medidas de dispersão
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Medidas de Dispersão. Aula 8. Introdução. As medidas de tendência central não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica. Exemplo: X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10. Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13. Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
Aula 8Aula 8
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IntroduçãoIntrodução As medidas de tendência central As medidas de tendência central não são não são
suficientessuficientes para caracterizar totalmente para caracterizar totalmente uma sequência numérica.uma sequência numérica.
Exemplo:Exemplo:– X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.– Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.– Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13.
Nos 3 casos, média igual a 13, porém são Nos 3 casos, média igual a 13, porém são séries completamente distintasséries completamente distintas..
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Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão
As principais medidas de dispersão As principais medidas de dispersão absolutas são:absolutas são:– Amplitude Total,Amplitude Total,– Desvio médio simples, Desvio médio simples, – Variância, Variância, – Desvio Padrão.Desvio Padrão.
Focaremos na Focaremos na variância e desvio variância e desvio padrãopadrão..
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Desvio médio simplesDesvio médio simples
O conceito estatístico de desvio O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático corresponde ao conceito matemático de de distânciadistância..
O desvio médio simples (DMS) é O desvio médio simples (DMS) é definido como sendo uma definido como sendo uma média média aritmética dos desvios de cada aritmética dos desvios de cada elemento da série para a média da elemento da série para a média da sériesérie..
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Desvio médio simplesDesvio médio simples
1º Caso - 1º Caso - Dados BrutosDados Brutos::
Exemplo: Calcule o DMS para a sequência Exemplo: Calcule o DMS para a sequência – X: 2, 8, 5, 6X: 2, 8, 5, 6– Média = 5,25Média = 5,25– DMS = 1,75DMS = 1,75
n
XXDMS
i
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão
No caso do DMS necessita-se do módulo para que No caso do DMS necessita-se do módulo para que a diferença entre o valor de x e a média possam a diferença entre o valor de x e a média possam ser consideradas distância.ser consideradas distância.
Outra forma de se conseguir tornar essa diferença Outra forma de se conseguir tornar essa diferença sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado sempre positiva ou nulas é considerar o quadrado destas diferenças.destas diferenças.
Se substituimos por temos a Se substituimos por temos a variância.variância.
Desvio Padrão é a raiz da variânciaDesvio Padrão é a raiz da variância
XX i 2XX i
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão
1º Caso – 1º Caso – Dados BrutosDados Brutos::– Se a sequência representa uma população, a Se a sequência representa uma população, a
variância é igual:variância é igual:
– Se a sequência representa uma amostra, a Se a sequência representa uma amostra, a vriância é igual:vriância é igual:
1
2
2
n
xxxs i
n
xxx i
2
2
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão
Exemplo:Exemplo:– Calcule a variância e o desvio padrão Calcule a variância e o desvio padrão
para a sequência – X: 4, 5, 8, 5.para a sequência – X: 4, 5, 8, 5.– Média = 5,5Média = 5,5– Variância = 2,25Variância = 2,25– Desvio Padrão = 1,5 unidades.Desvio Padrão = 1,5 unidades.
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão
2º Caso – Variável Discreta:2º Caso – Variável Discreta: Como existe repetição na série, Como existe repetição na série,
precisamos ponderar a série:precisamos ponderar a série:– No caso de População, a variância é:No caso de População, a variância é:
– No caso de amostra, a variância é:No caso de amostra, a variância é:
i
ii
f
fXXx
2
2
1
2
2
i
ii
f
fXXxs
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão Exemplo:Exemplo:
– Calcule a variância para a série abaixo:Calcule a variância para a série abaixo:
– Média = 3,65Média = 3,65– Variância = 0,9275Variância = 0,9275– Desvio Padrão = 0,988Desvio Padrão = 0,988
XX
ii
ffii
22 33
33 55
44 88
55 44
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão
3º caso: Variável Contínua3º caso: Variável Contínua– Neste caso, como desconhecemos o valor de Neste caso, como desconhecemos o valor de
“x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos “x” existentes dentro do intervalo, utilizaremos o ponto médio de cada intervalo.o ponto médio de cada intervalo.
i
ii
f
fXXx
2
2
1
2
2
i
ii
f
fXXxs
Variânciano caso de População
Variânciano caso de Amostra
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Variância e Desvio PadrãoVariância e Desvio Padrão Exemplo:Exemplo:
– Dado a seguinte variável contínuaDado a seguinte variável contínua
– Calcule a variância e o desvio padrão, no caso Calcule a variância e o desvio padrão, no caso de desta variável representar uma população e de desta variável representar uma população e no caso de representar uma amostrano caso de representar uma amostra
– Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2Variância= 10,24 e desvio padrão=3,2– Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373Variância= 11,38 e desvio padrão=3,373
1112 1612 1644
558 128 1233
334 84 822
110 40 411
ffiiIntervalo de classeIntervalo de classeClasseClasse
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Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão
No cálculo da variância, quando elevamos o No cálculo da variância, quando elevamos o quadrado da diferença entre a média e o valor de quadrado da diferença entre a média e o valor de x, a unidade de medida também fica elevada ao x, a unidade de medida também fica elevada ao quadrado:quadrado:– Se a medida é em Se a medida é em metrosmetros : variância é em : variância é em
metros ao quadradometros ao quadrado– Se a medida é em Se a medida é em litroslitros: a variância é em : a variância é em litros litros
ao quadroao quadro
Assim, o valor da variância não pode ser Assim, o valor da variância não pode ser comparado com os dados da série: comparado com os dados da série: Variância não Variância não tem interpretação.tem interpretação.
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Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão
O desvio padrão supre essa questão de interpretação: O desvio padrão supre essa questão de interpretação: tem tem sempre a mesma unidade de medida da sériesempre a mesma unidade de medida da série..
Quando uma curva de frequência representativa da série é Quando uma curva de frequência representativa da série é perfeitamente simétrica (perfeitamente simétrica (distribuição normaldistribuição normal), podemos tirar ), podemos tirar algumas conclusões:algumas conclusões:
X
Este espaço contem aproximadamente 68%
dos valores da série
Aproximadamente 95%
Aproximadamente 99%
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Interpretação do desvio Interpretação do desvio padrãopadrão
Exemplo: se uma série tem média = Exemplo: se uma série tem média = 100 e desvio padrão = 5100 e desvio padrão = 5
X
10095 105
68%
90 110
95%
85 110
99%