mecânica geral básica - nelson reyes 4.pdf · e 4 prof. nelson luiz reyes marques mecânica geral...
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Prof. Nelson Luiz Reyes Marques
Mecânica Geral Básica
Trabalho e Energia
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A G
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BÁ
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TE
4
Introdução
dpF
dt
Equação fundamental da dinâmica:
Integrando:
0 0
00
p t
p t
t
t
dp Fdt
p p Fdt I
A variação da quantidade de movimento de uma
partícula é igual ao impulso.
ME
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A G
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4
Introdução
0 0 0
0 0
0 0 0
1 ou
1 1( ) ou
r t t
r t t
mv mv I v v Im
drv
dt
dr v I dt r r v t Idtm m
Substituindo , temos : por p mv
Existem problemas em que a força não é conhecida como
função do tempo, mas como função da posição. Nesse
caso não podemos calcular a integral acima.
ME
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Introdução
As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.
Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na
chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a
resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as
leis de Newton.
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Introdução
0iv
?fv
ME
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ER
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Trabalho
O vetor diferencial é o deslocamento
infinitesimal.
rd
dW F dr
O trabalho é uma quantidade escalar, ou seja, tem módulo e
sinal, mas não direção.
força. ocompriment As unidades do trabalho são
1 J 1 N 1 mjoule
Trabalho para um deslocamento infinitesimal.
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Trabalho
cos
T
dW F dr
dW F ds
dW F ds
O trabalho é igual ao produto do deslocamento pela
componente da força ao longo do deslocamento.
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Trabalho
Forças que não realizam trabalho (ds = 0 ou cos a = 0):
• peso de um corpo quando seu centro de gravidade se move
horizontalmente.
• força centrípeta no movimento circular,
• reação na superfície sem atrito quando o corpo se move em
contato ao longo da superfície,
• reação no pino sem atrito apoiando corpo em rotação,
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Trabalho
O trabalho total realizado sobre uma partícula, quando
transportada de A para B é a soma de todos os trabalhos
infinitesimais realizados durante os sucessivos deslocamentos
infinitesimais, isto é,
1 1 2 2 3 3 ...
.B B
TA A
W F dr F dr F dr
W F dr F ds
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Trabalho
O trabalho é representado pela área sob a curva obtida
traçando-se FT em função de s.
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Trabalho
Se Fx, Fy e Fz são as componentes retangulares de F, e dx, dy
e dz são as componentes retangulares de dr, temos
B B
A AW Fds F ds Fs
Um caso particular é aquele em que a força é constante em
módulo, direção e sentido e o corpo move-se segundo uma
linha reta na direção da força. Então FT = F
( )B
x y zA
W F dx F dy F dz
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Trabalho
1 2 3
1 2 3
1 2 3
...
...
( ...)
dW dW dW dW
dW F dr F dr F dr
dW F F F dr
dW F dr
Quando uma partícula está sujeita a várias forças ,
o trabalho realizado durante o deslocamento 1 2 3, F F e F
O trabalho da força resultante de várias forças que atuam
sobre uma partícula é igual à soma dos trabalhos das forças
componentes.
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Potência
dWP
dt
Mede a rapidez com que o trabalho é realizado.
Potência instantânea:
Unidade: 1
1 1
jW
s
F drP F v
dt
med
WP
t
Potência média:
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Exemplo 1
Um automóvel de massa igual a 1200 kg sobe uma longa
colina, inclinada de 5º, com uma velocidade constante de 36
km/h. Calcule o trabalho que o motor deve realizar em 5 min e
a potência desenvolvida por ele. Despreze os efeitos do atrito.
0 3
0
1200.9.8. 5 1,024 10
RF ma
F mg sen ma
v cte a
F mg sen sen N
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Exemplo 1
3
36 10
5min 300
. 10.300 3000 3 10
km mvh s
t s
s v t m m
3 3 61,024 10 .3 10 3,072 10W Fs j
64
2
3,072 101,024 10
3 10
WP w
t
ME
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Exemplo 2
Calcule o trabalho necessário para distender a mola por 2 cm
sem aceleração. Sabe-se que, quando um corpo de massa igual
a 4 kg é suspenso pela mola, o comprimento da mesma
aumenta de 1,5 cm.
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Exemplo 2
2
3 1
4 9,8 39.2
39,2
1,5 10
2,61 10
F mg N
NF kx x
x Nm
2
0 0
3 2 2 1
1
2
12,61 10 (2 10 ) 5,22 10
2
x x
W Fdx kxdx kx
W J
ME
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4
Exemplo 3
Uma força F = 6t N age sobre uma partícula cuja massa é 2
kg. Se a partícula parte do repouso, procure o trabalho
realizado pela força durante os primeiros 2 s.
0 0
2
2 1
0
63
2
(3 ) 1,5
v t
v t
t
F tF ma a t m s
m
dva dv adt dv adt
dt
v t dt t m s
ME
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Exemplo 3
0 0
0
2 3
00(1,5 ) 0,5
x t
x t
t t
t
dxv dx vdt dx vdv
dt
x x vdt x t dt t m
1 13 3
13
1 43 3
0 0
( ) 1,260,5
6 7,56
(7,56 ) 5.67x x
xt x
F t x N
W Fdx x dx x
3
2
0,5 4
t s
x t m
4 4
3 3
4 m
5,67 5,67(4) 36
x
W x J
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Exemplo 3
Outra solução:
0
3
2
2 4
0
4
0,5
1,5
6
(6 )(1,5 ) 2,25
2 2,25(2) 36
x x
x
x t m
dx t dt
F t
W Fdx t t dt t J
t s W J
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Energia Cinética
Temos que a força tangencial é .T T
dv dpF ma m
dt dt
Portanto ,T
dv dp dsF ds m ds mdv mvdv
dt dt dt pois .
dsv
dt
O trabalho total é
2 21 1
2 2
B B
T B AA A
W F ds mvdv mv mv
Esse resultado indica que, independente da forma funcional da
força e da trajetória seguida pela partícula, o valor do trabalho
W realizado pela força é sempre igual a variação da quantidade
½ mv2 entre o inicio e o fim da trajetória.
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4
Energia Cinética
A quantidade ½ mv2 é chamada energia cinética.
221 ou T=
2 2k k
pT E mv E
m
O trabalho total realizado sobre uma partícula pela força
resultante é igual à variação da sua energia cinética.
, ,k B k A B AW E E T T
Esse resultado geral é válido qualquer que seja a natureza da
força.
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Exemplo 4
Usando os dados do exemplo 3, calcule diretamente a energia
cinética que a partícula ganha num tempo t.
2 1como a velocidade no instante t era 1,5 ,v t m s
portanto a energia cinética da partícula é
2 2 1 2
4
1 1(2 )(1,5 )
2 2
2,25 .
k
K
E mv kg t m s
E t J
A energia cinética inicial da partícula em t = 0 é nula; assim o ganho de
energia cinética da partícula no intervalo de tempo t é Ek – Ek,0 = 2,25 t4 J,
que é exatamente o trabalho realizado sobre a partícula, de acordo com o
segundo resultado do exemplo 3.
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P
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Exemplo 5
A mola do exemplo 2 é colocada na posição horizontal. A
massa m é deslocada para a direita a uma distância a, e
abandonada. Calcule sua energia cinética quando ela se
encontra a uma distância x da posição de equilíbrio.
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4
Exemplo 5
Na posição de equilíbrio x = 0, F = 0
F kx
Na posição (b), x = a, F = -ka, v0 = 0, logo Ek = 0.
Considerando v a velocidade na posição intermediária x.
2 2
0
0 ,0
2 2 2
1 1
2 2
0 0
1 1( ) ( )
2 2
B
TA
k
x x
a a
W F dx mv mv
v E
mv Fdx kx dx k a x
ME
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A G
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P
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Exemplo 6
Dois blocos estão unidos por um cabo inextensível como
mostrado. Se o sistema é solto do repouso, determine a
velocidade do bloco A depois de ter movido 2 m. Suponha que
o coeficiente de atrito entre o bloco A eo plano é μ = 0,25 e que
a polia é sem peso e sem atrito
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Exemplo 6
SOLUÇÃO:
• Aplicar o princípio do trabalho e energia
separadamente para os blocos A e B.
2
,
2 1 1 2
1 1 2 2
212
212
200kg 9.81m s 1962 N
0.25 1962 N 490 N
0 2m 2m
2m 490 N 2m 200kg
P A
A k A k A
C A A
C
F
F N W
T T W
T W T
F F m v
F v
ME
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4
Exemplo 6
2
,
1 2 1 2
1 1 2 2
21, 2
212
300kg 9.81m s 2940 N
T
:
0 2m 2m
2m 2940 N 2m 300kg
P B
c P B B
c
F
T W
T W T
F F m v
F v
ME
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A G
ER
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Exemplo 6
• Quando as duas relações são combinadas, o trabalho das forças do
cabo cancela. Resolva para a velocidade.
221 kg200m2N490m2 vFC
221 kg300m2N2940m2 vFc
221
221
kg500J 4900
kg300kg200m2N490m2N2940
v
v
sm 43.4v
ME
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A G
ER
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4
Trabalho de uma Força Constante
Consideremos uma partícula de massa m que se move sob
ação de uma força F que é constante em módulo, direção e
sentido.
( )
B
A
B
A
B A
W F dr
W F dr
W F r r
Quando a partícula se move de A
para B, ao longo da curva (1), o
trabalho de F é
O trabalho nesse caso é independente da trajetória que liga os pontos A e
B. Se a partícula se mover pela curva (2), o trabalho será o mesmo.
ME
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A G
ER
AL
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TE
4
Trabalho realizado pela Força Gravitacional
Uma aplicação importante do trabalho de uma força constante
é o trabalho realizado pela força da gravidade.
( ) ( )B A B A B A
F mg j mg
r r i x x j y y
( )B A
A B
W mg y y
W mgy mgy
O trabalho depende somente da diferença YB – YA.
ME
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
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P
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TE
4
Exemplo 7
Uma massa de 2 kg, ligada a um fio de um metro de
comprimento, com outro extremo fixo, é deslocada a um
ângulo de 30°com a vertical. Determine a velocidade da
massa quando o fio forma um ângulo de 10°com a vertical, do
mesmo lado e do lado oposto.
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A G
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AL
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SIC
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4
Exemplo 7
0
0
0
0
0 0
0
2
, ,
( )
` ` ` `
` cos
` cos
(cos cos )
(cos cos )
1 e 0
2k C k B
W mg y y
W mgy mgy
y y B C OC OB
OB l
OC l
y y l
W mgl
E mv E
, ,
2
0 0
0 0
1(cos cos ) ou 2 (cos cos )
2
2 9,8 1 (cos10 cos30 ) 1,526 m/s
k k C k BW E E E
mv mgl v gl
v
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Forças Conservativas
Uma força é conservativa quando a sua dependência com o
vetor-posição r ou com as coordenadas x, y, z da partícula é
tal que o trabalho W pode ser sempre expresso como a
diferença entre os valores de uma quantidade Ep(x, y, z) nos
pontos inicial e final.
O trabalho realizado por forças conservativas é
independente da trajetória.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Energia Potencial
A energia potencial é uma função das coordenadas tal que a
diferença entre seus valores na posição inicial e na posição
final é igual ao trabalho realizado sobre uma partícula para
movê-la da posição inicial até a posição final.
, ,p p inicial p final inicial final
p
W E E E U U
U E mgy C
A quantidade Ep(x, y, z) é chamada energia potencial e é
função das coordenadas da partícula. Então, se F é uma
força conservativa.
, ,
B
p A p B A BA
W F dr E E U U
C= constante arbitrária.
ME
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Trabalho de uma Forças Conservativas
O trabalho realizado por forças conservativas é independente
da trajetória.
O trabalho realizado por uma força conservativa em uma
curva fechada, de tal forma que o ponto final coincide com o
inicial, é NULO.
, , 0p A p BE E W
0W F dr
ME
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Derivada direcional da EP
, , , .( )
p
B B
pA A
p B p A p A p B
F dr dE
W F dr dE
W E E E E
cos
cosp
F dr Fds
dEF
ds
derivada direcional de Ep
p
dE
ds
ME
CÂ
NIC
A G
ER
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BÁ
SIC
A –
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TE
4
p pF grad E E
, , ou
p p p
x y z
p p p
p x y z
E E EF F F
x y z
E E EF grad E u u u
x y z
Quando um vetor é tal que sua componente em qualquer
direção é igual à derivada direcional de uma função naquela
direção, o vetor é dito gradiente da função. Assim dizemos
que F é o negativo do gradiente de Ep
Quando estamos interessados nas componentes retangulares
de F, ao longo dos eixos x, y e z, Fcos torna-se Fx, Fy e Fz e
o deslocamento ds fica dx, dy e dz, tal que
Energia Potencial
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
1
p
r
p
EF
r
EF
r
Se o movimento está contido num plano e são usadas as
coordenadas r, , o deslocamento ao longo do raio vetor r é
dr e o deslocamento perpendicular ao raio vetor é rd. As
componentes radial e transversal da força são
Energia Potencial
ME
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A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Força Central
Se a força é central existe somente componente radial e F = 0,
resultando , que implica na não dependência de Ep com
. Como resultado, uma força central depende somente da
distância da partícula ao centro.
0pE
A energia potencial associada a uma força central depende
somente da distância da partícula ao centro de forças e,
reciprocamente, a força associada com uma energia potencial
que depende somente da distância da partícula a uma origem
de forças é uma força central cuja linha de ação passa por
essa origem.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Força não é central
Quando as forças não são centrais, há um torque em torno do
ponto O, dado por = F r, desde que a componente radial da
força não contribui para o torque. O torque em torno de O é
1 p pE EF F r
r
Essa expressão geral dá o torque numa direção perpendicular
ao plano no qual o ângulo é medido.
Sempre que a energia potencial depende de um ângulo existe
um torque aplicado ao sistema, resultando numa variação do
momento angular em uma direção perpendicular ao plano do
ângulo.
pE
ME
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 8
Determine a energia potencial associada com as seguintes
forças centrais: (a) F = kr (b) F = k/r2. Em ambos os casos, se
k for negativo a força será atrativa e se k for positivo a força é
repulsiva.
21
2pE kr dr kr C Integrando, obtemos
ou p
p
EF kr dE kr dr
r
É habitual fazer-se Ep = 0 em r = 0, de tal forma que C = 0 e
21.
2pE kr Considerando r2 = x2 + y2 + z2, podemos escrever
2 2 21( )
2pE k x y z
(a)
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 8
, , p p p
x y z
E E EF k x F k y F r z
x y z
Resultado que era esperado, de vez que a força central F = kx
na forma vetorial é ( ).x y zF k r k u x u y u z
(b) 2 2
ou p
p
E k drF dE k
r r r
Integrando, obtemos 2
p
dr kE k C
r r
É habitual fazer-se Ep = 0 em r = , de tal forma que C = 0 e
.p
kE
r
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 9
Um colar de 90 N desliza sem atrito ao longo de uma haste
vertical, como mostrado. A mola unida ao colar tem um
comprimento indeformado de 10 cm e uma constante de 540
N/m. Se o colar é solto do repouso na posição 1, determine a sua
velocidade depois de ter movido 15 cm para a posição 2.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 9
SOLUÇÃO:
• Aplicar o princípio da
conservação de energia
entre as posições 1 e 2.
Posição 1:
1
221 112 2
1
1
20 10 10 0,1
540 N m 0,1 2,7
0 n. de ref.
2,7
0
e
g
e g
x cm cm cm m
U kx m J
U
U U U J
T
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 9
Posição 2:
2
221 122 2
2
2 2 212 2 2 22
25 10
540 / 0,15 6,1
90 0,15 m 13,5
6,1 13,5 7,4
1 904,59
2 9,81
e
g P
e g
x cm cm
U kx N m m J
U F Y N J
U U U J
T mv v v
Conservação de energia:
Jv
VTVT
4,74,59,7J20 2
2
2211
sm48,12v
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Conservação da Energia Mecânica de uma Partícula
Quando a força que age sobre uma partícula é conservativa,
podemos combinar as equações
, ,
B
p A p BA
W F dr E E , ,k B k AW E E e
que dá , , , , ( ) ( )p A p B k B k A k p A k p BE E E E E E E E
onde
.k pE E E const
é chamada energia total da partícula.
Quando as forças são conservativas, a energia mecânica
total E da partícula permanece constante.
21.
2E mv mgy const
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 10
Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa.
Qual a velocidade do carrinho no ponto C? (V(C) 12,8 m/s)
15
m/s
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 11
Determine a altura mínima da qual deve partir uma bola para
completar com sucesso a curva de laço mostrada na figura.
Suponha que a bola deslize sem rolar e sem atrito.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 11
No ponto mais alto do laço (B)
2
c
mvF F mg
R
Como F = 0, temos
2v gR
, , , ,
2
02
52
2 2
k A p A k B p B
BA B
E E E E
mvmgh mgh
mgRmgh mg R h R
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 12
O bloco de 2,25 N é empurrado contra a mola e liberado do
repouso em A. Desprezando atrito, determine a menor deflexão
da mola para que o bloco dê a volta em torno do faço ABCDE e
permaneça o tempo todo em contato com ele.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 12
SOLUÇÃO:
• Definindo a força exercida pelo loop
como zero, para resolver a velocidade
mínima em D.
:nn maF
2
2 2 20,6 m 9,81m s 5,89m s
P n D
D
F ma mg mv r
v rg
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 12
• Aplicar o princípio da
conservação de energia entre
os pontos A e D.
2 2 21 11 2 2
1
0 540 N m 270
0
e gU U U kx x x
T
2
2
2 2 212 2 2
0 2,25 1,2 2,7
2,7
1 2,255,89m s 0,675
2 9,81m s
e g P
U
D
U U U F y N m J
J
NT mv J
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 13
Um satélite é lançado em uma direção paralela à superfície da
Terra com uma velocidade de 36.900 quilômetros por a hora de
uma altitude de 500 km. Determine a altitude máxima atingida
pelo satélite.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 13
• Aplicar os princípios para os pontos de
altitude mínima e máxima para
determinar a altitude máxima.
Conservação de energia :
2 21 10 12 2
0 1
A A A A
GMm GMmT U T U mv mv
r r
Conservação da quantidade de movimento angular :
1
0011100
r
rvvmvrmvr
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 13
Combinando,
22 0 0102 2
1 0 1
2
0 0
2 2
1 0 0 1
0 0 0
2
1 1 0 0 1
0
2
1 0 0
1 1
21 1
21 1 1
21
r rGMv
r r r
r rGM
r r v r
r r rGM
r r r v r
r GM
r r v
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 13
0
2
1 0 0
21
r GM
r r v
23122622
60
0
sm10398m1037.6sm81.9
sm1025.10hkm36900
km6870km500km6370
gRGM
v
r
km 60400m104.60 61 r
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Mov. retilíneo sob ação de forças conservativas
No caso geral de um movimento retilíneo, a energia potencial
depende apenas de uma coordenada, digamos x e podemos
escrever:
21
( )2
P
dx dxv E m E x
dt dt
21( )
2pE mv E x
1
22( )p
dxE E x
dt m
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Mov. retilíneo sob ação de forças conservativas
Podemos escrever essa equação numa forma em que as
variáveis x e t são separadas, isto é, a variável x aparece de um
lado da equação e a varável t aparece do outro lado. Podemos
escrever
1
22p
dxdt
E E xm
Integrando (e fazendo por t0 = 0 por conveniência), temos
0
1 022
x t
x
p
dxdt t
E E xm
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 14
Use a equação anterior para resolver o problema do
movimento retilíneo sob força constante.
Se a força F é constante, temos: p
x p
dEF dE Fdx
dx
Considerando Ep = 0 para x = 0, resulta C = 0. Então
pE Fx C
é a expressão da energia potencial associada a
uma força constante. Fazendo x0 = 0, teremos pE Fx
1 102 2
1
2
x dxt
E Fx
m
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Exemplo 14
1 1112 222
102
2 2 2 2x dxt E Fx E t
m F F mE Fx
Resolvendo para x, resulta
1
221 2
2
F Ex t t
m m
Como,
2 21 2, para 0, 0
2
Fa
m
EE mv Fx t x v
m
Resulta 2
0
1
2x at v t
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da Energia potencial elástica
Vamos considerar que a energia mecânica deste sistema
tem valor Eo
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da Energia potencial elástica
Quando x = ± L toda a energia mecânica está sob a forma
de energia potencial.
Esses pontos x = ± L são chamados pontos de inversão
pois ao chegar neles a velocidade da partícula se anula e
inverte o sentido.
Quando x = 0 toda a energia mecânica é cinética.
O movimento da partícula está confinado à região
- L ≥ x ≥ + L .
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
A) E = E0
Para esse valor de energia mecânica, toda a energia é
potencial e portanto a energia cinética será sempre zero.
A partícula vai estar permanentemente localizada na
posição x = x0 e com velocidade nula.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
B) E = E1
Como E ≥ U(x) para esse valor de energia mecânica
x1≥ x ≥ x2 . A partícula está confinada a se movimentar
entre os pontos x1 e x2 , passando pelo ponto xo, de mínimo
da energia potencial e consequentemente de máximo da
energia cinética.
Nos pontos x1 e x2 temos E1 = U(x1) = U(x2), e portanto
toda a energia é potencial. Isso implica que a energia
cinética é nula nesses pontos. Esses pontos são chamados
pontos de retorno (ou pontos de inversão) pois a partícula
estava se movendo em um sentido, sua velocidade se
anulou e ela retornou usando o sentido contrário.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
C) E = E2
Existem quatro pontos de retorno
D) E = E3
Existe apenas um ponto de inversão. Se a partícula estiver
se movendo em direção ao ponto x = 0 , ao chegar em
x = x3 ela para, retornando no sentido contrário.
E) E = E4
Não existem pontos de retorno.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Relação entre força e potencial
Em uma dimensão, temos:
00
, , 0( ) ( ) ( )
( )( )
x
p x p xx
W F x dx E E U x U x
dU xF x
dx
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
A) No ponto x = x0 temos um equilíbrio estável e
citaremos como exemplo dessa situação um pêndulo em
equilíbrio na sua posição vertical inferior. Se alterarmos a
sua posição, surge uma força restauradora e o sistema
tende a voltar à posição de equilíbrio inicial.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Gráfico da energia potencial de uma partícula
B) No ponto x = x4 temos um equilíbrio instável e
citaremos como exemplo dessa situação um pêndulo em
equilíbrio na sua posição vertical superior. Se alterarmos a
sua posição, surge uma força que afasta ainda mais o
sistema de sua situação de equilíbrio inicial.
C) No ponto x ≥ x5 temos um equilíbrio indiferente. Se
alterarmos a sua posição não acontece nenhuma das duas
situações anteriores. Uma exemplo desse caso seria um
cone apoiado em uma face lateral.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Forças não conservativas
Vamos considerar que estão atuando N forças sobre uma
dada partícula, de modo que a força resultante será dada
por:
1 2
1
...N
N i
i
F F F F F
Como já foi mencionado, o trabalho executado pela força
resultante é igual à variação da energia cinética da
partícula:
1 2
1
N
F N i
i
T W W W W W
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Forças não conservativas
Se forem conservativas todas as forças mencionadas, teremos:
0 0
CT W U
T U T U E
Para cada força conservativa teremos a sua energia potencial
associada a ela, daí a soma das energias potenciais. A soma
das energias potenciais com a energia cinética nos dá a energia
mecânica E. Quando existem apenas forças conservativas, a
energia mecânica não varia E = 0 , sendo então uma
constante de movimento.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
A –
P
AR
TE
4
Forças não conservativas
Se, por outro lado, tivermos atuando também forças não-
conservativas (em particular a força de atrito), teremos:
C A A
A
A
f i A
T W W U W
T U W
T U E W
E E E W
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
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TE
4
Forças não conservativas
como é negativo o trabalho executado pela força de atrito,
acontecerá uma perda da energia mecânica; a energia
mecânica final será menor que a energia mecânica inicial.
∆𝑬 < 𝟎
ME
CÂ
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A G
ER
AL
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4
Exercícios
1. Uma força 𝐹 que dura 20 s é aplicada a um corpo de massa
igual a 500 kg. A força produz no corpo que estava inicialmente
em repouso, uma velocidade final de 0,5 m ∙ s-1. Se a força
cresce linearmente com o tempo durante 15 s e depois decresce
até zero, também linearmente, durante 5 s, (a) determine o
impulso causado sobre o corpo pela força, (b) calcule a força
máxima exercida sobre o corpo, e (c) faça um gráfico de 𝐹
contra 𝑡 e procure a área sob essa curva. Esse resultado concorda
com (a)? Suponha que 𝐹 seja a única força que age no corpo.
ME
CÂ
NIC
A G
ER
AL
BÁ
SIC
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P
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TE
4
Exercícios
2. Calcule o trabalho realizado por um homem que arrasta um
saco de farinha de 65 kg a uma distância de 10 m sobre o solo
com uma força de 25 kgf, erguendo-o depois até a carroceria de
um caminhão de 75 cm de altura. Qual é a potência média
desenvolvida se o processo todo foi realizado em 2 min?
3. Um corpo de massa igual a 4 kg move-se para cima num
plano inclinado de 20° com a horizontal. As seguintes forças
agem sobre o corpo: uma força horizontal de 80N, uma força de
100 N paralela ao plano inclinado no sentido do movimento. O
corpo desliza 10 m sobre o plano. Calcule o trabalho total
realizado pelo sistema de forças que age sobre o corpo, assim
como o trabalho executado por cada um a delas.
ME
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NIC
A G
ER
AL
BÁ
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P
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TE
4
Exercícios
4. Um corpo com 0,10 kg de massa cai de uma altura de 3m
sobre um monte de areia. Se o corpo afunda 3 cm antes de parar,
qual é modulo da força constante que a areia exerceu sobre o
corpo?
5. Um automóvel sobe uma rampa inclinada de 3°, com
velocidade constante de 45 km ∙ s-1. A massa do automóvel é de
1 600 kg. Qual é a potência desenvolvida pelo motor? Qual o
trabalho realizado em 10 s? Despreze as forças de atrito.
ME
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NIC
A G
ER
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BÁ
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P
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TE
4
Exercícios
6. Dada 𝐹 = 𝑢𝑥 7 − 𝑢𝑦 6 𝑁 . (a) Calcule o trabalho
realizado quando uma partícula submetida a essa força vai da
origem a 𝑟 = 𝑢𝑥 −3 + 𝑢𝑦 4 + 𝑢𝑧 16 𝑚 . Será
necessário especificar o caminho seguido pela partícula? (b)
Calcule a potência média quando a partícula leva 0,6s para ir
de um ponto ao outro. Exprima sua resposta em watts e HP.
(c) Sendo a massa da partícula 1,0 kg, calcule a variação de
energia cinética.
ME
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4
Exercícios
7. Uma bomba com 10 kg de massa é largada de um avião que
voa horizontalmente com velocidade 270 km/h. Se o avião está a
100 m de altitude, calcule: (a) a energia cinética inicial da
bomba; (b) sua energia potencial inicial; (c) sua energia total; (d)
sua velocidade quando ela atinge o solo; (e) suas energias
cinética e potencial 10 s após o início da queda.
8. Usando somente a conservação da energia, calcule a
velocidade da bomba do problema anterior quando ela se
encontra a 50 m acima do solo, e sua altitude quando a energia
cinética tiver aumento de 30 % em relação ao valor inicial.