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IntroduçãoExemplos

Números aleatóriosAmostragem ponderada

Método Monte-Carlo

Alexandre Rosas

Departamento de FísicaUniversidade Federal da Paraíba

23 de Março de 2009

Alexandre Rosas Método Monte-Carlo

O que são os métodos de Monte-Carlo?

Métodos numéricos que utilizam amostragem estatística(em contraposição a métodos determinísticos)Amostragem aleatória a partir de uma função distribuiçãode probabilidades. → números pseudo-aleatóriosVárias amostrasMédiaAlguns problemas determinísticos podem ser reescritosem função de uma distribuição de probabilidades

integração

Histórico

Origem do nome: Cassino de Monte-Carlo, MônacoRoleta ←→ números aleatóriosNome e sistematização em torno de 1944Precussores

1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student

2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da

equação de Schrodinger

Histórico

1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional sem

barreira dá solução aproximada para equação diferencialparabólica (difusão)

1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student

equação de SchrodingerAlexandre Rosas Método Monte-Carlo

Histórico

1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – relação entre processos markovianos e

equações integro-diferenciais1908 W. S. Gosset – distribuição t de Student

Histórico

1873 A. Hall – Determinação de π jogando uma agulha1899 Lord Rayleigh – caminhada aleatória unidimensional1931 Kolmogorov – processos markovianos1908 W. S. Gosset – amostragem experimental usada para criar

a distribuição t de Student2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômica

1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da

Histórico

2a guerra Primeiros usos na pesquisa – bomba atômicaProblemas probabilísticos associados à difusão de nêutrons nomaterial físsil

1948 Harris e Herman Kanh – desenvolvimento sistemático1948 Fermi, Metropolis e Ulam – estimativas de autovalores da

Histórico

Integração de Monte-CarloEvolução para o equilíbrioDecaimento radioativo

Introdução ao método

Na aula sobre integração numérica vimos que

0f (x)dx ≈

N∑k=1

f (xk )ωk

Tomando todos os ωk iguais e lembrando que h = 1/NN∑

f (xk )ωk =1N

N∑k=1

f (xk ) = 〈f 〉N

distribuição uniformeRepetindo a medida M vezes,

〈I〉 =1M

M∑k=1

〈f 〉N

0f (x)dx ≈

N∑k=1

f (xk )ωk

f (xk )ωk =1N

N∑k=1

f (xk ) = 〈f 〉N

〈I〉 =1M

M∑k=1

〈f 〉N

0f (x)dx ≈

N∑k=1

f (xk )ωk

f (xk )ωk =1N

N∑k=1

f (xk ) = 〈f 〉N

〈I〉 =1M

M∑k=1

〈f 〉N

Variância

Variância em uma amostra – medida do desvio de f da suamédia

σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M

Variância da série de medidas

σ2M ≈

(〈f 2〉M − 〈f 〉2N

σM ∼ 1/√

M é uma medida do erro

Variância

σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M

σ2M ≈

(〈f 2〉M − 〈f 〉2N

σM ∼ 1/√

Variância

σ2f = 〈f 2〉M − 〈f 〉2M

σ2M ≈

(〈f 2〉M − 〈f 〉2N

σM ∼ 1/√

Comparação com outros métodos

Método ErroMonte Carlo N−1/2

Trapézio h ∼ N−1/d

Simpson h ∼ N−4/d

Por que usar Monte-Carlo?

Integrais multidimensionaisMonte-Carlo não depende da dimensão

Implementação

Algoritmo1 Escolha o número de amostras2 Para cada amostra escolha um número aleatório xk e

calcule f (xk )

3 Calcule a média de f (xk ) e a variância

Implementação

calcule f (xk )

Implementação

calcule f (xk )

Exemplo

∫ 10

41+xx dx = π

N 〈I〉 σN | I−ππ |100 3.182251 0.430004 0.012942

1000 3.155254 0.419448 0.00434910000 3.142956 0.413842 0.000434

100000 3.142433 0.413087 0.0002671000000 3.142021 0.413286 0.000136

10000000 3.141894 0.413538 0.000096100000000 3.141638 0.413660 0.000014

1000000000 3.141584 0.413586 0.000003

variância oscila em torno do valor exato 0.413581integral correta até quarta casa

Partículas em uma caixa

Caixa dividida em duas metades iguaisInicialmente, todas as partículas no lado esquerdoPequeno buraco é feito na paredeAo invés de descrever o estado inicial das N partículas,fazemos um modelo estatístico Cada partícula tem mesmaprobabilidade de ir para a direita ou voltar para a esquerda

Algoritmo

1 Repetir para muitos passos de tempo Nt > N

2 Para cada passo de tempo, a probalilidade de uma partícula irpara a direita é p = Nl/N

3 Sortear um número aleatório r

4 Se p < r , Nl ← Nl − 1, caso contrário Nl ← Nl + 1

Algoritmo

Resultado

0 10000 20000 30000 40000 50000t

O problema

Núcleo radioativo X pode decair para núcleo YPor sua vez, o núcleo Y pode decair para ZA meia-vida do núcleo X é τX , e a do núcleo Y é τY

Definindo a probabilidade de decaimento de um núcleopor unidade de tempo ω = 1/τ, o sistema pode serdescrito pelas equações

= −ωX X (t)

= ωX X (t)− ωY Y (t)

O problema

= −ωX X (t)

O problema

= −ωX X (t)

O problema

= −ωX X (t)

O problema

= −ωX X (t)

Do ponto de vista simulacional

A cada passo de tempo:Cada um dos NX átomos pode decair com probabilidadeωXCada um dos NY átomos pode decair com probabilidadeωY

Portanto, se N(d)X ,Y (t) é o número de atómos (X ,Y ) que

decaem no tempo t ,

NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)

NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)

decaem no tempo t ,

NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)

NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)

decaem no tempo t ,

NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)

NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)

decaem no tempo t ,

NX (t + 1) ← NX (t)− N(d)X (t)

NY (t + 1) ← NY (t) + N(d)X (t)− N(d)

Decaimento de 210Bi e 210Po

O 210Bi decai em 210Po (decaimento β)O 210Po decai em 206Pb (decaimento α)Meia vida do 210Bi: τBi = 7.2 diasMeia vida do 210Po: τPo = 200 diasSuponha que inicialmente tenhamos 1000 átomos de210Bi, como será a evolução do sistema?É importante escolher bem a escala de tempo

Se ela for muito grande, não veremos a evolução dosistemaSe ela for muito pequena, o programa será muito lento1 passo Monte-Carlo = 1 hora é razoável

10 100 1000 10000tempo (horas)

0 2000 4000 6000 8000 10000tempo (horas)

Geradores de números aleatórios uniformesOutras distribuições de probabilidadesDistribuições não inversíveis

Geradores de números aleatórios são fundamentais parao método Monte-CarloO computador não tem como gerar números puramentealeatórios, ele gera números que parecem aleatórios, osnúmeros pseudo-aleatóriosOs números pseudo-aleatórios obedecem a uma regradeterminística com as seguintes propriedades

1 Correlação entre números é pequena2 O período para que a sequência se repita é grande3 O algoritmo deve ser rápido4 Obedecem a uma certa distribuição de probabilidades

A distribuição de probabilidades mais simples é a uniformeCada número em um intervalo – tipicamente [0,1) – temmesma probabilidade de ocorrerOutras distribuições de probabilidades são obtidas a partirda distribuição uniforme

Geradores congruenciais lineares

Nk = (aNk−1 + c)MOD(M)

{Nk ,a, c,M} ∈ ℵGera os números xk = Nk/MN0 é a semente, MOD retorna o resto da divisãoM é o período máximoA escolha de N0,a e c é fundamental para a qualidade dogeradorExemplo: tomando N0 = 2,

Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}

Estes são os geradores mais usados → muito rápidosAlexandre Rosas Método Monte-Carlo

Nk = (27Nk−1 + 11)MOD(54) ⇒ {11,38,11,38, . . .}

Deslocamento de registro

Gerador depende de mais de um valor precedentePor exemplo,

Nk = (aNk−l + cNk−j)MOD(M)

Desta forma pode-se obter períodos muito maiores que M

Mersenne Twister 19937

Criado para corrigir deficiências de outros geradoresPropicia a geração de números pseudo-aleatórios de altaqualidadeVantagens

1 Período de recorrência muito grande – 219937 − 12 Tem alta ordem de equidistribuição dimensional (geradores

congruenciais lineares são particularmente ineficientes)3 É rápido4 Passa em diversos testes estatísticos como o die hard

Baseado em primos de Mersenne (se p é um númeroprimo e Mp = 2p − 1 também, Mp é dito primo deMersenne)É um gerador de deslocamente o registro associado auma operação (twist) para assegurar a equidistribuiçãoImplementado na GSL – Gnu Scientific Library

Mudança de variáveis

Suponha que uma variável aleatória X obedeça a umadistribuição de probabilidades pX (x)

Devido à conservação da probabilidade, uma mudança devariáveis deve obedecer à relação:

pY (y)dy = pX (x)dxPortanto, se p(x) = 1 no intervalo [0,1) e é nula fora dele(distribuição uniforme),∫ y

−∞pY (y)dy =

0dx = x

Invertendo esta relação, podemos obter y = y(x)

Assim obtemos números pseudo-aleatórios que obedecema uma distribuição pY (y) a partir da distribuição uniforme

−∞pY (y)dy =

0dx = x

−∞pY (y)dy =

0dx = x

−∞pY (y)dy =

0dx = x

−∞pY (y)dy =

0dx = x

Distribuição exponencial

pY (y) = e−y ⇒ x =

0e−y dy = 1− e−y

y(x) = − ln(1− x)

Distribuição exponencial

pY (y) = e−y ⇒ x =

0e−y dy = 1− e−y

y(x) = − ln(1− x)

Distribuição gaussiana

Aplicando o mesmo procedimento, temos

pY (y) =1√2π

e−y2/2 ⇒ x =12

(1 + erf (

y√2)

)Contudo, não podemos inverter a função erro.

AlternativaAnalisemos a distribuição conjunta de 2 números aleatóriosindependentes

p(y1, y2)dy1dy2 =1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2

pY (y) =1√2π

e−y2/2 ⇒ x =12

(1 + erf (

y√2)

p(y1, y2)dy1dy2 =1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2

pY (y) =1√2π

e−y2/2 ⇒ x =12

(1 + erf (

y√2)

p(y1, y2)dy1dy2 =1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2

Alternativa

Mudando para coordenada polares,

r =√

y21 + y2

2 e θ = tan−1 y1

Alternativa

r =√

y21 + y2

2 e θ = tan−1 y1

Temos1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2 =

e−r2/2rdrdθ

Alternativa

r =√

y21 + y2

2 e θ = tan−1 y1

Temos1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2 =

e−r2/2rdrdθ

Onde θ é uniformemente distribuído.

Alternativa

r =√

y21 + y2

2 e θ = tan−1 y1

Temos1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2 =

e−r2/2rdrdθ

Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r2/2

Alternativa

r =√

y21 + y2

2 e θ = tan−1 y1

Temos1

2πe−(y2

1 +y22 )/2dy1dy2 =

e−r2/2rdrdθ

Para obtermos r fazemos outra mudança de variável: u = r2/2e notamos que u é distribuído exponencialmente

e−r2/2rdr = e−udu ⇒ r =√

2u =√−2 ln(1− x)

Alternativa

Portanto, a partir de dois números aleatórios uniformemente dis-tribuídos no intervalo [0,1), obetmos dois números aleatórioscom distribuição gaussiana

y1 = r sin θ =√−2 ln(1− x1) sin(2πx2)

y2 = r cos θ =√−2 ln(1− x1) cos(2πx2)

Recapitulando

Para obtermos números aleatórios com uma distribuiçãopY (y)

1 Calculamos a distribuição acumulada

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

2 Invertemos a distribuição acumulada encontrandoy = y(x), onde x é uniformemente distribuído

E se não soubermos calcular analiticamente PY (y)?

Ou, simplesmente, se não soubermos inverter PY (y)?

Recapitulando

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

Recapitulando

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

Recapitulando

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

Recapitulando

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

Recapitulando

PY (y) =

−∞pY (y ′)dy ′ = ×

Método com apelo gráfico

Fazendo o gráfico da distribuição de probabilidades pY (y)

pY (y)

A área sob a curva é 1, pois a probabilidade é normalizada

pY (y)

Probabilidade de y assumir valores entre y e y + dy

pY (y)

pY (y)dy

yk distribuído segundo pY (y)

pY (y)

ponto aleatório sob acurva com probabili-dade uniforme

Para encontrarmos pontos distribuídos uniformemente, esco-lhemos uma função de comparação f (y), tal que f (y) ≥pY (y) ∀ y

pY (y)

Escolhemos pontos uniformemente distribuídos sob f (y)

pY (y)

Aceitamos apenas os pontos sob pY (y)

pY (y)

Os quais estão distribuídos segundo pY (y)

pY (y)

Obviamente, o número de pontos rejeitados depende apenasda razão entre as áreas sob pY (y) e f (y)

pY (y)

Resta determinar os pontos distribuídos uniformemente sobf (y)

pY (y)

Na prática

Escolhemos uma função f (y) cuja função acumulada sejainversívelSorteamos um número aleatório y0 distribuído entre 0 e A,onde A é a área sob f (y)

Sorteamos outro número aleatório s distribuído entre 0 ef (y0)

Com isso temos pontos uniformemente distribuídos sobf (y)

Se s < pY (y0), aceitamos y0

Se não, tentamos novamente

Na prática

Amostragem ponderada (importance sampling)

Técnica de redução da variância usada em integração tipoMonte-CarloBaseia-se em dar maior peso às regiões que contribuemmais para a integral

f (×)

A escolha de mais pontos em uma região que em outraprovoca tendências

f (×)

Pesos são usados para corrigir essa tendências

Formalismo

Sendo pY (y) uma função distribuição de probabilidadesnormalizada no intervalo [a,b], temos

af (y)dy =

apY (y)

pY (y)dy

Assim, se x obedece a uma distribuição uniforme, temos

apY (y)

pY (y)dy =

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx

Finalmente, podemos calcular a integral como

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx =

N∑i=1

f (y(xi))

pY (y(xi))

Formalismo

af (y)dy =

apY (y)

pY (y)dy

apY (y)

pY (y)dy =

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx =

N∑i=1

f (y(xi))

pY (y(xi))

Formalismo

af (y)dy =

apY (y)

pY (y)dy

apY (y)

pY (y)dy =

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx

∫ x(b)

f (y(x))

pY (y(x))dx =

N∑i=1

f (y(xi))

pY (y(xi))

Comentários

A amostragem ponderada só é efetiva se pY (y) forpróxima de f (y)

Como pY (y) é uma função distribuição de probabilidades,ela tem que ser estritamente positiva no intervalo [a,b]

A melhor escolha possível (variância mínima) épY (y) = f (y)

Contudo, para aplicar o método, temos que ser capazesde escrever y = y(x)

Comentários

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