modelagem computacional de ventosas de duplo … · essa irredutível recusa à poesia não vivida...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO EM RECURSOS HÍDRICOS
MODELAGEM COMPUTACIONAL DE VENTOSAS DE DUPLO EFEITO COMO MECANISMO DE ALÍVIO DO GOLPE
DE ARÍETE
FERNANDO PEROBA JÚNIOR
FORTALEZA – CE 2007
ii
MODELAGEM COMPUTACIONAL DE VENTOSAS DE DUPLO EFEITO COMO MECANISMO DE ALÍVIO DO GOLPE
DE ARÍETE
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em
Recursos Hídricos da Universidade Federal do
Ceará como parte dos requisitos para obtenção do
título de mestre.
Orientador: Professor Marco Aurélio Holanda de Castro, Ph.D.
Fortaleza, 20 de julho de 2007.
iii
Esta Dissertação foi submetida como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do Grau de Mestre em Recursos Hídricos, outorgado pela
Universidade Federal do Ceará, e encontra-se à disposição dos interessados na
Biblioteca Central da referida Universidade.
A citação de qualquer trecho desta Dissertação é permitida, desde que
seja feita de acordo com as normas da ética científica.
__________________________________ Fernando Peroba Júnior
Dissertação aprovada em 20 de julho 2007.
Examinadores:
_______________________________________ Professor Marco Aurélio Holanda de Castro (Orientador), Ph.D.
Universidade Federal do Ceará
_____________________________________ Professor Doutor John Kenedy de Araújo.
Universidade Federal do Ceará
_____________________________________ Professor Rogério Campos, Ph.D.
Universidade de Fortaleza
iv
Resta, acima de tudo, essa capacidade de ternura Essa intimidade perfeita com o silêncio
Resta essa voz íntima pedindo perdão por tudo - Perdoai-os! Porque eles não têm culpa de ter nascido...
Resta esse antigo respeito pela noite, esse falar baixo
Essa mão que tateia antes de ter, esse medo De ferir tocando, essa forte mão de homem
Cheia de mansidão para com tudo quanto existe.
Resta essa imobilidade, essa economia de gestos Essa inércia cada vez maior diante do Infinito
Essa gagueira infantil de quem quer exprimir o inexprimível Essa irredutível recusa à poesia não vivida [...]
[...] Resta essa vontade de chorar diante da beleza Essa cólera em face da injustiça e o mal-entendido
Essa imensa piedade de si mesmo, essa imensa Piedade de si mesmo e de sua força inútil.
Resta esse sentimento de infância subitamente desentranhado
De pequenos absurdos, essa capacidade De rir à toa, esse ridículo desejo de ser útil
E essa coragem para comprometer-se sem necessidade.
Resta essa distração, essa disponibilidade, essa vagueza De quem sabe que tudo já foi como será no vir-a-ser
E ao mesmo tempo essa vontade de servir, essa Contemporaneidade com o amanhã dos que não tiveram ontem nem hoje.
Resta essa faculdade incoercível de sonhar
De transfigurar a realidade, dentro dessa incapacidade De aceitá-la tal como é, e essa visão
Ampla dos acontecimentos, e essa impressionante
E desnecessária presciência, e essa memória anterior De mundos inexistentes, e esse heroísmo
Estático, e essa pequenina luz indecifrável A que às vezes os poetas dão o nome de ESPERANÇA.
(Trechos da Poesia “O Haver”, de nosso poeta maior VINÍCIUS DE MORAES)
v
Este trabalho é dedicado à minha mãe Zenir
Peroba, de cujo imenso Amor são frutos todas
as coisas boas que acontecem na minha vida.
vi
AGRADECIMENTOS
Antes de ser uma mera formalidade, considero um privilégio poder
agradecer àqueles que de forma direta ou indireta contribuíram para a concretização
desta dissertação de mestrado. Portanto, agradeço:
A DEUS, em primeiro lugar e acima de tudo, por conduzir o meu caminho
de forma tão justa e perfeita.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de pessoal de Nível Superior
(CAPES) pelo apoio financeiro.
Aos Membros da Banca, pelas sugestões, críticas e pela generosidade
nos elogios. Em especial ao Prof. Rogério Campos pela contribuição para o
aprimoramento deste trabalho.
Ao meu orientador Prof. Marco Aurélio, por todo o apoio em termos de
estrutura e orientação; por ter me ajudado nos momentos difíceis que passei; pela
sinceridade, muitas vezes incompreendida por alguns e por ter me tratado de uma
forma tão amiga ao longo destes dois anos.
Ao meu co-orientador Prof. John Kenedy, por ter transmitido o
conhecimento necessário para se compreender um assunto tão complexo e tirado
minhas dúvidas quando elas surgiram; por ter me ajudado a definir alguns rumos e
pelo apoio e incentivo de sempre.
Ao meu amigo Prof. Rodrigo Codes a quem devo toda minha base em
engenharia, pelo apoio, incentivo e exemplo pessoal.
Ao Prof. Ernesto Pitombeira pelo apoio acadêmico na aquisição de um
importante artigo e, acima de tudo, por ser um exemplo de dedicação e entusiasmo
pela nossa Universidade e pela engenharia.
Ao Eng°. Paulo André por ter me ajudado na parte computacional, pela
sua inteligência, competência e capacidade de trabalho.
Ao Prof. André Bezerra que gentilmente revisou a metodologia presente
neste trabalho.
vii
Aos professores do Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental,
meu muito obrigado por todo conhecimento transmitido.
Ao meu pai Fernando Peroba (in memoriam) por ter me deixado o
exemplo de honestidade, bondade a Amor.
À minha família Zenir, Ana e Tábata. Minha irmã Ana por toda ajuda
financeira e emocional que tem me dado; por esta amizade que cultivamos desde
cedo e por me amar incondicionalmente. Minha sobrinha Tábata por iluminar nossa
família e por ser a criança mais linda do mundo.
À Nadja, por ter me ajudado em algumas disciplinas no início da
graduação, por todos os encontros e desencontros e por fazer parte da minha
história.
À minha querida tia Socorro por todo o apoio e carinho desde o momento
em que nasci; por representar o lado forte e vencedor da família e por ser muito
generosa com todos.
À minha família do coração, os Moreiras: Sr. Carlos Alberto, Dona Ione (in
memoriam); Carlos Augusto e Ana; Eduardo e Carmencita; Dr. Nogueira e Vera;
Seabra e Zulmira; Parente e Ione; Eliane; André, Rafael, Renan, Fernando, Camila,
Larissa, Renata, Felipe, Lívio e Karlinha. Especialmente à Eliane por todo carinho,
dedicação e amor, sem os quais eu não teria chegado até aqui.
Aos meus irmãos de coração Régis e Soraya que ao longo destes vinte
anos de amizade têm estado sempre presentes e contribuído para que meu caminho
fosse mais alegre e vitorioso.
Aos queridos amigos Maurício e Lise que, apesar da distância, sempre
têm me ajudado e se importado comigo.
Aos queridos amigos Flávio e Mônica por todo o carinho de nossa
amizade, pela torcida e por compartilhar comigo seu exemplo de trabalho e
honestidade.
viii
Ao meu amigo Paulo por ter estado presente nos momentos mais difíceis
da minha vida, me apoiando em tudo que precisei.
À minha amiga Raquel (Quelzinha) que tanto contribuiu para meu
crescimento como pessoa; que sempre torceu muito e acreditou em mim.
À minha amiga Germana Menescal cuja ajuda foi imprescindível na
produção do algoritmo. Além de ser um exemplo de mulher guerreira e inteligente,
sem perder a meiguice.
Ao meu “irmãozinho” Henrique por estar sempre disposto a ajudar; pela
nossa amizade e identificação que torna mais agradável esta vida no mundo
acadêmico.
Um agradecimento especial ao meu amigo Gustavo Weyne que me
ajudou de forma decisiva na correção do texto, corrigindo, sugerindo e melhorando
este trabalho.
Ao Márcio que colaborou na produção de algumas figuras e na
organização da apresentação no dia da defesa. Por todos os momentos de
descontração que, sempre com a presença do Marcelo, ajudam a viver melhor.
Ao Adriano Gomes de Matos que também ajudou bastante na elaboração
da dissertação. Por ser esta pessoa brilhante que sabe superar todos os obstáculos
e, acima de tudo, por querer sempre acertar.
Ao meu grande amigo Paulo Roberto por ter me ensinado tanta coisa, por
compartilhar comigo sua amizade e pela lição de discrição e humildade que só as
pessoas verdadeiramente inteligentes têm.
Ao amigo Erivelton que sabe tudo de informática, por toda a sua ajuda e
prestatividade que foram auxílio muito importante no desenvolvimento da
dissertação.
Aos colegas da pós-graduação Francione e Roger, pelo carinho da nossa
amizade.
ix
Ao Danilo que caminha comigo já há alguns anos nesta vida de estudante
de engenharia, sempre mostrando sua competência e capacidade de não desistir
nunca.
Aos meus amigos do Grupo de Estudo em Hidráulica Computacional
(GEHC): Marcus Vinícius, Carlos Leal, Cláudio, Mauro, Magno, Renato, Charles,
Alessandro, Shirley e Neto.
À Teresa, minha amiga mineira que mora em Brasília, por me ajudar com
sua alegria e inabalável fé.
Poder-se-ia ainda citar muitas pessoas, entretanto, por contingências
várias, não fazem mais parte da minha vida. Mesmo assim, deixo meus sinceros
agradecimentos àqueles que compartilharam comigo alguma coisa com um sim e
me ensinaram tanto com um não.
x
SUMÁRIO
Página
AGRADECIMENTOS.................................................................................................. vi
LISTA DE FIGURAS.................................................................................................. xii
LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................. xiv
RESUMO................................................................................................................... xvi
Palavras-Chave: Hidráulica Transiente, mecanismos de alívio do Golpe de Aríete, ventosas de duplo efeito, air in-let. ........................................................... xvi
ABSTRACT.............................................................................................................. xvii
1. INTRODUÇÃO........................................................................................................ 1
2. RESUMO HISTÓRICO ........................................................................................... 7
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 8
3.1. Ventosas............................................................................................................ 8
3.1.1 Ventosas Automáticas de Duplo Efeito (VADE).............................................. 8 3.1.2 Ventosas Automáticas de Simples Efeito (VASE)........................................... 9 3.1.3 Ventosas Automáticas de Fechamento lento (VAFL) ................................... 10 3.2. Método das Características ............................................................................. 11
3.3. Equações características................................................................................. 15
3.4. Equações Características do Transiente Hidráulico ........................................ 16
3.5. Equação da onda ............................................................................................ 21
3.6. Vazão mássica ................................................................................................ 27
3.6.1 Relações para um gás perfeito. .................................................................... 27 3.6.2 Velocidade de propagação do Som. ............................................................. 29 3.6.3 Número de Mach. ......................................................................................... 30 3.6.4 Escoamento Isentrópico. .............................................................................. 31
4. METODOLOGIA................................................................................................... 38
4.1. Condição de Contorno das ventosas............................................................... 38
4.1.1 Método da aproximação parabólica. ............................................................. 45 4.1.2 Critérios de Convergência............................................................................. 49
5. SIMULAÇÕES E DISCUSSÕES .......................................................................... 55
5.1. Configuração do problema hidráulico .............................................................. 55
xi
5.2. Ventosa trabalhando isoladamente ................................................................. 59
5.3. Aplicação de várias ventosas .......................................................................... 60
5.4. Ventosas trabalhando em conjunto com um TAU ........................................... 66
5.5. Ventosa trabalhando em conjunto com uma Chaminé de Equilíbrio ............... 66
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES............................................................... 76
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 78
ANEXO A – CATÁLOGO DOS FABRICANTES. ...................................................... 81
ANEXO B – EQUAÇÕES DO TRANSIENTE HIDRÁULICO..................................... 86
ANEXO C – MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO UFC6 .................................................. 99
xii
LISTA DE FIGURAS
Página
Figura 1.1 – Primeira fase do transiente. 2
Figura 1.2 – Segunda fase do transiente. 3
Figura 1.3 – Terceira fase do transiente. 4
Figura 1.4 – Quarta fase do transiente. 5
Figura 3.1 – Ventosa Automática de Duplo Efeito. 9
Figura 3.2 – Ventosa Automática de Fechamento Lento. 10
Figura 3.3 – Linhas Características no plano (x,t) 18
Figura 4.1 – Vazões entrando e saindo da cavidade. 40
Figura 4.2 – Parábolas de aproximação. 49
Figura 4.3 – Zona do fluxo de entrada em regime crítico. 51
Figura 4.4 – Zona do fluxo de entrada em regime subsônico. 52
Figura 5.1 – Perfil 1. 57
Figura 5.2 – Planilha de nós referentes ao perfil1. 58
Figura 5.3 – Resultados do nó 18. 61
Figura 5.4 – Perfil 2. 62
Figura 5.5 – Planilha de resultados referentes ao perfil 2. 63
Figura 5.6 – Perfil 3. 64
Figura 5.7 – Planilha de resultados referentes ao perfil 3. 65
Figura 5.8 – Perfil 4. 68
Figura 5.9 – Planilha de resultados referentes ao perfil 4. 69
Figura 5.10 – Perfil 5. 70
Figura 5.11 – Planilha de resultados referentes ao perfil 5. 71
Figura 5.12 – Perfil 6. 72
Figura 5.13 – Planilha de resultados referentes ao perfil 6. 73
Figura 5.14 – Perfil 7. 74
Figura 5.15 – Planilha de resultados referentes ao perfil 7. 75
Figura B1 – Volume de controle. 87
Figura B2 – Elemento de casca. 90
Figura B3 – Linhas de carga e cotas. 94
Figura C.1 – Formulário Carregar Perfil. 103
Figura C.2 – Entrada Manual de Dados – Arquivo Texto (*.txt) 104
Figura C.3 – Perfil Carregado. 105
Figura C.4 – Formulário Parâmetros do Projeto. 106
Figura C.5 – Formulário Dados do Trecho. 107
Figura C.6 – Formulário Dados do Nó. 109
Figura C.7 – Formulário Bomba. 109
xiii
Figura C.8 – Formulário One-Way. 110
Figura C.9 – Formulário Reservatório Hidropneumático. 111
Figura C.10 – Formulário Válvula de Alívio. 112
Figura C.11 – Formulário Chaminé de Equilíbrio. 113
Figura C.12 – Formulário VADE. 114
Figura C.13 – Entrada Automática de Dados 115
Figura C.14 – Formulário Cálculo do Transitório. 119
Figura C.15 – Envoltórias Máximas e Mínimas Calculadas. 120
Figura C.16 – Formulário Envoltórias. 121
Figura C.17 – Formulário Planilhas. 122
Figura C.18 – Formulário Resultados por Seção. 123
Figura C.19 – Formulário Gráfico One-Way. 124
Figura C.20 – Formulário Evolução da Cota Piezométrica. 126
Figura C.21 – Créditos UFC6. 128
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
[M] - Unidade de massa; [L] - Unidade de comprimento; [T] - Unidade de tempo; A - Área da seção transversal do tubo, [L]²; Ao – Área do orifício da ventosa [L]²; a - Velocidade de propagação das ondas de pressão, celeridade, [L]/ [T]; c - velocidade do som [L]/ [T];; Cin - Coeficiente de perda de carga localizada no orifício da ventosa na entrada de ar; Cout - Coeficiente de perda de carga localizada no orifício da ventosa na saída de ar;
pc - calor específico a pressão constante, adimensional; vc - calor específico a volume constante, adimensional;
D - Diâmetro do tubo, [L]; e - Espessura da parede do tubo, mm; f - Coeficiente de atrito da fórmula universal, adimensional; g -Aceleração da gravidade, [L]/[T]2; h - Entalpia, [J/mol]; Hb - Carga barométrica no local da ventosa, [L]; k - Constante adiabática, adimensional; L - Comprimento da tubulação, [L]; V - Velocidade média de escoamento, [L]/ [T]; m - Masa, [M];
0m& - Vazão mássica no início do intervalo de tempo, [M]/[T]; m& - Vazão mássica no final do intervalo de tempo, [M]/[T]; M- Número de Mach, adimensional; p - pressão absoluta, [N/m²]; Q- Vazão, [L]3/[T]; Qo - Vazão inicial no estado permanente, [L]³/[T]; QP(J,1)- vazão na primeira seção do tubo J, no final do intervalo de tempo, [L]³/[T]; Q(J,1)- vazão na primeira seção do tubo J, no início do intervalo de tempo, [L]³/[T]; QP(I,K)- vazão na última seção do tubo I, no final do intervalo de tempo, [L]³/[T];; Q(I,K)- vazão na última seção do tubo I, no início do intervalo de tempo, [L]³/[T]; R- Constante universal dos gases, [J/kg.K], t - Tempo, [T]; to - Instante de inicial, [T]; Δt - Intervalo de tempo computacional, [T]; T- Temperatura absoluta interna, [K];
0T - Temperatura absoluta externa, [K]; Vol –Volume [L]³ , VPar: volume da massa de ar, no final do intervalo de tempo; Var: volume da massa de ar, no início do intervalo de tempo;
xv
ρ - Massa especifica do fluido, [M]/ [L]³; Δx - Comprimento de cada trecho do conduto, [L]; ν - Coeficiente de Poisson, adimensional; γ - Peso específico do líquido, [M]/([T][L]²);
xvi
RESUMO
Neste trabalho, foram feitas simulações do transiente hidráulico com ventosas de
duplo efeito aplicadas aos nós de maior cota, utilizando-se o software UFC6
produzido no Grupo de Estudos em Hidráulica Computacional da Universidade
Federal do Ceará. As ventosas são mecanismos de alívio do Golpe de Aríete que
trabalham expulsando o ar contido na tubulação quando a carga piezométrica cai
abaixo da cota. Durante o escoamento transiente, a água transporta o ar contido na
tubulação, acumulando-o nos pontos mais altos de seu perfil. Tal fato acarreta no
surgimento de cavidade que além de reduzir a eficiência do escoamento, provoca
pressões negativas que podem levar a estrutura ao colapso. A condição de contorno
que modela o comportamento de uma ventosa é bastante complexa, resultando em
uma equação não linear. Para resolver esta não linearidade, aplicou-se o método da
aproximação parabólica nos intervalos onde o ar escoa em regime subsônico. Este
método, além de ser facilmente implementado, requer pouco esforço computacional.
Apesar de serem bastante utilizadas na prática, existem poucos estudos referentes
ao assunto. Esta pesquisa visa contribuir para a divulgação da hidráulica transiente
como um todo.
Palavras-Chave: Hidráulica Transiente, mecanismos de alívio do Golpe de Aríete,
ventosas de duplo efeito, air in-let.
xvii
ABSTRACT
This work presents a computer simulation of the air valves of double effect in
Hydraulics Transients in pipelines through the use of the computer code UFC6
developed in the Hydraulic Computational Laboratory (HCL) of the Universidade
Federal do Ceará. Air valves are devices designed to relief the effects of the water
hammer phenomena throughout expelling air entrapped in the conduit. The boundary
conditions applied for air valves is very complex and results in a non-linear equation.
In order to solve this non linearity, it was used the parabolic approximation method in
the intervals when air flows in subsonic regime. This method not only is easy to be
implemented but also requires little computational effort. Though widely used, the
subject of air valves and water hammer has few works published worldwide.
1
1. INTRODUÇÃO
O estudo dos Recursos Hídricos, seu planejamento e gestão, são de
fundamental importância para o Nordeste brasileiro. Neste contexto está inserido o
abastecimento de água para as populações que vivem em cidades onde há escassez
da mesma.
No estado do Ceará, principalmente naquelas regiões que se encontram no
semi-árido nordestino, o transporte de água é realizado por meio de adutoras. Estes
sistemas de condutos forçados que trabalham sob pressão, quer seja por gravidade ou
por adução, têm sua fundamentação científica em um importante ramo da engenharia
denominado Hidráulica.
O escoamento da água através de tubulações dá-se em regime permanente
até que surja alguma perturbação brusca em uma de suas condições de contorno,
como por exemplo: o fechamento de uma válvula de jusante, desligamento de uma
bomba etc. A partir daí, surgem alterações, com o tempo, da vazão e da carga
hidráulica: é o escoamento transiente. Também conhecido como Golpe de Aríete, o
transitório hidráulico é o fenômeno relacionado com a propagação de ondas de
sobrepressão e subpressão. A modelagem matemática desse fenômeno é feita por
meio de duas equações fundamentais: a equação da conservação da massa e da
quantidade de movimento que, em conjunto, formam uma equação hiperbólica
semelhante à equação da onda.
A seguir, será apresentada uma aplicação de caráter didático objetivando
discutir de forma qualitativa o fenômeno do transiente hidráulico. Para tanto, dispõe-se
de um reservatório na extremidade de montante, com carga constante igual a 0H e de
uma válvula na extremidade de jusante interligados por meio de uma tubulação
horizontal de comprimento L. A perda de carga no duto é desprezível. A tubulação e o
fluido formam um sistema perfeitamente elástico. O escoamento se dá por gravidade,
sendo regulado pela válvula.
2
Assume-se que inicialmente a válvula mostrada na Figura 1.1 está
completamente aberta e que o fluido escoa a uma velocidade 0V , em regime
permanente. No instante em que a válvula é fechada instantaneamente (t=to), tem-se
início o transiente. O fluido nas proximidades da válvula é comprimido e as paredes da
tubulação se distendem (Figura 1.1). Tão logo a primeira camada de fluido é
comprimida, este processo se repete nas camadas vizinhas. O fluido continua
escoando de montante para jusante sem alteração em sua velocidade, até que todas as
camadas sucessivas tenham sido comprimidas ao longo da extensão da tubulação.
A onda de sobrepressão gerada desloca-se para montante com uma
velocidade de propagação a denominada de celeridade, comprimindo o fluido e
expandindo o conduto. Segundo Streeter (1978), quando a onda atinge o início do
conduto, todo o fluido encontra-se sob a carga extra ΔH, toda a quantidade de
movimento foi eliminada e a energia cinética transformou-se em energia elástica.
Figura 1.1. Primeira fase do transiente.
Fonte: Streeter (1978)
Quando a onda de sobrepressão chega ao início do conduto, já que a
pressão no reservatório não se altera, ocorre um desequilíbrio de pressão devido à
diferença de carga ΔH. O fluido, então, começa a escoar em sentido contrário,
iniciando pela extremidade junto ao reservatório (Figura 1.2). Este escoamento alivia a
V 0= a0V
0H
ΔH a
3
pressão até o valor inicial do escoamento permanente, as paredes do duto voltam ao
normal e o fluido escoa com velocidade 0V , no sentido contrário. Este processo avança
em direção à válvula. No instante 2L/a, quando a onda chega à extremidade de jusante,
as pressões voltam ao normal em todo o conduto e a velocidade em todos os pontos é
0V no sentido de montante.
Figura 1.2. Segunda fase do transiente.
Fonte: Streeter (1978)
Estando a válvula fechada, não há fluido disponível para manter o
escoamento na seção da válvula, e uma onda de subpressão se desenvolve (-ΔH)
de tal modo a parar o fluido (Figura 1.3). Esta onda de baixa pressão avança para
montante à velocidade a, paralisa o fluido, ocasiona a sua expansão em virtude da
pressão mais baixa e permite que a parede do conduto se contraia.
V 0= a0V
a ΔH
0H
4
Figura 1.3. Terceira fase do transiente.
Fonte: Streeter (1978)
No instante em que a onda de pressão negativa chega na extremidade de
montante, 3L/a segundos após o fechamento, o fluido está em repouso, mas
uniformemente com carga ΔH menor que a de antes do fechamento em todos os
pontos. Tal fato provoca um desequilíbrio no reservatório, e o fluido move-se para o
conduto, adquirindo a velocidade 0V para jusante, devolvendo ao fluido e ao conduto as
condições normais, enquanto a onda de sobrepressão avança para jusante com
velocidade a (Figura 1.4). No momento em que a onda atinge a válvula, as condições
são exatamente as mesmas que prevaleciam no instante do fechamento, 4L/a
segundos antes.
Tal processo é repetido a cada intervalo de 4L/a segundos. A ação do atrito
do fluido e da elasticidade imperfeita do fluido e das paredes do duto, desprezadas até
aqui, atuam no sentido de amortecer a vibração e finalmente trazer o fluido a um
repouso permanente. De acordo com Streeter (1978), o fechamento de uma válvula em
tempo menor que 2L/a á chamado de fechamento rápido; fechamento lento refere-se a
tempo de fechamento maior que 2L/a.
a
a0V
0H
ΔH−
5
Figura 1.4. Quarta fase do transiente.
Fonte: Streeter (1978)
Até o presente momento, a equação do transiente hidráulico não dispõe de
uma solução analítica. Neste contexto, tem-se de utilizar métodos numéricos para
encontrar uma solução aproximada. As soluções numéricas ganharam impulso bastante
representativo com o advento e aperfeiçoamento dos computadores digitais. Dentre os
métodos mais divulgados, o Método das Características (MC) é o que apresenta
maiores vantagens em relação aos demais.
Depois de vários estudos iniciais realizados pelos primeiros pesquisadores,
concluiu-se que além de se fazer o estudo do transitório, era necessário modelar
dispositivos que trabalhassem no sentido de atenuar os efeitos do Golpe de Aríete.
Então, surgiram as primeiras válvulas de alívio, seguidos por tanques de amortecimento
hidráulico que trabalham com água.
Os dispositivos que trabalham com ar, têm sua modelagem matemática
bastante complexa. Dentre eles, as ventosas são as mais utilizadas na prática. Há uma
tendência de se utilizar ainda mais este dispositivo, devido às vantagens econômicas
que o mesmo oferece, quando comparado com os demais mecanismos de alívio. Nos
capítulos seguintes serão apresentadas as fundamentações teóricas da(s):
I. Equações características e do Método das Características;
0V a
a
0H
ΔH−
6
II. Equações que governam o escoamento do ar através de orifícios, partindo de
considerações gerais sobre gases e conservação da massa;
III. Metodologia utilizada para modelar o funcionamento de uma ventosa de duplo
efeito;
A modelagem matemática e computacional das ventosas de duplo efeito, que
permitem tanto a entrada quanto a saída de ar, é um dos objetivos principais deste
trabalho. A implementação do algoritmo foi feita na linguagem de programação BASIC,
dentro do ambiente do Visual Basic (versão 6), utilizando a interface do software UFC6,
produzido pelo Grupo de Estudos em Hidráulica Computacional (GEHC) da
Universidade Federal do Ceará (UFC). De fácil interação com o usuário, este programa
também apresenta vários gráficos que permitem a análise das envoltórias de pressões
máximas e mínimas; análise das vazões e cargas em cada nó e uma animação onde é
possível visualizar o movimento da linha piezométrica com o tempo.
Outro objetivo é fornecer uma contribuição teórica para o estudo do
transiente hidráulico. Neste sentido foram feitas algumas discussões a respeito do
Método das Características.
Este método é, atualmente, o mais indicado para se resolver equações
diferenciais hiperbólicas. Buscou-se, também, demonstrar que a celeridade de fato
representa a velocidade da onda. Por fim, tem-se a demonstração formal das equações
que governam o escoamento crítico, que é definido quando a velocidade de
propagação do fluido é maior que a velocidade local de propagação do som no meio, e
subsônica, quando a velocidade do fluido é menor que a velocidade do som. Todas
estas importantes informações são tratadas na literatura em geral como fatos
conhecidos de todos, o que nem sempre corresponde à realidade.
O estudo e a implementação computacional de ventosas representa um
resgate do tema que não tem sido pesquisado no Brasil nos últimos anos. Destarte,
uma literatura nacional sobre hidráulica transiente é bastante incomum. Esta raridade
estende-se ainda mais quando se trata de ventosas em geral.
7
2. RESUMO HISTÓRICO
Embora exista uma pequena quantidade de trabalhos publicados sobre
ventosas no Brasil, este assunto foi objeto de estudo de vários pesquisadores de outros
países. A seguir serão citados alguns dos trabalhos de destaque.
O fluxo compressível para gases ideais em um processo isentrópico, através
de seções convergentes, foi estudado pela primeira vez por Shapiro (1953), seguido por
Schreier (1982) e Anderson (1990).
Tullis (1976), Padmanabham (1978) e Chaudhry (1987), concluíram que uma
pequena quantidade de gases não dissolvidos nos líquidos possibilita a formação de
cavidades devido às pressões negativas durante o transitório. Este fato gera
dependência da velocidade de propagação da onda de pressão com as variáveis de
fluxo.
Chaudhry (1987), Wylie (1993) propuseram um método de dimensionamento
para ventosas como mecanismos de alívio do golpe de aríete em condições de vácuo
dentro de condutos forçados sobre pressão.
No Brasil, podem-se destacar as pesquisas realizadas por Lessa (1984),
onde é apresentada uma metodologia para modelar o comportamento de ventosas
usando o método da bisseção e Righetto (1972), cujo trabalho leva em consideração a
influência das ventosas no transiente hidráulico.
Muito ainda tem que se estudar sobre estas válvulas, cuja utilização é cada
vez mais comum nos projetos de engenharia.
8
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
3.1. Ventosas
As ventosas são dispositivos hidromecânicos projetados para admitir ou
expulsar automaticamente grandes quantidades de ar durante o enchimento,
esvaziamento ou operação de um sistema de adução de água. O ar dissolvido na água
é transportado através da tubulação, tendendo a acumular-se nos pontos mais altos do
perfil da adutora. Este fato diminui a eficiência hidráulica do sistema devido à
diminuição da seção transversal efetiva. As altas pressões negativas que se verificam
nestes pontos podem levar a estrutura ao colapso, provocando acidentes de grandes
proporções.
Quando a pressão interna cai abaixo da atmosférica, a válvula se abre
permitindo que o ar entre, nivelando as pressões e evitando que se alcance um valor
próximo da pressão de vapor do líquido, fato este que acarretaria no fenômeno da
cavitação.
As ventosas são classificadas de acordo com sua função de admitir ou
expulsar o ar dentro da tubulação. Nos itens seguintes serão mostradas as classes de
ventosas disponíveis no mercado brasileiro, segundo catálogos da ARAMFARPA e
KLAVAL (Ver Anexo A).
3.1.1 Ventosas Automáticas de Duplo Efeito (VADE)
Na Figura 3.1 tem-se um exemplo de uma VADE. Este dispositivo é o objeto
principal de estudo desta dissertação, posto que a modelagem computacional aqui
apresentada refere-se a este tipo de válvulas de ar.
Estas ventosas possuem flutuador cilíndrico de aço inoxidável, o que permite
seu funcionamento em altas pressões sem que haja colapso. O funcionamento do
flutuador é facilitado por meio de guias se seção circular. São disponíveis em grande
orifício, permitindo circulação de grande quantidade de ar quando do enchimento ou
esvaziamento de adutoras; e, pequeno orifício, liberando ar continuamente durante a
9
operação. Trabalham com pressões de 2.07 MPa e 4.14 MPa e seus diâmetros
nominais são de 50mm, 75mm, 100mm, 150mm, 200mm e 250mm.
Figura 3.1. Ventosa Automática de Duplo Efeito.
Fonte: Catálogo da Aramfarpa (Anexo A)
3.1.2 Ventosas Automáticas de Simples Efeito (VASE)
As VASE trabalham de forma unilateral, permitindo apenas a entrada ou
saída de ar na adutora. A expulsão de ar ocorre quando o ar acumulado nos pontos de
cotas elevadas pressiona o orifício da válvula que é dimensionado para abrir-se quando
atingido certo limite de projeto. Estas ventosas possuem dispositivos de vedação que
não permitem a entrada de ar na adutora.
O corpo e a tampa das VASE são feitos de aço carbono e aço inoxidável,
respectivamente. Trabalham com pressões de 2.07 MPa ou 4.14 MPa, tendo os
mesmos diâmetros nominais das VADE.
10
3.1.3 Ventosas Automáticas de Fechamento lento (VAFL)
As VAFL (Figura 3.2) são sistemas projetados para proteger a adutora do
colapso resultante do vácuo interno e do golpe de aríete resultante dele.
Dimensionadas para abrir rapidamente quando o gradiente hidráulico cai abaixo da cota
da ventosa, admitem ar em quantidade suficiente para evitar o vácuo na tubulação.
Quando a linha piezométrica volta a subir, ultrapassando a cota onde ela está instalada,
o orifício fecha lentamente.
O fechamento ocorre com velocidade controlada por efeito de um
amortecedor hidráulico. Este é um fator importante, pois não há introdução de
transientes na linha quando o fechamento é lento. Trabalham com pressões de 2.07
MPa ou 4.14 MPa e têm os mesmos diâmetros nominais das VADE.
Figura 3.2. Ventosa Automática de Fechamento Lento.
Fonte: Catálogo Aramfarpa (Anexo A)
11
3.2. Método das Características
O Método das Características (MC) é uma aproximação numérica de fácil
aplicação iterativa baseada no conceito de Derivada Total. Sendo a função diferenciável
dentro de seu domínio, a Derivada Total existe e pode ser calculada para funções de
várias variáveis. No entanto, devido ao caráter prático do presente trabalho, limita-se
aqui ao estudo de funções reais de variável real tais que 2f :ℜ →ℜ , onde ℜ é o
conjunto dos números reais. Mais precisamente, f é uma função de duas variáveis
independentes x e t, onde x representa o espaço e t o tempo.
Neste contexto, define-se derivada total de ( )f x,t como:
( ) ( ) ( )df x,t f x,t f x,tdxdt dt x t
∂ ∂= +
∂ ∂ (3.1)
A equação (3.1) é apropriada para resolver problemas reais de engenharia
pelo Método das Características, pois o termo dxdt
é interpretado fisicamente como
sendo a velocidade e ( )f x,tt
∂∂
corresponde à representação do fenômeno transiente.
As equações que regem o transiente hidráulico formam em conjunto uma
Equação Diferencial Parcial Linear de segunda ordem, cuja forma geral é expressa por:
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2
f x,t f x,t f x,tA Β C 0
x x t t∂ ∂ ∂
+ + =∂ ∂ ∂ ∂
(3.2)
Segundo Kreyszig (1988), classifica-se a Equação (3.2) em:
Hiperbólica, se 2B 4AC 0− > ;
Parabólica, se 2B 4AC 0− = ;
Elíptica, se 2B 4AC 0− < .
12
Pretende-se a seguir demonstrar que o Método das Características pode ser
aplicado em Equações Hiperbólicas, evidenciando a fato de este ser um método
compatível com a modelagem do fenômeno transitório.
Considerem-se as duas equações de primeira ordem abaixo,
( )f x,tu
x∂
=∂
(3.3)
( )f x,tv
t∂
=∂
(3.4)
Derivando a equação (3.4) com respeito a x e (3.3) com respeito a t e usando
a equação de compatibilidade (3.5),
( ) ( )2f x,t f x,tu vt t x x t x
⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂= = =⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.5)
Produz-se:
u v vA Β C 0x x t∂ ∂ ∂
+ + =∂ ∂ ∂
(3.6)
A equação de compatibilidade pode ser reescrita como:
u v 0t x
∂ ∂− =
∂ ∂ (3.7)
Que multiplicada por um escalar λ equivale a:
u vλ 0t x
∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.8)
13
Somando-se a Equação (3.8) a (3.6), tem-se:
u v u v vλ A Β C 0t x x x t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.9)
Reagrupando os termos,
u u v v vA λ Β λ C 0x t x x t∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.10)
( )B λA u u v vλ C 0λ x t C x t
⎡ ⎤−∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (3.11)
Os termos entre parênteses e entre colchetes na equação (3.11) podem ser
facilmente associados com a derivada Total, tal como está expressa em (3.1). Assim, a
equação (3.11) possui derivada ao longo de alguma curva no plano ( )x,t , assumindo-
se que:
dx A B λdt λ C
−= =
(3.12)
Assim,
du dvλ C 0dt dt
+ =
(3.13)
Ao longo da curva característica expressa em (3.12).
O valor de λ é calculado resolvendo a equação quadrática abaixo:
14
dx A B λdt λ C
−= =
2λ Bλ AC 0− + = (3.14)
Que produz,
2B B 4ACλ2
± −=
(3.15)
O MC é um método iterativo que fornece uma solução aproximada para
equações parciais utilizando duas curvas características. Neste caso, a Equação (3.2)
pode ser resolvida por meio deste método quando se tem dois valores de λ . Este fato
implica que 2B 4AC 0− > , portanto a equação em questão é necessariamente
Hiperbólica.
Por fim, pode-se acrescentar sobre o Método das Características as
seguintes propriedades:
I. Qualquer equação ou conjunto de equações que podem ser resolvidos usando o
método das características é do tipo hiperbólico.
II. Equações hiperbólicas permitem descontinuidades em qualquer uma das variáveis
dependentes ou suas derivadas podem ser determinadas em uma fronteira dentro
da solução ao longo da curva característica. Somente as equações hiperbólicas têm
esta propriedade.
III. Como os métodos numéricos usualmente aproximam variáveis dependentes por
meio de polinômios, problemas com fronteiras ou valores iniciais descontínuos, eles
podem ser resolvidos de forma precisa usando somente técnicas numéricas ao
longo das curvas características.
IV. A geometria que as curvas características determinam com a fronteira e a condição
inicial deve ser usada para obter uma solução única. Por exemplo, uma equação
15
ordinária de primeira ordem requer que a variável dependente, f , seja especificada
para um e somente um ponto em cada curva característica dentro de seu domínio.
V. A declividade da curva característica, dxdt
, é a velocidade da onda de sobrepressão
e subpressão. Esta é a velocidade com que um distúrbio se propaga dentro do
domínio.
3.3. Equações características
As equações fundamentais que modelam os escoamentos transitórios no
interior dos condutos forçados são: a equação da continuidade (B.50) e a equação da
quantidade de movimento (B.28), cuja dedução formal encontra-se no Anexo B. Deseja-
se resolver tais equações para se determinar a carga H e a vazão Q em uma dada
seção x como função do tempo t.
No entanto, uma solução exata para estas equações diferenciais não está
disponível. Para se obter tal solução, as variáveis dependentes Q e H devem ser
expressas como função de quaisquer valores das variáveis independentes x e t. Por
meio de um método numérico, pode-se obter uma solução aproximada para valores
discretos de x e t.
A principal vantagem do Método das Características decorre do fato de ser
possível eliminar uma das variáveis independentes. Assim, dependendo da formulação
adotada, pode-se trabalhar apenas com a variável x ou t, separadamente. Fisicamente,
isto quer dizer que o fenômeno transitório segue uma lei de propagação de ondas que
associa o tempo com a abscissa x, definido ao longo da canalização, por meio da
celeridade a, ou velocidade de propagação da onda.
A seguir será apresentado o desenvolvimento das equações que modelam o
fenômeno transitório aplicando-se o Método das Características.
16
3.4. Equações Características do Transiente Hidráulico
As equações (B.50) e (B.28) podem ser reescritas, em função da vazão Q e
da Carga piezométrica H, mediante as expressões:
1Q H fL gA Q Q 0t x 2DA
∂ ∂= + + =
∂ ∂ (3.16)
22
Q HL a gA 0x t
∂ ∂= + =
∂ ∂ (3.17)
Formando-se uma combinação linear dessas duas equações, de modo que:
1 2L L λL= + (3.18)
Tem-se:
2Q Q H 1 H fλa λgA Q Q 0t x t λ x 2DA
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.19)
Dois valores distintos, reais e diferentes de zero para o parâmetro λ, formam
duas equações diferenciais ordinárias que exprimem as equações originais em termos
de H e Q.
Sabendo que a carga H(x,t) e a vazão Q(x,t) são funções da posição x e do
tempo t, tem-se para as derivadas totais:
dQ Q Q dxdt t x dt
∂ ∂= +
∂ ∂ (3.20)
dH H H dxdt t x dt
∂ ∂= +∂ ∂
(3.21)
17
E, como visto no item anterior, impondo-se uma dependência entre x e t de
forma que o parâmetro λ seja dado por:
21 dx λ aλ dt= = (3.22)
1λa
= ± (3.23)
A equação (3.19) pode ser expressa por:
dQ dH fL λgA Q Q 0dt dt 2DA
= + + = (3.24)
Assim, a equação (3.24) pode ser reescrita, para cada valor escolhido de λ,
como:
*1
dQ gA dH fL Q Q 0dt a dt 2DA
= + + = (3.25)
Para, dx adt
= (3.26)
*2
dQ gA dH fL Q Q 0dt a dt 2DA
= − + = (3.27)
Para, dx adt
= − (3.28)
Como resultado do Método das Características, obtém-se as quatro
equações diferenciais ordinárias (3.25), (3.26), (3.27) e (3.28). Já que nenhuma
aproximação matemática foi feita durante a transformação das equações diferenciais
parciais originais, essas quatro equações representam o fenômeno hidráulico de
18
maneira similar às equações (3.16) e (3.17). A única diferença está no fato de que cada
uma destas equações é válida somente ao longo das linhas características
representadas pelas equações (3.26) e (3.28), respectivamente.
As equações (3.26) e (3.28) representam no plano (x,t) duas linhas retas com
declividades ± 1/a, como se pode observar pela Figura 3.3. Essas linhas retas são
chamadas de linhas características, daí o nome Método das Características. A reta de
inclinação + 1/a é chamada característica positiva e a reta de inclinação – 1/a é a
característica negativa, sendo convenientemente chamadas de C+ e C− ,
respectivamente.
Uma solução numérica pode ser obtida, discretizando-se o domínio em
trechos Δx e o tempo em intervalos de tempo Δt.
Figura 3.3 Linhas Características no plano (x,t) Fonte: Barbosa (2006)
Assumindo que a carga H e a vazão Q são conhecidas para um tempo 0t t= ,
valores estes denominados de condições iniciais, um processo iterativo deve ser
aplicado para determinar os valores de carga e vazão num instante posterior tal que
0 Δt t t= + . Assim, considerando a Figura 3.3, supõe-se que se conhecem os valores
19
de H e Q nos pontos M(i-1,t) e J(i+1,t) para um tempo 0t t= . A seguir, deseja-se
determinar os valores dessas variáveis em um ponto P(i,t+Δt) para o tempo 0 Δt t t= + .
Integrando a equação (3.25) em relação a t tem-se:
t Δt t Δt t Δti i i
t t ti 1 i 1 i 1
Q H Q
Q H Q
gA fdQ dH Q Q dt 0a 2DA
+ + +
− − −
+ + =∫ ∫ ∫ (3.29)
Neste trabalho usam-se os subscritos i-1 e i+1 para indicar a posição dos nós
anterior e posterior, respectivamente; e, os sobrescritos t e t+Δt para indicar os
instantes correspondentes. Desta forma, t ΔtiQ + indica o valor da vazão no ponto P. É
possível determinar as integrais dos primeiros dois termos da equação (3.29).
Entretanto, o terceiro termo não pode ser explicitado porque Q varia com t de forma
desconhecida. Assim, usando uma aproximação de primeira ordem, o terceiro termo
pode ser determinado como:
( )t Δti
ti 1
Q t t t ti 1 i 1 i 1 i 1Q
f f fQ Q dt t Δt t Q Q Δt Q Q2DA 2DA 2DA
+
−− − − −⎡ ⎤≅ + − =⎣ ⎦∫ (3.30)
Ou seja, a equação (3.30) implica em assumir que Q permanece constante
do ponto M(i-1,t) ao ponto P(i,t+Δt), com o valor de ti 1Q − . Ao substituir a Equação (3.30)
em (3.29), produz-se:
( )t Δt t t Δt t t ti i 1 i i 1 i 1 i 1
gA fQ Q H H Δt Q Q 0a 2DA
+ +− − − −− + − + = (3.31)
A Equação (3.31) é exata, salvo para o termo contendo o coeficiente de atrito
f. Esta aproximação de primeira ordem normalmente fornece resultados razoáveis para
aplicações normais de engenharia. Entretanto, se o fator contendo o termo de atrito
torna-se muito grande, esta aproximação pode gerar instabilidade numérica. Para que
esta possibilidade seja evitada, deve-se usar intervalos de tempo menores.
Procedendo da mesma maneira em relação à equação (3.27) tem-se:
20
( )t Δt t t Δt t t ti i 1 i i 1 i 1 i 1
gA fQ Q H H Δt Q Q 0a 2DA
+ ++ + + +− − − + = (3.32)
Obtém-se, assim, um sistema com duas equações algébricas que são
soluções aproximadas para as equações (3.25) e (3.27):
C+ : t Δt t t Δt t t ti i 1 i i 1 i 1 i 1
gA f(Q Q ) (H H ) Δt Q Q 0a 2DA
+ +− − − −− + − + = (3.33)
C− : t Δt t t Δt t t ti i 1 i i 1 i 1 i 1
gA f(Q Q ) (H H ) ΔtQ Q 0a 2DA
+ ++ + + +− − − + = (3.34)
Combinando termos, a equação (3.33) pode ser reescrita na forma:
C+ : t Δt t Δti p iH C BQ+ += − (3.35)
E a equação (3.34) pode ser reescrita na forma:
C− : t Δt t Δti M iH C BQ+ += + (3.36)
t t t tP i 1 i 1 i 1 i 1C H BQ RQ Q− − − −= + − (3.37)
t t t tM i 1 i 1 i 1 i 1C H BH RQ Q+ + + += − + (3.38)
aBgA
= e ( )2
Δ2
f xRgDA
= (3.39)
Os valores das constantes CP e CM são conhecidos para cada intervalo de
tempo (t - Δt) anterior e a constante B depende apenas das características do conduto.
O valor da incógnita Δt tiQ + pode ser obtido pela equação:
21
Δ 0 5t ti P MQ , (C C )+ = + (3.40)
O valor de t ΔtiH + é então obtido pela equação (3.35) ou pela equação (3.36):
( )P Mt Δti
C CH
2B+ −
= (3.41)
Segundo Chaudhry (1987), a aproximação por diferenças finitas de primeira
ordem é, para a maioria dos casos, suficientemente precisa. Para os casos em que a
perda de carga por atrito é alta, recomenda-se utilizar um esquema de diferenças finitas
de segunda ordem para se evitar instabilidades decorrentes da aproximação.
3.5. Equação da onda
As equações da continuidade e da quantidade de movimento podem ser
escritas em termos da velocidade V e da pressão por meio das equações (3.42) e
(3.43), respectivamente:
2p Vρa 0t x
∂ ∂+ =
∂ ∂ (3.42)
fV VV 1 p 0t ρ x 2D
∂ ∂+ + =
∂ ∂ (3.43)
Diferenciando a Equação (3.42) com respeito a x e a Equação (3.43) com
respeito a t, tem-se:
2 22
2p Vρa 0
x t x∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂
(3.44)
22
2 2
2V 1 p 0t ρ x t
∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂ (3.45)
Eliminando o termo diferencial em p do sistema de equações acima, tem-se:
2 22
2 2V Vat x
∂ ∂=
∂ ∂ (3.46)
A Equação (3.46) é a equação unidimensional da onda. A seguir será
apresentada uma resolução desta equação, utilizando o método das variáveis
separáveis ou método do produto. A partir de sua solução geral será possível
demonstrar que a celeridade representa a velocidade de propagação das ondas de
sobrepressão e subpressão.
Antes de adentrar no trato matemático da resolução, devem ser feitas
algumas hipóteses simplificadoras. Apesar de estas hipóteses serem de caráter
didático, os resultados obtidos podem ser extrapolados para casos mais gerais. Assim,
considera-se que não há perdas por atrito. Este fato garante que o movimento de
propagação das ondas é periódico. Leva-se em consideração, ainda, que o fechamento
da válvula é instantâneo, fazendo com que a velocidade de escoamento anule-se nas
extremidades. Neste contexto, podem-se escrever as seguintes condições de contorno:
V(0,t) 0= e V(L,t) 0= (3.47)
O método de separação das variáveis produz soluções do tipo:
V(x,t) F(x)G(t)= (3.48)
Diferenciando-se duas vezes a equação (3.50) com respeito à x e t,
respectivamente, obtém-se:
23
2
2V F G
x∂ ′′=∂
e 2
2V FGt
∂=
∂&& (3.49)
Substituindo as expressões acima na equação (3.48), resulta:
2FG a F G′′=&& (3.50)
Dividindo a equação (3.50) por 2a FG, encontra-se:
2G F
a G F′′
=&&
(3.51)
A expressão do primeiro membro envolve funções que dependem somente
de t, enquanto que a expressão do segundo membro envolve funções que dependem
somente de x. Portanto, para que haja a igualdade, ambas as expressões precisam ser
iguais a uma constante k. Isto ocorre porque se a expressão da esquerda não for
constante, variando com t, ela sofreria uma mudança que não poderia ser
acompanhada pela expressão da direita, pois esta não depende de t. Da mesma forma,
se a expressão da direita não for constante, mudando com x, a igualdade não poderia
manter-se, desde que a expressão da esquerda não dependa de x. Assim, pode-se
escrever:
2G F k
a G F′′
= =&&
(3.52)
Produzem-se imediatamente duas equações diferenciais ordinárias lineares:
F kF 0′′ − = (3.53)
24
2G a kG 0− =&& (3.54)
Em seguida, aplicam-se as condições de contorno na equação (3.48),
V(0,t) F(0)G(t) 0= = (3.55)
V(L,t) F(L)G(t) 0= = (3.56)
Pode-se ver claramente que, se G(t) 0= , então V 0≡ para todo e qualquer t.
Este resultado não satisfaz. Portanto, tem-se necessariamenteG(t) 0≠ , para todo t,
produzindo:
F(0) 0= e F(L) 0= (3.57)
Objetivando encontrar a função F , faz-se uma análise da constante arbitrária
k, que pode assumir valores negativos, positivos ou nulo. Assim, para k=0, a solução
geral da equação (3.53) é F(x) ax b= + . Porém, substituindo as condições presentes
em (3.57), tem-se a b 0= = . Ou seja, F 0≡ , que não interessa.
Tomando valores positivos para a constante, ou seja, 2k μ= , tem-se a
seguinte solução geral:
μx μxF Ae Be−= + (3.58)
Mais uma vez, substituindo as condições encontradas em (3.57) na equação
(3.58), encontra-se F identicamente nula. Resta a possibilidade de escolher-se um valor
negativo para a constante. Portanto, aplicando 2k p= − na equação (3.53), produz-se:
2F p F 0′′ + = (3.59)
A solução geral da equação (3.59) é dada por:
25
F(x) Acospx Bsenpx= + (3.60)
Aplicando os valores de (3.57), tem-se:
F(0) A 0= = e F(L) BsenpL 0= = (3.61)
Finalmente, para B 0≠ , tem-se senpL 0= que implica:
pL nπ= e nπpL
= (3.62)
Fazendo B 1= , obtêm-se infinitas soluções do tipo nF(x) F (x)= , onde:
nnπF (x) sen xL
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.63)
Agora, o valor de k é conhecido, 2
2 nπk pL
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
, e a equação (3.56) toma
a seguinte forma:
2nG λ G 0+ =&& , com n
anπλL
= (3.64)
Uma solução da equação acima é:
n n n n nG (t) A cosλ t B cosλ t= + (3.65)
Assim, a função V(x,t) F(x)G(t)= pode ser escrita como:
n n n n nnπV (t) (A cosλ t B cosλ t)sen xL
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.66)
26
Para nanπλ
L= e n 1,2,3...= (3.67)
Sabe-se que a solução geral de uma equação diferencial pode ser escrita
como uma combinação linear de suas soluções particulares. Portanto, a solução geral
da equação (3.66) pode ser expressa por:
n n n nn 1
nπV(t) (A cosλ t B cosλ t)sen xL
∞
=
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ , para nanπλ
L= (3.68)
A equação (3.68) é chamada de Equação de Movimento Harmônico.
Observe que cada termo n representa um chamado modo normal da Equação de
Movimento Harmônico, cuja freqüência nr
λ anf2π 2 L
= = ciclos por unidade de tempo (L é o
comprimento total da tubulação).
O primeiro modo normal (n=1) é chamado de modo fundamental e é o mais
importante dos modos. Os outros são conhecidos como sobretons (em música,
representam as oitavas, oitavas mais quintas, etc.) Analisando o modo fundamental,
verificamos que o período de uma onda de sobrepressão é então dado por:
r
1 2 LTf a
= = , assim, pode-se concluir que a celeridade representa a velocidade de
propagação da onda de sobrepressão (ou subpressão) durante o transitório hidráulico
(desprezando as perdas de carga por atrito).
27
3.6. Vazão mássica
Os modelos matemáticos utilizados para simular o comportamento das
ventosas consideram o fluxo compressível, já que o ar pode mover-se a velocidades
comparadas a velocidade do som e suas mudanças de densidade são significativas. A
seguir, serão explanados os conceitos fundamentais sobre o comportamento do fluxo
de ar que serão necessários na metodologia aplicada no capítulo seguinte.
3.6.1 Relações para um gás perfeito.
Um gás perfeito pode ser definido como sendo um fluido que apresenta
calores específicos constantes e que segue a lei:
p ρRT= (3.69)
Onde p,ρ,T e R são, respectivamente, a pressão absoluta, a massa
específica, a temperatura absoluta e a constante do gás.
Em geral, o calor específico a volume constante vc é definido por:
vv
ucT∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(3.70)
Onde u é a energia interna por unidade de massa. Logo, vc é o acréscimo de
energia interna necessário para aumentar de um grau a temperatura da unidade de
massa do gás, mantido constante o seu volume. Por meio da teoria da termodinâmica
prova-se que, para um gás perfeito, u é somente função da temperatura.
O calor específico à pressão constante pc é definido por:
pp
hcT∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(3.71)
28
Onde h é a entalpia por unidade de massa dada por:
ph uρ
= + (3.72)
Desde que, para um gás perfeito pρ
é igual a RT e u é função somente da
temperatura, tem-se que h também é função somente desta.
Para os gases perfeitos as Equações (3.70) e (3.71) podem ser escritas,
respectivamente,
vdu c dT= (3.73)
pdh c dT= (3.74)
Então, de (3.69),
ph u u RTρ
= + = + (3.75)
Diferenciando,
dh du RdT= + (3.76)
E substituindo os valores das Equações (3.70) e (3.71),
p vc c R= + (3.77)
Que é válida para qualquer equação que obedeça à Equação (3.69)
Com base no acima exposto, define-se a constante adiabática sk como:
29
ps
v
ck
c= (3.78)
Finalmente, comparando as Equações (3.77) e (3.78), produz-se:
pkc R
k 1=
− (3.79)
vRc
k 1=
− (3.80)
3.6.2 Velocidade de propagação do Som.
A velocidade de propagação de uma pequena perturbação em um duto pode
ser determinada aplicando-se as equações da continuidade e da quantidade de
movimento. A equação da continuidade pode ser escrita como:
( )( )ρVA ρ dρ V dV A= + + (3.81)
Onde A é a área de seção transversal do conduto. Simplificando a Equação
(3.81), tem-se:
ρdV Vdρ 0+ = (3.82)
A Equação da quantidade de movimento expressa na sua forma vetorial (Ver
Apêndice B), é dada por:
( )olvc scF ρvdV ρv v.dA
t∂
= +∂∑ ∫ ∫
rr r r (3.83)
30
Introduzindo a equação acima, aplicada ao volume de controle (ver figura
B1), tem-se:
( ) ( )pA p dp A ρVA V dV V− + = + − (3.84)
Ou, simplificando:
dp ρVdV= − (3.85)
Eliminando ρ dV das equações (3.82) e (3.85), produz-se:
2 dpVdρ
= (3.86)
Logo, uma pequena perturbação ou variação nas condições de um
escoamento em regime permanente somente pode ocorrer quando a velocidade
assume o valor particular dpVdρ
= .
Esta situação pode ser transformada no escoamento transitório com uma
pequena perturbação movendo-se através do fluido em repouso, superpondo ao
sistema e ao meio a velocidade V orientada para a esquerda já que isto não afeta em
nada a dinâmica do problema. Esta velocidade é denominada de velocidade de
propagação do som no meio c .
3.6.3 Número de Mach.
O número de Mach M foi definido como a razão entre a velocidade do fluido
V e a velocidade local de propagação do som c .
31
VMc
= (3.87)
Elevando ao quadrado o número de Mach, obtém-se 2
2Vc
, que pode ser
interpretada como a relação entre a energia cinética e a energia térmica do fluido; já
que a primeira é proporcional a 2V e a segunda é proporcional a T . Em outras palavras,
o número de Mach é uma medida do grau de compressibilidade. Em um fluido
incompressível, K é infinito e M 0= . Para gases perfeitos sK k p= , quando a
compressão é isentrópica. Este tipo de compressão será utilizado na modelagem
matemática da ventosa.
3.6.4 Escoamento Isentrópico.
O escoamento adiabático sem atrito, ou escoamento isentrópico, é um caso
ideal que não se pode verificar na prática com gases reais. Entretanto, uma
aproximação deste caso ideal ocorre nos escoamentos através de transições,
medidores de Venturi e Ventosas. Segundo Wylie (2000), podem-se fazer as seguintes
simplificações:
I. Desprezam-se os efeitos de atrito, devido às curtas distâncias percorridas;
II. As trocas de calor são pequenas porque as variações sofridas por uma partícula são
suficientemente lentas para manter baixos os gradientes de velocidade e de
temperatura.
Alguns resultados gerais podem ser obtidos a partir da Equação (3.90),
conhecida como equação de Euler, desprezando-se as variações de cotas.
dpVdV 0ρ
+ = (3.88)
32
Da equação da continuidade,
ρAV const= (3.89)
Diferenciando a equação acima e dividindo o resultado por ρAV , produz-se:
dρ dV dA 0ρ V A
+ + = (3.90)
Da Equação (3.88) pode-se obter dpdρ
, e, substituindo na Equação (3.89),
tem-se:
2 dρVdV c 0ρ
+ = (3.91)
Eliminando dρρ
entre as duas equações anteriores e reagrupando os termos,
( )2
22
dA A V A1 M 1dV V c V
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.92)
Para se chegar a essa relação foram feitas as hipóteses de escoamento
permanente e sem atrito. No entanto, não foi feita nenhuma restrição quanto às trocas
de calor.
A Equação (3.92) mostra que para um escoamento subsônico (M 1)< , tem-
se dAdV
sempre negativo; isto é, a área do conduto deve diminuir para que a velocidade
aumente. Como dAdV
é igual a zero somente quando M 1= , conclui-se que a velocidade
vai aumentando até atingir a seção mínima ou garganta, sendo esta a única seção onde
o escoamento pode ser sônico. Do mesmo modo, para números de Mach maiores que
33
a unidade (escoamento supersônico) dAdV
é positivo e a área deve aumentar para que a
velocidade aumente. Portanto, para se obter um escoamento supersônico permanente,
a partir de um fluido em repouso em um reservatório é necessário inicialmente conduzi-
lo através de um conduto convergente e depois através de um conduto divergente.
Quando a análise estiver limitada ao escoamento isentrópico (k 1.4= ), a
Equação (3.93) é válida:
k k1 1p p ρ ρ−= (3.93)
Diferenciando e substituindo dp em (3.90),
k 2
1 k1
ρVdV kp dp 0ρ
−
+ = (3.94)
Integrando, obtém-se:
2 k 1
1 k1
V k ρp cons tante2 k 1 ρ
−
+ =−
(3.95)
Desta forma, pode-se escrever:
2 21 1 2 2
1 2
V p V pk k2 k 1ρ 2 k 1ρ
+ = +− −
(3.96)
A equação acima é muito útil quando expressa em função da temperatura.
Neste caso, fazendo p ρRT= produz-se:
2 21 2
1 2V Vk kRT RT2 k 1 2 k 1
+ = +− −
(3.97)
34
Para um escoamento adiabático a partir de um reservatório, onde o estado
do fluido é definido por 0 0 0p ,ρ ,T , pode-se escrever, para uma seção genérica,
( )2
0V kR T T2 k 1
= −−
(3.98)
Em termos do número de Mach local, com 2c kRT= ,
( )( )
202 0
2
2kR T T TV 2M 1c k 1 kRT k 1 T
− ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ (3.99)
20T k 11 MT 2
−= + (3.100)
Restringindo a equação acima ao estado isentrópico, tem-se:
kk 120p k 11 M
p 2−−⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.101)
1k 120ρ k 11 M
ρ 2−−⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.102)
As condições de escoamento são críticas quando a velocidade é igual a do
som. As condições sônicas serão indicadas por um asterisco: M 1= , * * *c V kRT= = .
Aplicando as equações à seção em estudo para condições críticas (usando k 1,4= ),
produz-se:
35
*
0
T 2 0.833T k 1
= =+
(3.103)
k* k 1
0
p 2 0,528p k 1
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.104)
1* k 1
0
ρ 2 0,634ρ k 1
−⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.105)
A variação da área com o número de Mach para o estado crítico é obtida
utilizando-se a equação da continuidade e as Equações (3.100) e (3.103). Inicialmente,
* * *ρAV ρ A V= (3.106)
Onde *A é a área mínima. Então,
* *
*A ρ VA ρ V
= (3.107)
Como * * *c V kRT= = e V cM M kRT= = , usando (3.102) e (3.105)
( )
( )
12
2* * *
0
0
k 11 M
2TV 1 T 1 T 1k 1V M T M T T M
2
⎧ ⎫⎡ ⎤−+⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦= = = ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.108)
36
( )
( )
( )1
k 12
* *0
0
k 11 M
2ρρ ρk 1ρ ρ ρ
2
−⎧ ⎫⎡ ⎤−+⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦= = ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.109)
Substituindo as duas últimas equações em (3.109), tem-se:
( )
( )
( )k 1
2 k 12
*
k 11 M
2A 1k 1A M
2
+−⎧ ⎫⎡ ⎤−
+⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.110)
Esta equação fornece a variação da área do conduto em termos do número
de Mach. A relação *AA
nunca é menor que a unidade e a qualquer valor maior que um
corresponde dois números de Mach: um menor e outro maior que a unidade. No caso
de gases com k 1,4= , a equação (3.110) reduz-se a:
32
*A 1 5 MA M 6
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.111)
Desta forma, a máxima vazão mássica máxm& pode ser expressa em função
da área da ventosa e das condições no reservatório:
1k 1* * * * 0
máx 0kR2T2m ρ A V ρ A
k 1 k 1−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
& (3.112)
Obtida usando-se as Equações (3.103) e (3.106).
Sabendo que 00
0
pρRT
= , pode-se escrever a equação abaixo:
37
k 1* k 1
0máx
0
A p k 2mR k 1T
+−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
& (3.113)
No caso de um gás onde k 1,4= ,
*0
máx0
A pm 0,686T
=& (3.114)
Para o escoamento subsônico através de um conduto, a velocidade deve ser
inferior à velocidade sônica, ou M 1< . Desta forma, a vazão em massa é obtida de:
2 k 1k k
0 00 0
k p pm ρVA A 2p ρ 1k 1 p p
−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
& (3.115)
Substituindo-se k por 1,4 na equação (3.115), obtém a vazão em
massa para o escoamento subsônico:
1.4286 1.714
0 00 0
p pm ρVA A 7p ρp p
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
& (3.116)
38
4. METODOLOGIA
4.1. Condição de Contorno das ventosas.
A metodologia apresentada a seguir é fundamentada no trabalho de
Chaudhry (1987), no que diz respeito às hipóteses simplificadoras utilizadas na
modelagem do fluxo de ar através da válvula, e no método numérico de aproximação
parabólica aplicado por Streeter (1978).
Quando a carga cai abaixo da cota do duto, a ventosa se abre, permitindo a
entrada de ar. A condição de contorno relativa à válvula é muito complexa, por isso é
necessário fazer algumas considerações antes de se entrar no modelo matemático
propriamente dito. Desta forma, consideram-se o fluxo de ar através da ventosa
isentrópico e as expansões e contrações do ar no interior da tubulação seguem a lei
isotérmica; o ar admitido não é carregado pelo líquido, permanecendo nas vizinhanças
da válvula e o volume de ar é pequeno quando comparado com o volume do líquido nas
seções (STREETER, 1978). A equação que governa a lei isotérmica dos gases é:
olpV mRT= (4.1)
Onde:
p: pressão absoluta dentro da tubulação ( 21tML −− );
Vol: volume de ar ( 3L );
m: massa de ar (M);
R: constante universal dos gases, que para o ar é igual a:
287 J/kg.k ( 122 TtL −− );
T: temperatura absoluta (T).
Desprezando-se a perda de carga na junção, tem-se:
39
HP(I,K) HP(J,1)= (4.2)
Onde:
HP(I,K): carga piezométrica na última seção do tubo I, no final do intervalo de
tempo;
HP(J,1): carga piezométrica na primeira seção do tudo J, no final do intervalo
de tempo.
Quando a ventosa está funcionando (Figura 4.1), na presença da cavidade, a
equação da continuidade em termos de volume é expressa por:
[ ]VPar Var 0.5Δt QP(J,1) Q(J,1) QP(I,K) Q(I,K)= + + − − (4.3)
Onde:
VPar: volume da massa de ar, no final do intervalo de tempo ( 3L );
Var: volume da massa de ar, no início do intervalo de tempo ( 3L );
QP(J,1): vazão na primeira seção do tubo J, no final do intervalo de tempo
( 13tL − );
Q(J,1): vazão na primeira seção do tubo J, no início do intervalo de tempo
( 13tL − );
QP(I,K): vazão na última seção do tubo I, no final do intervalo de tempo
( 13tL − );
Q(I,K): vazão na última seção do tubo I, no início do intervalo de tempo
( 13tL − );
40
Figura 4.1. Vazões entrando e saindo da cavidade.
Para pequenos valores do intervalo de tempo, a massa m de ar no final do
intervalo de tempo pode ser representada por:
( )0 0m m 0.5Δt m m⎡ ⎤= + +⎣ ⎦& & (4.4)
Onde:
0m : massa de ar no início do intervalo de tempo (M);
0m& : vazão mássica no início do intervalo de tempo ( 1Mt− );
m& : vazão mássica no final do intervalo de tempo ( 1Mt− ).
Desta forma, substituindo-se as equações (4.3) e (4.4) em (4.1), produz-se:
( ) ( )0 0p Var 0.5Δt QP(J,1) Q(J,1) QP(I,K) Q(I,K) m 0.5 m m RT⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦& & (4.5)
QP(I,K)
Datum
z
C+ C−
Q(I,K)
QP(J,1)
Q(J,1)
41
Buscando a compatibilidade das condições de contorno, as equações
características são válidas, sendo expressas neste caso por comodidade computacional
mediante as equações:
C : HP(I,K) CP B QP(I,K)+ = − (4.6)
C : HP(J,1) CM B QP(J,1)− = + (4.7)
Em que,
PC H(I,K) BQ(I,K) RQ(I,K) Q(I,K)= + − (4.8)
MC H(J,1) BQ(J,1) RQ(J,1) Q(J,1)= − + (4.9)
As constantes utilizadas nas equações características são definidas como:
aBgA
= e ( )2
fΔxR2gDA
= .
Onde:
H(I,K): carga na última seção do tubo I, no início do intervalo de tempo (L);
H(J,1): carga na primeira seção do tubo J, no início do intervalo de tempo (L);
Q(I,K): vazão na última seção do tubo I, no início do intervalo de tempo
( 13tL − );
Q(J,1): vazão na primeira seção do tubo J, no início do intervalo de tempo
( 13tL − );
f: fator de atrito (adimensional);
Δx : comprimento do trecho (L);
42
g: aceleração da gravidade ( 2Lt− );
D: diâmetro do duto (L);
A: a área da seção transversal da tubulação ( 2L ).
A carga piezométrica H e a pressão absoluta relacionam-se por meio da
expressão (4.10):
p γ H(I,K) z H⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (4.10)
Onde:
γ : peso específico da água ( 22tML −− );
H: representa a carga barométrica no ponto onde está instalada a ventosa
(L).
O termo relativo à carga barométrica surge na equação (4.10), pois esta
relaciona a cota piezométrica com a pressão absoluta e não com a pressão relativa.
Substituindo as Equações (4.6), (4.7) e (4.10) em (4.5), produz-se:
( )
M P0
0 0
C C 2 pp V 0.5Δt Q(J,1) Q(I,K) z HB B γ
m 0.5Δt m m RT
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞+⎛ ⎞⎪ ⎪+ − − + + − =⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦& &
(4.11)
A equação (4.11) é resolvida para o final de cada incremento de tempo
quando há presença de cavidade e pode ser reescrita como segue, com 0
ppp
= :
43
( )1 1p p A C Ym+ = + & (4.12)
Em que,
( )1 2 3 4A A A A= + (4.13)
20
BγAp Δt
= (4.14)
P M3 ar
C CA V 0.5Δt Q(J,1) Q(I,K)B
⎡ ⎤+⎛ ⎞= + − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
(4.15)
( )4
Δt z HA
B−
= (4.16)
( )1 2 0 0C C m 0.5Δtm= + & (4.17)
20
A2RTCp
= (4.18)
2Y 0.5ΔtC= (4.19)
Sendo que 1A , 1C e Y , definidas acima, devem ser conhecidas antes de se
calcular a solução. A vazão mássica m& é uma das incógnitas da equação (4.12), sendo
geralmente definida por uma função F f(p)= descrita por uma das seguintes equações,
dependendo do regime de escoamento do ar:
44
a) Entrada de ar em regime subsônico.
1.4286 1.714
in 0 0 00 0
p pm C A 7p ρp p
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
& , se 0 0p p 0.53p> > (4.20)
Onde:
inC : coeficiente de descarga da válvula para entrada de ar (adimensional);
0A : área do orifício da ventosa ( 2L );
0ρ : massa específica do ar ( 3ML− );
0p : pressão atmosférica local ( 2MLt− ).
b) Entrada de ar no regime crítico
0in 0
0
0.686pm C ART
=& , se 0p 0.53p< (4.21)
Onde 0T é a temperatura absoluta externa ao duto.
c) Saída de ar em regime subsônico
1.4286 1.7140 0
out 0p p7m C A p
RT p p
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦& , se 0
0p p p
0.53> > (4.22)
Onde outC é o coeficiente de descarga para saída de ar.
45
d) Saída de ar em regime crítico
out 00.686pm C A
RT= −& , se 0pp
0.53> (4.23)
4.1.1 Método da aproximação parabólica.
Ao substituírem-se as Equações (4.20) e (4.22) em (4.12), produz-se uma
equação não linear em p. Alguns pesquisadores propuseram um método numérico para
transpor o problema da não-linearidade.
Chaudhry (1980) sugere o método de Newton-Raphson. No entanto,
segundo Lessa (1984), este método não é satisfatório em alguns casos, podendo gerar
instabilidade devido ao possível cálculo de uma quantidade de ar maior que a
realmente existente. Papadakis (1967) e Lessa (1984) adotaram o método da bisseção,
admitindo que a pressão varie linearmente dentro do intervalo de tempo, considerado
pequeno. Desta forma pode-se avaliar melhor o valor da vazão mássica.
O método da bisseção, apesar de eficaz, requer um esforço computacional
relativamente grande devido ao número de iterações necessário para se fazer convergir
o valor de p. Além disso, existe a necessidade de se pesquisar dois valores de p que
tenham imagens de sinais contrários como ponto de partida. Nem sempre é possível
encontrar tais valores, gerando a falsa impressão de que não existe cavidade e a
ventosa não funciona naquele intervalo de tempo.
Streeter (1978) concluiu que uma aproximação parabólica seria ideal para
resolver o problema da não-linearidade e, ao mesmo tempo, abrir mão de métodos
numéricos mais complexos ou que produzem um esforço computacional maior.
Observando atentamente as quatro equações que governam a vazão
mássica, vê-se claramente que a(s):
46
I. equação (4.21) não depende de p, sendo, portanto, uma constante quando
substituída em (4.12);
II. equações (4.20) e (4.22), são funções de p elevado a expoentes não inteiros,
provocando o problema da não-linearidade;
III. equação (4.23) é uma função linear em p, mas que deve obedecer à critérios de
convergência que serão analisados posteriormente.
O primeiro membro da equação (4.12) é uma parábola que sempre passa
pela origem. Portanto, é bastante natural aproximar o valor de m& no segundo membro
por meio de parábolas. Assim, a vazão mássica em regime subsônico de entrada e
saída de ar, respectivamente, é aproximada por parábolas da forma:
22 1 0m D p D p D= + +& , se 0.528 p 1.0> > (4.24)
22 1 0m E p E p E= + +& , se1.0 p 1.894≤ ≤ (4.25)
Uma parábola é definida por meio de três pontos conhecidos. A Figura 4.2
mostra a representação gráfica das parábolas de aproximação. Na porção onde
0.528 p 1.0> > , entrada de ar, o intervalo é dividido em um número par de trechos, NR.
Para um número par de intervalos I, tem-se:
(p 0.528)I NR 10.472−
= + (4.26)
A parábola deve passar através dos pontos p(I) , m(I)& ; p(I 1)− ,m(I 1)−& ;
p(I 1)+ e m(I 1)+& , em que m& é calculada por meio da Equação (4.20). Os coeficientes
D2(I), D1(I) e D0(I), pra I=2,4,6,...,NR são armazenados para uso futuro, sendo
calculados por meio da expressão:
47
1 1 12 2
AR (I 1) 2AR (I) AR (I 1)D (I)2DPI
+ − + −= (4.27)
2 21 1 2 1 1
1
AR (I 1) AR (I) D (I). P (I 1) P (I)D (I)
DPI
⎡ ⎤+ − − + −⎣ ⎦= (4.28)
20 1 1 1 2 1D (I) AR (I) D (I).P (I) D (I).P (I)= − − (4.29)
Onde,
1.4286 1.7141 4 1 1AR (I) C P (I) P (I)= − (4.30)
1P (I) (I 1)DPI 0.528= − + (4.31)
0.472DPINR
= (4.32)
in 0 0 0C4 C .A . 7p ρ= (4.33)
00
0
pρRT
= (4.34)
Similarmente, os coeficientes E são calculados para pra I=2,4,6,...,NS, onde
NS é um número par de intervalos na porção onde se tem 1.0 p 1.894≤ ≤ . Portanto,
pôde-se calcular os coeficientes utilizando-se as expressões:
2 2 22 2
AR (I 1) 2AR (I) AR (I 1)E (I)2DPO
+ − + −= (4.35)
48
2 22 2 2 2 2
1
AR (I 1) AR (I) E (I). P (I 1) P (I)E (I)
DPO
⎡ ⎤+ − − + −⎣ ⎦= (4.36)
20 2 1 2 2 2E (I) AR (I) E (I).P (I) E (I).P (I)= − − (4.37)
Onde,
1.4286 1.714
2 5 0 22 2
1 1AR (I) C p P (I)P (I) P (I)⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(4.38)
2P (I) (I 1)DPO 1= − + (4.39)
0.894DPONS
= (4.40)
5 out 00
7C C .A .RT
= − (4.41)
Depois de encontrado o valor de p, calcula-se HP(I,K) por meio da equação
(4.10) e QP(I,K) e QP(J,1) mediante as equações características (4.6) e (4.7),
respectivamente.
49
Figura 4.2. Parábolas de aproximação.
O próximo passo consiste em determinar em qual zona de estabilidade
encontra-se a parábola definida pela equação:
( )1 1F p p A C Ym= + = + & (4.42)
4.1.2 Critérios de Convergência.
Na equação (4.42), tem-se de um lado uma parábola que sempre passa pela
origem e, do outro, uma equação que depende de m& . De acordo com o tipo de fluxo,
que pode ser subsônico ou crítico, tanto de entrada como de saída, m& assumirá o valor
de umas das quatro equações da vazão mássica. Desta forma, de acordo com Streeter
(1978) para que F represente uma solução da ventosa, devem-se fazer várias
considerações dentro de quatro zonas que serão definidas a seguir.
1.894 1.0 0.528
m&
0 P
50
a) 1° Caso: Zona 2 (se 528.0p < ).
Neste caso, MDCm =& e a Equação (4.42) torna-se:
( )1 1F p p A C Y MDC= + = + (4.43)
Da equação (4.21) tem-se que MDC é uma constante conhecida para a zona
2, Figura 4.3. Desta forma, os termos do segundo membro da Equação (4.42) não
dependem de p , o que implica que 1C YMDC+ também é constante e seu gráfico uma
reta horizontal. Portanto, par que haja uma solução deve-se garantir que a parábola e a
reta interceptem-se num ponto dentro do domínio relativo à zona.
Em última análise, duas condições devem ser satisfeitas para que se tenha
uma solução compatível:
I. Como a parábola passa pela origem e tem sua concavidade voltada para cima, os
valores que F pode assumir são não negativos. Portanto, a reta deve se localizar na
porção acima do eixo das abscissas, ou seja, 1C Y MDC 0+ > .
II. Dentro desta zona, o maior valor de F dado pela parábola ocorre para p 0.528=
(ponto A da Figura 4.3). Assim, os valores de F dados pela reta têm de ser menores
que este limite, ou seja, deve-se ter ( )1 10.528 0.528 A C Y MDC+ > + .
Por fim, tendo em vista as condições mencionadas acima, a equação (4.42)
possui raiz positiva, cuja solução pode ser expressa por:
21 2p 2S p S 0+ − = (4.44)
1 1S 0.5A= (4.45)
2 1S C Y MDC= + (4.46)
51
21 1 2p S S S= − + + (4.47)
Figura 4.3. Zona do fluxo de entrada em regime crítico.
b) 2° Caso: Zona 1 – se ( 0.1p528.0 >> )
Para o fluxo de entrada no escoamento subsônico, zona 1, a vazão mássica
m& pode ser aproximada por meio de um polinômio do segundo grau. Assim a equação
(4.42) torna-se:
( ) ( )21 1 2 1 0F p p A C Y D p D p D= + = + + + (4.48)
O ramo esquerdo da parábola, ( )1F p p A= + , toma a forma de uma das
linhas pontilhadas mostrada na Figura 4.4. Ela sempre passa através da origem. O
ramo direito da parábola, que passa sempre através de três pontos, é indicada na figura
pela linha cheia. Esta última pode sofrer translação para cima ou para baixo,
A
1C Y MDC+
2Zona
F
0 528.0 p
( )10.528 0.528 A+
52
dependendo do valor de C1. Três condições devem ser satisfeitas para que se tenha
uma solução válida dentro do domínio da zona 1:
I. a parábola que passa pela origem deve ter um valor de F para p 1= muito maior que
o valor de F do ramo direito da parábola no mesmo ponto, ou seja, 1 11 A C+ > ;
II. como se trata de um fluxo de entrada de ar, a solução deve ter um valor positivo de
F. Assim, ( )1F p p A 0= + > ;
III. é necessário também que p tenha um valor muito maior que zero, com o mostra a
Figura 4.4.
Se a primeira condição é satisfeita, mas não a segunda, não existe cavidade.
Para a solução da equação quadrática em p deve-se escolher a maior raiz, pois ela
representa a solução referente ao ramo direito da parábola de aproximação.
Figura 4.4. Zona do fluxo de entrada em regime subsônico.
528.0 0 1
1C−
1C+
11 A+ 1Zona
11 A+
2Zona
p
53
c) 3° Caso: Zona 3 – se (1.0 p 1.894> > )
Para um critério de fluxo subsônico, zona 3, desde que m& é negativo,
nenhuma solução não positiva pode ser encontrada se C1 é negativo. Neste caso,
quatro condições são necessárias:
I. 1C 0≥
II. 1 1C 1 A≥ +
III. ( )1p p A 0+ ≥
IV. p 0≥
Pela Figura 4.5 está claro que a menor raiz positiva é necessária.
d) 4° Caso: Zona 4 – se (p 1.894> )
Para o critério de saída de fluxo no regime crítico, zona 4, tem-se m&
negativa, assim C1 deve ser positivo. Da Figura 4.5, a ordenada Y2 no ramo direito da
parábola para 984.1p = é:
2 1 3 0Y C 1.894 YC p= + (4.49)
Onde,
out 03
C A 0.686CRT
= − (4.50)
As seguintes condições necessárias são:
I. ( )2 1Y 1.894 1.894 A≥ +
II. O ponto A deve estar a direita do ponto B, isto é:
54
III. 11
3 0
C AYC p−
> −
O sinal positivo é necessário antes do radical da solução quadrática,
evidenciando que a maior raiz deve ser considerada.
Se nenhumas das condições para as quatro zonas podem ser satisfeitas,
não existe cavidade, ou seja:
0V = e 0m = (4.51)
Figura 4.5. Critérios para as Zonas 3 e 4.
2Y
11 A+
1C
3 Zone
p B0 A 0.1
F
894.1
4 Zone
55
5. SIMULAÇÕES E DISCUSSÕES
O perfil utilizado nas simulações é referente a um trecho da Adutora
Sertaneja em Sergipe, proposto por Barbosa (2006). O programa UFC6 contém como
mecanismos de alívio do Golpe de Aríete o Tanque de Alimentação Unidirecional
(TAU), a Chaminé de Equilíbrio e as Ventosas Automáticas de Duplo Efeito. Este último
dispositivo é parte integrante deste trabalho.
A seguir, têm-se as simulações aplicadas ao perfil proposto onde é possível
analisar o comportamento das ventosas, comparando seu funcionamento com outros
mecanismos de alívio.
5.1. Configuração do problema hidráulico
O programa UFC6 apresenta uma interface que informa ao usuário as
condições hidráulicas de trabalho por meio das envoltórias máximas e mínimas (Figura
5.1). O problema proposto apresenta um conjunto moto-bomba na extremidade de
montante, um reservatório com nível constante na extremidade de jusante e os demais
nós são considerados como junções.
A primeira análise a ser feita quando se tem o pré-dimensionamento de uma
adutora é a verificação da envoltória de mínima, representada na Figura 5.1 por uma
linha azul. É fácil verificar que a adutora em questão apresenta vários trechos onde a
envoltória de mínima está abaixo da tubulação. Em linguagem técnica, isto quer dizer
que a adutora sofre, durante o transiente, situações de pressão negativa. Uma adutora
de recalque em condutos forçados tem sua eficiência reduzida quando estes valores de
pressão negativa chegam a patamares indesejáveis. No caso limite, onde a pressão cai
muito abaixo da atmosférica, pode ocorrer o fenômeno da cavitação.
A Figura 5.2 contém os valores de carga hidráulica e pressão, em mca. O nó
18 é aquele que apresenta a pior situação de baixa pressão, chegando a ser quase
sete vezes menor que a pressão atmosférica.
56
Na figura 5.3 pode-se observar os dados de saída referentes ao nó 18, bem
como o gráfico que simula os valores da cota piezométrica (m).
A seguir, será proposta a utilização dos mecanismos de alívio disponíveis,
buscando uma solução hidráulica mais adequada para o problema.
57
58
59
5.2. Ventosa trabalhando isoladamente
Como proposta inicial, aplicou-se uma ventosa ao nó 18 (Figura 5.1). As
ventosas são dispositivos que devem ser aplicados aos nós de maior cota da adutora,
posto que justamente neste locais que o ar acumula-se provocando cavidades que
diminuem a eficiência do escoamento. A ventosa utilizada possui diâmetro de 10 cm; a
carga barométrica local é de 10,3 m, a temperatura interna é de 26°C e a externa de
27°. A constante dos gases é K 287J/kg.K= , para estas temperaturas. A Figura 5.4
representa o perfil da adutora com as novas envoltórias de máxima e mínima devido à
atuação da ventosa.
Quando ocorre a primeira onda de alta pressão, a ventosa não é afetada.
Não existe cavidade e a válvula encontra-se fechada. Em seguida, quando a primeira
onda de baixa pressão atinge o ponto onde se localiza a VADE, esta se abre permitindo
a entrada de ar. Tal procedimento faz com que a queda de pressão seja suavizada,
limitando o decaimento da pressão.
Com o passar do tempo, ao chegar a nova onda de sobrepressão, o ar
aprisionado é expelido. É importante observar, porém, que no momento em que a
ventosa se fecha e ocorre a rejunção das colunas de líquido, a pressão se eleva a
valores maiores que os observados na primeira onda anterior. Conseqüentemente, a
próxima onda de baixa pressão também será mais intensa que a primeira.
Devido ao fenômeno da rejunção das colunas, deve-se adotar um diâmetro
intermediário. Caso não existissem estes picos de pressão, valores bem menores para
os orifícios da válvula poderiam ser adotados.
A ventosa obteve um desempenho satisfatório no que diz respeito aos
valores de pressão referentes ao seu ponto de aplicação, reduzindo a pressão neste
ponto para 0.10 mca. No entanto, ela não foi capaz de influenciar de maneira decisiva o
restante dos pontos onde havia pressões negativas. Mesmo aumentando o diâmetro da
ventosa, não foi possível mitigar o problema como um todo.
60
5.3. Aplicação de várias ventosas
Em seguida, aplicaram-se três ventosas idênticas ao perfil original,
respectivamente aos nós 12, 18 e 22. Como pode ser observado na Figura 5.6, a
eficiência deste conjunto de ventosas foi bastante satisfatória. Não só a envoltória de
mínima foi elevada como as pressões máximas foram aliviadas, tendo a envoltória de
máxima se aproximado da linha de cota piezométrica inicial (linha verde).
Ao analisar os valores encontrados na Figura 5.7, verifica-se que a ventosa
aplicada ao nó 18 teve bom desempenho, deixando a pressão mínima próxima da
atmosférica. A ventosa do nó 12 elevou a pressão apenas nas suas proximidades
devido à própria natureza topográfica do perfil. A ventosa do nó 22, trabalha com uma
pressão mínima negativa (-2.48mca). Porém, não há problema algum para este valor, já
que o duto pode suportar esta magnitude de pressão sem problemas.
Até este ponto foi analisado o comportamento das ventosas trabalhando
como mecanismo de alívio. Nos próximos itens, será verificado como as ventosas
trabalham conjuntamente com os outros dispositivos.
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66
5.4. Ventosas trabalhando em conjunto com um TAU
Deseja-se agora verificar o funcionamento conjunto das ventosas com um
TAU. Primeiramente, aplicou-se um TAU ao nó 18 (Figura 5.8). O diâmetro do orifício
do tanque é de 1.5m, o nível de água inicial de 10m, o diâmetro dos tubos de ligação 15
mm e a perda de carga localizada igual a 2.5.
O funcionamento do TAU é bastante eficiente. A pressão mínima do nó 18
passou a ser igual a 10 mca. A envoltória de máxima, a jusante deste nó, ficou bem
próxima linha piezométrica inicial. Porém, verificou-se que apenas um TAU não é
suficiente para resolver o problema hidráulico.
Dentre as mais diversas possibilidades de soluções que são possíveis fazer
nesta simulação, optou-se por aplicar duas ventosas aos nós 12 e 16. O perfil passa a
ter configuração semelhante ao da Figura 5.10. O trabalho conjunto do TAU com as
ventosas elevou a envoltória de mínima e aproximou a envoltória de máxima linha
piezométrica inicial.
Apesar de ser eficiente, esta solução não é conveniente do ponto de vista
econômico. Um Tanque de Alimentação Unidirecional com nível de água inicial de 10m
é bem mais oneroso que uma ventosa. Certamente, quando comprado isoladamente
com uma ventosa, o TAU produz efeitos bem melhores. Isto ocorre porque o TAU
trabalha com água em nível constante, não permitindo a entrada de água vinda da
adutora. Já as ventosas, trabalham expulsando o ar acumulado nos pontos de
geometria elevada. Entretanto, quando as ventosas trabalham em conjunto, fornecem
uma solução mais eficiente e econômica.
5.5. Ventosa trabalhando em conjunto com uma Chaminé de Equilíbrio
Por fim, deseja-se comparar os efeitos de uma Chaminé de Equilíbrio
quando trabalha conjuntamente com ventosas. A Chaminé de Equilíbrio tem diâmetro
de 2 m, nível de água inicial de 21 m, diâmetro dos tubos de ligação de 150 mm e
coeficiente de perda de carga igual a 1.
67
Inicialmente, aplicou-se a Chaminé ao nó 18, produzindo o perfil indicado na
Figura 5.12. Da mesma forma que o TAU, é possível verificar que apenas aplicação de
uma Chaminé ao referido nó não é suficiente para solucionar o problema. No entanto, é
pertinente salientar que a Chaminé resolveu de forma bastante eficaz o problema no
que diz respeito aos nós posicionados a jusante. Porém, os trechos do perfil localizados
a montante da Chaminé continuam sendo submetidos a pressões negativas.
Assim, foram aplicadas duas ventosas respectivamente aos nós 12 e 16. O
perfil da adutora ficou semelhante ao mostrado na Figura 5.14. Nele é possível verificar
que as ventosas trabalharam de forma satisfatória, elevando a envoltória de mínima.
Aqui também existe a superioridade das ventosas quando se leva em
consideração o aspecto econômico. As válvulas de ar são de fácil instalação e
economicamente mais viáveis que qualquer outro dispositivo de alívio, quando se trata
de eliminar os efeitos das pressões negativas na tubulação.
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76
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Após as simulações aplicadas no item anterior, é possível fazer uma análise
do comportamento das ventosas de duplo efeito. Pode-se concluir que:
1. As VADE são mecanismos de alívio bastante eficientes para combater as
pressões negativas provocadas durante o transitório. Elas são eficientes tanto
expulsando ar como admitindo ar na tubulação;
2. Dependendo da complexidade do perfil, apenas uma ventosa não é o
bastante para produzir um efeito satisfatório. Neste caso, é necessário que se tenham
mais de uma ventosa ou que ela trabalhe em conjunto com outros mecanismos de
alívio;
3. As ventosas são soluções hidráulicas bem mais compensadoras do ponto
de vista econômico. São válvulas de fácil instalação e manutenção, além de serem bem
mais baratas quando comparadas com os demais mecanismos;
4. É certo que os demais mecanismos, por trabalharem com água e
possuírem dimensões de orifícios bem maiores, apresentam um funcionamento mais
preciso quando comparado individualmente com uma ventosa, entretanto, quando as
ventosas trabalham em conjunto distribuídas no perfil, protegendo a adutora como um
todo, elas se configuram na solução ideal do problema.
5. As ventosas apresentam uma modelagem matemática bastante complexa,
resultando em uma equação não linear. A simulação do comportamento de uma válvula
de ar requer o conhecimento de critérios de convergência, os quais são de difícil
implementação computacional, o que torna este estudo de grande relevância.
Observando os procedimentos necessários para a formulação da
modelagem computacional adotada, podem-se fazer algumas considerações finais,
bem como tecer algumas recomendações a respeito das VADE:
77
1. Em relação à literatura, pode-se afirmar que esta é bastante escassa,
principalmente no que diz respeito a trabalhos publicados. Este fato representou uma
dificuldade a mais que teve de ser transposta;
2. Outra dificuldade que não deve ser desprezada encontra-se nas
idiossincrasias de cada programador. Trabalhar no sentido de complementar um
programa de computador que já foi inicialmente trabalhado por outros pesquisadores é
bem mais difícil que começar um programa novo;
3. Algumas recomendações são importantes para a melhoria do UFC6,
como: a implementação de outros tipos de ventosas, uma saída de dados onde se
pudesse representar em um mesmo gráfico as linhas piezométricas dos diversos
dispositivos aplicados no perfil da adutora e a exportação de dados para uma planilha
eletrônica;
4. Por fim, a principal recomendação que advém deste trabalho diz respeito
ao processo de pesquisa e divulgação deste importante dispositivo de alívio, que por
sua facilidade de instalação e economia vem sendo empregado de forma intensa nos
projetos de adutoras. Entretanto, tal emprego não vem sendo feito de forma científica e
especializada, o que pode comprometer o projeto como um todo.
78
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, A. B. Regimes Hidráulicos Transitórios em Condutos Elevatórios, Tese
de Doutorado, IST, Lisboa, 1981.
BARBOSA, Marcos P. R. Modelagem Computacional de Chaminés de Equilíbrio e Tanques de Alimentação Unidirecional como mecanismos de alívio do Golpe de Aríete em Adutoras. Dissertação de Mestrado. DEHA - UFC, 2006.
CHAUDHRY, M. Hanif. Applied Hydraulic Transients. Van Nostrand Reinhold
Company, New York, 28 edição, 1987.
HALLWELL, A. R. Velocity of a Waterhammer Wave in an Elastic Pipe. Jounal
Hydraulics Div., Amer. Soc, Civil Engrs., Vo189, No. HY4, July 1963, pp 1-21.
KOELLE, E. Transientes Hidráulicos em Instalações de Condutos Forçados. Tese
de Livre Docência, EPUSP, São Paulo, 1983.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons , sixth
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LESSA, R. C. Transientes Hidráulicos em Sistemas Complexos de Adução de Água. Dissertação de Mestrado. EESC/USP, 1984.
LESSA, R. C. Análise do Funcionamento de Acessórios Durante a Ocorrência de Transitórios Hidráulicos. Tese de Doutorado. EESC/USP, 1990.
MACINTYRE, Archibald J. Bombas e Instalações de Bombeamento. Rio de Janeiro,
Editora Guanabara, 28 Edição, 1987, 781p.
MARTIN, C. Samuel. Representação de Características de Máquinas Hidráulicas.
Intercâmbio Internacional sobre Transientes Hidráulicos e Cavitção, CTH/EPUSP, São
Paulo, 1982.
NEIVA, Rodrigo Magalhães Santos. Modelagem Computacional do Golpe de Aríete em Adutoras. Dissertação de Mestrado. DEHA - UFC, 2000.
79
NETTO, Azevedo & FERNANDEZ, Miguel & ARAUJO, Roberto de & ITO, Acácio Eiji .
Manual de Hidráulica, São Paulo, Editora Edgard Blucher L TDA, 1998, 8a edição,
669p.
PADMANABHAN M., AMES W. F. and MARTIN C. S. Numerical Analysis of Pressure Transients in Bubbly two – phase Mixtures by Explicit – Implicit Methods. Journal
of Engineering Mathematics, Vol. 12 No. 1, January, 1978, pp. 83 - 93.
PERRY, Greg M. Aprenda em 21 dias Visual Basic 6, Rio de Janeiro, Editora
Campus, 1999, 5a edição, 844p.
PETROUTSOS, Evangelos. Dominando o Visual Basic 6 - A Bíblia, São Paulo,
Editora Makron Books, 1999, 1126p.
PORTO, Rodrigo de Meio. Hidráulica Básica. São Paulo, EESC/USP, 18 Edição, 1998,
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RIGHETTO, Antonio Marozzi. Considerações sobre o Golpe de Aríete em Instalações Hidráulicas. Dissertação de Mestrado. EESC/USP, 1972.
SILVESTRE, Paschoal. Hidráulica Geral. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A., 48 Edição, 1979, 177p.
STREETER, Victor L., WYLlE, E. Benjamim. Fluid Transients. McGrawHil1 Editora,
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STREETER, Victor L., WYLlE, E. Benjamim. Mecânica dos Fluidos. São Paulo,
McGraw-Hill do Brasil, 1982, 585p.
TULLIS, J. P., STREETER, Victor L., WYLlE, E. Benjamim. Waterhammer Analylisis with air release. Mecânica dos Fluidos. Proc. 2nd Int. Conf. Pressure Surges,
Bedford, England, 1976.
80
VIANNA, Marcos R. Hidráulica Básica Aplicada aos Sistemas de Abastecimento de Água. Vol. 1. Belo Horizonte, Instituto de Engenharia Aplicada Editora, 1995, 300p.
WYLIE E.B. and STREETER V.L. Fluid Transients in Systems. Prentince Hall, New
Jersey USA. 1993, pp. 463.
81
ANEXO A – CATÁLOGO DOS FABRICANTES.
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ANEXO B – EQUAÇÕES DO TRANSIENTE HIDRÁULICO
87
A primeira das Equações Diferenciais é obtida a partir do princípio da
conservação de massa que na forma integral, aplicada a um volume de controle (VC),
é:
olVC SC
ρdV ρv dA 0t∂
+ ⋅ =∂ ∫ ∫
rr (B.1)
A Equação (B.1) pode ser aplicada ao VC indicado na figura B1, obtendo-se:
( ) 0AVAVxAt 1112221212 =ρ−ρ+Δρ∂∂ (B.2)
Nesta aplicação 12ρ e 12A representam a massa específica média e a área
média da seção do tubo no VC; 1ρ e 2ρ são as massas específicas médias, enquanto
que 1V e 2V são as velocidades médias nas seções (1) e (2), respectivamente.
XD
(1)
(2)
Vc
Δx
Figura B1. Volume de controle.
88
Tendo-se em conta que xΔ é independente do tempo e pode ser tão
pequeno quanto se queira, pode-se dividir a Equação (B.2) por xΔ e fazer o limite
tender a para zero, isto é,
( ) 0x
AVAVAt
lim 11122212120x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
Δρ−ρ
+ρ∂∂
→Δ (B.3)
De onde se obtém,
( ) ( ) 0VAx
At
=ρ∂∂
+ρ∂∂ (B.4)
Efetuando-se as derivações indicadas na Equação (B.4) e reagrupando-se
os termos, tem-se:
0xVA
xAV
tA
xV
tA =
∂∂
ρ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
ρ+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂ρ∂
+∂ρ∂ (B.5)
Nota-se aqui que as expressões entre parênteses representam,
respectivamente, as derivadas totais de ρ e A . Isto permite que se escreva:
0xVA
dtdA
dtdA =
∂∂
ρ+ρ+ρ (B.6)
Dividindo a expressão acima por Aρ ,
0xV
dtdA
A1
dtd1
=∂∂
++ρ
ρ (B.7)
A primeira parcela de (B.7) pode ser facilmente relacionada com o módulo de
elasticidade volumétrica que é definido por:
89
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
VdVdpk
(B.8)
O sinal negativo em (B.9) é necessário para que k sempre resulte positivo.
Considerando constante a massa total do fluido, de tal forma que Vm ρ= , vale a
relação:
0VddV =ρ+ρ (B.9)
Ou melhor,
ρρ
−=d
VdV (B.10)
Esta última expressão transforma a Equação (B.8) em,
dpk1d
=ρρ (B.9)
Que dividida membro a membro por dt , fornece:
dtdp
k1
dtd1
=ρ
ρ (B.10)
A segunda parcela da Equação (B.7) pode ser relacionada com a pressão
interna do fluido e com as propriedades elásticas do material do tubo. Primeiramente
pode-se introduzir o diâmetro do tubo nesta parcela, produzindo:
dt)D(d
D2
4D
dtd
D4
dtdA1 2
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ππ
=λ
(B.11)
90
A condição de equilíbrio na meia-cana de comprimento xΔ indicada na
Figura B2, é dada por:
D
Figura B2. Elemento de casca.
ααΔ=Δσ ∫π
dsen2Dxp2xe2
2
0
(B.12)
( ) 20
cos2Dpe
πα−=σ (B.13)
e2pD
=σ (B.14)
Por outro lado, a lei de Hooke da Elasticidade estabelece que:
91
0
0
DDDE −
=σ (B.15)
Pela eliminação da tensão entre as Equações (B.14) e (B.15),
obtém-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
D1
D1eE2p
0
(B.16)
Fazendo-se a derivada total de ambos os membros da Equação (B.16),
produz-se:
dtdD
DeE2
dtdp
2= (B.17)
Ou ainda,
dtdp
eE2D
dtdD 2
= (B.18)
Comparando as Equações (B.17) e (B.11), chega-se a:
dtdp
eED
dtdA
A1
= (B.19)
Se os resultados indicados pelas por (B.10) e (B.19) forem substituídos na
Equação (B.7), produz-se:
0xV
dtdp
eED
dtdp
k1
=∂∂
++ (B.20)
92
0xV
eEkD1
dtdp
k1
=∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + (B.21)
0xV
keEkD1
dtdp1
=∂∂
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
ρ (B.22)
0xV
eEkD1
k
dtdp1
=∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
+ρ
(B.23)
Neste ponto pode-se evidenciar uma importante propriedade que associa
propriedades do fluido p,k , do material E , com características geométricas do tubo
D,e . Esta propriedade está evidente em (B.23) com a estrutura:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
eEkD1
pk
a2 (B.24)
Pode-se então escrever a Equação (B.23) de modo mais completo:
0xVa
dtdp1 2 =
∂∂
+ρ
(B.25)
93
Admitindo-se o termo cinético pequeno, a carga fica apenas como,
zg
pH +ρ
= (B.26)
Onde z é a cota do eixo do tubo na seção considerada. A partir da expressão
da carga, pode-se escrever que:
tHg
tp1
∂∂
=∂∂
ρ (B.27)
O que transforma (B.25) em,
2dH Vg a 0dt x
∂+ =
∂ (B.28)
Esta é a primeira equação componente do sistema que governará o
fenômeno do transiente hidráulico. Para a dedução da segunda equação considere-se o
volume de controle indicado na Figura B3 e aplica-se a equação da quantidade de
movimento na forma integral.
( )R ol olVC VC SC
F ρBdV ρVdV ρV V dAt∂
+ = + ⋅∂∫ ∫ ∫
r r r r r r (B.29)
Trata-se de uma equação vetorial e será aplicada na direção do eixo do tubo,
na direção x ,
[ ] β−Δτπ−−= senApxDApApF 122211xR
r (B.30)
As outras parcelas da Equação (...), projetadas na direção x , são:
94
olVC x
ρBdV ρgAΔxsenθ⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
r (B.31)
( )olVC x
ρVdV ρVAΔxt t
⎡ ⎤∂ ∂=⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
∫r
(B.32)
( ) 22221
211
xSC
AVAVAdVV ρ+ρ−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ρ∫rrr
(B.33)
Figura B3. Linhas de carga e cotas.
95
Substituindo-se as Equações (B.33), (B.32). (B.31) e (B.30) em (B.29), tem-
se:
( )
( )1 1 2 2 1 2
2 21 1 1 2 2 2
p A p A τπDΔx p A A pgAΔxsenθ
ρVAΔx ρ V A ρ V At
- - - - - @
¶@ - +¶
(B.34)
Dividindo-se a equação acima por xΔ e fazendo seu limite tender a zero,
produz-se:
( )( )
2 22 2 2 1 1 1 2 2 1 1
Δx 02 1
ρ V A ρ V A p A p AρVAt Δx Δxlim 0
A AτπD p ρgAΔxsenθ
Δx
→
⎡ ⎤− −∂+ + +⎢ ⎥∂⎢ ⎥ =
−⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦
(B.35)
Cujo resultado é:
( ) ( ) ( ) 0gAxApDAAV
xVA
t2 =ρ+
∂∂
−τπ+ρ∂∂
+ρ∂∂
+ρ∂∂ (B.36)
Esta equação pode ser reescrita como:
( ) ( ) V V AV ρA ρVA ρA V pt t x xp AA τπD p ρgAsenθ 0x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂
+ + − + =∂ ∂
(B.37)
A primeira expressão entre colchetes é nula por ser exatamente a expressão
da conservação de massa na forma diferencial. Completando as simplificações e
dividindo-se por ρA , chega-se a:
96
0ADgsen
xp1
xVV
tV
=ρτπ
+θ+∂∂
ρ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ (B.38)
A última parcela de (B.39) pode ser modificada pela introdução do fator de
atrito f , definido pela relação:
8Vf
2
=ρτ (B.39)
Na Equação (B.39) pode-se eliminar a forma quadrática da velocidade que
resulta sempre em vazões positivas, o que não corresponde à realidade. Assim,
8VV
f=ρτ (B.40)
De onde se obtém,
D2VV
fD8
DVVf
AD
2
4
=ππ
=ρτπ (B.41)
A expressão entre parênteses da Equação (B.38) pode ser simplificada,
tornando-se:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
tVxVV
1tV
xVV
tV (B.42)
97
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
aV1
tV
xVV
tV (B.43)
tV
xVV
tV
∂∂
≅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ (B.44)
As equações (B.41) e (B.44) transformam (B.38) em:
0D2VV
fgsenxp1
tV
=+θ+∂∂
ρ+
∂∂ (B.45)
Esta é a segunda Equação diferencial que governa o fenômeno. Pode-se
aqui introduzir a carga H fazendo-se a derivação com respeito a x em,
zg
pH +ρ
= (B.46)
Assim,
xz
xp
g1
xH
∂∂
+∂∂
ρ=
∂∂ (B.47)
θ+∂∂
ρ=
∂∂ sen
xp
g1
xH (B.48)
98
θ+∂∂
ρ=
∂∂ gsen
xp1
xHg (B.49)
Finalmente, pode-se escrever a expressão:
0D2VV
fxHg
tV
=+∂∂
+∂∂ (B.50)
99
ANEXO C – MANUAL DE UTILIZAÇÃO DO UFC6
100
UFC6
Manual de Utilização
101
C.1 – INTRODUÇÃO
O programa UFC6 Versão 1.0 é parte integrante da Dissertação de Mestrado
intitulada Modelagem Computacional de Dispositivos de Atenuação do Golpe de Aríete
em Adutoras. O programa foi desenvolvido com o objetivo de determinar o
comportamento do transitório hidráulico em tubulações de recalque de água utilizando-
se do Método das Características e das equações características de equipamentos
normalmente encontrados nos sistemas hidráulicos.
Procurou-se desenvolver um programa de fácil utilização e que possibilite o
usuário visualizar o comportamento das ondas de sobrepressão e subpressão
decorrentes do fenômeno transitório, além de verificar a influência de diversos
dispositivos de atenuação dos golpes de aríete.
102
C.2 – ENTRADA DE DADOS
O programa UFC6 Versão 1.0 é de fácil utilização e visualização dos
resultados. Pode-se dar início procedimento de entrada de dados de duas formas
diferentes: utilizando-se um arquivo de entrada de dados nos formatos de texto (*.txt)
ou Transientes Hidráulicos (*.pth), ou, ainda, digitando-se um a um os dados de entrada
necessários para se efetuar o cálculo do golpe de aríete.
O usuário pode optar pela entrada manual, bastando para isso dar início a
entrada de dados. Escolhida essa opção, deve-se digitar um a um os dados
necessários. Esse procedimento é demorado e susceptível a erros, por esse motivo,
recomenda-se, na medida do possível, a utilização de estrada automática de dados.
C.2.1 – Entrada Manual de Dados
Carregando um perfil
Através do menu Arquivo>Carregar Perfil, o usuário pode acessar o
formulário Carregar Perfil, devendo entrar com os dados necessários para o traçado do
perfil da adutora. Tais dados são: Número de trechos, comprimentos (m), diâmetros (m)
e cotas de montante e jusante (m).
103
Figura C.1 – Formulário Carregar Perfil
O usuário tanto poderá digitar os dados diretamente na tabela, como também
importa-los de um arquivo de texto (*.txt), clicando no botão Importar.
ATENÇÃO: O usuário também poderá salvar em arquivo de texto (*.txt) os
dados digitados diretamente na tabela, clicando no botão Salvar. Para tal, deve-se
certificar que a configuração do símbolo decimal nas opções regionais do painel de
controle do computador em uso seja a opção “.” (ponto).
O arquivo gerado poderá ser importado pelo formulário para a entrada
automática de dados, e tem o seguinte formato:
104
Figura C.2 – Entrada Manual de Dados – Arquivo Texto (*.txt)
Clicando-se em OK no formulário Carregar Perfil, é traçado o perfil da
adutora.
105
Figura C.3 – Perfil Carregado
Parâmetros do projeto
Através do menu Parâmetros, o usuário pode acessar o formulário
Parâmetros do Projeto, devendo entrar com os dados necessários para o cálculo do
transiente. Tais dados são: Nome do projeto, descrição do projeto (se necessário),
tempo de duração da simulação (s), número de divisões do menor trecho, módulo de
elasticidade volumétrica do fluido (Pa), densidade do fluido (kg/m³), Viscosidade
cinemática do fluido (m²/s).
Os valores referentes aos três últimos parâmetros correspondem ao fluido
verificado. O UFC6 utiliza água como fluido padrão.
106
Figura C.4 – Formulário Parâmetros do Projeto
- Número de divisões do menor trecho a verificar: Como o método utiliza o
mesmo intervalo de tempo computacional para todos os trechos do sistema, deve-se
escolher um trecho (no caso o de menor comprimento) para se padronizar esse
intervalo de tempo. Assim, o programa necessita saber em quantos segmentos o menor
trecho será dividido. O programa calcula então o intervalo de tempo computacional
entre as seções desse trecho e assume igual para os demais trechos do sistema. Para
isso, o programa ajusta o valor da celeridade de onda fazendo pequenas alterações em
seus valores.
Adicionando dados dos trechos
Ao mover o cursor do mouse para perto de um trecho até este ser
selecionado (cor vermelha) e clicando com o botão direito, o usuário poderá adicionar
as características desse trecho através do formulário Dados do Trecho.
107
Figura C.5 – Formulário Dados do Trecho
Por meio de duas caixas de texto com listas dropdown, o usuário poderá
selecionar:
Tipos de Material da Tubulação
Aço
Concreto
Ferro Fundido
PVC Rígido*
Outro
*Valor padrão
108
Para todos os materiais, exceto Outro, os valores de Módulo de Elasticidade
(GPa), de Rugosidade (mm) e do Coeficiente de Poisson são pré-determinados.
Tipo de Ancoragem da Tubulação
Conduto rígido
Ancorado contra movimento longitudinal*
Uma extremidade ancorada
Com juntas de dilatação
*Valor padrão
Existe ainda a opção de o usuário entrar com valores de Celeridade e Fator
de Atrito de Darcy-Weisbach específicos, clicando nas respectivas caixas de seleção.
Adicionando dados dos nós
O usuário poderá adicionar as características desse nó através do formulário
Dados do Nó. Para tal, existem duas formas de adicionar contornos aos nós:
1. Ao mover o cursor do mouse para perto de um nó até este ser selecionado
(cor vermelha) e clicando com o botão direito;
2. Clicar com o botão direito do mouse no ícone referente ao contorno
desejado na barra de ferramentas e, em seguida, clicar com o botão esquerdo do
mouse no nó.
O usuário deverá selecionar o contorno desejado através da lista dropdown
da caixa de texto, e especificar os dados referentes ao contorno clicando no botão >>.
109
Figura C.6 – Formulário Dados do Nó
- Reservatório de Montante, Bomba e Válvula de Retenção
Figura C.7 – Formulário Bomba
Dados da Bomba Considerações
Número de Bombas em Paralelo -
Vazão total do sistema (m³/s) Soma da vazão de todas as bombas;
Número de rotações da bomba (rpm) -
Tempo de duração da simulação (s) Tempo total de simulação do fenômeno
transitório. Esse tempo é limitado à
capacidade de armazenamento de
informações do programa, que, por sua vez,
110
é função do tempo computacional e do
número de seções a simular;
Dados da Bomba Considerações
Vazão da bomba em regime
permanente (m³/s)
Vazão de cada bomba em paralelo antes do
corte de energia (estado permanente);
Altura manométrica do sistema (m) Altura geométrica de recalque mais a perda
de carga total do sistema;
Rotação de maior eficiência (rpm) Rotação de maior rendimento;
Rendimento por bomba Valor entre 0 e 1;
Momento de inércia das massas
girantes (kg.m²)
Soma do momento de inércia da bomba
com o do motor, multiplicado pelo número
de bombas em paralelo.
Dispositivos de atenuação do golpe de aríete
O usuário deverá indicar se há dispositivo de alívio do golpe aríete. Os
dispositivos disponibilizados pelo programa são:
- Tanque de Alimentação Unidirecional (TAU) ou One-Way
Figura C.8 – Formulário One-Way
111
Dados do TAU Considerações
Diâmetro do TAU (m) O programa considera um TAU de base
cilíndrica;
Nível de água inicial (m) Altura relativa à base do TAU;
Diâmetro dos tubos de ligação (mm) Usualmente, para garantir o pleno funcionamento do dispositivo,
os projetistas dimensionam dois tubos de ligação de diâmetros
iguais. O usuário do UFC6 precisa apenas inserir o diâmetro de
um dos tubos que o programa calculará o diâmetro equivalente
dos dois tubos.
Coeficiente de perda de carga
localizada
-
- Reservatório Hidropneumático
Figura C.9 – Formulário Reservatório Hidropneumático
112
Dados do Res. Hidropneumático Considerações
Área da base (m2) O programa considera um reservatório de
base cilíndrica;
Altura (m) Distância da base até a parte superior;
Quantidade de ar nas condições
iniciais (%)
Porcentagem de volume de ar do
reservatório hidropneumático nas condições
iniciais (regime permanente).
- Válvula de Alívio
Figura C.10 – Formulário Válvula de Alívio
Dados da Válvula de Alívio Considerações
Coeficiente de descarga Variação entre 0,5 e 0,6.
Área do orifício (cm²) -
Pressão de regulagem da Válvula (mca) -
113
Chaminé de Equilíbrio
Figura C.11 – Formulário Chaminé de Equilíbrio
Dados da Chaminé de Equilíbrio Considerações
Diâmetro do Chaminé de equilíbrio (m) O programa considera um TAU de base
cilíndrica;
Nível de água inicial (m) Altura relativa à base da chaminé;
Diâmetro dos tubos de ligação (mm) -
Coeficiente de perda de carga
localizada
-
114
Ventosa Automática de Duplo Efeito (VADE)
Figura C.12 – Formulário VADE.
Dados da Ventosa Considerações
Altura Barométrica (m) O programa considera um valor de 10,3 m;
Coeficiente de descarga de entrada Valor dado na literatura de 0.6
Diâmetro dos tubos de ligação (mm) Valor dado na literatura de 0.976
Área do orifício Valor dado pelo fabricante
Salvando o projeto
Após executar o procedimento de entrada de manual de dados, o usuário
poderá salvar o projeto acessando o menu Arquivo>Salvar Projeto. O Programa irá
salvar os dados do projeto em um arquivo no formato Transientes Hidráulicos (*.pth)
115
cujo nome será dado pelo usuário, e servirá para a posterior entrada automática de
dados.
C.2.2 – Entrada Automática de Dados
O usuário pode optar também pela entrada de dados automática. Para isso,
deverá utilizar arquivos de formato Transientes Hidráulicos (*.pth).
Figura C.13 – Entrada Automática de Dados – Arquivo Transientes Hidráulicos (*.pth)
O formato *.pth reúne todas as características do projeto, de modo que, se
utilizado como entrada, o usuário deverá apenas executar o cálculo do transiente
hidráulico.
116
Compõem o formato *.pth (exemplo acima):
Linhas Descrição
1 Nome do projeto;
2 Descrição do projeto;
3 Número de trechos;
4 a 26 Dados dos trechos – Comprimento (m), Diâmetro (m), Espessura das
paredes da tubulação (m), Cota de montante (m) e Cota de jusante (m);
27 a 49 Dados dos trechos – Material da tubulação, Tipo de Ancoragem,
Coeficiente de Poisson, Módulo de Elasticidade do Material (Pa) e
Rugosidade da tubulação (m) (ver Tabelas C.1 e C.2);
50 a 74 Dados dos nós (elementos de contornos). Cada elemento de contorno
possui um número identificador e dados específicos. (ver Tabelas C.3)
75 Parâmetros do projeto – Tempo de duração da simulação (s), módulo de
elasticidade volumétrica do fluido (Pa), densidade do fluido
(kg/m³),Número de divisões do último trecho e Viscosidade cinemática
do fluido (m²/s).
117
Tabela C.1 – Identificadores – Material da Tubulação
Identificador Material da Tubulação
0 Aço
1 Concreto
2 Ferro Fundido
3 PVC Rígido
4 Outro
Tabela C.2 – Identificadores – Tipo de Ancoragem
Identificador Tipo de Ancoragem
0 Conduto rígido
1 Ancorado contra movimento longitudinal
2 Uma extremidade ancorada
3 Com juntas de dilatação
118
Tabela C.3 – Identificadores – Elemento de Contorno
Identificador Tipo de Ancoragem
0 Reservatório de montante
1 Reservatório de jusante
2 Res. de Montante, bomba e válvula de retenção
3 TAU ou One-Way
4 Chaminé de Equilíbrio
5 Reservatório Hidropneumático
6 Ventosa *
7 Válvula de alívio
8 Válvula de controle *
9 Saída livre *
10 Extremidade fechada *
11 Junção
* Elementos de contorno a serem implementados posteriormente
OBS: O usuário deverá inserir os dados específicos de cada elemento de
contorno no arquivo de formato *.pth na mesma ordem em que foram apresentados.
Do exemplo:
- Linha 50: refere-se ao Reservatório de montante, bomba e válvula de
retenção (identificador 2);
- Linha 51: refere-se aos dados específicos do Reservatório de montante,
bomba e válvula de retenção;
- Linhas 52 a 73: referem-se à Junção (identificador 11);
- Linha 74: refere-se ao Reservatório de jusante (identificador 1).
119
C.3 – CÁLCULO DO TRANSIENTE
Finalizada a entrada de dados, o usuário pode dar início o processo de
cálculo propriamente dito. Para isso, basta clicar no botão Executar , localizado na
barra de ferramentas.
O formulário Cálculo do Transitório será carregado. O usuário deverá clicar
no botão OK e esperar até que a barra de processamento atinja 100%. Logo após,
poderá verificar os resultados da simulação clicando no botão Resultados>>.
Figura C.14 – Formulário Cálculo do Transitório
Envoltórias de pressão máxima e mínima na adutora
O usuário pode visualizar os resultados da simulação através das envoltórias
de pressão máxima e mínima na adutora.
120
Figura C.15 – Envoltórias Máximas e Mínimas Calculadas
Acessando o menu Visualizar>Envoltórias, programa fornece também a
pressão máxima e mínima em toda a adutora durante o transitório hidráulico.
121
Figura C.16 – Formulário Envoltórias
Planilhas
Através do menu Visualizar>Planilhas ou do ícone Planilha da barra de
ferramentas, o usuário pode verificar o resumo de cálculo por trecho e por nó, bastando
clicar na guia superior de cada planilha.
122
Figura C.17 – Formulário Planilhas
Resultados por Seção
Em seguida, através do menu Visualizar>Seções, o usuário poderá visualizar
o comportamento do transitório hidráulico em cada seção da adutora. Esse formulário
apresenta duas opções de visualização do transitório: carga (m) e vazão (m³/s). De
acordo com o opção de gráfico e a seção selecionadas, pode-se verificar os seguintes
dados:
- Cota Piezométrica Máxima (m)
- Cota Piezométrica Mínima (m)
- Pressão no Estado Permanente (mca)
123
- Pressão Máxima no Estado Transiente (mca)
- Pressão Mínima no Estado Permanente (mca)
- Vazão Máxima no Estado Permanente (mca)
- Vazão Mínima no Estado Permanente (mca)
O usuário poderá optar também por salvar no formato de texto (*.txt) um
relatório de cotas e pressões ou de vazões para todos as seções da adutora, clicando
no botão Salvar Arquivo (*.txt).
Figura C.18 – Formulário Resultados por Seção
124
Ainda, através do botão Gráfico do Dispositivo, é possível acessar o gráfico
que mostra a variação das características de cada dispositivo, como: nível de água (m),
volume de água (m³), vazão (m³/s) e volume de ar (m³). Esses gráficos podem ser
fornecidos através do botão Resultados>>, do formulário Dados do Nó.
Figura C.19 – Formulário Gráfico One-Way
O usuário poderá proceder de forma análoga para o caso da visualização do
transitório nos nós, acessando o menu Visualizar>Nós.
Salvando os Resultados
Após executar o procedimento de cálculo, o usuário poderá salvar os
resultados, bastando para isso acessar o menu Arquivo>Salvar Resultados. O
125
Programa irá salvar o resultado da simulação em um arquivo no formato de texto (*.txt)
cujo nome será dado pelo usuário.
126
Animação das pressões na adutora
Pode-se observar uma animação do comportamento das pressões na
adutora.
Figura C.20 – Formulário Evolução da Cota Piezométrica
127
C.4 – LIMITAÇÕES DO MODELO
1. O UFC6 calcula apenas transientes hidráulicos gerados por interrupção do
bombeamento, não permitindo, para a atual condição, a análise dos mesmos em
sistemas por gravidade.
2. Por estar em desenvolvimento, o programa não dispõe de todos os
elementos de contorno apresentados. Para posterior implementação estão os seguintes
elementos: Ventosa, Válvula de Controle, Saída Livre e Extremidade Fechada.
3. Dessa forma, o modelo mostra flexibilidade somente nos nós internos, pois
aceita para o primeiro nó o contorno Reservatório de Montante, Bomba e Válvula de
Retenção e para o último, o Reservatório de Jusante.
4. O sistema a ser avaliado deve possuir no máximo 20 nós, portanto, 19
trechos.
5. O UFC6 permite, no máximo, 80 subdivisões por trecho e 15000 intervalos
de tempo computacional. Se esse número for excedido, o programa interrompe a
execução do cálculo e sugere o número de divisões a ser efetuada.
128
C.5 – CRÉDITOS
Sob a orientação do Ph.D Marco Aurélio Holanda de Castro, Professor do
Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental da Universidade Federal do
Ceará, as atividades de pesquisa para a elaboração do modelo computacional UFC6
foram iniciadas no ano de 1999, como tema da dissertação de mestrado do Rodrigo
Magalhães Neiva Santos. Retomados os trabalhos em 2004, hoje, é parte integrante da
presente dissertação de mestrado.
Figura C.21 – Créditos UFC6
129
C.6 – EXEMPLO Para se fazer a entrada de dados através de um arquivo *.txt devemos seguir os passos
seguintes:
Em um editor de texto do tipo bloco de notas digitamos a partir da coluna (1) até a
coluna (5) os dados referentes a adutora. Se o número de trechos for maior que 20
devemos somar os trechos de menor extensão de forma a ficar com um máximo de 19
trechos.
Apresentamos a seguir as tabelas de 1 a 4 que deverão ser preenchidas: Tabela 1 – Entrada de Dados dos Trechos (Número de Linhas igual ao número de Trechos da Adutoras) Coluna 1 – Extensão do trecho (m) Coluna 2 – Diâmetro interno da tubulação (m) Coluna 3 – Espessura da parede da tubulação (m) Coluna 4 – Cota nó de montante (m) Coluna 5 – Cota nó de jusante (m) Para o exemplo a seguir a adutora apresenta o DN 450 mm de FoFo até o 30 trecho e o DN 500 mm de PVC a partir do 40 trecho Comprimento
do Trecho (m) (1)
Diâmetro Interno
(m) (2)
Espessura Parede Tubul. (m) (3)
Cota Montante
(m) (4)
Cota Jusante
(m) (5)
260.19 0.4666 0.0067 17.00 7.69 52.28 0.4666 0.0067 7.69 5.34 130.74 0.4666 0.0067 5.34 30.63 545.94 0.4894 0.0213 30.63 30.14 19.18 0.4894 0.0213 30.14 33.00
1023.64 0.4894 0.0213 33.00 24.86 173.67 0.4894 0.0213 24.86 23.25 849.32 0.4894 0.0213 23.25 38.04 670.53 0.4894 0.0213 38.04 44.71 141.67 0.4894 0.0213 44.71 34.30 278.53 0.4894 0.0213 34.30 32.20 81.53 0.4894 0.0213 32.20 38.32 106.88 0.4894 0.0213 38.32 43.75 247.06 0.4894 0.0213 43.75 50.43 158.07 0.4894 0.0213 50.43 45.69
130
343.22 0.4894 0.0213 45.69 40.90 213.71 0.4894 0.0213 40.90 54.70 420.84 0.4894 0.0213 54.70 57.31 393.70 0.4894 0.0213 57.31 73.43
Tabela 2 A próxima tabela a ser preenchida tem os seguintes dados: Coluna 1 – Tipo de Material do tubo
Identificador Material da Tubulação 0 Aço 1 Concreto 2 Ferro Fundido 3 PVC Rígido 4 Outro
Coluna 2 – Tipo de Ancoragem
Identificador Tipo de Ancoragem 0 Conduto rígido 1 Ancorado contra movimento
longitudinal 2 Uma extremidade ancorada 3 Com juntas de dilatação
Coluna 3 – Coeficiente de Poisson Coluna 4 – Módulo de elasticidade do material (Pa) Coluna 5 – Rugosidade do material (m) Material
(1)
Tipo Ancoragem
(2)
Coeficiente Poisson
(3)
Módulo Elasticidade (Pa) (4)
Rugosidade (m)
(5)
2 1 0.28 1.7E+11 0.00026 2 1 0.28 1.7E+11 0.00026 2 1 0.28 1.7E+11 0.00026 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015
131
3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015 3 1 0.39 3.0E+9 0.0000015
Tabela 3 A próxima tabela a ser preenchida tem os seguintes parâmetros: Coluna 1 – Identificador de elemento de contorno
Identificador Tipo de Ancoragem 0 Reservatório de montante 1 Reservatório de jusante 2 Reservatório de montante, bomba e válvula de retenção 3 TAU ou One-Way 4 Chaminé de equilíbrio 5 Reservatório Hidropneumático 6 Ventosa 7 Válvula de alivio 8 Válvula de controle 9 Saída livre 10 Extremidade fechada 11 Junção
Coluna 2 – Número de bombas na estação elevatória Coluna 3 – Vazão total dos conjuntos motor-bomba (m3/s) Coluna 4 – número de rotações da bomba (rpm) Coluna 5 – Vazão de cada bomba em paralelo (m3/s) Coluna 6 – Altura manométrica do sistema (m) Coluna 7 – Rotação de maior rendimento (rpm) Coluna 8 – Rendimento por bomba valor entre 0 e 1 Coluna 9 – Momento de inércia das massas girantes (Kgf.m2)
ID Contorn
o
(1)
Nº bomba
s
(2)
Qtotal (m3/s)
(3)
Rotação
(rpm)
(4)
Q1bomb (m3/s)
(5)
Hman (m)
(6)
Rotação (rpm)
(7)
Eficiênc
(8)
Mom. Inércia (kgf.m²)
(9)
2 4 0.20728
1750 0.05182
73.15 1750 0.72 0.86865
11 11 11 11 11
132
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1
Tabela 4 A próxima tabela apresenta os seguintes parâmetros: Coluna 1 – Tempo de duração da simulação (s) Coluna 2 – Módulo de elasticidade volumétrica do fluido (Pa) Coluna 3 – Densidade do fluido (kg/m3) Coluna 4 – Número de divisões do último trecho Coluna 5 – Viscosidade cinemática do fluido (m2/s)
Tempo de simulação
(s) (1)
Módulo de elasticidade
(2)
Densidade (kg/m3)
(3)
Número de divisões
último trecho (4)
Viscosidade cinemática
(m²/s) (5)
60 2.19E+09 1000.00 1 0.000001 Depois da entrada de dados é gerado o seguinte arquivo que deverá ser salvo com extensão *.pth
133
134
PLANILHAS GERADA PELO UFC6
135