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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB

Departamento de Educação Matemática – DEEMA

Mestrado Profissional em Educação Matemática

MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM AMBIENTE DE

APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DAS COMPETÊNCIAS

EM MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM GRUPO DE ESTUDANTES AO

TRANSFORMAR UMA BRINCADEIRA EM UMA PRÁTICA ESPORTIVA

Mestrando: Rogério Braga Soares

Orientador: Daniel Clark Orey

Ouro Preto, Minas Gerais

Maio/2018

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

Universidade Federal de Ouro Preto

Instituto de Ciências Exatas e Biológicas – ICEB

Departamento de Educação Matemática – DEEMA

Mestrado Profissional em Educação Matemática

Rogério Braga Soares

MODELAGEM MATEMÁTICA COMO UM AMBIENTE DE

APRENDIZAGEM PARA O DESENVOLVIMENTO DAS COMPETÊNCIAS

EM MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM GRUPO DE ESTUDANTES AO

TRANSFORMAR UMA BRINCADEIRA EM UMA PRÁTICA ESPORTIVA

Dissertação apresentada ao Programa de

Mestrado Profissional em Educação

Matemática da Universidade Federal de

Ouro Preto como requisito parcial para a

obtenção do título de Mestre em

Educação Matemática sob a orientação

do Prof. Dr. Daniel Clark Orey.

Ouro Preto, Minas Gerais

Maio/2018

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, por não me abandonar nos momentos difíceis e por sempre colocar

em meu caminho pessoas sábias e amigas, com as quais sempre pude contar nesse longo

trajeto.

Agradeço a minha esposa Miliane e aos meus filhos Caio e Miguel, por compreenderem

minhas ausências e meus momentos de recolhimento, durante essa fase de

aprofundamento acadêmico e dedicação à pesquisa.

Agradeço a meus pais Fernando e Marina e a meus irmãos Rubens, Juliana e Fernando,

que sempre torceram pelo meu sucesso acadêmico e profissional.

Agradeço a minha sogra Abadia por ser uma avó paciente e dedicada e sempre pronta a

cuidar dos netos quando precisei.

Agradeço aos professores Dr. Daniel Clark Orey (meu orientador), Dr. Milton Rosa

(membro interno da banca examinadora), Dr. Dale Willian Bean (in Memorian) e Dr.

Tod Shockey, com os quais tive meu primeiro contato dentro do Programa de Mestrado

Profissional em Educação Matemática da UFOP, quando me aceitaram como aluno

especial da disciplina de Etnomatemática em 2015, contribuindo para que eu seguisse

nessa trajetória.

Agradeço aos demais professores do programa, em especial a Profa. Dra. Ana Cristina

Ferreira, Prof. Dr. Frederico da Silva Reis, Profa. Dra. Marger da Conceição Ventura

Viana e Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira, com os quais aprendi várias lições.

Agradeço ao professor Dr. Jonei Cerqueira Barbosa, por aceitar o convite para compor a

minha banca examinadora como membro externo e, também, pelas suas valiosas

contribuições para a valorização desse estudo.

Agradeço aos colegas mestrandos das turmas de 2015, 2016 e 2017 pelos momentos de

convívio, trocas de experiências, colaborações, incentivos e confraternizações. Em

especial aos amigos, Andressa, Josias, Luan e Márcio.

Agradeço a Senhora Gislaine Alves e a Professora Ana Carolina Maciel, que foram as

minhas maiores incentivadoras para ingressar no programa de mestrado.

Agradeço ao amigo Professor Wanderlei da Silva, pelo companheirismo e caronas, sem

essa ajuda não teria conseguido concluir as duas disciplinas isoladas em 2015.

Agradeço aos alunos participantes desse estudo pelo empenho, dedicação e seriedade no

desenvolvimento das tarefas e aos diretores das escolas onde o trabalho de campo foi

conduzido.

Enfim agradeço a todos aqueles que direta ou indiretamente colaboraram para que eu

pudesse alcançar esse objetivo, que Deus abençoe todos vocês.

RESUMO

Esta pesquisa foi realizada em uma escola pública da rede estadual de ensino, localizada

em Belo Horizonte, Minas Gerais, com 34 alunos do segundo ano do Ensino Médio na

Educação de Jovens e Adultos (EJA). O objetivo central deste estudo foi verificar quais

são as possíveis contribuições que a modelagem matemática como um ambiente de

aprendizagem pode trazer para o desenvolvimento das competências de modelagem

matemática de um grupo de estudantes, ao transformarem uma brincadeira em uma

prática esportiva. Nesse direcionamento, a fundamentação teórica foi pautada na

modelagem matemática como um ambiente de aprendizagem, em suas dimensões crítica

e reflexiva, na modelagem matemática e os esportes e nas competências de modelagem

matemática. Por conseguinte, foram desenvolvidos quatro blocos de atividades,

desenvolvidos de acordo com as três fases e as dez etapas da modelagem matemática

conforme propostas por Rosa em suas investigações. A coleta, a análise e a

interpretação dos dados foram realizadas por meio da utilização da metodologia do

estudo misto denominado QUAL+quan, por meio da qual os dados qualitativos e

quantitativos foram coletados, analisados e interpretados simultaneamente.

Posteriormente, os dados qualitativos foram quantificados. Nesse estudo, foram

utilizados como instrumentos para a coleta de dados, dois questionários, sendo um

inicial e outro final, com questões fechadas e abertas; quatro blocos de atividades do

registro documental, que foram realizadas pelos participantes durante a condução do

trabalho de campo, bem como as anotações registradas no diário de campo do professor-

pesquisador. A interpretação dos dados foi realizada por meio da elaboração de duas

categorias temáticas mistas, de seis subcategorias mistas e uma emergente, que

possibilitaram o desenvolvimento da resposta para a questão de investigação dessa

pesquisa. Os resultados dessa investigação mostram que, no ambiente de aprendizagem

proporcionado pela modelagem matemática, os participantes desse estudo puderam

relacionar a matemática com a prática esportiva, observando a sua importância na

padronização de equipamentos esportivos, favorecendo, assim, o desenvolvimento da

criticidade e da reflexão, sobre o papel da matemática em outras áreas ou situações do

mundo real. Desse modo, a partir do envolvimento dos participantes nas atividades

propostas em sala de aula, foi possível identificar ações realizadas pelos participantes,

explícita ou implicitamente, envolvendo o raciocínio e a utilização de estratégias

diversas que os tornaram competentes para entender a situação-problema dada, elaborar

modelos com dados provenientes mundo real, resolver as questões relacionadas com os

modelos matemáticos e validar as soluções encontradas durante a condução do projeto

de construção de carrinhos de rolimã. A partir da finalização dessa pesquisa, foi

elaborado um produto educacional em formato de um caderno de sugestões com

atividades interdisciplinares para que os professores e pessoas interessadas nessa

temática possam criar um ambiente de aprendizagem sociocrítico e reflexivo para seus

alunos, fundamentado na modelagem matemática.

Palavras-chave: Modelagem Matemática, Ambientes de Aprendizagem, Dimensões

Crítica e Reflexiva, Modelagem e Esportes, Competências em Modelagem.

ABSTRACT

This research was carried out in a public school in the state education network, located

in Belo Horizonte, Minas Gerais, with 34 second year high school students enrolled in

youth and adult education (EJA). The central objective of this study was to verify what

are the possible contributions that mathematical modeling as a learning environment can

bring to the development of mathematical modeling skills of a group of students, by

transforming a game into a sports practice. The theoretical basis for this study was

based on mathematical modelling as a learning environment in both its critical and

reflexive dimensions, mathematical modelling and sports and mathematical modelling

skills. Four blocks of activities were developed, developed according to the three phases

of mathematical modelling proposed and made use of the ten steps suggested by Rosa in

his investigations. Data collection, analysis and interpretation were performed using the

mixed study methodology QUAL + quan, through which qualitative and quantitative

data were collected, analyzed and interpreted simultaneously where the qualitative data

were quantified. In this study, the application of two questionnaires were used as an

instrument for the collection of data. Both a pre and post questionnaire was developed

with closed and open questions, four blocks of documentary activities that were carried

out by the students during the course of the field work with notes made by the teacher-

researcher's field diary. The interpretation of the data was carried out by means of the

elaboration of two mixed thematic categories, six mixed subcategories and one

emergent subcategory that allowed the research question of the research to be answered.

The results of this investigation showed that in the learning environment provided by

mathematical modelling the participants of this study were able to relate mathematics to

sports practice, observing its importance in the standardization of sports equipment, thus

favoring the development of criticality and reflection on the role of mathematics in

other areas and situations in the real world. From the involvement in the proposed

activities, it was possible to identify actions taken by the participants both explicitly or

implicitly, involving reasoning and diverse strategies that made them competent to

understand the problem situation, and to elaborate real world models, to solve questions

related to mathematical models and validate the solutions. Based on this research, an

educational product was developed in a book format including suggestions with

interdisciplinary activities so that interested teachers can easily create a sociocritical

learning environments for their own students.

Key words: Mathematical Modelling, Learning Environments, Critical and Reflective

Dimensions, Modelling and Sports, Modelling Competencies.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Carrinho de rolimã construído com madeira e rolamentos de aço. ................. 24

Figura 2: Croqui do campo de beisebol .......................................................................... 52

Figura 3: Participação de alunos e professores nos 3 (três) casos de modelagem.......... 56

Figura 4: Processo de realização do método misto de pesquisa ..................................... 65

Figura 5: Design metodológico simultâneo do estudo misto ......................................... 66

Figura 6: Processo de pesquisa QUAL + quan do estudo misto .................................... 67

Figura 7: Fontes de triangulação utilizadas no estudo .................................................... 68

Figura 8: Kit com os 18 carrinhos da marca Hot Wheels ............................................... 96

Figura 9: Pista utilizada na corrida de carrinhos ............................................................ 97

Figura 10: Print de tela mostrando o trecho do vídeo de uma competição entre ciclistas

...................................................................................................................................... 107

Figura 11: Print de tela mostrando trecho do vídeo em que um garoto desenvolve uma

prática de empilhar copos ............................................................................................. 108

Figura 12: Print de tela mostrando trecho do vídeo em que aparece a brincadeira entre

os atletas de uma equipe de futebol .............................................................................. 110

Figura 13: Parte I do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................... 112

Figura 14: Parte II do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................. 113

Figura 15: Parte III do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 113

Figura 16: Parte IV do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 113

Figura 17: Parte V do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate .................. 114

Figura 18: Parte VI do regulamento do Mundialito de Rolimã do Abacate ................. 114

Figura 19: Momento da largada de uma bateria infantil no Mundialito de Rolimã do

Abacate ......................................................................................................................... 115

Figura 20: Momento da largada de uma bateria infantil no Mundialito de Rolimã do

Abacate ......................................................................................................................... 115

Figura 21: Parte inicial da pista de corrida de carrinhos de rolimã .............................. 115

Figura 22: Parte central da pista de corridas de carrinhos de rolimã ............................ 116

Figura 23: Foto do trecho final da pista de corrida utilizada no Mundialito de Rolimã do

Abacate ......................................................................................................................... 116

Figura 24: Mapa da localização da rua onde é realizado o Mundialito de Rolimã do

Abacate ......................................................................................................................... 117

Figura 25: Carrinho I utilizado por um competidor no Mundialito de Rolimã do Abacate

...................................................................................................................................... 119

Figura 26: Carrinho II utilizado por um competidor no Mundialito de Rolimã do

Abacate ......................................................................................................................... 120

Figura 27: Questão 166 da prova cinza do Enem de 2011 ........................................... 122

Figura 28: Esboço do carrinho de rolimã realizado pela participante DF06 ................ 127

Figura 29: Esboços de um carrinho de rolimã elaborados pelos participantes do grupo A

...................................................................................................................................... 127

Figura 30: Esboços de um carrinho de rolimã elaborados pelos participantes do grupo B

...................................................................................................................................... 128

Figura 31: Esboço do carrinho de rolimã apresentado elaborado pelo participante CM06

do grupo C .................................................................................................................... 128

Figura 32: Esboços de um carrinho de rolimã apresentados pelos participantes DM01 e

DM03 do grupo D ......................................................................................................... 129

Figura 33: Participantes do grupo B realizando as comparações para definirem as

dimensões do banco e do eixo principal do carrinho de rolimã ................................... 130

Figura 34: Participantes AM02, BF05 e CM06 definindo a medida do eixo central do

carrinho de rolimã ......................................................................................................... 130

Figura 35: Print de tela mostrando o momento do vídeo em que o participante DM01

expõe sua ideia de posicionamento do banco para os participantes dos demais grupos

...................................................................................................................................... 131

Figura 36: Esboço feito pelo participante DM01 mostrando a perfuração do eixo

principal para o ajuste do acento .................................................................................. 131

Figura 37: Esboço do rolimã dianteiro elaborado pelo participante DM02 juntamente

com os integrantes de seu grupo ................................................................................... 132

Figura 38: Esboço do rolimã traseiro elaborado pelo participante DM02 juntamente com

os integrantes de seu grupo ........................................................................................... 132

Figura 39: Print de tela mostrando momento do vídeo em que aparece a apresentação

dos líderes dos grupos para os demais participantes .................................................... 134

Figura 40: Planilha preenchida pelo participante BM02 .............................................. 136

Figura 41: Vista superior do carrinho de rolimã .......................................................... 137

Figura 42: Vista lateral do carrinho de rolimã .............................................................. 138

Figura 43: Vistas frontal e traseira do carrinho de rolimã ............................................ 138

Figura 44: Desenho elaborado pelo participante CM06 ............................................... 140

Figura 45: Desenho do banco do carrinho de rolimã elaborado pelo participante CM06

...................................................................................................................................... 141

Figura 46: Banco do carrinho de rolimã ....................................................................... 143

Figura 47: Base guia do carrinho de rolimã ................................................................. 143

Figura 48: Bases suspensoras dianteiras ....................................................................... 143

Figura 49: Base suspensora traseira.............................................................................. 144

Figura 50: Eixo principal do carrinho de rolimãs ......................................................... 144

Figura 51: Eixo dos rolimãs dianteiro .......................................................................... 144

Figura 52: Eixo dos rolimãs traseiro ............................................................................ 144

Figura 53: Conjunto com parafuso, arruelas e porcas para fixação da base guia. ........ 144

Figura 54: Conjunto com parafusos, arruelas e borboletas para fixação do banco. ..... 145

Figura 55: Rolimãs dianteiros....................................................................................... 145

Figura 56: Rolimãs traseiros ......................................................................................... 145

Figura 57: Quatro kits para a montagem dos carrinhos de rolimã. ............................... 146

Figura 58: Grupo C recebendo o kit de peças, o desenho e a planilha ......................... 148

Figura 59: Participantes do grupo A conferindo as dimensões das peças e lançando os

valores na planilha ........................................................................................................ 148

Figura 60: Participantes do Grupo B desenvolvendo as atividades do terceiro bloco .. 149

Figura 61: Participante DM03 medindo as peças do carrinho de rolimã para transcrevê-

las para a planilha ......................................................................................................... 149

Figura 62: Montagem do carrinho de rolimã pelas integrantes do grupo A ................. 154

Figura 63: Montagem do carrinho de rolimã pelos participantes do grupo B .............. 154

Figura 64: Integrantes do grupo C mancando as posições dos pregos para prender a

parte traseira do carrinho de rolimãs ............................................................................ 155

Figura 65: Momento em que o participante DM03 utilizou um estilete para desgastar o

eixo dos rolimãs ............................................................................................................ 155

Figura 66: Desenho das vistas superiores das sete peças de madeira do carrinho de

rolimã elaborado pela participante BF05...................................................................... 159

Figura 67: Cálculos desenvolvidos pelo participante CM02 ........................................ 159

Figura 68: Cálculos da aluna BF07 para a atividade proposta ..................................... 160

Figura 69: Esboço elaborado pelo participante CM06 do corte no eixo do e da cunha

para fixação dos rolimãs ............................................................................................... 163

Figura 70: Rolimã fixado no eixo do carrinho ............................................................. 163

Figura 71: Teste dos carrinhos dentro da sala de aula .................................................. 164

Figura 72: Teste do carrinho de rolimã do grupo C no corredor da escola .................. 164

Figura 73: Pesagem dos carrinhos de rolimã ................................................................ 165

Figura 74: Pista utilizada para a competição de corrida de carrinhos de rolimã .......... 169

Figura 75: Largada da primeira bateria eliminatória entre os participantes AM02 e BM02

...................................................................................................................................... 170

Figura 76: Chegada da primeira bateria da competição masculina .............................. 170

Figura 77: Eliminatória masculina disputada entre os participantes CM06 e DM03 ... 171

Figura 78: Largada da prova final disputada entre os participantes AM02 e DM03 .... 171

Figura 79: Chegada da prova final disputada entre os participantes AM02 e DM03 ... 172

Figura 80: Largada da prova final feminina ................................................................. 172

Figura 81: Prova final da competição feminina............................................................ 173

Figura 82: Final dos 200 metros da prova T44 das paraolimpíadas de Londres 2012 . 256

Figura 83: Mundialito de Rolimã do Abacate que acontece anualmente ..................... 258

Figura 84: Ilustração de uma pista de atletismo ........................................................... 259

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1: Faixa etária dos participantes desse estudo ................................................... 71

Gráfico 2: Renda familiar dos participantes em salários mínimos ................................. 72

LISTA DE QUADROS

Quadro 1: Competências em modelagem matemática identificadas por Almeida e Zanin

(2016) ............................................................................................................................. 40

Quadro 2: Relacionamento entre as três fases e as dez etapas do desenvolvimento da

modelagem matemática em sala de aula......................................................................... 63

Quadro 3: Horário de aulas do turno da noite ................................................................ 69

Quadro 4: Tipo de escola frequentada pelos participantes no ensino fundamental........ 72

Quadro 5: Resposta dada pelos participantes para a questão cinco do questionário inicial

........................................................................................................................................ 73

Quadro 6: Atividades desenvolvidas durante a condução do trabalho de campo .......... 79

Quadro 7: Tipo de dados coletados em cada um dos instrumentos ................................ 80

Quadro 8: Respostas dadas para a questão 6 do questionário inicial ............................. 83

Quadro 9: Respostas dadas para a questão 7 do questionário inicial ............................. 84

Quadro 10: Respostas dadas para a questão 8 do questionário inicial ........................... 85

Quadro 11: Esportes praticados pelos participantes desse estudo .................................. 85

Quadro 12: Respostas dadas pelos participantes para a questão 9 do questionário inicial

........................................................................................................................................ 86

Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes para a questão 10 do questionário

inicial .............................................................................................................................. 87


inicial .............................................................................................................................. 88


inicial .............................................................................................................................. 89

Quadro 16: Respostas dadas à questão 14 do questionário inicial ................................. 90


inicial .............................................................................................................................. 91

Quadro 18: Opinião dos participantes sobre os critérios necessários para que uma

competição esportiva seja realizada em condições de igualdade entre os atletas .......... 92

Quadro 19: Atividades realizadas no primeiro bloco do registro documental ............... 93

Quadro 20: Distribuição dos participantes em cada grupo no dia 13 de março de 2017 95

Quadro 21: Distribuição dos participantes em cada grupo a partir de 24 de abril de 2017

........................................................................................................................................ 95

Quadro 22: Carrinhos escolhidos pelos participantes de cada grupo ............................. 96

Quadro 23: Fatores que influenciaram a escolha do carrinho de rolimã ........................ 97

Quadro 24: Respostas dadas para a questão 2 do primeiro bloco de atividades ............ 99

Quadro 25: Respostas dadas para a questão 3 do primeiro bloco de atividades .......... 100



Quadro 28: Respostas dadas à questão 6 do primeiro bloco de atividades .................. 102



Quadro 31: Atividades desenvolvidas no segundo bloco ............................................. 105

Quadro 32: Respostas dadas pelos participantes para o exercício final do segundo bloco

...................................................................................................................................... 123

Quadro 33: Participantes presentes em cada grupo no dia da aplicação das atividades do

terceiro bloco ................................................................................................................ 124

Quadro 34: Desenvolvimento do terceiro bloco de atividades ..................................... 125

Quadro 35: Quantidade e nome das peças de madeira do carrinho de rolimã.............. 134

Quadro 36: Trecho do diálogo que ocorreu entre o professor-pesquisador e o

participante CM06 durante a elaboração do desenho do carrinho de rolimã................ 135

Quadro 37: Frequência dos participantes no dia 02 de Julho de 2017 ......................... 136

Quadro 38: Planilha digitada pelo professor-pesquisador ............................................ 137

Quadro 39: Dúvidas apontadas pelo marceneiro e suas justificativas .......................... 139

Quadro 40 : Planilha revisada com as correções realizadas pelos participantes .......... 142

Quadro 41: Distribuição dos participantes nos grupo a partir de 19 de Junho de 2017 146

Quadro 42: Frequência dos participantes de cada grupo no dia 19 de Junho de 2017 . 146

Quadro 43: Atividades do terceiro bloco desenvolvidas no dia 19 de Junho de 2017 . 147

Quadro 44: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo A . 150

Quadro 45: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos participantes do grupo B

...................................................................................................................................... 151

Quadro 46: Planilha mostrando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo C. 152

Quadro 47: Planilha apresentando as dimensões medidas pelos integrantes do grupo D

...................................................................................................................................... 153

Quadro 48: Descrição da atividade aplicada no terceiro bloco em 23 de Junho de 2017

...................................................................................................................................... 158

Quadro 49: Respostas dadas pelos participantes desse estudo para a questão da atividade

sobre escalas desenvolvida durante o terceiro bloco .................................................... 161

Quadro 50: Frequência dos participantes no dia 26 de Junho de 2017 ........................ 161

Quadro 51: Descrição da atividade aplicada no terceiro bloco em 26 de junho de 2017

...................................................................................................................................... 162

Quadro 52: Medidas dos pesos dos carrinhos de rolimã de cada grupo ....................... 165

Quadro 53: Respostas das pelos grupos ao tópico 2 da folha de validação dos carrinhos

de rolimã ....................................................................................................................... 166

Quadro 54: Frequência dos participantes no dia 16 de Julho de 2017 ......................... 167

Quadro 55: Descrição das atividades desenvolvidas no quarto bloco no dia 16 de Julho

de 2017 ......................................................................................................................... 168

Quadro 56: Respostas dadas pelos participantes à questão 1 do questionário do bloco 4

...................................................................................................................................... 174


...................................................................................................................................... 175


...................................................................................................................................... 176


...................................................................................................................................... 177


...................................................................................................................................... 178

Quadro 61: Respostas dadas pelos participantes à questão 1 do questionário final ..... 179

Quadro 62: Respostas dadas pelos participantes para o item b da questão 1 ............... 180

Quadro 63: Respostas dadas pelos participantes para a questão 2 do questionário final

...................................................................................................................................... 181


...................................................................................................................................... 182





...................................................................................................................................... 186


...................................................................................................................................... 187


...................................................................................................................................... 188

Quadro 71: Respostas dadas pelos participantes à questão 10 do questionário final ... 189

Quadro 72: Respostas dadas pelos grupos para a questão 11 do questionário final ..... 190

Quadro 73: Respostas dadas pelos participantes à questão 12 do questionário final ... 191

Quadro 74: Quantificação dos dados qualitativos, frequência de termos e palavras ... 194

Quadro 75: Quantificação dos dados qualitativos, frequência de frases e expressões. 196

Quadro 76: Relação entre os blocos de atividades, as três fases e as dez etapas da

modelagem ................................................................................................................... 210

Sumário

INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 20

UMA TRAJETÓRIA RUMO À MODELAGEM MATEMÁTICA ........................ 20

CAPÍTULO I ................................................................................................................ 29

1. FUNDAMENTANDO TEORICAMENTE A PROBLEMÁTICA DO ESTUDO

.........................................................................................................................................29

1.1. Modelagem Matemática .................................................................................. 29

1.1.1. Competências de Modelagem Matemática ................................................... 36

1.2. Modelagem Matemática Sociocrítica .............................................................. 41

1.2.1. Dimensões Crítica e Reflexiva da Modelagem Matemática .................... 42

1.3. Ambientes de Aprendizagem ........................................................................... 45

1.4. Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem .................... 47

1.5. Modelagem Matemática e os Esportes ............................................................ 49

1.5.1. Engenharia Desportiva Educacional ......................................................... 52

1.6. Modelagem Matemática e Currículo ............................................................... 55

CAPÍTULO II ............................................................................................................... 64

2. UMA FUNDAMENTAÇÃO METODOLÓGICA PARA A UTILIZAÇÃO DO

ESTUDO MISTO ......................................................................................................... 64

2.1. Design Metodológico: Método Misto de Pesquisa ......................................... 64

2.1.1. Triangulação dos Dados ........................................................................... 67

2.2. Contexto Escolar .............................................................................................. 69

2.3. Participantes da Pesquisa ................................................................................. 69

2.4. Instrumentalização ........................................................................................... 73

2.4.1. Questionários Inicial e Final ..................................................................... 74

2.4.2. Blocos de Atividades do Registro Documental ........................................ 75

2.4.3. Diário de Campo ....................................................................................... 76

2.5. Procedimentos Metodológicos ......................................................................... 77

2.6. Análise e Interpretação dos Dados ................................................................... 80

CAPÍTULO III ............................................................................................................. 82

3. ORGANIZAÇÃO, APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DAS INFORMAÇÕES

DOS DADOS QUALITATIVOS E QUANTITATIVOS .......................................... 82

3.1. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados Qualitativos

(QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário Inicial ............................................. 82

3.2. Apresentação e Análise das Informações contidas nos Dados Qualitativos

(QUAL) e Quantitativos (quan) dos Blocos de Atividades do Registro Documental . 92

3.2.1. Bloco de Atividades 1: Apresentação do Tema e Experimentando uma

Corrida de Carrinhos ............................................................................................... 93

3.2.2. Bloco de Atividades 2: Apresentação do carrinho de rolimã, a competição

e a proposta de padronização ................................................................................. 104

3.2.3. Bloco de Atividades 3: Elaboração dos Projetos, Montagem dos Carrinhos

e Validação ............................................................................................................ 124

3.2.4. Bloco de Atividades 4: A Competição ........................................................ 166

3.2.4.1. Teste dos Carrinhos Rolimãs e Ajustes Finais .................................... 168

3.2.4.2. Provas das Modalidades Masculina e Feminina ................................. 169

3.2.4.3. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados

Qualitativos (QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário do Bloco 4 ........ 173

3.3. Apresentação e Análise das Informações Contidas nos Dados Qualitativos

(QUAL) e Quantitativos (quan) do Questionário Final ............................................. 178

CAPÍTULO IV ............................................................................................................ 192

4. INTERPRETANDO OS RESULTADOS UTILIZANDO AS CATEGORIAS

DE ANÁLISES ............................................................................................................ 192

4.1. Quantificação dos Dados Qualitativos ........................................................... 192

4.2. Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem .................. 203

4.2.1. Matemática e Contexto Escolar .............................................................. 207

4.2.2. Competências de Modelagem Matemática ............................................. 209

4.2.3. Matemática e Esportes ............................................................................ 219

4.3. Modelagem Matemática nos Esportes ........................................................... 220

4.3.1. Brincadeiras ............................................................................................ 221

4.3.2. Condições de Igualdade em Competições Esportivas ............................ 222

4.3.3. Criticidade e Reflexão ............................................................................ 223

4.3.4. Ação Pedagógica para a Modelagem Matemática .................................. 226

CAPÍTULO V ............................................................................................................. 229

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS: RESPONDENDO À QUESTÃO DE

INVESTIGAÇÃO ....................................................................................................... 229

5.1. Questão de Investigação ................................................................................ 229

5.2. Respondendo a questão de investigação ........................................................ 230

5.3. Considerações Finais ..................................................................................... 233

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 237

LISTA DE APÊNDICES ........................................................................................... 245

LISTA DE ANEXOS .................................................................................................. 264

20

INTRODUÇÃO

UMA TRAJETÓRIA RUMO À MODELAGEM MATEMÁTICA

Tendo em vista o cenário atual da educação, todo esforço no sentido de

modificar as práticas pedagógicas que não se enquadram às necessidades dos alunos é

válido. Assim, um dos principais objetivos desse estudo é utilizar a modelagem

matemática como um ambiente de aprendizagem para que os alunos possam adquirir

e/ou desenvolver as competências de modelagem matemática e, consequentemente,

contribuir para a reestruturação da prática docente que possibilite a sua participação

ativa no processo de ensino e aprendizagem em matemática.

Atualmente, o maior desafio dos professores em sala de aula é vincular a teoria

com a prática no exercício da docência. Assim, esse estudo buscou mostrar algumas

possibilidades para que essa interação possa ocorrer nesse ambiente de aprendizagem.

Então, se no exercício da profissão docente, as tarefas que antes eram simples e

prazerosas se tornam árduas e cansativas, faz-se necessário reavaliar os métodos e

buscar novas técnicas para garantir a eficiência do processo de ensino e aprendizagem,

bem como a qualidade do produto final, ou seja, uma aprendizagem matemática com

significado por parte dos alunos enquanto sujeitos em formação contínua.

Como professor de matemática, o pesquisador percebeu, em sua prática docente,

que o processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina está cada vez mais difícil, por

vários aspectos, como, por exemplo, o envolvimento dos alunos nas aulas, a falta de

compromisso da maioria dos envolvidos no processo de ensino e aprendizagem dessa

disciplina, as condutas éticas e morais em desacordo com a prática pedagógica, bem

como a definição das relações de poder em discussões desencadeadas nas salas de aula.

Esses aspectos ultrapassam os limites escolares, atingindo as relações dos alunos

no ambiente familiar, as políticas públicas educacionais que, na maioria das vezes, estão

em desacordo com a realidade e os cursos de formação de professores de matemática.

Nesse sentido, percebe-se que, a cada ano, está mais difícil seguir os métodos

tradicionais do processo de ensino e aprendizagem em matemática que estão

relacionados com a prática do exercício e da repetição, pois os alunos clamam por

mudanças.

Desse modo, a utilização da bagagem cultural dos alunos e de suas experiências

matemáticas no ambiente escolar “requer uma série de procedimentos que passam pela

21

observação cuidadosa da situação ou do fenômeno a ser modelado, pela interpretação da

experiência realizada, pela captação do significado do que produz” (BIEMBENGUT,

2004, p. 17). Então, se ensinar matemática significa desenvolver o raciocínio lógico,

estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver

problemas, é importante que os professores de matemática busquem alternativas para

motivar a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, a organização, a concentração, o

convívio social e a troca de experiências entre os alunos (ROSA; OREY, 2012a).

De acordo com esse contexto, o interesse do professor-pesquisador1 foi

desenvolver uma pesquisa por meio da qual a matemática aparecesse sob um princípio

que não estivesse apenas relacionado com o acúmulo de regras e fórmulas a serem

decoradas e aplicadas em um exame ou teste padronizado, mas com um conjunto de

objetos matemáticos vinculados ao cotidiano dos alunos.

Nessa perspectiva, esses objetos podem servir como ferramentas pedagógicas

para a sua utilização efetiva em momentos oportunos, pois visam auxiliar os alunos em

seu desenvolvimento como cidadãos críticos e reflexivos e, também, com senso de

justiça social (ROSA; OREY, 2007). Nesse sentido, ressalta-se que o:

(...) objetivo do ensino da matemática deveria ser descobrir novos

fatos a cerca da própria pessoa, sociedade, cultura e capacitar o

estudante a fazer melhores julgamentos e tomar decisões; construir

relações entre conceitos matemáticos, situações concretas e

experiências pessoais (FASHEH, 1998, p. 12).

De acordo com essa asserção, existe a necessidade de que o processo de ensino e

aprendizagem em matemática seja conduzido por meio do esforço dos educadores para

diminuírem a distância entre a teoria e a prática docente em sala de aula.

Nesse direcionamento, durante a trajetória do professor-pesquisador como um

docente, foi observado que os alunos são atraídos pelos conteúdos com aplicações

práticas e, principalmente, quando trabalham com atividades curriculares que

aproximam os conceitos matemáticos adquiridos em sala de aula com as atividades

práticas que são desenvolvidas no contexto cultural em que vivem.

1Nesse estudo, denominação professor-pesquisador é utilizada para se referir ao autor dessa pesquisa.

Ressalta-se que essa denominação é empregada, pois o autor desse estudo também é o professor da

disciplina da turma pesquisada. Nesse sentido, os professores-pesquisadores estão centrados na

“consideração da prática, que passa a ser meio, fundamento e destinação dos saberes que suscita[m],

desde que esses possam ser orientados e apropriados pela ação reflexiva do[s] professor[es]”

(MIRANDA, 2006, p. 135). Assim, esses professores, que são pesquisadores, refletem criticamente sobre

as questões educacionais relativas ao desenvolvimento de sua própria prática pedagógica com o objetivo

de aprimorá-la em seu cotidiano docente.

22

Essa abordagem pedagógica considera os alunos como integrantes de um

determinado grupo sociocultural, que adquirem os conhecimentos matemáticos nos

ambientes social, cultural, econômico, político e ambiental ao longo de sua trajetória

(ROSA; OREY, 2012).

Por exemplo, no ano letivo de 2015, em uma das escolas onde o professor-

pesquisador trabalhou, foi realizada uma intervenção na aula com a utilização de temas

relacionados com razão, proporção, divisão proporcional, regra de três simples e

composta. Durante essa intervenção, um aluno explicou o processo de fabricação do

pãozinho de sal realizado por seu pai, que é o proprietário de uma padaria.

Assistindo essa apresentação, o professor-pesquisador também se tornou um

aluno e ficou admirado, principalmente, por tratar-se de um estudante que estava em

recuperação em matemática e que havia declarado algumas vezes não gostar dessa

disciplina. Essas experiências mostram que existe a necessidade de que os professores

de matemática utilizem esses momentos valiosos para enriquecer o processo de ensino e

aprendizagem em matemática que é desencadeado em salas de aula.

Dessa maneira, em concordância com os Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN) de Matemática, a:

(...) situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e

não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos,

ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a

exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos

precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las

(BRASIL, 1998, p. 40).

Para o professor-pesquisador, as atividades práticas realizadas em sala de aula

podem estar relacionadas com o desenvolvimento de atividades esportivas, que podem

ser estudadas por meio da modelagem matemática. Por exemplo, o estudo conduzido

por Barbosa (2001) mostra o desenvolvimento de um projeto de modelagem em uma

escola particular em Salvador, na Bahia, com três turmas de sétimo ano com 45 alunos

em cada sala de aula. Assim, os membros de um dos grupos trabalharam com a

ginástica olímpica e se interessaram em calcular o percurso em diagonal da ginasta no

tatame por meio da elaboração de um modelo matemático com a utilização do Teorema

de Pitágoras.

O professor-pesquisador também observou que, nas escolas em que lecionou, os

alunos praticavam esportes convencionais orientados pelos professores de educação

física. Porém, em momentos informais extraclasses, esses alunos se organizavam e

23

brincavam com uma variação do futebol, por exemplo, criando as suas próprias regras,

compartilhando os espaços, concentrados e cada um esperando o seu momento de entrar

na brincadeira. Então se pergunta, será que é possível intervir em uma brincadeira e

transformá-la em uma modalidade esportiva? Será possível realizar essa intervenção

utilizando conceitos matemáticos? Como a matemática atuaria nesse processo? Seria

interessante para os alunos?

Após uma reflexão sobre essas indagações, discutindo com alguns colegas de

profissão e com alguns alunos, o professor-pesquisador percebeu a viabilidade de criar

um ambiente para a aprendizagem de conteúdos matemáticos por meio da utilização da

modelagem matemática. Dessa maneira, para a criação desse ambiente, o professor-

pesquisador relembrou uma brincadeira antiga, que não se sabe ao certo a sua origem,

que é o carrinho de rolimã. E a partir dessa prática propôs a configuração de uma

modalidade esportiva, considerando as suas manobras e velocidade. Nesse

direcionamento, é importante o desenvolvimento de:

(...) atividades que despertem o interesse dos alunos por intermédio do

esporte e dos desafios por ele proporcionados, utilizando diversos

conteúdos, possibilitando que os alunos aprendam o verdadeiro

sentido da Matemática. Assim sendo, o esporte acaba desafiando o

aluno a buscar, sempre, superar seus adversários e a si próprio, o que

resulta em motivação para a prática do estudo (HARTMANN, 2014,

p. 2).

Então, essa abordagem é capaz de “ajudar o aluno a construir o conhecimento

matemático valendo-se do interesse que o assunto poderia despertar, tornando-os

autônomos, capazes de pensar e construir estratégias próprias para resolver as situações”

(BURAK, 2005, p. 36). Então, é importante o entendimento e a compreensão de

situações-problema que emergem no cotidiano dos alunos para a elaboração de

atividades curriculares em sala de aula (ROSA; OREY, 2003).

Assim, outro objetivo importante dessa pesquisa foi investigar as diversas

concepções de modelagem matemática presentes na literatura e, a partir dos conceitos

relacionados com o ambiente de aprendizagem, propor uma maneira prática de aplicar a

modelagem matemática em sala de aula, que seja conduzida pela prática esportiva

relacionada com os carrinhos de rolimã.

Provavelmente, esses carrinhos podem ter surgido no final dos anos 60 e início

dos anos 70, nas cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte, devido às

primeiras ruas pavimentadas com asfalto e, também, por causa do tipo de topografia

íngreme dessas cidades (OS CARRINHOS..., 2011).

24

A construção desses carrinhos é simples e bem diversificada, podendo variar de

tamanho, forma e tipo de material. O processo pode ser artesanal, pois utiliza

ferramentas simples como, por exemplo, o martelo e o serrote, sendo que a matéria

prima utilizada é quase sempre composta por material reaproveitado, como, por

exemplo, a madeira de demolição e os rolamentos (OS CARRINHOS..., 2011)

Basicamente, esses carrinhos são constituídos de um corpo de madeira com um

eixo móvel na frente, denominado de guia, sendo que podem ser utilizados três ou

quatro rolamentos. A figura 1 mostra o carrinho de rolimã mais comum em que há a

utilização de madeira e rolamentos de aço que são descartados em oficinas de reparos

automotivos.

Figura 1: Carrinho de rolimã construído com madeira e rolamentos de aço.

Fonte: Foto por Rogério Braga Soares

Em 2015, o professor-pesquisador presenciou a quarta edição de um evento

intitulado Mundialito de Rolimã do Abacate que acontece anualmente em uma rua, de

topografia íngreme, de um bairro de Belo Horizonte, em Minas Gerais, onde há um

centro cultural denominado Quilombo do Abacate2.

A participação do professor-pesquisador nesse evento foi apenas como

espectador, observador e ouvinte, pois estava buscando dados que fornecessem

informações suficientes e necessárias para verificar a possibilidade de desenvolver um

trabalho culturalmente relevante que agregasse valor real e qualidade à educação

matemática. Ao ler o regulamento do evento notou alguns fatores interessantes, como,

por exemplo, que existem três modalidades nessa competição: Velocidade, Manobra e

Estilo.

2O Quilombo do Abacate é um espaço aberto às vivências através da arte e da cultura, permitindo trocas,

experiências e aprendizados. Esse centro cultural é destinado à multiplicidade dos sentidos e ao

dinamismo do espaço, pois o Quilombo está aberto às manifestações artísticas, ideias absurdas e parceiros

de criatividade. Mais informações podem ser obtidas em: www.facebook.com/Quilombo-do-Abacate,

cujo acesso foi realizado em 10 de Setembro de 2015.

http://www.facebook.com/Quilombo-do-Abacate

25

O professor-pesquisador percebeu que nas duas primeiras modalidades existe

uma influência de conceitos matemáticos e físicos, pois a velocidade atingida pelo

carrinho pode ser influenciada por sua estrutura e trajetória, que estão associadas com

vários conceitos de geometria, como, por exemplo, a reta, a distância entre dois pontos,

o plano e a circunferência e, também, pelo centro de massa das figuras geométricas.

Quanto às manobras realizadas na competição, percebe-se a utilização dos

ângulos e de movimentos de rotação pelos competidores, porém, sem nenhum padrão

ou rigor acadêmico, pois as ideias e procecimentos matemáticos aplicados na construção

desses carrinhos seguem apenas as experiências pessoais adquiridas pelos praticantes

para proporcionar um melhor desempenho dos competidores.

Na opinião do professor-pesquisador, esse fato pode tornar a competição

esportiva descriteriosa, pois nas competições que utilizam instrumentos e/ou

equipamentos há a aplicação de padrões regimentais determinados pelas federações que

visam a regulamentação das modalidades esportivas.

Por exemplo, a Federação Internacional de Automobilismo (FIA) inspeciona

circuitos e homologa os carros por meio da exigência do cumprimento de uma série de

normas para eliminar qualquer variável que possa influenciar os resultados da disputa de

um Grande Prêmio (GP), que não sejam a habilidade e a experiência do piloto e,

também, as estratégias adotadas pela escuderia (ENCICLOPÉDIA F1, 2016).

Considerando que os carrinhos de rolimã têm como força de propulsão apenas o

impulso inicial que é dado pelo próprio piloto e a força peso, o rigor matemático poderá

auxiliar os alunos na realização dos cálculos de grandezas que podem influenciar o

desenvolvimento da aceleração alcançada pelos carrinhos.

Esses cálculos estão relacionados com a massa, o diâmetro da circunferência dos

rolimãs, o número de rolimãs, as formas geométricas das partes fixas e móveis da

estrutura do carrinho, a largura dos eixos entre os rolimãs, o comprimento do eixo

principal e a simetria do carrinho e a sua aerodinâmica. Esses elementos podem garantir

a padronização desse equipamento e, consequentemente, uma competição mais

criteriosa para os seus competidores.

Além disso, é importante resaltar que, a partir de uma padronização desses

equipamentos, pode existir também o desenvolvimento de um critério padronizado de

escolha dos competidores, como, por exemplo, o biotipo dos pilotos de Fórmula 1, que

não apresentam variações extremas de altura e de massa corporal.

26

O professor-pesquisador também percebeu essa lacuna nos critérios para a

competição de carrinhos de rolimã por meio dos comentários proferidos por alguns

espectadores, como, por exemplo, “assim não vale os carrinhos são muito diferentes”,

“olha o tamanho daquele rolimã, assim ele leva vantagem” e “aquele carrinho tem as

rodas maiores, por isso ganhou”.

A cada ano, esses eventos vêm se popularizando e conquistando mais adeptos

por causa de seu dinamismo e, também, pelo resgate cultural que têm proporcionado

para os membros desse grupo sociocultural e para outros indivíduos interessados nesse

tipo de competição. Consequentemente, Rosa e Orey (2012b) afirmam que as práticas

socioculturais podem ser consideradas como oportunidades para o estabelecimento de

uma conexão entre a matemática praticada localmente com aquela ensinada no ambiente

escolar.

É nesse sentido que D‟Ambrosio (2003) argumenta sobre a origem das ideias

matemáticas que é o resultado de um processo que procura explicar e entender fatos e

fenômenos observados na realidade. Essas ideias podem ser traduzidas a partir de

elaborações de modelos matemáticos cuja obtenção, aplicação e avaliação estão

vinculadas ao processo de modelagem matemática. De acordo com esse contexto, é

proposta a seguinte questão de investigação:

Quais são as possíveis contribuições que a modelagem matemática como

um ambiente de aprendizagem pode trazer para o desenvolvimento das

competências de modelagem matemática de um grupo de estudantes, ao

transformarem uma brincadeira em uma prática esportiva?

Ressalta-se que, no decorrer dos anos, várias modalidades esportivas surgiram,

outras se adaptaram à modernidade, muitas se popularizaram e, provavelmente, a

matemática deve ter contribuído para o desenvolvimento desses processos.

Assim, o estabelecimento de uma conexão entre o conhecimento matemático e a

prática esportiva tem uma relevância para o enriquecimento da educação matemática,

pois os alunos poderão atuar na elaboração de padrões e regras, partindo de

conhecimentos tácitos3 adquiridos em seu convívio cultural.

3Saber qual é a melhor alternativa, saber como resolver um problema e saber quem pode nos auxiliar na

tomada de decisão é um processo documentado, formalizado e comunicado através de algum formato

explícito, por exemplo, um contrato firmado entre duas pessoas. Neste caso, o conhecimento é

caracterizado como explícito. Outras vezes, estas inferências fazem parte do nosso entendimento interno,

que está tacitamente enraizado em nosso aprendizado e em nossa experiência, por exemplo, ativar a

27

Contudo, é importante que essa abordagem esteja aliada aos conceitos

matemáticos que auxiliarão os alunos nessas padronizações, pois poderão permitir o

desenvolvimento de um senso crítico e de justiça, que procurem garantir uma

competição esportiva em que os competidores possam disputar em condições de

igualdade.

Nesse direcionamento, esse estudo justifica-se por propor um trabalho

pedagógico vinculado à prática esportiva que está relacionada com o potencial

educativo do esporte, bem como com os seus benefícios para a saúde e para o convívio

social e afetivo dos participantes desse estudo.

Porém, essas afirmativas estão embasadas no senso comum que difunde as ideias

de que o esporte tira a criança da rua e ajuda a fazer novas amizades. Contudo, é

preciso observar que a prática esportiva possui um potencial significativo que pode

transformar a vida dos alunos (SANCHES; RUBIO, 2011).

Portanto, se a prática esportiva estiver vinculada aos fundamentos matemáticos

por meio da modelagem matemática como um ambiente de aprendizagem, pode-se

desenvolver uma oportunidade de aprofundamento do entendimento e da compreensão

da realidade para que os alunos possam ampliar a sua reflexão crítica sobre os

problemas que afligem a sociedade.

Finalizando a parte introdutória desse estudo, o restante dessa dissertação está

organizada em 5 (cinco) capítulos.

O Capítulo 1 apresenta a revisão de literatura que auxiliou o professor-

pesquisador no aprofundamento das principais teorias que fundamentam esse estudo,

como, por exemplo, a Modelagem Matemática, a Modelagem Matemática Sociocrítica e

a Engenharia Desportiva Educacional4. Esse capítulo também apresenta uma revisão

teórica sobre os ambientes de aprendizagem e sobre os esportes.

O Capítulo 2 apresenta e explicita as etapas e os procedimentos metodológicos

que o professor-pesquisador utilizou no desenvolvimento e na condução desse estudo,

cujo design foi baseado no Método do Estudo Misto (Mixed Methods Studies). Esse

capítulo também descreve como foram utilizados os instrumentos metodológicos

memória e recorrer às experiências passadas para solucionar um dilema. Nesta situação, o conhecimento é

caracterizado como implícito, isto é, o conhecimento é tácito (ROSA; OREY, 2012, p. 265). 4De acordo com Huddle (2016), a engenharia desportiva pode ser considerada como a aplicação técnica

de conceitos matemáticos e físicos na resolução de situações-problema relacionadas com os esportes e a

prática esportiva.

28

necessários para a coleta e a análise dos dados e a interpretação dos resultados obtidos

nesse estudo.

O Capítulo 3 apresenta a análise dos dados qualitativos e quantitativos de acordo

com os pressupostos do Método do Estudo Misto. Esse capítulo também contemplar as

respostas dadas pelos participantes para as atividades propostas no registro documental

que, também, serão analisadas de acordo com o referencial teórico estudado na revisão

de literatura.

O Capítulo 4 apresenta a interpretação dos resultados obtidos a partir da análise

das informações constantes nas categorias a priori, mistas, bem como das categorias

que emergiram durante o processo de levantamento das informações qualitativas e

quantitativas obtidas nos instrumentos de coleta de dados. Esse capítulo também

apresenta o desenvolvimento do processo de quantificação dos dados qualitativos.

O Capítulo 5 apresenta a resposta obtida para a questão de investigação, bem

como as considerações finais sobre a interpretação dos resultados obtidos durante a

condução desse estudo.

As referências bibliográficas, os apêndices e os anexos também são parte

integrante da estrutura dessa dissertação.

Como resultado desse estudo, foi elaborado um produto educacional que

compartilhará, com os professores de matemática e os interessados nesse tema, um

projeto interdisciplinar que visa o desenvolvimento da criatividade e da criticidade dos

alunos, mostrando a importância da utilização da matemática por meio da modelagem,

para que uma competição esportiva possa ocorrer em condições de igualdade entre os

atletas.

29

CAPÍTULO I

1. FUNDAMENTANDO TEORICAMENTE A PROBLEMÁTICA DO ESTUDO

É importante disponibilizar uma educação matemática de qualidade, inclusiva e

atrativa para os alunos, pois há uma busca incessante por novas tendências que auxiliem

os educadores a mostrarem a matemática sob uma perspectiva diferenciada, que

considere os conhecimentos adquiridos pelas experiências de vida dos alunos enquanto

integrantes de um determinado grupo sociocultural.

De acordo com esse contexto, o principal objetivo desse capítulo é providenciar

uma revisão de literatura relacionada com a concepção de Modelagem Matemática

como um ambiente de aprendizagem, além de sua abordagem crítica e reflexiva, através

da construção de modelos matemáticos visando a transformação de uma brincadeira em

uma prática esportiva.

Dessa maneira, o foco da revisão de literatura desse estudo está fundamentado

nos seguintes tópicos:

a) Modelagem Matemática

Competências de Modelagem Matemática

b) Modelagem Matemática Sociocrítica

Dimensões Crítica e Reflexiva da Modelagem Matemática

c) Ambientes de Aprendizagem

d) Modelagem Matemática como um Ambiente de Aprendizagem

e) Modelagem Matemática e os Esportes

Engenharia Desportiva Educacional

f) Modelagem Matemática e Currículo

A seguir, apresenta-se a fundamentação teórica para cada um desses tópicos e

subtópicos, de acordo com o estudo da revisão de literatura relacionada com a

problemática desse estudo.

1.1. Modelagem Matemática

As novas tendências em Educação Matemática surgiram com a necessidade de

se reestruturar o processo de ensino e aprendizagem em matemática. A partir da

compreensão da Educação Matemática como um campo científico e, aprofundando

30

sobre a sua evolução histórica, inicialmente, é possível identificar seis tendências

pedagógicas para o processo de ensino e aprendizagem em matemática: a formalista-

clássica, a empírico-ativista, a formalista-moderna, a tecnicista, a construtivista e a

sócio-etno-culturalista, que foram defendidas por seus idealizadores e pesquisadores

(FIORENTINI, 1995):

1. Formalista-clássica: essa tendência é centrada nos professores, sendo que a

aprendizagem dos alunos é realizada de maneira passiva e baseada na

memorização. Desse modo, os professores são os detentores do domínio dos

conteúdos que são ensinados de uma maneira pronta e acabada, para que os

alunos apenas copiem e repitam os exercícios propostos em sala de aula.

2. Empírico-ativista: essa tendência surgiu como uma negação ou oposição à

escola clássica, pois os professores abandonaram o posto de profissionais

centrais do processo de ensino ao assumirem a postura de orientadores da

aprendizagem. Nesse modelo, o conhecimento não é adquirido somente pela

descoberta, pois o ato de aprender exige ação, manipulação e experimentação

por parte dos alunos. Assim, existe uma preocupação de que o processo de

ensino e aprendizagem seja realizado por meio da relação da matemática

com outras ciências e, também, pela utilização de seus valores utilitários5.

Nesse sentido, os alunos aprendem fazendo, pois trabalham com a resolução

de problemas diários, participando da realização de atividades experimentais.

3. Formalista-moderna: a Matemática Moderna foi um movimento de

renovação no processo de ensino e aprendizagem de conteúdos matemáticos

que se fortaleceu nas décadas de 1960 e 1970. Esse período caracterizou-se

pelo desenvolvimento da tendência formalista-moderna, que enfatizava um

ensino que tinha o propósito de organizar o conhecimento matemático de

acordo com a utilização da linguagem, do rigor e das justificativas. Esse tipo

de ensino priorizava a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, as

relações e as funções, sendo centrado nos professores e desvinculado das

5De acordo com Biotto Filho (2014), os valores utilitários da matemática estão relacionados com o

desenvolvimento da capacidade de os alunos lidarem com situações novas e reais, com a preparação para

a sua participação política ao desenvolverem noções de economia, com a capacidade de analisar e

interpretar os dados estatísticos, com a capacidade de resolver situações de conflito e de tomar decisões.

Dessa maneira, a matemática é útil como um instrumentador para a vida e para o trabalho.

31

aplicações práticas. Esse movimento educacional está mais preocupado com

a formação de especialistas em matemática do que cidadãos.

4. Tecnicista: a finalidade dessa tendência é integrar os indivíduos e a

sociedade para torná-los capacitados e úteis para o desenvolvimento dos

objetivos da sociedade. Os conteúdos matemáticos são apresentados com a

utilização de uma instrução programada por meio da qual os alunos realizam

uma série de tarefas, do tipo resolva os exercícios abaixo, seguindo o modelo

ou arme e efetue, que são propostas pelos professores. Nessa abordagem, os

alunos e os professores são considerados como os executores de programas

educacionais desenvolvidos por especialistas. Nesse tipo de instrução, os

recursos e as técnicas de ensino são o centro do processo de ensino e

aprendizagem.

5. Construtivista: nessa tendência, os alunos interagem de uma maneira

reflexiva com o meio ambiente através da construção de conhecimentos

matemáticos para que possam adquirir a capacidade de aprender a aprender,

bem como desenvolver o pensamento lógico-formal.

6. Sócio-etno-culturalista: essa tendência propõe a utilização de problemas

retirados da realidade dos alunos, que estão inseridos em grupos culturais

diversos e distintos, que podem gerar temas para serem trabalhados em sala

de aula. Desse modo, essa abordagem visa trazer uma visão antropológica,

social e política para a Educação Matemática para que os alunos possam

atribuir sentido e significado às ideais matemáticas, possibilitando-lhes o

desenvolvimento do raciocínio e da análise crítica e reflexiva, bem como o

estabelecimento de relações e a elaboração de hipóteses e justificativas.

Continuando com o ciclo de evolução do processo educacional de ensino e

aprendizagem em matemática, surgem outras tendências em Educação Matemática

dentre as quais se destaca um movimento direcionado pela Modelagem Matemática.

Algumas das principais tendências atuais em Educação Matemática são:

Etnomatemática, História da Matemática, Resolução de Problemas e Tecnologias da

Informação e Comunicação.

32

1) Etnomatemática: Ubiratan D‟Ambrosio (1993) afirma que a etnomatemática

é um programa de pesquisa lakatosiano6, que vem adquirindo visibilidade

como uma proposta pedagógica com uma importante repercussão na

Educação Matemática, pois propõe um enfoque epistemológico alternativo

associado a uma historiografia ampla. Assim, a ação pedagógica desse

programa é alcançada partindo da realidade de uma forma natural que tem

um enfoque cognitivo com uma forte fundamentação cultural. A cognição

matemática é caracterizada na espécie humana, nas atividades de comparar,

classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir, modelar e

avaliar. Então, a cognição está vinculada à cultura, que pode ser entendida

como a união de conhecimentos compartilhados e comportamentos

compatibilizados. Nesse sentido, a cognição de cada indivíduo está enraizada

na cultura de seu grupo cultural (D‟AMBROSIO, 2001). Por conseguinte, o

Programa Etnomatemática procura trazer subsídios para que se possa

entender como os indivíduos consideram a realidade na qual estão inseridos.

2) História da Matemática: essa tendência surgiu como um potencial para o

desenvolvimento das aulas de matemática com o objetivo de facilitar a

aprendizagem dessa disciplina, pois os “conceitos [matemáticos] abordados

em conexão com [a] sua história constituem veículos de informação cultural,

sociológica e antropológica de grande valor formativo. [Portanto,] a História

da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria

identidade cultural” (BRASIL, 1997, p. 42) dos alunos.

3) Resolução de Problemas: essa é uma tendência empregada no processo de

ensino e aprendizagem em matemática, sendo considerada como um método

eficaz para desenvolver o raciocínio lógico dos alunos, motivando-os no

estudo dessa disciplina. Assim, o processo de ensino e aprendizagem pode

ser desenvolvido através da resolução de situações-problema interessantes

que despertem nos alunos o desejo de explorar caminhos variados para

6A etnomatemática possui várias características relacionadas com a metodologia científica do programa

de pesquisa lakatosiano, pois os principais componentes desse programa são o núcleo firme, as heurísticas

e o cinturão protetor de hipóteses auxiliares, que facilitam a análise dos fenômenos empíricos. O principal

objetivo do programa etnomatemática é o desenvolvimento e o fortalecimento das teorias que compõem o

seu cinturão protetor, ampliando-o e tornando-o mais preciso com relação às predições empíricas que são

realizadas em relação ao seu núcleo firme, que pode ser considerado como um conjunto de teorias

irrefutáveis que possibilita a tomada de decisões metodológicas (ROSA; OREY, 2015).

33

determinar a sua solução (POLYA, 2006). Dessa maneira, o ensino por meio

da resolução de problemas tem como objetivo auxiliar os alunos a lidarem

com os insucessos, a agirem com perseverança, a apreciarem os pequenos

progressos e a descobrirem a ideia essencial para que possam entender as

situações-problema enfrentadas em seu cotidiano.

4) Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC): é essencial que as escolas

estimulem nos alunos a aquisição, a organização, a geração e a difusão de

um conhecimento vivo que seja integrado aos valores e expectativas da

sociedade por meio da utilização de tecnologia na educação. Essa abordagem

garante a viabilidade desses acontecimentos, pois, a “informática e [as]

comunicações dominarão a tecnologia educativa do futuro” (D‟AMBRÓSIO,

1997, p. 80). Nesse sentido, as TIC possibilitam que os alunos estudem e

explorem novos temas educacionais de diversas maneiras para que

continuem motivados e interessados em seus estudos. O emprego das

tecnologias no processo de ensino e aprendizagem em matemática pode

promover uma mudança na prática pedagógica dos professores e no

estabelecimento da relação da matemática com o seu ensino (FIORENTINI;

LORENZATO, 2006).

Retornando à modelagem matemática, o estudo de um breve histórico de seu

desenvolvimento mostra que o:

(...) termo „modelagem matemática‟ [é utilizado] como [um] processo

para descrever, formular, modelar e resolver uma situação problema

de alguma área do conhecimento encontra-se já no início do século

XX na literatura de Engenharia e Ciências Econômicas

(BIEMBENGUT, 2009, p. 7).

De acordo com esse contexto, no Brasil, o início da Modelagem Matemática

ocorreu por meio de trabalhos que procuravam incentivar a utilização de modelos

matemáticos para o ensino da Matemática, realizado pelo Professor Aristides Barreto,

na Pontifica Universidade Católica, no Rio de Janeiro, na década de 1970.

Na década seguinte, em 1980, o movimento da modelagem matemática se

fortaleceu com os estudos conduzidos pelo professor Ubiratan D‟Ambrósio. Nessa

mesma década, o professor Rodney Bassanezi começou a aplicar a modelagem como

um instrumento pedagógico em cursos de especialização para professores

(BIEMBENGUT, 2009).

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A partir dessa década, começaram a surgir trabalhos direcionando as aplicações

da Modelagem Matemática para o ensino fundamental (BIEMBENGUT, 1990;

BURAK, 1987), para o Ensino Médio (BIEMBENGUT, 1990; BURAK, 1992) e para o

Ensino Superior (BORBA; MENEGHETTI; HERMINI, 1997; JACOBINI, 1999). Além

disso, surgiram trabalhos, com modelagem matemática, direcionados para a formação

de professores (BURAK, 1992; GAZZETA, 1989) e para a Educação de Jovens e

Adultos (MONTEIRO, 1991).

Do ponto de vista da educação matemática, constata-se que a modelagem

matemática promove diversos delineamentos. Por exemplo, na perspectiva dos

educadores matemáticos nota-se o desenvolvimento de algumas de suas dimensões,

como, por exemplo, a modelagem como uma estratégia pedagógica (ARAÚJO, 2002;

BASSANEZI, 2002) e como um ambiente de aprendizagem (BARBOSA, 2001;

JACOBINI, 1999; DINIZ, 2007).

Nesse movimento de evolução da modelagem, outras dimensões surgiram nesse

campo de estudo, como, por exemplo, a etnocomputação (TEDRE, 2002) e a

etnomodelagem (ROSA; OREY, 2010). Dessa maneira, a etnocomputação é o estudo

das interações entre a computação e a cultura, que emerge do conhecimento

desenvolvido nos grupos culturais, adaptando-se às mudanças que ocorrem nesses

grupos ao estudar os fenômenos computacionais que são desenvolvidos nesses

ambientes por meio da modelagem matemática (ROSA; OREY, 2012).

A etnomodelagem é o estudo dos fenômenos que ocorrem em uma determinada

cultura, pois é um construto social e culturalmente enraizado, que contempla os aspectos

culturais do conhecimento matemático no processo da modelagem. Nesse processo, a

tradução do conhecimento matemático local pode ser realizada por meio de métodos

científicos (abordagem ética), podendo auxiliar os professores e alunos na compreensão

dos fenômenos cotidianos (ROSA; OREY, 2014).

Em concordância com essas dimensões, a utilização da modelagem matemática

tem sido bem sucedida no oferecimento de cursos de especialização, de capacitação e de

aperfeiçoamento de professores, no ensino superior (BASSANEZI, 2002), nos ensinos

fundamental e médio (BIEMBEGUTT, 1999), no ensino de estatística (JACOBINI,

1999) e, também, na educação de jovens e adultos (MONTEIRO, 1991).

Por outro lado, a modelagem matemática pode ser considerada como um

processo de construção de modelos que transforma uma situação real em uma situação

matemática (BLUM, 1995). Essa abordagem consiste, essencialmente, na arte de

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transformar problemas da realidade visando resolvê-los para que os indivíduos possam

interpretar as suas soluções utilizando a linguagem do mundo real (BASSANEZI,

2002). Contudo, quando aplicada no ensino, a modelagem pode ser entendida como

uma descrição matemática de um fenômeno que é escolhido colaborativamente por

grupos de professores (BORBA, 1999).

De acordo com os aportes teóricos e metodológicos que utilizam as experiências

vivenciadas pelos indivíduos no processo da modelagem matemática (ROSA; OREY,

2014) essa tendência em Educação Matemática reconhece que as aplicações da

matemática estão presentes na sociedade, pois trazem contribuições importantes para o

processo de ensino e aprendizagem em matemática.

Assim, a modelagem pode ser considerada como uma ferramenta pedagógica

muito útil para a ação pedagógica desencadeada em sala de aula. Nessa abordagem, as

atividades de modelagem matemática podem ser consideradas como oportunidades que

os alunos possuem para explorar o papel que a matemática desempenha na sociedade

contemporânea (BARBOSA, 2001).

Portanto, a modelagem matemática assumiu outras concepções, como, por

exemplo, a epistemológica ou teórica, a educacional, a contextual, a cognitiva e a

sociocrítica (KAISER; SRIRAMAN, 2006 apud FREITAS, 2016, p. 47). De acordo

com o ponto vista de Freitas (2016), essas concepções são reconhecidas como

perspectivas internacionais da modelagem matemática que podem ser resumidamente

entendidas como:

a) Epistemológica ou Teórica: essa perspectiva evidencia o aperfeiçoamento

dos conceitos matemáticos através das teorias matemáticas, abordando, dessa

forma, as situações-problema previamente estruturadas para atingirem esse

objetivo.

b) Educacional: é uma junção das concepções realística e epistemológica da

modelagem matemática, que considera o desenvolvimento da teoria

matemática por meio da introdução de novos conceitos matemáticos ou pelo

desenvolvimento de conceitos adquiridos previamente pelos alunos

(modelagem conceitual) em concomitância com a estruturação e a promoção

do aprendizado por meio da proposição de situações-problema autênticas

(modelagem didática).

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c) Contextual: nessa perspectiva são utilizadas situações-problema reais em sala

de aula para a inclusão da modelagem matemática com o objetivo de motivar

os alunos na promoção da aprendizagem por meio da interpretação dos

enunciados dessas situações propostas. O principal objetivo dessa concepção

é auxiliar os alunos na elaboração dos modelos matemáticos.

d) Cognitiva: essa perspectiva estuda os processos cognitivos dos alunos

enquanto realizam as atividades de modelagem propostas em sala de aula,

pois está fundamentada na psicologia cognitiva. Essa concepção pode ser

descrita como uma meta perspectiva, pois representa um estudo holístico do

fenômeno em estudo, buscando entendê-lo de maneira ampla, abrangente,

humanista e natural.

e) Sociocrítica: essa perspectiva prioriza o pensamento crítico e reflexivo sobre

o papel e a natureza dos modelos, bem como a função da matemática na

sociedade contemporânea. Tortola, Silva e Almeida (2011) afirmam que essa

perspectiva visa a formação de alunos autônomos e aptos para exercerem a

cidadania.

Independente da perspectiva adotada é importante salientar que a modelagem

matemática tem sido caracterizada como uma atividade essencialmente investigativa e,

em geral, requer dos alunos a utilização de procedimentos específicos nas atividades

escolares das aulas de matemática (BLUM; FERRI, 2009; ALMEIDA, SILVA;

VERTUAN, 2012). Sendo assim, torna-se relevante um aprofundamento teórico das

competências necessárias para que os alunos possam participar de atividades de

Modelagem Matemática como um recurso para a sua efetiva aprendizagem em sala de

aula.

1.1.1. Competências de Modelagem Matemática

Para que se possa compreender a expressão competências de modelagem, é

importante que se defina o termo competências, de uma maneira geral, pois existem

várias definições para o mesmo. Essa variação de definição está relacionada com as

diferentes origens do termo competência em vários ramos da ciência, bem como em

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relação à distinção de certos tipos de competências (MAAβ, 2006). Por exemplo, para

Dias (2010), o termo:

Competência é um constructo teórico que se supõe como uma

construção pessoal, singular, específica de cada um. É única e

pertence exclusivamente à pessoa, exprimindo-se pela adequação de

um indivíduo a uma situação (p.10).

Contudo, para esse estudo, as definições derivadas no domínio pedagógico

parecem ser significativas. Por exemplo, a competência pode ser definida como a

capacidade que os indivíduos possuem para analisar e julgar, respectivamente, a

adequação das descrições e das tarefas para transferi-las para ação (FREY, 1999 apud

MAAβ, 2006).

Em relação à expressão competência matemática,

ministÉrio da educaÇÃo universidade federal de ouro ......carrinho de rolimã..... 130 figura 35:...

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