mmq

Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

Aula 6a

Por que fazemos ajustes?

Relação funcional que melhor descreve os dados experimentais dentro de um limite de validade.

Representa o “comportamento médio” dos dados.

Ajuste visual vs. MMQ

Depende de quem analisa

É difícil de ponderar dados com incertezas diferentes

Não é otimizado Bom para estimativas

Independe de quem analisa

A incerteza dos dados é ponderada

É o ajuste que mais se aproxima dos dados

Mais cálculos (PC)

MMQ e os resíduos

Qual é o ajuste que mais se aproxima dos dados? Menor distância entre os

pontos exp. e os dados

Mas e a incerteza?

i

iii s

xfyRr

)(−=

)( iii xfyRa −=

MMQ e os resíduos

Vários pontos, como fazer?

E se tiver com pontos acima e abaixo da reta?

∑∑ −=i i

ii

ii s

xfyRr

)(0=

?

( ) 2

2

2 )( χ=

−= ∑∑i i

ii

ii s

xfyRr

MMQ e os resíduos

Qual então é a melhor reta? Lembrando o que foi

discutido quanto as distâncias!!

∑

−=i i

ii

s

xfy2

2 )(χ Mínimo

Como minimizar?

Chi^2 é uma função!!! Como achar o mínimo

de uma função?∑

−=i i

ii

s

xfy2

2 )(χ

x

F(x)

∑

−=i i

i

s

ay2

2χ

01

..2)12(2

=

−

−=∂

∂ ∑−

i ii

i

ss

ay

a

χ

Caso 1: Ajuste de uma constante

Minimizando

axf i =)(∑

−=i i

ii

s

xfy2

2 )(χ

Como achar o mínimo de uma função? Quais os parâmetros a?

01. =

−∑ii i

i

ss

ay∑∑

==

=

N

i i

N

i i

i

sa

s

y

12

12

1.

∑

∑

=

=

=N

i i

N

i i

i

s

s

y

a

12

12

1

É a média ponderada!!!

01.

1.

1

=

−

∑∑= iii

N

i i

i

ss

a

ss

y

01

..21

2

=

−

−=∂

∂ ∑=

N

i ii

i

ss

ay

a

χCaso 1: Ajuste de uma constante

Caso 2: Ajuste de uma Reta

Nosso Caso!

Como achar o mínimo de uma função? Quais os parâmetros a e

b que minimizam?

∑

−=i i

ii

s

xfy2

2 )(χbaxxf ii +=)(

∑

+−=i i

ii

s

baxy2

2 )(χ

Minimizando a ...

( )0.

..2

)12(2

=

−

+−=∂

∂ ∑−

i i

i

i

ii

s

x

s

bxay

a

χ

( )0.

. =

+−∑i i

i

i

ii

s

x

s

bxay

∑∑∑===

+=N

i i

iN

i i

i

i

iiN

i s

xb

s

xa

s

xy

12

12

2

21


Minimizando b...

( )∑

−

+−=∂

∂−

i ii

ii

ss

bxay

b

1.

..2

)12(2χ

∑∑∑===

+=N

i i

N

i i

i

i

iN

i sb

s

xa

s

y

12

122

1

1


∑∑∑===

+=N

i i

N

i i

i

i

iN

i sb

s

xa

s

y

12

122

1

1

∑∑∑===

+=N

i i

iN

i i

i

i

iiN

i s

xb

s

xa

s

xy

12

12

2

21

1.. SbSaS xy +=

xxyx SbSaS .. 2 +=

∑=

=N

i i

iqqcoisa

qqcoisaS

12σDefinindo:

( ) 21.2 xxSSS −=∆Onde:

1.. SbSaS xy +=

xxyx SbSaS .. 2 +=

∆−

= xyyx SSSSa 1

∆−

= xyxxy SSSSb

2

∆= 1Ss a ∆

= 2xb

Ss

{Sistema de duas equações e duas incógnitas:

Propagando as incertezas

Para Mais detalhes vide:Tratamento Estatístico de Dados em física Experimental, O. Helene, V. Vanin

( ) baxxf +=Melhor reta que descreve o conjunto de pontos experimentais, ou seja foi ajustada uma reta aos pontos experimentais

http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq5.html

Fazer:

MMQ utilizando os dados da sala!!! Na Mão!!

Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ

no gráfico para comparação!!!

PS:

Fazer no formato Relatório!!! Colocar

MMQ utilizando os dados da sala!!! Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no

gráfico para comparação!!! Discutir as diferenças O que significa Chi^2 alto ou baixo?

Trazer duvida para a próxima aula

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