INSTITUTO FEDERAL DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO ESTADO DO CEARÁ

Campus Fortaleza

Métodos de Medições de Resistências Fracase de Potência Trifásica

Anderson Tavares Vieira

Jonathan da Silva Sousa

Professor: Clayton Ricarte da Silva

Disciplina: Medidas Elétricas

Curso: Eletrotécnica- Integrado

Período: 5º

Fortaleza

2010

ÍndiceIntrodução.............................................................................................pág.3Ponte de Wheatstone............................................................................págs.4 e 5Utilizando a ponte de Wheatstone para medição de diversas resistências...................................................págs.6,7,e 8Ponte de Kelvin......................................................................................págs. 9,10 Entendendo o funcionamento da ponte de Kelvin................................págs. 9,a 12Questionário 1.......................................................................................págs. 13 a 21Questionário2........................................................................................págs 22 a 26

2

Introdução

Este trabalho ira apresentar o modo de aplicação e os aspectos construtivos e de funcionamento da ponte Wheatstone e da ponte Thompson (ou Kelvin) do tipo industrial. Destacar os procedimentos padrão na utilização desses equipamentos. Definir as principais características como: resolução, sensibilidade,exatidão, etc.Verificar os métodos de medição de potência trifásica, sublinhando a adequação quanto ao sistema de alimentação, se é feito a três ou quatro fios. Estudar a influência da natureza da carga (se equilibrada ou não) no método dos dois wattímetros,aliando isso ao uso do MATLAB uma importante ferramenta para estudo em nossa área.

3

Ponte de WHEATSTONE

A ponte de Wheatstone é basicamente usada para medir resistência com extrema precisão, mas pode ser usada na medida de qualquer grandeza física contanto que exista o transdutor adequado. O método da ponte foi imaginado pelo físico inglês Christie em 1830 e estudado por Wheatstone constitui um dos métodos mais empregados para medição de resistências médias.

Conforme o esquema da figura acima a resistência X a medir e três resistores ajustáveis conhecidos são ligados em losango sendo as diagonais constituídas pela fonte E e pelo galvanômetro G respectivamente.O principio da medição consiste em ajustar os valores das resistências dos respectivos resistores M,N,P de tal modo que os pontos C e D fiquem ao mesmo potencial,sendo a verificação dessa igualdade fornecida pela indicação ZERO do galvanômetro G.Assim,no equilíbrio temos VC = VD ou seja: ig = 0 acarretando:

P .i1=X .i2

N .i1=M . i2

Das relações tiramos:X=MN

.P

Para ponde desequilibrada,circula uma corrente ig através de G cujo o valor pode ser determinado a partir da figura 1:

( N+P+ρ ) . i1+ ρi2– P .ig=E

(N+P) .i1(M+X ). i2– (P+X) . ig=0

N .i1−M . i2+g . ig=0

4

Fig.1

Das equações acima se deduz o valor de ig:

I g=E (MP−NX )

g ( N+P ) ( M+X )+ρ ( N+M ) ( P+X )+gρ ( M+N+P+X )+MN ( p+X )+XP(N+M )

Vê-se que i g=0 para MP−NX=0

Os três seguintes casos apresentam-se na realidade simplificando a expressão de ig:

G é um galvanômetro de resistência interna desprezível:g=0:

Ig=E=(MP−NX)

ρ ( N+M ) ( P+X )+MN (P+X )+XP(N+M )

A fonte de tensão E tem resistência desprezível ρ=0 :

Ig=E=(MP−NX)

g ( N+M ) ( P+X )+MN (P+X )+P(M+N )

Os dois últimos casos são conjuntamente obtidos:g= ρ=0 :

Ig=E=(MP−NX )

MN (P+X )+XP(M+N )

Se M,N e P tem erros de construção ,respectivamente :ΔM, ΔN e ΔP,então a resistência X será afetada de um erro ΔX que pode ser determinado a partir da relação de

equilíbrio X=MN

.P

log n X=logn M−logn N+¿ logn Pedxx

=dMM

−dMN

+ dPP

¿

Passando ao limite:

ΔXX

≤∆ MM

+ ∆NN

+∆ PP

5

Utilizando a ponte de Wheatstone para medição de diversas resistências

As pontes de wheatstone utilizadas na prática apresentam certos detalhes construtivos sobre os quais passaremos a fazer as seguintes observações:

*Os resistores M e N não são ajustáveis independentemente.Ajusta-se a relaçãoMN

,

permanecendo constante no circuito da ponte a soma M+N,conforme mostra a figura abaixo:

6

Fig.2

A relação MN

é chamada “relação de entrada da ponte” e tem geralmente os valores

simples seguintes:

10-2,10-1,1,10,10², etc.

*O resistor ajustável P é constituído de várias décadas de resistores.

A figura acima mostra 4 décadas em que o incremento de resistência é de 1,10,100 e 1000 Ω por ponto,respectivamente,sendo a sua leitura no caso é igual a 6.948 Ω. A faixa de medição da ponte é definida por

( MN )

min

. Pmin≤ X ≤( MN )

max

.Pmáx

*O Galvanômetro G é provido de um “derivador” para o controle da sensibilidade da montagem,conforme está na figura abaixo. No início da operação de equilíbrio o contato F deve ser posto na posição correspondente à “sensibilidade mínima” afim de evitar que uma parcela grande de corrente iT passe através de G e danifique-o.À proporção que o equilíbrio da ponte é atingido,desloca-se o ponto F para a sensibilidade média e depois para a “sensibilidade máxima”.

7

Fig.3

Fig.4

*O galvanômetro G é provido dos sinais + e – como mostra a figura a seguir. Ao tentar equilibrar a ponte,para medir a resistência X,se o ponteiro se desloca para o + significa aumentar a resistência própria da ponte,isto é,

aumentar a relação MN

ou aumentar o valor de

P;Se o ponteiro se desloca para o -, significa diminuir a resistência própria da ponte.

*Para medir uma resistência X além de se levar em consideração o que está dito na observação acima, deve-se proceder da seguinte maneira:

1-Se se conhece a ordem de grandeza de X,deve-se escolher um valor para a

relaçãoMN

de tal modo que todas as décadas de resistores P sejam utilizados no

circuito durante a operação de equilíbrio,por exemplo:X é da ordem de grandeza de 85 ohms; P é formado de 4 décadas conforme a figura 3.O melhor valor para o

relação MN

será 1100

e nunca 110

ou 1,pois com estas duas ultimas duas relações as

décadas maiores de P ficariam em zero.

*Se não se conhece a ordem de grandeza de X então procedimento deve ser o seguinte:

1- Colocar o cursor da figura 2. no ponto que corresponde a menor relação de MN

.No caso dessa figura,no ponto 10-2;

2- Colocar o resistor ajustável P no valor máximo.No caso da figura 3,P seria 11.110 ohms;

3- Fechar o interruptor K da figura 2;se o ponteiro de G se deslocar para o + aumenta a

relação MN

e vai-se aumentando essa relação até que o ponteiro se desloque para o

menos quando isto ocorrer,passa-se então a diminuir o valor de P começando-se pela década de 1000 Ω ,passando pela de 100 Ω,para a de 10 Ω e por fim para a de 1 Ω,até se obter o equilíbrio final da ponte estando o contato F no ponto de “sensibilidade máxima”.

* Nas pontes de melhor precisão,em série com as décadas de resistências há um resistor de ajuste contínuo chamado de ajuste fino,o qual permite obter um equilíbrio perfeito da ponte para as pontes em que P tenha ajustes por pontos,como no caso da figura 3,pode ocorrer que o equilíbrio perfeito não seja conseguido:

8

1-O valor de P1 corresponde uma deflexão d1 para o lado +;

2- O valor de P1+ p corresponde a uma deflexão d2 para o lado -,em que p representa o menor ajuste possível de P;no caso da figura 3 tem-se p=1 ohm.

Então,o valor mais provável do resistor P para obter o equilíbrio da ponte pode ser determinado por interpolação,como mostra a figura abaixo:

PONTE KELVIN

Esta ponte é um dos mais simples e eficientes dispositivos para a medição de resistências fracas. Há no mercado tipos altamente sofisticados para uso exclusivo em laboratório e tipos portáteis, mais modestos, para utilização em trabalhos de campo

A ponte de Kelvin é utilizada na medida de resistências de valor muito reduzido. Para que a medida tenha maior exatidão utilizam-se resistências de 4 terminais.

No equilíbrio tem-se:

A resistência a medir vale:

Para diminuir os erros causados por forças eletromotrizes de contacto é efetuada uma dupla medição comutando a polaridade da tensão de alimentação.

A ponte de Kelvin é uma versão modificada da ponte de Wheatstone, de modo a eliminar o efeito das resistências dos contactos e dos cabos de ligação, do processo de medida, quando se pretende determinar com rigor o valor de resistências de muito baixo valor (µΩ). Para compensar os efeitos acima enumerados, esta ponte usa um segundo par de ramos de forma a compensar o valor das resistências de contacto e dos cabos.

A ponte está balanceada quando se verifica:

9

Entendendo o funcionamento da

ponte de Kelvin

a) G e um galvanômetro de “zero” central.b) E e uma pilha comum, chamada pilha de serviço, de resistência interna

Rô.normalmente e externa à ponte.c) AB e um resistor, graduado em termos de submúltiplos do ohm, sobre o qual

pode ser deslocado o cursor F’ fazendo introduzir no circuito uma porção R da resistência de AB.

d) R e um fio condutor de grande seção (baixa resistência) que liga a resistência X a medir ao resistor AB.

e) M, N, P e Q são resistores fixos, próprios da ponte, devendo seus respectivos valores de resistência satisfazerem às condições seguintes intrínsecas à construção da ponte:

M+N e P+Q são valores relativamente elevados, sendo cada um destes totais muito maior do queX+r+R .

Será sempre conservada a relação: MN

= PQ

.

10

Do exposto vê-se de imediato que as correntes i1 e i2 são muito pequenas, o que contribui para um bom desempenho do contato F’ evitando ai o aparecimento de f.e.m. de origem termoelétrica.

A operação desta ponte e bastante fácil: fechada a chave K desloca-se vagarosamente o cursor F’ ate se conseguir o equilíbrio, isto e, ate se conseguir ig= 0, sendo esta verificação feita através da indicação zero de G. no equilíbrio podemos escrever as seguintes equações:

M .i 1=P .i 2+X (I−i 1)

N .i 1=Q . i2+R .(I−i 1)

i2=(r /r+P+Q).( I−i 1)

das equações tiramos o valor de X:

e como foi visto que a ponte de kelvin e construída de modo que MN

é sempre igual a

PQ

, temos para X:

X=( MN ) .R

*A relação MN

e chamada relação de entrada da ponte.

A figura acima é apenas um esquema básico da ponte kelvin com maiores detalhes construtivos,estando esta mais próxima das realmente fornecidas pelos fabricantes:

1) Os contatos F1 e F2 são mudados de posição simultaneamente ,possibilitando vários

valores para a relação de entrada MN

,mas conservando a igualdade MN

=PQ

2) A resistência R que é ajustável para equilibrar a ponte é composta de duas partes em série:Uma de ajustes de pontos ou saltos através do contato F’’ e outra de ajuste continuo através do cursor F’ o qual permite encontrar um equilíbrio perfeito da ponte.

3) G é provido de um derivador shunt que limita a corrente que o percorre.Antes de começar a operação deve-se ter o cuidado de colocar o cursor F na posição de sensibilidade mínima para que somente uma pequeníssima corrente passe atreves de G.Á proporção que se vai aproximando do equilíbrio pelo deslocamento de F’ e F’’, pode-se ir se deslocando F no sentido da sensibilidade máxima.

11

É interessante ressaltar os limites das resistências X que podem ser abrangidos por uma ponte de Kelvin:

MN min

. Pmin≤ X ≤MN máx

.Pmáx

Sobre a ponte de Kelvin,podem ser feitas as seguintes observações conclusivas:

1)A relação indica que o valor de X é obtido por maio de uma expressão idêntica aquela da ponte de Wheatstone:a igualdade entre os produtos dos lados opostos,isto é:

XN=MR.

2)Foi visto que a ponte de Wheatstone tem apenas um resistor M+N fixo.A ponte Kelvin tem dois resistores fixos:M+N e P+Q, sendo por esta razão como ponte dupla.

3)A ligação de X da ponte deve ser sempre através de 4 fios condutores,conforme mostra abaixo,os quais são fornecidos pelo fabricante com a mesma,tendo de 0,008.Não se deve fazer esta ligação através de apenas dois fios condutores a1 e a2 interligando-se na própria ponte os terminais com C1 COM P1 com C2 com P2 conforme mostra a figura 7.21ª.Em que estão ressaltados apenas os terminais da ponte.Este procedimento convertê-la-ia numa ponte comum de Wheatstone e acabaria com os incansáveis estudos de Kelvin no sentido de excluir da medição de X a resistência dos fios de ligação.

4) Os resistores próprios da ponte são dimensionados pelo fabricante tendo em vista a corrente máxima que poderá por eles circular em fase da pilha de serviço E, a qual é, nas pontes usuais, de cerca de 2 V, mas de grande potência, podendo fornecer uma corrente total ao circuito (corrente I) da ordem de 10 A. As resistências X a serem medidas, quanto menores forem, devem poder suportar correntes dessa ordem de grandeza. De uma ponte de Kelvin, cujos limites de medi9ao são:

0.5 x 10-4 Ω ≤ X ≤ 10.5 x 10 Ω

12

Como se vê, quanto menor a relação de entrada, o que corresponde a resistências X menores a medir, maior correntes estas devem suportar, pois as correntes que circulam através de M + N e de P + Q são pequenas, da ordem de poucos miliamperes.5) Alguns autores chamam esta ponte de "ponte de Thomson" tendo em vista o nome verdadeiro de seu criador, Willian Thomson (1821-1907), o qual foi agraciado primeiro com o título de Baron Kelvin of Largs e depois com o título de Lord Kelvin, com o qual ficou mais conhecido.

Questionário 11- A partir dos valores indicados na Fig. 1, determine a faixa de medição da ponte

Wheatstone.

( AB )mí n . x Rm í n .≤ X ≤( A

B )má x . x Rm á x .

10−3 x (0.1)≤ X ≤103 x 9999.9

∴0 .0001Ω≤ X≤9999900Ω

2- A partir das Figs. 1 e 2(a) refaça o diagrama esquemático de modo a reconhecer a ponte Wheatstone.

3- Deduza a relação obtida por interpolação linear :

R=R1+r . d1

d1+d2

utilizada quando não se consegue o equilíbrio perfeito (r corresponde ao menor valor de R). Veja a Fig. 3(a).

13

β=α ;tg β=tg α

d1R – Rl

=d2

Rl+r – Rl

dl(R1+r – R)=d2(R – R1)

dlR 1+d1 r – d1 R=d2 R– d 2R1

d 1R1+d 1 r+d 2R1=d2 R+d 1R

R1(d 1+d 2)+rd1=R(d 1+d 2)

∴R=R1+rd1/(d1+d 2)

4- Os braços de uma ponte Wheatstone têm resistências de 600, 60, 101 e 1000Ω, todas em sequência em torno da ponte. Um galvanômetro (resistência igual a 100Ω) é conectada na junção das resistência de 600 e 1000Ω para a junção de 60 e 101Ω. Uma bateria de fem. igual a 4V e resistência interna desprezível é colocada aos outros extremos.

a)Usando o teorema de Thévenin, determine a fem. e a resistência a serem usados em um circuito equivalente para o cálculo do galvanômetro.

Vt h=Vba;

Va=4 x 1000/1000+600=2.5V ;

Vb=4 x101 /60+101=2,5093167V ;

14

Vba=2.5093167 – 2.5=9.3167Mv

Vth=9 .3167Mv ;

Rt h=600/¿1000+60/¿101

Rt h=375+37.64

Rth=412 .64Ω;

(a) Determine a corrente através do galvanômetro.

Ig=Vt h/Rt h+Rg

Ig=9.3167 x 10−3/512.64=18.17 x10−6 A

Ig=18 .17 x 10−6 A

5- Um resisitor desconhecido é medido numa ponte Wheatstone que tem realmente a resistência de 351, 6Ω. Os braços de relação da ponte são, normalmente, de 1000 cada, mas um vale 1001, 6 e o outro 999, 1Ω.

a) Se o braço de 999, 1Ω é adjacente ao desconhecido, determine o valor aparente do desconhecido, como indicado pela disposição do braço reostático que assegura o equilíbrio. Pode-se avaliar a leitura do braço até 0, 1Ω.

Rx=R1x R2 /R3 ;Rx=351.6 x999.1 /1001.6 ;

Rx=350 .72Ω

15

b) Determine o novo valor de equilíbrio, se os braços de relação forem trocados entre si.

Rx=351.6 x 1001.6 ;999.1

Rx=352 .47Ω

−R1x R2=R3 x Rx=352 ,16

c) Efetue a média dos resultados de (a) e (b) e compare com a resistência desconhecida.

Ea+Eb2

=351.2+352.162

=351.68Ω

351 .68Ω /350.72Ω

6- O galvanômetro A tem sensibilidade de 0, 05µA/mm e resistência, de 50Ω; o galvanômetro B possui valores de 0, 005µA/mm e 1000Ω. Um desses galvanômetros será usado numa ponte Wheatstone com braços de relação iguais de 100Ω para medir uma resistência desconhecida de aproximadamente 200Ω. Uma bateria de 3V é conectada da junção dos braços de relação até a junção do braço variável com a resistência desconhecida.Determine a deflexão que cada galvanômetro dá, para uma diferença de 0, 05% entre o braço variável e o desconhecido.

Galvanômetro A – Sensibilidade = 0,05µ/mm;

Galvanômetro B – Sensibilidade = 0,005µ/mm;

N = 100Ω ; M = 100Ω ;

E = 3V ; P = 100Ω ; X = 200+x ;

x = 0,05%X = 0,1Ω ; RgA = 50Ω ; RgB = 1000Ω.

Vth = 3∗100100+100 –

3∗100100+200+x

Vth = 1,5 – 300

300+0,1

Vth=1,5– 0,99

Vth=0 ,51V

Rth = M//N + P//X

Rth = 100∗100100+100 +

100∗200,1100+200,1

Rth= 50 + 66,67

Rth=116,67 Ω

16

IgA = Vt h

Rt h+RgA

IgB = Vt h

Rt h+RgB

IgA = 0,51

116,67+50

IgB = 0,51

116,67+1000

IgA = 3,06mA Igb=456,72µA

Deflexão A = IgA

Sensibilidad eA

deflexãoA = 3,06m

0,05µ /mm

deflexão A = 6120mm

deflexão B = IgB

SensibilidadeB

deflexão B = 456,72µ0,005µ

deflexão B = 91344mm

4- Deseja-se construir um ohmímetro série como mostrado na Fig. 3(b), com uma indicação de meio de escala igual a 5kΩ. O instrumento a ser usado necessita 0, 50mA para uma deflexão de fundo de escala e tem resistência de 50Ω. A tensão da bateria é de 3,00V .

a) Determine os valores dos resistores necessários no circuito do ohmímetro.

Ig= Rp . ERg(Rp+R1)x Rp+R1

Rp+R1+Rx

b) Determine a faixa de valores de R2 necessária para zerar o ohmímetro, se a tensão da bateria variar de 2,70 a 3, 10V . [Use R1 com em (a)]Rg=50Ω; Rh=5kΩ; R1=4958,33Ω;Ig=0,50mA ;

2,70V ≤E≤3,10V

Ixmin=EmimRh

Idmin=Ixmin – Igm

Ixmin=2,705 k

Idmin=0,54m– 0,50m

Ixmin=0,54mA Idmin=0,04mA

Rg∗Ig=R2max∗Idmin

50∗0,50m=R2max∗0,04

R2max= 250,04

=¿ R2max=625Ω

17

Ixmax= EmaxRh

Ixmax=3,105k

=¿ Ixmax=0 ,62mA

Idmax=Ixmax – Igm

Idmax=0,62m– 0,50m=¿ Idmax=0 ,12mA

Rg∗Ig=R2min∗Idmax

50∗0,50m=R2min∗0,12m

R2min= 25m0,12m

=¿R2min=208 ,33Ω

4- Faça um esboço do ohmímetro ducter e explique os procedimentos de utilização.

O ohmímetro ducter é um instrumento projetado e construído especialmente para medir resistências fracas do tipo industrial, como sejam: resistência de condutores, de conexões, de contatos, etc. É atualmente de grande aceitação nas empresas de energia elétrica, sendo utilizado sobretudo para verificação e acompanhamento da evolução da resistência dos contatos dos dispositivos empregados para abertura e fechamento do circuitos elétricos em carga: disjuntores, religadores, contadores, etc, normalmente todos eles blindados em caixas metálicas hermeticamente fechadas, sendo os mais usuais imersos em óleo.

O seu esquema básico é mostrado na figura a seguir:

O conjunto móvel é do tipo quocientímetro, bobina móvel e imã fixo.

18

A bobina de corrente A, chamada “bobina de controle”, de resistência própria “g” em série com o “resistor estabilizador” de resistência “r”, posta em paralelo com o “derivador” (shunt) de resistência Rs, é percorrida pela corrente i’:

i’ = Rs

(g+r+Rs)

A bonina de tensão B, chamada “ bobina defletora” de resistência própria g’ em série com R, é submetida á diferença de potencia V nos terminais de X, sendo então percorrida pela corrente “i”:

V = (g’ + R) * i = X * ( I – i)

Pela própria construção do ducter, a corrente “i” é muito pequena, torna-se desprezível na frente de I.

i = X

g '+R * I

Quando se muda de posição a alavanca C, modificam-se os valores Rs, r e R simultaneamente. Estas grandezas são adequadas pelo fabricante de modo que sejam conseguidos valores em conseguidos valores em potências de 10 para o coeficiente K que é o multiplicador da leitura da escala para se obter o valor de X.

Assim, um mesmo ohmímetro Ducter pode se prestar para medir uma faixa muito grande de valores de X.

Obs: Uma boa prática é fazer a medição da sua resistência quando o equipamento é novo, isto é, antes de ser energizado pela primeira vez de ser energizado pela primeira vez e, repetí-la periodicamente, de seis em seis meses, por exemplo.

As resistências dos ohmímetros são elevadas em consideração no projeto e construção do instrumento, não sendo portanto recomendável o sendo, portanto, recomendável o emprego de outros condutores diferentes daqueles recebidos com o ducter.

19

5- Um ohnímetro série, construído para operar com 4,5V , possui um circuito como mostrado na Fig. 3(b). O instrumento indicador usado no ohmímetro tem uma resistência de 120Ω e necessita de 0, 1mA para uma deflexão de fundo de escala. R1 é igual a 37000Ω e a exatidão do instrumento, igual 1% do fundo de escala.

a)Que valor de R2 é necessário para zerar o ohmímetro?

Vg -0,1m.120=12mV

VR1=4,5 – 12mV = 4,488V

Ix = 4 ,48837000

= 121,3µAId = IX-Ig∴ Id = 121,3µ - 0,1 m = (0,1213 – 0,1)m = 21,3µA

∴ R2 = VgId =

12m21,3µ

= R2 = 563,4Ω

b)Que valor de Rx (= X) causará no instrumento uma deflexão de 30 divisões, a partir da extremidade esquerda da escala, se as 100 divisões da mesma correspondem a incrementos iguais de corrente? Da mesma forma, determine Rx para deflexões de 10, 20 e 80 divisões.

Para 30 divisões:

10030

=o .1m

Ig ∴ 3m100 =0,03mA

Vg = 0,03m.120 = 3,6mV = VR2

Id = 3,6563,4

=Id= 6,34µA = 0,00634mA

Ix = Ig + Id ∴ Ix=(0,03+0,00634)m = Ix 0,03634m

Ix=36,34 µA∴V R2+VR1+Vx= 4,5∴3,6m+37000.36,34µ-4,5=

-X.Ix= 3,6m+1344,58m-4,5=-X.36,34 µ

X=1348,18m−4,5

36,34 μ→X=

3 ,1518236,34 μ

→X=86,73KΩ

Para 10 divisões

∴ 10010

=0,1mI g

=Ig=0,1m10

=Ig+0,01mA

20

∴Vg=0,01m .120 → Vg=1,2mV=Vr2

∴Vg=0,01m .120→ Vg=1,2mV=Vr2

∴ Id= 1,2m563,4

→ Id=2,13 μA

∴ Ix=Ig+ Id →Ix=0.01m+2,13µ→Ix=12,13µ A

∴V r 2+V r1+V x=4,5→X.I x= 4.5-1,2m – 3700 – 37000 . 12,13µA

→X=4,5−450,01m12,13 μ

→ X=333 ,88kΩ

Para 20 divisões

10020

=0,1Ig

→Ig=0,2m10

→Ig=0,02mA

∴Vg=0,02m .120=2,4mV

∴ Id= 2,4m563,4

→ Id=4,26μA

∴ Id=Ig+ Id →Ix=0,02m+4,26 μ→Ix=24,26μA

∴V r 2+V r1+V x=4,5→ X. Ix=4,5−2,4m−3700 .24,26μ

→X=4,5−899,28m97,04 μ

→ X =148,42KΩ

Para 80 divisões

10080

=0,1mIg

→ Ix=0,8m10

→0,08mA

Vg=0,08m .120=9,6mV=V r 2

∴ Id= 9,6m563,4

=17,04 μA

∴ Ix=Ig+ I d

∴ Ix=0,08m+17,04 μ

∴ Ix=97,04 μA

∴Vr 2+Vr1+Vx=4,5…

∴ X∗Ix=4,5−9,6m−37000∗97,04 μ

21

∴ X=4,5−3600,08m97,04 μ

=9273,7Ω

22

Questionário 2

1-Baseado no desenvolvimento anterior determine a leitura de cada wattímetro para uma carga em estrela a quatro fios se: VL = 600V, ZA = 20 +j30Ω, ZB = 40 – j50Ω e ZC = 50 +j0Ω.

VL=600

Za=20+ j30=36,05¿Ω

Zb=40− j50=64,03¿51,3Ω

Zc=50+ j 0=50Ω

Ia=VL /Za=16,64¿56,3 A

Ic=VL /Zc=12 A

P1ϕ=VL. Ia=9984W

P2ϕ=VLic=7200W

P3ϕ=P1+P2=17184W

2-Se a carga anterior conectada com o centro de estrela isolado, mostre que a soma das leituras no método dos três wattímetros é igual a do método dos dois wattímetros.

Vf=0,577VL=0,577.600=346,4V

Ib=VLZb

=

60064,03

−51,3 °

Ib= 9,37−51,3°

A

P1=Vf . Ia=346,4.16,64=5764W

P2=Vf . Ib=346,4.9,37=3245,7W

P3=Vf . Ic=346,4.12=4156,8W

PT=P1+P2+P3=5764+3245,7+4156,8

23

PT=13166 ,5W

3-Para uma carga conectada em delta com VL = 110V, ZAB = 20 + j10Ω, ZBC = 15 – j15Ω e ZC = 10 + j20Ω. Determine as leituras de P1 e P2 no método dos dois wattímetros.VL=110V

ZAB=20+ j10

Za=ZAB+ZB

Zbc=15− j15

Zc=10+ j 20=22,36 /63,43 °

Za=ZBC+ZC

Za=15− j 15+10+ j 20

Za=25+ j5=25,49/11,3°

Za=ZAB+ZB

Za=20+ j10+25+ j 5

Za=45+ j 15

Za=47,4/18,43 °

Ia=VL /Za

Ia=110 /47,4=2,32 A

Ic=110 /22,36

Ic=4,91 A

P1=VL . Ia=¿

P1=110 .2 ,32=255 ,2W

P2=VL . Ic=¿

P2=110 . 4 ,91=540W

5- O método dos dois wattímetros com carga equilibrada as leituras de P1 e P2 são dadas por: P1 = VL * IL * cós (30° + φ), P2 = VL * IL * cós(30°-φ) , P3Φ = P1±P2 , onde φ representa o ângulo do fator de potência da carga e 30° é devido ao ângulo entre a tensão de fase e a de linha.

24

a)Mostre que tg φ = √ 3P1−P2P1+P2

.

P1=VL∗IL∗cos (30 °+φ)∴VL∗IL= P1cos (30 °+φ)

P2=VL∗IL∗cos (30 °−φ)∴VL∗IL= P2cos (30 °−φ)

P1cos (30 °+φ)

= P2cos (30 °−φ)

P1

√3∗cos φ−1 senφ= P2

√3∗cosφ+1 senφ

√ 3∗P1∗cos+P1∗senφ=√ 3∗P2∗co s φ– P2– sen φ

P1∗senφ+P2∗sen φ=√3∗P2∗c os φ−√3∗P1∗cos φ

senφ(P1+P2)=√3∗c ó s(P2 – P1)

senφcosφ

=√3 P2−P1P1+P2

tgφ=√3P2−P1P1+P2

b)Mostre que a potência reativa pode ser determinada por:

Q 3Φ=√3(P1 – P2).P3Φ=S3Φ∗cos

S3Φ= P3Φcosφ

Q 3Φ=senφ∗S3Φ

Q 3Φ= senφcosφ

∗P3Φ

Q 3Φ=tgφ∗P3Φ=¿Q 3Φ=√3∗( P2−P1 )( P1+P2 )

∗( P1+P2 )=¿

Q 3Φ=√3∗(P2−P1)

25

c)Use o MATLAB para construir um ábaco que relacione a relação entre as leituras dos wattímetros, por exemplo, P1/P2 = leitura menor/leitura maior = cos (π /6 +φ)/ cos (π / 6 – φ) e o fator de potência da carga.

5- Nas

situações indicadas na figura a seguir, qual a relação entre a leitura do wattímetro (P1) e a potência trifásica de uma carga suposta equilibrada? Demonstre.a) Wattímetro com banco de resistências R

Estando a bobina de corrente do wattímetro ligado na fase de uma carga trifásica equilibrada, a corrente que ela irá medir é IL.

Estando a bobina de potencial ligada entre uma fase e O neutro de um banco de resistências R ligados em estrela, a tensão que ela ira medir será VL.Admitindo que a bobina de potencial tem uma resistência infinita temos que não corrente por ela.

Sendo assim temos: P1=VL . IL . cosφ

Sendo a potencia de um sistema trifásico dado pela expressão:

P3∅=√3 . vL. ILcosφ

Temos que a relação entre a leitura do wattímetro PI e a potencia TRIFASICA DE CARGA é:

26

P1P3

ϕ=(VL. IL . cosφ)

(√3.VL. IL . cosφ)= 1

√3

∴P3φ=√3. P1

b) Wattímetro com bobina de potencial ligada nas fases restantes

A bobina de corrente do wattímetro esta ligada na fase a, logo a leitura que fará e IL.

A bobina de potencia esta ligada entre as fases b e c, logo a leitura que ele fará é:

V F=V L

√3

Sendo assim,a relação entre a leitura do wattímetro e a potencia trifásica de carga e igual a:

P1P3

ϕ=(VL

√3.il cosφ)

(√3 . il . cosφ)

∴P1√3=P3ϕ

√3

∴P3ϕ=3 P1

27

28