meta da aula objetivos da aula rachando a conta

e-Tec BrasilAula 7 | Média aritmética simples e ponderada 139

Aula 7 | Média aritmética simples e ponderada

Meta da aula

• Apresentarosconceitoseoscálculosdemédiaaritméticasim-

plesemédiaaritméticaponderada.

Objetivos da aula

Aofinaldestaaula,vocêdeverásercapazde:

1. calcularamédiaaritméticasimplesdeumconjuntodevalores;

2. calcularamédiaaritméticaponderadadeumconjuntodevalores.

Rachando a conta

Pedro,LuíseRenatoresolveramcomemorarapromoçãodoamigoHeitor.

Nasexta-feira,osquatroforamaobarpertodotrabalhoepediramvárias

rodadasdechope.Cadaumdosamigostomou,respectivamente,5,6,4e5

chopes.Aofinaldacomemoração,chegouumacontanovalordeR$60,00,

sendoquecadatulipa(copodechope)custavaR$3,00.

Meo

w’s

Fonte:www.sxc.hu/photo/209243

Gerência em Saúdee-Tec Brasil 140

Nahoradeveroquecadaumdeveriapagar,Heitorsugeriuqueemvezde

calcularemosvaloresseparados,seriamaisfácildividiracontaigualmente

pelosquatro.Assim,cadaumpagouapenasR$15,00.

Masseráquefoijustaessadivisão?Vejaque,secadaumpagasseapenaso

queconsumiu,acontadaria:

• R$15,00paraPedro;

• R$18,00paraLuís;

• R$12,00paraRenato;

• R$15,00paraHeitor.

Vocênãoconcordaquedividirigualmentenãochegouaserruimparanin-

guém?Osvaloresquecadaumpagariaseparadamenteficarambempróxi-

mosdapropostadedivisãodoHeitor,nãoémesmo?

Semsedaremconta,oqueosquatroamigosfizeramfoicalcularumamédia

dosvaloresaserempagos.Assim,ovalorquecadaumpagoufoibempró-

ximoaoquecaberiaacadarapaz.

Ocálculodemédiaséoassuntodestaaula;vamosaelas?

Você sabe o que é média aritmética?

Existemváriostiposdemédiacomo,porexemplo,médiaaritmética,média

geométricaemédiaharmônica.Emnossadisciplina,vocêaprenderáamédia

aritmética,queéamaiscomum.

Amédiaaritméticaéumcálculoquepodeserutilizadoparadiferentesfi-

nalidades.Elanos indicaumvalorquerepresentaumconjuntodedados.

Por exemplo: digamos que amédia demedicamentos vendidos por uma

farmáciaéde50caixaspordia.Issonãoquerdizerquetodososdiassejam

vendidas50caixas.Oqueessevalorquerdizeréqueemcadadiaévendida

umaquantidadepróximaa50caixas,ouseja,numdiapodemservendidas

45caixas;nooutro,55;numterceirodia,49;eassimpordiante!


Figura 7.1: A média é um valor capaz de representar um conjunto de valores diver-sos. Veja como o valor 50 está próximo aos outros valores do conjunto.

Você,futuroprofissionaldaáreadesaúde,irásedeparar,atodomomento,

comdadosresumidosemmédias,eparatantoéimportantequevocêseja

capazdeentenderoqueessedadosignifica,bemcomorealizarseucálculo.

Existemdoistiposdemédiaaritmética(MA):

• asimples;

• aponderada.

Vejamoscadaumaseparadamente.

Média aritmética simplesAmédiaaritméticasimplesestápresenteemnossodiaadia.Écomumver-

mosemjornaiserevistasdadosestatísticoscomo:

• amédiadaexpectativadevidadapopulaçãobrasileira;

• dadossobreaeconomiacomasmédiasdesaláriosdosbrasileiros;

• amédiadegolsdostimesnoCampeonatoBrasileiro.


Outramédiaimportantenasuavidaatualmenteéamédiadassuasnotasno

finaldestecurso,nãoéverdade?

Rawku

5


Ralaen

in


Figura 7.2: Qual a média de gols do seu time do coração? Qual será a média das suas notas ao final do curso de Matemática?

Vocêsabecalcularumamédiaaritméticasimples?Não?Então,vamoscome-

çarporumexemploprático.

Suponhaqueosvigilantesemsaúdedasuacidadeencontraramváriaslatas

deleiteempóvencidasaovisitaremcincocreches.Onúmerodelatasvenci-

dasemcadacrechefoi12,10,14,16e18.

Paraencontrarovalormédioaritméticodoconjuntodelatas,comeceso-

mandotodososvalores:

12+10+14+16+18=70→somadosvalores

Emseguida,dividaototalobtidopelaquantidadedevaloresdoconjuntode

latas,daseguinteforma:

5→quantidadedevalores

70=14

5→médiadosvalores

Portanto,vocêpodedizerquefoiencontradaumamédiade14latasdeleite

vencidasnascrechesinspecionadas.

Podemos,então,definiramédiaaritméticasimplesdaseguinteforma:


Amédiaaritméticasimples(MAS)écalculadadividindo-seasomadosvalo-

res(S)pelaquantidadedevalores(n),onde:

x1+x2+x3+...+ xn 5MAS= MAS=

n n®

Fonte:http://www.sxc.hu/photo/1229548

DavidSique

ira

Vejamaisalgunscasosdeuso

damédiaaritmética!

Exemplo 1:

Osagentescomunitáriosdesaúdedeumadeterminadacidadeforamvisitar

residênciasemtrêsbairrosediagnosticaramqueváriosmoradoresapresen-

tavampressão arterial alta.A distribuição do problema se apresentouda

seguinteforma:

• 10moradoresnoprimeirobairro;

• 8moradoresnosegundobairro;

• 3moradoresnoterceirobairro.

Qualfoiamédiademoradoresporbairrodessacidadecompressãoarterialalta?

Oprimeiropassoéfazerasoma(S)dosvalores:

S=10+8+3→5=21


Depois,dividaasoma(S)pelaquantidadedevalores(n):

5 21MAS= MAS= MAS=7

n 3®

Logo,amédiademoradoresdacidadecompressãoarterialalta,porbairro,é7.

SvilenMilev


Figura 7.3: Mesmo podendo ser diferente dos outros valores de um determinado conjunto, a média é representativa para esse conjunto.

Exemplo 2:

Emumaclínicamédica, foramatendidas5pessoaspesando90kg,60kg,

40kg,45kge100kg,respectivamente.Qualopesomédiodessaspessoas?

1°passo:somadospesos:

S=90kg+60Kg+40kg+45kg+100kg

S=335kg

2°passo:divisãodasomapelaquantidadedepessoas:

S 335MAS= MAS=

n 5MAS=67kg

®

Portanto,opesomédiodaspessoaséiguala67kg.


Exemplo 3:

Paracontrolaroestoquedeseringasdaclínica,Marianaresolveufazerum

levantamentodequantasunidadeseramutilizadasdurantecincodias.Em

cadaumdosdias foramconsumidas3,5,10,4e15 seringas.Calculea

médiaaritméticasimples(MAS)dequantasseringassãoconsumidaspordia

nessaclínica.

1°passo:somadosnúmerosdeseringas(valoresdasseringas):

S=3+5+10+4+15→S=37

2°passo:divisãodasomapelaquantidadededias:

S 37MAS= MAS= MAS=7,4

n 5® ®

Esquentando a média

jaylop

ez’s


Cadavezmaisoassuntoaquecimentoglobalétratadonamídia

comoumproblemaqueassolaoplanetaTerra.Umdosprincipais

problemasassociadosaessetemaéoaumentodastemperaturas

terrestres. Emdezembro, aOrganizaçãoMeteorológicaMundial

(OMM) informouque 2010 pode ser o anomais quente desde

1850(anodeiníciodosregistrosclimáticosmundiais).Segundoa

Organização,dejaneiroaoutubrode2010atemperaturamédia

doaredasuperfícieterrestreesteve0,55grausCelsiusacimada

médiadoperíodoentre1961a1990 (14ºC). Esseaquecimento

afetaomeioambientecomoumtodo.Osmaioresaumentosde


temperaturaterrestreforamregistradosnoCanadá,naGroenlân-

dia,nortedaÁfricaenosuldaÁsia,comvaloresanuais3ºCacima

donormal.AFinlândia,porexemplo,anunciouqueumaemdez

dassuasespéciesanimaisouvegetaisestãoemriscodeextinção

devidoàsalteraçõesclimáticas.

Esseéumexemplodecomooconhecimentodoconceitodemé-

diapodenosajudaraentenderinformaçõesemnotícias.

JulienTrom

eur

Ás vezes, alguns dos valores de um determi-nado conjunto de números têm mais importância que outros. Nesses casos, o cálculo da média aritmética será diferente. Mas antes de entrarmos nesse assunto, que tal praticar o que você já viu até aqui?


Atividade 1

Atende ao Objetivo 1

a) Umadentistadistribuiescovasdedentesparaváriascriançasemescolas

públicas.Assim,foramfornecidasemcadaescola5,4,3,7e6escovas

dedentes.Determineamédiaaritméticasimplesdasescovasdedentes

distribuídasporescola.


b) Existeumpadrãoquedefineaquantidadedelitrosdeáguaaseremcon-

sumidosporumapessoadiariamente.Essesvaloressãopreestabelecidos

paraváriospontoscomerciais,comodescritosaseguir:

escritório:30litrosporpessoa;

restaurante:25litrosporpessoa;

hotel:120litrosporpessoa;

lavanderia(roupaseca):30litrosporpessoa;

hospital:250litrosporpessoa;

cinema/teatro:8litrosporpessoa;

edifíciocomercial:50litrosporpessoa;

alojamentoprovisório:90litrosporpessoa.

Qualéamédiasimplesdototaldelitrosdiáriosqueessespontoscomerciais

consomem?

c) Foirealizadaumacampanhadeconscientizaçãosobreareciclagemde

celularesparagarantirousosustentávelderecursosnaturaiseparare-

duzirapoluição.Asquantidadesdecelularesvelhosrecolhidosemvários

pontosdacidadeforam20,18,12,17,14,30e15.Calculeamédia

aritméticasimplesdecelularesrecolhidos.


d) Umconjuntodenúmerosécompostode6,7,8,9ex.Amédiadesse

conjuntoéiguala8.Qualéovalordex?

Vamos ponderar sobre outra média?Quantasvezesvocêjáfoiaconselhadoapesarosfatosantesdetomaruma

decisão importante? Provavelmente, você já deve ter ouvido essamesma

frase,mascomoutroverbo:ponderar.

Pondereosfatos!

Ponderar, portanto, significapesar, apreciar, considerar. Logo,umamédia

aritméticaponderadaéaquelaquevai levaremconsideraçãoopesoque

cadavalorvaiterparaoseucálculo.

Ann

-KathrinReh

se


Ann

-KathrinReh

se


Ann

-KathrinReh

se


Alessan

droPaiva


Micha

lZacha

rzew

ski


Micha

lZacha

rzew

ski


Figura 7.4: Ao escolher um carro, as pessoas levam em consideração diversos aspec-tos. Algumas acham que a beleza é mais importante, outras acham que é o espaço interior e outras o preço. Assim, na hora de escolher, damos pesos diferentes a cada um desses itens.


Achoucomplicadaaexplicação?Voumostraravocêumexemplo:

NaescoladeZeca,anotadoquartobimestretempesomaiorqueado

terceiro, e assimpor diante, refletindoo grau de importância que cada

bimestretemnoconteúdoqueeleaprende.Essafoiumaestratégiaque

osprofessoresusaramparafazercomqueosalunosestudemmaisacada

novobimestre.

NocasodaescoladeZeca,amédiafinaldoanoletivodecadamatériaé

calculadadaseguinteforma:

• anotadoprimeirobimestre(B1)tempeso1eporissoémultiplicadapor1;

• anotadosegundobimestre(B2)tempeso2epor issoémultiplicada

por2;

• anotadoterceirobimestre(B3)tempeso3eporissoémultiplicadapor3;

• anotadoquartobimestre(B4)tempeso4eporissoémultiplicadapor4;

• somam-seessesvalorese

• divide-setudopor10(queéototaldasomadospesos).

B1×1+B2×2+B3×3+B4×4=MédiaFinal

10

Oresultadoéumamédiaaritméticaponderada,emquecadavalortemseu

pesodistinto,interferindonovalorfinal.

Vocêpodeobservarentãoque,paraocálculodamédiaaritméticaponde-

rada,devemos:


Vejaoutroexemploaseguir:

UmalunofeztrêsprovasdeMatemáticaetirouasseguintesnotas:5,7e8.

Porém,asprovastinhampesosdiferentes:2,1e2,respectivamente.Assim,

qualéamédiaaritméticaponderada(MAP)dasnotasdessealuno?

5×2+7×1+8×2 10+7+16MAP= =

2+1+2 5

33MAP= = 6,6

5

Amédiaaritméticaponderadadasnotasé6,6.

Sigu

rdDecroos


É importante vocêperceber que amédia aritméticaponderada sóocorre

quandoumdospesosédiferentedosdemais,pois,setodosospesosforem

iguais,vocêvaiterumamédiaaritméticasimples.


Vamosconferir?

Suponhaquevocêtemtrêsnotasdeprovas:7,6e8.Todasastrêstêmpeso2.

Logo,ocálculodamédiaponderadaserá:

7×2+6×2+8×2 14 +12+16 42= = =7

6 6 6

Massevocêpegaressesmesmosnúmerosefizeramédiasimples:

7+6+8 21= =7

3 3

Viucomoosresultadossãoosmesmos?Portanto,paraqueocorraamé-

diaaritméticaponderada,pelomenosumdosvaloresdeveapresentarum

pesodiferente.

Vocêjáfezalgumconcursopúblico?Nessetipodeprova,amédiaponde-

rada tambémémuitoutilizada. É comumnosdepararmos,porexemplo,

comumaprovadePortuguêscujopesoé4eumadeConhecimentosGerais

compeso2.Nessecaso,opesodecadanotavariadeacordocomaáreade

conhecimentoqueémaisimportanteparaoperfildocargo.

SenessaprovadeconcursoJoanatirou12pontosnotestedePortuguêse

10pontosnodeConhecimentosGerais,parasabersuamédiaponderada

faremososeguintecálculo:

12×4+10×2 68Médiaponderada= =

4+2 6

Médiaponderada=11,33

Logo,anotafinaldeJoanafoi11,33.Masseformoscalcularsuanotapor

médiaaritméticasimples:

12+10 22Média= = =11

2 2

Vejaqueasnotassãodiferentes.Issomostracomosãodiferentesasmédias

calculadasdeformasimplesedeformaponderada.



Clin

tonCardo

zo

Figura 7.5: Em provas de concursos públicos, muitas vezes as matérias apresentam pesos diferentes, interferindo no resultado final.

Agorapratiqueumpoucooconceitodemédiaponderada!

Atividade 2

Atende ao Objetivo 2

a) Naprovaparaumcargonaenfermariadohospital,umacanditadafez

6pontosnaprovadeconhecimentosespecíficos,4pontosemconheci-

mentosgeraise5pontosemPortuguês.Determineamédiaponderada

dasnotasdessacandidatasabendoqueosrespectivospesossão5,3e2.

b) Sabendoqueumalunoobteveasnotas8,9,6e8equeessasnotastêm,

respectivamente,ospesos2,2,3e3,calculeasuamédia.


c) A idademédiadosmeninosatendidosemumaclínicapediátrica foi6

anosedasmeninas,8.Onúmerodemeninosera25eodemeninas,30.

Então,qualaidademédiadascriançasatendidas?

d) Nafarmáciadeumhospitaluniversitáriofoifeitaumainspeçãonolote

dedeterminadoremédioemcomprimidos.Foramencontradas:

• 2embalagenscom6comprimidos;



• 3embalagenscom8comprimidos.

Qualfoiamédiadecomprimidosporembalagem?

e) AsnotasdeumalunoemMatemáticaFinanceiradocursodeTécnicoem

GerênciaemSaúdeforam8,9,6,8,esuamédiaponderadaiguala7,75.

Essealunolembrasomenteopesodastrêsprimeirasnotasquefoi:1,2

e2,masaquartaeleesqueceu.Qualéovalordoquartopeso?


Conclusão

Comovocêpôdeobservar,amédiaaritméticasimpleséusadaquandoque-

remosconhecerumvalorquerepresentaumconjuntodevalores.Jáamé-

diaaritméticaponderadaéusadaquandocadavalortemumaimportância

diferentenocálculodoresultado.Vocêdeveterpercebido,pelosexemplos

dados,queessessãocálculosquerealizamoscommuitafrequência,nãoé

mesmo?E,deagoraemdiante,vocênãoterámaisdúvidasarespeito.

Resumo

Vocêviunestaaulaque:

• umamédiaaritméticasimpleséasomadeumconjuntodevaloresdivi-

didopelaquantidadedevalores;

• namédiaaritméticaponderada,cadavalorapresentaumpesodiferente,

quedeveserlevadoemcontanahoradocálculodamédia;

• paracálculodamédiaaritméticaponderada,multipliquecadavalorpelo

seurespectivopeso.Someosprodutosencontradosedividaototalpela

somadospesos.

Respostas das atividades

Atividade 1

a)5+4+3+7+6 25

= =55 5

b) 75,375

c) 18

d)6+7+8+9+x

=8x=105


Atividade 2

a)6×5+4×3+5×2 30+12+10

= =5,25+3+2 10

b) 7,6

c) 7,09

d) 6,46

e)8 1+9 2+6 2+8 × 8+18+12+8× 38+8×

= = =7,751+2+2+× 5+x 5+x

38+8x=38,75+7,75x 0,25x=0,75 x=3

× × × ×

® ®

Referências bibliográficas

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, 1999.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento fundamental. 6. ed. São Paulo: Ática, 2000.

SMITS, Alphonsus A. J. A.; FERREIRA, Giselda de Aguiar; SMITS, Maria de Lourdes Azevedo. Matemática orientada: 1º grau. Belo Horizonte: Vigília, 1977.

VELLO, V.; SILVA, A. Matemática: 5ª – 8ª. São Paulo: Ática, 1981. 4v.

ZAMBUZZI, Orlando A. Matemática com estudo dirigido: 7ª série, 1º grau. 2. ed. São Paulo: Ática, 1974.

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