Métodos numéricos no cálculo de graus-dia1

Adilson P. Souza, Clóvis M. C. Ramos, Adriano D. Lima, Departamento de Engenharia Rural, UNESP, Botucatu – SP 18610-307, Brasil.

Helenice O. Florentino Instituto de Biociências de Botucatu, Departamento de Bioestatística, UNESP, Botucatu – SP 18618-970, Brasil.

E-mail: helenice@ibb.unesp.br

Palavras-chave: Métodos numéricos, graus-dias, modelagem matemática

Resumo: O uso de técnicas matemáticas no desenvolvimento de projetos relacionados ao desempenho de

culturas tem possibilitado a previsão de comportamentos e auxiliado muito na obtenção de estimativas de

custos, produtividades, etc. Entre as operações mais estudadas estão aquelas relacionadas com o crescimento da cultura, caracterizadas pela temperatura ideal para o acréscimo de matéria orgânica. Os

métodos matemáticos são bastante utilizados na representação, análise e obtenção de estimativas de graus-

dias. Neste trabalho foi realizada uma avaliação dos modelos matemáticos comumente usados e métodos

numéricos de integração, na estimativa da disponibilidade de graus-dias para cultura da cana-de-açúcar, na região de Botucatu – SP. Comparados com os demais modelos analisados, os modelos de integração

com discretização de 6 em 6 horas apresentaram resultados satisfatórios na estimativa de graus-dias. As

metodologias tradicionais apresentaram bons resultados quanto a precisão da estimativa de graus-dias com base na curva de temperatura horária para cada dia e para os agrupamentos de 3, 7, 15 e 30 dias.

Conclui-se também neste trabalho que a região de Botucatu – SP apresenta uma disponibilidade térmica de

1070,6 GD anuais para a cultura da cana-de-açúcar.

1. Introdução

A incorporação de técnicas matemáticas a projetos relacionados ao desempenho de culturas possibilita uma previsão do seu comportamento real, diminuindo o erro na obtenção do modelo. A

modelagem matemática integra conhecimentos de diferentes disciplinas em uma estrutura de trabalho

comum, podendo definir metas claras e comparar objetivos muitas vezes conflitantes, permitindo a previsão do comportamento do sistema, o que é especialmente importante para situações ainda não experimentadas

Entre as operações que demandam maior estudo, estão àquelas relacionadas com o crescimento da

cultura, caracterizadas pela temperatura ideal para o acréscimo de matéria orgânica. Nesse contexto, devido à grande variação de fenômenos climáticos, muitos problemas têm surgido e/ou aumentado a sua

complexidade, principalmente no que diz respeito ao processo de maturação. Um estudo do comportamento

da temperatura em relação ao bom rendimento da cultura, possibilita que os agricultores programem suas

atividades agrícolas, com menor risco de serem surpreendidos pelos efeitos extremos desta variável meteorológica. Assim a técnica de graus-dia tem sido uma ótima ferramenta para este fim. As técnicas de

cálculo de graus-dia têm incorporado diversos conceitos de modelagens visando o aprimoramento no que

diz respeito à representação fenomenológica. Destacam-se, como principais modelos desenvolvidos, aplicados e apresentados por [2], [3], [6], [4] e [5].

Neste trabalho foi realizada uma avaliação dos modelos matemáticos comumente usados e métodos

numéricos de integração, na estimativa da disponibilidade de graus-dias para essa cultura, na região de

Botucatu – SP.

2. Materiais e métodos Foram utilizados dados de temperatura da Estação Meteorológica da Fazenda Lageado, Faculdade

de Ciências Agronômicas, Campus de Botucatu – SP, com latitude de 22º 51’ S e longitude de 48º 26’,

situada a 786 m de altitude. O tipo climático predominante no local, na classificação de Köppen, está incluído no tipo Cwa, clima temperado quente (mesotérmico). Nesse município, a temperatura média do

mês mais frio (julho) é de 17,1 ºC e a do mês mais quente (fevereiro) de 23,3 ºC, com precipitação média

anual de 1314 mm. Os dados foram coletados da estação em intervalos de 1 hora nos anos de 2002 a 2005, entre 01 de

janeiro a 31 de dezembro. A disponibilidade térmica em graus-dia foi estimada por cinco metodologias

tradicionais empregadas na cana-de-açúcar ([2], [3], [4], [5] e [6]). Conjuntamente foram estudadas três

regras de integração numérica do método de quadratura de Newton-Cotes, discretizadas em diferentes

1 Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP (Proc. 2009/14901-4), FUNDUNESP, CAPES (Pró-Equipamentos) e

PROPe UNESP e PROPG UNESP

46

ISSN 2317-3300

intervalos durante cada dia de observação ([1]), possibilitando doze formas diferentes de estimativa de

graus dias pela integração numérica. As expressões estão relacionadas abaixo.

2.1 Métodos Tradicionais

Arnold [2]

n

i

TbTiGD1

)( ; Ti Temperatura média; Tb Temperatura mínima basal.

Villa Nova et al. [6] Caso 1: TmTbTM TmTM

TbTMGD

2

2

Caso 2: TmTb 2

)()( TmTMTbTmGD

em que: TM temperatura máxima média diária, (ºC); Tm temperatura mínima média diária, (ºC); Tb temperatura

mínima basal, (ºC).

Barbieri et al. [3] Caso 1: TmTbTM

nfTmTM

TMTbTMGD

2

2522

Caso 2: TmTb

nfTmTM

TMTmTMTbTmGD

2

25

2

2

Sendo:

2

24

N

Nf

em que: N = comprimento do dia em horas; TM = temperatura máxima média diária, (ºC);

Tm = temperatura mínima média diária, (ºC); Tb= temperatura mínima basal, (ºC); n = número de dias do mês.

Ometto [5] Caso 1: TMTBTbTm ; )(

2

2

TbTmTBTM

GD

Caso 2: TMTBTMTbTm ; )(2

2

TmTM

TBTMGD

Caso3: TMTBTmTb ; TmTM

TBTMTmTMTbTmTmTMGD

2

)()()(2 22

Caso 4: TMTBTmTb ;

TmTM

TBTMTbTMGD

22

2

1

em que: TM temperatura máxima média diária, (ºC); Tm temperatura mínima média diária, (ºC); Tb temperatura mínima basal, (ºC); TB

temperatura máxima basal, (ºC).

Snyder[4] Caso 1: TmTb Tb

TBTMGD

2

Caso 2: TmTb

))cos(()2

( wTbM

GD

Caso 3: TBTMTmTb ; GDBGDbGD

Tb

TmTMGDb

2

)(

cos2

WTBM

GDB

Caso 4: TBTMTmTb ; GDBGDbGD

cos2

WTbM

GDb

cos2

WTBM

GDB

Sendo:

2

TmTMM

2

TmTMW

W

MTbarcsen

W

MTBarcsen

em que: TM temperatura máxima média diária, (ºC); Tm temperatura mínima média diária, (ºC); Tb temperatura mínima basal, (ºC); TB

temperatura máxima basal, (ºC); M temperatura média diária, (ºC); W amplitude térmica no intervalo de 24 horas, (ºC).

2.2. Métodos de Integração Numérica

Os métodos utilizados foram:

- Regra do Trapézio e trapézios sucessivos com: 2

1h , 4

1h , 8

1h e 24

1h

- Regra de 1/3 de Simpson com: 2

1h , 4

1h , 8

1h e 24

1h

- Regra de 3/8 de Simpson com: 3

1h , 12

1h e

241h

47

ISSN 2317-3300

3. Resultados e discussão

Comparando os valores acumulados de graus-dia mensal (Tabela 1), para cada uma das regras,

constatou-se dois grupos de meses que diferiram estatisticamente. As menores disponibilidades de soma térmica mensal foram verificadas no período de maio a setembro, com uma variação diária de 0,903 a 2,492

GD. As regras de integração numérica com discretização horária não diferiram entre si, tanto para os meses

quentes na estimativa mensal dos graus-dias acumulados. A maior variação foi para o mês dezembro,

entretanto não foi superior a 0,5%. Neste trabalho foi utilizada como base a integração por 1/3 de Simpson.

Tabela 1. Disponibilidade média da soma térmica mensal (graus-dias acumulados) em Botucatu-SP para cana-de-açúcar, usando metodologias de integração numérica horária.

Meses Integração por Trapézios 1/3 Simpson 3/8 Simpson

Janeiro 117,75 Aa 117,75 Aa 117,75 Aa

Fevereiro 127,75 Aa 128,00 Aa 128,00 Aa

Março 131,25 Aa 131,25 Aa 131,25 Aa

Abril 117,75 Aa 117,50 Aa 117,50 Aa

Maio 43,25 Ba 43,25 Ba 43,25 Ba

Junho 41,50 Ba 41,50 Ba 41,50 Ba

Julho 28,00 Ba 28,00 Ba 28,00 Ba

Agosto 62,50 Ba 62,50 Ba 62,50 Ba

Setembro 74,75 Ba 74,75 Ba 74,75 Ba

Outubro 109,75 Aa 109,25 Aa 109,75 Aa

Novembro 95,00 Aa 94,50 Aa 95,00 Aa

Dezembro 123,25 Aa 122,75 Aa 123,00 Aa

Total 1072,0 1071,0 1072,25

*Médias seguidas da mesma letra maiúscula e minúscula, na coluna e na linha, respectivamente, não diferem entre si pelo Teste de

Scott-Knott a 1% de probabilidade.

Nos meses frios as 12 metodologias de integração numérica estudadas não diferiram entre si, em

função dos baixos valores de temperatura (Tabela 2). Nos meses quentes, as metodologias dos trapézios sucessivos, 1/3 de Simpson e 3/8 de Simpson com discretização do tempo em 0-24 h, 0-12-24 h, 0-8-16-

24h, diferiram das demais metodologias.

Tabela 2. Médias dos meses quentes e frios pelas metodologias de integração numérica e suas

discretizações de intervalo horário (2002-2005).

Metodologia Média dos Meses quentes Média dos meses frios

Trapézios

Horária 97,92 b 29,02 a

0-24 50,82 c 10,68 a

0-12-24 112,56 a 34,7 a

0-6-12-18-24 100,73 b 28,71 a

0-3-6-9-12-15-18-21-24 101,39 b 30,11 a

1/3 Simpson

Horária 96,75 b 28,83 a

0-12-24 135,41 a 45,83 a

0-6-12-18-24 96,81 b 27,09 a

0-3-6-9-12-15-18-21-24 101,64 b 30,61 a

3/8 Simpson

Horária 97,49 b 28,9 a

0-8-16-24 110,99 a 32,88 a

0-2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-22-24 101,57 b 29,7 a

*Médias seguidas da mesma letra, na coluna, não diferem entre si pelo Teste de Scott-Knott a 1% de probabilidade.

Comparadas aos valores de graus-dias obtidos com a integração numérica de dados horários de

temperatura, as metodologias de Arnold, Villa Nova, Ometto, Barbieri e Snyder superestimaram a

disponibilidade anual de graus-dias para a cultura da cana-de-açúcar em 19,96%, 17,44%, 27,57%, 4,11% e 27,87%, respectivamente (Tabela 3). Os altos valores de desvio padrão verificados para as 6 metodologias,

foram dados em função das baixas temperaturas verificadas no ano de 2004, que apresentou uma média

anual de 19,89 ºC, enquanto que nos demais anos foram verificadas médias anuais as temperaturas de 21,27 ºC, 20,57 ºC e 20, 51º C, para 2002, 2003 e 2005.

A Tabela 4 mostra que apenas a metodologia proposta por Barbieri apresentou limitações quanto ao

emprego diário para as condições estudadas. Para todas as metodologias, quanto maior o agrupamento dos

dados foram encontrados melhores resultados na estimativa de graus-dias. Entretanto, como esse conceito é

48

ISSN 2317-3300

utilizado amplamente, tanto em culturas como em manejo de pragas, é importante a avaliação desses

métodos em menores espaços de tempo.

Tabela 3. Disponibilidades anuais de graus-dias calculadas por seis metodologias de estimativa, para a

cultura da cana-de-açúcar em Botucatu – SP. (2002-2005) Ano Arnold Villa Nova Ometto Barbieri Snyder 1/3 Simpson Horária

2002 1656,29 1477,96 1703,57 1256,68 1704,44 1324,23

2003 1252,57 1263,23 1354,13 1112,64 1368,06 1051,70

2004 1039,43 1088,67 1128,48 989,32 1124,25 873,22

2005 1185,93 1199,04 1276,53 1099,67 1278,80 1033,10

Média 1283,55 1257,23 1365,68 1114,58 1368,89 1070,56

Desvio Padrão (DP) 263,95 163,86 243,93 109,71 245,33 187,13

Tabela 4. Desempenho das metodologias de estimativa de graus-dias comparadas à integração numérica

com discretização horária de 1/3 de Simpson, em diferentes agrupamentos. Dados de 2002 a 2005. Metodologia a* SEE (GD) r² d c Classificação

Quinzenal

Arnold 0,8320 8,8016 0,8851 0,9964 0,937 Ótimo

Villa Nova 0,8865 10,3205 0,8420 0,9971 0,915 Ótimo

Ometto 0,8046 9,0904 0,8774 0,9965 0,933 Ótimo

Barbieri 0,9592 12,6267 0,7636 0,9981 0,872 Ótimo

Snyder 0,8015 9,0683 0,8780 0,9965 0,934 Ótimo

Semanal

Arnold 0,8240 6,1141 0,7948 0,9935 0,8857 Ótimo

Villa Nova 0,8825 6,6505 0,7572 0,9931 0,8642 Ótimo

Ometto 0,7991 6,2545 0,7853 0,9932 0,8801 Ótimo

Barbieri 0,9376 7,6289 0,6805 0,9942 0,8202 Muito bom

Snyder 0,7955 6,2781 0,7836 0,9935 0,8794 Ótimo

3 em 3 dias

Arnold 0,7972 4,0236 0,6232 0,9893 0,7809 Muito bom

Villa Nova 0,8719 4,0296 0,6220 0,9862 0,7778 Muito bom

Ometto 0,7839 3,9488 0,6371 0,9877 0,7883 Muito bom

Barbieri 0,9009 4,5655 0,5148 0,9877 0,7086 Bom

Snyder 0,7832 3,9317 0,6402 0,9869 0,7897 Muito bom

Diário

Arnold 0,7796 1,6849 0,5307 0,9557 0,6962 Bom

Villa Nova 0,8552 1,6729 0,5373 0,9453 0,6929 Bom

Ometto 0,7694 0,6579 0,5456 0,9501 0,7018 Bom

Barbieri 0,8268 1,9715 0,3574 0,9444 0,5646 Sofrível

Snyder 0,7706 1,6452 0,5525 0,9476 0,7044 Bom

Coeficiente angular da equação de regressão linear simples: y = ax.

Os métodos de Ometto e Snyder estimaram satisfatoriamente os graus-dias obtidos pela integração

numérica horária, tendo em vista os índices de desempenho acima dos 70% para todos os agrupamentos

analisados. A partir dos resultados da análise de regressão dos dados de GD agrupados em períodos de 3, 7 e 15 dias, foi constatado um aumento no erro padrão da estimativa (SEE) em relação à análise diária, sendo,

no entanto, obtidos maiores coeficientes de correlação e, conseqüentemente, melhores índices de

desempenho dos métodos analisados.

4. Conclusão A integração numérica com discretização de 6 em 6 horas apresentou resultados satisfatórios na

estimativa de graus-dias, quando comparados com os resultados obtidos por métodos tradicionais. As

metodologias tradicionais apresentaram melhores desempenhos no cálculo da estimativa de graus-dias com

base na curva de temperatura horária para cada dia, para os agrupamentos de 3, 7, 15 e 30 dias. Conclui-se também que a região de Botucatu – SP apresenta uma disponibilidade térmica de 1070,6 GD anuais para a

cultura da cana-de-açúcar.

5. Referências [1] ARENALES, S.; DAREZZO, A. Cálculo numérico: aprendizagem com apoio de software. São Paulo: Thomson

Learning, 2008, 364 p.

[2] ARNOLD, C.Y. The determination and significance of the base temperature in a linear heat unit system. Journal of

the American Society for Horticultural Science, Alexandria, n. 74, p. 430-445, 1959.

[3] BARBIERI, V.; BACCHI, O. O. S.; VILLA NOVA, N. A. Análise do fator temperatura média do ar no desenvolvimento vegetativo da cana de açúcar. In: I Congresso Brasileiro de Agrometeorologia, 1979, Mossoró.

Anais..., I Congresso Brasileiro de Agrometeorologia, 1979. v. 1. p. 6-8. [4] SNYDER, R. L. Hand calculating degree days. Agriculture and Forest Meteorology, v.35, n.1/4, p.353-358, 1985.

[5] VILLA NOVA, N. A.; PEDRO JÚNIOR, M. J.; PEREIRA, A. R.; OMETTO, J. C. Estimativas de graus-dias

acumulados acima de qualquer temperatura - base, em função das temperaturas máxima e mínima. São Paulo:

Universidade de São Paulo - Instituto de Geografia, 1972. 8p. (Caderno de Ciências da Terra, 30).

49

ISSN 2317-3300