Mestrado Integrado em Engª Mecânica e Licenciatura em Engª Naval

Área Científica de Controlo, Automação e Informática Industrial

Semestre de Inverno 2016/2017

1º Teste, 14 de novembro de 2016, 18h, Duração: 90 mn

• Identifique todas as folhas de exame com número e nome. Faça-o já. • Resolva as 4 questões em folhas separadas. • Leia cuidadosamente todo o teste antes de o começar a resolver. • Justifique detalhadamente todas as respostas. • Pode consultar 1 folha (duas páginas) de elementos escritos. • Não é permitido o uso de computadores nem meios de telecomunicações. • Considere que #D e #U correspondem, respetivamente, aos algarismos das dezenas e das unidades do seu número de aluno.

Se #U ou #D forem ‘0’ substitua-o pelo algarismo das centenas, ou dos milhares e assim sucessivamente até encontrar um algarismo diferente de zero.

Grupo I I. a) Considere o seguinte sistema e discuta a sua estabilidade.

𝐺(𝑠) =1

𝑠5 + 7𝑠4 + 21𝑠3 + 33𝑠2 + 28𝑠 + 10

R: O procedimento normal seria fatorizar a equação característica denominador, partindo daí para a decomposição em frações para que, através da Transformada de Laplace inversa, se chegasse à resposta impulsiva. Se a resposta impulsiva tender para zero, o sistema é absolutamente estável. Acresce que um sistema é absolutamente estável se todos os polos do sistema estiverem no semiplano complexo esquerdo (SPCE). No entanto, a equação característica do denominador é do 5º grau. Não sendo conhecida forma resolvente para equações do 5º grau, resta o Critério de Estabilidade de Routh, que embora não permita a determinação das raízes permite saber se o sistema é absolutamente estável.

1. Se algum dos coeficientes da equação característica é nulo ou negativo, na presença de pelo menos um coeficiente positivo, então existe uma raiz ou raízes que são imaginárias, ou que têm parte real positiva. Neste caso, pode-se concluir que o sistema não é estável (instável). No caso presente, tal não se aplica uma vez que os coeficientes da equação característica (1, 7, 21, 33, 28 e 10) são todos positivos.

2. Para um sistema ser estável é condição necessária, mas não suficiente, que todos os coeficientes da equação característica tenham o mesmo sinal. Para concluir da estabilidade neste caso, é necessário uma análise adicional. No caso presente, todos os coeficientes têm o mesmo sinal mas tal não é ainda suficiente pata demonstrar a estabilidade do sistema.

3. No caso de todos os coeficientes da equação característica terem o mesmo sinal, para se concluir sobre a estabilidade, é necessário construir a Tabela de Routh. Se todos os coeficientes da primeira coluna da Tabela de Routh tiverem o mesmo sinal, então o sistema é estável.

Tabela de Routh: 𝑠5 1 21 28𝑠4 7 33 10

𝑠37 × 21 − 1 × 33

7= 16,29

7 × 28 − 1 × 10

7= 26.57

𝑠216,29 × 33 − 7 × 26,57

16,29= 21,58

16,29 × 10 − 7 × 0

16,29= 10

𝑠121,58 × 26,57 − 16,29 × 10

21,58= 19,02

𝑠019.02 × 10 − 21,58 × 0

19,02= 10

A tabela de Rough ficou da seguinte forma:

𝑠5 1 21 28𝑠4 7 33 10𝑠3 16,29 26.57

𝑠2 21,58 10

𝑠1 19,02

𝑠0 10

No caso presente, todos os coeficientes da primeira coluna da Tabela de Routh ficaram com o mesmo sinal (positivo) e, dado que para além disso todos os coeficientes da equação característica têm o mesmo sinal, podemos concluir que o sistema é absolutamente estável. Note-se que a prova de estabilidade absoluta foi atingida mesmo sem se saberem quais as raízes da equação característica, daí a vantagem do Critério de Estabilidade de Routh.

b) O conjunto das raízes da equação característica do denominador deste sistema é s={-1, -2+i, -2-i, -1+i, -1-i}. Se dispusesse desta informação a priori, o que poderia dizer sobre a estabilidade do sistema? R: Caso dispusesse dessa informação, ao verificar que todas as raízes da equação característica do denominador (polos) têm parte real negativa (i.e. estão no semi-plano complexo esquerdo – SPCE) teria imediatamente concluído que o sistema á absolutamente estável.

Grupo II Nota: inicie nova folha de resolução uma vez que se trata de um grupo novo. Confirme que a nova folha fica identificada com o seu número, primeiro e último nome.

Simplifique este sistema de modo a ficar com a entrada N(s) e a saída Y(s) considerando nula a entrada X(s).

R: Tomando como exemplo #U=2, #D=0.

Temos dois sistemas em série e uma realimentação (feedback).

𝑌(𝑠)

𝑁(𝑠)=

1𝑠

1 −1𝑠

(−1)3

𝑠 + 1

=𝑠 + 1

𝑠2 + 𝑠 + 3

Grupo III Nota: inicie nova folha de resolução uma vez que se trata de um grupo novo. Confirme que a nova folha fica identificada com o seu número, primeiro e último nome. A figura seguinte mostra uma mini-turbina eólica de eixo vertical para produção de energia em ambiente urbano.

Fonte: Batista, N. C., Rui Melício, Víctor Manuel Fernandes Mendes, M. Calderón, and A. Ramiro. "On a self-start Darrieus wind turbine: Blade design and field tests." Renewable and Sustainable Energy Reviews 52 (2015): 508-522.

a) Considere que a mini-turbina eólica tem um momento de inércia I, que o vento lhe aplica um binário 𝜏 resultando uma velocidade angular 𝑤. O atrito aerodinâmico é considerado proporcional à velocidade angular com coeficiente b. Para o sistema em causa, identifique as variáveis de fluxo e potencial.

R: Trata-se de um sistema mecânico de rotação, onde a variável de fluxo é o binário 𝜏 e a variável de potencial é a velocidade angular 𝜔 (conforme tabela de modelação fluxo-potencial para vários tipos de sistemas)

b) Modele a dinâmica da turbina, onde entre a velocidade angular 𝜔 e a sua derivada 𝑑𝜔

𝑑𝑡.

R:

𝐼𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝜏(𝑡) − 𝑏𝜔(𝑡)

c) Obtenha a função de transferência do sistema acima, considerando condições iniciais

nulas, 𝐼 = #𝑈 × 0.05 𝐾. 𝑚2 𝑒 𝑏 = #𝐷 × 0.1𝑁. 𝑚. 𝑠−1.

R: Aplicando a transformada de Laplace ao modelo, ficamos com:

𝐼𝑠Ω(𝑠) = Τ(s) − 𝑏Ω(𝑠) Ω(𝑠)

Τ(s)=

1

𝑏 + 𝐼𝑠

Exemplo: #U = 9, #D=3

Ω(𝑠)

Τ(s)=

1

0,45𝑠 + 0,3

d) Calcule a resposta do sistema quando à entrada é aplicado um degrau unitário

R: Exemplo: #U = 9, #D=3

R(s) = T(s)Ω(𝑠) = (1

𝑠) (

1

0.45𝑠 + 0,3)

R(s) = 3,333 (1

𝑠) + (

−3.333

𝑠 + .667)

r(t) = 3,333(1−𝑒−0,667𝑡)

e) Esboce a resposta no tempo deste sistema, quando à entrada é aplicado um degrau unitário. Considere 𝐼 = #𝑈 ×

0.05 𝐾. 𝑚2, 𝑏 = #𝐷 × 0.1 1𝑁. 𝑚. 𝑠−1, calculando e assinalando no gráfico os seguintes pontos notáveis: o valor final, a derivada na origem, o valor do tempo de crescimento que leva a resposta a ir de 10% a 90%, o valor do tempo de estabelecimento que leva ao sistema atingir e ficar dentro de uma banda de 2% e o tempo ao fim do qual o sinal atingiu 63% do seu valor final.

R:

Exemplo: #U = 9, #D=3

r(t) = 3,333(1−𝑒−0,667𝑡)

Valor final: tinf r(t)3.333 Nota: tb se podia fazer pelo teorema do valor final Derivada na origem: 𝑑𝑟

𝑑𝑡|

𝑡=0= 3.333 × 0,6667 = 2.222

Tempo de crescimento que leva a resposta a ir de 10% a 90% Tr=2,2/a=3,3s (cf diapositivo 4 da aula teórica 10 SSM_T10_Análise_Tempo_Resposta) Tempo de estabelecimento que leva ao sistema atingir e ficar dentro de uma banda de 2% Ts=4/a=6s Tempo ao fim do qual o sinal atingiu 63% do seu valor final. 1/a=1,5s

Grupo IV Nota: inicie nova folha de resolução uma vez que se trata de um grupo novo. Confirme que a nova folha fica identificada com o seu número, primeiro e último nome. Considere que a mini-turbina eólica está agora ligada em série a um gerador G, que produduz uma energia E, que simplificadamente é modelado por G(s). Para a turbina e gerador assuma respetivamente, as funções de transferência Z(s) e G(s) indicadas.

a) Esboce a resposta em frequência (assintótica) do sistema E(s)/T(s):

𝐺(𝑠) =1

𝑠 + 0,02

Z(𝑠) =#U

𝑠 + 2

R: Exemplo: #U = 2

E(s)

T(s)= Z(s)G(s) = (

2

s + 2) (

1

s + 0,02)

Frequências angulares de corte wc1= 0.02 rad/s e wc2 =2 rad/s. s=jw=0 => E(s)/T(s)=1/0,002=33.97 dB.

Z(s) G(s) T(s) E(s)

b) Abaixo encontram-se três diagramas de Bode e três respostas ao degrau unitário de três sistemas de 2ª ordem.

Estabeleça a equivalência entre os digramas de Bode e as respostas no tempo correspondentes.

R: A resposta ao degrau A está relacionada com o Diagrama de Bode 1 porque:

1. Nota-se pela resposta no tempo um sobreimpulso que resulta de um fator de amortecimento inferior a 1. Analogamente no Diagrama de Bode 1 nota-se uma sobreelevação na amplitude carateristica de um fator de amortecimento inferior a 0,707.

2. A resposta ao degrau tende para 0,1 enquanto o diagrama de Bode 1 se inicia com amplitude igual a -20dB com fase 0. Com efeito, a fase de 0.1 é nula e 20log10(0.1)=-20db.

A resposta ao degrau B está relacionada com o Diagrama de Bode 2 porque: 1. A resposta ao degrau B tende para 100 enquanto o diagrama de Bode 1 se inicia com amplitude igual a +40dB com

fase 0. Com efeito, a fase de 100 é nula e 20log10(100)=+40dB. 2. A frequência de corte mais baixa do Diagrama de Bode 2 é de cerca de 0.01 rad/s, o inverso corresponde a 100s que é

aproxidamente o tempo que a resposta ao degrau B leva a atingir 63% do valor final.

A resposta ao degrau C está relacionada com o Diagrama de Bode 3 porque: 1. A resposta ao degrau C tende para 1 enquanto o diagrama de Bode 1 se inicia com amplitude igual a 0dB com fase 0.

Com efeito, a fase de 1 é nula e 20log10(1)=0dB.

Note-se ainda que comparando as respostas B e C e os diagramas de Bode 2 e 3 se verifica que a equivalência deva ser B2 e C3 uma vez que B é uma resposta muito mais lenta que C pelo que deve corresponder ao Diagrama com frequêncais de corte mais baixas.

Tabela de modelacao fluxo-potencial para vários tipos de sistemas

Tabela de Transformadas de Laplace