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Minidicionário de Cálculo e sua História ii

MATEMÁTICA PARA ECONOMIA E ADMINISTRAÇÃOMinidicionário de Cálculo e sua HistóriaCopyright © 2014 por editora HARBRA ltda.

Rua Joaquim Távora, 629 – Vila Mariana – 04015-001 – São Paulo – SPPromoção: (0.xx.11) 5084-2482 e 5571-1122. Fax: (0.xx.11) 5575-6876

Vendas: (0.xx.11) 5549-2244, 5084-2403 e 5571-0276. Fax: (0.xx.11) 5571-9777

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fotocópia, gravação etc. – nem apropriada ou estocada em sistema debanco de dados, sem a expressa autorização da editora.

ISBN 978-85-294-0443-1

Impresso no Brasil Printed in Brazil

Direção Geral:Supervisão Editorial:

Coordenação Editorial :Edição de Conteúdo:

Revisão de Texto:

Programação Visual e Editoração Eletrônica:Ilustrações:

Julio E. EmödMaria Pia CastigliaGrasiele Lacerda Favatto CortezAna Olívia Ramos Pires JustoEstevam Vieira Lédo Jr.Patricia Aguiar GazzaMônica Roberta SuguiyamaStella Belicanta RibasDarlene Escribano

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Ábaco – Contar com os dedos e escrever depé na areia eram formas antigas de cál-culo manual. O primeiro computadorinventado para os cálculos das quatrooperações foi, provavelmente, a mesa decontar ou ábaco, que surgiu em váriasformas e em muitas regiões do mundoantigo.

Os primeiros ábacos eram tabletes debarro endurecido ao sol ou blocos de ma-deira cobertos com uma camada de areiafina, nos quais os símbolos eram marca-dos. Depois que um cálculo era comple-tado e o ábaco não era mais necessário, os

desenhos podiam ser facilmente apaga-dos, deixando a superfície limpa paraoutras operações.

Um grande avanço na construção dosábacos foi a utilização de materiais maisduradouros, como o mármore, com osgregos, e o bronze, com os romanos.

A origem da palavra ábaco pode serencontrada na palavra arábica abq, quesignifica “areia fina” ou “poeira”.

Os ábacos usados atualmente são dotipo suan-pan, inventado na China no sé-culo XI, e o soroban, inventado no séculoXIV no Japão.

DO

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UTTERSTO

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A diferença entre os ábacos chinês (à esquerda) e japonês (à direita) reside no número de peçasque se encontram acima da barra divisora.

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UTTERSTO

CK

Assíntota – Do grego asymptotas, que não co-incide. Intuitivamente, uma reta que seaproxima indefinidamente de uma curvasem alcançá-la.

assíntota

Bürgi (1551-1632) – O fabricante de reló-gios e de instrumentos astronômicos JoostBürgi era assistente de Johannes Keplerquando construiu um sistema de logarit-

mos para facilitar as multiplicações comnúmeros muito grandes.

Medalha emitida pelo Clock Museum Abeler,na Alemanha, no 350o aniversário da mortede Bürgi.

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Bürgi provavelmente começou o seutrabalho entre 1584 e 1588, conseguin-do publicá-lo em 1620, 6 anos apósNapier ter publicado o seu.

Talvez, por essa razão, Napier é consi-derado o inventor dos logaritmos.

Cálculo Diferencial – O termo diferencialse refere a diferença. Mas, em Matemáti-ca, com o termo Cálculo, significa o tra-balho com derivadas.

Cálculo Integral – Na linguagem comum,integral significa total, global. Em Mate-mática, é simplesmente um processo in-verso: encontrar funções cujas derivadassão conhecidas.

Concavidade – A palavra está ligada a de-pressão, cavidade. Em Matemática, ela éutilizada para indicar se os pontos de umacurva estão acima ou abaixo das retas tan-gentes.

Contínuo – Em que não há interrupção ou“quebra”.

f(x) é contínua

Curva de nível – Uma linha que nos mapastopográficos liga pontos que estão a umamesma altura. Em Matemática, são pon-tos (x, y) no plano cartesiano que satisfa-zem a uma equação do tipo f (x, y) = C,em que C é um número real qualquer.

Declividade – Vem da palavra declive, quesignifica pendente, inclinação. Em Ma-temática, a declividade, geralmente repre-sentado por m, expressa a tangente damedida do ângulo que o eixo x forma coma reta r. Ou seja, m = tg α.

(a)

(a) concavidade para cima(b) concavidade para baixo

(b)

“quebra”

f(x) não é contínua

m > 0

m < 0



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Como tg 90º não existe, então m não existe.

m = 0

Demanda – Em Economia, significa procura.Quantidade demandada é a quantidadeprocurada, ou seja, a quantidade que seestima os consumidores vão comprar.

Derivada – Em Matemática, expressa adeclividade da reta tangente ao gráfico deuma curva em um ponto de coordenada p.

Usa-se a notação dfdx

, que se lê “a

derivada da função em relação a x” ou, amais comum, utiliza-se a linha para re-presentá-la, como f ’(x) representa a deri-vada da função f (x).

m = f '(p)

Não há uma razão linguística para ex-pressar esse conceito mediante essa palavra.

Derivada parcial – O termo parcial significaque faz parte de um todo.

Os matemáticos usaram essa palavrapara expressar a derivada de uma funçãode mais de uma variável em relação a ape-nas uma dessas variáveis quando todas asoutras são tratadas como constantes. Porexemplo, seja a função

f (x, y) = x2 + y3 − 1,então a derivada parcial de f (x, y) em re-lação a x é representada por fx(x, y) = 2x.

Descartes (1596-1650) – “Cada passagemalgébrica tem de corresponder a umaconstrução geométrica.”

Em 1637, René Descartes publicouA Geometria, mostrando como figuras geo-métricas podiam ser analisadas algebri-camente.

Página do livro A Geometria, de Descartes.

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Embora a Geometria Analítica tenhase originado com o trabalho de Descartes,no próprio livro A Geometria as coordena-das cartesianas e os eixos x e y não são usa-dos. Ele estava muito mais preocupado emexpressar a Álgebra em termos da Geome-tria, e a Geometria em termos da Álgebra.



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Dirichlet (1805-1859) – Em 1694, Leibnizdeu ao termo função o significado de “in-clinação de uma curva”, que tem muitospontos em comum com o significado atualde função. Foi o matemático alemãoJohann Peter Gustav Lejeune Dirichletquem mais se aproximou de nosso concei-to de função ao defini-la como “uma cor-respondência que assinala um único valorde y para todo valor permitido de x”.

Em geral, quando aproximamos osdados de uma situação real por meio deuma função, os resultados dos valores dafunção que obtemos expressam aproxima-damente a situação. Isso é diferente, porexemplo, de uma equação de 2.o grau,como x 2 − 5x + 6 = 0, cujas soluções são,exatamente, 2 e 3.

Euler (1707-1783) – Nascido em 15 de abrilde 1707 na Basileia, Suíça, LeonhardEuler escreveu mais de 500 livros e arti-gos sobre os mais diversos assuntos daMatemática. Redigia com tanta facili-dade que costumava dizer ironicamenteque seu lápis era muito mais inteligenteque ele.

Em 1726, teve recusado seu pedidode trabalhar na Universidade da Basileia,provavelmente porque ainda era muitojovem.

Alguns anos mais tarde, Pedro, o Gran-de, da Rússia, criou a Academia de Ciên-cias de São Petersburgo como parte deseus esforços para modernizar o país.

Entre os primeiros membros da Aca-demia, foram nomeados Nicolaus Ber-noulli (1695-1726) e Daniel Bernoulli(1700-1782), filhos de Johann Bernoulli,tutor em Matemática de Euler.

Em 1726, os dois irmãos o recomen-daram para uma vaga em Medicina e Fi-siologia, ciências que Euler havia estuda-do na Universidade da Basileia.

Em 1733, por causa da morte deNicolaus e do retorno de Daniel à Suíça,Euler tornou-se o principal matemático daAcademia. Nesse mesmo ano, casou-se comCatherine Gsell, com quem teve 13 filhos.

Problemas na sucessão do trono daRússia fizeram com que aceitasse o convi-te de Frederico II, da Prússia, tornando-sediretor da seção de Matemática da Acade-

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Dirichlet, matemático alemão.

Elasticidade – A procura por um produto, emgeral, depende de seu preço. Mas varia-ções de preços podem afetar de modos di-ferentes a demanda pelo produto: se o pro-duto é barato (açúcar, sal, shampoo, lápis,borracha), pequenas variações no preço nãointerferem na demanda, mas se o produtoé caro (casa, carro, excursão a outros paí-ses), pequenas variações nos preços expres-sas em porcentagem podem afetar a de-manda.

A elasticidade da demanda em rela-ção ao preço mostra a maleabilidade, aflexibilidade, ou seja, como varia a deman-da quando o preço de um produto au-menta ou diminui.

Estimativa – Uma avaliação, uma aproxima-ção de um resultado.



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mia de Ciências de Berlim, apesar de terficado cego, em 1735, do olho direito.

Durante os 25 anos em que trabalhouna Academia de Berlim, produziu cercade 300 trabalhos científicos. Mesmo as-sim, Frederico II não gostava de Euler.

Frederico preferia um matemático no-bre, mais afeito às coisas mundanas daCorte. Como podia ele gostar de um bru-to, nada sofisticado, cuja única preocu-pação era a Matemática? Referia-se a elerudemente como o “ciclope da Matemá-tica”. Mas os leais amigos, como vingan-ça, afirmavam que Euler, com um únicoolho, enxergava mais Matemática do quetodos os matemáticos da Corte reunidos!

Em 1755, a Academia de Ciências deParis o nomeou membro estrangeiro comoreconhecimento por ter vencido 12 vezesa competição bienal dessa Academia. Nes-sa época, já era reconhecido como o pri-meiro matemático da Europa. Provavel-mente por Frederico II se queixar muitode sua “falta de sofisticação filosófica”,Euler retornou à Rússia em 1776 e até asua morte, em 1783, continuou as ativi-dades matemáticas, apesar de ter ficadocompletamente cego em 1771.

Gráfico – Em Matemática, o termo gráfico éusado para descrever uma figura por meiode uma condição que é satisfeita somentepelos pontos da figura.

Por exemplo, o ponto P é o gráfico donúmero 4:

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Retrato de Leonhard Euler,por Jakob Emanuel Handmann.

No plano cartesiano, o ponto P, porexemplo, de coordenadas x = 2 e y = 4 é ográfico do par ordenado (2, 4):

Usa-se a representação gráfica de da-dos, em diversas áreas do conhecimen-to, pois favorecem a visualização e facili-tam sua análise.

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BENS DURÁVEIS NAS CASAS DOS BRASILEIROS% das casas com o item em 2013

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fogão

televisão

rádioDVD

máquina de lavar

computador

carros

motocicleta

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50,1 43,6

19,9

92,7

telefone

53,136,8

somente celular

celular e fixo

somente fixo

2,7

Fonte: PNAD/IBGE.Disponível em: <http://g1.globo.com/economia/pnad-resultados-2013/index.html>. Acesso em: 18 set. 2014.



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Inflexão – Inclinação de uma curva.

O ponto de inflexão expressa o mo-mento em que a curva muda de conca-vidade.

Note no gráfico a seguir que para x < 0,a curva tem concavidade para cima e, parax > 0, tem concavidade para baixo.

Hipérbole – Seu arco é obtido quando umplano paralelo ao eixo do cone o inter-cepta.

Infinito – Sem fim, sem limite, inumerável,incálculavel, incontável.

No Cálculo, é representado pelo sím-bolo: ∞, e, em geral, está ligado aos li-mites.

Observando o gráfico a seguir, nota--se que os valores de f (x) diminuem in-definidamente quando os valores de x au-mentam indefinidamente, e aumentamindefinidamente quando os valores de xdiminuem indefinidamente.

Representação: limx→+∞

f(x) = −∞

limx→−∞

f(x) = +∞

A função f(x) tem um ponto de inflexãoem (0, 2).

Kepler (1571-1630) – Desde que conheceua Teoria de Copérnico, o astrônomo e fí-sico alemão Johannes Kepler convenceu--se de que ela representava uma visão cor-reta do mundo.

A maior parte do trabalho de Kepler foidedicada à Astronomia e à Matemática.

Quando passou a utilizar infinitesi-mais para resolver problemas de máximose mínimos, provavelmente teve início oCálculo Diferencial e Integral.

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Retrato de Johannes Kepler, 1610.



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Lagrange (1736-1813) – O matemático deascendência francesa Joseph LouisLagrange nasceu em Turim, Itália. O seutalento em Matemática o levou a tornar--se, aos 19 anos, professor de Matemáti-ca da Escola Real de Artilharia de Turim.

Nessa mesma época, em 1755, lendoum artigo de Euler, escreveu para ele ex-plicando um método melhor que haviadescoberto sobre o tema do artigo e so-bre o Cálculo. Euler ficou tão impressio-nado com a ideia de Lagrange que o con-vidou para apresentar seu método na Aca-demia de Berlim. Quando Euler deixouBerlim para retornar a São Petersburgo,Lagrange foi indicado para ocupar seuposto na Academia. Bem mais tarde, aconvite de Luís XVI, foi para Paris, ondepassou o resto de sua vida.

Embora nunca tenha completado oprojeto, a busca por símbolos apropria-dos para representar pensamentos e meiosde combiná-los levou Leibniz a inventarmuitos dos símbolos matemáticos queusamos hoje.

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Retrato de Lagrange.

Leibniz (1646-1716) – Em 1663, o ale-mão Gottfried Wilhelm Leibniz come-çou a trabalhar na construção de um al-fabeto do pensamento humano: ummodo de representar os conceitos fun-damentais simbolicamente e um méto-do para combinar esses símbolos e re-presentar pensamentos mais complexos.

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Leibniz, por Christoph Bernhard Francke,em 1700.

Limite – Fim, um ponto extremo. Mesmoem Matemática, a ideia de se aproximaro mais possível de um ponto ou de certonúmero, e mesmo assim nunca alcançá--lo, não é muito atraente nem de fácil com-preensão.

Mas se pensarmos em exemplos, comoa produtividade máxima de uma máqui-na, que tem um limite que se busca atin-gir, o seu desempenho ideal, mas quenunca é atingido na prática, é possível teruma ideia mais clara e precisa do concei-to matemático de limite.

Logaritmo – Vem das palavras gregas logos(raio) e arithmos (número). Logaritmo éo número (medida) do raio.

As grandes tabelas de logaritmos erammuito utilizadas no cálculo de senos naAstronomia, e por isso está ligado aos rai-os de circunferências.



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Multiplicador – Em uma multiplicação, ésimplesmente um fator.

Para Lagrange, e no Cálculo atual, sãovariáveis que introduzimos para calcularmáximos e mínimos de funções do tipof (x, y, z), sujeitas a condições como:

g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0F(x, y, z, λ, µ) = f + λ ⋅ g + µ ⋅ h

Newton: “Quando ele tinha convidadosem sua casa, se subisse a seu estúdio comuma garrafa de vinho e uma ideia viesse asua mente, ele sentaria para escrever e es-queceria os amigos”.

Talvez esse enorme poder de concen-tração possa explicar por que o Cálculo ésomente uma das muitas áreas em queNewton contribuiu significativamentepara uma compreensão mais precisa domundo que nos rodeia. Hoje, sua coleçãode trabalhos matemáticos compreende 8grandes volumes.

Isaac Newton consolidou, desenvolveue generalizou os trabalhos sobre tangen-tes (derivadas) e áreas (integrais) de seusantecessores do século XVII em geniaisproblemas que aparecem em todos os li-vros de Cálculo atuais.

multiplicadores

Napier (1550-1617) – John Napier foi umnobre escocês que, preocupado com asmultiplicações e divisões de números commuitos algarismos que os astrônomoseram obrigados a fazer, em 1614 publi-cou a sua obra Descrição da MaravilhosaLei dos Logaritmos, que pode ser conside-rada a origem dos logaritmos. Diferente-mente dos logaritmos que se utilizam naatualidade, a base escolhida por Napierfoi 1e .

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Retrato de John Napier, 1616.

Newton (1642-1727) – Uma vez, um ami-go fez este comentário sobre Isaac

Riemann (1826-1866) – A integral defini-da é comumente chamada “Integral deRiemann” devido ao matemático alemãoGeorg Friedrich Bernhard Riemann, quecom seu trabalho de séries trigonomé-tricas, em 1854, deu uma precisa e exatadefinição de integral.

Página do livro Princípios Matemáticos daFilosofia Natural, um dos livros de CiênciasNaturais de maior influência já publicado.

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Riemann mostrou também que erapossível existir funções contínuas sem de-rivada em nenhum ponto.

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Retrato de Riemann, em 1863.

Variável – Aquilo que pode apresentar di-versos valores diferentes.

Em geral, na Matemática, usamos asletras do alfabeto para representar as va-riáveis.

O jurista francês François Viète(1540-1603) ficou conhecido como “OPai da Álgebra” devido a uma ideia apa-rentemente simples: passou a represen-tar as variáveis de uma equação por vo-gais e os coeficientes, as constantes, porconsoantes. Atualmente, as constantessão representadas pelas primeiras letras doalfabeto e as variáveis pelas finais.


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