metodo de gaus com pivotaÇao 29-05-2012
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Alunos:
• Anderson Cova• Leonardo Bastos• Otávio Sá• Társsio• Victor Pompeu
Salvador-BA
2012
Universidade Federal da BahiaDisciplina: MAT 174 – Cálculo Numérico.
Professora: Claudia Pôssa.
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Método de Gauss
• O Método de Gauss consiste em transforma a matriz A em um sistema triangular superior equivalente A1, através de:
1) Permutação entre duas linhas. 2) Subtração de uma linha por outra multiplicada por
uma constante.
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Método de Gauss
• Considerando o sistema linear abaixo:
• Que pode ser escrito na forma: Ax = B. Onde;
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Método de Gauss
• Tomando como exemplo o sistema linear:
• Escrevendo a matriz aumentada, ou seja, [A] [B], temos:
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Método de Gauss• Escolhendo a11 como pivô, calcula-se os multiplicadores m21 e m31.
• Fazendo as transformações elementares sobre L2 e L3 temos:
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Método de Gauss
• Escolhendo a22 como pivô, calcula-se o multiplicador m32.
• Fazendo as transformações elementares sobre L3
temos:
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Método de Gauss
• Resolvendo o sistema com a matriz triangular superior encontrada temos:
• O valor de X3 é encontrado, em seguida substituímos na equação acima e encontramos X2, com os valores de X3 e X2 encontramos o valor de X1, obtendo a solução do sistema.
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Método de Gauss(técnicas de pivotação)
a) Pivotação Parcial
b) Pivotação Total
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Método de Gauss(Pivotação Parcial)
• É escolhido como pivô o elemento que tiver maior valor absoluto na coluna considerada, e assim é feita a troca (ou não) das linhas.
• A partir dessa técnica consegue-se uma redução nos efeitos de erros de arredondamento.
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Método de Gauss(Pivotação Parcial)
• Tomando como exemplo o sistema linear:
• Para o 1° pivô busca-se o maior elemento, em módulo, da 1ª coluna. Nota-se que ele está na 2ª linha. Assim, deverá ser feita a troca da L1 com a L2, e vice versa.
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Método de Gauss(Pivotação Parcial)
• Após permutar as linhas fazemos a eliminação de Gauss na 1ª coluna:
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Método de Gauss(Pivotação Parcial)
• Pivotação parcial para o 2° pivô (busca-se o valor de maior módulo a partir da 2° linha e da 2° coluna (já que a 1ª coluna já foi anulada):
• Fazendo a eliminação de Gauss temos:
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• Consiste na reordenação das linhas e colunas por forma a escolher em cada passo do método o pivô mais elevado em valor absoluto.
• É um processo que, geralmente, origina uma acumulação de erros de arredondamento menor, porém exige maior esforço computacional e não resulta em ganho significativo na qualidade da solução obtida em relação a Pivotação Parcial.
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• Tomando como exemplo o sistema linear:
• Para o 1° pivô busca-se o maior elemento, em módulo, dentre todos os elementos da matriz.
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• Assim, haverá troca entre L1 e L2 e vice versa, e troca entre os elementos da C1 e C2 e vice versa.
L1 e L2
C1 e C2
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• Com a matriz já pivotada, fazemos a eliminação de Gauss.
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• O segundo pivô também terá que ser permutado ,visto que não é o maior valor em modulo a partir da L2 e C2.
L2 e L3
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Método de Gauss(Pivotação Total)
• Com a matriz pivotada fazemos a eliminação de Gauss para o 2º pivô.
• Assim a solução será:
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Resíduo
Para fazer o refinamento da solução, primeiro temos que calcular o resíduo, por meio da seguinte relação:
r = |Ax – b|
Sendo:
x =A =
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Dessa forma:
Assim a nova solução será:
Resíduo