2
1 0,30 0,0900 0,027000 0,00810000 185,0 55,50 16,6500
1 0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 193,0 61,76 19,7632
1 0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 202,5 68,85 23,4090
1 0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 212,0 76,32 27,4752
1 0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 221,0 83,98 31,9124
1 0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 228,0 91,20 36,4800
1 0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 238,0 99,96 41,9832
1 0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 247,5 108,90 47,9160
1 0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 257,0 118,22 54,3812
1 0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 266,0 127,68 61,2864
1 0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 276,0 138,00 69,0000
1 0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 285,0 148,20 77,0640
1 0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 295,0 159,30 86,0220
1 0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 305,0 170,80 95,6480
1 0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 315,0 182,70 105,9660
1 0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 325,0 195,00 117,0000
1 0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 335,0 207,70 128,7740
1 0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 347,0 222,08 142,1312
1 0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 357,5 235,95 155,7270
1 0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 368,0 250,24 170,1632
1 0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 380,0 266,00 186,2000
=
=20
0j 21 10,5 5,558 3,087 1,78260656 5838,5 3068,34 1694,952
72
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
21a0 + 10,5a1 + 5,558a2 = 5838,50 (4.5)
10,5a0 + 5,558a1 + 3,087a2 = 3068,34 (4.6)
5,558a0 + 3,087a1 + 1,7826a2 = 1694,952 (4.7)
Resolvendo este sistema, obtém-se:
a0 = 75,7788
a1 = 315,0037
a2 = 169,0547
Por conseguinte, o polinômio de 2o grau resultante será:
H ≅ P (B) = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2 (4.8)
Para os demais trechos da curva do material aço fundido, assim como para
os trechos das curvas dos outros 2 materiais estudados (aço-silício e liga ferro-
níquel), o ajuste foi realizado seguindo o mesmo procedimento, sendo a seqüência
de cálculos dos mesmos apresentados no apêndice A.
Na tabela 4.3 a seguir apresenta-se o resumo das equações que obtiveram
o melhor ajuste possível para as curvas estudadas, em cada um dos trechos
definidos, assim como o intervalo de validade de cada uma destas equações e o seu
respectivo coeficiente de correlação. Neste caso, a validade das equações refere-se
ao intervalo da variável indução magnética B , cuja unidade está dada em Tesla,
para o qual cada equação deve ser aplicada.
73
TABELA 4.3 – Equações H = f (B) ajustadas para os materiais estudados
Material Trecho Equação Validade de
B (tesla)
1 H = 75,7788 + 315,0037B + 169,0547B2 0,30 – 0,70
2 H = 77,438923453.e2,24549176471.B 0,71 – 1,35 Aço
Fundido
3
H = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B +
12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 +
988439,644250259B4
1,36 – 1,64
1 H = 42,0797325318 + 66,7465516057B –
130,353109319B2 + 189,152874234B3 0,30 – 1,00
2 H = -13623,8893419 + 39254,338514B –
37614,401836B2 + 12150,3071265B3 1,01 – 1,35
Aço
Silício
3 H = 0,00435948960721.e8,87301525055.B 1,36 –1,60
1
H = -0,103507768172 + 6,42724180862B +
99,5502341747B2 – 252,138896127B3 +
194,761521740B4
0,30 – 0,90
2 H = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B 0,91 – 1,43
3
H = 90093554,9665743 – 249495796,175507B +
259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 +
20702515,7313797B4
1,44 – 1,54
Ferro-
Níquel
4 H = 1,54 1,54 – 1,54
Nas figuras a seguir apresentam-se as curvas ajustadas para cada material
estudado, assim como os pontos obtidos graficamente da literatura.
74
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000
H (A/m)
B (T
esla
)
Curva ajustada Pontos obtidos graficamente
FIGURA 4.3 – Curva de magnetização – Aço fundido.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000
H (A/m)
B (T
esla
)
Curva ajustada Pontos obtidos graficamente
FIGURA 4.4 – Curva de magnetização – Aço-silício.
75
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000
H (A/m)
B (T
esla
)
Curva ajustada Pontos obtidos graficamente
FIGURA 4.5 – Curva de magnetização – Liga ferro-níquel.
4.2 PROGRAMA COMPUTACIONAL.
Nesta seção apresenta-se o algoritmo do programa computacional
concebido de tal forma a automatizar a resolução do problema em questão, para o
qual resulta necessário a execução de um processo iterativo. O software Visual
Basic for Applications, do Excel foi utilizado para o desenvolvimento deste programa,
pois a mesma constitui-se numa ferramenta bastante acessível e de fácil aplicação,
sendo uma das linguagens mais utilizadas na atualidade. Além disto, será
apresentado também um exemplo numérico utilizando o programa computacional
desenvolvido, de tal forma a ilustrar a sua aplicabilidade.
4.2.1 Algoritmo do Programa Computacional em “Visual Basic”
Na figura 4.6 apresenta-se o algoritmo que ilustra a seqüência do programa
computacional desenvolvido visando automatizar a resolução do problema proposto.
76
Dados de Entrada: N, I, lk, Sk, H(i,k) = f[(B(i,k)] da curva B-H.
onde: k = 1, 2, 3 (tipos de materiais) i = 1, 2, 3 (trechos em que a curva B-H foi ajustada)
Força magnetomotriz (f.m.m.): I.N=ℑ
Fluxo Magnético () e Indução Magnética (B) - Valores Inicias: 1 = 0 ; 2 = 1
kk, S
B 11
Φ= ; k
k, SB 2
2Φ=
Equações bases para o processo iterativo:
( ) ( )[ ] =
−×==3
111
kkk, I.Nk,iBfk,iHF
( ) ( )[ ] =
−×==3
122
kkk, I.Nk,iBfk,iHF
onde i = trecho 1 para todos os materiais no primeiro processo iterativo, podendo variar na seguinte etapa em função da validade da equação de cada trecho de cada material.
k
'k S
'B
Φ=
( ) ( )[ ] =
=−×==
3
1
k
kk I.Nk,i'Bfk,iH'F
000010 ,'F <21 ΦΦ = 'ΦΦ =2
sim
não
'kB obtidos estão dentro do intervalo de validade das
equações H = f(B) utilizadas
Equação de Iteração: ( ) ( )[ ]
( )12
1221
FFFF
'−
×−×= ΦΦΦ
Substituir H(i,k) = f[B(i,k)] pela equação ajustada para o trecho subseqüente
não
sim
Apresentação dos Resultados
Cálculo dos Dados de Saída: ; Bk ; Hk ; k
Fim
FIGURA 4.6 – Algoritmo relativo ao programa computacional desenvolvido.
77
4.2.2 Exemplo Numérico da Aplicação do Programa Computacional
Para exemplicar a aplicação do programa computacional desenvolvido,
apresenta-se a seguir a resolução de um circuito magnético composto por um núcleo
com três materiais ferromagnéticos, conforme ilustrado na figura 4.7 a seguir. Já nas
figuras 4.8 e 4.9 apresentam-se as caixas de entrada de dados e de saída dos
resultados, os quais fazem parte do programa computacional desenvolvido,
preenchidas respectivamente com as informações relativas ao exemplo numérico
proposto para ser resolvido.
FIGURA 4.7 – Circuito magnético proposto para ser resolvido
S = 0,001m2
I=0,8A
SiAço− = 0,1m.
FundidoAço− = 0,2m
NiFe− = 0,3m
+E
R
N=100
78
FIGURA 4.8 – Entrada de Dados do programa
FIGURA 4.9 – Saída de Resultados do programa
79
5 CONCLUSÃO
O estudo das curvas B-H mostrou-se bastante interessante, pois trata-se de
um assunto abordado e utilizado em diversas disciplinas do curso, tais como
Eletromagnetismo e Conversão Eletromecânica. A visão mais prática adquirida ao
longo deste trabalho, agregada aos conhecimentos teóricos, facilitará o uso
profissional dos conceitos estudados.
Quanto às dificuldades encontradas na realização deste estudo, cabe
mencionar que não foi fácil encontrar curvas B-H que reunissem as condições
necessárias para a sua utilização. Como o contato com fabricantes de materiais
magnéticos não teve sucesso, optou-se, então, por utilizar os dados de gráficos
encontrados na literatura.
Na seqüência fez-se o ajuste das curvas selecionadas para o estudo. Esta
etapa foi bastante trabalhosa, utilizando-se para o ajuste de curvas o método dos
mínimos quadrados. Uma vez realizado os ajustes das curvas, o trabalho incluiu o
desenvolvimento de um programa computacional que possibilitasse a resolução do
problema proposto, para o qual resulta necessário a aplicação de um método
iterativo. Este programa foi implementado utilizando o software Visual Basic for
Applications, do Excel.
Considera-se que a solução apresentada é de grande relevância,
principalmente para ser utilizada em aplicações didáticas, pois o que se encontra
mais freqüentemente na literatura são estudos que adotam técnicas mais
complexas, como a dos elementos finitos, cujo emprego requer um conhecimento
profundo de modelagem matemática.
Finalmente, os algoritmos apresentados permitirão a extensão para
80
trabalhos futuros. A partir das curvas de magnetização modeladas, por exemplo,
pode-se construir curvas de histerese e, a partir delas analisar numericamente a
distorção de conteúdo harmônico produzida por um núcleo ferromagnético.
81
6 REFERÊNCIAS
BASTOS, J. P. A. Eletromagnetismo e Cálculo de Campos. 2da. Edição. Editora Universidade Federal de Santa Catarina, 1992. BOCCHETTI, Paulo; MENDEL, Carlos Alberto. Eletrodinâmica e Eletromagnetismo. Exped, Rio de Janeiro, 1979. 193p. CAMPOS, Ladislau B. Cálculo Numérico. 1a Edição, Vol. 2. 1983. 455p. CHIAVERINI, Vicente, Tecnologia Mecânica. 2 a Edição, 1986.388p. DEL TORO, Vincent. Electromechanical Devices for Energy Conversión and Control Systems. Prentice-Hall, INC. New Jersey. 611p. EDMINISTER, Joseph A. Eletromagnetismo. Mc Graw Hill, 1981. 232p. FITZGERALD, A.E; KINGSLEY, C. Kusko, A. Máquinas Elétricas – Conversão Eletromecânica de Energia, Processos, Dispositivos e Sistemas. Makron Books, São Paulo, 1993. GRAY, Alexander; WALLACE, G. A. Eletrotécnica. 7. ed.: Editora Livros Técnicos e Científicos, 1983. HALLIDAY, David. Fundamentos de Física. Vol 3. 4. ed.: LTC, 1983. KOLTERMANN, Paulo Irineu. Cálculo de Campos Magnéticos Considerando Histerese. Tese de Doutorado em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2001. 99p. LEITE, Jean Vianei. Análise De Módulos Diferenciais de Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução. Dissertação em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brasil, 2002. 92p. NASAR, Syed A. Máquinas Elétricas. Mc Graw Hill, 1984.
82
MACEDO, Annita. Eletromagnetismo. Editora Guanabara S. A., Rio de Janeiro. 1988. 638p. MAGALDI, Miguel. Noções de Eletrotécnica. 2a. Edição. Editora Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1961. 392p. MARTIN, J. I. Campos Elétricos Y Magnéticos. 1964. 658p. MARTINS, Nelson. Introdução À Teoria Da Eletricidade E Do Magnetismo. 2a. edição, editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo, 1975. MENEZES, Amaury Alves. Eletrotécnica. Editora Livros Técnicos e Científicos, 1981. 348p. PLONUS, M. A. Applied Eletromagnetics. McGraw Hill, Tóquio, Japan, 1978 . RUGGIERO, Márcia A. G.; LOPE, Vera L. R. Cálculo Numérico. Mc Graw Hill, Sao Paulo, 1988. 406p. SADIKU, Matthew N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 3ª. Edição. Editora Bookman. 2004. 687p. SCHIMIDT, Walfredo. Materiais Elétricos. 1a. Edição Vol. 2, 1979. 166p. SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark W.; YOUNG, Hugh D. Física 3 – Eletricidade e Magnetismo. 2a. Edição, LTC Editora, 1984. 771p. REITZ, Jonh R.; MILFORD Frederick J.; CHRISTY, Robert W. Fundamentos da Teoria Eletromagnética. Editora Campos, 1982. 516p. TERADA, Routo. Introdução à Computação e à Construção de Algoritmos. Makron Books, 1992
83
APÊNDICE A – AJUSTE DAS CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO
84
• Ajuste de curva do trecho 2 do aço fundido.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90
H (A/m) 380 392,5 410 425 440 465 480 510 535 560 585
B (T) 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14
H (A/m) 610 645 670 700 735 770 805 840 875 910 955 990
B (T) 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36
H (A/m) 1045 1085 1140 1185 1245 1305 1370 1435 1505 1590 1675
Partindo da equação exponencial:
H = a0. ea1.B
Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação
exponencial, obtemos o sistema de 34 equações a 2 incógnitas:
ln Hi = ln a0 + a1. Bi
Obtemos o sistema incompatível:
P (0,70) ≅ ln 380,0 = ln a0 + 0,70.a1
P (0,72) ≅ ln 392,5 = ln a0 + 0,72.a1
P (0,74) ≅ ln 410,0 = ln a0 + 0,74.a1
P (0,76) ≅ ln 425,0 = ln a0 + 0,76.a1
P (0,78) ≅ ln 440,0 = ln a0 + 0,78.a1
P (0,80) ≅ ln 465,0 = ln a0 + 0,80.a1
P (0,82) ≅ ln 480,0 = ln a0 + 0,82.a1
85
P (0,84) ≅ ln 510,0 = ln a0 + 0,84.a1
P (0,86) ≅ ln 535,0 = ln a0 + 0,86.a1
P (0,88) ≅ ln 560,0 = ln a0 + 0,88.a1
P (0,90) ≅ ln 585,0 = ln a0 + 0,90.a1
P (0,92) ≅ ln 610,0 = ln a0 + 0,92.a1
P (0,94) ≅ ln 645,0 = ln a0 + 0,94.a1
P (0,96) ≅ ln 670,0 = ln a0 + 0,96.a1
P (0,98) ≅ ln 700,0 = ln a0 + 0,98.a1
P (1,00) ≅ ln 735,0 = ln a0 + 1,00.a1
P (1,02) ≅ ln 770,0 = ln a0 + 1,02.a1
P (1,04) ≅ ln 805,0 = ln a0 + 1,04.a1
P (1,06) ≅ ln 840,0 = ln a0 + 1,06.a1
P (1,08) ≅ ln 875,0 = ln a0 + 1,08.a1
P (1,10) ≅ ln 910,0 = ln a0 + 1,10.a1
P (1,12) ≅ ln 955,0 = ln a0 + 1,12.a1
P (1,14) ≅ ln 990,0 = ln a0 + 1,14.a1
P (1,16) ≅ ln 1045,0 = ln a0 + 1,16.a1
P (1,18) ≅ ln 1085,0 = ln a0 + 1,18.a1
P (1,20) ≅ ln 1140,0 = ln a0 + 1,20.a1
P (1,22) ≅ ln 1185,0 = ln a0 + 1,22.a1
P (1,24) ≅ ln 1245,0 = ln a0 + 1,24.a1
P (1,26) ≅ ln 1305,0 = ln a0 + 1,26.a1
P (1,28) ≅ ln 1370,0 = ln a0 + 1,28.a1
P (1,30) ≅ ln 1435,0 = ln a0 + 1,30.a1
86
P (1,32) ≅ ln 1505,0 = ln a0 + 1,32.a1
P (1,34) ≅ ln 1590,0 = ln a0 + 1,34.a1
P (1,36) ≅ ln 1675,0 = ln a0 + 1,36.a1
Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem:
5,94017125272 = a2 + 0,70.a1
5,97253653722 = a2 + 0,72.a1
6,01615711597 = a2 + 0,74.a1
6,05208916892 = a2 + 0,76.a1
6,08677472691 = a2 + 0,78.a1
6,14203740559 = a2 + 0,80.a1
6,17378610390 = a2 + 0,82.a1
6,23441072572 = a2 + 0,84.a1
6,28226674690 = a2 + 0,86.a1
6,32793678373 = a2 + 0,88.a1
6,37161184723 = a2 + 0,90.a1
6,41345895717 = a2 + 0,92.a1
6,46925031680 = a2 + 0,94.a1
6,50727771239 = a2 + 0,96.a1
6,55108033504 = a2 + 0,98.a1
6,59987049921 = a2 + 1,00.a1
6,64639051485 = a2 + 1,02.a1
6,69084227742 = a2 + 1,04.a1
6,73340189184 = a2 + 1,06.a1
6,77422388636 = a2 + 1,08.a1
6,81344459951 = a2 + 1,10.a1
87
6,86171134048 = a2 + 1,12.a1
6,89770494313 = a2 + 1,14.a1
6,95177216440 = a2 + 1,16.a1
6,98933526597 = a2 + 1,18.a1
7,03878354139 = a2 + 1,20.a1
7,07749805357 = a2 + 1,22.a1
7,12689080890 = a2 + 1,24.a1
7,17395831976 = a2 + 1,26.a1
7,22256601882 = a2 + 1,28.a1
7,26892012819 = a2 + 1,30.a1
7,31654817718 = a2 + 1,32.a1
7,37148929521 = a2 + 1,34.a1
7,42356844426 = a2 + 1,36.a1
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 34 e m+1 = 2,
ou n = 33 e m = 1,
obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1:
= = =
=+33
0j
33
0j
33
0jj
0j
1j1
0j2 HBBaBa
= = =
=+33
0j
33
0j
33
0jj
1j
2j1
1j2 HBBaBa
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
88
0jB 1
jB 2jB j
0j HB j
1jHB
1 0,70 0,49 5,940171253 4,158119877 1 0,72 0,52 5,972536537 4,300226307 1 0,74 0,55 6,01615716 4,451956298 1 0,76 0,58 6,052089169 4,599587768 1 0,78 0,61 6,086774727 4,747684287 1 0,80 0,64 6,142037406 4,913629924 1 0,82 0,67 6,173786104 5,062504605 1 0,84 0,71 6,234410726 5,23690501 1 0,86 0,74 6,282266747 5,402749402 1 0,88 0,77 6,327936784 5,56858437 1 0,90 0,81 6,371611847 5,734450663 1 0,92 0,85 6,413458957 5,900382241 1 0,94 0,88 6,469250317 6,081095298 1 0,96 0,92 6,507277712 6,246986604 1 0,98 0,96 6,551080335 6,420058728 1 1,00 1,00 6,599870499 6,599870499 1 1,02 1,04 6,646390515 6,779318325 1 1,04 1,08 6,690842277 6,958475969 1 1,06 1,12 6,733401892 7,137406005 1 1,08 1,17 6,774223886 7,316161797 1 1,10 1,21 6,8134446 7,494789059 1 1,12 1,25 6,86171134 7,685116701 1 1,14 1,30 6,897704943 7,863383635 1 1,16 1,35 6,951772164 8,064055711 1 1,18 1,39 6,989335266 8,247415614 1 1,20 1,44 7,038783541 8,44654025 1 1,22 1,49 7,077498054 8,634547625 1 1,24 1,54 7,126890809 8,837344603 1 1,26 1,59 7,17395832 9,039187483 1 1,28 1,64 7,222566019 9,244884504 1 1,30 1,69 7,268920128 9,449596167 1 1,32 1,74 7,316548177 9,657843594 1 1,34 1,80 7,371489295 9,877795656 1 1,36 1,85 7,423568444 10,09605308
=
33
0j
34 35,02 37,3796 226,519766 236,2547077
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
34a2 + 35,02a1 = 226,519766
35,02a2 + 37,3796a1 = 236,2547077
89
Resolvendo este sistema, temos:
a2 = ln a0 = 4,34948954118 => a0 = 77,438923453
a1 = 2,24549176471
Por conseguinte, a equação ajustada será:
H ≅ P (B) = 77,438923453.e2,24549176471.B
90
• Ajuste de curva do trecho 3 do aço fundido.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50
H (A/m) 1675 1770 1870 2025 2180 2350 2550 2740
B (T) 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60 1,62 1,64
H (A/m) 2950 3250 3530 3900 4375 5000 5700
Partindo da equação de polinômio de 4o grau:
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
Obtemos o sistema incompatível:
P (1,36) ≅ 1675,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3 + 3,421020.a4
P (1,38) ≅ 1770,0 = a0 + 1,38.a1 + 1,9044.a2 + 2,628072.a3 + 3,626739.a4
P (1,40) ≅ 1870,0 = a0 + 1,40.a1 + 1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,841600.a4
P (1,42) ≅ 2025,0 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,065869.a4
P (1,44) ≅ 2180,0 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,299817.a4
P (1,46) ≅ 2350,0 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,543719.a4
P (1,48) ≅ 2550,0 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,797852.a4
P (1,50) ≅ 2740,0 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,062500.a4
P (1,52) ≅ 2950,0 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,337948.a4
P (1,54) ≅ 3250,0 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,624487.a4
P (1,56) ≅ 3530,0 = a0 + 1,56.a1 + 2,4336.a2 + 3,796416.a3 + 5,922409.a4
P (1,58) ≅ 3900,0 = a0 + 1,58.a1 + 2,4964.a2 + 3,944312.a3 + 6,232013.a4
P (1,60) ≅ 4375,0 = a0 + 1,60.a1 + 2,5600.a2 + 4,096000.a3 + 6,553600.a4
91
P (1,62) ≅ 5000,0 = a0 + 1,62.a1 + 2,6244.a2 + 4,251528.a3 + 6,887475.a4
P (1,64) ≅ 5700,0 = a0 + 1,64.a1 + 2,6896.a2 + 4,410944.a3 + 7,233948.a4
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 15 e m+1 = 5,
ou n = 14 e m = 4,
obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2,
3, 4:
= = = ===
=++++14
0j
14
0j
14
0j
14
0jj
0j
14
0j
4j4
14
0j
3j3
2j2
1j1
0j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ===
=++++14
0j
14
0j
14
0j
14
0jj
1j
14
0j
5j4
14
0j
4j3
3j2
2j1
1j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ===
=++++14
0j
14
0j
14
0j
14
0jj
2j
14
0j
6j4
14
0j
5j3
4j2
3j1
2j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ==
==
=++++14
0j
14
0j
14
0j
14
0jj
3j
14
0j
70j4
14
0j
6j3
5j2
4j1
3j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ==
==
=++++14
0j
14
0j
14
0j
14
0jj
4j
14
0j
80j4
14
0j
7j3
6j2
5j1
4j0 H.BBaBaBaBaBa
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
92
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem:
15a0 + 22,5a1 + 33,862a2 + 51,129a3 + 77,45099632a4 = 45865
22,5a0 + 33,862a1 + 51,129a2 + 77,45099632a3 + 117,6974724a4 = 70274,1
33,862a0 + 51,129a1 + 77,45099632a2 + 117,6974724a3 + 179,41489945696a4 = 108000,174
51,129a0 + 77,45099632a1 + 117,6974724a2 + 179,41489945696a3 + 274,32656369808a4 = 166465,42644
77,45099632a0 + 117,6974724a1 + 179,41489945696a2 + 274,32656369808a3 + 420,686342943339a4 = 257304,1905528
0jB 1
jB 2jB 3
jB 4jB 5
jB 6jB 7
jB 8jB HB0
j HB1j HB2
j HB3j HB4
j
1 1,36 1,8496 2,515456 3,42102016 4,652587418 6,327518888 8,605425688 11,70337894 1675 2278,0 3098,080 4213,38880 5730,208768
1 1,38 1,9044 2,628072 3,62673936 5,004900317 6,906762437 9,531332163 13,15323839 1770 2442,6 3370,788 4651,68744 6419,328667
1 1,40 1,9600 2,744000 3,84160000 5,378240000 7,529536000 10,54135040 14,75789056 1870 2618,0 3665,200 5131,28000 7183,792000
1 1,42 2,0164 2,863288 4,06586896 5,773533923 8,198418171 11,64175380 16,53129040 2025 2875,5 4083,210 5798,15820 8233,384644
1 1,44 2,0736 2,985984 4,29981696 6,191736422 8,916100448 12,83918465 18,48842589 2180 3139,2 4520,448 6509,44512 9373,600973
1 1,46 2,1316 3,112136 4,54371856 6,633829098 9,685390482 14,14067010 20,64537835 2350 3431,0 5009,260 7313,51960 10677,73862
1 1,48 2,1904 3,241792 4,79785216 7,100821197 10,50921537 15,55363875 23,01938535 2550 3774,0 5585,520 8266,56960 12234,52301
1 1,50 2,2500 3,375000 5,06250000 7,593750000 11,39062500 17,08593750 25,62890625 2740 4110,0 6165,000 9247,50000 13871,25000
1 1,52 2,3104 3,511808 5,33794816 8,113681203 12,33279543 18,74584905 28,49369056 2950 4484,0 6815,680 10359,83360 15746,94707
1 1,54 2,3716 3,652264 5,62448656 8,661709302 13,33903233 20,54210978 31,63484906 3250 5005,0 7707,700 11869,85800 18279,58132
1 1,56 2,4336 3,796416 5,92240896 9,238957978 14,41277445 22,48392813 35,07492789 3530 5506,8 8590,608 13401,34848 20906,10363
1 1,58 2,4964 3,944312 6,23201296 9,846580477 15,55759715 24,58100350 38,83798553 3900 6162,0 9735,960 15382,81680 24304,85054
1 1,60 2,5600 4,096000 6,55360000 10,48576000 16,77721600 26,84354560 42,94967296 4375 7000,0 11200,00 17920,00000 28672,00000
1 1,62 2,6244 4,251528 6,88747536 11,15771008 18,07549033 29,28229434 47,43731683 5000 8100,0 13122,00 21257,64000 34437,37680
1 1,64 2,6896 4,410944 7,23394816 11,86367498 19,45642697 31,90854023 52,33000598 5700 9348,0 15330,72 25142,38080 41233,50451
=
15
0j
15 22,5 33,862 51,129 77,45099632 117,6974724 179,41489945696 274,32656369808 420,686342943339 45865 70274,1 108000,174 166465,42644 257304,1905528
93
Resolvendo este sistema, temos:
a0 = 4397527,71927261
a1 = -12102789,8476676
a2 = 12494276,3349834
a3 = -5735318,50263342
a4 = 988439,644250259
Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será:
H ≅ P (B) = 4397527,71927261 - 12102789,8476676B +
12494276,3349834B2 – 5735318,50263342B3 + 988439,644250259B4
94
• Ajuste de curva do trecho 1 do aço silício.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46
H (A/m) 55,00 56,00 57,00 58,00 59,50 60,50 61,625 62,75 63,875
B (T) 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64
H (A/m) 65,00 66,667 68,333 70,00 71,667 73,333 75,00 77,50 80,00
B (T) 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82
H (A/m) 83,333 86,667 90,00 93,75 97,50 101,25 105,00 109,50 114,00
B (T) 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00
H (A/m) 118,50 123,00 128,00 134,00 140,00 147,00 153,00 161,00 167,50
Partindo da equação de polinômio de 3o grau:
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3
Obtemos o sistema incompatível:
P (0,30) ≅ 55,000 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3
P (0,32) ≅ 56,000 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3
P (0,34) ≅ 57,000 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3
P (0,36) ≅ 58,000 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3
P (0,38) ≅ 59,500 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3
P (0,40) ≅ 60,500 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3
P (0,42) ≅ 61,625 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3
95
P (0,44) ≅ 62,750 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3
P (0,46) ≅ 63,875 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3
P (0,48) ≅ 65,000 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3
P (0,50) ≅ 66,667 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3
P (0,52) ≅ 68,333 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3
P (0,54) ≅ 70,000 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3
P (0,56) ≅ 71,667 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3
P (0,58) ≅ 73,333 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3
P (0,60) ≅ 75,000 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3
P (0,62) ≅ 77,500 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3
P (0,64) ≅ 80,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3
P (0,66) ≅ 83,333 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3
P (0,68) ≅ 86,667 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3
P (0,70) ≅ 90,000 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3
P (0,72) ≅ 93,750 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3
P (0,74) ≅ 97,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3
P (0,76) ≅ 101,250 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3
P (0,78) ≅ 105,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3
P (0,80) ≅ 109,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3
P (0,82) ≅ 114,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3
P (0,84) ≅ 118,500 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3
P (0,86) ≅ 123,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3
P (0,88) ≅ 128,000 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3
P (0,90) ≅ 134,000 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3
96
P (0,92) ≅ 140,000 = a0 + 0,92.a1 + 0,8464.a2 + 0,778688.a3
P (0,94) ≅ 147,000 = a0 + 0,94.a1 + 0,8836.a2 + 0,830584.a3
P (0,96) ≅ 153,000 = a0 + 0,96.a1 + 0,9216.a2 + 0,884736.a3
P (0,98) ≅ 161,000 = a0 + 0,98.a1 + 0,9604.a2 + 0,941192.a3
P (1,00) ≅ 167,500 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 36 e m+1 = 4,
ou n = 35 e m = 3,
obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0,
1, 2:
= = = ==
=+++35
0j
35
0j
35
0j
35
0jj
0j
35
0j
3j3
2j2
1j1
0j0 H.BBdBdBdBd
= = = ==
=+++35
0j
35
0j
35
0j
35
0jj
1j
35
0j
4j3
3j2
2j1
1j0 H.BBdBdBdBd
= = = ==
=+++35
0j
35
0j
35
0j
35
0jj
2j
35
0j
5j3
4j2
3j1
2j0 H.BBdBdBdBd
= = = ==
=+++35
0j
35
0j
35
0j
35
0jj
3j
35
0j
6j3
5j2
4j1
3j0 H.BBdBdBdBd
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
97
0jB
1jB 2
jB 3jB 4
jB 5jB 6
jB HB0j HB1
j HB2j HB3
j
1 0,30 0,0900 0,027000 0,00810000 0,0024300000 0,000729000000 55,000 16,50000 4,9500000 1,485000000 1 0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 0,0033554432 0,001073741824 56,000 17,92000 5,7344000 1,835008000 1 0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 0,0045435424 0,001544804416 57,000 19,38000 6,5892000 2,240328000 1 0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 0,0060466176 0,002176782336 58,000 20,88000 7,5168000 2,706048000 1 0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 0,0079235168 0,003010936384 59,500 22,61000 8,5918000 3,264884000 1 0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 0,0102400000 0,004096000000 60,500 24,20000 9,6800000 3,872000000 1 0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 0,0130691232 0,005489031744 61,625 25,88250 10,8706500 4,565673000 1 0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 0,0164916224 0,007256313856 62,750 27,61000 12,1484000 5,345296000 1 0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 0,0205962976 0,009474296896 63,875 29,38250 13,5159500 6,217337000 1 0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 0,0254803968 0,012230590464 65,000 31,20000 14,9760000 7,188480000 1 0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 0,0312500000 0,015625000000 66,667 33,33350 16,6667500 8,333375000 1 0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 0,0380204032 0,019770609664 68,333 35,53316 18,4772432 9,608166464 1 0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 0,0459165024 0,024794911296 70,000 37,80000 20,4120000 11,022480000 1 0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 0,0550731776 0,030840979456 71,667 40,13352 22,4747712 12,585871872 1 0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 0,0656356768 0,038068692544 73,333 42,53314 24,6692212 14,308148296 1 0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 0,0777600000 0,046656000000 75,000 45,00000 27,0000000 16,200000000 1 0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 0,0916132832 0,056800235584 77,500 48,05000 29,7910000 18,470420000 1 0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 0,1073741824 0,068719476736 80,000 51,20000 32,7680000 20,971520000 1 0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 0,1252332576 0,082653950016 83,333 54,99978 36,2998548 23,957904168 1 0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 0,1453933568 0,098867482624 86,667 58,93356 40,0748208 27,250878144 1 0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 0,1680700000 0,117649000000 90,000 63,00000 44,1000000 30,870000000 1 0,72 0,5184 0,373248 0,26873856 0,1934917632 0,139314069504 93,750 67,50000 48,6000000 34,992000000 1 0,74 0,5476 0,405224 0,29986576 0,2219006624 0,164206490176 97,500 72,15000 53,3910000 39,509340000 1 0,76 0,5776 0,438976 0,33362176 0,2535525376 0,192699928576 101,250 76,95000 58,4820000 44,446320000 1 0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 0,2887174368 0,225199600704 105,000 81,90000 63,8820000 49,827960000 1 0,80 0,6400 0,512000 0,40960000 0,3276800000 0,262144000000 109,500 87,60000 70,0800000 56,064000000 1 0,82 0,6724 0,551368 0,45212176 0,3707398432 0,304006671424 114,000 93,48000 76,6536000 62,855952000 1 0,84 0,7056 0,592704 0,49787136 0,4182119424 0,351298031616 118,500 99,54000 83,6136000 70,235424000 1 0,86 0,7396 0,636056 0,54700816 0,4704270176 0,404567235136 123,000 105,78000 90,9708000 78,234888000 1 0,88 0,7744 0,681472 0,59969536 0,5277319168 0,464404086784 128,000 112,64000 99,1232000 87,228416000 1 0,90 0,8100 0,729000 0,65610000 0,5904900000 0,531441000000 134,000 120,60000 108,5400000 97,686000000 1 0,92 0,8464 0,778688 0,71639296 0,6590815232 0,606355001344 140,000 128,80000 118,4960000 109,016320000 1 0,94 0,8836 0,830584 0,78074896 0,7339040224 0,689869781056 147,000 138,18000 129,8892000 122,095848000 1 0,96 0,9216 0,884736 0,84934656 0,8153726976 0,782757789696 153,000 146,88000 141,0048000 135,364608000 1 0,98 0,9604 0,941192 0,92236816 0,9039207968 0,885842380864 161,000 157,78000 154,6244000 151,531912000 1 1,00 1,0000 1,000000 1,00000000 1,0000000000 1,000000000000 167,500 167,50000 167,5000000 167,500000000
=
35
0j
36 23,40 16,764 12,9168 10,48623648 8,83673856 7,65163390272001 3334,75 2403,36166 1872,1574612 1538,887805944
98
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
36a0 + 23,4a1 + 16,764a2 + 12,9168a3 = 3334,75
23,4a0 + 16,764a1 + 12,9168a2 + 10,48623648a3 = 2403,36166
16,764a0 + 12,9168a1 + 10,48623648a2 + 8,83673856a3 = 1872,1574612
12,9168a0 + 10,4862364a1 + 8,83673856a2 + 7,65163390272a3 = 1538,887805944
Resolvendo este sistema, temos:
a0 = 42,0797325318
a1 = 66,7465516057
a2 = -130,353109319
a3 = 189,152874234
Por conseguinte, o polinômio de 3o grau pedido será:
H ≅ P (B) = 42,0797325318 + 66,7465516057B – 130,353109319B2 +
189,152874234B3
99
• Ajuste de curva do trecho 2 do aço silício.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18
H (A/m) 167,5 175,0 184,0 193,0 202,5 215,0 227,5 244,0 262,5 285,0
B (T) 1,20 1,22 1,24 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36
H (A/m) 310,0 340,0 385,0 440,0 475,0 525,0 590,0 670,0 760,0
Partindo da equação de polinômio de 3o grau:
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3
Obtemos o sistema incompatível:
P (1,00) ≅ 167,5 = a0 + 1,00.a1 + 1,0000.a2 + 1,000000.a3
P (1,02) ≅ 175,0 = a0 + 1,02.a1 + 1,0404.a2 + 1,061208.a3
P (1,04) ≅ 184,0 = a0 + 1,04.a1 + 1,0816.a2 + 1,124864.a3
P (1,06) ≅ 193,0 = a0 + 1,06.a1 + 1,1236.a2 + 1,191016.a3
P (1,08) ≅ 202,5 = a0 + 1,08.a1 + 1,1664.a2 + 1,259712.a3
P (1,10) ≅ 215,0 = a0 + 1,10.a1 + 1,2100.a2 + 1,331000.a3
P (1,12) ≅ 227,5 = a0 + 1,12.a1 + 1,2544.a2 + 1,404928.a3
P (1,14) ≅ 244,0 = a0 + 1,14.a1 + 1,2996.a2 + 1,481544.a3
P (1,16) ≅ 262,5 = a0 + 1,16.a1 + 1,3456.a2 + 1,560896.a3
P (1,18) ≅ 285,0 = a0 + 1,18.a1 + 1,3924.a2 + 1,643032.a3
P (1,20) ≅ 310,0 = a0 + 1,20.a1 + 1,4400.a2 + 1,728000.a3
P (1,22) ≅ 340,0 = a0 + 1,22.a1 + 1,4884.a2 + 1,815848.a3
P (1,24) ≅ 385,0 = a0 + 1,24.a1 + 1,5376.a2 + 1,906624.a3
100
P (1,26) ≅ 440,0 = a0 + 1,26.a1 + 1,5826.a2 + 1,990866.a3
P (1,28) ≅ 475,0 = a0 + 1,28.a1 + 1,6384.a2 + 2,097152.a3
P (1,30) ≅ 525,0 = a0 + 1,30.a1 + 1,6900.a2 + 2,197000.a3
P (1,32) ≅ 590,0 = a0 + 1,32.a1 + 1,7424.a2 + 2,299968.a3
P (1,34) ≅ 670,0 = a0 + 1,34.a1 + 1,7956.a2 + 2,406104.a3
P (1,36) ≅ 760,0 = a0 + 1,36.a1 + 1,8496.a2 + 2,515456.a3
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 19 e m+1 = 4,
ou n = 18 e m = 3,
obtemos o sistema normal de 3 equações a 3 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2:
= = = ==
=+++18
0j
18
0j
18
0j
18
0jj
0j
18
0j
3j3
2j2
1j1
0j0 H.BBeBeBeBe
= = = ==
=+++18
0j
18
0j
18
0j
18
0jj
1j
18
0j
4j3
3j2
2j1
1j0 H.BBeBeBeBe
= = = ==
=+++18
0j
18
0j
18
0j
18
0jj
2j
18
0j
5j3
4j2
3j1
2j0 H.BBeBeBeBe
= = = ==
=+++18
0j
18
0j
18
0j
18
0jj
3j
18
0j
6j3
5j2
4j1
3j0 H.BBeBeBeBe
101
Des
envo
lven
do o
cál
culo
dos
som
atór
ios
sob
form
a ta
bula
r, ve
m:
0 j
B
1 jB
2 j
B
3 jB
4 j
B
5 jB
6 j
B
HB
0 j
HB
1 j
HB
2 j
HB
3 j
1
1,00
1,
0000
1,
0000
00
1,00
0000
00
1,00
0000
0000
1,
0000
0000
0000
16
7,5
167,
50
167,
5000
16
7,50
0000
1 1,
02
1,04
04
1,06
1208
1,
0824
3216
1,
1040
8080
32
1,12
6162
4192
64
175,
0 17
8,50
18
2,07
00
185,
7114
00
1
1,04
1,
0816
1,
1248
64
1,16
9858
56
1,21
6652
9024
1,
2653
1901
8496
18
4,0
191,
36
199,
0144
20
6,97
4976
1 1,
06
1,12
36
1,19
1016
1,
2624
7696
1,
3382
2557
76
1,41
8519
1122
56
193,
0 20
4,58
21
6,85
48
229,
8660
88
1
1,08
1,
1664
1,
2597
12
1,36
0488
96
1,46
9328
0768
1,
5868
7432
2944
20
2,5
218,
70
236,
1960
25
5,09
1680
1 1,
10
1,21
00
1,33
1000
1,
4641
0000
1,
6105
1000
00
1,77
1561
0000
00
215,
0 23
6,50
26
0,15
00
286,
1650
00
1
1,12
1,
2544
1,
4049
28
1,57
3519
36
1,76
2341
6832
1,
9738
2268
5184
22
7,5
254,
80
285,
3760
31
9,62
1120
1 1,
14
1,29
96
1,48
1544
1,
6889
6016
1,
9254
1458
24
2,19
4972
6239
36
244,
0 27
8,16
31
7,10
24
361,
4967
36
1
1,16
1,
3456
1,
5608
96
1,81
0639
36
2,10
0341
6576
2,
4363
9632
2816
26
2,5
304,
50
353,
2200
40
9,73
5200
1 1,
18
1,39
24
1,64
3032
1,
9387
7776
2,
2877
5775
68
2,69
9554
1530
24
285,
0 33
6,30
39
6,83
40
468,
2641
20
1
1,20
1,
4400
1,
7280
00
2,07
3600
00
2,48
8320
0000
2,
9859
8400
0000
31
0,0
372,
00
446,
4000
53
5,68
0000
1 1,
22
1,48
84
1,81
5848
2,
2153
3456
2,
7027
0816
32
3,29
7303
9591
04
340,
0 41
4,80
50
6,05
60
617,
3883
20
1
1,24
1,
5376
1,
9066
24
2,36
4213
76
2,93
1625
0624
3,
6352
1507
7376
38
5,0
477,
40
591,
9760
73
4,05
0240
1 1,
26
1,58
76
2,00
0376
2,
5204
7376
3,
1757
9693
76
4,00
1504
1413
76
440,
0 55
4,40
69
8,54
40
880,
1654
40
1
1,28
1,
6384
2,
0971
52
2,68
4354
56
3,43
5973
8368
4,
3980
4651
1104
47
5,0
608,
00
778,
2400
99
6,14
7200
1 1,
30
1,69
00
2,19
7000
2,
8561
0000
3,
7129
3000
00
4,82
6809
0000
00
525,
0 68
2,50
88
7,25
00
1153
,425
000
1
1,32
1,
7424
2,
2999
68
3,03
5957
76
4,00
7464
2432
5,
2898
5280
1024
59
0,0
778,
80
1028
,016
0 13
56,9
8112
0
1 1,
34
1,79
56
2,40
6104
3,
2241
7936
4,
3204
0034
24
5,78
9336
4588
16
670,
0 89
7,80
12
03,0
520
1612
,089
680
1
1,36
1,
8496
2,
5154
56
3,42
1020
16
4,65
2587
4176
6,
3275
1888
7936
76
0,0
1033
,60
1405
,696
0 19
11,7
4656
0
=18
0j
19
22
,42
26,6
836
32,0
2472
8 38
,746
4872
0 47
,242
4590
432
58,0
2475
2494
656
6651
,0 8
190,
20 1
0159
,547
6 12
688,
0998
80
102
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
19a0 + 22,42a1 + 26,6836a2 + 32,024728a3 = 6651,0
22,42a0 + 26,6836a1 + 32,024728a2 + 38,74648720a3 = 8190,20
26,6836a0 + 32,024728a1 + 38,74648720a2 + 47,2424590432a3 = 10159,5476
32,024728a0 + 38,74648720a1 + 47,2424590432a2 + 58,024752494656a3 = 12688,099880
Resolvendo este sistema, temos:
a0 = -13623,8893419
a1 = 39254,338514
a2 = -37614,401836
a3 = 12150,3071265
Por conseguinte, o polinômio de 3o grau pedido será:
H ≅ P (B) = -13623,8893419 + 39254,338514B – 37614,401836B2 +
12150,3071265B3
103
• Ajuste de curva do trecho 3 do aço silício.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 1,36 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48
H (A/m) 760 890 1060 1280 1525 1875 2270
B (T) 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 1,60
H (A/m) 2720 3200 3800 4500 5175 6200
Partindo da equação exponencial:
H = a0. ea1.B
Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação
exponencial, obtemos o sistema de 13 equações a 2 incógnitas:
ln Hi = ln a0 + a1. Bi
Obtemos o sistema incompatível:
P (1,36) ≅ ln 760 = ln a0 + 1,36.a1
P (1,38) ≅ ln 890 = ln a0 + 1,38.a1
P (1,40) ≅ ln 1060 = ln a0 + 1,40.a1
P (1,42) ≅ ln 1280 = ln a0 + 1,42.a1
P (1,44) ≅ ln 1525 = ln a0 + 1,44.a1
P (1,46) ≅ ln 1875 = ln a0 + 1,46.a1
P (1,48) ≅ ln 2270 = ln a0 + 1,48.a1
P (1,50) ≅ ln 2720 = ln a0 + 1,50.a1
P (1,52) ≅ ln 3200 = ln a0 + 1,52.a1
104
P (1,54) ≅ ln 3800 = ln a0 + 1,54.a1
P (1,56) ≅ ln 4500 = ln a0 + 1,56.a1
P (1,58) ≅ ln 5175 = ln a0 + 1,58.a1
P (1,60) ≅ ln 6200 = ln a0 + 1,60.a1
Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem:
6,63331843328038 = a2 + 1,36.a1
6,79122146272619 = a2 + 1,38.a1
6,96602418710611 = a2 + 1,40.a1
7,15461535691366 = a2 + 1,42.a1
7,32974968904151 = a2 + 1,44.a1
7,53636393840451 = a2 + 1,46.a1
7,72753511047545 = a2 + 1,48.a1
7,90838715929004 = a2 + 1,50.a1
8,07090608878782 = a2 + 1,52.a1
8,24275634571448 = a2 + 1,54.a1
8,41183267575841 = a2 + 1,56.a1
8,55159461813357 = a2 + 1,58.a1
8,73230457103318 = a2 + 1,60.a1
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 13 e m+1 = 2,
ou n = 12 e m = 1,
obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1:
105
= = =
=+12
0j
12
0j
12
0jj
0j
1j1
0j2 HBBaBa
= = =
=+12
0j
12
0j
12
0jj
1j
2j1
1j2 HBBaBa
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
0jB 1
jB 2jB j
0j HB j
1jHB
1 1,36 1,8496 6,63331843328038 9,02131306926131 1 1,38 1,9044 6,79122146272619 9,37188561856214 1 1,40 1,9600 6,96602418710611 9,75243386194856 1 1,42 2,0164 7,15461535691366 10,15955380681740 1 1,44 2,0736 7,32974968904151 10,55483955221980 1 1,46 2,1316 7,53636393840451 11,00309135007060 1 1,48 2,1904 7,72753511047545 11,43675196350370 1 1,50 2,2500 7,90838715929004 11,86258073893510 1 1,52 2,3104 8,07090608878782 12,26777725495750 1 1,54 2,3716 8,24275634571448 12,69384477240030 1 1,56 2,4336 8,41183267575841 13,12245897418310 1 1,58 2,4964 8,55159461813357 13,51151949665100 1 1,60 2,5600 8,73230457103318 13,97168731365310
=
12
0j
13 19,24 28,548 100,056609636665 148,729737773164
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
13a2 + 19,24a1 = 100,056609636665
19,24a2 + 28,548a1 = 148,729737773164
Resolvendo este sistema, temos:
a2 = ln a0 = -5,43540029104 => a0 = 0,00435948960721
a1 = 8,87301525055
Por conseguinte, a equação ajustada será:
H ≅ P (B) = 0,00435948960721.e8,87301525055.B
106
• Ajuste de curva do trecho 1 do ferro-níquel.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44
H (A/m) 5,6250 5,9375 6,2500 6,5625 6,8750 7,1875 7,5000 7,8125
B (T) 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60
H (A/m) 8,1250 8,4375 8,7500 9,0625 9,3750 9,6875 10,000 10,250
B (T) 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76
H (A/m) 10,650 11,000 11,800 12,550 13,500 14,550 15,500 16,850
B (T) 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90
H (A/m) 18,000 19,500 21,000 23,000 25,000 27,500 30,500
Partindo da equação de polinômio de 4o grau:
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
Obtemos o sistema incompatível:
P (0,30) ≅ 5,6250 = a0 + 0,30.a1 + 0,0900.a2 + 0,027000.a3 + 0,00810000.a4
P (0,32) ≅ 5,9375 = a0 + 0,32.a1 + 0,1024.a2 + 0,032768.a3 + 0,01048576.a4
P (0,34) ≅ 6,2500 = a0 + 0,34.a1 + 0,1156.a2 + 0,039304.a3 + 0,01336336.a4
P (0,36) ≅ 6,5625 = a0 + 0,36.a1 + 0,1296.a2 + 0,046656.a3 + 0,01679616.a4
P (0,38) ≅ 6,8750 = a0 + 0,38.a1 + 0,1444.a2 + 0,054872.a3 + 0,02085136.a4
P (0,40) ≅ 7,1875 = a0 + 0,40.a1 + 0,1600.a2 + 0,064000.a3 + 0,02560000.a4
P (0,42) ≅ 7,5000 = a0 + 0,42.a1 + 0,1764.a2 + 0,074088.a3 + 0,03111696.a4
107
P (0,44) ≅ 7,8125 = a0 + 0,44.a1 + 0,1936.a2 + 0,085184.a3 + 0,03748096.a4
P (0,46) ≅ 8,1250 = a0 + 0,46.a1 + 0,2116.a2 + 0,097336.a3 + 0,04477456.a4
P (0,48) ≅ 8,4375 = a0 + 0,48.a1 + 0,2304.a2 + 0,110592.a3 + 0,05308416.a4
P (0,50) ≅ 8,7500 = a0 + 0,50.a1 + 0,2500.a2 + 0,125000.a3 + 0,06250000.a4
P (0,52) ≅ 9,0625 = a0 + 0,52.a1 + 0,2704.a2 + 0,140608.a3 + 0,07311616.a4
P (0,54) ≅ 9,3750 = a0 + 0,54.a1 + 0,2916.a2 + 0,157464.a3 + 0,08503056.a4
P (0,56) ≅ 9,6875 = a0 + 0,56.a1 + 0,3136.a2 + 0,175616.a3 + 0,09834496.a4
P (0,58) ≅ 10,000 = a0 + 0,58.a1 + 0,3364.a2 + 0,195112.a3 + 0,11316496.a4
P (0,60) ≅ 10,250 = a0 + 0,60.a1 + 0,3600.a2 + 0,216000.a3 + 0,12960000.a4
P (0,62) ≅ 10,650 = a0 + 0,62.a1 + 0,3844.a2 + 0,238328.a3 + 0,14776336.a4
P (0,64) ≅ 11,000 = a0 + 0,64.a1 + 0,4096.a2 + 0,262144.a3 + 0,16777216.a4
P (0,66) ≅ 11,800 = a0 + 0,66.a1 + 0,4356.a2 + 0,287496.a3 + 0,18974736.a4
P (0,68) ≅ 12,550 = a0 + 0,68.a1 + 0,4624.a2 + 0,314432.a3 + 0,21381376.a4
P (0,70) ≅ 13,500 = a0 + 0,70.a1 + 0,4900.a2 + 0,343000.a3 + 0,24010000.a4
P (0,72) ≅ 14,550 = a0 + 0,72.a1 + 0,5184.a2 + 0,373248.a3 + 0,26873856.a4
P (0,74) ≅ 15,500 = a0 + 0,74.a1 + 0,5476.a2 + 0,405224.a3 + 0,29986576.a4
P (0,76) ≅ 16,850 = a0 + 0,76.a1 + 0,5776.a2 + 0,438976.a3 + 0,33362176.a4
P (0,78) ≅ 18,000 = a0 + 0,78.a1 + 0,6084.a2 + 0,474552.a3 + 0,37015056.a4
P (0,80) ≅ 19,500 = a0 + 0,80.a1 + 0,6400.a2 + 0,512000.a3 + 0,40960000.a4
P (0,82) ≅ 21,000 = a0 + 0,82.a1 + 0,6724.a2 + 0,551368.a3 + 0,45212176.a4
P (0,84) ≅ 23,000 = a0 + 0,84.a1 + 0,7056.a2 + 0,592704.a3 + 0,49787136.a4
P (0,86) ≅ 25,000 = a0 + 0,86.a1 + 0,7396.a2 + 0,636056.a3 + 0,54700816.a4
P (0,88) ≅ 27,500 = a0 + 0,88.a1 + 0,7744.a2 + 0,681472.a3 + 0,59969536.a4
P (0,90) ≅ 30,500 = a0 + 0,90.a1 + 0,8100.a2 + 0,729000.a3 + 0,65610000.a4
108
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBg......BgBgBg
onde n+1 = 31 e m+1 = 5,
ou n = 30 e m = 4,
Obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1,
2, 3, 4:
= = = ===
=++++30
0j
30
0j
30
0j
30
0jj
0j
30
0j
4j4
30
0j
3j3
2j2
1j1
0j0 H.BBgBgBgBgBg
= = = ===
=++++30
0j
30
0j
30
0j
30
0jj
1j
30
0j
5j4
30
0j
4j3
3j2
2j1
1j0 H.BBgBgBgBgBg
= = = ===
=++++30
0j
30
0j
30
0j
30
0jj
2j
30
0j
6j4
30
0j
5j3
4j2
3j1
2j0 H.BBgBgBgBgBg
= = = ==
==
=++++30
0j
30
0j
30
0j
30
0jj
3j
30
0j
70j4
30
0j
6j3
5j2
4j1
3j0 H.BBgBgBgBgBg
= = = ==
==
=++++30
0j
30
0j
30
0j
30
0jj
4j
30
0j
80j4
30
0j
7j3
6j2
5j1
4j0 H.BBgBgBgBgBg
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
109 0jB 1
jB 2jB
3jB
4jB
5jB
6jB
7jB
8jB HB0
j HB1j HB2
j HB3j HB4
j
1 0,30 0,0900 0,027000 0,00810000 0,0024300000 0,000729000000 0,00021870000000 0,0000656100000000 5,6250 1,6875 0,50625 0,151875 0,045562500
1 0,32 0,1024 0,032768 0,01048576 0,0033554432 0,001073741824 0,00034359738368 0,0001099511627776 5,9375 1,9000 0,60800 0,194560 0,062259200
1 0,34 0,1156 0,039304 0,01336336 0,0045435424 0,001544804416 0,00052523350144 0,0001785793904896 6,2500 2,1250 0,72250 0,245650 0,083521000
1 0,36 0,1296 0,046656 0,01679616 0,0060466176 0,002176782336 0,00078364164096 0,0002821109907456 6,5625 2,3625 0,85050 0,306180 0,110224800
1 0,38 0,1444 0,054872 0,02085136 0,0079235168 0,003010936384 0,00114415582592 0,0004347792138496 6,8750 2,6125 0,99275 0,377245 0,143353100
1 0,40 0,1600 0,064000 0,02560000 0,0102400000 0,004096000000 0,00163840000000 0,0006553600000000 7,1875 2,8750 1,15000 0,460000 0,184000000
1 0,42 0,1764 0,074088 0,03111696 0,0130691232 0,005489031744 0,00230539333248 0,0009682651996416 7,5000 3,1500 1,32300 0,555660 0,233377200
1 0,44 0,1936 0,085184 0,03748096 0,0164916224 0,007256313856 0,00319277809664 0,0014048223625216 7,8125 3,4375 1,51250 0,665500 0,292820000
1 0,46 0,2116 0,097336 0,04477456 0,0205962976 0,009474296896 0,00435817657216 0,0020047612231936 8,1250 3,7375 1,71925 0,790855 0,363793300
1 0,48 0,2304 0,110592 0,05308416 0,0254803968 0,012230590464 0,00587068342272 0,0028179280429056 8,4375 4,0500 1,94400 0,933120 0,447897600
1 0,50 0,2500 0,125000 0,06250000 0,0312500000 0,015625000000 0,00781250000000 0,0039062500000000 8,7500 4,3750 2,18750 1,093750 0,546875000
1 0,52 0,2704 0,140608 0,07311616 0,0380204032 0,019770609664 0,01028071702528 0,0053459728531456 9,0625 4,7125 2,45050 1,274260 0,662615200
1 0,54 0,2916 0,157464 0,08503056 0,0459165024 0,024794911296 0,01338925209984 0,0072301961339136 9,3750 5,0625 2,73375 1,476225 0,797161500
1 0,56 0,3136 0,175616 0,09834496 0,0550731776 0,030840979456 0,01727094849536 0,0096717311574016 9,6875 5,4250 3,03800 1,701280 0,952716800
1 0,58 0,3364 0,195112 0,11316496 0,0656356768 0,038068692544 0,02207984167552 0,0128063081718016 10,0000 5,8000 3,36400 1,951120 1,131649600
1 0,60 0,3600 0,216000 0,12960000 0,0777600000 0,046656000000 0,02799360000000 0,0167961600000000 10,2500 6,1500 3,69000 2,214000 1,328400000
1 0,62 0,3844 0,238328 0,14776336 0,0916132832 0,056800235584 0,03521614606208 0,0218340105584897 10,6500 6,6030 4,09386 2,538193 1,573679784
1 0,64 0,4096 0,262144 0,16777216 0,1073741824 0,068719476736 0,04398046511104 0,0281474976710657 11,1000 7,1040 4,54656 2,909798 1,862270976
1 0,66 0,4356 0,287496 0,18974736 0,1252332576 0,082653950016 0,05455160701056 0,0360040606269697 11,8000 7,7880 5,14008 3,392453 2,239018848
1 0,68 0,4624 0,314432 0,21381376 0,1453933568 0,098867482624 0,06722988818432 0,0457163239653378 12,5500 8,5340 5,80312 3,946122 2,683362688
1 0,70 0,4900 0,343000 0,24010000 0,1680700000 0,117649000000 0,08235430000000 0,0576480100000002 13,5000 9,4500 6,61500 4,630500 3,241350000
1 0,72 0,5184 0,373248 0,26873856 0,1934917632 0,139314069504 0,10030613004288 0,0722204136308736 14,5500 10,4760 7,54272 5,430758 3,910146048
1 0,74 0,5476 0,405224 0,29986576 0,2219006624 0,164206490176 0,12151280273024 0,0899194740203776 15,5000 11,4700 8,48780 6,280972 4,647919280
1 0,76 0,5776 0,438976 0,33362176 0,2535525376 0,192699928576 0,14645194571776 0,1113034787454980 16,8500 12,8060 9,73256 7,396746 5,621526656
1 0,78 0,6084 0,474552 0,37015056 0,2887174368 0,225199600704 0,17565568854912 0,1370114370683140 18,0000 14,0400 10,95120 8,541936 6,662710080
1 0,80 0,6400 0,512000 0,40960000 0,3276800000 0,262144000000 0,20971520000000 0,1677721600000000 19,5000 15,6000 12,48000 9,984000 7,987200000
1 0,82 0,6724 0,551368 0,45212176 0,3707398432 0,304006671424 0,24928547056768 0,2044140858654970 21,0000 17,2200 14,12040 11,578728 9,494556960
1 0,84 0,7056 0,592704 0,49787136 0,4182119424 0,351298031616 0,29509034655744 0,2478758911082490 23,0000 19,3200 16,22880 13,632192 11,451041280
1 0,86 0,7396 0,636056 0,54700816 0,4704270176 0,404567235136 0,34792782221696 0,2992179271065850 25,0000 21,5000 18,49000 15,901400 13,675204000
1 0,88 0,7744 0,681472 0,59969536 0,5277319168 0,464404086784 0,40867559636992 0,3596345248055300 27,5000 24,2000 21,29600 18,740480 16,491622400
1 0,90 0,8100 0,729000 0,65610000 0,5904900000 0,531441000000 0,47829690000000 0,4304672100000000 30,5000 27,4500 24,70500 22,234500 20,011050000
=
30
0j
31 18,60 12,152 8,481600 6,21737984 4,7244595200 3,686808949760 2,93545792819200 2,3738652910751700 398,4375 273,0235 199,02560 151,530058 118,938885800
110
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem:
31a0 + 18,6a1 + 12,152a2 + 8,4816a3 + 6,21737984a4 = 398,4375
18,6a0 + 12,152a1 + 8,4816a2 + 6,21737984a3 + 4,72445952a4 = 273,0235
12,152a0 + 8,4816a1 + 6,21737984a2 + 4,72445952a3 + 3,68680894976a4 = 199,0256
8,4816a0 + 6,21737984a1 + 4,72445952a2 + 3,68680894976a3 + 2,935457928192a4 = 151,530058
6,21737984a0 + 4,72445952a1 + 3,68680894976a2 + 2,935457928192a3 + 2,37386529107517a4 = 118,9388858
Resolvendo este sistema, temos:
a0 = -0,103507768172
a1 = 6,42724180862
a2 = 99,5502341747
a3 = -252,138896127
a4 = 194,761521740
Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será:
H ≅ P (B) = -0,103507768172 + 6,42724180862B + 99,5502341747B2 – 252,138896127B3 + 194,761521740B4
111
• Ajuste de curva do trecho 2 do ferro-níquel
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,08
H (A/m) 30,50 33,75 37,50 41,75 47,00 52,00 58,00 66,00 75,00 85,00
B (T) 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24
H (A/m) 99,00 115,00 137,00 160,00 185,00 210,00 235,00 270,00
B (T) 1,26 1,28 1,30 1,32 1,34 1,36 1,38 1,40
H (A/m) 305,00 340,00 375,00 425,00 480,00 535,00 610,00 675,00
Partindo da equação exponencial:
H = a0. eai.B
Empregando o processo matricial e tomando-se os logaritmos da equação
exponencial, obtemos o sistema de 26 equações a 2 incógnitas:
ln Hi = ln a0 + a1. Bi
Obtemos o sistema incompatível:
P (0,90) ≅ ln 30,50 = ln a0 + 0,90.a1
P (0,92) ≅ ln 33,75 = ln a0 + 0,92.a1
P (0,94) ≅ ln 37,50 = ln a0 + 0,94.a1
P (0,96) ≅ ln 41,75 = ln a0 + 0,96.a1
P (0,98) ≅ ln 47,00 = ln a0 + 0,98.a1
P (1,00) ≅ ln 52,00 = ln a0 + 1,00.a1
P (1,02) ≅ ln 58,00 = ln a0 + 1,02.a1
112
P (1,04) ≅ ln 66,00 = ln a0 + 1,04.a1
P (1,06) ≅ ln 75,00 = ln a0 + 1,06.a1
P (1,08) ≅ ln 85,00 = ln a0 + 1,08.a1
P (1,10) ≅ ln 99,00 = ln a0 + 1,10.a1
P (1,12) ≅ ln 115,00 = ln a0 + 1,12.1
P (1,14) ≅ ln 137,00 = ln a0 + 1,14.a1
P (1,16) ≅ ln 160,00 = ln a0 + 1,16.a1
P (1,18) ≅ ln 185,00 = ln a0 + 1,18.a1
P (1,20) ≅ ln 210,00 = ln a0 + 1,20.a1
P (1,22) ≅ ln 235,00 = ln a0 + 1,22.a1
P (1,24) ≅ ln 270,00 = ln a0 + 1,24.a1
P (1,26) ≅ ln 305,00 = ln a0 + 1,26.a1
P (1,28) ≅ ln 340,00 = ln a0 + 1,28.a1
P (1,30) ≅ ln 375,00 = ln a0 + 1,30.a1
P (1,32) ≅ ln 425,00 = ln a0 + 1,32.a1
P (1,34) ≅ ln 480,00 = ln a0 + 1,34.a1
P (1,36) ≅ ln 535,00 = ln a0 + 1,36.a1
P (1,38) ≅ ln 610,00 = ln a0 + 1,38.a1
P (1,40) ≅ ln 675,00 = ln a0 + 1,40.a1
Pondo ln a0 = a2 e calculando os logaritmos, vem:
3,41772668361337 = a2 + 0,90.a1
3,51898041731854 = a2 + 0,92.a1
3,62434093297637 = a2 + 0,94.a1
3,73169945129686 = a2 + 0,96.a1
113
3,85014760171006 = a2 + 0,98.a1
3,95124371858143 = a2 + 1,00.a1
4,06044301054642 = a2 + 1,02.a1
4,18965474202643 = a2 + 1,04.a1
4,31748811353631 = a2 + 1,06.a1
4,44265125649032 = a2 + 1,08.a1
4,59511985013459 = a2 + 1,10.a1
4,74493212836325 = a2 + 1,12.a1
4,91998092582813 = a2 + 1,14.a1
5,07517381523383 = a2 + 1,16.a1
5,22035582507832 = a2 + 1,18.a1
5,34710753071747 = a2 + 1,20.a1
5,45958551414416 = a2 + 1,22.a1
5,59842195899838 = a2 + 1,24.a1
5,72031177660741 = a2 + 1,26.a1
5,82894561761021 = a2 + 1,28.a1
5,92692602597041 = a2 + 1,30.a1
6,05208916892442 = a2 + 1,32.a1
6,17378610390194 = a2 + 1,34.a1
6,28226674689601 = a2 + 1,36.a1
6,41345895716736 = a2 + 1,38.a1
6,51471269087253 = a2 + 1,40.a1
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
114
onde n+1 = 26 e m+1 = 2,
ou n = 25 e m = 1,
obtemos o sistema normal de 2 equações a 2 incógnitas; fazendo k = 0, 1:
= = =
=+25
0j
25
0j
25
0jj
0j
1j1
0j2 HBBaBa
= = =
=+25
0j
25
0j
25
0jj
1j
2j1
1j2 HBBaBa
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
0jB 1
jB 2jB j
0j HB j
1jHB
1 0,90 0,8100 3,41772668361337 3,07595401525203 1 0,92 0,8464 3,51898041731854 3,23746198393306 1 0,94 0,8836 3,62434093297637 3,40688047699778 1 0,96 0,9216 3,73169945129686 3,58243147324499 1 0,98 0,9604 3,85014760171006 3,77314464967586 1 1,00 1,0000 3,95124371858143 3,95124371858143 1 1,02 1,0404 4,06044301054642 4,14165187075735 1 1,04 1,0816 4,18965474202643 4,35724093170748 1 1,06 1,1236 4,31748811353631 4,57653740034849 1 1,08 1,1664 4,44265125649032 4,79806335700954 1 1,10 1,2100 4,59511985013459 5,05463183514805 1 1,12 1,2544 4,74493212836325 5,31432398376684 1 1,14 1,2996 4,91998092582813 5,60877825544406 1 1,16 1,3456 5,07517381523383 5,88720162567124 1 1,18 1,3924 5,22035582507832 6,16001987359242 1 1,20 1,4400 5,34710753071747 6,41652903686096 1 1,22 1,4884 5,45958551414416 6,66069432725587 1 1,24 1,5376 5,59842195899838 6,94204322915798 1 1,26 1,5876 5,72031177660741 7,20759283852534 1 1,28 1,6384 5,82894561761021 7,46105039054107 1 1,30 1,6900 5,92692602597041 7,70500383376153 1 1,32 1,7424 6,05208916892442 7,98875770298023 1 1,34 1,7956 6,17378610390194 8,27287337922860 1 1,36 1,8496 6,28226674689601 8,54388277577857 1 1,38 1,9044 6,41345895716736 8,85057336089095 1 1,40 1,9600 6,51471269087253 9,12059776722154
=
25
0j
26 29,90 34,9700 128,97755056454400 152,09516409333300
115
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os
somatórios, vem:
26a2 + 29,90a1 = 128,977550564544
29,90a2 + 34,970a1 = 152,095164093333
Resolvendo este sistema, temos:
a2 = ln a0 = -2,45236443936 => a0 = 0,0860897915722535
a1 = 6,44612127051
Por conseguinte, a equação ajustada será:
H ≅ P (B) = 0,0860897915722535.e6,44612127051.B
116
• Ajuste de curva do trecho 3 do ferro-níquel.
Dada a função H = f (B) pelos valores tabelados seguintes.
B (T) 1,40 1,42 1,44 1,46 1,48 1,50 1,52 1,54
H (A/m) 675 775 920 1075 1350 1750 2400 3750
Partindo da equação de polinômio de 4o grau:
H = a0 + a1.B + a2.B2 + a3.B3 + a4.B4
Obtemos o sistema incompatível:
P (1,40) ≅ 675 = a0 + 1,40.a1 +1,9600.a2 + 2,744000.a3 + 3,84160000.a4
P (1,42) ≅ 775 = a0 + 1,42.a1 + 2,0164.a2 + 2,863288.a3 + 4,06586896.a4
P (1,44) ≅ 920 = a0 + 1,44.a1 + 2,0736.a2 + 2,985984.a3 + 4,29981696.a4
P (1,46) ≅ 1075 = a0 + 1,46.a1 + 2,1316.a2 + 3,112136.a3 + 4,54371856.a4
P (1,48) ≅ 1350 = a0 + 1,48.a1 + 2,1904.a2 + 3,241792.a3 + 4,79785216.a4
P (1,50) ≅ 1750 = a0 + 1,50.a1 + 2,2500.a2 + 3,375000.a3 + 5,06250000.a4
P (1,52) ≅ 2400 = a0 + 1,52.a1 + 2,3104.a2 + 3,511808.a3 + 5,33794816.a4
P (1,54) ≅ 3750 = a0 + 1,54.a1 + 2,3716.a2 + 3,652264.a3 + 5,62448656.a4
Empregando o processo algébrico dos mínimos quadrados, a partir da
expressão genérica do sistema normal simétrico.
= = = = =
+++ =++++n
0j
n
0j
n
0j
n
0j
n
0jj
kj
mkjm
2kj2
1kj1
kj0 H.BBa......BaBaBa
onde n+1 = 8 e m+1 = 5,
ou n = 7 e m = 4,
117
obtemos o sistema normal de 5 equações a 5 incógnitas; fazendo k = 0, 1, 2,
3, 4:
= = = ===
=++++7
0j
7
0j
7
0j
7
0jj
0j
7
0j
4j4
7
0j
3j3
2j2
1j1
0j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ===
=++++7
0j
7
0j
7
0j
7
0jj
1j
7
0j
5j4
7
0j
4j3
3j2
2j1
1j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ===
=++++7
0j
7
0j
7
0j
7
0jj
2j
7
0j
6j4
7
0j
5j3
4j2
3j1
2j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ==
==
=++++7
0j
7
0j
7
0j
7
0jj
3j
7
0j
70j4
7
0j
6j3
5j2
4j1
3j0 H.BBaBaBaBaBa
= = = ==
==
=++++7
0j
7
0j
7
0j
7
0jj
4j
7
0j
80j4
7
0j
7j3
6j2
5j1
4j0 H.BBaBaBaBaBa
Desenvolvendo o cálculo dos somatórios sob forma tabular, vem:
118
Substituindo no sistema anterior os valores numéricos obtidos para os somatórios, vem:
8a0 + 11,76a1 + 17,3040a2 + 25,486272a3 + 37,57379136a4 = 12695
11,76a0 + 17,3040a1 + 25,486272a2 + 37,57379136a3 + 55,4473011456a4 = 18985,8
17,3040a0 + 25,486272a1 + 37,57379136a2 + 55,4473011456a3 + 81,9011132275200a4 = 28417,892
25,486272a0 + 37,57379136a1 + 55,4473011456a2 + 81,9011132275200a3 + 121,0904940355890a4 = 42570,89808
37,57379136a0 + 55,4473011456a1 + 81,9011132275200a2 + 121,0904940355890a3 + 179,19981642356800a4 = 63823,8330992
0jB 1
jB 2jB 3
jB 4jB 5
jB 6jB 7
jB 8jB HB0
j HB1j HB2
j HB3j HB4
j
1 1,40 1,9600 2,744000 3,84160000 5,3782400000 7,529536000000 10,5413504000000 14,7578905600000 675 945,0 1323,000 1852,20000 2593,0800000
1 1,42 2,0164 2,863288 4,06586896 5,7735339232 8,198418170944 11,6417538027405 16,5312903998915 775 1100,5 1562,710 2219,04820 3151,0484440
1 1,44 2,0736 2,985984 4,29981696 6,1917364224 8,916100448256 12,8391846454886 18,4884258895036 920 1324,8 1907,712 2747,10528 3955,8316032
1 1,46 2,1316 3,112136 4,54371856 6,6338290976 9,685390482496 14,1406701044442 20,6453783524885 1075 1569,5 2291,470 3345,54620 4884,4974520
1 1,48 2,1904 3,241792 4,79785216 7,1008211968 10,509215371264 15,5536387494707 23,0193853492167 1350 1998,0 2957,040 4376,41920 6477,1004160
1 1,50 2,2500 3,375000 5,06250000 7,5937500000 11,390625000000 17,0859375000000 25,6289062500000 1750 2625,0 3937,500 5906,25000 8859,3750000
1 1,52 2,3104 3,511808 5,33794816 8,1136812032 12,332795428864 18,7458490518733 28,4936905588474 2400 3648,0 5544,960 8428,33920 12811,0755840
1 1,54 2,3716 3,652264 5,62448656 8,6617093024 13,339032325696 20,5421097815718 31,6348490636206 3750 5775,0 8893,500 13695,99000 21091,8246000
=
7
0j
8 11,76 17,3040 25,486272 37,57379136 55,4473011456 81,9011132275200 121,0904940355890 179,19981642356800 12695 18985,8 28417,892 42570,89808 63823,8330992
119
Resolvendo este sistema, temos:
a0 = 90093554,9665743
a1 = -249495796,175507
a2 = 259102236,825694
a3 = -119595454,935834
a4 = 20702515,7313797
Por conseguinte, o polinômio de 4o grau pedido será:
H ≅ P (B) = 90093554,9665743 – 249495796,175507B +
259102236,825694B2 – 119595454,935834B3 + 20702515,7313797B4