métodos de otimização em finanças com r · 2 métodos de otimização ... por um esforço...

Anais do XLVIII SBPO Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional

Vitória, ES, 27 a 30 de setembro de 2016.

Introdução ao RMétodos de Otimização

Aplicações em Finanças

Métodos de Otimização em Finanças com R

Paulo Henrique Sales Guimarães

Universidade Federal de Lavras

[email protected]

29 de setembro de 2016

Paulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R



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Métodos de Otimização em Finanças com R

1 Introdução ao RInstalação do RPrincipais FunçõesInstalação de Pacotes

2 Métodos de Otimização

3 Aplicações em Finanças


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Instalação do RPrincipais FunçõesInstalação de Pacotes

Software R

O R foi criado originalmente por Ross Ihaka e por Robert Gentle-man na Universidade de Auckland, Nova Zelândia, desenvolvidopor um esforço colaborativo por pessoas de todo o mundo. Sendoao mesmo tempo uma linguagem de programação e um ambientepara computação estatística e gráfica.Trata-se de uma linguagem de programação especializada emcomputação com dados. Algumas das suas principais caracterís-ticas são o seu caráter gratuito e a sua disponibilidade para umagama bastante variada de sistemas operacionais.


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Características

Software Livre (gratuito)

Código Fonte Aberto

Possui Diversas GUI

Software Colaborativo (pacotes)

Linguagem de Programação

Manipulação e Análise de Dados

Usado em Vários Sistemas Operacionais(UNIX,WINDOWS,etc)


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Características



Possui Diversas GUI






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Características



Possui Diversas GUI






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Características



Possui Diversas GUI






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Características



Possui Diversas GUI






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Características



Possui Diversas GUI






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Características



Possui Diversas GUI






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Instalação do R

1 Primeiro PassoO programa de instalação do R pode ser baixado a partir dosite: The R Project for Statistical Computing.

Devemos escolher o CRAN Mirrors (por exemplo,Universidade Federal do Paraná.Sistema Operacional (por exemplo, Windows)Install R for the first time (última versão: R.3.3.1 for Windows).

2 Segundo PassoAbra o programa de instalação do R que acabou de baixar(selecione o idioma).Clique em Avançar e depois no final Concluir.


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https://www.r-project.org

http://cran-r.c3sl.ufpr.br/






Instalação do R

1 Primeiro PassoO programa de instalação do R pode ser baixado a partir dosite: The R Project for Statistical Computing.Devemos escolher o CRAN Mirrors (por exemplo,Universidade Federal do Paraná.

Sistema Operacional (por exemplo, Windows)Install R for the first time (última versão: R.3.3.1 for Windows).



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Instalação do R

1 Primeiro PassoO programa de instalação do R pode ser baixado a partir dosite: The R Project for Statistical Computing.Devemos escolher o CRAN Mirrors (por exemplo,Universidade Federal do Paraná.Sistema Operacional (por exemplo, Windows)

Install R for the first time (última versão: R.3.3.1 for Windows).2 Segundo Passo

Abra o programa de instalação do R que acabou de baixar(selecione o idioma).Clique em Avançar e depois no final Concluir.


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Instalação do R

1 Primeiro PassoO programa de instalação do R pode ser baixado a partir dosite: The R Project for Statistical Computing.Devemos escolher o CRAN Mirrors (por exemplo,Universidade Federal do Paraná.Sistema Operacional (por exemplo, Windows)Install R for the first time (última versão: R.3.3.1 for Windows).



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Instalação do R


2 Segundo PassoAbra o programa de instalação do R que acabou de baixar(selecione o idioma).

Clique em Avançar e depois no final Concluir.


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Instalação do R




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Software RAo iniciar o R abrirá automaticamente o Console que é a janelana qual os comandos são digitados. Internamente ao Console, seencontra o prompt, conforme figura abaixo, que é um sinal indicadorde que o programa está pronto para receber comando.

Figura: Interface do R - Console e Prompt


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Software RUma forma mais fácil de inserir os comandos no R é por meio doscript (Arquivo + Novo Script + Janela (Dividir Lado a Lado).

Figura: Interface do R - Script


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Interface do R

R é uma linguagem de expressões com regras e sintaxe muito sim-ples.Faz distinção entre maiúsculas e minúsculas, de modo que os ca-racteres “x” e “X” são interpretados como sendo diferentes.


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Tipos de DadosBasicamente tem-se quatro tipos de dados no R: númericos, carac-teres, lógicos e números complexos.

Figura: Tipos de Dados


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Comandos BásicosNo R é possível fazer uma atribuição de valores de várias formas,conforme o exemplo:

Figura: Atribuição de ValoresPaulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Comandos BásicosO R pode funcionar como uma calculadora executando operaçõesmatemáticas.

Figura: Atribuição de Valores


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Tabela: Operadores Básicos

Símbolo Descrição< Menor> Maior

<= Menor Igual>= Maior Igual== Comparação& E (and)| Ou (or)! Não

!= DiferenteTRUE ou 1 Valor verdadeiro (booleano)FALSE ou 0 Valor falso (booleano)


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Comandos BásicosNa próxima tabela são apresentadas algumas outras operaçõespossíveis:

Tabela: Funções Matemáticas Básicas

Função Descriçãoabs(x) Valor absoluto de x

ceiling(x) Arredondamento de x para o maior valorexp(x) Exponencial elevado a xfloor(x) Arredondamento de x para o menor valor

length(x) Número de elementos do vetor xlog(x) Logaritmo natural de x

log(x,a) Logaritmo de x com base amax(x) Seleciona o maior valor de xmin(x) Menor valor de xsqrt(x) Raiz quadrada de x


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VetoresVetores são conjuntos de dados unidimensionais. Sua principalutilidade é poder armazenar diversos dados em forma de lista eaplicar funções e operações sobre todos os dados pertencentes adeterminado vetor.Para criar um vetor devemos utilizar o comando c().Exemplos:

Figura: VetoresPaulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Vetores

O comando seq() é bastante útil para a criação de vetores.Exemplos:

Figura: Comando seq()


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VetoresO comando rep() também pode ser utilizado para a criação de ve-tores.Exemplos:

Figura: Comando req()


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MatrizesAssim como os vetores, há também várias maneiras de se criarmatrizes no R.A função matrix() recebe um vetor como argumento e o transformaem uma matriz de acordo com as dimensões especificadas.Exemplos:

Figura: MatrizesPaulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Matrizes

Algumas operações básicas com matrizes:

Tabela: Operações Básicas Matrizes

Função DescriçãoA%*%B Produto matricial de A por B

t(A) Transposta da matriz Asolve(A) Inversa da matriz A

x=solve(A,b) Resolve o sistema linear Ax=bdet(B) Determinante de B

eigen(A) Retorna os autovalores e autovetores de A


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Matrizes

Alguns exemplos de operações com matrizes:

Figura: Exemplos de operações com matrizes


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Dados Externos

Geralmente, trabalhamos com arquivos salvos sob forma de plani-lhas, tabelas, etc.Desta forma, precisamos que o R leia estes ar-quivos, transformando-os em um objeto.Para que o R reconheça o conjunto de dados do arquivo é neces-sário que as colunas sejam separadas. Caso isso não ocorra o Rnão conseguirá separar as colunas e emitirá uma mensagem deerro. Um modo fácil de resolver este problema é salvar a planilhade dados com o formato (.csv) que utiliza virgula (,) como elementoseparador das colunas ou no formato (.txt).


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Dados Externos

Antes de iniciar a entrada de dados no R deve-se alterar o diretóriono R em que a pasta de trabalho padrão com o arquivo de dados(.csv ou .txt) está salvo (Arquivo - Mudar Diretório).Para verificar qual é o diretório use getwd() .Outra forma de mudar o diretório é por meio do co-mando:setwd("C:/Documents and Settings/Administrador/Meus do-cumentos/temp1").Em seguida, devemos dar o comando para que o R carregue o ar-quivo (.csv ou .txt) no console de trabalho da forma:dados<-read.table("exemplo.txt",h=T) oudados<-read.table("exemplo.csv",h=T).


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Dados Externos

No R é muito comum trabalharmos com conjuntos de dados daforma de Data Frame.Estes possuem linhas e colunas, em quecada coluna pode armazenar elementos de diferentes tipos.Assim data.frame é um tipo especial de lista, composta por vetoresde mesmo tamanho, mas que podem ser de classes diferentes:


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Dados Externos

O R permite acessar um banco de dados disponível na web.Estatarefa é importante,pois facilita o acesso aos dados provenientes dainternet sem a necessidade dos dados serem copiados para algumdiretório e, posteriormente, carregados para o R.Para fazer a leitura usamos: read.table("http://endereço").

Exemplo:read.table("http://www.leg.ufpr.br/ paulo-jus/dados/exemplo02.txt").


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Funções

Uma das grandes vantagens do R é poder criar (programar) novasfunções. Para fazer uma função são necessários as seguintes atri-buições:nome(da função)<-function(argumento1,...,argumenton).


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FunçõesExemplo:

Figura: Função Média


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Gráficos

Outra grande vantagem do R é a sua capacidade gráfica. Conse-gue plotar desde gráficos bidimensionais simples até gráficos tridi-mensionais mais complexos por meio de comandos bastante sim-ples.O comando básico é dado por meio da função plot ().


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Gráficos

Exemplo:

Figura: Exemplo de Gráfico Simples


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GráficosAlguns comandos básicos para gráficos:

Tabela: Comandos básicos para gráficos

Argumentos Básicos Descriçãopch( ) Muda o padrão dos pontoslwd( ) Muda a largura das linhaslty( ) Muda o estilo das linhas

main( ) Título do gráficoxlab( ) Título do eixo xylab( ) Título do eixo ytext( ) Adiciona texto

points( ) Adiciona pontoslines( ) Adiciona linhas


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Gráficos

Exemplo:

Figura: Exemplo de Gráfico


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Ajuda do R (Help)

Em diversos casos precisamos de alguma função ou temos algumadúvida em algum comando do R . Nestes casos existem duas for-mas básicas para descobrir uma função que faça aquilo que vocêdeseja utilizando o help do R.help(nome da função ou comando)ou?(nome da função ou comando).


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Ajuda do R (Help)

Geralmente, o arquivo de help do R possui 10 tópicos básicos:1) Description - faz um resumo geral sobre o uso da função2) Usage - mostra como a função pode ser utilizada e quais os ar-gumentos que devem ser especificados3) Arguments - explica o que é cada um dos argumentos4) Details - explica alguns detalhes sobre o uso e aplicação da fun-ção5) Value - mostra o que sai no output após usar a função (os resul-tados).


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Ajuda do R (Help)

6) Note - algumas notas sobre a função7) Authors - lista os autores da função (quem escreveu os códigosem R)8) References - referências para os métodos utilizados9) See also - mostra outras funções relacionadas que podem serconsultadas10) Examples - exemplos do uso da função.


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Instalação de Pacotes

Quando instalarmos o R apenas as configurações mínimas paraseu funcionamento básico são instaladas (pacotes que vem na ins-talação “base”). Para realizar tarefas mais complicadas pode sernecessário instalar pacotes adicionais (packages).Packages ou bibliotecas designam um conjunto de funções (co-mandos) e, ou, dados agregados.


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As funções básicas do R estão no pacote chamado base. Há outrasbibliotecas já inclusas no R advindas da instalação padrão.Os pacotes do R são desenvolvidos por usuários do próprio R.


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Para fazer a instalação de pacotes do R podemos fazer por meiodo comando: Pacotes + Escolher espelho CRAN (por exemplo, Bra-zil,RJ) + Nome do Pacote)Importante: Podemos fazer a instalação de pacotes também pormeio Install Package(s) from local zip files (arquivo externo).


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Carregando um PacoteCarregando um pacote do R:

Figura: Carregando PacotePaulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Carregando um Pacote

Outra forma de carregar um pacote é por meio do comando libraryou require + nome do pacote.Exemplo:library(MASS)require(MASS).


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Citação de Pacote

No R existe um comando que mostra como citar o R ou um de seuspacotes.Exemplo:citation("MASS")citation()R Development Core Team (2016). R: A language and environmentfor statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vi-enna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.R-project.org/.


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Alguns Pacotes para Otimização

NlcOptim:Resolve problemas de otimização não-linear comrestrições de desigualdade linear e não-linear da igualdade e,implementando um método sequencial de programaçãoquadrática (SQP). Diponível em: CRAN NlcOptim.

dfoptim:Procedimentos de otimização livre de derivativos,contém implementações bastante eficientes R dos algoritmosde Nelder-Mead e Hooke-Jeeves.Diponível em: CRANdfoptim.

maxLik: Métodos de otimização de função deverossimilhança. Diponível em: CRAN maxLik.

limSolve:Encontra o mínimo / máximo de uma função linearou quadrática.Diponível em: CRAN limSolve.


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https://cran.r-project.org/web/packages/NlcOptim/index.html/

https://cran.r-project.org/web/packages/dfoptim/index.html/


https://cran.r-project.org/web/packages/maxLik/index.html/

https://cran.r-project.org/web/packages/limSolve/index.html/












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NMOF:Fornece implementações de vários métodos deotimização. Diponível em: CRAN NMOF.

Rsolnp: Utiliza o método do multiplicador de Lagrangeaumentado.Diponível em: CRAN Rsolnp.

lpSolve: Programação linear, inteira, problemas de atribuiçãoe de transporte. Diponível em: CRAN lpSolve.

nloptr:Problemas de otimização não linear.Diponível em:CRAN nloptr.


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https://cran.r-project.org/web/packages/NMOF/index.html/

https://cran.r-project.org/web/packages/Rsolnp/index.html/

https://cran.r-project.org/web/packages/lpSolve/index.html/

https://cran.r-project.org/web/packages/nloptr/index.html/













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Otimização em Finanças

Inúmeros problemas em Finanças envolvem encontrar mínimo emáximo de funções multidimensionais. Estes podem ser definidoscomo problemas de otimização.No R existem três funções na instalação base para problemas deotimização: optimize( ) para problemas unidimensionais, optim ( )para problemas multidimensionais, e constrOptim( ) paraotimização com restrições lineares.


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Função de Uma Variável

Exemplo 1: Otimizar a função f (x) = xsen(4x).

f = function(x) x*sin(4*x)

curve(f,0,3)


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f = function(x) x*sin(4*x)

curve(f,0,3)


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Função de Uma VariávelExemplo: Otimizar a função f (x) = xsen(4x).

Figura: Gráfico função f(x)Paulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Exemplo 1 : Otimizar a função f (x) = xsen(4x).

optimize(f,c(0,3))

min1 = 1,228297

optimize(f,c(1.5,3))

min2 = 2,771403

optimize(f,c(1,3),maximum=TRUE)


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optimize(f,c(0,3))

min1 = 1,228297


min2 = 2,771403



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optimize(f,c(0,3))

min1 = 1,228297


min2 = 2,771403



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optimize(f,c(0,3))

min1 = 1,228297


min2 = 2,771403



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optimize(f,c(0,3))

min1 = 1,228297


min2 = 2,771403



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require(pracma)

f.mins = findmins(f,0,3)

1,228312 e 2,771382

f(f.mins[1:2])

-1,203617 e -2,760177


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require(pracma)


1,228312 e 2,771382

f(f.mins[1:2])

-1,203617 e -2,760177


3812







require(pracma)


1,228312 e 2,771382

f(f.mins[1:2])

-1,203617 e -2,760177


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require(pracma)


1,228312 e 2,771382

f(f.mins[1:2])

-1,203617 e -2,760177


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require(pracma)


1,228312 e 2,771382

f(f.mins[1:2])

-1,203617 e -2,760177


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Função de Várias Variáveis

Exemplo 2: Otimizar a função f (x, y) = 1x +

1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .

(Hanna and Sandall, p. 191).

x e y são frações molares (entre 0 e 1)

x = y = seq(0.1,0.9,0.01)

z = outer(x,y,FUN=function(x,y) 1/x + 1/y +(1-y)/(y*(1-x1)) +1/((1-x)*(1-y)))

persp(x,y,z,theta=45,phi=0,col="green")


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1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .



x = y = seq(0.1,0.9,0.01)




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1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .



x = y = seq(0.1,0.9,0.01)




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1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .



x = y = seq(0.1,0.9,0.01)




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1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .


Figura: Gráfico função f(x,y)Paulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Sempre que se puder razoavelmente assumir que a função obje-tivo é suave ou pelo menos diferenciável, pode-se utilizar o método"BFGS"ou "L-BFGS-B", aplicando "Nelder-Mead"apenas em outroscasos, e apenas para tarefas de baixa dimensionalidade.Todos estes são métodos da função optim. Se a função objetivo énão suave, nenhuma destas abordagens podem ser bem sucedi-das.


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optim(par, fn, gr = NULL, ..., method = c("Nelder-Mead", "BFGS","CG", "L-BFGS-B", "SANN", "Brent"),lower = -Inf, upper = Inf, con-trol = list(), hessian = FALSE)


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1y +

1−yy(1−x) +

1(1−x)(1−y) .

Figura: Otimização f(x,y)


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Exemplo 3: Otimizar a função z(x, y) = 100(y − x2

)2+ (1 − x)2 (Ro-

senbrock “Banana function").

x = y = seq(-1.2,1,0.1)

z = outer(x,y,FUN=function(x,y) 100 ∗ (y − x ∗ x)2 + (1 − x)2)

persp(x,y,z,theta=150,col="blue")


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)2+ (1 − x)2 (Ro-


x = y = seq(-1.2,1,0.1)




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)2+ (1 − x)2 (Ro-


x = y = seq(-1.2,1,0.1)




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)2+ (1 − x)2 (Ro-


Figura: Otimização z(x,y)Paulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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)2+ (1 − x)2 (Ro-


optim(c(-1.2,1),z)




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)2+ (1 − x)2 (Ro-


optim(c(-1.2,1),z)




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)2+ (1 − x)2 (Ro-


optim(c(-1.2,1),z)




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)2+ (1 − x)2 (Ro-


Figura: Otimização z(x,y)


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Otimização com restrições

Na base do R tem a fução constrOptim que permite minimizar umafunção com p parâmetros desconhecidos sujeito a k restrições dedesigualdade lineares. Ele usa a função optim para fazer a maiorparte do cálculo, mas acrescenta uma barreira logarítmica para im-por as restrições.constrOptim(theta, f, grad, ui, ci, mu = 1e-04, control = list(),method= if(is.null(grad)) "Nelder-Mead"else "BFGS",outer.iterations = 100,outer.eps = 1e-05, ...,hessian = FALSE)


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Otimização com restrições

Exemplo 4:Minimizar z(x, y) = 100(y − x2

)2+ (1 − x)2 sujeito a:(

1 00 1

) (x1x2

)≤

(11

).

Podendo ser rearranjado da forma:(−1 00 −1

) (x1x2

)−

(−1−1

)≥

(00

)


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Exemplo 4:Minimizar z(x, y) = 100(y − x2

)2+ (1 − x)2.

Figura: Otimização z(x,y)Paulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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Programação Linear

Há inúmeros pacotes no R que permitem trabalhar com a progra-mação linear.Exemplos de pacotes:intpoint, lpSolve,Rglpk,e Rsymphony.


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O pacote intpoint de programação linear utiliza o método do pontointerior e gráfico (duas dimensões)para resolver problemas.Exemplo 1: max Z = x1 + 2x2sujeito a:x1 + x2 = 1x2 = 4x1, x2 ≥ 0.


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Figura: Método Gráfico


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Exemplo 2: max Z = 500m1 + 400m2sujeito a:20m1 + 20m2 ≤ 1005m1 + 30m2 ≤ 5015m1 + 7m2 ≤ 60m1,m2 ≥ 0.


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Utilizando o pacote lpSolve com a função lp temos que definir:

Função objetivo

Matriz de restrições

Tipos de desigualdades

Lado direito das desigualdades.


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Função objetivo





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Função objetivo





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Função objetivo





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Função objetivo





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Figura: Programação linear no R


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Exemplo 3:Uma empresa de investimentos gerencia recursos de terceiros pormeio da escolha de carteiras de investimento para diversos clien-tes, baseados em bonds de diversas empresas. Um de seus clien-tes exige que:

Não mais de 25% do total seja aplicado em um únicoinvestimento.

Mais de 50% do total deve ser aplicado em títulos dematuridade de mais de 10 anos.

O total aplicado em títulos de alto risco deve ser no máximode 50% do total investido.


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Tabela: Títulos Selecionados

Títulos Retorno Anual Vencimento (anos) Risco1 8,7% 15 Muito baixo2 9,5% 12 Regular3 12,0% 8 Alto4 9,0% 7 Baixo5 13,0% 11 Alto6 20,0% 5 Muito alto


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Variáveis de Decisão:– P1 – Parcela do total aplicado no título do tipo 1– P2 – Parcela do total aplicado no título do tipo 2– P3 – Parcela do total aplicado no título do tipo 3– P4 – Parcela do total aplicado no título do tipo 4– P5 – Parcela do total aplicado no título do tipo 5– P6 – Parcela do total aplicado no título do tipo 6


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Função objetivo:

Max 0, 087P1 + 0, 095P2 + 0, 12P3 + 0, 09P4 + 0, 13P5 + 0, 2P6

Restrição de orçamentoP1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1

Restrição de aplicaçãoP1,2,3,4,5,6 6 0, 25

Restrição para o mínimo aplicadoP1 + P2 + P5 > 0, 5

Restrição para o máximo aplicadoP3 + P5 + P6 6 0, 5


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Função objetivo:Max 0, 087P1 + 0, 095P2 + 0, 12P3 + 0, 09P4 + 0, 13P5 + 0, 2P6






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Restrição de orçamento

P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1





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Restrição de aplicação

P1,2,3,4,5,6 6 0, 25




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Restrição para o mínimo aplicado

P1 + P2 + P5 > 0, 5



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Restrição para o máximo aplicado

P3 + P5 + P6 6 0, 5


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Figura: Retorno da carteira


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Programação Inteira

Um problema de Programação Inteira é um modelo de programa-ção linear no qual algumas ou todas as variáveis do problema per-tencem ao conjunto dos números inteiros.Exemplo:Considere o problema da mochila que pode ser resolvidousando a programação inteira. Seja um vendedor ambulante querencher a mochila de capacidade de peso 105 com itens que têmos seguintes valores e pesos, de modo a maximizar o seu lucro:


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Programação Inteira

Figura: Programação inteira no R


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Programação Quadrática

A programação quadrática visa otimizar uma função quadrática devárias variáveis sujeitas a restrições lineares sobre essas. Isto é,desejamos minimizar a função:

f (x) = −dTx + 12 xTDx

sujeito a: ATx ≥ x0,

em que D é uma matriz de coeficientes quadráticos, d um vectorde coeficientes linear, A uma matriz de restrições, e x0 um vetor devalores de restrição.


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Programação Quadrática

Exemplo 4: f(x) = f (x) = 12 x2

1 + x22 − x1x2 − 2x1 − 6x2

sujeito a: x1 + x2 6 2− x1 + 2x2 6 22x1 + x2 6 30 ≤ x1, 0 ≤ x2.


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Programação QuadráticaNo R podemos utilizar o pacote quadprog.

Figura: Programação quadrática no R


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Otimização de Portfólio (Carteiras)

A teoria moderna do portfólio, ou simplesmente teoria do portfólio,busca entender como investidores racionais irão usar o princípioda diversificação para otimizar as suas carteiras de investimentos,e como um ativo arriscado deve ser precificado.O trabalho pioneiro na área de otimização de portfólio foi à propo-sição do modelo média-variância por Markowitz (1952).A teoria doportfólio estabelece que decisões relacionadas à seleção de inves-timentos devam ser tomadas com base na relação risco-retorno.


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De acordo com o modelo Markowitz (1952):1 - O retorno da carteira é a combinação ponderada da proporçãode retorno dos ativos que a constituem.2 - A volatilidade da carteira é uma função da correlação ρ dosativos componentes. A alteração na volatilidade é não-linear com amudanças na ponderação dos ativos componentes.A principal motivação para o desenvolvimento destes modelos serelaciona à redução do risco a que o investidor está exposto, pormeio da diversificação ou balanceamento da carteira.


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Se formos variando o nível de retorno desejado, e a cada vez re-solvendo o problema de minimização da variância do portfólio, serágerada uma fronteira que possui, para cada nível de retorno, o port-fólio com a menor variância.A parte superior desta fronteira é cha-mada fronteira eficiente. A próxima figura traz um exemplo de umafronteira eficiente composta por sete ativos financeiros.


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Otimização de Portfólio (Carteiras)Para construir este gráfico ver aqui.

Figura: Fronteira EficientePaulo Henrique Sales Guimarães Métodos de Otimização em Finanças com R

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https://economistatlarge.com/portfolio-theory/r-optimized-portfolio/





Referências

BLOOMFIELD(2014)Using R for Numerical Analysis in Science and Engineering,University ofMinnesota Minneapolis, USA.

CORNUEJOLS,G.,TUTUNCU,R.(2006)Optimization Methods in Finance,Carnegie Mellon University, Pittsburgh,USA.

LACHTERMACHER(2006)Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões,Rio de Janeiro:Campus.

MARKOWITZ(1952)Portfolio selection. The Journal of Finance, v. 7, n. 1, p. 77-91, 1952.


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