métodos estatisticos aplicados à clima

Universidade Eduardo Mondlane “Apontamentos de Climatologia”

Draft

1 Autores: António Queface e Felisberto Afonso

I. MÉTODOS ESTATÍSTICOS APLICADOS À CLIMATOLOGIA

1. Métodos analíticos

O estudo de Climatologia é baseada na análise e interpretação de dados meteorológicos

colectados durante muitos anos. Para analisar tais dados, um conhecimento de métodos

estatistícos básicos e técnicas é necessário.

A análise climatológica usa princípios e técnicas de análise meteorológica, numérica e

estatística.

Tratamentos analíticos de observações individuais incluem os seguintes:

Análise meteorológica convencional (isolinhas) de mapas sinópticos diários históricos;

Interpolação de observações falhadas;

Extrapolação de sondagens de atmosfera superior incompletas;

Verificação não rotineira de observação de precisão duvidosa;

Interpretação de observações incompletamente identificadas, anotadas ou

documentadas;

Estabelecimento de métodos para combinar apropriadamente observações similares

codificadas diferentemente;

Interpretação de porções de códigos que são ambiguos (no computador).

Tratamentos analíticos de observações sumarizadas incluem:

Análise de isolinhas para mapas climáticos;

Análise de distribuições de frequência, espalhogramas, etc;

Interpolação para preencher falhas em observações sumarizadas (médias mensais, etc)

Preparação de monogramas ( códigos e unidades climatológicas, conversões, manuais

de verificação, etc)

Verificaçao de sumários em tabelas ou gráficos;

Análise de diferença ou de razão para redução a uma estação única de dados de estação

que mudou de localização ou exposição;

Selecção de estações ou áreas representativas de regiões maiores.


Draft


2. Séries climatológicas

Os métodos de análise estatística se aplicam a dados climatológicos porque, de maneira geral,

se esses dados são obtidos de forma apropriada, sequências desses dados se comportam como

variáveis aleatórios. Uma vez que a análise estatística se aplica a amostras de populacõess de

dados, as sequências de dados climatológicos são definidas como amostras de dados que

consistem de um valor climatológico de cada ano do registo considerado. Assim, as 30

temperaturas médias de Janeiro para um registo de 30 anos compõem uma série climatológica.

As 30 precipitações de 1o de Janeiro também formam uma série climatológica.

Uma série climatológica nunca é mais que uma amostra de uma popupalação única que se

supões infinita e tendo as propriedades climáticas a serem analisadas da amostra.

3. A distribuição de frequência

A distribuição de frequência é a ferramenta básica para descrever e analisar a amostra.

Divide-se a amostra em classes que são divisões do intervalo de variação da variável

climatológica. O número de classes mais convinientes está entre 10 e 20 divisões iguais. Isso

divide a diferença entre o maior e o menor valor(ou amplitude) em 10 a 20 intervalos iguais.

Como exemplo se usarão os dados de precipitação de Agosto em Genebra.

r max = 250 mm r min = 18 mm

∆r = 250 – 18 = 232 mm

Como 20 mm é uma divisão conveniente e dá 13 divisões, este é um intervalo bom. Definindo

os intervalos para as diferentes classes contam-se os anos em que a precipitação é contida em

cada intervalo e obtém–se a distribuição de frequências que pode ser representada como um

histograma. Os f’’s podem ser divididos por 30 para se obter as frequências relativas em cada

intervalo de classe. Estes valores são estimativas das probabilidades na população de

quantidades de precipitação nos vários intervalos de classes.


Draft


Tabela 1. Precipitação (mm) do mês de Agosto, na Suiça em Genebra

Ano P Ano P Ano P

1927 250 1937 78 1947 54

1928 147 1938 79 1948 72

1929 83 1939 85 1949 49

1930 108 1940 18 1950 110

1931 171 1941 105 1951 100

1932 62 1942 48 1952 125

1933 67 1943 41 1953 57

1934 119 1944 44 1954 206

1935 157 1945 133 1955 107

1936 23 1946 158 1956 144

Tabela 2. Distribuição da frequência de Precipitação (mm) do mês de Agosto, na Suiça em

Genebra

P f P f

0 – 19 1 140 – 159 4

20 – 39 1 160 – 179 1

40 – 59 6 180 – 199 0

60 – 79 5 200 – 219 1

80 – 99 2 220 – 239 0

100 – 119 6 240 – 259 1

120 – 139 2


Draft


0

1

2

3

4

5

6

7

0-19 20 -39 40- 59 60-79 8 0-99 100- 119 120-1 39 1 40-15 9 160 -179 180- 199 200-21 9 22 0-239 240- 259

Frequencia

P(mm)Figura1. Histograma da precipitação do mês de Agosto na Suiça, em Genebra

4. Distribuição cumulativa

Usualmente o climatologista está mais interessado nas estimativas de probabilidade

abrangendo vários intervalos de classe, e isto é mais convenientemente obtido da distribuição

cumulativa. Também, a distribuição cumulativa dá estimativas melhores das probabilidades,

uma vez que a divisão arbitária em classes tende a esconder algumas das informações

presentes na série climatológica.

Para obter a distribuição cumulativa os dados são primeiramente colocados em ordem

crescente. Os F’s são as frequências relativas acumuladas ou probabilidades cumulativas da

população:

F = m/(n + 1)

Onde m é o m-ésimo valor em ordem e n é o número de termos na série climatológica. A

divisão por (n + 1) ao invés de n dá uma estimative melhor das probabilidades, principalmente

nas extremidades.

As F’s são as probabilidades de que a precipitação seja menor que cada valor mostrado na

tabela. Por exemplo, a probabilidade de que p seja menor que 62 mm é 0.290 e maior que 62


Draft


mm é 1 – F = 0.710 a probabilidade de que esteja entre 62 mm e 100 mm é 0.516 – 0.290 =

0.226.

O intervalo médio de recorrência ou período de retorno (isto é o intervalo de tempo médio

entre ocorrências) para valores excedendo qualquer valor p é 1/(1-F). Por exemplo para

precipitação excedendo 100 mm o intervalo de recorrência média é 1/( 1- 0.516) = 1/0.484 =

2.07, aproximadamente 2 anos.

Aqui é interessante dividir a amostra em 2, 4 ou 10 partes iguais. Se a amostra for dividida em

duas partes, o valor central da amostra será tal que metade da amostra terá valores abaixo

deste, que será chamado a mediana. No caso do exemplo do item 3 a mediana se encontra

entre os valores 85 mm e 100 mm, ou seja : (85 + 100)/2 = 92.5 mm. Pode-se interpretar esse

valor como: metade dos anos a precipitação em Agosto, em Genebra, é menor que 92.5 mm

ou, a probabilidade de que a precipitação seja menor que 92.5 mm é de 50%.

Da mesma forma, se a amostra for dividida em quartis ( 4 partes), os limites definirão

percentagens de 25 e 50 e 75 % e, se dividida em decis (10 partes) os limites definirão limites

de 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, e 90 % de probabilidade de ocorrência. Assim, no exemplo

dado, os limites serão:

Mínimo = 18

1o decil = 41

2o decil = 49

1o quartil = 55.5

3o decil = 62

4o decil = 78

5o decil = 92.5

6o decil = 107

7o decil = 119

3o quartil = 129


Draft


8o decil = 144

9o decil = 158

máximo = 250

Tabela3. Distribuição cumulativa da precipitação (mm) de Agosto na Suiça, em Genebra

m P F m P F m p F

1 18 0.032 11 72 0.355 21 119 0.677

2 23 0.065 12 78 0.387 22 125 0.710

3 41 0.097 13 79 0.419 23 133 0.742

4 44 0.129 14 83 0.452 24 144 0.774

5 48 0.161 15 85 0.484 25 147 0.806

6 49 0.194 16 100 0.516 26 157 0.839

7 54 0.226 17 105 0.548 27 158 0.871

8 57 0.258 18 107 0.581 28 171 0.903

9 62 0.290 19 108 0.613 29 206 0.935

10 67 0.323 20 110 0.645 30 250 0.968


Draft


0.000

0.300

0.600

0.900

1.200

0 40 80 120 160 200 240

Frequenciarelativa

Pr (mm)Figura 2. Distribuição cumulativa da precipitação de Agosto

5. Homogeneidade de series de dados

Uma série de dados é dita homogênea se é uma amostra de uma população única. Assim, por

definição uma série climática é homogênea e a análise de probabilidade elementar só pode ser

aplicada a séries climatológicas. Se a série não é homogênea, devem ser feitos ajustes para que

as estimativas estatísticas sejam válidos para os últimos termos da série ou de modo que elas

sejam estimativas de uma série hipotética homogênea que inclua os últimos termos.

Em casos que a exposição dos instrumentos tenha mudado é necessário fazer um teste

estatístico para assegurar a homogeneidade. O teste válido de homogeneidade é um teste

estatístico que parte de uma hipótese de homogeneidade e uma regra para aceitar ou rejeitar a

hipótese com base na probabilidade de ocorrência. Assim, se a probabilidade da evidência da

homogeneidade é pequena, conclui-se que a série é heterogênea; se ela é grande a decisão é

pela homogeneidade. A regra especifica a probabilidade limite (limite de significância) além

da qual a hipótese de homogeneidade deve ser rejeitada.

As alternativas para a homogeneidade de uma série de dados climatológicos são usualmente o

desvio da média, a tendência ou alguma forma de oscilação. Uma vez que estas alternativas,

principalmente a última, são difíceis de especificar exactamente, é melhor usar um teste não


Draft


paramétrico que não exija a especificação exacta destas alternativas ou da distribuição

homogênea. Um teste bem conhecido, não paramétrico, que é sensível a todas estas

alternativas, é o teste das corridas, de Swed e Eisenhart.

Contam-se as corridas (u) acima e abaixo da mediana numa série cronologicamente ordenada

e testa-se este valor com uma tabela de distribuição de u. O teste é melhor ilustrado pela

aplicação às temperaturas médias de Agosto em Genebra. A tabela 5 mostra os dados em

ordem cronológica ou histórica. A mediana está entre 18.9 e 19.2 0C, melhor estimada pela

média entre estes dois valores, isto é 18.9 e 19.05 oC. Usando este valor, as médias na tabela

são indicadas com um A se estão acima. As corridas são então marcadas como sequências de

A`s e de B`s. O mínimo total de corridas no caso é u = 15.

É claro que muitas corridas seriam uma indicação da oscilação, enquanto que poucas corridas

seriam uma indicação de tendência ou deslocamento da mediana durante o período. Assim, se

a probabilidade do u resultante ser excedido for pequena suspeitar-se-à uma oscilação

enquanto que, se a probabilidade de encontrar valores maiores ou menores que u for grande,

então nem oscilação nem tendência sera suspeitada e a série é dita homogênea. A tabela 6 dá a

distribuição de u. Uma vez que foi escolhida a mediana como referência, o número de valores

acima dela (NA) é igual ao número de valores abaixo (NB). Na tabela estão indicados os

limites superiores e inferiores de 10 % de significância, isto é, a probabilidade P de 0.10 e 0.9

de u ser menor que u 0.10 ou menor que u 0.90, respectivamente.

Estes limites de 10 % de significância são satisfatórios para muitas aplicações climatológicas

porque, devido á alta variablidade, desejável aumentar os limites da probabilidade significante

para aumentar as chances de aceitação da hipótese alternativa. Uma vez que u é discreto, os

valores de u mostrados na tabela são aqueles correspondentes às probabilidades mais

próximas de 0.10 e 0.90. Se um valor de u cai abaixo do limite inferior, o que poderia

acontecer só em 10% dos casos, a heterogeneidade seria devido a tendência ou deslocamento,

se cair acima do limite superior, o que também só acontece em 10 % dos casos, a

heterogeneidade é devida à oscilação.


Draft


Vê-se na tabela 5 que u = 15 para NA = 15 está dentro do intervalo entre o limite mínimo (12)

e o limite máximo (19), portanto u não é significativamente diferente dos u`s esperados de

uma série homogênea, e se conclui que a série é homogênea.

Para ilustrar melhor a aplicação do teste das corridas a série foi em seguida deliberadamente

tornada heterogênea subtraindo-se 1oC de cada um dos 12 primeiros anos e subtraindo-se 0.5oC de cada um dos 8 anos seguintes. Este tipo de tendência poderia bem ter sido causado, por

exemplo, por mundanças na exposição dos instrumentos, ou falta de calibração ou mesmo,

quem sabe, por uma legítima mudança ou flutuação do clima. A série heterogênea é mostrada

na tabela 7.

O número de corridas é diminuido para u= 11 devido aos dois deslocamentos que de facto

produzem uma espécie de tendência. Na tabela 6 vê-se que para NA = 15 a probabilidade de

haver menos que 12 corridas é 10 % e como a série heterogênea tem apenas 11 corridas,

confirma-se a heterogeneidade. Obviamente já se sabia da heterogeneidade porque ela foi

introduzida deliberadamente. Pode-se suspeitar deste exemplo que a habilidade destes testes

para encontrar heterogeneidades não sera muito boa quando as exactas alternatives para

homogeneidade não são conhecidas. Isto indica que a melhor maneira dos registros da estação.

Se a história dos registros mostra mudanças que podem causar heterogeneidades e que possam

ser descritas de acordo com o período e o caracter, podem-se usar testes paramétricos para

determinar a significância das heterogeneidades, como por exemplo o teste t de Student. Tais

testes entretanto, só podem ser empregados quando os períodos e o carácter das

heterogeneidades são conhecidos a priori.

Tabela 5. Corridas das series de temperatura observadas (oC) na Suiça em Genebra


Draft


Ano To Ano To Ano To

1927 17.4 B 1937 19.5 A 1947 22.0 A

1928 20.9 A 1938 18.5 B 1948 18.9 A

1929 18.7 B 1939 18.6 B 1949 20.7 A

1930 18.7 B 1940 17.9 B 1950 19.7 A

1931 16.9 B 1941 17.8 B 1951 19.5 A

1932 20.8 B 1942 19.9 A 1952 20.3 A

1933 20.4 A 1943 20.9 A 1953 19.8 A

1934 17.9 B 1944 22.9 A 1954 18.3 B

1935 18.1 B 1945 18.9 B 1955 19.3 A

1936 18.5 B 1946 19.2 A 1956 17.5 B

Tabela 6. Tabela de distribuição de número de corridas (U), NA = NB

M p F m P F

NA 0.10 0.90 NA 0.10 0.90

10 8 13 19 16 23

11 9 14 20 16 25

12 9 16 25 22 30

13 10 17 30 26 36

14 11 18 35 31 41

15 12 19 40 35 47

16 13 20 45 40 52

17 14 21 50 45 57

18 15 22

Tabela 5. Corridas das series de temperatura (oC) heterogênea na Suiça em Genebra


Draft


Ano To Ano To Ano To

1927 16.4 1937 18.5 1947 22.0

1928 19.9 1938 17.6 1948 18.9

1929 17.7 1939 18.1 1949 20.7

1930 17.7 1940 17.4 1950 19.7

1931 15.9 1941 17.3 1951 19.5

1932 19.8 1942 1952 20.3

1933 19.4 1943 20.4 1953 19.8

1934 16.9 1944 19.4 1954 18.3

1935 17.1 1945 18.4 1955 19.3

1936 17.5 1946 18.7 1956 17.5

5. Ajuste de medias climatológicas

A heterogeneidade em series de dados climatológicas é usualmente devida a algum factor

pertubador como uma mudança na localização da estação ou mudança na exposiçao. Embora

no passado se tenha tentado homogeneizar a série, deve ficar claro que é impossível faze-lo,

no sentido que uma nova série de valores individuais possa ser derrivada com as mesmas

propriedades como se fosse uma amostra da população real. Qualquer ajuste pertuba a

variabilidade da série e portanto muda a escala da dispersão da distribuiçao da frequência.

Entretanto é possível ajustar certas estatísticas da série de modo que estes valores ajustados

sejam efectivamente semelhantes aos estimados da população apropriada. A aplicação mais

comum de tais ajustes é às medias dos dados com o propósito de obter a normal. É

recomendado que tais ajustes sejam feitos se possível apenas com base em heterogeneidades a

priori.

Os métodos envolvem o uso de uma estação suplementar com um registro concorrente

homogêneo. Esta estação deve ser a mais próxima possível, uma vez que a eficiência do ajuste


Draft


depende da correlação entre as duas estações. É conviniente usar uma estação a menos de 80

km da estação a ser ajustada e no mesmo regime climático. Se uma estaçao suplementar não

tem um registro concorrente completo, o ajuste pode ser feito em estágios, usando diferentes

estações suplementare para cada período.

Método da diferença

Para ilustrar o método tomar-se-á a série de temperaturas de Genebra em Agosto tornada

heterogênea resultando a tabela 7. Supõe-se que a estação foi mudada após 8 anos e que queira

ajustar a média dos últimos 30 anos ao último período de 10 anos em que a estação não foi

perturbada.

Para ajustar a media da temperatura do registro de Genebra, dados os valores para os períodos

heterogeneous e também os homogêneos, decidiu-se que Lousane seria uma estação

suplementar conviente.

A fórmula de ajuste para a temperatura é>

Ÿ = a + X

X é a média para o período homogêneo na estação suplementar correspondente ao período

heterogêneo da estação cujo registro está sendo ajustado, Y é a media ajustada. A constante de

ajuste a é estimada pela equação

y = v – u

v e u são as médias para os períodos concorrentes em que os registos da estação suplementar e

da estação a ser ajustada são homogêneos simultaneamente. Obtito a, os y para as várias partes

do registro de 30 anos contribuem para a média ponderada com pesos de acordo com o

comprimento do período em anos de cada parte do registro.

As médias para cada período foram obtidos da tabela 7 e mostradas na tabela 8.


Draft


Substituindo os valores homogêneos de u e v obtém-se a estimativa do factor de ajuste a =

19.6 – 18.2 = 1.4. A seguir se obtém os valores ajustados y = 17.9 + 1.4 = 19.3, y = 18.2 + 1.4

= 19.6. Depois se multiplicam os valores de y por 12.8 e 10, que são os respectivos tamanhos

das partes do registro a ser ajustado e divide-se por 30 para obter a média ponderada 19.5. Esta

é a média estimada ajustada para a temperatura média de Agosto de Genebra. Note-se que este

valor se compara bem com a média real do registro não perturbado que é 19.3.

Tabela 8. Temperatura média ajustada (oC) em Genebra, na Suiça

Genebra-Unadjusted Lausanne X

Means Geneva y

1927 - 1938 17.9 (17.9) 19.3*

1939 - 1946 18.4 (19.0) 19.8*

1947 - 18.2 18.2 (19.6) 19.6

Adjusted Record Mean 19.5*

5.2. Método da razão

Para ilustrar a aplicação do método da razão para ajuste de precipitação, o registo de Pr anual

de Genebra de 1927 a 1956 foi tornado heterogêneo pela multiplicação de cada valor dos 12

primeiros anos por 0.9 deixando os últimos 10 anos não perturbados. A série heterogênea

resultante está mostrada na tabela 9.

Ao se testar a homogeneidade da série chega-se ao valor u = 9 corridas, do que pela tabela 6

se conclui pela heterogeneidade.

Uma vez que heterogeneidades em series de precipitação são mudanças de escala na

distribuição de frequêncies, é apropriado ajustar as heterogeneidades através de um ajuste de

escala, isto é, usando a razão entre totais homogêneos.


Draft


Por este princípio, se y é a Pr para um ano na estação a ser ajustada, e x é o correspondente

valor para a estação suplementar, então

∑y = b ∑x, onde os somatórios são para um período heterogêneo na estação a ser ajustada.

A constante de ajuste b é estimada pela equação

b = ∑v / ∑u

Onde ∑v é a soma das precipitações no período homogêneo da estação a ser ajustada e ∑u é a

soma no período correspondente da estação suplementar.

Este período deve ser, obviamente, o último período do registro para estações activas uma vez

que é desejável ajustar a uma população da qual valores na actual localização da estação activa

vão ser obtidos e deveriam ter sido obtidos no passado.

Os resultados são mostrados na tabela 10. Tomando os valores de ∑v e ∑u da tabela para o

período homogêneo, obtém-se:

b = 1024/1267 = 0.8082

Os valores ajustados para os períodos homogêneos serão:

∑y = 0.8082 X 1602 = 1295 e Ey = 0.8082 X 753 = 609

Finalmente, somandi os valores e dividindo-se por 30 obtém-se a media:

Y = (1295 + 609 + 1024) / 3. = 97.6 mm/ano

Que é uma estimativa melhor para a Pr média de Genebra (100 mm/ano) do que a média de

série heterogênea ( 106.9 mm/ano).

6. Estimativas de parâmetros estatísticos

Um parâmetro estatístico é um valor fixo função de todos os valores de uma população. Por

exemplo, a média de uma população á média de todos os valores da população. Uma vez que a


Draft


população de valores inteira não pode ser conhecida em climatológia, só é possível estimar os

parâmetros estatistísticos da população a partir de amostras ou séries climatológicas. A

estimativa de um parâmetro é chamada estatística.

Uma estatística é uma função da série climatológica, e como tal é uma variaável aleatória

sujeita a variações aleatórias similares às dos valores da série. Assim, cada estatística forma

uma população para a qual existe uma distribuição de frequência. A variabilidade destas

estatísticas em torno do correspondente parametro da população é chamada dispersão da

estatística. Existem sempre várias funções ( ou estatísticas) da amostra que estimam o mesmo

parâmetro da população. Por exemplo, para estimar o centro de uma distribuição gausiana

pode-se usar a mediana ou a média. Entretanto, diferentes estimativas têm diferentes

dispersões, e a melhor estimativa terá a menor dispersão. No exemplo acima, as médias de

diferentes amostras tem menor dispersão que as medianas das mesmas amostras. A dispersão

também diminui com o aumento do tamanho da amostra. Assim, para que a dispersão da

mediana seja igual à da média é nesessário que a amostra usada para determinar a mediana

seja cerca de1/3 maior que a amostra usada para calcular a média e assim a mediana ser uma

estimativa para a média da população tão boa quanto o é a média de uma amostra.

7. Estatísticas comuns de variáveis climatológicas

Existem diferentes estatísticas ou estimativas da população dos valores climatológicos

calculados a partir de amostras. Algumas das mais comuns são descritas abaixo.

Moda ( uma denominação mais apropriada seria “modo”) – é o valor da variável aleatória

com máxima densidade de probabilidade, ou o valor mais provável. Se a expressão analítica

da distribuição da frequência for conhecida, estimativas eficientes da moda podem ser obtidas

através da derrivação da mesma. Se a forma analítica não é conhecida e a amostra é grande, o

centro da classe com maior frequência pode ser tomada como estimativa da moda. No caso de

haver mais de uma moda (distribuição multimodal) é provavel que haja mais de uma

distribuição superpostas ou então uma mistura de amostras de diferentes populacões numa

tentativa de aumentar o tamanho das amostras.


Draft


Mediana – é o valor da variável abaixo do qual (ou acima do qual) a probabilidade de

ocorrência é 50 %. Se a forma analítica da distribuição for conhecida, integra-se até obter o

valor 0.5. Caso contrário, toma-se o valor correspondente à probabilidade cumulativa de 50 %.

A mediana pertence à classe das quantidades chamadas “quantis” definidas como o valor XF

para o qual F é a probabilidade de X ser menor que XF. A mediana seria o quantil X0.5.

Média – é o paramêtro climatológico mais usado. Na maioria dos casos é melhor obtê-lo

somando os valores e dividindo a soma pelo número de anos. Ela é o valor esperado ou

esperança matemática, isto é, a média da população. Também é o centro da distribuição

normal para séries climatológicos com esta distribuição. A mdia calculada como acima é

geralmente óptima para estimar o valor esperado e o centro da distribuição da temperatura.

Os momentos em torno da média, ou momentos centrais são também empregados. São

definidos por:

µr = ∫R (x – u)r f (x) dx

Onde µr é r-ésimo momento, u é a média, f(x) é a função densidade da probabilidade, ou curva

de frequência, R é o intervalo da população ou região onde f(x) é definido.

Variância – o segundo momento ou variância é

s2 = ∑n(x - µ )2 / (n – 1)

Desvio padrão – é a raiz quadrada da variância

S = √S2

Os momentos de ordem superior podem ser estimados por

mr = ∑n (x – u)r / n

Deslocamento da média – (skewness) é a medida do quanto a média está deslocada em

relação ao valor mais provável (moda) e geralmente é expresso por

g1 = m3/s3


Draft


g1 será positivo se a média estiver deslocada para valores maiores que a moda, ou seja, se a

curva de frequência tiver uma “cauda” maior do lado dos maiores valores, o contrário

ocorrendo para g1 negativo.

Convexidade – (Kurtosis) é a medida da uniformidade da amostra e está associada ao quarto

momento, geralmente por:

g2 = (m4/s4) - 3

Se ocorre um pico na distribuição de frequêncies g2 é pequeno, se a distribuição de

frequências é mais espalhada g2 é grande. Geralmente g2 é substituido por

a = ∑n |x – µ| / (ns)

Momentos de ordem superior a 4 não são recomendáveis para séries climatológicas, uma vez

que são muito variáveis para amostras pequenas como são o caso das séries climatológicas

geralmente disponíveis.

Amplitude – é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra não é recomendado senão

para trabalhos grosseiros, devido à sua grande variabilidade.

Coeficiente de variabilidade – ou desvio padrão relativo, é também usado em climatologia.

(= S / µ ).


Draft


8. Métodos estatísticos gerais

Os problemas básicos de análise climatológica podem ser classificados em três tipos gerais:

Problemas de especificação para a escolha da forma analítica da distribuição de frequÊncia

da população. Isso pode ser feito empiricamente ou usando raciocinios teóricos. Uma

especificação empírica da população usualmente consiste em supor a existência de uma

distribuição de probabilidade com a forma característica de ogiva. Uma especificação

teórica é derrivada de considerações a respeito dos limites da variável; comportamento de

escala, localização e forma, etc.

Problemas de inferência que ocorrem na estimativa de parâmetros da população. São

resolvidos através de estatísticas mais satisfatórias, as que têm menor dispersão. Intervalos

de confidência para estimativas de parametros devem ser feitos para assegurar se a

população obedece a certas condições prescritas, por exemplo, testes para examinar a

homogêneidade de series.

Problemas de correlação entre várias variáveis climatológicas e entre variáveis

climatológicas. O primeiro problema aparece quando é necessário substituir variáveis

climatológicas não disponíveis ou nova variável que tenha algumas propriedades especiais.

Por exemplo, estimar estatísticas de temperaturas diárias a partir de séries de temperaturas

médias mensais. Ou então a temperatura acumulada de crescimento, que é um exemplo de

uma função da temperatura útil para agricultura.

9. Distribuição de frequências

Existem diferentes funções matemáticas analíticas que podem ser usadas para ajustar uma

distribuição de frequências. As distribuições de frequência são de dois tipos: discretas e

continuas. Nas distribuições discretas a densidade de probabilidade é função de uma variável

aleatória discreta, isto é, varia em degraus ou patamares. Por exemplo: número de tempestades

com granizo, dias com chuva, etc. Nas distribuições contínuas a densidade de probabilidade é

uma função de uma variável aleatória continua. Exemplos: temperatura, pressão, precipitação,


Draft


ou qualquer variável mensurável numa escala contínua. Abaixo serão descritas algumas

distribuições comumente usadas em climatológia.

9.1. Distribuiçãao normal

A Distribuição normal ou gaussiana é representada pela função de densidade de probabilidade:

F(x) = (1/σ √2 л) exp (- (x-µ)2/ 2σ2

Onde µ é a média da população e σ o desvio padrão. O parâmetro µ é estimado por x e σ por s.

Em geral a função de densidade de probabilidade é expresso em tabelas tendo como

argumento uma variável padronizada:

u = (x – µ )/ σ

Para a qual u = o e σu = 1, assim f(x) = (1/√2 л) exp (-µ2/ 2) e a probabilidade acumulada é:

F(t) = (1/ √2 л) -∞∫t exp (-µ2/2) du que podem ser transformados em qualquer distribuição

normal, simplesmente substituindo µ e σ.

A importância da distribuição normal na climatológia vem do teorema do limite central. Isso

faz com que a soma de um número suficiente de valores climatológicos seja distribuida

normalmente. Por exemplo, séries climatológicas de precipitação para períodos curtos para os

quais a Pr média é pequena, têm distribuições muito deslocadas. Quando o período aumenta,

vários períodos curtos são somados e ocorre um aumento na média e a soma se aproxima de

uma distribuição normal. Em condições médias, períodos com uma Pr média de 500 mm ou

mais serão aproximadamente normalmente distribuídos.

A distribuição normal produz bons ajustes para variáveis climatológicas não limitados acima

ou abaixo, como a temperatura e a pressão. A amostra a ser ajustada, porém, deve vir de uma

série claimatológica homogênea. Não pode também provir de populaces misturadas, como as

que contém várias modas.


Draft


9.2. Distribuição gama

Uma vez que existem várias variáveis continuas em climatológia que são limitadas pelo valor

zero, é importante encontrar distribuições matemáticas com essa propriedade. É o caso da

distribuição gama definida por sua função densidade de probabilidade (ou frequência):

g(x) = x -1/ (β γ (Γ (γ) exp (-x/ β)

Onde β é um parâmetro de escala, γ é um paramêtro de forma e Γ(γ) = (γ –1)!

Neste caso os momentos não dão boas estimativas dos parametros, mas existem outras

estimativas suficientes:

Γ = (1 + [1 + 4A/3)1/2]/(4A)

Β = µ / γ

A = lnµ - ∑n lnµ/n

A função de distribuição, da qual as probabilidades podem ser obtidas, é:

G(t) = 0∫t g(x) dx

Existem tabelas da função gama que dão G(x), onde u = µ/σ, σ = β √γ.

6.2. Distribuição binomial e distribuição de Poisson

A função de distribuição binomial é dada por:

F(x) = ﴾m, x﴿ px (1 – p) m-x

Onde p é a probabilidade de ocorrência de um evento, (1 – p) é a probabilidade do mesmo

evento não ocorrer, e x pode tornar os valores 1,2,…, m, que são as frequências de ocorrência

possíveis. Esta distribuição em geral não se ajusta bem a séries climatológicas mas se

relaciona com a distribuição de Poisson quando m se torna grande e p tende a zero.

A Distribuição de Poisson se aplica a eventos com pequena probabilidade. Como isto também

significa que um pequeno número de eventos é encontrado em média num intervalo de tempo

anual, a distribuição, por exemplo se ajusta à frequência anual de granizo, a eventos de Pr

excessiva, à frequência de ciclones tropicais, etc.


Draft


A função de probabilidade de Poisson é dada por:

F(x) = µx e -µ/x!

µ é estimado por x.

A função de distribuição é então

F(x) = ∑x=0nµx e -µ/x!

pode ser encontrada em tabelas.

9. Análise de regressão

Uma regressão é uma função functional entre uma variável aleatória independente e uma ou

mais variáveis aleatórias dependentes. Para um dado conjunto de valores das variáveis

independentes a regressão dá um valor médio da variável dependente. A análise de regressão é

usada em climatológia para estimar as constantes em relações funcionais onde estas não são

dadas directamente como quantidades físicas. Isto é comumente feito pelo método dos

mínimos quadrados aplicados aos resíduos em torno da função de regressão quando os valores

da variável independente são substituidos.

A função de regressão pode ser um polinómio ou qualquer função analítica ou combimação

linear de funções:

Y = R (x, ao, a1, a2, a3, …, ak) por exemplo:

Y = ao + a1x + a2x2 + a3x

3

Y = ao + a1x lnx

Se o resíduo para cada valor da variável dependente xi for designado por:

Di = yi – R (xi)

A soma dos quadrados dos residuos será:

S = ∑ i(yi – R(xi)2

que depende tanto de xi e yi como dos parâmetros aj. Pra minimizar S, deve-se escolher os aj

solucionando o conjunto de k equações:

aoال / Sال = 0

a1ال / Sال = 0


Draft


.

.

.

akال / Sال = 0

Como exemplo, seja a regressão linear para as séries xi e yi, com n valores cada. A função de

regressão seria:

Y = a + bx

S = ∑n (yi – a – bxi)2

akال / Sال = -2a∑n (yi – a – bxi) = 0 ou ∑nyi – na – b∑xi = 0

bال / Sال = -2 b ∑xi (yi – a – bxi) = 0 ou ∑xiyi – a∑xi – b∑xi2 = 0

Note-se que as somatórias conhecidas ( inclusive ∑xi = nx e ∑yi = ny e portanto é possível

encontrar a e b:

a = ∑yi/n + ∑xi (∑xi∑yi – n∑xiyi) / ((∑xi)2 – n∑xi

2) / n

b = (∑xi∑yi - n∑xiyi) / ((∑xi)2 – n∑xi

2)

O cálculo poderia ser um pouco simplificado se fosse usada a variável u = x – µ e então ∑ui =

o e então:

a = ∑yi /n e b = ∑uiyi / ∑ui2

Frequentemente é nesessário testar a regressão ajustada em relação à linearidade. Este teste é

feito pela análise de variância. Para uma regressão linear como a feita acima deve-se notar

que há uma variabilidade total dos y’s para cada x que é dividida em uma variabilidade

explicada pela regressão:

QR = ∑(y(xi) – y)2

e outra variabilidade que não é explicada pela regressão:

QT –QR = ∑ (yi – y(xi)2

QT = ∑ (yi – y)2


Draft


O coeficiente r2 = QR/QT dá a proporção das somas dos quadrados ou variabilidades explicada

pela regressão em relação à variabilidade total. Na prática, se r < 0.5 (ou r2 < 0.25) a regressão

tem pouca utilidade prática.

10. Análise de correlação

A correlação entre duas séries temporais está relacionada com a regressão linear entre as

mesmas.

Define-se a covariância de duas séries como:

cov = ∑n (xi – x) (yi – Y)/ n

Ela é uma soma dos produtos dos desvios das duas séries em relação às respectivas médias.

Note-se que se houver um grande número de casos em que um desvio positivo (ou negativo)

de yi, a somatória será positiva e grande e pode-se dizer que as duas series estão

correlacionadas positivamente. Istoé, a um aumento de variável x correspondente uma

diminuição da variável x corresponde uma diminuição da variável y. Se não houver uma

correlação forte entre as séries, os pares ( variação de x/variação de y) terão sinais aleatórios e

a soma será pequena. O mesmo raciocínio é válido para covariância negativa, onde a uma

variação positiva de x corresponde uma variação negativa de y.

Pode-se também definir uma estimativa mais conveniente que é a correlação:


Draft


r (x,y) = ∑n(xi – x) (yi – y) / sxsy

A divisão pelos desvios padrões de x e y faz com que r varie entre –1 e +1, sendo assim uma

versão normalizada de covariância.

11.Correlação defasada

As vezes a influência de uma variável climatológica sobre outra não se faz sentir

simultanêamente, mas ocorre algum tempo depois. Por exemplo a temperatura em relação à

insolação tem uma defasagem de 1 a 2 meses, dependendo da localização da estação. Assim, a

correlação pode ser maior se as séies comparadas estiverem desfasadas de um intervalo u que

pode ser de dias, semanas, meses, anos dependendo do tipo de amostra.

r(x,y,u) = ∑(xi(t) – x) (yi(t + u) – y) / n sxsy

Pode-se então construir um gráfico de r em função da defasagem u, chamado função de

correlação. O gráfico da figura 8.4 é função de correlação para as duas séries da figura 8.3.

Para u = k = 0, r12 (0) = 0.4, mas para u = 5 min o pico é de cerca de 0.95, que é uma

correlação grande.

Um outro uso da correlação pode ser para descobrir correlações espaciais entre variáveis em

pontos distantes entre si. São as chamadas teleconexões. Na figura abaixo mostram-se as

correlações entre a temperatura da superfície do mar em diferentes pontos do oceano Atlântico

e a Pr no Ceará, Nordeste do Brasil. Note-se que a correlação é geralmente grande para séries

em fase ( Fevereiro) próximo do Ceará, como era de se esperar. Porém, há pontos de máxima

correlação em outros locais em outros meses, como se a causa da Pr fosse se deslocando em

direcção à região de Pr.


Draft


12.Autocorrelação

A autocorrelação é essencialmente uma correlação de uma série consigo mesmo.

R(x,u) = ∑n(xi(t) – x) (xi(t + u) – x) / n sx2

Para u = 0, r(x,o) = 1, quer dizer, a correlação é máxima. A figura 1.2 mostra a função de

autocorrelação para a série da figura 1.1. Ela pode ser interpretada como sendo uma médida da


Draft


influência de um valor da variável sobre a mesma variável instantes após. Assim, para

defasagens pequenas espera-se que a influência seja ainda grande e para defasagens grandes

haja pouca correlação entre medidas muito distantes entre si no tempo.

13.Análise de series de tempo

Rigorosamente esta secção deveria aparecer antes das secções sobre regressão e correlação,

mas a ordem talvez seja mais didáctica.

Os objectivos da análise de séries de tempo podem ser resumidos em :

(1)descrever séries históricas, através de algumas estatísticas e representações gráficas; (2)

prever valores futuros;

(3) monitorar a série para detectar mudanças de comportamento;

(4) comparar duas séries para descobrir dependencias ou correlações.

14.1. Definições

A tendência de uma série é dada pela média ou valor esperado em função do tempo:

Y(t) = ∑nyi(t)

Estacionaridade - se a estrutura estatística da série não se altera por um deslocamento da

origem dos tempos, a série se diz estacionária. Na prática significa que a série parece a mesma

vista de qualquer ponto no tempo. Y = constante e r (y, t, u) = r (y, t+u).

Um exemplo de uma série estaccionária é o chamado ruido branco, que tem media y = o,

desvio padrão finito e auto correlação nula para u = 0, quer dizer, cada valor não depende dos

anteriores.


Draft



Draft


14.2. Gráficos de series de tempo

Em geral as séres são discretas e é mais conviniente ligar os pontos por rectas para tornar mais

visível a variação.

Outra escolha que pode afectar a interpretação de um gráfico é parâmetro de aspecto. Se a

ordenada for exagerada em relação à abcissa, vê-se melhor a diferença entre alturas de picos

sucessivos, enquanto que uma ordenada comprimida mostra as assimetrias dos picos

individuais.


Draft


14.3. Alisamento

A figura abaixo (2.3) mostra observações representações por pontos distintos e a linha

continua superposta é construída conectando pontos correspondentes a médias móvies de 3

pontos.

st = yt-1 + yt + Yt+1)/ 3

O gráfico descreve variações, possivelmente sazonais, de onde foram retiradas variações

aleatórios de período menor ( 1 e 2 meses) que estão mostrados nos resíduos do gráfico b:

rt = yt - st.

Este exemplo leva à conceituação de medias movies, centradas no ponto de interesse:

St = ∑pj = -p WjYt+j t = p + 1, …., n-p


Draft


Wj são pesos, tipicamente positivos, Wj = W-j com soma igual à unidade. Na prática o é muito

menor que n, o tamanho da amostra.

Essas médias móveis actuam com filtros”passa-baixo”, que eliminam variações com

frequências menores que 1/2p. Por exemplo, se se quiser eliminar a sazonalidade, que tem

período de 12 meses e é óbvia na maioria dos casos, pode-se usar uma média de 13 pontos em

que :


Draft


W6 = W-6 = 11/24 e Wj = w-j = 1/12 para j = 1, 2,…5, a figura 2.4 mostra que após retirada

à sazonalidade, é possível distinguir uma tendência impossível de se perceber na série não

alisada.

Também se faz alisamento através de polinómios, como foi feito no item 10 anterior.

Uma regressão muito usada é a regressão spline.

Em geral, a função alisada, que estima a tendência é tal que Y(t) = u(t) + u(t) onde u(t) é uma

função aleatória.

A prática mais comum é escolher o tipo de função u(t), que contêm parámetros a serem

escolhidos de modo a minimizar a soma dos quadrados dos desvios, como no caso de figura

2.5 abixo.

Entretanto quanto mais detalhes forem incluídos, mais grosseira resulta a curva, com

protuberância de raizes de raios de curvatura muito pequenos. Uma medida sensível da

“rudeza” de curva é a Segunda derrivada u’’ (t), uma vez que a derrivada local de u(t) varia

rapidamente se a curva é muito oscilante. Isso sugere que, para escolher u(t) deve-se

minimizar a função:

Q(α) = ∑(yi – u(t1))2 + α∫-∞+∞ u’’(t)2dt

onde α representa o compromisso escolhido entre uma função bem ajustada (soma dos

quadrados dos desvios mínima) e uma função mais lisa.

Para um dado α a função u (t) que mínimiza Q(α) é uma spline cúbica que tem as seguintes

propriedades:

1. u (t) tem a primeira derrivada continua em todos os pontos;

2. u (t) é linear para t < t1 e t > tn, isto é, nas extremidades da amostra, para efeito de

continuidade;

3. u (t) é uma função cúbica de t entre cada par sucessivo de ti’s.


Draft


U (t) é relacionada a uma media móvel em que, para pontos igualmente espaçados, a

função peso é:

Wij = h-1 K{(i – j)/h},

onde h = α 0.25 e a função kernel k {. } é definida por K (u) = 0.5 exp (-|u|/2 sen (0.25 + |u| /

√2) mostrada na figura 2.6.

As figuras 2.7 mostram o efeito da aplicação do método para a mesma série da figura 2.5,

para diferentes valores de α.

14. Período-grama ou análise de Fourier

O períodograma é uma descrição da série temporal como uma superposição de ondas

senoidais de várias frequências. O valor prático deste método reside obviamente na

observação de que muitas séries exibem flutuações ciclicas em valor mas com frequências que

nem sempre são previsíveis antes que os dados sejam observados.

A expansão em séries de Fourier de uma série temporal pode ser escrita:

Yt = ∑k=1m [ak cos(ωkt) + bk sen (ωkt)] + ut

Onde ut é um ruído branco, t varia de 1 a n, o número de valores da série, e wk = 2∏k/n

ak = 2∑tyt cos(ωkt) / n

bk = 2∑tyt sen(ωkt) / n

O períodograma é dado por: I(k) = (ak2 + bk

2) / 4

A intensidade de I(k) reflecte a contribuição da k-ésima compornente da série com frequência

f = k/(n ∆t) ou período T = ∆t /k, onde é o intervalo de tempo entre duas medidas

consecutivas das série.

As figures 2.16 mostram os períodogramas para as duas séries das figuras 2.4 vistas

anteriormente no item 14.3. Note-se um pico muito intenso na 6a componente. Como a

amostra tem 72 meses, T = 72 * 1/6 = 12 meses, é exactamente o período sazonal.


Draft


EXERCÍCIOS

1. Dada a série climatologica de precipitação dos meses de Julho para a cidade deInhambane:

a. Construa o gráfico de distribuição de frequências.b. Construa o gráfico de frequências acumuladas.c. Qual é a moda e a mediana.d. Calcule a probabilidade de a precipitação do mês de Julho seja maior que 30.8

mm

Ano Prec. (mm) Ano Prec. (mm)1973 80.1 1988 11.11974 60.6 1989 52.81975 28.3 1990 2.21976 21.4 1991 6.71977 16.0 1992 4.91978 55.9 1993 131.11979 49.7 1994 60.81980 30.8 1995 26.51981 43.9 1996 32.51982 35.9 1997 63.91983 42.6 1998 10.31984 76.8 1999 48.21985 33.2 2000 35.41986 11.6 2001 46.41987 31.4 2002 68.0


Draft


2. Dada a série climatologica de Temperaturas (°C) para uma dada estação. Verfique se asérie é homogenia o não.

Ano T (°C) Ano T (°C)1927 16.4 1942 19.41928 19.9 1943 20.41929 17.7 1944 22.41930 17.7 1945 18.41931 15.9 1946 18.71932 19.8 1947 22.01933 19.4 1948 18.91934 16.9 1949 20.71935 17.1 1950 19.71936 17.5 1951 19.51937 18.5 1952 20.31938 17.6 1953 19.81939 18.1 1954 18.31940 17.4 1955 19.31941 17.3 1956 17.5

métodos estatisticos aplicados à clima

Documents