mestrado em usinagem 2

UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

RAPHAEL GALDINO DOS SANTOS

Desenvolvimento de um mtodo para comparar os limites de

estabilidade dinmica em mquinas-ferramentas utilizando o

diagrama de lbulos

So Carlos

2011

RAPHAEL GALDINO DOS SANTOS

Desenvolvimento de um mtodo para comparar os limites de

estabilidade dinmica em mquinas-ferramentas utilizando o

diagrama de lbulos

Verso Original

Dissertao apresentada Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Produo. rea de concentrao: Processos de Manufatura Avanada ORIENTADOR: Prof. Dr. Reginaldo Teixeira Coelho

So Carlos

2011

AUTORIZO A REPRODUO E DIVULGAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

Ficha catalogrfica preparada pela Seo de Tratamento da Informao do Servio de Biblioteca EESC/USP

Santos, Raphael Galdino dos. S237d Desenvolvimento de um mtodo para comparar os limites

de estabilidade dinmica em mquinas-ferramentas utilizando o diagrama de lbulos / Raphael Galdino dos Santos; orientador Reginaldo Teixeira Coelho. So Carlos, 2011.

Dissertao (Mestrado-Programa de Ps-Graduao em Engenharia de Produo e rea de Concentrao em Processos de Manufatura Avanada) - Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, 2011.

1. Vibrao. 2. Mquinas-ferramentas. 3. Fresamento. I. Ttulo.

i

D E D I C A T R I A

Deus pela vida e oportunidades oferecidas.

minha amada Joyce pelo amor, incentivo e apoio.

Aos meus pais e irmos pelos valores e amor incondicional.

ii

A G R A D E C I M E N T O S

Ao Professor Reginaldo Teixeira Coelho pela orientao e incentivo para a

concluso deste trabalho.

Aos amigos do Laboratrio de Mquinas-Ferramentas das Indstrias Romi pela

constante ajuda no desenvolvimento dos ensaios.

s Indstrias Romi S.A. pela disponibilidade de equipamentos e mquinas para a realizao dos ensaios.

empresa Sandvik Coromant pelas ferramentas de corte cedidas para a execuo dos ensaios.

A todos os amigos que de alguma forma contriburam para a realizao deste

trabalho.

iii

R E S U M O

SANTOS, R.G. (2011). Desenvolvimento de um mtodo para comparar os limites de estabilidade dinmica em mquinas-ferramentas utilizando o diagrama de lbulos.

Dissertao (mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2011.

De uma forma geral, conhecer os limites de estabilidade dinmica de uma mquina-

ferramenta durante a usinagem, um desafio para o fabricante de mquinas-

ferramentas, bem como, para o usurio, que precisa escolher uma mquina que

garanta a produtividade desejada. Neste trabalho, um modelo terico foi utilizado para o desenvolvimento de um mtodo de comparao dos limites de estabilidade

dinmica entre mquinas-ferramentas. Duas ferramentas de corte com seus

respectivos sistemas de fixao foram selecionados, uma apropriada s operaes

de desbaste e outra s operaes de acabamento. Utilizando as constantes de corte

relacionadas ao material selecionado e a geometria das ferramentas, obteve-se

experimentalmente o diagrama de estabilidade para trs mquinas sob teste, e

utilizando-os, comparou-se os limites de estabilidade para cada mquina, o que

ilustra a utilizao do mtodo em desenvolvimento. A validao e a preciso dos

diagramas foram realizadas por meio de ensaios de usinagem em uma das

mquinas sob investigao. Os primeiros resultados demonstram as diferenas

entre mquinas-ferramentas usando-se como critrio a sua estabilidade dinmica

avaliada pelo diagrama de lbulos. Os critrios e conceitos aqui discutidos

contriburam para o conhecimento do desempenho e produtividade das mquinas-

ferramentas.

Palavras chave: Mquinas-ferramentas. Vibraes. Fresamento.

iv

A B S T R A C T

SANTOS, R.G. (2011). Development of a method to compare machine tools dynamic stability limits applying stability lobes diagram. Master of Science Thesis - Escola de

Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos, 2011.

Knowing the dynamic stability of a machine tool during the metal cutting process is a

challenge to the machine tool builder as well as to the end user, especially when

choosing or selecting a machine that achieves the desired productivity and

performance. This document proposes and describes a theoretical model to

determine a method to compare the dynamic stability limits among several machine

tools. Two different tool systems were previously selected and addressed, one of

them for roughing and another for finishing operations. Using metal cutting constants

related to the selected materials and tool geometry, the stability diagram was

obtained experimentally for all the three different machine tools and they were used

to compare the dynamic stability limits amongst machines illustrating the application

of the developed method. The validation of the proposed method was achieved by

machining tests executed in one of the machines under investigation. The first

results, based on the practical experiments, show the differences amongst machine

tools using as criterion the dynamic stability evaluated by the stability lobe diagram.

Such concept has contributed to enhance the knowledge on the machine tool

productivity and performance.

Keywords: Machine tools. Chatter. Milling.

v

L I S T A D E F I G U R A S

Figura 1.1 Seqncia de realizao do estudo. ..................................................... 20

Figura 2.1 Geometria do Corte Ortogonal (adaptado de ALTINTAS, 2000). .......... 23

Figura 2.2 Mecanismo de Formao do Cavaco no Corte Ortogonal (adaptado de COELHO, 2009). ....................................................................................................... 24

Figura 2.3 Foras de Usinagem no Corte Ortogonal (adaptado de COELHO, 2009). .................................................................................................................................. 25

Figura 2.4 Crculo de Merchant (adaptado de COELHO, 2009). ............................ 26

Figura 2.5 Geometria do Corte Oblquo (adaptado de ALTINTAS, 2000). ............. 28

Figura 2.6 Exemplos de operaes de fresamento (adaptado de SANDVIK, 2010). .................................................................................................................................. 32

Figura 2.7 Fresamento tangencial Concordante e Discordante. ............................ 33

Figura 2.8 Geometria da ferramenta de fresamento. ............................................. 33

Figura 2.9 Diagrama de foras e ngulo de variao da ferramenta (adaptado de ALTINTAS,2000). ...................................................................................................... 35

Figura 2.10 Discretizao de um sistema de um grau de liberdade (1GL). ............ 37

Figura 2.11- Parte real da funo receptncia contra freqncia para um sistema

com m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6 Ns/m (adaptado de MAIA, 1997). .......................... 45

Figura 2.12- Parte imaginria da funo receptncia contra freqncia para um

sistema com m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997). ............. 45

Figura 2.13- Magnitude da funo receptncia contra freqncia para um sistema

com m=1Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997). ............................ 46

vi

Figura 2.14- Fase da funo receptncia contra freqncia para um sistema com

m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997). .................................. 46

Figura 2.15- Configurao para medio de FRFs em Mquinas-Ferramenta. ....... 48

Figura 2.16- Fenmeno de chatter no corte ortogonal (adaptado de ALTINTAS, 2000). ........................................................................................................................ 53

Figura 2.17- Modelo Dinmico da Fresa com dois graus de liberdade (adaptado de ALTINTAS, 2000). ..................................................................................................... 57

Figura 2.18- Exemplo de diagrama de lbulos de estabilidade dinmica. ................. 68

Figura 2.19- Magnitude da FRF do modelo terico do sistema. ................................ 69

Figura 2.20- Diagrama de Lbulos do modelo terico do sistema. ........................... 70

Figura 2.21- Magnitude da FRF do modelo terico do sistema com acrscimo de

10% de massa. .......................................................................................................... 70

Figura 2.22- Diagrama de Lbulos do modelo terico do sistema com acrscimo de

10% de massa. .......................................................................................................... 71


10% de amortecimento. ............................................................................................ 72


10% no amortecimento. ............................................................................................ 72


10% de rigidez. .......................................................................................................... 73


10% na rigidez. .......................................................................................................... 74

vii

Figura 2.27- Profundidade Crtica de Corte e Profundidade Limite. .......................... 76

Figura 3.1 Posicionamento do dinammetro para o ensaio de obteno das Foras

de Usinagem. ............................................................................................................ 77

Figura 3.2 Ferramentas de corte utilizadas nos ensaios. ....................................... 78

Figura 3.3 Configurao do Banco de Ensaios Utilizado. ...................................... 79

Figura 3.4 Mquinas utilizadas no ensaio [ROMI web site. 2010]. ......................... 80

Figura 3.5 Configurao dos ensaios de usinagem. .............................................. 83

Figura 3.6 Configurao da medio de rugosidade. ............................................. 83

Figura 3.7 Microscpio utilizado para obter as fotografias. .................................... 84

Figura 4.1 FRF para o eixo X com variao da fora de tensionamento. ............... 87

Figura 4.2 FRF para o eixo Y com variao da fora de tensionamento. ............... 88

Figura 4.3 Diagrama de lbulos de estabilidade com variao da fora de

tensionamento. .......................................................................................................... 89

Figura 4.4 FRF no eixo X com spindle livre e orientado. ........................................ 90

Figura 4.5 FRF no eixo Y com spindle livre e orientado. ........................................ 90

Figura 4.6 Diagrama de lbulos de estabilidade com Eixo rvore livre e orientado para fresa de seis arestas. ........................................................................................ 91

Figura 4.7 Usinagem com 1919 RPM e 0,4 mm de profundidade de corte com

fresa de seis arestas. ................................................................................................ 92



viii



Figura 4.10 Usinagem com 1919 RPM e 1 mm de profundidade de corte com fresa

de seis arestas. ......................................................................................................... 94


de seis arestas. ......................................................................................................... 95




de seis arestas. ......................................................................................................... 96








de seis arestas. ......................................................................................................... 99


de seis arestas. ......................................................................................................... 99


de seis arestas. ....................................................................................................... 100

Figura 4.22 Diagrama de lbulos de estabilidade para fresa de duas arestas. .... 102

ix

Figura 4.23 FRFs nas direes dos eixos X e Y para ferramenta de duas arestas

de corte. .................................................................................................................. 103


fresa de duas arestas. ............................................................................................. 104






de duas arestas. ...................................................................................................... 106






de duas arestas. ...................................................................................................... 108







x




de duas arestas. ...................................................................................................... 111




de duas arestas. ...................................................................................................... 112




de duas arestas. ...................................................................................................... 114

Figura 4.40 Diagrama de Lbulos com resultados dos ensaios de usinagem para a

ferramenta de duas arestas de corte. ...................................................................... 115

Figura 4.41 FRF comparativa entre mquinas na direo do eixo X para a

ferramenta de seis arestas de corte. ....................................................................... 116

Figura 4.42 FRF comparativa entre mquinas na direo do eixo Y para a

ferramenta de seis arestas de corte. ....................................................................... 117

Figura 4.43 Diagrama de Lbulos comparativo entre mquinas para a ferramenta

de seis arestas de corte. ......................................................................................... 118

Figura 4.44 FRF comparativa entre mquinas na direo do eixo X para a


xi

Figura 4.45 FRF comparativa entre mquinas na direo do eixo Y para a


Figura 4.46 Diagrama de Lbulos comparativo entre mquinas para a ferramenta

de duas arestas de corte. ........................................................................................ 121

xii

L I S T A D E S M B O L O S

alim: profundidade de corte mxima sem vibraes. ap: Profundidade de corte. b: Largura de corte. c: Coeficiente de amortecimento. Cc: Coeficiente de amortecimento crtico. Fa: Fora axial. Fc: Fora de corte. Ff: Fora de avano. Fn: Fora de compresso. Fnz: Projeo da fora principal de corte sobre o plano de cisalhamento na sua direo normal. Fr: Fora radial ou normal. Ft: Fora de atrito. Fu: Fora de usinagem. fz: Velocidade de avano por dente. Fz: Projeo da fora principal de corte sobre o plano de cisalhamento na sua direo tangencial. h': Espessura do cavaco. h: Espessura de corte. i: ngulo de inclinao. k: Constante de rigidez. Kae: Constante da fora axial na ferramenta. Kcc: Constante da fora de corte. Kce: Constante da fora de corte na ferramenta. Kfc: Constante da fora de avano. Krc: Constante da fora normal. Kre: Constante da fora normal na ferramenta. m: Constante de massa. rc: Razo de compresso do cavaco. Rc: Grau de recalque do material. Sz: rea do plano de cisalhamento.

xiii

T: Perodo de passagem dos dentes. vc: Velocidade de corte. Vcav: Velocidade de sada do cavaco. vf: Velocidade de Avano. n: ngulo de sada normal. r: ngulo de sada da ferramenta. a: ngulo de atrito. n: ngulo de atrito oblquo. : ngulo de escoamento. a: Coeficiente de atrito entre cavaco e ferramenta. : relao de amortecimento. z: Tenso de cisalhamento. : ngulo de cisalhamento e ngulo instantneo de imerso da ferramenta. e: ngulo de entrada da ferramenta. n: ngulo de cisalhamento normal. s: ngulo de sada da ferramenta. n: Freqncia natural no amortecida.

xiv

S U M R I O

1 INTRODUO ................................................................................................... 17

1.1 Objetivos ..................................................................................................... 19

1.2 Estrutura do Trabalho ................................................................................. 21

2 REVISO BIBLIOGRFICA ............................................................................... 22

2.1 Corte Ortogonal .......................................................................................... 22

2.2 Corte Oblquo .............................................................................................. 27

2.3 Mecnica do Processo de Fresamento ....................................................... 30

2.4 Vibraes em Usinagem ............................................................................. 35

2.4.1 Vibraes Mecnicas ............................................................................. 36

2.4.1.1 Fundamentos de Vibraes Livres .................................................. 37

2.4.1.2 Fundamentos de Vibraes Foradas ............................................ 40

2.4.2 Funo Resposta em Freqncia (FRF) ............................................... 42

2.4.2.1 Formas de representao e propriedades da Funo Resposta em

Freqncia (FRF) ........................................................................................... 44

2.4.2.2 Identificao experimental da Funo Resposta em Frequencia

(FRF) 47

2.4.3 Vibraes Regenerativas ou Chatter no Processo de Usinagem .......... 51

2.4.4 O Fenmeno Chatter no Processo de Fresamento ............................... 56

2.4.4.1 Modelo dinmico do fresamento ..................................................... 57

2.4.4.2 Lbulos de estabilidade dinmica ................................................... 61

xv

2.4.5 Interpretao dos Lbulos de Estabilidade Dinmica ............................ 67

2.4.6 Mtodo proposto para a comparao do desempenho dinmico de

mquinas-ferramentas ....................................................................................... 75

3 TRABALHO EXPERIMENTAL ........................................................................... 77

3.1 Determinao das constantes de presso especfica de corte ................... 77

3.2 Determinao da Funo Resposta em Freqncia (FRF) ......................... 78

3.3 Clculos do diagrama de lbulos ................................................................ 79

3.4 Verificao dos efeitos da correia e orientao do eixo-rvore no diagrama

de lbulos .............................................................................................................. 80

3.4.1 Ensaios para a verificao da influncia do tensionamento da correia na

estabilidade dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina ......................... 81

3.4.2 Ensaios para determinar os efeitos da orientao do eixo-rvore na

estabilidade dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina ......................... 81

3.5 Validao do Diagrama de Lbulos por meio de ensaios de usinagem ...... 82

3.6 Comparao entre os Diagramas de Lbulos em cada mquina sob

investigao ........................................................................................................... 84

4 RESULTADOS E DISCUSSES ....................................................................... 85

4.1 Determinao das constantes de presso especfica de corte ................... 85

4.2 Ensaios para a verificao da influncia do tensionamento da correia na

estabilidade dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina ............................ 86

4.3 Ensaios para determinar os efeitos da orientao do eixo-rvore na

estabilidade dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina ............................ 89

xvi

4.4 Validao do Diagrama de Lbulos por meio de ensaios de usinagem ...... 91

4.4.1 Ferramenta com seis arestas de corte .................................................. 91

4.4.2 Ferramenta com duas arestas de corte ............................................... 102

4.5 Comparao entre os Diagramas de Lbulos em cada mquina sob

investigao ......................................................................................................... 116

4.5.1 Ferramenta com seis arestas de corte ................................................ 116

4.5.2 Ferramenta com duas arestas de corte ............................................... 119

5 CONCLUSES E SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS .................. 123

6 REFERNCIA BIBLIOGRFICA ...................................................................... 127

Introduo 17

1 INTRODUO

A vibrao durante os processos de usinagem um dos principais problemas

responsveis pela limitao na produtividade da indstria, por prejudicar o acabamento superficial, a integridade da mquina e da ferramenta, entre outros

problemas relacionados. A vibrao em processos de usinagem um fenmeno

com diversas causas, dentre as quais se destaca a vibrao auto-excitada, ou

chatter, a qual responde pela maioria dos problemas de vibrao durante a

usinagem dos materiais. Vibraes com amplitudes excessivas podem causar vrios

distrbios no processo de usinagem, como a reduo da vida til, ou em alguns

casos, a quebra da ferramenta de corte, a reduo da qualidade superficial de uma

usinagem e ainda, em casos extremos, danificar os rolamentos do eixo-rvore da

mquina-ferramenta (ALTINTAS, 2000).

Segundo um modelo analtico da dinmica do processo de usinagem proposto

por Tobias (1965), Tlusty (1967) e Merrit (1965) para o corte ortogonal, aperfeioado posteriormente por Altintas e Budak (1995) para o fresamento, os limites de estabilidade dinmica durante o processo de usinagem dependem de parmetros

relacionados ao corte, como velocidades de corte e de avano e profundidade de

corte, caractersticas do material a ser usinado, da geometria da ferramenta e da

rigidez dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina. Utilizando estes dados

possvel calcular um diagrama de estabilidade dinmica para cada situao de

usinagem conforme as combinaes entre os fatores acima mencionados. Este

diagrama apresenta a profundidade de corte limite no eixo vertical em funo da

rotao do eixo-rvore no eixo horizontal, determinando a fronteira entre um

processo de usinagem estvel e outro instvel. Durante os ltimos anos, muitos

Introduo 18

pesquisadores tm desenvolvido mtodos alternativos para a obteno destes

diagramas, utilizando-se de outros meios de obteno dos parmetros modais ou da

funo de resposta em freqncia (FRF) necessrios para estabelecer os limites de estabilidade.

Segundo Tlusty (1991) a avaliao de desempenho de mquinas-ferramentas executada de dois modos. No primeiro utiliza-se a usinagem de materiais pr-

determinados, usando ferramentas escolhidas de acordo com o tipo da mquina sob

teste. Num segundo modo, so medidos os valores de rigidez dinmica e obtido o

diagrama de lbulos de estabilidade dinmica para cada uma determinada operao

em anlise. Cada um dos processos apresenta vantagens e desvantagens.

Utilizando apenas a usinagem para os testes, os resultados so interpretados de

forma mais simples, uma vez que se assume que especialistas no processo de

usinagem sero os avaliadores de tais ensaios. Porm, este mtodo possui a

desvantagem de ser um processo excessivamente demorado e garante a avaliao

apenas em uma estreita faixa de rotaes utilizadas no ensaio. Executar ensaios em

todas as rotaes disponveis tornar-se-ia invivel, dado o tempo e os gastos

necessrios com ferramentas e corpos de prova para tal. O processo conhecido

como ensaio de excitao, por sua vez, permite uma avaliao de forma mais rpida

de todas as faixas de rotao, uma vez que necessria apenas a determinao

das FRFs de cada ferramenta para o clculo dos diagramas de lbulos de

estabilidade. Este modo ainda de menor custo, considerando que os

equipamentos necessrios para o ensaio de excitao tenham sido previamente

adquiridos. As desvantagens deste processo so o valor de aquisio dos

equipamentos utilizados, alm de fenmenos que podem influenciar a anlise dos

resultados, como diferenas no comportamento do sistema com o aquecimento do

Introduo 19

eixo-rvore, no-linearidades de rolamentos durante a rotao do eixo-rvore, que

geram a necessidade de habilidades do especialista para isolar estes efeitos. Ainda

neste trabalho (TLUSTY, 1991) o autor sugere a utilizao dos dois modos de avaliao em conjunto, o que visa melhorar a qualidade dos resultados e o tempo de execuo do teste. Entretanto, o mtodo utilizado para o clculo do diagrama de

lbulos de estabilidade leva em considerao apenas o modelo de corte ortogonal e

ainda, no resolve a questo da variao do sentido da fora de corte que ocorre no

processo de fresamento devido rotao da ferramenta. Existe um modelo de

clculo do diagrama de lbulos de estabilidade desenvolvido posteriormente por

Altintas e Budak (1995) o qual leva em considerao os efeitos das foras no modelo obliquo, usualmente utilizado pelas ferramentas de corte devido a melhora

no desempenho da quebra e sada de cavacos, e considera ainda a variao da

fora de corte devido a rotao da ferramenta.

1.1 Objetivos

Neste trabalho prope-se o desenvolvimento de um mtodo para a avaliao

da estabilidade dinmica de diferentes mquinas-ferramentas, centros de usinagem

em particular, em um processo de fresamento de topo reto, para diversas dimenses

e valores de rotao do eixo-rvore, adotando o modelo analtico proposto por

Altintas e Budak (1995) para a obteno do diagrama de lbulos de estabilidade dinmica.

O objetivo proposto ser alcanado por meio das seguintes etapas:

1- Determinar as constantes de corte para o material a ser usinado e as

ferramentas utilizadas nos ensaios.

Introduo 20

2- Medio das funes resposta em freqncia (FRF) para os conjuntos ferramenta-fixao-mquina utilizados nos ensaios.

3- Calcular o diagrama de lbulos de estabilidade dinmica para cada mquina e

cada ferramenta selecionada para os ensaios.

4- Validar a preciso dos limites expostos pelo diagrama de lbulos de

estabilidade dinmica executando ensaios de usinagem para cada ferramenta

em uma das mquinas sob teste.

5- Aplicar o mtodo validado comparando os resultados dos diagramas de

lbulos para cada ferramenta nas mquinas selecionadas para os ensaios.

A figura 1.1 ilustra a seqncia das etapas seguidas para se atingir os

objetivos propostos.

Figura 1.1 Seqncia de realizao do estudo.

Clculo das

constantes

Kcc, Krc.

Determinar FRF s

500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Frequency (Hz)

Mag

nitu

de (um

/N)

Clculo dos Lbulos

a_Lim, .

Comparao entre

Mquinas

Validao dos

Lbulos

Introduo 21

1.2 Estrutura do Trabalho

Este trabalho est estruturado em cinco captulos, so eles:

Captulo 2 REVISO BIBLIOGFICA esto detalhados os conceitos tericos fundamentais para o entendimento do trabalho. Os tpicos mais relevantes so o

comportamento das foras de usinagem, vibraes mecnicas e os fenmenos

vibratrios no processo de usinagem.

Captulo 3 TRABALHO EXPERIMENTAL detalha os materiais, equipamentos

empregados, e metodologia utilizada durante os ensaios experimentais do trabalho.

Captulo 4 RESULTADOS E DISCUSSES neste captulo est os resultados e medies encontrados nos ensaios experimentais e suas respectivas discusses.

Captulo 5 CONCLUSES E SUGESTES DE TRABALHOS FUTUROS contm as concluses obtidas observando os resultados dos ensaios e ainda

sugestes para o desenvolvimento de novos trabalhos.

Captulo 6 REFERNCIA BIBLIOGRFICA encontra-se as fontes consultadas para a elaborao deste trabalho.

Reviso Bibliogrfica 22

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 Corte Ortogonal

Apesar das operaes de usinagens mais comuns serem tridimensionais e

geometricamente complexas, um caso mais simples de corte bidimensional, como o

ortogonal, pode ser usado para explicar a mecnica da remoo de material

(BOOTHROYD,1981; ERNEST,1940).

A poro de material que ser removida da pea durante o processo, tornando-

se cavaco, possui suas dimenses determinadas pela largura de usinagem (b) e espessura de corte (h). No corte ortogonal a aresta de corte pode ser representada por uma reta normal direo da velocidade de corte (vc) e direo da velocidade de avano (vf), e conseqentemente perpendicular velocidade de corte, o que permite que a formao do cavaco seja considerada um fenmeno bidimensional, que ocorre em um plano normal aresta de corte, chamado plano de trabalho

(COELHO, 2009).

Desta forma, as foras de remoo sero exercidas somente no plano de

trabalho, sendo definidas como fora de corte (Fc) e fora de avano (Ff). A Figura 2.1 ilustra o processo de usinagem ortogonal.


Figura 2.1 Geometria do Corte Ortogonal (adaptado de ALTINTAS, 2000). Quando a aresta de corte entra em contato com a pea, uma parte do

material ainda unido ao restante sofre uma deformao elstica, seguido de uma

deformao plstica, que iro aumentando at atingir os limites de deformao do

material, causando a ruptura (LEE, 1951). Esta ocorre na maioria dos casos, por cisalhamento, apesar de existirem tenses de trao e compresso, alm da prpria

tenso de cisalhamento. Aps a ruptura, ocorre a formao de trincas que se

propagam de forma caracterstica ao material sob usinagem. Como a formao de

cavacos um processo dinmico, existiro planos instantneos de propagao de

rupturas e trincas, que definiro a regio entre a pea e o cavaco como zona

primria de cisalhamento (PALMER, 1959).

Para facilitar o entendimento, considera-se esta regio como um plano

matemtico, chamado ento, de plano de cisalhamento. Este plano definido pelo

ngulo de cisalhamento () formado entre o plano de cisalhamento e a direo da

b

h

Ferramenta

Ff

vc, Fc

vcav

Pea

Cavaco


velocidade de corte. A Figura 2.2 mostra o mecanismo de formao do cavaco e

suas principais variveis. Utilizando a Figura 2.2 pode-se definir o grau de recalque

do material como (FERRARESI, 1977):

Rc = hh (2.1) No qual, h a espessura do cavaco cortada e h a espessura de corte

desejada.

Figura 2.2 Mecanismo de Formao do Cavaco no Corte Ortogonal (adaptado de COELHO, 2009).

Pode-se definir o ngulo de cisalhamento por meio da seguinte relao:

= (2.2) Na qual, r o ngulo de sada da ferramenta. E finalmente, a velocidade de

sada do cavaco (Vcav) como sendo (COELHO, 2009):

= () (2.3)

h

h

r

90-+r

vc

vcav

Ferramenta

Pea


Prever as foras durante o processo de usinagem importante para a

otimizao dos parmetros de corte, bem como na automatizao deste processo

(LI, 2001). Os atributos de desempenho do processo de usinagem, como estabilidade dinmica, preciso de posicionamento da ferramenta, acabamento

superficial e erros de forma na pea usinada so freqentemente estudados com

base na anlise das foras de corte (ZHENG, 1995).

No corte ortogonal, pelo fato de ser um modelo bidimensional, as foras

atuam em um nico plano, o plano de trabalho. Isto permite que as foras sejam analisadas agindo sobre a pea, o cavaco e a ferramenta. A Figura 2.3 ilustra as

principais foras atuando na regio de formao do cavaco durante o corte

ortogonal.

Figura 2.3 Foras de Usinagem no Corte Ortogonal (adaptado de COELHO, 2009).

Utilizando o Crculo de Merchant possvel obter a decomposio da Fora

de Usinagem (Fu) em todas as direes. Este diagrama, representado pela Figura 2.4, recebe o nome de seu idealizador, e possui a Fora de Usinagem (Fu) como dimetro da circunferncia (MERCHANT, 1954).

Ferramenta

Pea

Fu

Fnz Fc

Ff

Fr Fz

Fn

r

c

r

Ferramenta

Pea


Figura 2.4 Crculo de Merchant (adaptado de COELHO, 2009). Podem-se avaliar as relaes entre as foras envolvidas no processo

utilizando as razes geomtricas estabelecidas pelo Crculo de Merchant. Entre elas,

destacam-se as mais significativas neste estudo, como:

= + ! (2.4) " = cos( + % '() (2.5) = sen(%) (2.6) = cos(%) (2.7)

O coeficiente de atrito entre cavaco e ferramenta (a) pode ser obtido pela relao entre as foras de atrito (Ft) e de compresso (Fn) (COELHO, 2009):

+ = ,-, = % (2.8) O ngulo de atrito (a) pode ser obtido tambm atravs das relaes entre as

foras de avano (Ff) e a fora de corte (Fc):

Fc . cos r

Fc . sen

Fc . cos

Ff . sen

Ff . cos r

Fc . cos

Ff . sen r

Fc . sen r

Ff

Fc

Fnz Fu

Fz

Fn

Ft

r

r

a

a- r


% = '( + ,., (2.9) Assumindo uma distribuio uniforme de tenses no plano de cisalhamento,

pode-se ainda determinar a tenso de cisalhamento, pela relao:

" = ,/0/ (2.10) na qual, Sz define a rea do plano de cisalhamento e pode ser determinada

utilizando a equao (COELHO, 2009):

1" = 2 3() (2.11)

2.2 Corte Oblquo

A maioria das ferramentas de corte comerciais apresentam geometria obliqua

devido ao seu melhor desempenho para quebra de cavacos e distribuio de foras

(ZOU, 2009) e, desta forma, a anlise desta configurao se faz necessria para o entendimento do processo de usinagem. O modelo de corte oblquo apresenta como

principal diferena com o modelo de corte ortogonal o fato da velocidade de corte

possuir um ngulo de inclinao ou ngulo obliquo i. Isto altera os ngulos do plano

de cisalhamento, de atrito, de sada do cavaco e dos vetores de fora resultante, os

quais passam a possuir componentes nas trs coordenadas Cartesianas (X,Y e Z) (SHAMOTO, 1997).


Figura 2.5 Geometria do Corte Oblquo (adaptado de ALTINTAS, 2000). A Figura 2.5 mostra os ngulos alterados no modelo de corte oblquo, como o

formado entre o plano de cisalhamento e o plano XY, chamado de ngulo de

cisalhamento normal n. O cavaco cisalhado se move ao longo da superfcie de

sada da ferramenta com um ngulo de escoamento , medido de um vetor na

superfcie de sada, mas normal a aresta de corte. O ngulo entre o eixo Z e o vetor

normal a superfcie de sada da ferramenta definido como ngulo de sada normal

n.

De acordo com o modelo de soluo dos parmetros para o corte obliquo

proposto por Armarego (1985) duas aproximaes so aplicadas: Primeiramente, a velocidade de cisalhamento colinear com a fora de cisalhamento e, alm disso, a

razo entre o comprimento do cavaco a mesma para o corte oblquo e para o corte

ortogonal.

b

h i

y

x

z

n

n

Superfcie de

Corte

Pea

Superfcie de

Sada

Ff

Fc

Fr

Ferramenta


Tomando o critrio de cisalhamento mximo desenvolvido por Stabler (1964), podem-se considerar as seguintes relaes geomtricas:

tan ( + %) = 7 89: ;89: 7 89: ; (2.12) Em que n o ngulo de atrito oblquo e pode ser definido pela equao:

tan(%) = tan %< cos = (2.13) Ainda de acordo com o modelo de Armarego (1985), o ngulo de

cisalhamento normal n pode ser obtido pela equao da geometria do cavaco:

tan () = > ( ?/ A ;) BC > ( ?/ A ;) BC (2.14) no qual rc a razo de compresso do cavaco e pode ser definida pelo inverso do

grau de recalque do material D. Resolvendo as equaes 2.12, 2.13 e 2.14 com iteraes numricas os ngulos no conhecidos , n e n podem ser definidos.

Porm, este processo pode ser evitado considerando o modelo emprico de fluxo do

cavaco de Stabler (1964), e com isso aplicar = i (ALTINTAS, 2000).

Segundo Altintas (2000), as componentes de fora para o corte oblquo podem ser derivadas como projees da fora de usinagem (Fu) utilizando-se de relaes geomtricas. A fora de corte (Fc), fora de avano (Ff) e a fora normal (Fr), representadas na Figura 5, so ento expressas como funo dos ngulos de cisalhamento obliquo (n), ngulo de atrito oblquo (n), ngulo de sada normal (n), ngulos de inclinao (i) e ngulo de escoamento (), alm da tenso de cisalhamento (z) da largura (b) e espessura de corte (h). Se aplicado o modelo clssico proposto por Armarego (1985), podem-se definir as expresses de fora como:


= F H I/ (J)K-


Na maioria dos casos, a mesa executa os movimentos transversais e longitudinais,

mas existem situaes em que a ferramenta executa todos os movimentos,

permanecendo a mesa esttica. Entre as operaes de fresamento mais comuns

destacam-se as seguintes (COELHO, 2009):

Fresamento tangencial (concordante ou dicordante).

Fresamento frontal (Figura 2.6a).

Fresamento tangencial de canais ou de perfis (Figura 2.6b).

Fresamento de topo (Figura 2.6c).

Fresamento de cavidades (Figura 2.6d).


a) Fresamento Frontal e Faceamento b) Fresamento Tangencial de Canais

c) Fresamento de Topo d) Fresamento de Cavidades

Figura 2.6 Exemplos de operaes de fresamento (adaptado de SANDVIK, 2010). No Fresamento tangencial, podem-se encontrar duas diferentes condies,

denominadas Fresamento tangencial concordante e Fresamento tangencial

discordante. Na primeira, a aresta de corte inicia a usinagem com a espessura

mxima do cavaco e em sua sada da zona de contato com a pea a espessura

praticamente nula. No Fresamento discordante ao contrrio o corte se inicia com

espessura nula e aumenta at o ponto mximo na sada da aresta de corte da zona

de contato com a pea. A Figura 2.7 ilustra o corte concordante e discordante.


Figura 2.7 Fresamento tangencial Concordante e Discordante.

H ainda a condio combinada entre o corte concordante e discordante,

onde, por exemplo, a largura de corte for igual ao dimetro da fresa (DROZDA, 1983).

A geometria da ferramenta influencia a dinmica do processo uma vez que as

componentes de fora so dependentes dos ngulos de sada radial e axial. Alm

destes, fazem parte da geometria os ngulos de folga axial e radial, como ilustra a

Figura 2.8 (ALTINTAS, 1991).

Figura 2.8 Geometria da ferramenta de fresamento.

Uma caracterstica importante do processo de fresamento o fato da

espessura de corte ser varivel no tempo, com a progresso do ngulo de imerso

da ferramenta na pea, medida que esta rotaciona. Deste modo, uma forma de

aproximar a variao da espessura de corte em funo do ngulo de imerso da

fresa pode ser (ALTINTAS, 2000):

Concordante Discordante


() = !" sen () (2.17) Na qual fz a velocidade de avano por dente (mm/rot-dente), e o ngulo

instantneo de imerso da ferramenta. As foras de corte (Fc()), fora radial ou normal (Fr()) e a fora axial (Fa()) tambm iro variar de acordo com o ngulo de imerso e sero desta forma representadas como funo da profundidade de corte

(ap) e da velocidade de avano por dente (h()), ou seja, a rea do cavaco (ap x h()):

() = O P () + OQ P(() = O( P () + O(Q P() = O P () + OQ P (2.18)

Na qual as constantes Kcc, Krc e Kac so relacionadas com a ao do

cisalhamento, enquanto que as constantes Kce, Kre e Kae so relacionadas com

foras na aresta de corte. Os valores das constantes podem ser obtidos utilizando

procedimentos experimentais descritos anteriormente para o corte ortogonal,

aplicando-se a equao 2.16. Estes valores podem ser avaliados executando o

processo de torneamento ou de fresamento ortogonal. Considerando o fresamento

ortogonal, a fora axial (Fa) nula, uma vez que este um mecanismo de corte bidirecional, o que permite avaliar as foras de corte (Fc) e normal (Fr), necessrias para a determinao das constantes de corte para um determinado material e

velocidade de avano definidos (ALTINTAS, 2000).

Para encontrar as foras de corte (Fc) e normal (Fr) preciso relacionar estas com as foras medidas fisicamente, ou seja, paralelas aos eixos longitudinal (X) e transversal (Y) da mquina-ferramenta utilizando-se, por exemplo um dinammetro. A Figura 2.9 mostra um diagrama que relaciona os eixos cartesianos com as foras

durante a usinagem e seu ngulo de variao.


Figura 2.9 Diagrama de foras e ngulo de variao da ferramenta (adaptado de ALTINTAS,2000).

Observando as relaes trigonomtricas, pode-se definir as foras nos eixos

cartesianos X,Y e Z como:

R() = cos() ( sen ()S() = sen() ( cos ()

"() = (2.19)

Ainda considerando a Figura 2.9, possvel concluir que as foras possuiro

valores acima de zero enquanto o ngulo de imerso for maior que o ngulo de

entrada (e) e menor que o ngulo de sada (s) (ALTINTAS, 2000).

Apesar dos valores das foras de usinagem possurem relaes lineares com a

velocidade de avano nesta anlise, existem no-linearidades nestas relaes (FU, 1984). Estes efeitos so tipicamente descritos com equaes exponenciais, como no caso das equaes de Kienzle (FERRARESI, 1977).

2.4 Vibraes em Usinagem

O processo de usinagem dos materiais muitas vezes considerado como um

processo estvel, o qual apresenta constantes como espessura do cavaco,

Y

X

Fc

Fr

nnnn ssss

eeee


velocidade de avano, velocidade de corte e ngulos de corte. Entretanto, este

processo fortemente influenciado pela dinmica envolvida na execuo do corte,

no qual fenmenos vibratrios ocorrem, desencadeando a variao nas foras

produzidas durante a usinagem (TOBIAS, 1961).

Vibraes durante a usinagem causam danos principalmente ao acabamento

superficial da pea, alm de causar avarias na ferramenta de corte e quando

ocorrem de forma persistente por longos perodos, podem danificar a integridade e

reduzir a vida til dos rolamentos do eixo-rvore da mquina-ferramenta (KING, 1985).

As principais causas dessas vibraes esto em fenmenos vibratrios

conhecidos como acoplamento de modos e regenerao de ondas superficiais, ou

chatter, no qual o ltimo responsvel pela grande maioria dos problemas

encontrados durante a usinagem de materiais (TLUSTY, 1963).

O foco deste trabalho est na anlise do fenmeno de chatter, que apesar de

afetar o processo de usinagem precisa ser analisado utilizando-se de conceitos

aplicados ao estudo de fenmenos vibratrios mecnicos de forma geral, no qual se

inclui o chatter.

2.4.1 Vibraes Mecnicas

As propriedades dinmicas de um sistema mecnico qualquer podem ser

convenientemente representadas por propriedades fundamentais: massa, rigidez e

amortecimento. Destas resultam as foras de inrcia, elstica e dissipativa

respectivamente.

Modelar qualquer sistema mecnico real uma tarefa muito complexa.

Entretanto, possvel alcanar bons resultados quando as caractersticas bsicas


so modeladas como elementos discretos. A forma mais simples de se descrever

um sistema dinmico utilizando o modelo de um grau de liberdade de parmetros

concentrados, o qual possui as caractersticas bsicas como inrcia representada

por uma massa constante m com rigidez infinita, elasticidade representada por uma

mola de constante de rigidez k e sem massa e ainda um amortecedor viscoso sem

massa com coeficiente de amortecimento c, representados pela Figura 2.10 (MAIA, 1997).

Figura 2.10 Discretizao de um sistema de um grau de liberdade (1GL). O sistema descrito acima pode ser representado pela seguinte equao de

movimento:

TRU() + RV () + WR() = !() (2.20) Na qual f(t) e x(t) so a fora de excitao e o deslocamento correspondente

respectivamente, ambos dependentes no tempo (MCCONNELL, 1995).

2.4.1.1 Fundamentos de Vibraes Livres

Entende-se por sistemas de vibrao livre quando no existem foras

externas aplicadas. Tomando a equao 2.20 e fazendo f(t)=0 tem-se a equao diferencial para sistemas de vibrao livre como (THOMSON, 1973):

m

f(t) x(t)

c k


TRU() + RV () + WR() = 0 (2.21) A qual possui a seguinte soluo geral:

R() = YQ- (2.22) Na qual s a varivel de Laplace, ou seja, um nmero complexo a ser

determinado. Substituindo a equao 2.22 na equao 2.21 tem-se:

(TZ + Z + W) YQ- = 0 (2.23) A equao 2.23 possui uma soluo trivial na qual Xe8 = 0, portanto no

existe movimento, o que no de interesse. Com isso, a soluo no-trivial

correspondente :

TZ + Z + W = 0 (2.24) A equao 2.21 conhecida como equao caracterstica, e sua soluo

possui duas razes s1 e s2, na seguinte forma (THOMSON, 1973):

Z, = ] _` ]a b] (2.25)

Desta forma a soluo geral para a equao 2.21 torna-se:

R() = cQd- + cQL- (2.26) Na qual C1 e C2 so constantes determinadas por condies iniciais do

sistema quando t=0. As razes s1 e s2 podem ento possuir trs formas distintas

(EWINS, 1984):

As foras de amortecimento governam o sistema, ou seja, (c/2m)>k/m) e com isso o sistema possuir duas razes reais, o qual conhecido como sistema

superamortecido.


As foras inerciais e elsticas governam o sistema,ou seja, (c/2m)1;

Sistema criticamente amortecido =1;

Sistema sub-amortecido


Utilizando-se da constante pode-se escrever a soluo no domnio do tempo

para a equao 2.21, considerando sistemas sub-amortecidos nos quais 0


Na qual F e so constantes que representam a fora e a freqncia de

oscilao da fora e i = 1, a soluo particular ento: R() = YuQ;p- (2.33)

Na qual Yu uma amplitude complexa conhecida como fasor e permite a incluso de um ngulo de fase entre a funo fora e o movimento de resposta do

sistema, no qual:

Yu = YQ;v (2.34) Substituindo a equao 2.33 em 2.20, tem-se:

Yu = ,(bpL ])K ;p (2.35) Como qualquer nmero complexo do tipo x +iy pode ser expresso na forma de

DQ;v, utilizando D = (R + S)/ e tan = y/x, a equao 2.35 pode ser expressa na seguinte forma (EWINS, 1984):

Yu = ,(bpL ])K(p) Q;v (2.36) E ainda,

tan = ozo { (2.37) A soluo particular para a equao 2.32 pode ser expressa pela seguinte:

R() = ,(bpL ])LK(p)L Q;(p-Kv) (2.38) A qual uma funo harmnica de amplitude constante, como a fora de

excitao da equao 2.32. Analisando a equao 2.38, pode-se concluir que a

resposta do sistema ser atrasada no valor do ngulo |. Esta a chamada soluo


estacionria, a soluo completa ento representada pela somatria das equaes

2.30 e 2.38 (MAIA, 1997).

R() = QnoC8 `cQ;p7-n + cQ;p7-na + ,(bpL ])LK(p)L Q;(p-Kv) (2.39)

Outro modo esta em relacionar as propriedades dinmicas do sistema as

quais esto na expresso matemtica, relacionando ento a sada (x(t)) com a entrada (f(t)).

}(-).(-) = ~(g) = u, = (bpL ])K;p (2.40)

Na qual a funo complexa no domnio da freqncia denotada por H(g) a chamada funo resposta em freqncia do sistema (FRF) (MAIA, 1997).

2.4.2 Funo Resposta em Freqncia (FRF)

Uma forma de representar um sistema dinmico por meio de uma funo de

transferncia no domnio de Laplace. Utilizando a transformada de Laplace,

possvel converter equaes diferenciais em equaes algbricas, as quais so mais

fceis de serem manipuladas.

Aplicando-se a transformada de Laplace na equao 2.20, obtm-se (EWINS, 1984):

TRU() + RV () + WR() = (TZ + Z + W)Y(Z) TZR(0) TRV(0) R(0) (2.41) E ainda,

!() = (Z) (2.42) De modo que,


(TZ + Z + W)Y(Z) = (Z) + TRV(0) + (TZ + )R(0) (2.43) Na qual se considerando as condies iniciais nulas (RV (0) = R(0) = 0),a

soluo homognea ou equao 2.21 possa ser ignorada, a relao entre a

transformada da sada e de entrada pode ser expressa em termos de,

~(Z) = (),() (2.44) Na qual,

~(Z) = ]KKb (2.45) a chamada funo de transferncia do sistema, e seu denominador a

equao caracterstica, anteriormente definida pela equao 2.24. Em sistemas sub-

amortecidos as razes s1 e s2 podem sem definidas por (EWINS, 1984):

Z, = gt (2.46) Em que,

= : (2.47) O que permite escrever a funo de transferncia de outra forma e expandi-la

em fraes parciais,

~(Z) = ](d)(L) = (d) +

(d) (2.48)

Na qual os complexos conjugados A e A* so os resduos da funo de transferncia e podem ser identificados como:

= ;]p7 (2.49)


Pode-se ento encontrar a funo de transferncia no domnio da freqncia,

de forma que,

~(g) = ~(Z)|;p = ;(pp)KnoC +

;(pp)KnoC (2.50)

A equao 2.50 representa a funo resposta em freqncia (FRF) expandida em funes parciais de um sistema de um grau de liberdade (1GL). A resposta do sistema a vibraes livres pode ser ento obtida aplicando uma funo impulso de

tempo t=0. A resposta a esta forma de excitao pode ento ser determinada

aplicando as equaes 2.44 e 2.48 em condies iniciais nulas em que F(s)=1 para a funo impulso da fora (EWINS, 1984).

2.4.2.1 Formas de representao e propriedades da Funo Resposta em

Freqncia (FRF)

A forma de representao da funo resposta em freqncia utilizando

deslocamento gerado pela aplicao de uma fora tambm conhecida como

receptncia. Como uma funo complexa, pode ser dividida em trs partes, sendo

real, imaginria e a freqncia. Uma forma de representao utilizando-se dois

grficos, o primeiro representa um plano entre a parte real e a freqncia,

representada pela Figura 2.11. De forma anloga, no segundo encontra-se uma

representao da parte imaginria tambm contra a freqncia, ilustrada pela Figura

2.12 (MAIA, 1997).


Figura 2.11- Parte real da funo receptncia contra freqncia para um sistema com m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6 Ns/m (adaptado de MAIA, 1997).

Figura 2.12- Parte imaginria da funo receptncia contra freqncia para um sistema com m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997). possvel verificar que neste exemplo a freqncia de ressonncia n est

em 10 rad/s e que a parte real corta o eixo das freqncias exatamente sobre este

ponto, e ainda a parte imaginria atinge seu valor mnimo no mesmo ponto.

Entretanto, a forma mais comum de se representar uma FRF utilizando a

magnitude da funo resposta em freqncia em conjunto com a representao da

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Funo de Transferncia

Frequencia (rad/s)

real

(um

/N)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

Frequencia (rad/s)

imag

inr

io (um

/N)

Funo de Transferncia


fase, ambas ainda contra a freqncia, representadas pelas Figuras 2.13 e 2.14

(EWINS, 1984).

No qual a freqncia natural n, neste caso 10 rad/s, marca a maior

amplitude para o grfico de magnitude e cruza o eixo de freqncia em exatos 90

graus no grfico que representa a fase.

Figura 2.13- Magnitude da funo receptncia contra freqncia para um sistema com m=1Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997).

Figura 2.14- Fase da funo receptncia contra freqncia para um sistema com m=1 Kg, k=100N/m e c=0.6Ns/m (adaptado de MAIA, 1997).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frequencia (rad/s)

mag

nitu

de (um

/N)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Frequencia (rad/s)

Fase

(gr

aus)



Existem diversas formas de se representar uma funo resposta em

freqncia (FRF), uma vez que se mede movimento a representao da resposta pode ser feita utilizando deslocamento, como visto utilizando a funo receptncia,

ou ainda aplicado medies de velocidade e acelerao. A terminologia a ser

seguida pode ser definida da seguinte forma:

DQQP = QZTQ!(

FQ = QQ!(

QQ( = QQ(!(

O inverso destas trs funes pode tambm ser utilizado como forma de

representao e so definidas como rigidez dinmica, impedncia mecnica e

massa aparente, respectivamente para deslocamento, velocidade e acelerao

(EWINS, 1984).

2.4.2.2 Identificao experimental da Funo Resposta em Frequencia

(FRF)

O propsito fundamental de ensaios dinmicos a confirmao do modelo

matemtico e ainda a determinao de informaes importantes da estrutura fsica

necessrias para a anlise dinmica (CRAIG, 1981).

Existem diferentes tipos de ensaios de vibrao. Em alguns casos

necessrio executar as medies durante a operao normal da mquina ou

estrutura sob investigao, em outros a estrutura pode ser excitada de maneiras

externas, no campo ou ainda em um ambiente de laboratrio (MCCONNELL, 1995).


A determinao da FRF se d pela excitao da estrutura, como descrito

anteriormente de forma externa utilizando-se de transdutores de fora, como

shakers ou ainda utilizando um martelo com transdutor de fora. A vibrao ento

transmitida da estrutura para um sensor que geralmente um acelermetro. Os

sinais da fora e acelerao so ento transferidos a um analisador digital e

posteriormente a um computador para a exibio dos resultados, aps o tratamento

dos sinais. A Figura 2.15 ilustra a configurao de medio de FRFs em mquinas-

ferramentas utilizando acelermetro e martelo (MCCONNELL, 1995).

Figura 2.15- Configurao para medio de FRFs em Mquinas-Ferramenta.

A relao entre a entrada e a sada da FRF no domnio da freqncia

representada por:

(g) = ~(g) Y(g) (2.51) A equao 2.51 a base para a obteno da FRF de uma estrutura,

considerando que esta pode ser estimada medindo o espectro de freqncia da

entrada e da sada.

Existem trs modos de estimadores de FRF, o primeiro modo chamado

H1() e obtido multiplicando a equao 2.51 por X*():


Y(g)(g) = ~(g)Y(g)Y(g) (2.52) Assumindo que sejam processados ambos os canais de dados da mesma

maneira, ento a equao 2.52 torna-se:

1}(g) = ~(g)1}}(g) (2.53) Na qual, Sxy() o espectro cruzado duplo entre entrada e sada e Sxx() o

auto-espectro duplo do sinal de entrada. Geralmente, somente o espectro de

freqncia simples de Gxy() e Gxx() so utilizados. Ento se pode obter da equao 2.53:

~(g) = 0(p)0(p) ~(g) P( < g < + (2.54)

~(g) = (p)(p) ~(g) P( 0 < g < + O segundo modos conhecido por H2() obtido multiplicando Y*() em

ambos os lados da equao 2.51:

(g)(g) = ~(g)(g)Y(g) (2.55) 1(g) = ~(g)1}(g)

Utilizando o mesmo conceito aplicado na equao 2.54, tem-se:

~(g) = 0(p)0(p) ~(g) P( < g < + (2.56)

~(g) = (g)}(g) ~(g) P( 0 < g < +

O terceiro mtodo chamado H() e obtido usando apenas a magnitude de ambos os lados da equao 2.51:


(g)(g) = ~(g)~(g)Y(g)Y(g) 1(g) = |~(g)|1}}(g) (2.57) A equao 2.57 envolve apenas o auto-espectro e ento no existem

informaes sobre a fase neste estimador, apenas a magnitude determinada. A

partir da equao 2.57 se obtm (MCCONNELL, 1995):

|~(g)| = 0(p)0(p) |~


anlise de uma faixa de freqncia que depende do tempo de durao do contato

entre a ponta do martelo e a estrutura, quanto menor o tempo de contato maior ser

a faixa de freqncia excitada com o mesmo nvel de energia. De maneira geral, a

excitao com martelo possibilita atingir uma faixa de freqncia que contm os

principais modos de vibrao dos sistemas ferramenta-fixao-mquina. Por esta

razo e pelo fato de possuir uma montagem mais simples do que a aplicao do

shaker para este tipo de estrutura, a excitao por martelo a mais usual

(ALTINTAS, 2000).

2.4.3 Vibraes Regenerativas ou Chatter no Processo de Usinagem

As vibraes durante o processo de usinagem so resultantes da variao na

espessura do cavaco gerado no momento do corte. Ao se excitar um modo de

vibrao estrutural do conjunto ferramenta-fixao-mquina, deixa-se uma superfcie com ondulaes que ser removida na prxima passagem da aresta de corte

(TLUSTY, 1963). A variao na espessura do cavaco depender desta forma, do ngulo de fase entre a onda de deslocamento na freqncia de ressonncia, ou

freqncia de vibrao do conjunto ferramenta-fixao-mquina ou da pea a ser usinada, e a onda equivalente na freqncia de passagem da aresta de corte.

As vibraes podem ainda ser causadas por um fenmeno chamado

acoplamento de modos, no qual o chatter provocado pela vibrao em duas

direes no plano de corte (PAN, 2006). Entretanto, este caso menos comum devido ao fato que de modo geral a rigidez dos modos de vibrao da estrutura da

mquina-ferramenta maior que do sistema formado pelo eixo-rvore, sistema de

fixao e ferramenta (ALTINTAS, 2000).


Segundo Cao e Altintas (2004), um dos elementos que influenciam diretamente a estabilidade dinmica do sistema e conseqentemente seus limites de

vibrao o eixo-rvore. As dimenses do eixo, bem como a localizao e a rigidez

dos rolamentos, e ainda a pr-carga dos rolamentos so fatores determinantes para

os valores de rigidez dinmica.

Outro elemento que influencia fortemente na rigidez dinmica durante a

usinagem o sistema de fixao da ferramenta no eixo-rvore, como mostrado por

Smith, (1999). Comparando os sistemas de fixao HSK (HohlSchankKegel ou hollowtapershank) e CAT (HANNA, 2002), comprova-se que a fora de fixao e a prpria forma construtiva influenciam na rigidez e no amortecimento, o que altera a

estabilidade dinmica do sistema ferramenta-fixao-mquina.

Utilizando inicialmente o modo de usinagem ortogonal para simplificar o

entendimento do fenmeno chatter, pode-se considerar que a forma geral da

espessura dinmica do cavaco pode ser determinada utilizando a seguinte equao:

() = [S() S( )] (2.60) Na qual, a espessura do cavaco esperada e igual ao avano em

milmetros por revoluo, e [S() S( )] a espessura dinmica do cavaco, produzida pela vibrao no tempo atual t e pela rotao anterior do eixo-rvore T,

como ilustra a figura 2.16.

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Figura 2.16- Fenmeno de

Assumindo que o sistema possui apenas um grau de liberdade, a equao de

movimento pode ento ser escrita da seg

TSU() + SV(A equao 2.61 mostra que a fora de avano depende da constante de corte

O., da largura de corte varia em funo do tempo

conseqentemente o lado esquerdo da equao ser uma equao diferencial

atrasada no tempo. Com isso, pode

tempo T) a variao da espessdiferena de fase entre a freqncia de rotao e a freqncia de ressonncia da

ferramenta, at o limite determinado pela perda de contato entre a ferramenta e a

pea, o que produzir a espessura do cavaco nula

avano igual a zero. Alm deste efeito, h ainda o amortecimento causado pelo

contato entre a superfcie de sada da ferramenta e a pea

constante de corte devido

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Fenmeno de chatter no corte ortogonal (adaptado de ALTINTAS, 2000).


movimento pode ento ser escrita da seguinte forma:

V () + WS() = .() = O.[ + S( mostra que a fora de avano depende da constante de corte

e da espessura do cavaco. Como a espessura do cavacoem funo do tempo, a fora ir oscilar de forma proporcional, e


. Com isso, pode-se concluir que a cada volta do eixo

a variao da espessura do cavaco ser maior, ou menor,

diferena de fase entre a freqncia de rotao e a freqncia de ressonncia da


pea, o que produzir a espessura do cavaco nula e conseqentemente fora de

Alm deste efeito, h ainda o amortecimento causado pelo

contato entre a superfcie de sada da ferramenta e a pea, e ainda a variao da

constante de corte devido variao da espessura do cavaco em oper

53

(adaptado de ALTINTAS,


( ) S()] (2.61) mostra que a fora de avano depende da constante de corte

e da espessura do cavaco. Como a espessura do cavaco

, a fora ir oscilar de forma proporcional, e


se concluir que a cada volta do eixo-rvore (no ou menor, devido a

diferena de fase entre a freqncia de rotao e a freqncia de ressonncia da


e conseqentemente fora de

Alm deste efeito, h ainda o amortecimento causado pelo

e ainda a variao da

variao da espessura do cavaco em operaes com a


aplicao de baixas velocidades. Isto cria a necessidade de se prever s constantes

de corte dinamicamente (ALTINTAS, 2008).

Outro aspecto importante a ser considerado so as no-linearidades entre a

fora de usinagem e a velocidade de avano, as quais so consideradas por

Landers (2008). Entretanto, estes efeitos tendem a deixar a anlise demasiadamente complexa. Para facilitar o entendimento do fenmeno ser

considerada apenas a teoria de estabilidade linear.

A equao dinmica da espessura do cavaco no domnio de Laplace pode ser

representada por:

(Z) = + (Q 1)S(Z) (2.62) e a fora de avano ento torna-se (ALTINTAS, 2000),

.(Z) = O.(Z) (2.63) a vibrao resultante da excitao causada pela fora na estrutura pode ser definida

ento como,

S(Z) = O.(Z)(Z) (2.64) e a funo de transferncia da estrutura pode ser escrita como,

(Z) = (),() = p7L

b(LKnoCKp7L ) (2.65)

Substituindo S(Z) na equao 2.62 tem-se, (Z) = + (Q 1)O.(Z)(Z) (2.66) a funo de transferncia entre a espessura do cavaco desejada e a real definida como (ALTINTAS, 2000),


3()3() = K()


empregada para absorver vibraes um modelo de atuadores piezo eltricos que

reduzem as amplitudes de vibrao durante a usinagem de maneira ativa. Este

mtodo emprega-se na usinagem de estruturas flexveis ou ainda no fresamento de

paredes finas (ZHANG, 2005).

Destaca-se ainda o modelo proposto por Smith e Tlusty(1992), o qual elimina os efeitos do fenmeno de chatter selecionando uma rotao do eixo-rvore de

modo a sincronizar a freqncia de rotao com a freqncia de chatter, o que

elimina as ondulaes na pea provocadas pela ferramenta, uma vez que elimina a

diferena de fase entre a freqncia de excitao e a freqncia de vibrao.

Outra forma de melhorar a estabilidade dinmica do sistema ferramenta-

fixao-mquina a utilizao de materiais polimricos, os quais possibilitam

aumentar a rigidez e o amortecimento estrutural, fatores que no podem ser

melhorados simultaneamente com a aplicao dos materiais metlicos

convencionalmente empregados (SUH, 2008).

2.4.4 O Fenmeno Chatter no Processo de Fresamento

As vibraes no processo de fresamento so particularmente mais complexas

de serem previstas uma vez que existe a variao do sentido da fora de corte

devido ao movimento giratrio ser executado pela ferramenta, permanecendo a pea

esttica. Por ser um processo que gera uma excitao peridica ocorre o

aparecimento de mltiplas freqncias de vibrao, relacionadas no somente a

freqncia natural do sistema, mas tambm a freqncia de passagem dos dentes e

suas harmnicas (INSPERGER, 2003).

H um modelo analtico-experimental apresentado por Altintas e Budak

(1995), o qual mostra um modo prtico para a determinao dos limites de vibrao

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para o processo de fresamento, relacionando as constantes do material a ser

usinado bem como da ferramenta utilizada. Este modelo caracteriza os limites de

vibrao em funo da profundidade de corte axial e d

2.4.4.1 Modelo dinmico

Uma fresa de topo

ser considerada como um sistema de dois graus de liberdade ortogonais, como

mostra a Figura 2.17. Assume

nmeros de dentes iguais a N

Figura 2.17- Modelo Dinmico da Fresa com dois graus de liberdade

As foras de corte excitam a estrutura nas direes de avano (X) e normal (Y), causando os deslocamentos x e y respectivamente. Os deslocamentos dinmicos so transportados pela rotao do dente (j) na direo radial ou da espessura do cavaco com a transformao das coordenadas

na qual o ngulo de imerso instantneo do dente (j) medido no sentido horrio a partir do eixo normal (Y). Se o (rad/s), o ngulo de imerso ir variar com o tempo em

2000). A espessura do cavaco resulta da parte esttica (

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vibrao em funo da profundidade de corte axial e da rotao do eixo

dinmico do fresamento

opo montada em um centro de usinagem, por exemplo


. Assume-se que a fresa possui ngulo de hlice igual a zero e

nmeros de dentes iguais a N (BUDAK, 1995).

Modelo Dinmico da Fresa com dois graus de liberdadeALTINTAS, 2000).

corte excitam a estrutura nas direes de avano (X) e normal Y), causando os deslocamentos x e y respectivamente. Os deslocamentos

dinmicos so transportados pela rotao do dente (j) na direo radial ou da espessura do cavaco com a transformao das coordenadas v =

o ngulo de imerso instantneo do dente (j) medido no sentido horrio

a partir do eixo normal (Y). Se o Eixo-rvore girar com uma velocidade angular de ngulo de imerso ir variar com o tempo em (t

. A espessura do cavaco resulta da parte esttica (s

57



a rotao do eixo-rvore.

, por exemplo, pode


gulo de hlice igual a zero e

Modelo Dinmico da Fresa com dois graus de liberdade (adaptado de

corte excitam a estrutura nas direes de avano (X) e normal Y), causando os deslocamentos x e y respectivamente. Os deslocamentos

dinmicos so transportados pela rotao do dente (j) na direo radial ou da = &xsen & ycos

o ngulo de imerso instantneo do dente (j) medido no sentido horrio

girar com uma velocidade angular de

t t (ALTINTAS,

s8sen), devido ao


movimento de corpo rgido da fresa, e componentes dinmicos causados pelas

vibraes da ferramenta durante a passagem do dente atual e dos anteriores.

Medindo a espessura do cavaco na direo radial (v), a quantidade total de cavaco

pode ser expressa por (BUDAK, 1995),

= !/ZQ + , (2.70) na qual f o avano por dente e v, v so os deslocamentos dinmicos da fresa na passagem do dente anterior e do atual, respectivamente. g uma funo degrau unitrio que determina se o dente est dentro ou fora da pea, ento

= 1 < < (2.71) = 0 < > em que N e so os ngulos de entrada e sada da ferramenta, respectivamente. Portanto, a componente esttica da espessura do cavaco (fsen) desprezada das expresses uma vez que no contribui no mecanismo de regenerao dinmica

do cavaco (ALTINTAS, 2000). Substituindo v em 2.70 vem,

= }ZQ + ZZ (2.72) na qual = x x, = y y. (x,y) e (x, y) representam os deslocamentos dinmicos da estrutura da fresa na passagem do dente atual e do anterior. As foras

tangencial (F) e radial (F) atuantes no dente j so proporcionais profundidade de corte (a) e espessura do cavaco (h) (BUDAK, 1995),

F = Kah, F = KF (2.73)


Na qual os coeficientes de corte K e K so constantes. Resolvendo as

foras de corte nas direes de x e y,

} = Z ZQ (2.74) = +ZQ Z

Assumindo a contribuio de foras de corte de todos os dentes, o total de

foras dinmicas de fresamento atuando na ferramenta descrito como (BUDAK, 1995),

F = F ; F = F (2.75) em que = + j, e o ngulo entre arestas = . Substituindo-se a espessura do cavaco (2.72) e as foras por dente (2.73) em (2.74), e rearranjando na forma matricial, vem

} = O

'}} '}'} ' } (2.76)

Na qual os coeficientes de fora de fresamento dinmico direcionais variantes

no tempo so dados por,

'}} = ZQ2 + O(1 Z2)

'} = (1 + Z2) + OZQ2

'} = 1 Z2 OZQ2


'} ZQ2 O(1 + Z2)

Considerando que a posio angular dos parmetros muda com o tempo e

velocidade angular, a equao (2.76) pode ser expressa no domnio do tempo na forma matricial como (ALTINTAS, 2000),

() = O()() (2.77) Como a ferramenta rotaciona, fatores direcionais variam com o tempo, o que

diferencia o fresamento das demais operaes como o torneamento onde a direo

das foras constante (BUDAK, 1995). Entretanto, como as foras de corte, A(t) peridica com a freqncia de passagem dos dentes = N ou o perodo T = o , podendo ser expandido atravs das sries de Fourier.

() = Q;p- (2.78)

= () Q;p- O nmero de harmnicos (r) da freqncia de passagem dos dentes () a ser

considerado para uma reconstruo precisa de [A(t)] depende das condies de imerso e do nmero de dentes em corte. Para uma aproximao mais simplificada,

a componente de mdia da expanso das sries de Fourier a ser considerada r=0

(ALTINTAS, 2000),

= () (2.79)


Desde que A vlido somente entre os ngulos de entrada N) e sada () da fresa, e com isso g = 1, torna-se igual ao valor mdio de A(t) no ngulo entre arestas = .

= () = '}} '}'} ' (2.80)

Onde as funes integradas so dadas por,

'}} = 12 Z2 2O + OZQ2

'} = 12 ZQ2 2 + OZ2

'} = 12 ZQ2 + 2 + OZ2

' = 12 Z2 2O + OZQ2 A expresso de fresamento dinmico (2.77) ento reduzida para a seguinte,

() = O-() (2.81) Na qual A invariante no tempo, porm, dependente do ngulo de imerso

da fresa. Como a mdia da fora de corte por dente independente do ngulo de

hlice da ferramenta, A vlido tambm para fresas helicoidais (BUDAK, 1995). 2.4.4.2 Lbulos de estabilidade dinmica

Uma vez realizado o ensaio de impactao do conjunto ferramenta-fixao-mquina, o resultado produz um conjunto de FRFs. Estas podem ser definidas como


a matriz funo de transferncia ([G(i)]) identificada na zona de contato pea-ferramenta (BUDAK, 1995),

Gi G(i) G(i)G(i) G(i) (2.82)

em que G(i) e G(i) so as funes de transferncia diretas na direo de x e y, e G(i) e G(i) so as funes de transferncia cruzadas (ALTINTAS, 2000). Os vetores de vibrao no tempo atual (t) e na passagem do dente anterior (t-T) so definidos como,

( = R()S() ; ( = R( ) S( ) Descrevendo as vibraes na freqncia no domnio da freqncia,

usando funes harmnicas, tem-se

((g) = [(g)]Q;p>- (2.83)

((g) = Q;p>((g) E substituindo = (x x) (y y) tem-se,

(g) = ((g) ((g) = 1 Q;p>Q;p>-[(g)]

Na qual T o atraso de fase entre a vibrao e o perodo de passagem dos dentes T (ALTINTAS, 2000). Substituindo (i) na equao de fresamento dinmico (2.72) tem-se,

Q;p>- = 12 O1 Q;p>[][(g)]Q;p>-


A qual possui uma soluo no-trivial se seu determinante for zero,

det 12 O1 Q;p>(g) = 0

Que a equao caracterstica do sistema de fresamento dinmico em malha

fechada (ALTINTAS, 2000). A notao simplificada definindo a matriz da funo de transferncia orientada como,

(g) ='}}}}(g) + '}}(g) '}}}(g) + '}(g)'}}}(g) + '}(g) '}}(g) + '(g) (2.84)

E o autovalor da equao caracterstica como,

= O1 Q;p> (2.85) A equao caracterstica torna-se,

det + (g) = 0 (2.86) O autovalor da equao acima pode ser facilmente resolvido para uma dada

freqncia de vibrao , fatores de corte estticos (K, K) que podem ser armazenados como quantidade dependente do material para cada geometria da

ferramenta, imerso radial (N, ) e funo de transferncia da estrutura (ALTINTAS, 2000). Se dois graus de liberdade ortogonais na direo do avano (X) e normal (Y) so considerados, assume-se G = G = 0. Com isso, a equao caracterstica torna-se,

+ + 1 = 0 (2.87) em que:


}}gg'}}' & '}'}

'}}}}g + 'g

Ento, o autovalor obtido,

)Kp>

(Ap>) + (Ap>)Kp>

(Ap>) (2.89) Como a{ um nmero real, a parte imaginria da equao (2.89)

desprezada (BUDAK, 1995),

(1 Zg) + ZQg = 0 (2.90) Substituindo,

W = = p>Ap> (2.91) Na parte real da equao (2.89), a expresso final para a profundidade axial

de corte sem vibrao definida como,

;] = >> (1 + W) (2.92)


Conseqentemente, dada uma freqncia (), o limite de vibrao em termos de profundidade de corte axial pode ser determinado utilizando a equao

(2.92), a qual possui forma similar com o modelo de estabilidade ortogonal proposto por Tlusty, J (1967). As velocidades de rotao do eixo-rvore correspondentes so encontradas tambm de maneira trivial. Da equao (2.91), a distncia angular percorrida pelo dente da fresa devido freqncia de vibrao no perodo de

passagem dos dentes T descrita como (ALTINTAS, 2000),

g Z bLbLK = Z2 (2.93) Note que k = = tan e a diferena de fase do autovalor. Deste modo,

se k um nmero inteiro das ondas de vibrao impressas na pea, g = 2 + 2W = + 2W (2.94) em que = tank e = 2 a diferena de fase entre as modulaes internas e externas (marcas de vibrao atuais e anteriores). Nota-se que se a parte real do autovalor < 0, ento um adicional precisa ser adicionado a nos clculos digitais. A velocidade do eixo-rvore n(rev/min) calculada encontrando o perodo de passagem dos dentes T(s) (BUDAK, 1995).

= p> ( + 2W) = (2.95) Durante as ltimas dcadas vrias pesquisas procuram de alguma forma

facilitar a obteno do diagrama de lbulos. H um mtodo analtico-experimental

proposto por Solis et.al.(2004), no qual os componentes real e imaginrio da funo de transferncia so determinados utilizando parmetros obtidos por uma anlise

modal experimental, o que permite aumentar a exatido no clculo do diagrama de


estabilidade em comparao com a utilizao da funo de transferncia medida

diretamente do conjunto ferramenta-fixao-mquina. H tambm o modelo experimental apresentado por Soliman (1996), onde as caractersticas do sistema so obtidas com o eixo-rvore em movimento, utilizando um dinammetro para

medio das foras durante a usinagem com a variao da rotao em uma faixa

pr-determinada, onde sero conhecidos os limites de estabilidade para o conjunto ferramenta-fixao-mquina. Neste modelo, um indicador estatstico da vibrao

obtido com os componentes de fora, e este indicador posteriormente utilizado

para a determinao dos limites de estabilidade. Este mtodo possui a vantagem,

em comparao com os demais mtodos, de medir as caractersticas do sistema

ferramenta-fixao-mquina de forma dinmica, ou seja, com o eixo rvore em movimento, representando o sistema de forma mais precisa, considerando que estas

caractersticas so alteradas devido ao movimento do eixo rvore.

Em outros casos, pode-se obter a resposta do sistema por meio de um

mtodo numrico para a soluo das equaes diferenciais que governam a

mestrado em usinagem 2

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