mini-curso de geomecÂnica de rsu - site da fecsgrsu/arquivos/marcio_curso_geomecanica_rs… ·...

Márcio Muniz de Farias, UnB (Brazil)

Dorival Pedroso, UQ (Australia)

MINI-CURSO DE GEOMECÂNICA DE RSU

CONTEÚDO

• Introdução (Um pouco de Filosofia)

• Definições Básicas (Recordar é Viver)

• O problema de Fluxo (Matematizando o Problema)

• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MDF)

• O problema de Equilíbrio (Matematizando o Problema)

• Resolvendo o Problema? (Discretizando o Contínuo - MEF)

• Acoplando (e Complicando) os Problemas (Não saturação)

Equações Gerais

(Matematizando o Problema)

EQUILÍBRIO ESTÁTICO

F

1 - Introdução

Qual a resposta de um corpo a uma dada solicitação?

Solicitação

excitação externa

(p.ex. Força)

Resposta

mudanças no contorno e internas

(p.ex.: deslocamentos, deformações, tensões)

Condições

(Equilíbrio, Resistência)

Tensões são reações internas devido à aplicação de cargasexternas

2 - Conceito de tensão

Força Externa↓

Re-arranjo de partículas (Deformação)↓

Mudança na resultante das forças internas entre partículas (Tensão)↓

Equilíbrio

O conceito de tensão fornece uma medida de como os esforçosexternos são absorvidos (transmitidos) no interior do corpo

1 – Mapa Conceitual para Tensão

Meio

Forças

Externas

Ponto

Forças de

contato

(contorno)

Forças de

massa

(volume)

Forças Internas

(Tensão no plano)

Plano

Tensor (tensão no ponto)

Medidas de um tensor (invariantes,

tensões principais)

2 - Conceito de Tensão

CARGA EXTERNA: Forças de massaForças de superfície

FORÇAS DE MASSA:

• Distribuem-se espacialmente sobre todo o volume de corpo (body forces);

• Desenvolvem-se sem contato físico entre os corpos (forças de campo);

• Têm dimensão de peso específico, [F/L3] (por ex., kN/m3 )

• Exemplos: peso próprio, forças de percolação, etc

FORÇAS DE SUPERFÍCIE:

• São aplicadas na fronteira do corpo;

• Resultam da pressão entre corpos diferentes (forças de contato);

• Têm dimensão de pressão, [F/L2] (por ex., kN/m2 ou kPa)

• Exemplos: cargas transmitida por uma sapata

• Simplificações: cargas concentradas e cargas em linha

dA

dFpn lim= Tensão resultante

no plano n0→dA

dA

dFp

ny

ny lim=0→dA

dA

dFp nznz lim=

0→dA

Definição de vetor de tensão (num plano)

I

II

A dF

n

I

A

dA

n

I

AdF

dA

x

y

z

dFny

dFnz

dFnx

Componentes cartesianas

dA

dFp nxnx lim=

0→dA

Definição de vetor tensão (num plano)

As tensões atuantes em um plano passando por um dado ponto são

definidas por um vetor {pn} de componentes pnx, pny, pnz em relação a um

sistema de eixos cartesianos ortogonais x,y,z.

O vetor de tensões está diretamente ligado ao plano em consideração.

Portanto não faz sentido falar em vetor de tensões em um ponto, uma vez

de passam infinitos planos por um ponto! Embora a força em um ponto

possa ser constante, a área dA, e portanto as tensões, varia para

diferentes planos passando pelo ponto.

p

F

p

FA

1 2

p

F

2p2

F

1 p

FF

p1

P

x

y

z

y

τyz

σ

τ yx

σ x

τxy

τxz

σ z

τzx

τzy

CONVENÇÃO DE SINAIS

:iσ

:ijτ

Positivo se de compressão(sentido oposto à normal aoplano)

Positivo se dirigido (índice j)em direção oposta ao eixo j

Estado Triplo de Tensão(Estado de Tensão num Ponto)

O vetor de tensões num ponto dependedo plano de referência. Mostra-se aseguir que, conhecendo-se os vetores detensão atuantes em três planosortogonais (x,y,z), pode-se determinar ovetor de tensões atuante em qualqueroutro plano , passando pelo ponto!n

�

σy

x

z

y

dA

dxdy

dz

σz

n

h

σx

No limite (h 0), o equilíbrio na direção x fornece:

dApdxdydxdzdydz nxzxyxx =++2

1

2

1

2

1ττσ

Notando que:

),cos(2

1xndAdydz =

),cos(2

1yndAdxdz =

),cos(2

1zndAdxdy =

Tensões em um plano qualquer

pny

pnx

pnz

{ }zp{ }yp{ }xp

Tensões em um plano qualquer

Obtém-se:

( ) ( ) ( )znynxnp zxyxxnx ,cos,cos,cos ττσ ++=

De forma semelhante, ΣΣΣΣFy = 0 e ΣΣΣΣFz = 0 fornecem:

( ) ( ) ( )znynxnp zyyxyny ,cos,cos,cos τστ ++=

( ) ( ) ( )znynxnp zyzxznz ,cos,cos,cos σττ ++=

De forma matricial:

{ } [ ]{ }o u .

i j i j

p S n

p n

p S n

σ

=

=

=ɶ ɶɶ ɶ

p = S n

Notações Alternativas

cos( , )

cos( , )

cos( , )

nx x yx zx

ny xy y zy

nz xz yz z

p n x

p n y

p n z

σ τ ττ σ ττ τ σ

=

matriz de tensão ou tensor de tensões

O tensor representa as

tensões em um PONTO!

σɶɶ

Equações de Equilíbrio

x

y

z

mg

∆y

∆z

∆x

022

22

2.

2.0

=−∆∆

∆∂∂

+−∆

∂∂

−+

+∆∆

∆∂

∂+−

∆∂

∂−+

+∆∆

∆∂∂

+−∆

∂∂

−⇒=∑

mgzyx

x

x

x

zxy

y

y

y

yxz

z

z

zF

xzxz

xzxz

yz

yz

yz

yz

zz

zzz

ττ

ττ

ττ

ττ

σσ

σσ

Considere o equilíbrio de forças na direção

vertical para o elemento de solo acima com

volume zyxV ∆∆∆=∆

Dividindo por zyxV ∆∆∆=∆ obtém-se:

γσττ

−=∂∂

+∂

∂+

∂∂

zyx

zyzxz Onde é o peso específico do soloγ

.

2

x

x

xzxz

∆∂∂

−τ

τ

2

x

x

xzxz

∆∂∂

+τ

τ

.

2

y

y

yz

yz

∆∂

∂−

ττ

2

y

y

yz

yz

∆∂

∂+

ττ

.2

z

z

zz

∆∂∂

+σ

σ

2

z

z

zz

∆∂∂

−σ

σ

Equações de Equilíbrio

Idem para∑ = 0Fx ∑ = 0Fye

−=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

γσττ

τστ

ττσ

zyx

zyx

zyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

0

0

(4)

Observações:

• A única hipótese assumida foi a de equilíbrio estático, i.e., aceleração nula,

para2

2

0t

u

gfa ii ∂

∂=⇒≠

γ� , equação de movimento.

0=a�

• Nada foi assumido com relação ao comportamento do material.

•As equações acima são em termos de tensões totais ! [ ] [ ] [ ]USS += '

• A eq. (4) fornece três equações diferenciais parciais de primeira ordem para nove

incógnitas. Portanto, o problema ainda é indeterminado (por enquanto) !

iij,j fσ =

:indicial notação Em

Em notação tensorial:

( )div fσ =ɶ ɶɶ

Simetria do Tensor de Tensões

y

P

x

z

+

∂τ∂zyτ

zy

z+ z∆

2

∂τ∂zyτ

zy

z− z∆

2

∑ = 0xPM

yzzy

yzzy

yz

yz

yz

yz

zy

zy

zy

zy

VV

yzx

y

y

yzx

y

y

zyx

z

z

zyx

z

z

ττ

ττ

ττ

ττ

ττ

ττ

=⇒

∆=∆∴

∆∆∆

∆∂

∂++

+∆

∆∆

∆∂

∂−

=∆

∆∆

∆∂

∂−+

+∆

∆∆

∆∂

∂+

22

22

22

22

De forma semelhante obtém-se:

yxxy ττ =zxxz ττ = Agora temos seis (6) incógnitas para (3) equações de

equilíbrio

y∆yz

yz

yτ

∂τ∂

− .2

yzyz

yτ

∂τ∂

+ .2

y∆

1 – Tensão como uma matriz coluna

Às vezes é conveniente tratar o tensor (ou matriz) de tensõescomo um vetor (ou matriz coluna) com seis componentes,considerando sua simetría.

Agora considere aequação de equilíbrio:

[ ]

(6 3)

0 0

0 0

0 0

£ 0

0

0x

x

y

z

y x

z y

z x

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

[ ]1 4 6

4 2 5

6 5 3

xx yx zx

xy yy zy

xz yz zz

S

σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ

= =

{ }

1

2

3

4

5

6

x

y

z

xy

yz

xz

σ σσ σσ σ

στ στ στ σ

= =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

x

y

x

z

y

xy

z

yz

xz

x y zb

by x z

b

z y x

σσστττ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

[££££] é um operador diferencialem forma de matriz (6x3).Sua transposta [££££]T, aplicadaao “vetor” de tensões,fornece as forças de massainternas na equação deequilíbrio (divergente):

[ ] { } { }(6 1) (3 1)(3 6)£

T

x xxbσ =

Notação de Voigt

−=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

γσττ

τστ

ττσ

zyx

zyx

zyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx

0

0

{ } { }int (3 1) (3 1)extx xb b=

1 – Mapa Conceitual para Deformação

Meio

Solicitação

externa (força)

Ponto

Deslocamentos (d)

Plano

Relativas

(deformações, ε)

Acréscimo de tensões

Translações Rotações (ωωωω)

Absolutas (Corpo

rígido)

Relação σσσσ−−−−εεεε

Eq

uilí

bri

o

Re

laçã

o d- εε εε

Deformações

Antes das deformações, vamos analisar o deslocamento de um corpo rígido(indeformável)

Translação linear

Translação linear +translação angularxθ

Podemos determinar o movimento completo de um corpo rígido a partir dodeslocamento de um único ponto.

O movimento de corpo rígido ocorre mesmo em corpos deformáveis se estes nãotiverem nenhum tipo de restrição (movimento de corpo livre).

Para haver deformações na análise estática, o objeto precisa ter algum tipo derestrição de deslocamento; na análise dinâmica elas ocorrem sob aceleraçõesdiferentes aplicadas em pontos distintos do mesmo corpo.

1 - Deformações

Quando um corpo é submetido a forças externas agindo no seu contorno(forças de superfície) ou em todo o seu volume (forças de massa), ocorremmudanças de dimensões e forma (deformações) em sua geometria. A teoria dasdeformações estuda essencialmente as variações geométricas que os corpossofrem.

h

D

hh ∆−

DD ∆+

Deformações

Conceito de deformação normal (unidimensional)

0 A Bx

dx

uA

A´uB

B´

dx+(uB-uA)

dx

uu

AB

ABBA ABx

−=

−=

´´ε

dxx

uu

∂∂

=∆uA

uBx

u

∂∂

1

x

u

dx

dxx

u

dx

ux ∂

∂=∂

∂

=∆

=ε

u u=u(x)

Da definiçao:

´ ´ .(1 )x

A B AB ε= +

Convençao de sinal:

(compressao positiva)x

u

xε

∂= −

∂

1 – Deformações em 3D

{ }( , , )

( , , )

( , , )

u x y z

s v x y z

w x y z

=

O deslocamento de um ponto M(x,y,z) em 3D é um vetor

{s}=(u,v,w) que varia no espaço: ),,( dwdvdusd

�

x

y

z

),,( dzzdyydxxN +++

),,( zyxM

dr

s

),,( wvus�

)

),

,('

dwwdzz

dvvdyy

duudxxN

+++

+++

+++

),,(' wzvyuxM +++

1dr

{ }du

ds dv

dw

=

Dois pontos vizinhos M e N, distantes {dr}, têm um deslocamento {ds}:

u u udx dy dz

x y z

dx dy dzx y z

dx dy dzx y z

du

v v vdv

w w wdw

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

O diferencial total de cada componente de deslocamento fornece:

Observe que somente o deslocamento relativo (descontadas as translaciones e

rotações) causam a elongação oo deformação da barra MN.

1 – Deformações em 3D

u u u

x y zdu dx

v v vdv dy

x y zdw dz

w w w

x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Em notação matricial:

Ou de forma compacta:

Mas qualquer matriz pode ser decomposta em uma parte simétrica e outra anti-simétrica. Então:

dr�

ds�

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )1 1 +

2 2

T TG G G G G= + −

{ } [ ]{ }ds G dr=

Matriz (ou tensor) de gradientes de desloc,

1 1

2 2

1 1

2 2

1

2

G

u u v u wu u u

x y x z xx y z

v v v v u v v w

x y z x y y z y

w w w w u

x y z x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂��

Matriz (ou tensor) de pequenas deformações

1 10

2 2

1 10

2 2

1 1

2 2

D

u v u w

y x z x

v u v w

x y z y

w v w w u

y z z x z

∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ��

Matriz (ou tensor) de pequenaas rotações

10

2

R

w v

y z

∂ ∂ − ∂ ∂ ��

[G] é a matriz (ou tensor) de deslocamento.

{ }

u

x

uu

y

u

y

∂ ∂

∂∇ =

∂ ∂ ∂

[ ] ( )

u

G v s

w

∇

= ∇ =∇ ∇

�

� � �

�

1 – Deformações en 3D

Matriz (tensor) de pequenas deformações:

[ ] ( )

1 1

2 2

1 11 .

2 2

1 1

2 2

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

u u v u w

x y x z x

v u v v wD

x y y z y

w u w v w

x z y z z

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Observações:

xyxy γε2

1=

εxy = Deformação angular media

γxy = Deformação angular total (Notação de Engenharia)

1 1

2 2 xy yx

u v v u

y x x yε ε

∂ ∂ ∂ ∂+ = + ⇒ = ∂ ∂ ∂ ∂

; ij ij ii ii i

ε ε ε ε ε= = →

2xy xy

u v

y xγ ε

∂ ∂= = − + ∂ ∂

1 – Deformações como uma matriz coluna

Às vezes é conveninete tratar as deformações como um matriz coluna (ou vetor) com seis componentes (simetria). Usando a notação de engenharia :

Observe que:

[ ]

(6 3)

0 0

0 0

0 0

£ 0

0

0x

x

y

z

y x

z y

z x

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

[ ]1 4 6

4 2 5

6 5 3

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

D

ε γ γ ε γ γγ ε γ γ ε γγ γ ε γ γ ε

= =

{ }

1

2

3

4

5

6

x

y

z

xy

yz

xz

ε εε εε ε

εγ γγ γγ γ

= =

0 0

0 0

0 0

( 1).0

0

0

x

y

z

xy

yz

xz

x

y

uz

v

wy x

z y

z x

εεεγγγ

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

{ } [ ] { }(6 1) (3 1)(6 3)£

x xxdε =

1

4

...

...

x

xy

u

x

u v

y x

ε ε

γ γ

∂= = −

∂

∂ ∂= = − + ∂ ∂

[££££] é um operador diferencial em forma de matriz (6x3) que

transforma o vetor de deslocamentos em ‘vetor’ de

pequenas deformações

Sua transposta [££££]T, aplicada ao “vetor” de tensões,

fornece as forças de massa internas na equação de

equilíbrio:

[ ] { } { }(6 1) (3 1)(3 6)£

T

x xxbσ =

Notação de Voigt

1 - Deformações

Significado físico das componentes de deformação em (2D)

tan1(1 ) y

u udy

uy y

v ydyy

α αε

∂ ∂∂∂ ∂≅ = = ≅

∂ + ∂/+∂

dxA B

CD

dy

x

y

tanv

xβ β

∂≅ =

∂

2xy xy

u v

y xα β γ ε

∂ ∂+ = + = − = −

∂ ∂u

v

A'

D' C'

B'

( )2 2

22 2( ) 1 ; ( )

x

u vA B dx A B dx dx dx

x xε

∂ ∂ ′ ′ ′ ′= + = + + ∂ ∂

dy(1+εy)

dx(1+εx)

α

βvdx

x

∂∂

udy

y

∂∂

udx dx

x

∂+

∂

≅0 ≅0 ≅02 2

2 2 1 1 2 x x

u u v

x x xε ε

∂ ∂ ∂ + + ≅ + + + ∂ ∂ ∂

• Significado de “pequenas deformações”

• Cuidado com a convenção de signais

x

u

xε

∂∴ ≅

∂

Princípio da Superposição

Considere um barra submetida a tensões axiais σ1 e σ2 :

σ1

L u1

σ2

L u2

L

u11 =ε

L

u22 =ε

Aplicando-se σ1 seguido de σ2 :

1221

1221

121

121

)(

)(

uuuu

LLu

LLu

uLuu

+=+=

++=

++=

++=

εεε

εε

ε

0

Para pequenas deformações é o mesmo que aplicar σ2 seguido de σ1 ou σ1 + σ2

simultaneamente !...

1 – Deformações Principais

Significado físico das componentes de deformações (2D)

x

y

x

u

xε

∂= −

∂

y

v

yε

∂= −

∂

xy

u v

y xγ

∂ ∂= − + ∂ ∂

[ ] x yx

xy y

Dε ε

ε ε

=

1

2xy xyε γ=

[ ] 1

3

0

0D

εε

′ =

1

3

Vo

Deformações

Desprezando os termos de ordem superior:

( )

o

ov

zyx

V

VV

dxdydzV

−=∴

+++=

ε

εεε

1

Jzyxv 1=++= εεεε⇒

Vo= dxdydz - volume inicial ( ) ( ) ( )zyx dzdydxV εεε +++= 1.1.1

o

ov

V

VV −=ε Por definição

Deformações volumétricas

Deformações octaédricas

Definidas de maneira semelhante às tensões octaédricas

( )

( ) ( ) ( )232

2

31

2

21

1321

3

2333

1

εεεεεεγ

εεεεε

−+−+−=

==++=

oct

v

oct

J

V

Relação Tensão - Deformação

Teoria das tensões:

Teoria das pequenas deformações:

Deslocamentos: 3

Total:

6 incógnitas x 3 equações de equilíbrio

6 incógnitas

3 incógnitas x 6 equações

15 incógnitas x 9 equações

Observações:

• As seis (6) equações de compatibilidade não acrescentam novas equações. Sãoapenas relações adicionais entre as componentes de deformação.

• Até o presente não foram feitas considerações sobre o tipo de material, ou seja, asequações de equilíbrio estático e as relações deformação-deslocamento (no contextode pequenas deformações) valem para qualquer sólido.


As seis (6) equações restantes podem ser escritas sob a forma geral:

( )xyxzyzzyx1x ,,,,,F γγγεεε=σ

( )xyxzyzzyx2y ,,,,,F γγγεεε=σ

( )xyxzyzzyx3z ,,,,,F γγγεεε=σ

( )xyxzyzzyx4xy ,,,,,F γγγεεε=τ

( )xyxzyzzyx5xz ,,,,,F γγγεεε=τ

( )xyxzyzzyx6yz ,,,,,F γγγεεε=τ

(1)

• Estas seis equações se relacionam à resposta física do sistema aos carregamentos. São, portanto, idealizações matemáticas do

comportamento mecânico do material;

• Cada forma específica de relação é um modelo (dito constitutivo) e representara certas características de comportamento em função de certos parâmetros característicos do material e de outras variáveis

(estado de tensão, história de tensão, etc.)

{ }

11 1

22 2

33 3

12 4

23 5

13 6

21 7

32 8

13 9

ε εε εε εε ε

ε ε εε εε εε εε ε

= ≡

Representação Matricial da Relação σ−ε (Notação de Voigt)

1 4 6

7 2 5

9 8 3

σ σ σσ σ σσ σ σ

=

{ }

1

2

3

4

5

6

simetria

σσσ

σσσσ

=

��

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9ì i i i i i i i i iD D D D D D D D Dσ ε ε ε ε ε ε ε ε ε= + + + + + + + +

{ }

11 1

22 2

33 3

12 4

23 5

13 6

21 7

32 8

13 9

σ σσ σσ σσ σ

σ σ σσ σσ σσ σσ σ

= ≡

Relação {σ}x{ε}

[D] 9x9 � 81 constantes!

[ ]11 12 13

21 22 23

13 32 33

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

=

[ ]11 12 13 1 4 6

21 22 23 7 2 5

13 32 33 9 8 3

ε ε ε ε ε εε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

= =

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 41 42 43 44 45 46 47 48 49

5 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6 61 62 63 64 65

7

8

9

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D

σσσσσσσσσ

=

1

2

3

4

5

66 67 68 69 6

71 72 73 74 75 76 77 78 79 7

81 82 83 84 85 86 87 88 89 8

91 92 93 94 95 96 97 98 99 9

D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

εεεεεεεεε

{ }

11 1

22 2

33 3

12 4

23 5

13 6

21 7

32 8

13 9

ε εε εε εε ε

ε ε εε εε εε εε ε

= ≡

{ }

1

2

3

4

5

6

simetria

σσσ

σσσσ

=

��

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9ì i i i i i i i i iD D D D D D D D Dσ ε ε ε ε ε ε ε ε ε= + + + + + + + +

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 7 4 5 8 5 6 9 6ì i i i i i i i i iD D D D D D D D Dσ ε ε ε ε ε ε= + + + + + + + +

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 62 2 2ì i i i i i iD D D D D Dσ ε ε ε ε ε ε= + + + + +

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6ì i i i i i iD D D D D Dσ ε ε ε γ γ γ= + + + + +

Tendo-se em conta a simetria do tensor de módulos de rigidez

(da energia de deformação):

Usando notação de engenharia para as deformações

Tendo-se em conta a simetria do tensor de deformações:

{ }

1

2

3

4

5

6

εεε

γ = 2ε εγγγ

=

��

{ }

11 1

22 2

33 3

12 4

23 5

13 6

21 7

32 8

13 9

σ σσ σσ σσ σ

σ σ σσ σσ σσ σσ σ

= ≡

Relação {σ}x{ε}

[D] 9x9 � 81 constantes!

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 41 42 43 44 45 46 47 48 49

5 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6 61 62 63 64 65

7

8

9

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D

σσσσσσσσσ

=

1

2

3

4

5

66 67 68 69 6

71 72 73 74 75 76 77 78 79 7

81 82 83 84 85 86 87 88 89 8

91 92 93 94 95 96 97 98 99 9

D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

εεεεεεεεε

{ }

1

2

3

4

5

6

7

8

9

εεεε

ε εεεεε

=

{ }

1

2

3

4

5

6

simetria

σσσ

σσσσ

=

��{ }

1

2

3

4

5

6

εεε

γ = 2ε εγγγ

=

��

{ }

1

2

3

4

5

6

7

8

9

σσσσ

σ σσσσσ

=

Relação {σ}x{ε}

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 41 42 43 44 45 46 47 48 49

5 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6 61 62 63 64 65

7

8

9

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D

σσσσσσσσσ

=

1

2

3

4

5

66 67 68 69 6

71 72 73 74 75 76 77 78 79 7

81 82 83 84 85 86 87 88 89 8

91 92 93 94 95 96 97 98 99 9

D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

D D D D D D D D D

εεεεεεεεε

1 11 12 13 14 15 16 1

2 21 22 23 24 25 26 2

3 31 32 33 34 35 36 3

4 41 42 43 44 45 46 4

5 51 52 53 54 55 56 5

6 61 62 63 64 65 66 6

D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D

D D D D D D

σ εσ εσ εσ γσ γσ γ

=


Teoria da Elasticidade Linear

zσ

zεzσ

zε

Para baixos níveis de tensão, a relação σσσσ −−−− εεεε é aproximadamente linear. Asequações (1) podem ser escritas da seguinte forma:

xyxzyzzyxx DDDDDD γγγεεεσ 161514131211 +++++=

xyxzyzzyxy DDDDDD γγγεεεσ 262524232221 +++++=

xyxzyzzyxz DDDDDD γγγεεεσ 363534333231 +++++=

xyxzyzzyxxy DDDDDD γγγεεετ 464544434241 +++++=

xyxzyzzyxxz DDDDDD γγγεεετ 565554535251 +++++=xyxzyzzyxyz DDDDDD γγγεεετ 666564636261 +++++=

ou

{ } [ ]{ } :onde ,De ε=σ

{σ}{σ}{σ}{σ} é o vetor tensão (6x1)

[De] é a matriz tensão-deformação elástica (6x6)

{ε}{ε}{ε}{ε} é o vetor de deformação (6x1)

Obs.: σσσσ é o acréscimo de tensão (geralmente efetiva)


Inversamente

xyxzyzzyxx CCCCCC σσσσσσε 161514131211 +++++=

xyxzyzzyxy CCCCCC σσσσσσε 262524232221 +++++=

xyxzyzzyxz CCCCCC σσσσσσε 363534333231 +++++=

xyxzyzzyxxy CCCCCC σσσσσσγ 464544434241 +++++=

xyxzyzzyxxz CCCCCC σσσσσσγ 565554535251 +++++=

xyxzyzzyxyz CCCCCC σσσσσσγ 666564636261 +++++=

ou{ } [ ]{ } :onde ,σε eC=

[Ce]= [De]-1

Implicações da linearidade: σ

ε

⇒

→

+→+

→

→

II

IIIIII

IIII

II

kk εσ

εεσσ

εσ

εσ

Conseqüências:

-Não considera não-linearidade (mudança

de módulo com o nível de tensão)

-Não leva em conta a “história das tensões”

(se já foi carregado antes ou não)

- A Teoria da Elasticidade não prevê

deforma-

ções permanentes ou “plásticas” (carrega e

descarrega pela mesma reta).

- A Teoria da Elasticidade não prevê ruptura

(incrementos crescentes de tensão levam a

incrementos crescentes de deformação

sem

limites)

-


Número de parâmetros da relação elástica linear

A rigor uma relação linear entre os tensores de tensão σσσσkl e de deformação εεεεijseria feita por um tensor de 4ª ordem:

klijklij C σε =

O tensor Cijkl possui 81 constantes ou propriedades elásticas!

A simetria do tensor de tensões σσσσkl (para atender à condição de equilíbrio demomento) permite escrevê-lo como um vetor ou matriz coluna de 6componentes:

{ } [ ]Tzxyzxyzyx ,,,,, τττσσσ=σA simetria do tensor de deformações εεεεij (para pequenas deformações) permiteescrevê-lo como um vetor ou matriz coluna de 6 componentes:

{ } [ ]Tzxyzxyzyx ,,,,, γγγεεε=εA relação σσσσ−−−−εεεε, fica {σσσσ}=[D]{εεεε} ou {εεεε}=[C]{σσσσ} , onde as matrizes [C] e [D] sãomatrizes quadradas 6x6. Portanto, a teoria das pequenas deformações permitereduzir o número de constantes elásticas para apenas 36.


Mostra-se a seguir que, para um material isotrópico e homogêneo, o númerode constantes independentes nas matrizes [C] e [D] cai para dois.

Homogeneidade e isotropia

As equações acima se aplicam para cada ponto do material e as constanteselásticas podem variar de ponto para ponto.

Homogeneidade

Um material é homogêneo se possui as mesmas propriedades (constanteselásticas) e todos os pontos. Ou seja, um elemento Dij da matriz [D] não éfunção da posição.

Isotropia

As constantes elásticas podem apresentar comportamentos diferentes emrelação às direções em um dado ponto.

O material é dito isotrópico se apresentar o mesmo comportamento em todasas direções.


1zz z

Eε σ=

zσ

zσ

zzε zxεzx xx x

E

νε νε σ= − = −

xσ

zy yy yE

νε νε σ= − = −

1z z x y

E E E

ν νε σ σ σ= − −


Ou [εεεε]=[Ce][σσσσ] (Lei de Hookegeneralizada), onde a matriz [Ce] édada por:

[ ] ( )

( )

( )

+

+

+

−−

−−

−−

=

E

E

E

EEE

EEE

EEE

Ce

ν

ν

ν

νν

νν

νν

1200000

012

0000

0012

000

0001

0001

0001

[ ] ( )( )

( )( )

( )( )

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−+−

=

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ννν

12

2100000

012

210000

0012

21000

000111

0001

11

00011

1

)21)(1(

)1(EDe

A relação inversa é [σσσσ]=[De][εεεε],

onde a matriz [De]=[Ce]-1 é dada por:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

e

M

M

MD

G

G

G

λ λλ λλ λ

=


Outras formas de [De]:

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

eD

µ λ λ λλ µ λ λλ λ µ λ

µµ

µ

+ +

+ =

4 2 20 0 0

3 3 32 4 2

0 0 03 3 32 2 4

0 0 03 3 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

e

K G K G K G

K G K G K G

DK G K G K G

G

G

G

+ − − − + − = − − +

Em função de K e G

Em função das constantes de Lamé

λ, µλ, µλ, µλ, µ(Obs. µµµµ=G)

Constantes Elásticas

( )νµ

+==

12

EG

( )µλ

ν 3

2

213+=

−=

EK

( )( )ννν

λ211 −+

=E ( )

( )( )ννν211

1

−+−

=E

M

• E = Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young

• νννν = Coeficiente de Poisson (não usar µµµµ nem υυυυ)

• G = Módulo de Cisalhamento

• K = Módulo Volumétrico Isotrópico (Bulk Modulus)

•M = Módulo Volumétrico Oedométrico (D no livro do Lambe)

• µµµµ e λλλλ = Constantes de Lamé (µµµµ=G )

( )1M

νλ

ν=

−

( )2

1

EM Gλ

ν− = =

+

σσσσm

σσσσm

σσσσm

σσσσz

xy

z

εεεεz

εεεεxεεεεy=εεεεx

z

z

Eσ

ε=

x

z

εν

ε= −

ττττzy

γγγγzy

zy

zy

Gτ

γ=

εεεεvm

v

Kσ

ε= σσσσz

εεεεz εεεεx=ε=ε=ε=εy=0σσσσx

σσσσx=σσσσy

z

z

Mσ

ε=x

z

σλ

ε=

1x

oz

kM

σ λ νσ ν

= = =−

RELAÇÃO ENTRE AS CONSTANTES ELÁSTICAS

F(λ,µ) F(E,ν) F(K,G)

λ -

( )( )E

1 1 2

ν+ ν − ν

3K 2G

3

−

µ -

( )E

2 1+ ν G

E (3 2 )ν λ + µλ +µ

- 9KG

3K G+

ν ( )2

λλ +µ

-

( )3K 2G

2 3K G

−+

K 3 2

3

λ + µ ( )

E

3 1 2− ν -

G µ ( )E

2 1+ ν -


1/ / / 0 0 0

/ 1/ / 0 0 0

/ / 1/ 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ε σν ν

ε σν νε σν ν

γ τ

γ τ

γ τ

− −

− − − −

=

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

G

G

G

G

G

G

λ λ λσ εσ ελ λ λ

λ λ λσ ετ γτ γ

τ γ

+ + +

=

( ) ; i j

fτ ε ε σ⇒ =

( ) ; ij ij

fσ γ γ τ⇒ =

( ) ; i j

fγ σ σ ε⇒ =

( ) ; ij ij

fε τ τ γ⇒ =


Observações importantes:

1) [Ce] é simétrica ([De] também é simétrica)

2) Eixos de tensões principais coincidem com eixos de deformações principais,isto é:

0 0 , yzyz123 ===⇒==== xyxzxyxzxyz SS γγγτττ

zyxv εεεε ++=

Para

Logo

3) Aplicando apenas tensões normais:

( ) ( ),0 ;0,, yz ===≠ xyxzzyx τττσσσ geram-se apenas deformações normais

4) Aplicando-se apenas tensões cisalhantes

( ) ( ),0,, ;0 yz ≠=== xyxzzyx τττσσσ geram-se apenas deformaçõesdistorsivas. Logo, o modelo elásticolinear não pode prever a dilatânciaobservada em solos.

Dilatância: variação volumétrica devido às tensões cisalhantes

123DD xyz =

Qual o Modelo?

Mohr-Coulomb:

Propriedades Geomecânicas dos Aterros Sanitários

Geotecnia Ambiental – Prof. Gregório Luís S. Araújo

3.2. RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

� Estabilidade de taludes: FS=1,5

� requer:coesão e ângulo de atrito

� RSU: inicialmente não apresentam coesão pois sãobasicamente “granulares”

� Possíveis valores de c sãodevidos a componentesfibrosos

Dois aterros europeus

Não há assíntota:continua esticando




� Ensaios triaxiais: lisímetro emlaboratório� RSU podem atingir elevadasdeformações




� Pesquisas:coesão varia entre0 a 60 kPa e ângulode atrito entre20,50 e 490.

� Composição doRSU variável




� Faixas para projeto




� Retroanálise da ruptura do aterro Bandeirantes em 1991

� c = 13,5 kPa e φφφφ = 22o

� Variação dos parâmetros com a idade

� Surgimento de modelos englobando o efeito das fibras(Kockel, 1995): Comportamento de aterros sanitáriossemelhante ao de solo reforçado com fibras

A formulação do problema de equilíbrio pode ser feita de formagenérica para qualquer relação constitutiva [D] (podendo ser nãolinear), relacionando incrementos infinitesimais ou taxas de tensãoe deformação:

Formulação em termos de deslocamentos (Genérica)

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

0

0

0

00

00

00

£

xy

xz

yz

z

y

x

Inicialmente vamos definir um operador matricial [£](6x3):

{ } { }εσ ][D=

Fazendo {d}=[u,v,w]T, note que as relações

deformação-deslocamento podem ser escritas

como:{ } [ ]{ }d£=ε

E as equações de equilíbrio como

[ ] { } { }bT =σ£

(3-a)

(2-a)

(1-c)

Formulação em termos de deslocamentos (Genérica)

Substituindo (3-a) em (1-a), obtém-se

[ ] [ ]{ } { }bDT =ε£

E substituindo (2-a) na equação acima obtém-se:

[ ] [ ][ ]{ } { }bdDT =££

A Eq. (5-a) fornece uma formulação genérica para o problema

de equilíbrio. Para o caso de materiais elástico lineares, chega-

se às equações de Navier.

(4-a)

(5-a)

(3x6) (6x6) (3x6) (3x1)=(3x1)

A solução do sistema de diferenciais da Eq. (5-a) pode ser obtida

analiticamente ou numericamente (usando o M.E.F., p.ex.).

Sistema com 3 equações diferenciais parciais

de segunda ordem em u, v e w. As equações

serão lineares ou não, dependendo dos

coeficientes de [D]

Formulação em Termos de Deslocamento

Substituindo-se as equações σ−ε para materiais elásticos lineares na Eq. (5-a), obtém-se a formulação do problema de equilíbrio

estático em termos de deslocamentos:

( )

( )

( )

2

2

2

(6)

vx

vy

vx

u bx

v by

v w bz

ελ µ µ

ελ µ µ

ελ µ

∂+ + ∇ = ∂

∂ + + ∇ =

∂ ∂

+ + ∇ = ∂ f

z

f

y

f

x

ff

z

w

y

v

x

u

função uma de Laplaciano o é

e

ca volumétrideformação a é

Onde

2

2

2

2

2

22

v

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ε

As Eqs. (6) formam um sistema de equações diferenciais parciaisde segunda ordem, lineares e não-homogêneas. Estas sãoconhecidas como equações de equilíbrio em termos de

deslocamentos ou equações de Navier.

Formulação em Termos de Deslocamento

A solução das Eqs. (6), para condições de contorno específicas,fornece a solução analítica do problema em termos dedeslocamentos (u,v,w) num ponto (x,y,z) qualquer do domínio:

),,( ; ),,( ; ),,( zyxwwzyxvvzyxuu ===

Derivando-se os deslocamentos de acordo com as Eqs. (2), obtêm-se o acréscimo de deformações em função das coordenadas doponto:

),,( ; ; ),,( ; ),,( zxzxyyxx zyxzyxzyx γγεεεε === ⋯

Substituindo-se as deformações na lei de Hooke generalizada, Eq.(3), obtêm-se as tensões no ponto:

),,( ; ; ),,( ; ),,( zxzxyyxx zyxzyxzyx ττσσσσ === ⋯

Princípio “Universal”

(consv. Momento linear)

Matematização, E.D.P.

(Há mais incógnitas que eqs.!

Hipóteses Simplificadoras:

• Domínio Temporal

• Modelos Constitutivos

• Prob. simp. (determ.)

Condições de Contorno

(problema específico, ex Carga vert.)

Método de discretização

(E.D.P.⇒S.E.A.)

dqF

dt=∑� �

{ } [ ]{ }Dσ ε=

( )w div vθ =�ɺ

0a s= =ɺɺɶ ɶ

[ ] [ ][ ]{ } { }£ £TD d b=

( ) ( )2

2

12 1

2

...

P zw

ER R

νν

π+

= − +

Solução Analítica (integração dupla) ( ), ,d d x y z=

ɶ ɶ

C.C. Simples?

[ ]{ } { }K d F=

Solução Discreta

{ } { }1 1 n nd u v u v= ⋯

( ) ( )d b divρ σ− =ɺɺɶ ɶ ɶɶ

P

z

r

r

z Rρr

w

Uma Rápida Introdução ao M.E.F.

No M.E.F., tenta-se atender às condições de

equilíbrio apenas em alguns pontos (nós) do

domínio, o qual é dividido em sub-regiões

(elementos). O equilíbrio num elemento é

verificado apenas para os nós (formulação

fraca), através do uso de funções de

interpolação, [N]:

1

2

n

u1

u2

un

u

nnuNuNuNu +++= ⋯2211

O vetor de deslocamentos dos nós do elemento é dado

por {de}=[u1,v1,w1,...,un,vn,wn]T. Logo o vetor de

deslocamentos num ponto interno {d}=[u,v,w]T é

calculado como:

=

n

n

nn

n

n

w

v

u

w

v

u

NN

NN

NN

w

v

u

⋮

⋯

⋯

⋯ 1

1

1

1

1

1

0000

0000

0000{ } [ ]{ }edNd = (6)

(3x1)= (3x3n) (3nx1)

Uma Rápida Introdução ao M.E.F.

E substituindo (6) na equação (5) obtém-se: [ ] [ ][ ][ ]{ } { }bdND eT =££ (7)

O termo do lado esquerdo de (7) representa as forças internas (por

unidade de volume) equivalentes às tensões geradas pelas forças

externas {b}.

[ ] [ ] [ ][ ][ ]{ } [ ] { }∫∫ =

V

T

V

eTTdVbNdVdNDN ££

[ ] [ ][ ] { } [ ] { }∫∫ =

V

Te

V

TdVbNddVBDB

(3nx6)(6x6)(3nx6) (3nx1) = (3nx3) (3x1)

[ ] [ ][ ]NB £=fazendo(6x3n)= (6x3) (3x3n)

[Ke] é a “matriz de rigidez” do elemento. Agora temos um sistema de

equações algébricas relacionado forças e deslocamentos nodais !

ou [ ]{ } { }eee fdK =(3nx3n) (3nx1) = (3nx1)

onde [ ] [ ] [ ][ ]∫=V

Te dVBDBK

As mesmas funções de interpolação [N] permitem calcular a

contribuição das forças no ponto para um dado nó e a integração sobre

o volume do elemento permite calcular as forças resultantes nodais:

mini-curso de geomecÂnica de rsu - site da fecsgrsu/arquivos/marcio_curso_geomecanica_rs… ·...

Documents