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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

MESTRADO EM MATEMÁTICA

TORRE DE AUTOMORFISMOS E GRUPOS COMPLETOS

Érika Helena Assis

Belo Horizonte - MG

2018

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS - UFMG

INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEX

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Torre de automor�smos e grupos completos

Dissertação de Mestrado submetida

ao Programa de Pós-Graduação em

Matemática, como parte dos requi-

sitos exigidos para a obtenção do tí-

tulo de Mestre em Matemática.

ÉRIKA HELENA ASSIS

ORIENTADORA: ANA CRISTINA VIEIRA

BELO HORIZONTE - MG

2018

© 2018 Érika Helena Assis.

Todos os direitos reservados

Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecária Belkiz Inez Rezende Costa - CRB 6ª Reg. nº 1510

Assis, Érika Helena.

A848t Torre de automorfismos e grupos completos / Érika Helena Assis — Belo Horizonte, 2018. 63 f. il.; 29 cm. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Minas Gerais – Departamento de Matemática. Orientadora: Ana Cristina Vieira. 1. Matemática - Teses. 2. Automorfismo- Teses. 3. Teoria dos grupos - Teses. 4. Grupos finitos. I. Orientadora. II. Título.

CDU 51(043)

Sumário

Abstract 3

Resumo 4

1 Torre de automor�smos 7

1.1 Automor�smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Torre de automor�smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Conceitos gerais sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Grupos completos 18

2.1 Comutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Grupos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Teoremas sobre grupos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Subgrupos subnormais 33

3.1 Série S-característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Cálculo de comutadores e subgrupos subnormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Uma cota para |G| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Teorema de Wielandt 53

4.1 Demonstração do Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 O grupo diedral in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Considerações �nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A Números ordinais 60

A.1 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Referências Bibliográ�cas 63

2

Abstract

In this dissertation, we will develop the famous Wielandt's theorem, proved in 1939. This

classical result says that the automorphism tower of a �nite centreless group G stabilizes after

�nitely many steps. Moreover, we will study results about the complete groups.

Keywords: automorphism tower, complete groups.

3

Resumo

Nesta dissertação, demonstraremos o célebre Teorema de Wielandt, de 1939. Este famoso

resultado garante que a torre de automor�smos de um grupo �nito com o centro trivial estabi-

liza em um número �nito de passos. Além disso, estudaremos resultados sobre grupos completos.

Palavras chaves: Torre de automor�smos, grupos completos.

4

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, a Deus por me suprir em todas as minhas necessidades, me am-

parar em todos os momentos e me possibilitar aprender lições maiores que as acadêmicas.

À minha mãe, Maria Raimunda, e minha tia, Rosa Maria, por acreditarem nos meus sonhos,

por suas orações repletas de fé e por serem exemplos de força e perseverança nas di�culdades.

Ao Wagner pelo amparo permanente e por ser abrigo nos dias mais difíceis.

Aos meus familiares e amigos pelo carinho de sempre.

A minha orientadora, Ana Cristina, pelo incentivo e intenso apoio. Além disso, sou grata

pelo carinho, pela paciência e tolerância, principalmente às dúvidas mais simples que me sur-

giram no árduo processo de conclusão dessa dissertação.

Aos amigos que conquistei durante a minha graduação, especialização e no mestrado. Todos

contribuíram signi�cativamente para realização deste sonho.

Finalmente, agradeço à CAPES pelo apoio �nanceiro.

5

Introdução

Dado um grupo G, denotamos o conjunto de todos os seus automor�smos por Aut(G), que

sabemos que é um grupo sob a operação de composição de funções. Quando G é um grupo de

centro trivial temos que G está imerso em seu grupo de automor�smos e é possível veri�car que

o centro de Aut(G) também é trivial.

Observando sucessivamente este procedimento, temos uma cadeia ascendente de grupos,

conhecida como a torre de automor�smos de G. Uma pergunta pode ser feita: Podemos

a�rmar que esta cadeia se estabiliza? Em 1939, Wielandt (1910 - 2001) garantiu que sim, para

grupos �nitos, e temos o seguinte teorema:

Teorema 0.0.1. A torre de automor�smos de um grupo �nito e com centro trivial estabiliza

em um número �nito de passos.

Ressaltamos que existem exemplos de grupos in�nitos, com centro trivial, cuja torre de

automor�smos não estabiliza.

Após de�nir sob quais condições a torre se estabiliza, a próxima questão a ser respondida é

como ela se estabiliza. Diante disso, analisando a torre de automor�smos de um grupo �nito,

temos que ela se estabiliza quando a cadeia atinge um grupo especial, chamado grupo completo,

que é um grupo com centro trivial onde todo automor�smo é interno.

Portanto, o objetivo desse trabalho é conhecer a torre de automor�smos de um grupo com

centro trivial e demonstrar o clássico Teorema de Wielandt. Além disso, entendemos que o

estudo dos grupos completos se faz necessário.

Mais detalhadamente, a dissertação está organizada da seguinte forma. No Capítulo 1,

vamos de�nir a torre de automor�smos de um grupo e estudar os grupos completos. Já no

Capítulo 2, abordaremos os conceitos e os resultados necessários para provar o Teorema de

Wielandt. No Capítulo 3, vamos demonstrar o Teorema principal da nossa dissertação. Além

disso, exploraremos o grupo diedral in�nito, D∞, um exemplo de um grupo in�nito com centro

trivial cuja torre de automor�smos não se estabiliza.

6

Capítulo 1

Torre de automor�smos

Neste capítulo, começaremos com o estudo do conceito de grupo de automor�smo de um

grupo e estudaremos o grupo de automor�smo de grupos conhecidos. Em seguida, vamos

descrever e de�nir a torre de automor�smos de um grupo com centro trivial.

Nossa última seção é dedicada aos conceitos e resultados básicos da Teoria de Grupos, os

quais são pré-requisitos para discutir os resultados posteriores do trabalho.

A principal referência utilizada neste capítulo foi [10].

1.1 Automor�smos

Dado um grupo G, um homomor�smo bijetivo, ou seja, um isomor�smo ϕ : G −→ G, é dito

um automor�smo de G. O conjunto de todos os automor�smos de G é denotado por Aut(G).

Se ϕ ∈ Aut(G) e H, K subgrupos de G onde K ⊂ H, temos

ϕ(H) ∼= H e |ϕ(H) : ϕ(K)| = |H : K|.

Se ainda K / H segue que

ϕ(K) / ϕ(H) e H/K ∼= ϕ(H)/ϕ(K).

Um automor�smo preserva propriedades teóricas de grupos. É fácil ver que Aut(G) é um grupo

sob a operação de composição de funções.

Nosso objeto de trabalho são os grupos de automor�smos. Por isso, nesta primeira seção

estudaremos o grupo de automor�smos de alguns grupos conhecidos.

Denotaremos o grupo simétrico de grau n por Sn e sabemos que este grupo é não abeliano,

para n ≥ 3. Começaremos estudando o grupo de automor�smos de S3.

7

1.1. AUTOMORFISMOS 8

Exemplo 1.1.1. O grupo simétrico S3 é dado por

〈x, y|x2 = y3 = 1, xy = y−1x〉.

Seus automor�smos são:

ϕ1 : x 7−→ x ϕ2 : x 7−→ x ϕ3 : x 7−→ xy−1

y 7−→ y y 7−→ y−1 y 7−→ y

ϕ4 : x 7−→ xy ϕ5 : x 7−→ xy ϕ6 : x 7−→ xy−1

y 7−→ y−1 y 7−→ y y 7−→ y−1

Temos |Aut(S3)| = 6 e notamos que ϕ2ϕ5 = ϕ6 e ϕ5ϕ2 = ϕ4, então Aut(S3) não é abeliano.

Portanto, Aut(S3) ∼= S3.

Vamos demonstrar, no próximo capítulo, que Aut(Sn) ∼= Sn, para n ≥ 3 e n 6= 6. O próximo

grupo é um exemplo de um grupo de automor�smos de um grupo abeliano.

Exemplo 1.1.2. O grupo de Klein, denotado por K, é um grupo abeliano de ordem 4 onde

todo elemento não trivial tem ordem 2. Denotando K = {1, a, b, ab}, os seus automor�smo são:

γ1 : a 7−→ a γ2 : a 7−→ b γ3 : a 7−→ b

b 7−→ b b 7−→ ab b 7−→ a

γ4 : a 7−→ b γ5 : a 7−→ ab γ6 : a 7−→ ab

b 7−→ ab b 7−→ a b 7−→ b.

Note que como γ2γ3 = γ6 e γ3γ2 = γ4, Aut(K) não é abeliano e |Aut(K)| = 6. Portanto,

Aut(K) ∼= S3.

O grupo de Klein é um exemplo de um grupo abeliano com o grupo de automor�smos não

abeliano. Por outro lado, não é difícil ver que o grupo de automor�smos de um grupo cíclico

é abeliano. Relembramos que U(Zn) = {a ∈ Zn|(a, n) = 1} e |U(Zn)| = φ(n), onde φ(n) é o

valor da função de Euler em n.

Exemplo 1.1.3. Aut(Z) ∼= Z2, Aut(Zn) ∼= U(Zn).

A partir do exemplo anterior, podemos veri�car que se p é primo, então Aut(Zp) ∼= U(Zp).De acordo com a teoria de corpos �nitos, ver [1], se F é um corpo �nito então o grupo multi-

1.2. TORRE DE AUTOMORFISMOS 9

plicativo de F é cíclico. Uma vez que Zp é um corpo �nito e U(Zp) é seu grupo multiplicativo,

então U(Zp) é cíclico. Como |U(Zp)| = p−1, temos que U(Zp) ∼= Zp−1. Assim, Aut(Zp) ∼= Zp−1.Por �m, recordamos que o grupo diedral de ordem 2n é o grupo de simetrias de um polígono

regular de n lados e pode ser dado por:

D2n = 〈r, θ|r2 = 1, θn = 1, rθr−1 = θ−1〉.

Discutiremos o grupo de automor�smos do diedral D8, cuja ordem é 8.

Exemplo 1.1.4. D8 = 〈r, θ|r2 = 1, θ4 = 1, rθ = θ−1r〉. Seus automor�smos são:

ϕ1 : r 7−→ r ϕ2 : r 7−→ r ϕ3 : r 7−→ rθ ϕ4 : r 7−→ rθ

θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1 θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1

ϕ5 : r 7−→ rθ2 ϕ6 : r 7−→ rθ2 ϕ7 : r 7−→ rθ−1 ϕ8 : r 7−→ rθ−1

θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1 θ 7−→ θ θ 7−→ θ−1

Observamos que |Aut(D8)| = 8. Além disso, o(ϕ2) = 2, o(ϕ3) = 4 e ϕ2ϕ3 = ϕ−13 ϕ2. Logo,

Aut(D8) = 〈ϕ2, ϕ3〉 ∼= D8.

1.2 Torre de automor�smos

Considere g e x elementos de um grupo G. De�nimos xg := gxg−1 como o conjugado de x

por g. Para cada g ∈ G, de�nimos a aplicação

τg :G −→ G

x 7−→ gxg−1 = xg.

A�rmamos que τg é um isomor�smo. De fato, dados x, y ∈ G, então

τg(xy) = g(xy)g−1 = τg(x)τg(y).

Além disso, dado x ∈ Ker(τg) segue que xg = 1 e então x = 1. Logo Ker(τg) = 1 e, assim τg é

injetora. Agora, dado x ∈ G, considere y = g−1xg ∈ G. Temos

τg(y) = τg(g−1xg) = x


e assim τg é sobrejetora. Portanto a aplicação τg é um automor�smo de G. Em outras palavras,

ela é um elemento particular do grupo Aut(G).

Assim temos a seguinte de�nição:

De�nição 1.2.1. Seja g um elemento de um grupo G. O automor�smo τg é chamado auto-

mor�smo interno induzido por g. Denotamos Inn(G) = {τg|g ∈ G}, como o conjunto de todos

os automor�smos internos de G.

Exemplo 1.2.2. No Exemplo 1.1.1, é possível observar que todos os automor�smo de S3 são

internos. De fato, ϕ1 induzido por 1, ϕ2 induzido por x, ϕ3 induzido por y−1, ϕ4 induzido por

xy, ϕ5 induzido por y e ϕ6 induzido por xy−1.

Lema 1.2.3. O conjunto dos automor�smo internos de G, Inn(G), é um subgrupo normal em

Aut(G).

Demonstração. Sejam g, h ∈ G. Para todo x ∈ G temos que:

τgh(x) = xgh = (gh)x(gh)−1 = g(hxh−1)g−1 = τg(hxh−1) = τg ◦ τh(x).

E, assim, a composição de automor�smos internos pertence a Inn(G).

Claramente a aplicação IdG ∈ Inn(G) e note que para τg ∈ Inn(G), temos

(τg ◦ τg−1)(x) = τg(g−1xg) = g(g−1xg)g−1 = x.

Sendo assim, (τg)−1 = τg−1 . Com isso, Inn(G) é um subgrupo de Aut(G).

Além disso, Inn(G) / Aut(G). De fato, dado ϕ ∈ Aut(G) e τg ∈ Inn(G) temos:

(ϕτgϕ−1)(x) =ϕ(τgϕ

−1(x))

=ϕ(gϕ−1(x)g−1)

=ϕ(g)xϕ(g)−1

=τϕ(g)(x),∀x ∈ G.

Portanto ϕτgϕ−1 = τϕ(g) ∈ Inn(G).

O teorema a seguir mostra uma propriedade importante dos automor�smos internos.

Teorema 1.2.4. Seja G um grupo e denote por Z(G) o seu centro, ou seja,

Z(G) = {g ∈ G | xg = gx, ∀ x ∈ G }.

Então temos:G

Z(G)∼= Inn(G).


Demonstração. Vamos observar a aplicação

τG :G −→ Aut(G)

g 7−→ τg

Pelo Lema 1.2.3, τG é um homomor�smo e Im(τG) = Inn(G). Além disso,

g ∈ Ker(τG) ⇐⇒ τg(x) = x,∀ x ∈ G ⇐⇒ gx = xg,∀x ∈ G ⇐⇒ g ∈ Z(G).

Então temos Ker(τG) = Z(G).

Pelo Teorema do Isomor�smo, segue que

G

Z(G)∼= Inn(G)

como queríamos.

Corolário 1.2.5. Se G tem centro trivial, então Inn(G) ∼= G.

Quando Z(G) é trivial, é possível identi�car Inn(G) com G. A aplicação τG, como de�nimos

na demonstração do Teorema 1.2.4, é considerada uma imersão de G em Aut(G). Assim,

podemos ver G como um subgrupo de Aut(G). Representamos tal situação com a seguinte

notação: GτG↪−→ Aut(G) e, com essa identi�cação, G E Aut(G).

Relembramos que dados G um grupo e H um subgrupo de G, de�nimos o centralizador de

H em G como

CG(H) = {g ∈ G|gh = hg,∀h ∈ H}.

Lema 1.2.6. Seja G um grupo. Se Z(G) = 1, então CAut(G)(Inn(G)) = 1.

Demonstração. Tome ϕ ∈ CAut(G)(Inn(G)). Logo

τgϕ = ϕτg, ∀ g ∈ G =⇒ τg = ϕτgϕ−1, ∀g ∈ G.

De acordo com o Lema 1.2.3, temos que ϕτgϕ−1 = τϕ(g). Além disso, observe que

τg = ϕτgϕ−1 = τϕ(g) =⇒ τg = τϕ(g), ∀ g ∈ G.

Na demonstração do Teorema 1.2.4, veri�camos que Ker(τG) = Z(G). Como Z(G) é trivial,

então Ker(τG) = 1, e, consequentemente, a aplicação τG é injetiva. Uma vez que τg = τϕ(g),

temos que g = ϕ(g), ∀ g ∈ G. Logo ϕ = Id, como queríamos.


Observação 1.2.7. Se H é um subgrupo de um grupo G, então Z(G) ≤ CG(H). Sendo assim,

se CAut(G)(Inn(G)) = 1, então Z(Aut(G)) = 1. Logo, quando G é um grupo com centro trivial,

temos que Aut(G) é um grupo com centro trivial.

Seja G um grupo com centro trivial. Inicialmente, vamos denotar G0 = G. Considere

τG : G −→ Aut(G).

Neste caso, sabemos que GτG↪−→ Aut(G) é uma imersão de G em Aut(G) e G / Aut(G).

Agora, vamos denotar G1 = Aut(G0) e considerar

τG1 : G1 −→ Aut(G1).

Pela Observação 1.2.7, Z(G1) é trivial. Então, G1

τG1↪−−→ Aut(G1) e G1 / Aut(G1) = G2.

Portanto,

G = G0 / G1 / G2.

Desta forma, podemos construir recursivamente uma cadeia ascendente de grupos. A partir

do exposto, estamos aptos a enunciar à de�nição da torre de automor�smos. Utilizaremos os

números ordinais para de�ni-lá, por isso solicitamos ver o Apêndice desta dissertação.

De�nição 1.2.8. Seja G um grupo com centro trivial. De�nimos a torre de automor�smos de

G como a cadeia ascendente de grupos

G = G0 / G1 / · · · / Gα / Gα+1 / . . .

sendo α um número ordinal. Se α é um ordinal sucessor, de�nimos Gα+1 = Aut(Gα) e

temos que CGα+1(Gα) = 1. Para γ um ordinal limite, de�nimos Gγ =⋃β<γ Gβ.

Após detalhar a construção da torre de automor�smos de um grupo e formalizar sua de-

�nição, é natural a seguinte dúvida: A torre de automor�smos se estabiliza? A questão foi

solucionada pelo matemático Wielandt, para grupos �nitos, em 1939. Diante disso, apresenta-

mos o teorema central do nosso trabalho:

Teorema 1.2.9. A torre de automor�smos de um grupo �nito com centro trivial sempre esta-

biliza em um número �nito de passos.

A prova deste teorema está no capítulo �nal da dissertação. Além do teorema, que responde

nossa pergunta principal, temos outro foco de estudo. Ele consiste em discutir o grupo em que

a torre de automor�smos se estabiliza.

1.3. CONCEITOS GERAIS SOBRE GRUPOS 13

Observe que a torre se estabiliza em um grupo Gα se Gα = Gγ, ∀γ > α. Note então que

Gα = Gα+1 = Aut(Gα). Além disso, Gα∼= Inn(Gα) e da relação Gα = Gα+1 = Aut(Gα) temos

que todos os automor�smos de Gα são internos. Sabemos que Z(Gα) = 1 e observamos que

Aut(Gα) = Inn(Gα), grupos com tais características de�nimos como grupos completos. Um

dos objetivos do próximo capítulo é estudar melhor os grupos completos.

1.3 Conceitos gerais sobre grupos

Nesta seção, vamos relembrar alguns resultados sobre teoria de grupos que serão úteis no

decorrer dos próximos capítulos.

Relembramos que, dado G um grupo e H um subgrupo de G, o normalizador de H em G é

de�nido como

NG(H) = {g ∈ G | gHg−1 = H}.

Note que NG(H) = G se, e somente se, H / G. Além disso, se K ≤ G é tal que K ⊆ NG(H),

então dizemos que K normaliza H, ou seja, dado k ∈ K e a ∈ H temos que kak−1 = ak ∈ H.

É fácil ver que NG(H) e CG(H) são subgrupos de G e que CG(H) está contido em NG(H).

Se tomarmos g ∈ NG(H) e x ∈ CG(H) então gxg−1 ∈ CG(H). De fato, se h ∈ H, logo

h(gxg−1) =(hg)xg−1

=(gh1)xg−1, para algum h1 ∈ H

=gxh1g−1

=(gxg−1)h.

Portanto, CG(H) / NG(H).

Recordamos que dois elementos x e y de um grupo G são conjugados se existe um elemento

g ∈ G tal que gxg−1 = y. É fácil ver que a conjugação é uma relação de equivalência e suas

classes de equivalência são as classes de conjugação. Para x ∈ G, denotaremos por Cl(x) sua

classe de conjugação e então

Cl(x) = {xg | g ∈ G}.

Dado G um grupo e x ∈ G, considere CG(x) o conjunto de todos os elementos de G que

comutam com x, ou seja

CG(x) = {g ∈ G | xg = x}.

Seja Y = {gCG(x) | g ∈ G}. Note que |Y | = [G : CG(x)], ou seja a quantidade de classes

laterais de CG(x) em G. Vamos mostrar que |Cl(x)| = |Y |. Sendo assim, de�nimos a seguinte


aplicação

ϕ : Cl(x) −→ Y

xg 7−→ gCG(x).

Note que a aplicação ϕ é sobrejetiva. Além disso, se ϕ(xg1) = ϕ(xg2), então g1CG(x) = g2CG(x).

Assim,

g1CG(x) = g2CG(x) ⇐⇒ g−11 g2 ∈ CG(x) ⇐⇒ g−11 g2x = xg−11 g2 ⇐⇒ xg1 = xg2 .

Logo, ϕ é bijetiva. Portanto, |Cl(x)| = [G : CG(x)].

Sejam p um primo e G um grupo. Recordamos que G é dito um p-grupo se todo elemento

de G tem ordem uma potência de p. Se G é um p-grupo �nito, então G tem ordem potência

de p. A partir das observações anteriores, vamos demonstrar o seguinte resultado:

Proposição 1.3.1. Sejam G um p-grupo �nito e N um subgrupo normal e não trivial de G.

Então N ∩ Z(G) 6= 1.

Demonstração. Considere a seguinte aplicação

ϕ : G −→ Aut(N)

g 7−→ ϕg : N −→ N

n 7−→ ng.

Note que a aplicação é uma ação por conjugação de G em N . Como Cl(x) = {xg|x ∈ G},segue que ϕ particiona N em classes de conjugação. Além disso, observe que Cl(x) = {x}se, e somente se x ∈ Z(G). Temos que |Cl(x)| = [G : CG(x)]. Como G é um p-grupo, |N | e[G : CG(x)] são potências de p. Note que:

N =⋃·

x∈N

Cl(x) = (⋃·

|Cl(x)|>1

Cl(x))⋃· (

⋃·

|Cl(x)|=1

Cl(x)).

Então,

|N | =∑

|Cl(x)|>1

|Cl(x)|+∑

|Cl(x)|=1

|Cl(x)|.

Claramente temos que∑|Cl(x)|=1 |Cl(x)| = |Z(G) ∩N |. Sendo assim,

|N | =∑

|Cl(x)|>1

|Cl(x)|+ |Z(G) ∩N |.


Sabemos que p divide [G : CG(x)] = |Cl(x)|, para todo x ∈ N onde |Cl(x)| > 1, e divide |N |.Então p divide |Z(G) ∩N |. Logo Z(G) ∩N 6= 1, como queríamos.

O conceito de subgrupo característico é muito utilizado ao longo do nosso trabalho. Por

isso é necessário relembrar a seguinte de�nição:

De�nição 1.3.2. Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é dito característico em G se

ϕ(H) = H, para todo automor�smo de G. Denotaremos H <car

G, para indicar que H é

característico em G

Além da de�nição de um subgrupo característico, é útil observar que para cada g ∈ G,

temos o seguinte automor�smo de G

τg :G −→ G

x 7−→ xg.

Logo τg(H) = H, ou seja, para qualquer h ∈ H então τg(h) ∈ H. Sendo assim, Hg = H, para

qualquer g ∈ G. Portanto H / G e segue que todo subgrupo característico em G é normal em

G. Mas a recíproca não é verdadeira, analise nosso próximo exemplo:

Exemplo 1.3.3. Seja H um grupo não trivial. Considere G = H × H e os subgrupos H1 =

{1} × H e H2 = H × {1}, como H não é trivial temos que H1 6= H2. Os subgrupos H1 e H2

são normais em G. De fato, se (1, h) ∈ H1 e (h1, h2) ∈ G, onde h1, h2 ∈ H temos que

(h1, h2)(1, h)(h1, h2)−1 = (h1, h2)(1, h)(h

−11 , h−12 ) = (1, h2hh

−12 ) ∈ H1.

Analogamente, H2 / G. Considere o seguinte automor�smo de G:

γ : G −→ G

(h1, h2) 7−→ (h2, h1).

Note que γ(1, h) = (h, 1), para todo (1, h) ∈ H1. Claramente, γ(H1) 6= H1. Assim H1 é

normal em G e não é característico em G. Observamos o mesmo para o subgrupo H2.

Destacaremos, de forma conveniente e ao longo da dissertação, alguns resultados envolvendo

o conceito de subgrupo característico. Por hora, vamos recordar que:

Proposição 1.3.4. Se N <car

H e H / G então N / G.


Demonstração. Sejam g ∈ G e τg um automor�smo interno de G induzido pelo elemento g.

Uma vez que H /G, temos que ψ|H : H −→ H é um automor�smo de H. Como N <car

H, segue

que (ψ|H)(N) = N . Assim, se n ∈ N , então ng = ψ(n) ∈ N e temos N / G.

Os Teoremas de Sylow também serão úteis ao longo do nosso trabalho. Apenas enunciaremos

tais teoremas, as demonstrações podem ser encontradas em [10].

Teorema 1.3.5. (Teoremas de Sylow). Seja G um grupo. Se |G| = pαm, p um primo e

(p,m) = 1, então:

1. Para cada β, 1 ≤ β ≤ α, existe H ≤ G tal que |H| = pβ;

2. Seja Sylp(G) = {P ≤ G : |P | = pα}. Se np = |Sylp(G)| então np|m e np ≡ 1 (mod p);

3. Dados P,Q ∈ Sylp(G), existe g ∈ G tal que P g = Q;

4. Se S é um p-subgrupo de G, então existe P ∈ Sylp(G) tal que S ⊆ P .

A partir do Teorema 1.3.5, os p-subgrupos de Sylow formam uma única classe de equivalência

de subgrupos conjugados. Note que a classe de equivalência consiste de um único elemento se,

e somente se gPg−1 = P para ∀g ∈ G, isto é Sylp(G) = {P}. Tal situação ocorre se, e somente

se P / G.

Agora, considere a |G| = pαm e p não divide m. Se P ∈ Sylp(G) e é normal, então

Sylp(G) = {P}. Note que a ordem e o índice de P são relativamente primos, pela Proposição

3.1.2, P é característico em G. A partir disso, temos que os subgrupos de Sylow normais são

sempre característicos.

Proposição 1.3.6. Sejam G um grupo �nito e p um primo, tal que p divide |G|. Se N / G e

P ∈ Sylp(G), então P ∩N ∈ Sylp(N).

Demonstração. Inicialmente, considere |G| = pαm, com (p,m) = 1. Seja P ∈ Sylp(G) logo

|P | = pα. Por hipótese, N /G e P ≤ G logo P ∩N /P . Assim sendo, temos que |P ∩N | dividea |P |, isto é, |P ∩N | = pβ, onde β ≤ α. Vamos mostrar que P ∩N é um p-subgrupo de Sylow

de N .


G

NP

N P

pα

rr

N ∩ Ppβ

{1}

Sabemos que |N | = [N : N ∩ P ]|N ∩ P |. Para mostrar o resultado desejado, basta veri�car

que p não divide [N : N ∩ P ]. De fato, note que

|N ||N ∩ P |

=|NP ||P |

=⇒ [N : N ∩ P ] = [NP : P ].

Observe que [G : P ] = [G : NP ][NP : P ]. Como P é um p-subgrupo de Sylow de G temos

que p não divide [G : P ]. Logo p não divide [NP : P ] e então p não divide [N : N ∩ P ], como

queríamos.

Capítulo 2

Grupos completos

Já mencionamos a importância dos grupos completos no estudo da torre de automor�smos

de um grupo �nito e com centro trivial. Os principais teoremas sobre os grupos completos,

exigem o estudo do subgrupo comutador de um grupo G. Frisamos, também, que muitos

dos resultados que asseguram a demonstração do Teorema de Wielandt, envolvem o cálculo

so�sticado dos elementos comutadores de um dado grupo G. Por isso, o objetivo inicial deste

capítulo é conceituar e discutir algumas propriedades do elemento comutador e do subgrupo

comutador de um grupo.

Feito isso, nas últimas seções, estudaremos os grupos completos. Mais especi�camente,

vamos de�nir e exempli�car os grupos completos. Também demonstraremos o resultado de

Holder (∼1890)/Baer (∼1950), que estabelece condições necessárias e su�cientes para um grupo

ser completo. Por �m, vamos provar dois resultados, ambos do matemático Burnside (∼1910),também sobre tais grupos.

2.1 Comutadores

Começaremos a discutir os conceitos básicos sobre os elementos comutadores e o subgrupo

comutador de um grupo G.

Dados x1 e x2 elementos de G, de�nimos o elemento comutador de x1 e x2 como:

[x1, x2] = x−11 x−12 x1x2.

Note que x1 comuta com x2 se, e somente se, [x1, x2] = 1. De forma geral, um elemento

comutador de comprimento n ≥ 2 é de�nido recursivamente pela regra

[x1, · · · , xn] = [[x1, · · · , xn−1], xn].

18

2.1. COMUTADORES 19

Por convenção, [x1] = x1 e [x,n y] = [x, y, · · · , y︸︷︷︸n−vezes

]. Agora, se X1 e X2 são subconjuntos não

vazios de um grupo G, o subgrupo comutador de X1 e X2 é dado por

[X1, X2] = 〈[x1, x2]|x1 ∈ X1, x2 ∈ X2〉.

Mais geralmente, dados X1, · · · , Xn subconjuntos não vazios de G, onde n ≥ 2, de�nimos:

[X1, · · · , Xn] = [[Xn, · · · , Xn−1], Xn].

Por simples veri�cação, temos [X1, X2] = [X2, X1]. Algumas vezes é conveniente escrever

[X,n Y ] para [X, Y, · · · , Y︸︷︷︸n−vezes

]. Por �m, recordamos que o subgrupo derivado ou subgrupo comu-

tador de G é de�nido como G′ = [G,G], ou seja,

G′ = 〈[x1, x2]|x1, x2 ∈ G〉.

Não é difícil veri�car que G′ é um subgrupo normal em G.

Exemplo 2.1.1. O grupo dos quatérnios, denotado por Q8, é um grupo não abeliano de ordem

8. Sua apresentação é:

Q8 = 〈a, b|a4 = 1, a2 = b2, [a, b] = a2〉.

Os subgrupos normais de Q8 são: 〈a〉, 〈b〉, 〈a2〉 e {1}. Observamos que subgrupo derivado de

Q8 é 〈a2〉.

Agora, introduziremos propriedades relacionados ao cálculo de comutadores.

Proposição 2.1.2. Sejam x, y e z elementos de um grupo. Então:

1. [x, y] = [y, x]−1.

2. [xy, z] = [x, z]y[y, z].

3. [x, yz] = [x, z][x, y]z.

4. [x, y−1] = ([x, y]y−1)−1.

Demonstração. 1. [y, x]−1 = (y−1x−1yx)−1 = x−1y−1xy = [x, y].

2. [x, z]y[y, z] = y−1[x, z]y[y, z] = y−1x−1z−1xyz = (xy)−1z−1(xy)z = [xy, z].

3. Análogo ao item anterior.

4. ([x, y]y−1)−1 = (y[x, y]y−1)−1 = (yx−1y−1x)−1=x−1yxy−1 = [x, y−1].

Proposição 2.1.3. Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Então:

2.1. COMUTADORES 20

1. [H,K] = [K,H];

2. [H,K] ≤ H se, e somente se, K ≤ NG(H).

Demonstração. 1. Segue imediatamente da Proposição 2.1.2 item 1.

2. Dados h ∈ H e k ∈ K, observe que [h, k] = h−1k−1hk ∈ H se, e somente se, temos que

k−1hk ∈ H, ∀k ∈ K. Isto é, se, e somente se, K ≤ NG(H).

Lema 2.1.4. Suponha que H e K são subgrupos de um grupo G e que K normaliza H. Então

[HK,K] = [H,K][K,K].

Demonstração. Claramente temos que:

[H,K][K,K] ⊆ [HK,K][HK,K] = [HK,K].

Por outro lado, seja h ∈ H e k1, k2 ∈ K. Pela Proposição 2.1.2 (item 2), segue que:

[hk1, k2] = [h, k2]k1 [k1, k2] = [hk1 , kk12 ][k1, k2].

Por hipótese K normaliza H, assim [hk1, k2] ∈ [H,K][K,K]. Portanto, [H,K][K,K] ⊆[HK,K].

A próxima proposição é uma propriedade importante do subgrupo comutador e será útil em

nosso último capítulo.

Proposição 2.1.5. Seja H um subgrupo normal em um grupo G. Então o grupo quociente

G/H é abeliano se, e somente se, G′ ≤ H.

Demonstração. Suponha G/H abeliano. Sejam x, y ∈ G, logo

xyH = yxH =⇒ x−1y−1xyH = H =⇒ [x, y] ∈ H.

Logo, ∀ x, y ∈ G temos que [x, y] ∈ H. Portanto, G′ ≤ H. Agora, suponha que G′ ≤ H. Sejam

x, y ∈ G, entãoxyH = yxx−1y−1xyH = yx([x, y])H.

Como G′ ≤ H, temos que ([x, y])H = H. Assim, xyH = yxH e, então G/H é abeliano.

2.2. GRUPOS COMPLETOS 21

2.2 Grupos completos

Nesta seção, de�niremos os grupos completos e demonstraremos que Sn, quando n ≥ 3 e

n 6= 6, é um exemplo de grupo completo. Além disso, analisaremos o motivo de S6 não ser

classi�cado como completo. Por �m, demonstraremos dois resultados importantes sobre esses

grupos, ambos do matemático Burnside.

De�nição 2.2.1. Um grupo G é dito completo se Z(G) = 1 e Aut(G) = Inn(G).

Consequentemente, se G é completo segue que todo automor�smo de G é interno. Além

disso, note queG ∼= Aut(G), pelo Teorema 1.2.4. Comentamos que, de acordo com o Teorema de

Wielandt, a torre de um grupo �nito se estabiliza em um grupo Gα se Gα = Gα+1 = Aut(Gα).

Sendo Gα∼= Inn(Gα), temos Inn(Gα) ∼= Aut(Gα). Como os grupos são �nitos, segue que

Inn(Gα) = Aut(Gα). Isto é, a torre de automor�smos de um grupo �nito estabiliza se existe

um ordinal α tal que Gα é um grupo completo. Diante disso, justi�camos nosso interesse pelos

grupos completos.

O simétrico Sn, quando n ≥ 3 e n 6= 6, é um grupo completo. Para demonstrar que Sné completo, com as condições já mencionadas, vamos conhecermos um pouco sobre os grupos

simétricos. Não iremos demonstrar todos os resultados referentes à estrutura dos Sn. Preten-

demos enunciar e comentar a maioria dos teoremas e proposições necessários para veri�carmos

que, quando n ≥ 3 e n 6= 6, o Z(Sn) é trivial e todos os automor�smos de Sn são internos. Para

mais detalhes sobre a estrutura dos grupos simétricos indicamos as referências [4] e [2].

Uma forma de representar as permutações de Sn é utilizando a notação em ciclos, e utili-

zaremos esta notação. Dizemos que uma permutação σ ∈ Sn é um r−ciclo de Sn, r ≥ 2, se

existem i1, i2, . . . , ir elementos distintos de {1, 2, . . . , n} tais que:

σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1 e

σ(j) = j ∀ j ∈ {1, . . . , n} − {i1, . . . , ir}.

Nesse caso, usaremos a notação σ = (i1i2 · · · ir) ∈ Sn.

Seja σ ∈ Sn um r-ciclo e seja τ ∈ Sn um s-ciclo, r, s ≥ 2. Dizemos que as permutações σ

e τ são disjuntas se nenhum elemento de {1, 2, . . . , n} é movido por ambas. É fácil ver que se

σ, τ ∈ Sn são ciclos disjuntos, então στ = τσ.

Toda permutação não trivial σ ∈ Sn, n ≥ 3, pode ser escrita (de maneira única, a menos

de ordenação) como um produto de ciclos disjuntos. Esta é a chamada estrutura cíclica de

σ. Ciclos de comprimento 2 são chamados transposições. Desta forma, todo ciclo de Sn pode

ser escrito como um produto(não necessariamente disjunto) de transposições. Além disso,

de�nimos que uma permutação é par se pode ser escrita como um produto de um número par de


transposições e notamos que ciclos de comprimento ímpar são permutações pares. O conjunto

An das permutações pares de Sn é um subgrupo normal de ordem n!2, chamado subgrupo

alternado de Sn. Por �m, relembramos que Sn é gerado pelo conjunto { (1 2), (2 3), · · · , (n−1 n)}.

O próximo teorema garante que a conjugação ente os elementos de Sn preserva sua estrutura

cíclica.

Teorema 2.2.2. Duas permutações α, β ∈ Sn são conjugadas em Sn se, e somente se, α e β

têm a mesma estrutura cíclica.

Demonstração. Inicialmente, suponha que α e β são conjugadas, logo existe γ ∈ Sn tal que

β = αγ = γαγ−1. Considere

α = (i(1)i · · · i

(1)k1) · · · (i(s)i · · · i

(s)ks).

Note que α(i(l)j ) = i(l)j+1, onde 1 ≤ l ≤ s e 1 ≤ j ≤ k1, · · · , ks. Além disso, como β = γαγ−1

segue que βγ = γα. Diante disso, a�rmamos que β(γ(i(l)j )) = γ(i(l)j+1), onde 1 ≤ l ≤ s. De fato,

observe que

β(γ(i(l)j )) = γαγ−1(γ(i

(l)j )) = γα(i

(l)j ) = γ(i

(l)j+1).

Sendo assim,

β = (γ(i(1)1 ) · · · γ(i(1)k1 )) · · · (γ(i

(s)1 ) · · · γ(i(s)ks )).

Logo β tem a mesma estrutura cíclica de α. Por outro lado, suponha que α e β são duas

permutações de Sn com a mesma estrutura cíclica. Sejam

α = (i(1)i · · · i

(1)k1) · · · (i(s)i · · · i

(s)ks) e β = (i

′(1)i · · · i

′(1)k1

) · · · (i′(s)i · · · i

′(s)ks

).

Vamos de�nir γ ∈ Sn da seguinte maneira: γ(i(l)k ) = i′(l)k , onde 1 ≤ l ≤ s e 1 ≤ j ≤ k1, · · · , ks.

Então segue que αγ = β, como queríamos.

A seguir, temos um lema técnico que será útil para veri�carmos que, quando n ≥ 3 e n 6= 6,

todos os automor�smos de Sn são internos.

Lema 2.2.3. Sejam n 6= 6 e τ ∈ Sn um elemento de ordem 2 que é um produto de k transpo-

sições disjuntas. Então:

1. O tamanho da classe de conjugação de τ é

n!

2k(n− 2k)k!;


2. Se k > 1 então |Cl(τ)| 6= |Cl(σ)|, para qualquer transposição σ de Sn.

Demonstração. Como |Sn| = n! e 2| n!, temos que existe τ ∈ Sn, onde τ 6= 1 e o(τ) = 2. Assim,

o grupo Sn possui um elemento de ordem 2 que é produto de k transposições disjuntas.

Observamos que τ consiste de um produto de k transposições disjuntas, onde 1 ≤ k ≤ n2,

pois cada transposição possui dois elementos distintos que não se repetirão em nenhuma outra

e temos no máximo n elementos para serem distribuídos. Fixado o número de transposições,

vemos que τ �xa no máximo n− 2k pontos.

Contaremos o tamanho da classe de conjugação de τ em termos de k e n. Analisando,

novamente, que τ se escreve como produto de k transposições disjuntas, vemos então que as

possibilidades de escrever a primeira transposição são n(n−1)2

.

A próxima possibilidade de escolha para a segunda transposição será (n−2)(n−3)2

. De fato,

ao escolhermos a primeira transposição, dois elementos já não podem mais serem escolhidos,

dessa forma, a próxima escolha será entre n− 2 elementos.

Prosseguindo a contagem dessa forma e por argumentos de análise combinatória, segue que

a possibilidade total de escolhas será dada pelo produto, então teremos

n!

2k(n− 2k)!k!

maneiras de escrever o produto de k transposições disjuntas, sendo k! a quantidade de permu-

tações entre as transposições disjuntas. Logo o tamanho da classe de conjugação de τ será dado

por

|Cl(τ)| = n!

2k(n− 2k)!k!.

Para provarmos o item 2, note que se k = 1, então τ é uma transposição e

|Cl(τ)| = n!

2(n− 2)!.

Queremos garantir que para k > 1, o tamanho da classe de τ é diferente do tamanho da

classe de uma transposição , isto é,

n!

2(n− 2)!6= n!

2k(n− 2k)!k!.

Vamos provar então que

2(n− 2)! 6= 2k(n− 2k)!k!, para 1 < k ≤ n

2. (2.1)

Se k = 2, é fácil ver que 4(n− 4)!2! 6= 2(n− 2)!, n ≥ 2. Assumimos então que k ≥ 3 o que


nos dá 3 transposições disjuntas, ou seja, temos n ≥ 6. Mas por hipótese n 6= 6. Assim teremos

n > 6. Observe que teremos uma igualdade em (2.1) caso n = 6 e k = 3, o que comprova a

necessidade de nossa hipótese. Para mostrarmos (2.1), mostraremos que

2k(n− 2k)!k! < 2(n− 2)!

que é o mesmo que

2k−1(n− 2k)!k! < (n− 2)!.

Pela de�nição de número binomial temos

1 ≤(n− kk

)=

(n− k)!k!(n− 2k)!

e daí segue que

k!(n− 2k)! ≤ (n− k)!

ou então

2k−1k!(n− 2k)! ≤ 2k−1(n− k)!.

Assim, basta mostrar que

2k−1 < (n− 2)(n− 3) . . . (n− (k − 1)), (2.2)

pois daí teremos, nossa relação desejada.

Para mostrar (2.2), observe que no lado direito dessa inequação temos k − 2 fatores com o

de menor valor sendo (n − (k − 1)). Uma vez que este fator excede 4, teremos que os demais

fatores também excederão 4. De fato, como n > 6 e 1 < k ≤ n2, temos 0 < k−1 ≤ n

2−1 = n−2

2.

Mas para termos o menor valor de (n− (k− 1)) precisamos que k− 1 seja o maior possível, ou

seja, n−22. Logo, chegamos que

n−(n− 2

2

)=n+ 2

2> 4

para n > 6. Temos então que o lado direito de (2.2) excede 4k−2 = 22(k−2) ≥ 2k−1.

Agora, estamos prontos para provar que Sn, para n 6= 6 e n ≥ 3, é um grupo completo.

Proposição 2.2.4. Para n ≥ 3, temos que Z(Sn) = {1}.

Demonstração. Considere α ∈ Sn e α não trivial. Vamos mostrar que sempre existe τ ∈ Sn

tal que ατ 6= τα e desta forma, temos que α /∈ Z(Sn). Observe que sendo α 6= 1 existe


i ∈ {1, · · · , n} tal que α(i) = j 6= i. Como n ≥ 3, existe k ∈ {1, · · · , n}, onde k 6= i e k 6= j.

Tome τ = (i k), assim temos que

ατ(i) = α(k) 6= j e τα(i) = τ(j) = j.

Portanto, ατ 6= τα.

Teorema 2.2.5. Se n 6= 6 então todo automor�smo de Sn é interno.

Demonstração. Sejam σ ∈ Aut(Sn) e ψ uma transposição em Sn. Um automor�smo leva

conjuntos com m elementos em conjuntos com m elementos, ou seja, σ leva n!2(n−2)! elementos

da classe de α em n!2(n−2)! elementos. Pelo Lema 2.2.3, uma classe com este tamanho só possui

transposições, assim σ leva transposições em transposições.

Tome ci = (i i + 1) para 1 ≤ i ≤ n − 1 e seja ψi = σ(ci). Para i = 1 escreva ψ1 = (a1 a2).

Observando que c1 = (1 2) e c2 = (2 3) não comutam, temos que ψ1 e ψ2 também não comutam,

pois

ψ1ψ2 = σ(c1)σ(c2) = σ(c1c2) 6= σ(c2c1) = ψ2ψ1.

Podemos escrever então ψ2 = (a2 a3) com a3 6= a1. Analogamente, ψ3 não comuta com

ψ2, pois c3 não comuta com c2. Assim ψ3 deve possuir a2 ou a3. No entanto, uma vez que

c1 comuta com c3, ψ1 comuta ψ3. Sendo assim, ψ3 = (a3 a4) onde a4 /∈ {a1, a2, a3}. Da

mesma forma, ψ4 possui interseção com ψ3 e é disjunto de ψ1, ψ2. Assim sendo ψ4 = (a4 a5),

a5 /∈ {a1, a2, a3, a4}. Continuando deste modo podemos escrever ψi = (ai ai+1) com a1, . . . , an

distintos, ai ∈ {1, 2, . . . , n}.Seja γ ∈ Sn uma permutação tal que γ(i) = ai. Então (ci)

γ = ψi. Se α é automor�smo

interno induzido por γ, ou seja,

α : Sn −→ Sn

η 7−→ ηγ

mostraremos que α−1σ �xa cada ci. Note que o conjunto {ci} gera Sn. Se α−1σ �xar todo ci,

teremos que α−1σ �xará todo elemento de Sn, ou seja, α−1σ = Id. Sabemos que ψi = σ(ci),

logo α−1(σ(ci)) = α−1(ψi). Como

α−1 : Sn −→ Sn

η 7−→ ηγ−1

e ψi = cγi temos

α−1(σ(ci)) = α−1(ψi) = α−1(cγi ) = (cγi )γ−1

= ci.

Assim α = σ é automor�smo interno, como queríamos demonstrar.


Usando a Proposição 2.2.4 e o Teorema 2.2.5, provamos o seguinte:

Teorema 2.2.6. Sn é um grupo completo, para todo n ≥ 3 e n 6= 6.

Para n = 6, não temos Sn ∼= Aut(Sn). Ou seja, S6 tem um automor�smo que não é interno.

Para demonstrar isso, é necessário discutir certas características do grupo S6 e do seu grupo de

automor�smos, Aut(S6).

O grupo S6 possui um subgrupo, que denotaremos de K, com ordem 120 e que não contém

transposições. O subgrupo K de S6 é fundamental para demonstrar que S6 e Aut(S6) não

são isomorfos. Para começarmos a provar a existência do subgrupo K de S6, recordamos

que dado um conjunto não-vazio X, o conjunto Sim(X) é considerado o conjunto de todos

as permutações do conjunto X. É fácil veri�car que Sim(X) é um grupo. Um subgrupo S

de Sim(X) é denominado transitivo, se para cada par de elementos x, y ∈ X, existir uma

permutação σ ∈ S, tal que σ(x) = y. Com o intuito de exempli�car as de�nições relembradas

acima, destacamos que K4 = {1, (12)(34), (13(24), (14)(23)} é um subgrupo transitivo de S4.

Agora, seja H um subgrupo de um grupo G. Considere o conjunto X = {xH | x ∈ G},note que o número de elementos do conjunto X corresponde ao número de classes laterais de

H em G e podemos de�nir o homomor�smo

ϕ : G −→ Sim(X)

g 7−→ ϕg : X −→ X

xH 7−→ gxH.

A�rmamos que Im(ϕ) é um subgrupo transitivo de Sim(X). De fato, se tomarmos x, y ∈ X,

então existem a, b ∈ G tal que x = aH e y = bH. Seja g = ba−1 ∈ G, claramente σ = ϕg ∈Im(ϕ). Observe que:

ϕg(aH) = gaH = (ba−1)aH = bH.

Diante disso, existe σ ∈ Im(ϕ) tal que σ(x) = y.

À vista disso, vamos demonstrar o lema abaixo.

Lema 2.2.7. Existe um subgrupo transitivo K de S6 com ordem 120 que não contém transpo-

sições.

Demonstração. Dado um grupo G e um subgrupo H, podemos de�nir o seguinte homomor�smo

ϕ : G −→ Sim(X)

g 7−→ ϕg : X −→ X

aH 7−→ gaH


onde X = {aH| a ∈ G}. Inicialmente, vamos mostrar que Im(ϕ) é um subgrupo transitivo de

S6 cuja ordem é 120. Considere G = S5, P ∈ Syl5(S5) e H = NG(P ). Pelo Teorema de Sylow,

temos que n5 ≡ 1 (mod 5) e que n5 divide 24. Sendo assim, n5 = 6 pois P não é normal em

S5. Então [G : NG(P )] = 6.

Diante disso, temos |X| = 6 e |Sim(X)| = 6! o que implica que Sim(X) ∼= S6. Deste modo,

no homomor�smo acima temos ϕ : S5 → S6. A�rmamos que o homomor�smo é injetor. De

fato, observe queker(ϕ) = {g ∈ S5| ϕg = Id}

= {g ∈ S5| aH = gaH, ∀a ∈ G}.

Se a = 1, então H = gH, ou seja, g ∈ H. Logo ker(ϕ) ≤ H e assim [G : H] ≤ [G : ker(ϕ)].

Como ker(ϕ) /S5 temos duas possibilidades: ker(ϕ) = 1 ou A5. Observe que [S5 : ker(ϕ)] ≥ 6,

então a única possibilidade coerente é ker(ϕ) = 1, mostrando que ϕ é um homomor�smo injetor.

Diante do exposto, temos que |Im(ϕ)| = |S5| = 120 e Im(ϕ) ≤ S6. Além disso, note que

Im(ϕ) é um subgrupo transitivo de S6. Denote K = Im(ϕ), agora basta mostrar que K não

possui transposições. A demostração é por contradição.

Sabemos que K contém um elemento α de ordem 5 que deve ser um 5-ciclo, digamos

α = (1 2 3 4 5). Suponha que (i j) seja uma transposição em K. Como K é transitivo, existe

um β ∈ K tal que β(j) = 6 então β−1(6) = j. Portanto β(i j)β−1 ∈ K, ou seja, é igual a (l 6)

para algum l 6= 6. Conjugando (l 6) por todas as potências de α teremos que (1 6), (2 6), (3 6),

(4 6) e (5 6) pertencem a K. Já relembramos que esses elementos geram o S6, assim K = S6,

absurdo.

Estamos aptos a mostrar o seguinte teorema:

Teorema 2.2.8. Existe um automor�smo de S6 que não é interno.

Demonstração. De acordo com o Lema 2.2.7, temos K um subgrupo transitivo de S6, cuja or-

dem é 120 e não possui transposições. Considere σ : S6 −→ Sim(X), ondeX = {α1K,α2K, · · · , α6K}.Analogamente à demonstração do Lema 2.2.7, mostramos que σ é injetiva. Além disso, note

que |Sim(X)| = |S6|, então σ é sobrejetiva. Portanto, σ ∈ Aut(S6). Suponha, por absurdo,

que σ ∈ Inn(S6). Sendo assim, σ é uma conjugação e preserva estrutura cíclica dos elementos

de S6. À vista do exposto, σ((1 2)) = σ(1 2) é uma transposição. Porém

σ : S6 −→ S6

(1 2) 7−→ σ(1 2) : X −→ X

αiK 7−→ (1 2)αiK,

para cada i. Com σ(1 2) é transposição então alguma classe αiK tem que ser �xada, ou

seja, exites i tal que (1 2)αiK = αiK. Se isto acontecer, α−1i (1 2)αiK = K, teremos que

2.3. TEOREMAS SOBRE GRUPOS COMPLETOS 28

α−1i (1 2)αi ∈ K. Absurdo, pois α−1i (1 2)αi é uma transposição e K não possui transposições.

Note que σ(1 2) não �xa as classes laterais e logo σ(1 2) não é uma transposição. Assim,

ϕ ∈/ Inn(S6), ou seja, S6 possui um automor�smo que não é interno

A partir do Teorema 2.2.8, temos nosso resultado almejado, isto é, o grupo S6 não é um

grupo completo.

2.3 Teoremas sobre grupos completos

A última seção do capítulo é dedicada aos resultados importantes sobre os grupos comple-

tos. Iniciaremos com de�nições e proposições que auxiliaram na demonstração desse teoremas.

Sendo assim, vamos de�nir o produto central e fator direto de um grupo.

De�nição 2.3.1. Sejam G1, . . . , Gn os subgrupos normais de um grupo G. Dizemos que G é o

produto central de G1, . . . , Gn se

1. G = G1 . . . Gn;

2. [Gi, Gj] = 1 para i 6= j;

3. Z(Gi) = Z(G), onde 1 ≤ i ≤ n.

De�nição 2.3.2. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H um fator direto

de G se H é um subgrupo normal de G e existe K um subgrupo normal de G tal que G = HK

e H ∩K = {1}. Denotaremos G = H ×K.

Utilizaremos na demonstração da caracterização dos grupos completos as proposições que

seguem.

Proposição 2.3.3 (Lei Modular de Dedekind). Sejam H,K,L subgrupos de um grupo G e

assuma que K ⊆ L. Então

HK ∩ L = (H ∩ L)K.

Demonstração. Ver [10].

Recordaremos, de forma breve, a de�nição de produto semi-direto de grupos. Consideremos

H e K grupos e suponhamos que podemos de�nir um homomor�smo da seguinte maneira:

ϕ : H −→ Aut(K)

h 7−→ ϕh : K −→ K

k 7−→ ϕh(k)


Assim, dizemos que H age sobre K. Considerando ϕ esta ação e o conjunto

H ×K = {(h, k)|h ∈ H e k ∈ K}

é possível de�nir um produto em H ×K dependendo da ação ϕ da seguinte maneira:

(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1ϕh1(k2)),

onde h1, h2 ∈ H e k1, k2 ∈ K. A partir do produto de�nido, é fácil ver que o conjunto H ×Ké um grupo, denominado o produto semi-direto de H e K. Denotaremos por H nK. Observe

que quando a ação é trivial, o produto semi-direto é o produto direto de H ×K, uma vez que

ϕh(k) = k ∀ h ∈ H, ∀ k ∈ K, e assim

(h1, k1)(h2, k2) = (h1h2, k1k2).

Proposição 2.3.4. Seja A um grupo abeliano não trivial. Considere D = A × A e de�na

ϕ ∈ Aut(D) por

ϕ :D −→ D

(a1, a2) 7−→ (a1, a1a2).

Seja L = D o 〈ϕ〉 o produto semi-direto de D e 〈ϕ〉. Então Z(L) = L′ ∼= A.

Demonstração. Ver [10].

Agora, vamos demonstrar um resultado que dá condição necessária e su�ciente para um

grupo ser completo. Apresentaremos a caracterização de grupos completos dada por Hol-

der/Baer. O leitor também encontrará o resultado na referência [10].

Teorema 2.3.5. Um grupo G é completo se, e somente se, sempre que G ∼= N onde N / H

então necessariamente N é um fator direto de H.

Demonstração. Inicialmente, suponha que G é um grupo completo e assuma que G ∼= N onde

N / H. Vamos mostrar que H = N × C, para algum C / H, tal que H = CN e C ∩N = {1}.Considere C = CH(N). Como C = CH(N) / NH(N) = H, então C / H. Além disso, note que

C ∩ N = Z(N). Assumimos que G ∼= N , já que G tem centro trivial o mesmo ocorre com

N . Então, C ∩ N = {1}. Agora, vamos veri�car que H = CN . Uma vez que N é completo,

temos que Aut(N) = Inn(N). Logo, se ϕ ∈ Aut(N), então existe y ∈ N tal que ϕ = τy. Em


particular, se x ∈ H e tomamos

ϕ :N −→ N

n 7−→ nx,

temos que ϕ ∈ Aut(N) e

τy(n) = ϕ(n)

⇐⇒ ny = nx

⇐⇒ yny−1 = xnx−1

⇐⇒ (x−1y)n = n(x−1y),∀n ∈ N.

Portanto, x−1y ∈ C. Isto é, x ∈ yC então x = yc, para algum c ∈ C, e H = NC. Temos que

H = N × C. Reciprocamente, vamos assumir que G tem a propriedade citada. Mostraremos

que G é completo, isto é Z(G) = 1 e G ∼= Aut(G). Suponha, por absurdo, que Z(G) 6= 1.

Logo, Z(G) é um grupo abeliano não trivial e, pela Proposição 2.3.4, existe um grupo L tal

que Z(L) = L′ ∼= Z(G). Agora, consideramos M o produto central de L e G. Sendo assim,

Z(L) = Z(M) = Z(G), [L,G] = 1 e L,G /M . Temos M = LG e L∩G = Z(G). Como G/M ,

por hipótese, temos que G é fator direto deM , ou seja, M = G×K, onde K/M . Sabemos que

[G,K] = 1 logo K e G comutam e K ≤ CM(G). Uma vez que [L,G] = 1, então L ≤ CM(G).

A�rmamos que CM(G) = L e, assim, K ≤ L. De fato, usando a Lei de Dedekind, temos

CM(G) =M ∩ CM(G)

=LG ∩ CM(G)

=L(G ∩ CM(G))

=LZ(G)

=L.

Além disso, usando novamente a Lei de Dedekind, observamos que

L =L ∩M

=L ∩GK

=(L ∩G)K

=Z(G)K.

Assim, L′ = [L,L] = [Z(G)K,Z(G)K]. Como K ≤ CM(G), segue que [Z(G)K,Z(G)K] =


[K,K] = K ′. Por �m, note que

Z(G) = Z(L) = L′ = K ′ ≤ K ∩G = 1.

Com esta contradição garantimos que Z(G) = 1. Agora, vamos mostrar que G ∼= Aut(G). Já

provamos que o centro de G é trivial, então G ∼= Inn(G). Sabemos que Inn(G) / Aut(G) e,

por hipótese, vamos ter que Aut(G) = Inn(G)×R, para algum R /Aut(G) e [R, Inn(G)] = 1.

Logo R ≤ CAut(G)(Inn(G)). Como CAut(G)(Inn(G)) = {1}, então R = 1. Com isso, concluímos

que Aut(G) = Inn(G) e, assim G é completo.

Exploraremos resultados que garantem sob quais condições o grupo de automor�smos,

Aut(G), de um grupo G com centro trivial é um grupo completo.

Teorema 2.3.6 (Burnside). Se G é um grupo com centro trivial e Inn(G) <car

Aut(G), então

Aut(G) é completo.

Demonstração. Vamos mostrar que quando Aut(G) é isomorfo a um subgrupo normal N de

um grupo H então N é um fator direto de H e, pelo Teorema 2.3.5, garantimos que Aut(G) é

completo. Suponha que N / H e considere o seguinte isomor�smo

ψ : Aut(G) −→ N.

Denote I = ψ(Inn(G)). Como Inn(G) <car

Aut(G) temos que I <car

N . Como G tem centro

trivial, vamos considerar o isomor�smo τ : G −→ Inn(G). Então

Gτ−→ Inn(G)

ψ−→ I

g 7−→ τg 7−→ ψ(τg).

Note que como I <car

N E H, então I E H. Logo, para todo h ∈ H temos que hψ(τg)h−1 ∈ I.Note que dado h ∈ H, o elemento h induz um automor�smo por conjugação sobre I. Como

G ∼= I, o elemento h também induz um automor�smo sobre G, a saber ϕ. Inicialmente, observe

que:

Gϕ−→ G

τ−→ Inn(G)ψ−→ I

g 7−→ ϕ(g) 7−→ τϕ(g) 7−→ ψ(τϕ(g)).

Agora, vamos analisar o diagrama considerando o automor�smo de I induzido por h.

G

ψτ��

ϕ // G

ψτ��

Iτh // I


De acordo com o diagrama, observamos que ψτϕ = τhψτ . Assim, para todo g ∈ G, temos

que:

(ψτϕ)(g) =(τhψτ)(g)

⇐⇒ (ψτ)(ϕ(g)) =(τhψ)(τg)

⇐⇒ ψ(τϕ(g)) =τh(ψ(τg))

⇐⇒ ψ(τϕ(g)) =hψ(τg)h−1.

Como τϕ(g) = ϕτgϕ−1, segue que:

ψ(τϕ(g)) =hψ(τg)h−1

⇐⇒ ψ(ϕτgϕ−1) =hψ(τg)h

−1

⇐⇒ ψ(ϕ)ψ(τg)ψ(ϕ)−1 =hψ(τg)h

−1.

Logo,

ψ(ϕ)ψ(τg)ψ(ϕ)−1 = hψ(τg)h

−1 =⇒ ψ(τg)([ψ(ϕ)]−1h) = ([ψ(ϕ)]−1h)ψ(τg).

Ou seja, ([ψ(ϕ)]−1h) comuta com todo elemento de I. Portanto, ([ψ(ϕ)]−1h) ∈ CH(I) = C

e H = CN . Note que C ∩N = CN(I) e como CAut(G)(Inn(G)) = {1}, temos que C ∩N = {1}.Por �m, como N / H, C = CH(I) / NH(I) = H. Assim, H = C ×N , como queríamos.

Relembramos que um subgrupo normal minimal de um grupo G, é um subgrupo normal e

não trivial que não contém um subgrupo normal não trivial de G. Isto é, se N / G e N < H,

então N = {1}.

Teorema 2.3.7 (Burnside). Se G é simples não abeliano, então Aut(G) é completo.

Demonstração. Como G é não abeliano e simples, Z(G) = {1} e temos G ∼= Inn(G) = I. Além

disso, I não pode conter um subgrupo normal não trivial. Assim, I é um subgrupo normal

minimal de Aut(G). Suponha, por absurdo, que Aut(G) não é completo. Pelo resultado

anterior, I não é característico em Aut(G) = A. Logo I 6= ϕ(I), para algum ϕ ∈ Aut(A). Noteque I ∩ ϕ(I) / A. Como I ∩ ϕ(I) ≤ I e I é simples temos que I ∩ ϕ(I) = {1}. Com isso,

[I, ϕ(I)] = {1}. Logo ϕ(I) ≤ CA(I) = {1}. Diante disso, ϕ(I) = 1 e I = {1}, pois ϕ é um

isomor�smo de A. Consequentemente, G = 1 absurdo. Portanto, Aut(G) é completo.

Ressaltamos que se retiramos a hipótese de G ser não abeliano do teorema anterior, ou

seja, se G é simples e abeliano então G é cíclico de ordem prima, isto é G ∼= Zp. Sabemos que

Aut(Zp) ∼= Zp−1, logo Aut(G) não é completo.

Capítulo 3

Subgrupos subnormais

A nossa demonstração do Teorema de Wielandt também está fundamentada no estudo sobre

os subgrupos subnormais de um grupo �nito. Vamos discutir sobre os subgrupos subnormais

visando desenvolver a teoria necessária para demonstrar o seguinte teorema

Existe uma função f : ω −→ ω tal que sempre que H for um subgrupo subnormal de um

grupo �nito G, onde CG(H) = 1, então |G| ≤ f(|H|).O Teorema acima, também da autoria do matemático Wielandt, é essencial para garantir a

estabilidade da torre de automor�smo de um grupo �nito e com centro trivial. Neste capítulo,

nosso objetivo é discutir todos os resultados para demonstrá-lo. As referências utilizadas foram

[10] e [14].

3.1 Série S-característica

Na introdução, já ressaltamos nosso interesse nos subgrupos subnormais de um grupo �nito

e com centro trivial. Sendo assim, iniciaremos com a seguinte de�nição

De�nição 3.1.1. Seja H um subgrupo de um grupo G. Dizemos que H é um subgrupo subnor-

mal em G se existem distintos subgrupos H = H0, H1, . . . , Hn = G tais que

H = H0 / H1 / · · · / Hn = G

forma uma série �nita de H para G. Denotaremos H <sn

G.

Um subgrupo H <sn

G não é necessariamente um subgrupo normal em G. A normalidade

entre grupos não é uma relação transitiva, ou seja, se K /H e H /G não é possível garantir que

K /G. Para reforçar nossa a�rmação, vamos analisar o grupo D8, que já de�nimos no primeiro

capítulo. Sendo assim, observe seu reticulado

33

3.1. SÉRIE S-CARACTERÍSTICA 34

D8

{1, θr, θ2, θ3r} 〈θ〉 {1, r, θ2, θ2r}

〈θr〉〈θ3r〉〈θ2〉〈r〉〈θ2r〉

{1}

Considere 〈r, θ2〉 = {1, θ2, r, rθ2} e 〈r〉 = {1, r}. Note que

θrθ−1 = θrθ3 = rθ6 = rθ2 /∈ 〈r〉.

Logo 〈r〉 não é normal em D8. Mas considerando a seguinte série

〈r〉 / 〈r, θ2〉 / D8.

Temos que 〈r〉 <sn

D8.

Nos primeiros capítulos, já de�nimos e até utilizamos a noção de subgrupos característicos.

Agora, vamos destacar uma proposição que estabelece quando um subgrupo subnormal de um

grupo �nito é característico.

Proposição 3.1.2. Seja G um grupo �nito. Se H é um subgrupo normal de G cuja ordem e o

índice são relativamente primos, então H <car

G.

Demonstração. Seja |H| = m e [G : H] = n, tal que (m,n) = 1 e |G| = mn. Se ϕ ∈ Aut(G),então ϕ(H) = I também tem ordem m e HI é um subgrupo de G. Denote d = |H ∩ I|. Temos

que d|m e |HI| = m2

d. Sendo assim, segue que (m

2

d)|mn. Como (m,n) = 1, seque que m = d e

temos H = ϕ(H), ∀ ϕ ∈ Aut(G). Portanto, H <car

G.

Ressaltamos que sob essas hipóteses, H é o único subgrupo normal de G de ordem m, logo

característico. Agora, vamos começar a demonstrar o seguinte teorema

Teorema 3.1.3. Existe uma função f : ω −→ ω tal que sempre que H for um subgrupo

subnormal de um grupo �nito G, onde CG(H) = 1, então |G| ≤ f(|H|).

O primeiro passo para provar o Teorema 3.1.3 será construir uma série estritamente crescente

de subgrupos característicos em H, a saber

1 = S0 < S1 < · · · < St = H.


e depois construir uma série correspondente e parcial de subgrupos característicos em G

1 = R0 ≤ R1 ≤ · · · ≤ Rt.

A série é denominada parcial pois o subgrupo Rt 6= G.

Para de�nir detalhadamente as séries desejadas, precisamos introduzir um importante sub-

grupo característico: Op(G). Por esse motivo, recordemos que se H e K são p-subgrupos

normais de um grupo G, HK é um p-subgrupo normal de G. Por indução, veri�camos que

se H1, H2, . . . , Hn são p-subgrupos normais de G, então H1H2 . . . Hn também é um p-subgrupo

normal de G. Segue que G tem um único p-subgrupo normal maximal, a saber o subgrupo

gerado por todos os seus p-subgrupos normais. Isto motiva a nossa de�nição

De�nição 3.1.4. Seja G um grupo �nito e p um primo. De�nimos o Op(G) como o único

p-subgrupo normal maximal de G.

Exemplo 3.1.5. Considere o grupo simétrico S4, cuja ordem é 23 ·3. Sabemos que os subgrupos

normais de S4 são: K (o grupo de Klein), A4 (o subgrupo das permutações pares de S4) e os

seus subgrupos triviais. Assim, temos que O2(S4) = K.

Dado ϕ um automor�smo de um grupo G e H e K p-subgrupos normais de G, temos que

ϕ(H) e ϕ(G) também são p-subgrupos normais de G. Além disso, ressaltamos que Op(G) é um

subgrupo característico em G.

Dadas as de�nições dos subgrupos subnormais de um grupo G e do seu Op(G). Demonstra-

remos a seguinte proposição:

Proposição 3.1.6. Seja G um grupo e p um primo. Se H é um p-subgrupo de G e subnormal

em G, então H ≤ Op(G).

Demonstração. Como H <sn

G, então existe uma série �nita tal que

H = H0 / H1 / · · · / Hl−1 / Hl = G.

Vamos demonstrar o resultado por indução sobre l. Se l = 1, então H / G. Logo H é um

p-subgrupo normal de G, segue que H ≤ Op(G).

Agora, vamos considerar l > 1 e pela hipótese de indução, temos que H ≤ Op(Hl−1). Note

que Op(Hl−1) <car

Hl−1 e Hl−1 /Hl, então Op(Hl−1)/Hl = G, pela Proposição 1.3.4. Isto signi�ca

que Op(Hl−1) ≤ Op(G) e logo H ≤ Op(G).

Além da Proposição 3.1.6, é útil observar que:


Observação 3.1.7. Considere G um grupo �nito e p um primo, tal que p divide |G|. Não

é possível a�rmar que o Op(G) é um p-subgrupo de Sylow de G. Para exempli�car, vamos

analisar novamente o grupo simétrico S4. Como |S4| = 23 · 3, temos que se P ∈ Syl2(S4) então

|P | = 23. Já veri�camos que O2(S4) = K e |K| = 22.

A próxima de�nição é muito importante.

De�nição 3.1.8. Um grupo �nito G é dito ser semissimples se não tem subgrupos abelianos

normais não triviais.

Com o intuito de exempli�car os grupos semissimples, mencionamos os grupos simétricos

Sn, onde n ≥ 5. Diante do exposto, estamos aptos a começar a discutir os lemas iniciais para

demonstrarmos o Teorema 3.1.3.

Lema 3.1.9. Seja H um grupo �nito. Então existe uma série de subgrupos em H

1 = S0 < S1 < · · · < St = H (3.1)

onde cada Si é característico em H e, além disso, ou Si+1/Si é gerado por todos os subgrupos

subnormais simples de H/Si ou Si+1/Si é um pi-grupo, para algum primo pi dividindo |H|.

Demonstração. Inicialmente, vamos supor que o grupo �nito H é semissimples. Neste caso,

de�nimos S1 como o subgrupo de H gerado por todos os subgrupos subnormais, simples e

não abelianos de H. Caso H não tenha nenhum subgrupo subnormal, simples e não abeliano,

então de�nimos S1 = 1. Agora, veri�caremos que S1 é característico em H. Para isso, vamos

considerar ϕ ∈ Aut(H) e T ≤ H, tal que T <sn

H, não abeliano e simples. Como ϕ é um

automor�smo de H e T ≤ H, temos que ϕ(T ) ∼= T e, consequentemente, ϕ(T ) <sn

H, não

abeliano e simples. Assim, de acordo com a de�nição de S1, temos que ϕ(T ) ⊆ S1. Sendo

assim, S1 é invariante para todo automor�smo em Aut(H), então é característico em H.

Por outro lado, vamos supor que o grupo �nito H não é semissimples. Sendo assim, existe

N ≤ H, tal que N é normal em H, abeliano e não trivial. Considere o primo p1, tal que

p1 divide |N |, e seja P ∈ Sylp1(N). Como N é abeliano, temos que P / N e, então P é um

pi-subgrupo de Sylow de N normal. Diante disso, podemos a�rmar que P é característico em

N . Além disso, como P <car

N e N /H, segue que P /H, pela Proposição 1.3.4. De acordo com

a de�nição do Op(G) de um grupo �nito G e de um primo p, temos que Op1(H) é o produto

de todos os subgrupos normais de H cuja ordem é uma potência do primo p1. Desse modo,

P ≤ Op1(H) e, também, podemos a�rmar que Op1(H) 6= 1. Neste caso, de�nimos S1 = Op1(H)

e, temos que S1 <car

H.


A �m de continuar a de�nição da série, vamos analisar o grupo H/S1. Se H/S1 é semissim-

ples, de�nimos S2/S1 como o subgrupo gerado por todos os subgrupos subnormais, simples e

não abelianos de H/S1. Caso H/S1 não é semissimples, considere um primo que divide |H/S1|,a saber p2. De�nimos S2/S1 = Op2(H/S1), e sabemos que Op2(H/S1) 6= 1. Em todo caso,

S2/S1 <car

H/S1 e, com isso, S2 <car

H. Continuamos desta forma e então temos uma série

1 = S0 < S1 < · · · < St = H

onde cada Si <car

H, para ∀ i = 1, . . . , t.

Vamos nos referir a série em (3.1) como a série S-característica de H.

Lema 3.1.10. Seja G um grupo �nito. Considere H um subgrupo de G e uma série S-

característica de H. Então existe uma série parcial de subgrupos em G

1 = R0 < R1 < · · · < Rt (3.2)

onde cada Ri é característico em G e, além disso, Ri+1/Ri é gerado por todos os subgrupos

subnormais simples e não abelianos de G/Ri, caso Si+1/Si seja gerado por todos os subgrupos

subnormais, simples e não abelianos de H/Si ou Ri+1/Ri é pi-grupo, caso Si+1/Si seja pi-grupo.

Demonstração. Vamos construir uma série parcial de subgrupos Ri ≤ G

1 = R0 < R1 < · · · < Rt

onde cada Ri <car

G, ∀ i = 1, . . . , t . Considere H ≤ G e sua série S-característica, conforme no

Lema 3.1.9, a saber

1 = S0 < S1 < · · · < St = H.

Para i = 0, sabemos que S0 = 1 e, então de�nimos R0 = 1. Para i = 1, analisaremos a

semissimplicidade de H. Se H é semissimples, então temos que S1 é gerado por todos os

subgrupos subnormais, simples e não abelianos de H. Assim, consideraremos R1 gerado por

todos os subgrupos subnormais, simples e não abelianos de G. Neste caso, analogamente a

argumentação feita na demonstração do Lema 3.1.9, garantimos que R1 <car

G. Quando H não

é semissimples, de�nimos S1 = Op1(H), para algum primo p1 que divide |H|. Sendo assim,

de�nimos R1 = Op1(G). Já discutimos que Op1(G) <car

G, e, portanto temos R1 <car

G.

Para i = 2, vamos observar a semissimplicidade do grupo quociente H/S1. Assim, se H/S1 é

semissimples, temos S2/S1 gerado por todos os subgrupos subnormais, simples e não abelianos

de H/S1. Sendo assim, tome R2/R1 gerado por tais subgrupos de G/R1. Além disso, segue que

R2 <car

G. Agora, quando H/S1 não é semissimples, segue que S2/S1 = Op2(H/S1). Diante disso,


vamos considerar R2/R1 = Op2(G/R1). Como R2/R1 <car

G/R1, então R2 <car

G. Procedendo da

mesma maneira, de�nimos Ri ≤ G, onde Ri é característico em G, ∀ i = 3, . . . , t.

Ressaltamos que Ri/Ri−1 é gerado por todos os subgrupos subnormais, simples e não

abelianos de G/Ri−1, se Si/Si−1 é o subgrupo correspondente de H/Si. Por outro lado,

Ri/Ri−1 = Opi(G/Ri−1), se Si/Si−1 = Opi(H/Si−1).

A série em (3.2) é dita uma série em G correspondente a série S-característica de H.

Lema 3.1.11. Sejam G um grupo �nito e H um subgrupo subnormal de G. Considere a série

S-característica de H e sua série correspondente em G, como nos Lemas 3.1.9 e 3.1.10. Então

Si ≤ Ri, ∀ i = 1, . . . , t.

Demonstração. Vamos veri�car que as séries são relacionadas pela inclusão Si ≤ Ri, ∀ i =

1, . . . , t. Por construção das séries, claramente S0 ≤ R0. Para i = 1, vamos analisar duas

possíveis situações. Na primeira situação, se S1 for gerado pelos subgrupos subnormais, simples

e não abelianos de H, sabemos que R1 é gerado pelos subgrupos subnormais, simples e não

abelianos de G. Como H ≤ G, em particular, os subgrupos subnormais, simples e não abelianos

de H também são de G, logo S1 ≤ R1. Na segunda situação, se S1 = Op1(H), sabemos que

R1 = Op1(G). Como Op1(H) / H e H <sn

G, segue que Op1(H) <sn

G. Assim, pela Proposição

3.1.6, Op1(H) ≤ Op1(G) e, portanto, S1 ≤ R1.

Agora, suponhamos que o resultado é válido para algum 1 < i < t, isto é, Si ≤ Ri. Vamos

provar que Si+1 ≤ Ri+1.

Se (Si+1Ri)/Ri = 1, então Si+1 ≤ Ri ≤ Ri+1 e temos o resultado almejado. Sendo assim,

assumimos que (Si+1Ri)/Ri 6= 1. Observe que

Si+1Ri

Si+1 Ri

Si+1 ∩Ri

Si−1

Note queSi+1Ri

Ri

∼=Si+1

Si+1 ∩Ri

,

então (Si+1Ri)/Ri é uma imagem homomór�ca de Si+1/Si. Sabemos que Si+1/Si ou é um

pi-grupo ou é gerado por subgrupos subnormais, simples e não abelianos de H/Si−1. Diante

disso, temos que (Si+1Ri)/Ri ou é um pi-grupo ou é gerado por subgrupos subnormais.


Recordamos que a de�nição de Si+1/Si, e consequentemente de (Si+1Ri)/Ri, depende da

semissimplicidade de H/Si, como discutimos na demonstração do Lema 3.1.10. Devido a esse

fato, analisaremos a semissimplicidade de H/Si para �nalizarmos a demonstração do nosso

resultado. Porém, antes de continuarmos, a�rmamos que (Si+1Ri)/Ri <sn

G/Ri. De fato, como

H <sn

G, considere os subgrupos distintos H = A0, A1, · · · , AK = G, tais que

H = A0 / A1 / · · · / Ak = G.

Além disso, vamos observar a �gura abaixo

G = Ak

Ak−1...

... AjRi

Aj...

... A1Ri

A1 StRi

A0 = H = St...

... Si+1Ri

Si+1 Ri

Si

Dessa maneira, podemos considerar a seguinte série

(Si+1Ri)/Ri / · · · / (StRi)/Ri / (A1Ri)/Ri / · · · / (AkRi)/Ri = G/Ri.

3.2. CÁLCULO DE COMUTADORES E SUBGRUPOS SUBNORMAIS 40

Portanto, (Si+1Ri)/Ri <sn

G/Ri.

Agora, vamos analisar a semissimplicidade deH/Si. ParaH/Si não semissimples, (Si+1Ri)/Ri

é um pi-grupo. Analogamente ao outro caso, tal fato decorre de que Si+1/Si = Opi(H/Si), e,

consequentemente Ri+1/Ri = Opi(G/Ri). Como (Si+1Ri)/Ri é um pi-grupo e (Si+1Ri)/Ri <sn

G/Ri, temos que (Si+1Ri)/Ri ≤ Opi(G/Ri), pela Proposição 3.1.6.

Se H/Si é semissimples, então Si+1/Si é gerado por subgrupos subnormais, simples e não

abelianos de H/Si. Consequentemente (Si+1Ri)/Ri também é gerado por subgrupos subnor-

mais, simples e não abelianos de G/Ri−1. De acordo com a construção da série em G correspon-

dente a série S-característica de H, temos que Ri+1/Ri é gerado pelos subgrupos subnormais,

simples e não abelianos de G/Ri. Assim, (Si+1Ri)/Ri ≤ Ri+1/Ri, então Si+1Ri ≤ Ri+1 e temos

Si+1 ≤ Ri+1. Novamente, observamos que (Si+1Ri)/Ri ≤ Ri+1/Ri, logo Si+1 ≤ Ri+1. Assim,

con�rmamos a relação de inclusão entre as séries.

3.2 Cálculo de comutadores e subgrupos subnormais

Nesta seção, utilizaremos o cálculo de elementos e subgrupos comutadores para desenvol-

vermos resultados sobre os subgrupos subnormais de um grupo G. O conjunto de de�nições,

proposições e teoremas discutidos contribuem para a compreensão da demonstração do Teorema

3.1.3.

Inicialmente, recordaremos as seguintes de�nições:

De�nição 3.2.1. Sejam G um grupo e X ⊆ G. De�nimos o fecho normal de X em G, denotado

por XG, como a interseção de todos os subgrupos normais em G que contém X, ou seja

XG =⋂

H / G e X⊆H

H.

Dado g ∈ G, de�nimos Xg como o conjunto g−1Xg = 〈g−1xg | x ∈ X〉. O core de X em G,

denotado por CoreG(X), é de�nido como

CoreG(X) =⋂g∈G

Xg.

Da De�nição 3.2.1, observamos que XG é o menor subgrupo normal de G o qual contém X.

Além disso, se H é um subgrupo de G, então H é um subgrupo normal em G se, e somente

se HG = H. Agora, a partir da de�nição acima vamos enunciar e demonstração algumas

proposições.

Proposição 3.2.2. Sejam X um subconjunto e H um subgrupo de um grupo G. Então


1. XH = 〈X, [X,H]〉.

2. [X,H]H = [X,H].

Demonstração. 1. Dados x ∈ X e h ∈ H, temos que xh ∈ XH . Note que

x[x, h] = x(x−1h−1xh) = xh ∈ 〈X, [X,H]〉.

Da de�nição 3.2.1, temos X ⊆ XH . Como x[x, h] = xh ∈ XH , segue que [X,H] ≤ XH ,

∀ x ∈ X e h ∈ H. Sendo assim, 〈X, [X,H]〉 ≤ XH . Portanto, XH = 〈X, [X,H]〉.2. Claramente [X,H] ≤ [X,H]H . Agora, vamos veri�car a inclusão contrária. Observe

que o grupo [X,H]H é gerado por elementos da forma [x, h1]h2 , onde x ∈ X e h1, h2 ∈ H.

Da Proposição 2.1.2 item 3, temos que [x, h1h2] = [x, h2][x, h1]h2 . Assim, note que [x, h1]

h2 =

[x, h2]−1[x, h1h2]. Logo, [x, h1]h2 ∈ [X,H] e, temos [X,H]H = [X,H].

Proposição 3.2.3. Suponha que H e K são subgrupos de um grupo G e que J = 〈H,K〉.Então

1. [H,K] E J ;

2. KJ = [H,K]K.

Demonstração. 1. Sejam h1, h2 ∈ H e k ∈ K. Pela Proposição 2.1.2, segue que

[h1, k]h2 = [h1h2, k][h2, k]

−1 ∈ [H,K].

Logo, H normaliza [H,K]. Como [H,K] = [K,H], dados k1, k2 ∈ K e h ∈ H temos que

[k1, h]k2 = [k1k2, h][k2, h]

−1 ∈ [K,H].

Assim, K normaliza [K,H] = [H,K] e então [H,K] E J .

2. Vamos mostrar que [H,K]K é o menor subgrupo normal de J o qual contém K. A�r-

mamos que [H,K]K E J . Pelo item 1, [H,K]g = [H,K], ∀g ∈ J . Se g ∈ K, então

([H,K]K)g = [H,K]gKg = [H,K]K.

Logo K normaliza [H,K]K. Por outro lado, suponha g ∈ H e k ∈ K. Assim

g−1k−1g = g−1k−1gkk−1 = [g, k]k−1 ∈ [H,K]K.


Portanto, se g ∈ H então Kg ≤ [H,K]K e então

([H,K]K)g = [H,K]gKg ≤ [H,K]K.

Diante disso, H também normaliza [H,K]K. Portanto, [H,K]K E J . Agora, suponha que N

é um subgrupo de J tal que K ≤ N E J . Note que para cada h ∈ H e k ∈ K, temos que

(h−1k−1h)k = [h, k] ∈ N . Logo [H,K] ≤ N e, então [H,K]K ≤ N .

Vamos de�nir uma ferramenta essencial denominada série sucessiva de fechos normais.

De�nição 3.2.4. Seja X é um subconjunto não-vazio de G. Uma sequência de subgrupos XG,i,

i = 0, 1, 2, . . . é de�nida pelas seguintes regras

XG,0 = G, XG,1 = XG e XG,i+1 = XXG,i.

Além disso, X está contido em todo XG,i e

· · · XG,2 / XG,1 / XG,0 = G.

Claramente, XG,1 é o fecho normal XG em G. A sequência assim de�nida é chamada série

sucessiva de fechos normais.

O próximo resultado dará uma caracterização de subgrupos subnormais via a série sucessiva

de fechos normais.

Proposição 3.2.5. Seja H <sn

G e suponha que

H = Hn / Hn−1 / · · · / H0 = G

é uma série �nita de H para G. Então HG,i ≤ Hi, ∀ 0 ≤ i ≤ n, e então H = HG,n.

Demonstração. A demonstração será por indução sobre i. Para i = 0, o resultado é imediato.

Suponhamos que a a�rmação é válida para algum i > 0, ou seja, HG,i ≤ Hi. Vamos veri�car

para i+1. Utilizando a de�nição da série sucessiva de fechos normais e pela hipótese de indução,

temos:

HG,i+1 = HHG,i ≤ HHi ≤ HHii+1 = Hi+1.

O tamanho da série sucessiva de fechos normais é chamado índice subnormal de H em G e

será denotado por s(G : H). De acordo com a Proposição 3.2.5, um subgrupo H é subnormal

em G se, e somente se, H = HG,n para algum n ≥ 0. Claramente, s(G : H) = 0 precisamente


quando H = G. Já s(G : H) = 1 se, e somente se, H / G e H 6= G. Além disso, observando

detalhadamente a série

H = HG,n / HG,n−1 / · · · / HG,1 / HG,0 = G

e pela de�nição 3.2.1, percebemos que de todas as séries que caracterizam H como um subgrupo

subnormal em G a série sucessiva de fechos normais é a mais curta. Por �m, ressaltamos que

H <sn

K <sn

G =⇒ H <sn

G e s(G : H) ≤ s(G : H) + s(K : H).

Vamos demonstrar uma fórmula útil para HG,i. Inicialmente, vamos considerar a seguinte

proposição

Proposição 3.2.6. Sejam H e K subgrupos de um grupo G. Se H ≤ NG(K) e HK ≤ G,

então HK = 〈H,K〉 = KH.

Demonstração. Sejam h ∈ H e k ∈ K, logo hk ∈ HK. Note que

hk = hkh−1h = (hkh−1)h.

Como H ≤ NG(K), temos que hkh−1 = k1. Assim,

hk = (hkh−1)h = k1h ∈ KH.

Portanto, HK ⊆ KH. Por outro lado, kh ∈ KH. Agora, note que

kh = hh−1kh = h(h−1kh).

Como H ≤ NG(K), temos que h−1kh = k2. Assim,

kh = hk2 ∈ HK.

Portanto, KH ⊆ HK. Por �m, HK = KH. Sabemos que HK ⊆ 〈H,K〉 é sempre válido.

Como HK ≤ G, temos que 〈H,K〉 ≤ HK. Assim, HK = 〈HK〉.

Agora, vamos nos dedicar ao resultado desejado.

Proposição 3.2.7. Se H ≤ G, então HG,i = [G,iH]H para todo i ≥ 1.

Demonstração. Usaremos indução sobre i. Para i = 0, HG,0 = G e o resultado é imediato.

Agora, assumimos o resultado válido para 0 < i, isto é HG,i = [G,iH]H. Sendo assim, vamos


veri�car o resultado para i+1. De acordo com a de�nição da série sucessivas de fechos normais,

temos que HG,i+1 = HHG,i. Assim, pela hipótese de indução temos que

HHG,i

= H [G,iH]H .

Agora, vamos veri�car que H normaliza [G,H]H. Sejam h1, h2 ∈ H e g ∈ G, considere [g, h1]h2 .Pela Proposição 2.1.2,(item 3), temos que

[g, h1h2] = [g, h1][g, h1]h2 =⇒ [g, h1]

−1[g, h1h2] = [g, h1]h2 .

Assim, [g, h1]h2 ∈ [G,H]. Diante do exposto, podemos a�rmar que H normaliza [G,H]H.

Indutivamente observamos que H ⊆ NG([G, iH]), para todo i ≤ 1. Sendo assim, podemos

garantir que 〈[G,iH], H〉 = [G,iH]H.

Pela Proposição 3.2.2, segue que

H [G,iH]H = [[G,iH], H]H = [G,i+1H]H.

Assim, HG,i+1 = [G,i+1H]H, como queríamos demonstrar.

Diante dos resultados expostos, vamos discutir o seguinte teorema:

Teorema 3.2.8. Sejam H <sn

G, K <sn

G e assuma que H ∩K = 1. Se H é um grupo simples

não abeliano, então [H,K] = 1.

Demonstração. Suponha, por absurdo, que [H,K] 6= 1. Podemos escolher K de forma que

s = s(〈H,K〉 : H) seja o menor possível, ou seja, se existe L <sn

G tal que s(〈H,L〉 : H) < s,

então [L,H] = 1. Considere J = 〈H,K〉.Para s 6= 0, então H E J . Note que como K ≤ J = NJ(H), então [H,K] ≤ H,

pela Proposição 2.1.3. Observe que [H,K] E H, pois da Proposição3.2.2(item 2) temos que

[H,K]H = [H,K]. Como H é um grupo simples e [H,K] 6= 1, temos que [H,K] = H. Pela

Proposição 3.2.3 (item 2), segue que [H,K]K = KJ e, então temos H ≤ KJ . Uma vez que,

KJ é o menor subgrupo normal de J que contém K e s é o menor possível, temos que KJ = J .

Agora, note que como K <sn

J , assim temos que K = KJ,n, para algum n, conforme a

Proposição 3.2.5. Como KJ = J , logo KJ,n = J , para todo n, e portanto K = J . Então

H = H ∩ J = H ∩K = 1, absurdo.

Agora, vamos analisar s > 1. Neste caso, H não é um subgrupo normal de J e então existe

um elemento g ∈ K, tal que H 6= Hg = g−1Hg. Observe que Hg <sn

G e, consequentemente

H ∩Hg <sn

H. Como H é simples temos que H ∩Hg = 1.


Observe que H <sn

J . De acordo com a construção da série sucessiva de fechos normais de

H em J temos que:

H / · · · / HJ / J.

Logo s(HJ : H) = s(J : H) − 1 = s − 1. Como 〈H,Hg〉 ≤ H〈H,Hg〉 ≤ HJ , segue que

s(〈H,Hg〉 : H) ≤ s− 1. Mas s é o menor possível, logo [H,Hg] = 1.

Sejam h1, h2 ∈ H, então

1 = [h1, hg2]

= [h1, g−1h2g]

= [h1, h2h−12 g−1h2g]

= [h1, h2[h2, g]], ∀g ∈ G.

Pela Proposição 2.1.2 (item 3), segue que

[h1, h2[h2, g]] = [h1, [h2, g]][h1, h2][h2,g].

Como H normaliza [H,K], temos que:

h−1[h′, k]−1h[h, k] ∈ [H,K], ∀ h, h′ ∈ H e k ∈ K.

Portanto, [H, [H,K]] ≤ [H,K]. Assim

1 = [h1, [h2, g]][h1, h2][h2,g] =⇒ [h1, h2]

[h2,g] = [h1, [h2, g]]−1 ∈ [H,K].

Como g ∈ K e [h2, g]−1[h1, h2][h2, g] ∈ [H,K], então [h1, h2] ∈ [H,K] para todo h1, h2 ∈ H.

Logo [H,H] ≤ [H,K]. Por hipótese H é um grupo simples e não abeliano, segue que H ′ =

[H,H] = H. Diante disso, temos que H ≤ [H,K]. No caso anterior, veri�camos que KJ = J .

Sendo assim, concluímos que H = 1, absurdo.

Corolário 3.2.9. Um subgrupo subnormal simples não abeliano de G normaliza todo subgrupo

subnormal de G.

Demonstração. Sejam H <sn

G, onde H é simples e não abeliano, e K <sn

G. Vamos provar que

H normaliza K. Como K <sn

G, considere n = s(G : K) e

K = K0 / K1 / K2 / · · · / Kn = G


uma série de tamanho �nito de K em G. Fazendo a interseção da série com H ≤ G, temos que

H ∩K = H ∩K0 / H ∩K1 / H ∩K2 / · · · / H ∩Kn = H

Logo H ∩ K <sn

H e, por hipótese, H é simples temos que H ∩ K = 1 ou H ∩ K = H. Se

H ∩ K = H, temos H ≤ K. Sendo assim, [K,H] ≤ K, então H ≤ NG(K), pela Proposição

2.1.3. Por outro lado, se H ∩K = 1 então [H,K] = 1, pelo Teorema 3.2.8. E assim, concluímos

a demonstração.

Para prosseguirmos, vamos de�nir o subgrupo Op(G) de um grupo �nito G.

Suponha que N1 e N2 são subgrupos normais de um grupo �nito G, tais que G/N1 e G/N2

são p-grupos. Considere o homomor�smo

π : G −→ G/N1 ×G/N2

de�nido por π(h) = (hN1, hN2). Note que Ker(π) = N1 ∩ N2. Pelo Teorema do Isomor�smo,

temos que:G

N1 ∩N2

∼=G

N1

× G

N2

Sendo assim, G/(N1∩N2) também é um p-grupo. Isto implica que existe o menor subgrupo

normal N de G tal que G/N é um p-grupo. Diante disso, temos a de�nição abaixo:

De�nição 3.2.10. Seja G um grupo �nito e p um primo. De�nimos Op(G) como o menor

subgrupo normal de G tal que G/Op(G) é um p-grupo.

Para �nalizarmos a demonstração do Teorema 3.1.3, vamos provar o seguinte resultado:

Teorema 3.2.11. Suponha H um subgrupo normal de um grupo �nito G e p um primo. Então

Op(G) normaliza Op(H).

Demonstração. Inicialmente, vamos denotar Op(G) = R e Op(H) = M . A�rmamos que

[R,M,M ] = [R,M ]. Começaremos veri�cando que [R,M,M ] ≤ [R,M ], e também vamos

provar que [R,M,M ] / [R,M ]. Primeiramente, observe que M normaliza [R,M ]. De fato,

sejam a,m ∈ M e r ∈ R. Note que [r,m]a = [ra,ma] e ra ∈ R, ma ∈ M , pois R / G. Sendo

assim, obtemos [R,M ]a ∈ [R,M ], ∀ a ∈M , como observado.

Além disso, é possível notar que [R,M ] ≤ R. Uma vez que R / G, segue que

[r,m] = r−1m−1rm = r−1rm ∈ R.

Diante disso, [R,M ] ≤ R. De acordo com a Proposição 3.2.3, temos que [[R,M ],M ] /


〈[R,M ],M〉. Sendo assim, podemos analisar que

[R,M,M ] = [[R,M ],M ] / 〈[R,M ],M〉 ≤ [R,M ].

Portanto, [R,M,M ] ≤ [R,M ] e [R,M,M ] / [R,M ].

Agora, vamos veri�car a inclusão contrária, isto é, [R,M ] ≤ [R,M,M ]. Sejam r ∈ R e

x, y ∈M . Usando a de�nição de comutadores, veri�camos que:

[xy, r] = (xy)−1r−1(xy)r = y−1x−1r−1xyr.

Por outro lado,

[x, r][[x, r], y][y, r] = [x, r][x, r]−1y−1[x, r]y[y, r]

= (y−1x−1r−1xry)(y−1r−1yr)

= y−1x−1r−1xyr.

Assim, [xy, r] = [x, r][[x, r], y][y, r]. Então [xy, r] = [x, r][y, r] mod [R,M,M ], já que [[x, r], y] =

[[r, x]−1, y] ∈ [R,M,M ]. Diante disso, temos que a aplicação

ϕ :M −→ [R,M ]/[R,M,M ]

de�nida por ϕ(x) = [x, r][R,M,M ] é um homomor�smo. Considere K = Ker(ϕ). Pelo Teo-

rema do Isomor�smo, temos que

M

K∼= Im(ϕ) ≤ [R,M ]

[R,M,M ].

Como [R,M ] ≤ R é um p-grupo, segue que M/K é um p-grupo. Considere L, o core de K em

H, ou seja, L =⋂h∈H K

h. Então L é um subgrupo normal de H e L ≤ K ≤M .

Seja H = {h1, . . . , ht}. Então podemos de�nir um homomor�smo

ψ :M −→ M

Kh1× · · · × M

Kht

de�nido por ψ(x) = (xKh1 , . . . , xKht). É fácil observar que Ker(ψ) = L, e temos que M/L é


um p-grupo. Note que

H

M

p−grupo

uuK

L

p−grupo

<<

Sabemos que M é o menor subgrupo de H tal que H/M é um p-grupo, logo M = K = L.

Assim, [x, r] ∈ [R,M,M ], ∀ x ∈ M e r ∈ R. Portanto [R,M ] ≤ [R,M,M ], obtemos a

a�rmação almejada.

Agora, denote T = 〈R,M〉 = RM . Pela Proposição 3.2.7, temos que MT,i = [T,iM ]M .

Assim,

MT,1 = [T,M ]M = [RM,M ]M.

Como R,M ≤ G e M normaliza R, segue do Lema 2.1.4 que

[RM,M ]M = [R,M ][M,M ]M

= [R,M ]M.

Analogamente, pela Proposição 3.2.7 e pelo Lema 2.1.4 temos que:

MT,2 = [T,2M ]M = [T,M,M ]M

= [RM,M,M ]M

= [R,M,M ]M.

Considerando a a�rmação, obtemos que MT,1 = MT,2 e, logo MT,1 = MT,i para todo i ≥ 1.

Como M E H e H <sn

G, segue que M <sn

G e, consequentemente M <sn

T . Sendo assim, pela

Proposição 3.2.5, segue que existe um inteiro n ≥ 1, tal que M =MT,n. Então

M =MT,n =MT,1 =MT .

Portanto, M =MR e R = Op(G) normaliza M = Op(G).

3.3. UMA COTA PARA |G| 49

3.3 Uma cota para |G|

En�m, vamos provar o teorema principal deste capítulo.

Teorema 3.1.3. Existe uma função f : ω −→ ω tal que sempre que H for um subgrupo

subnormal de um grupo �nito G, onde CG(H) = 1, então |G| ≤ f(|H|).Relembramos que, pelos Lemas 3.1.9 e 3.1.10, existe uma série estritamente crescente de

subgrupos característicos em H, a saber

1 = S0 < S1 < · · · < St = H.

e uma série correspondente e parcial de subgrupos característicos em G

1 = R0 ≤ R1 ≤ · · · ≤ Rt < G.

Como Rt é um subgrupo característico de G, podemos de�nir um homomor�smo da seguinte

maneira

ψ : G −→ Aut(Rt)

g 7−→ τg : Rt −→ Rt

a 7−→ ag

Observamos que

Ker(ψ) = {g ∈ G|ψ = Id}

= {g ∈ G|ag = a, ∀a ∈ Rt}

= CG(Rt).

Pelo Teorema do Isomor�smo, segue

G

CG(Rt)∼= Im(ψ) ≤ Aut(Rt).

Pelo Lema 3.1.11, temos H = St ≤ Rt. Diante disso, segue que CG(Rt) ≤ CG(H). Por hipótese,

CG(H) = 1, então

|G| ≤ |Aut(Rt)|.

Sabemos que dado um grupo K e considerando o Sim(K), todas as permutações dos ele-


mentos de K, temos que |Sim(K)| = |K|!. Como todo automor�smo de Aut(K) é uma bijeção

de K em K, notamos que

|Aut(K)| ≤ |Sim(K)| = |K|!.

Portanto,

|G| ≤ |Aut(Rt)| ≤ |Rt|!.

Sendo assim, para veri�carmos o teorema é su�ciente limitar |Ri+1| em termos de |Ri|. Porsua vez, limitar |Ri| em termos de |Ri−1|. Por �m, indutivamente, limitá-los por |H|.

Lema 3.3.1. Sejam G um grupo �nito e H <sn

G, onde CG(H) = 1. Considere

1 = R0 < R1 < · · · < Rt

a série parcial em G correspondente a uma série S-característica de H. Então para cada

i = 1, . . . , t existe um inteiro m, que depende apenas |H| e i, tal que |Ri| ≤ m.

Demonstração. Usaremos indução sobre i. Vamos denotar mi = |Ri| para cada 0 ≤ i ≤ t.

De�nimos m0 = 1. Nosso objetivo é limitar mi+1 em termos de mi e |H|. Para isso, dividiremos

a demonstração em dois casos.

Caso 1. Se H é semissimples, então mi+1 ≤ (|H|mi)!.

Inicialmente, vamos considerar a série S-característica deH e sua série correspondente emG.

ComoH é semissimples, temos que Si+1/Si é gerado por todos os subgrupos subnormais, simples

e não abelianos de H/Si. Consequentemente, Ri+1/Ri também é gerado por tais subgrupos de

G/Ri.

Como H <sn

G, temos que HRi/Ri <sn

G/Ri. Diante disso, Ri+1/Ri normaliza HRi/Ri,

pelo Teorema 3.2.9. Sendo assim, Ri+1 normaliza HRi. Considere ψ : Ri+1 −→ Aut(HRi) o

homomor�smo de�nido por ψ(g) = τg. Como CRi+1(HRi) ≤ CG(H) = 1, temos que ψ é uma

imersão.Dessa maneira,

|Ri+1| ≤ |Aut(HRi)| ≤ (|H|mi)!.

Assim, denotamos m = (|H|mi)! e o lema está provado para este caso.

Caso 2. Se H não é semissimples, então mi+1 ≤ mi(|H|mi)!.

Como H não é semissimples, Si+1/Si, e, consequentemente, Ri+1/Ri, é um pi-grupo. Por

construção, temos que Ri+1/Ri = Opi(G/Ri) e, por hipótese, temos que H <sn

G e CG(H) = 1.

Vamos denotar Ni = Opi(H) e H/Ni é o maior pi-grupo quociente de H. A�rmamos que

Opi((HRi)/Ri) = (NiRi)/Ri.

Para provarmos a a�rmação anterior, considere M um subgrupo tal que Ri EM e M/Ri =

Opi(HRi/Ri). Uma vez que,(HRi)

(NiRi)∼=

(HRi)/Ri

(NiRi)/Ri


é um pi-grupo, segue que M ≤ (NiRi). Considere o homomor�smo

ψ : H −→ (HNi)/M

de�nido por ψ(h) = hM . Podemos observar que Ker(ψ) = H ∩M . Pelo Teorema do Isomor-

�smo, temos queH/(H∩M) é isomorfo a um subgrupo do pi-grupoHNi/M . AssimNi ≤ H∩Me, então NiRi ≤M . Portanto, M = NiRi e provamos a a�rmação.

ComoHRi/Ri <sn

G/Ri, temos queOpi(G/Ri) = Ri+1/Ri normalizaNiRi/Ri = Opi((HRi)/Ri),

pelo Teorema 3.2.11. Consequentemente, Ri+1 normaliza NiRi.

Agora, vamos denotar Ci+1 = CRi+1(NiRi). Além disso, considere ψ : Ri+1 −→ Aut(NiRi)

o homomor�smo de�nido por ψ(g) = τg. Sendo assim, Ker(ψ) = Ci+1 e

[Ri+1 : Ci+1] ≤ |Aut(NiRi)| < |NiRi|! < (|H||Ri|)!.

Logo, pela hipótese de indução, segue que

[Ri+1 : Ci+1] ≤ (|H|mi)!.

Agora, basta mostrar que Ci+1 ≤ Ri. Uma vez que Ci+1 é um subgrupo de Ri, de acordo com

a hipótese de indução, teremos |Ci+1| ≤ mi. Sendo assim, |Ri+1| ≤ mi((|H|mi)!). Finalmente,

tomamos m = mi(|H|mi)! e lema está satisfeito também para este caso.

A seguir, vamos veri�car que Ci+1 ≤ Ri. Para provar o resultado almejado, considere Pi+1

um pi+1-subgrupo de Sylow de H e Qi+1 um pi+1-subgrupo de Sylow de HCi+1 contendo Pi+1.

Ri+1

HCi+1

Ci+1Ri Qi+1Ci+1

Ri Ci+1 Qi+1 H

Pi+1

Inicialmente, observe que Pi+1 normaliza NiRi. Para justi�carmos a observação, note que

Pi+1 normaliza Ni, pois Ni E H e Pi+1 é um pi+1-subgrupo de Sylow de H. Além disso, temos

que Ri <car

G então Ri E G. Logo Pi+1 normaliza Ri. Assim, Pi+1 normaliza NiRi.


A�rmamos que CPi+1

i+1 = Ci+1, ou seja, Pi+1 normaliza Ci+1. Para provarmos a a�rmação,

considere x ∈ Ci+1 e p ∈ Pi+1. Vamos veri�car que xp ∈ Ci+1. Uma vez que x ∈ Ci+1, então

x ∈ Ri+1. Como Ri+1 E G e Pi+1 ≤ H <sn

G, temos xp ∈ Ri+1. Agora, tome nr ∈ NiRi e

observe

xp(nr) = [x(nr)p−1

]p = [(nr)p−1

x]p = (nr)xp,

pois temos que Pi+1 normaliza NiRi. Diante do exposto, provamos que Pi+1 normaliza Ci+1.

Agora, denote Ti+1 = Ci+1 ∩ Qi+1. Observe que Qi+1 ∈ Sylpi+1(Qi+1Ci+1), então Ci+1 ∩

Qi+1 ∈ Sylpi+1(Ci+1). Por outro lado, observe também que o índice [Ci+1 : Ri∩Ci+1] é potência

de pi+1. Veja o seguinte diagrama:

Ri+1

HCi+1

Ci+1Ri Qi+1Ci+1

Ri

pηi+1

88

pβi+1

Ci+1

pαi+1

Qi+1 H

Ri ∩ Ci+1

pβi+1

Ti+1 = Ci+1 ∩Qi+1

pαi+1

Pi+1

A�rmamos que Ti+1 = 1. Sendo assim, o índice [Ci+1 : Ri ∩ Ci+1] deve ser 1, ou seja,

Ci = Ri−1 ∩ Ci. Portanto Ci+1 ≤ Ri, como queremos.

Vamos mostrar que Ti+1 = 1. Suponhamos, por absurdo, que Ti+1 6= 1. Note que Pi+1Ti+1

é um pi+1-grupo. Pela Proposição 1.3.1, como vamos ter Ti+1 / Pi+1Ti+1, segue que Ti+1 ∩Z(Pi+1Ti+1) 6= 1.

Agora, tome 1 6= x ∈ Ti+1 ∩ Z(Pi+1Ti+1). Como Pi+1 ∈ Sylpi+1H e H/Ni+1 é o maior

pi+1-grupo quociente de H temos que ([H : Pi+1], [H : Ni+1]) = 1. Além disso, segue que

H = Pi+1Ni+1. Assim, vamos ter x ∈ CG(Ni+1) = 1, absurdo. Logo, Ti+1 = 1, como a�rmado

e temos o resultado desejado.

Observação 3.3.2. O resultado garante que a existência de uma função f , tal que sempre que

H for um subgrupo subnormal de um grupo G e CG(H) trivial, |G| é limitada pela imagem da

função aplicada |H|.

Capítulo 4

Teorema de Wielandt

Os capítulos anteriores apresentaram de�nições e resultados que são fundamentais para

a demonstração do Teorema de Wielandt. Neste momento, estamos aptos a demonstrar o

resultado. Por isso, realizaremos esta tarefa neste capítulo �nal.

Por �m, discutiremos um exemplo de um grupo cujo centro é trivial e a torre de automor-

�smos não termina em um número �nito de passos. Este grupo é in�nito, o que demonstra que

a hipótese de �nitude é essencial.

4.1 Demonstração do Teorema

Abaixo, discutiremos o último resultado necessário para demonstrar o teorema de Wielandt.

Proposição 4.1.1. Considere uma série ascendente de grupos

G = G0 / G1 / · · · / Gα / Gα+1 / · · ·

onde CGα+1(Gα) = 1, ∀ α. Então CGα(G) = 1, para todo ordinal α.

Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que existe um ordinal α, tal que C = CGα(G) 6= 1.

Considere α o menor ordinal possível nestas condições, ou seja, CGγ (G) = 1, ∀γ < α. Note

que α não é um ordinal limite. Caso contrário, pela de�nição da torre de automor�smos,

Gα =⋃β<αGβ. Diante disso, temos que existe β < α tal que CGβ(G) 6= 1, contradizendo a

minimalidade de α.

A�rmamos que [Gγ, C] = 1, ∀ γ < α. Com a a�rmação provada, teremos C ⊆ CGα(Gγ),

para todo γ < α, e, em particular, C ⊆ CGα(Gα−1) = 1. Absurdo, pois, por hipótese, tomamos

C 6= 1.

Além disso, a a�rmação garante que C comuta com todo elemento de Gγ, para todo γ < α.

Vamos supor, novamente por absurdo, que existe um ordinal γ e ele é o menor ordinal tal que

53

4.1. DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 54

[Gγ, C] 6= 1. Note que γ não é um ordinal limite, caso contrário, pela de�nição da torre,

Gγ =⋃β<γ Gβ. Assim existe β < γ, tal que [Gβ, C] 6= 1. Observe que para γ = 0, temos que

[G0, C] = 1. De fato, pois C é o centralizador de G = G0 em Gγ. Além disso, segue que γ > 0.

Agora, suponha que para todo β < γ, temos que [Gβ, C] = 1. Assim, temos que [Gγ−1, C] =

1 e podemos observar que C comuta com todo elemento de Gγ−1. Diante disso, C está contido

em CGα(Gγ−1).

Por outro lado, se x ∈ CGα(Gγ−1) então x ∈ Gα e comuta com todo elemento de Gγ−1.

Porém, G está contido em Gγ−1, logo x comuta com todo elemento de G. Assim,

CGα(Gγ−1) ⊆ CGγ (G) = C.

Portanto, C = CGα(Gγ−1).

A partir disso, podemos mostrar que C é Gγ-invariante. Ou seja, se a ∈ C e h ∈ Gγ, então

ah = hah−1 ∈ C = CGα(Gγ−1).

De fato, considere a ∈ C e h ∈ Gγ. Inicialmente, observe que se g ∈ Gγ−1. Como Gγ−1 / Gγ,

temos h−1gh ∈ Gγ−1. Assim,

(hah−1)g = ha(h−1gh)h−1 = h(h−1gh)ah−1 = g(hah−1).

Portanto, hah−1 ∈ CGα(Gγ−1) = C, e temos que C é Gγ-invariante. Além disso, ∀ x ∈ Gγ e

y ∈ C temos que [x, y] ∈ C ∩Gγ−1. Dessa forma,

[Gγ, C] ⊆ C ∩Gγ−1 = CGα(G) ∩Gγ−1 = CGγ−1(G) = 1,

absurdo. Assim, a a�rmação está provada e o resultado também.

Teorema 4.1.2 (Teorema de Wielandt). A torre de automor�smos de um grupo �nito e com

centro trivial estabiliza em um número �nito de passos.

Demonstração. Considere G um grupo com centro trivial. De�nimos a torre de automor�smos

de G como uma cadeia ascendente de grupos, a saber

G = G0 / G1 / · · · / Gα / Gα+1 / . . . ,

sendo α um número ordinal. Para α um ordinal sucessor, de�nimos Gα+1 = Aut(Gα) e para γ

um ordinal limite, de�nimos Gγ =⋃β<γ Gβ. Observe que para cada n < ω, G é um subgrupo

subnormal de Gn e temos que CGn+1(Gn) = 1. Sendo assim, temos que CGn(G) = {1}, pela

4.2. O GRUPO DIEDRAL INFINITO 55

Proposição 4.1.1. Então, pelo Teorema 3.1.3, existe uma cota superior para |Gn| dependendosomente de |G|, isto é, existe um inteirom tal que |Gn| ≤ m, para todo n < ω, ondem = f(|G|).Ressaltamos que a cota de�nida é su�ciente para limitar Gn para todo n. Diante disso, existe

n tal que Gn = Gn+1, como queríamos.

4.2 O grupo diedral in�nito

Nesta última seção, vamos estudar a torre de automor�smos do grupo G = D∞ e veri�car

que ela estabiliza em um número �nito de passos.

Inicialmente, relembramos que involução de um grupo é um elemento de ordem 2. O grupo

G = 〈a, b | a2 = b2 = 1〉, gerado por duas involuções, é chamado diedral in�nito. Usualmente,

o grupo é denotado por D∞.

Agora, considere c = ab. O elemento c tem ordem in�nita e

aca−1 = a(ab)a−1 = ba = c−1 e bcb−1 = babb−1 = ba = c−1.

Assim, de�nindo C = 〈c〉, temos que C / G.

Podemos de�nir o diedral in�nito, também, como um produto semi-direto de dois grupos.

Para isso, considere H = 〈a〉, cíclico gerado por a e de ordem 2. Além disso, tome C = 〈c〉,cíclico in�nito gerado por c. Por �m, seja a ação

ψ : 〈a〉 −→ Aut(C)

a 7−→ ϕa : C −→ C

c 7−→ c−1

Portanto, D∞ = 〈a〉n C.

Agora, vamos discutir resultados úteis sobre o diedral in�nito.

Lema 4.2.1. Considere D∞ = 〈a〉n C. Então C é um subgrupo característico de D∞.

Demonstração. Denote G = D∞. Observe que se g ∈ G\C, então g = cna, para algum n ∈ Z.Além disso, note que

g2 = (cna)2 = cnacna = cnacna−1 = cn(acna−1) = cnc−n = 1.

Assim, todo elemento de G\C tem ordem 2. Logo, se ϕ ∈ Aut(D∞) e x ∈ C, então ϕ(x) ∈ C,


pois ϕ preserva a ordem dos elementos.

Lema 4.2.2. Considere D∞ = 〈a〉n C. O subgrupo derivado de D∞ é igual a 〈c2〉.

Demonstração. Denote G = D∞. Vamos mostrar que G′ = 〈c2〉. Inicialmente, note que

c2 = (ab)(ab) = [a, b] e, assim, 〈c2〉 ≤ G′. Agora, vamos mostrar a inclusão contrária. Todo

elemento do grupo quociente G/〈c2〉 tem ordem 2. Como os elementos de G/〈c2〉 são involuções,segue que o grupo é abeliano. Assim, pela Proposição 2.1.5, temos que G′ ≤ 〈c2〉. Portanto,

G′ = [G,G] = 〈c2〉.

Lema 4.2.3. O D∞ tem duas classes de conjugação de involuções, a saber

Cl(a) = {c2na|n ∈ Z} e Cl(b) = {c2n+1a|n ∈ Z}.

Demonstração. Observe que:

cnac−n = cna(acna) = cncna = c2na.

Como todo elemento de G é da forma (cn) ou (cna), para algum n ∈ Z, temos que:

acn

= cnac−n = c2na e acna = (cna)a(ac−n) = cnac−n = c2na.

Portanto, Cl(a) = {c2na|n ∈ Z}. Como c = ab, logo b = ac e assim

bcn

= cn(ac)c−n = (cnac−n)c = c(cnac−n) = c2n+1a.

Por outro lado,

bcna = cna(ac)ac−n = cncac−n = cc2na = c2n+1a.

Assim, Cl(b) = {c2n+1a|n ∈ Z}.

Considere G = D∞. Seja π ∈ Aut(G) de�nido por:

π :G −→ G

a 7−→ b

b 7−→ a.

Observe que π ∈ Aut(G), π /∈ Inn(G) e tem ordem 2.

Lema 4.2.4. Aut(D∞) = 〈π, τa〉.


Demonstração. Denote G = D∞. Seja

τa :G −→ G

x 7−→ axa−1 = axa.

Inicialmente, a�rmamos que πτaπ−1 = τb. Vamos veri�car para os geradores a e b

(πτaπ−1)(a) = π(τa(b)) = π(aba) = bab = τb(a) e (πτaπ

−1)(b) = π(τa(a)) = π(a) = b = τb(b).

Então temos que Inn(G) ≤ 〈π, τa〉. Considere ϕ ∈ Aut(G), um automor�smo arbitrário.

Vamos provar que ϕ ∈ 〈π, τa〉. Considere A = Cl(a)∪Cl(b), ϕ permuta os elementos de A. Senecessário, podemos substituir ϕ por πϕ e supor, sem perder a generalidade, que ϕ(Cl(a)) =

Cl(a), logo ϕ(a) = c2na, para algum n ∈ Z. Agora, seja g = c−n e ψ = τgϕ, então

ψ(a) = (τgϕ)(a) = τg(ϕ(a)) = τg(c2na) = g(c2na)g−1 = c−n(c2na)cn.

Já veri�camos que c2na = cnac−n, logo,

ψ(a) = c−n(cnac−n)cn = a.

Como C = 〈c〉 é um subgrupo característico em G, segue que ψ(C) = C. Diante disso, ψ(c) = c

ou ψ(c) = c−1. Vamos analisar os dois casos possíveis. Para ψ(c) = c, temos

ψ(ab) = ab =⇒ ψ(a)ψ(b) = ab =⇒ aψ(b) = ab =⇒ ψ(b) = b.

Como ψ(b) = b e ψ(a) = a, então ψ = Id. Já para ψ(c) = c−1, temos

ψ(ab) = aca−1 =⇒ ψ(a)ψ(b) = aca−1 =⇒ aψ(b) = aca−1 =⇒ ψ(b) = ca−1 = aba−1.

Logo, ψ = τa. Sendo ψ = τgϕ, para ψ = Id temos que ϕ = τg−1 = τcn , então ϕ ∈ Inn(G) ≤〈π, τa〉. Para ψ = τa temos ϕ = τcnτa e, novamente, ϕ ∈ Inn(G). Em ambas as situações,

ϕ ∈ 〈π, τa〉 e Aut(G) = 〈π, τa〉.

Além disso, é interessante observar que τaπ tem ordem in�nita. Para tanto, note que

(τaπ)(a) = τaπ(a) = τa(b) = aba−1 = aba.

4.3. CONSIDERAÇÕES FINAIS 58

Aplicando novamente, temos que

(τaπ)2(a) = (τaπ)(aba

−1) = [(τaπ)(a)][(τaπ)(b)][(τaπ)(a−1)] = ababa−1.

Observe que para todo n ∈ N (τaπ)n(a) 6= a, pois não existe relação entre a e b, (τaπ)n(a)

é uma expressão ababab . . . a. Sendo assim, (τaπ)n nunca é identidade e, então τaπ tem ordem

in�nita.

Como Aut(D∞) = 〈π, τa〉 onde π2 = 1, τ 2a = 1, então Aut(D∞) ∼= D∞. O grupo D∞ possui

o centro trivial, assim analisando sua torre de automor�smos observamos que os grupos que a

compõem são isomorfos a D∞. Já observamos que

Inn(D∞) < Aut(D∞),

pois π ∈ Aut(D∞) e π /∈ Inn(D∞). Assim, D∞ não é completo. Diante disso, a torre de

automor�smos do diedral in�nito não se estabiliza em um número �nito de passos.

4.3 Considerações �nais

Na década de 70, foram provados resultados interessantes sobre a torre de automor�smos

de alguns grupos especí�cos. Por exemplo, Rae e Roseblade, em [9], provaram que a torre de

automor�smos de um grupo de Cernikov, com centro trivial, também estabiliza em um número

�nito de passos. Lembramos que um grupo de Cernikov pode ser de�nido como um grupo

satisfazendo condição minimal de cadeia para subgrupos, tendo um subgrupo normal abeliano

de índice �nito.

Já Hulse, em [6], provou que a torre de automor�smos de um grupo policíclico se estabiliza

após um número enumerável de passos. Recordamos que um grupo policíclico é um grupo que

possui uma série de subgrupos subnormais, a saber

{1} = G0 / G1 / · · · / Gn = G,

onde Gi+1/Gi é cíclico, para todo i = 0, · · · , n.Até aquele momento, a discussão se a torre de automor�smos, de um grupo arbitrário e

com centro trivial, estabiliza ou não ainda estava em aberto. Porém em 1984, Simon Thomas

provou que a torre de automor�smo de um grupo arbitrário G com centro trivial estabiliza após

no máximo (2|G|)+ passos, onde c+ denota o cardinal sucessor de um número cardinal c. Assim,

temos o seguinte teorema:

Teorema 4.3.1. Se G é um grupo in�nito com centro trivial, então a torre de automor�smos

4.3. CONSIDERAÇÕES FINAIS 59

de G estabiliza após no máximo (2|G|)+ passos.

A demonstração do teorema é baseada em resultados básicos sobre a torre de automor�smos

de um grupo e propriedades dos números cardinais in�nitos e pode ser vista em [14].

O matemático Simon ressalta que a discussão ainda não acabou e ainda existem perguntas

interessantes sobre a torre de automor�smos de grupos in�nitos. Sabemos que, para G �nito e

com centro trivial, a torre se estabiliza em um ordinal α tal que Gα+1 = Gα. Neste caso, Simon

de�ne τ(G), o tamanho da torre de automor�smo, como α. No caso in�nito, o matemático

levanta vários questionamentos, entre eles se é possível a existência de um cardinal �xo κ tal

que τ(G) ≤ κ para todo G in�nito com centro trivial.

Ressaltamos que para mais informações sobre grupos completos, é possível consultar a

referência [11].

Apêndice A

Números ordinais

Os números ordinais, apresentados por Cantor por volta de 1883, serão úteis na nossa

de�nição da torre de automor�smos de um grupo. Por isso, faremos uma breve discussão sobre

os ordinais. As principais referências utilizadas neste apêndice foram [3] e [8].

A.1 Resultados

Para desenvolver a teoria, Cantor introduziu o conceito de um conjunto bem ordenado.

Sendo assim, iniciaremos relembrando as seguintes de�nições.

De�nição A.1.1. Uma ordem parcial é uma relação binária em um conjunto X a qual é

re�exiva, anti-simétrica e transitiva. Além disso, uma ordem parcial em X é chamada total

se para todo x e y em X, ou x ≤ y ou y ≤ x. Neste caso, X é denominado um conjunto

totalmente ordenado.

De�nição A.1.2. Um conjunto totalmente ordenado é dito ser bem-ordenado se todo subcon-

junto não-vazio tem um menor elemento.

A partir das de�nições anteriores, vamos de�nir os ordinais.

De�nição A.1.3. Um número ordinal, ou somente ordinal, é de�nido como um conjunto bem-

ordenado α tal que cada elemento β em α é igual o conjunto dos seus antecessores em α, isto

é

β = {ξ ∈ α : ξ < β}.

O conjunto dos números naturais é um conjunto bem ordenado, e o utilizaremos para

exempli�car os ordinais. Para isso, vamos identi�car cada número natural com o conjunto

dos seus antecessores, assim como o matemático von Neumann:

60

A.1. RESULTADOS 61

0 := ∅,

1 := 0 ∪ {0} = {0},

2 := 1 ∪ {1} = {0, 1},

3 := 2 ∪ {2} = {0, 1, 2},

4 := 3 ∪ {3} = {0, 1, 2, 3},

E, em geral

n+ 1 = n ∪ {n} = {0, 1, 2, . . . , n}.

Usualmente utilizamos letras gregas para denotar os ordinais. O conjunto de todos os

números naturais é denotado por ω, de modo que:

ω = {0, 1, 2, . . . , n, . . . }.

Alguns ordinais são �nitos, eles são justamente os números naturais. Enquanto outros são

chamados de trans�nitos. O menor deles é o ω. Cada ordinal α possui um sucessor imediato,

a saber α + 1 = α ∪ {α}.

Exemplo A.1.4. O sucessor de ω é de�nido pelo conjunto

ω + 1 = ω ∪ {ω} = {0, 1, 2, . . . , ω}.

Considere, agora, o sucessor de ω + 1, ou seja:

(ω + 1) + 1 = ω + 1 ∪ {ω + 1} = {0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1} := ω + 2.

De maneira geral,

(ω + n) + 1 = ω + n ∪ {ω + n} = {0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , ω + n} := ω + (n+ 1).

É possível continuar o processo. Assim sendo, vamos de�nir ω + ω ou (ω2) para ser o

conjunto dos números naturais e o número da forma ω + n, onde n varia sobre os naturais.

ω2 = {0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . }

Logo, ω2 + 1 = ω2 ∪ {ω2} = {0, 1, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , ω2}. Continuando o processo,

A.1. RESULTADOS 62

de�nimos o sucessor de (ω2 + 1) + 1, ou seja,

(ω2 + 1) + 1 = (ω2 + 1) ∪ {0, 1, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω2, ω2 + 1}.

Analogamente, de�nimos os ordinais ωm+n, onde m e n são números naturais. E ωm+n

consiste de todos os ordinais da forma:

n(= ω0 + 1) n(= ω1 + 1) n(= ω2 + 1) · · ·1 ω + 1 ω + 2 · · ·...

...... · · ·

n ω + n ω2 + n · · ·...

...... · · ·

ω ω + ω = ω2 ω2 + ω = ω3 · · ·

Todo α um ordinal �nito não-nulo tem um chamado antecessor imediato, isto é, um ordinal

β tal que α = β + 1. Esta a�rmação não é sempre verdadeira para os ordinais trans�nitos.

Diante disso, um ordinal trans�nito que tem um antecessor imediato é chamado um ordinal

sucessor, já os outros são chamados de ordinal limite.

Exemplo A.1.5. Os ordinais ω, ω2 são exemplos de ordinais limites. Já ω + 5, ω5 + 9, são

exemplos de ordinais sucessores.

Referências Bibliográ�cas

[1] D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra, 3nd ed. USA, 2004.

[2] D. S. S. M. Fonseca,Grupos e seus Automor�smos, Monogra�a (Especialização em Mate-

mática), Universidade Federal de Minas Gerais, 2008.

[3] S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean Algebras. USA, 2009.

[4] A. Gonçalves, Introdução à Álgebra, 5.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.

[5] D. Gorenstein, Finite Groups, 2nd ed. USA, 1980.

[6] J. A. Hulse, Automorphism towers of polycyclic groups. J. Algebra 16(1970), 347-398.

[7] I. M. Isaacs, Finite Group Theory. USA, 2008.

[8] P. T. Johstone, Notes on Logic and Set Theory. USA, 2002.

[9] A. Rae, J. E. Roseblade, Automorphism towers of extremal groups. Math. Z. 117(1970),

70-75.

[10] D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2nd ed. USA, 1995.

[11] D. J. S. Robinson, Recent Results on Finite Complete Groups. Algebra Carbondale 1980.

Lecture Notes in Math. Vol. 848, Springer-Verlag, Berlin (1981), 178-185.

[12] S. Thomas, The Automorphism Tower Problem. Proc. Amer. Math. Soc. 95(1985), 166-168.

[13] S. Thomas, The Automorphism Tower Problem II. Israel. J. Math. 103(1998), 93-109.

[14] S. Thomas, The Automorphism Tower Problem. USA, 2009. Disponível em:

www.math.rutgers.edu/ sthomas/book.ps

[15] H. Wielandt, Eine Verallgemeinerung der Invarienten Untergruppen. Math. Z. 45(1939),

209-244.

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