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Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

Mecânica dos Fluidos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA

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• Estuda o comportamento dos líquidos em equilíbrio.

• Teorema de STEVIN

• Pressão atmosférica

• Princípio de PASCAL

• Teorema de ARQUIMEDES

Hidrostática

Experimento: tensão superficial e mov. browniano

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Primórdios da Hidrostática

A hidrostática, estudo do equilíbrio dos líquidos, é inaugurada por Arquimedes. Diz a lenda que Hierão, rei de Siracusa, desafia Arquimedes a encontrar uma maneira de verificar sem danificar o objeto, se era de ouro maciço uma coroa que havia encomendado. Arquimedes soluciona o problema durante o banho. Percebe que a quantidade de água deslocada quando entra na banheira é igual ao volume de seu corpo. Ao descobrir esta relação sai gritando pelas ruas "Eureka, eureka!" (Achei, achei!). No palácio, mede então a quantidade de água que transborda de um recipiente cheio quando nele mergulha sucessivamente o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e a própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permite determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.

Bom, apesar da ilustração, dizem que o fundador da

matemática aplicada quase nunca tomava banho. Era gênio,

mas também era porco.

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Densidade

Consideremos um corpo de massa m e volume V. A

densidade (d) do corpo é definida por:

𝑑 =𝑚

𝑉

No Sistema Internacional a unidade de densidade é :

• kg / m3 (ou kg . m-3)

Na prática são também, usadas:

• g / cm3 (ou g . cm-3)

• e kg / L (ou kg . L-1)

Experimento: mercúrio e água

densidade parafina

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Resolução:

O volume do corpo é:

V = a3 = (2,0 m)3 = 8,0 m3

Como a massa é m = 40 kg, a

densidade do corpo é:

d = m

V

d = 40 kg

8,0 m3

d = 5,0 kg/ m3

d = 5,0 kg / m3 = 5,0 kg . m-3

Um corpo em forma de cubo de aresta a = 2,0 m tem massa m = 40 kg.

Qual a densidade do corpo?

Densidade - exemplo

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Massa específica

Quando o corpo for maciço (sem partes ocas) e

constituído de um único material, a densidade é

chamada de massa específica do material. Na tabela a

seguir temos as massa específicas de alguns materiais e

as densidade de alguns corpos.

Substância Massa específica

(g/cm3)

Água 1,0

Ar 0,0013

Mercúrio 13,6

Corpo Humano 1,07

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Densidade ou massa específica ?

A diferença entre densidade e massa específica fica

bem clara quando falamos de objetos ocos. Neste caso a

densidade leva em consideração o volume completo e a

massa específica apenas a parte que contêm substância

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Relação entre unidades

As unidades mais usadas para a densidade são kg / m3 e

g / cm3.

Vamos então verificar qual é a relação entre elas.

Sabemos que:

1 m = 102 cm ou 1 cm = 10-2 m

Assim:

1 m3 = 106 cm3 ou 1 cm3 = 10-6 m3

Portanto:

1 kg / m3 = 10-3 g / cm3

ou

1 g / cm3 = 103 kg/m3

Experimento: Cálculo da densidade usando a proveta

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Pressão

No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa):

Pa = 1 pascal = 1 N / m2

Quando a força se distribui uniformemente sobre a superfície , a

pressão é a mesma em todos os pontos e coincide com a pressão

média.

Suponhamos que sobre uma superfície plana de área A, atuem forças

perpendiculares cuja resultante é 𝐹 .

Definimos a pressão média Pm sobre a superfície por:

FP

A

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Pressão – exemplo:

Sobre uma mesa está apoiado um bloco de massa m =

3,2 kg e que tem a forma de um cubo de aresta a = 20

cm.

g = 10 m /s2

F = P = m.g = 3,2 kg . 10 m/s2 = 32 N

a = 20 cm = 0,2 m

A = a2 =( 0,2 m)2 = 0,04 m2

𝑃 =𝐹

𝐴=

32 𝑁

0,04 𝑚2= 800

𝑁

𝑚2(𝑃𝑎)

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Pressão – exemplo:

- cama de pregos

Experimento: cama de pregos

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Pressões no cotidiano:

O rastro de objetos e animais

Qualquer objeto exerce uma pressão sobre a superfície na qual ele

repousa. O rastro deixado pelos pneus de um veículo ou pelas patas

dos animais resulta da pressão exercida sobre o solo. As impressões

digitais resultam da pressão que os dedos exercem sobre os objetos

ao pegá-los.

http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/pressao/cotidiano/

htt

p://e

fisic

a.if.u

sp.b

r/m

eca

nic

a/b

asic

o/p

ressao

/co

tid

iano

/

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Pressão no interior de um líquido

𝑃 =𝐹

𝐴=

𝑚. 𝑔

𝐴=

𝑑. 𝑣. 𝑔

𝐴=

𝑑. 𝑔. 𝐴. ℎ

𝐴

𝑷 = 𝒅.𝒈. 𝒉

𝑑 =𝑚

𝑉→ 𝑚 = 𝑑. 𝑣

𝑉 = 𝐴. ℎ

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Pressão no interior de um líquido

. .LÍQ

P d g h

. .ABS ATMP P d g h

Pressão relativa ou efetiva

Pressão absoluta ou total

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Princípio de Stevin

Consideremos um líquido homogêneo, cuja densidade é d, em

equilíbrio sob a ação da gravidade, sendo a aceleração da

gravidade. Sendo pA a pressão em um ponto A e pB a pressão em um

ponto B, temos:

Simon Stevin

(1548/49 – 1620))

. .B AP P P d g h

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Consequências do Teorema de Stevin

CBA

CBA

SSS

PPP

CBA FFF

1°) a pressão aumenta com a profundidade

2°) num mesmo nível as pressões são iguais

3°) a superfície livre de um líquido em equilíbrio é

plana e horizontal

4°) Paradoxo Hidrostático: A força exercida pelo

líquido no fundo de cada recipientes são iguais.

Experimento: nanômetro de tubo aberto

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Pressão no fundo do mar

À medida que descemos no mar a

profundidades cada vez maiores,

a pressão da água aumenta. O

aumento da pressão força os

escafandristas a utilizarem roupas

muito especiais. O que acarreta o

aumento da pressão é o aumento

do peso do fluido que está acima

do mergulhador. Quanto maior for

a profundidade tanto maior será o

peso do líquido e, portanto, maior

será a pressão.

http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/pressao/cotidiano/

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Pressão atmosférica

O físico e matemático italiano Evangelista Torricelli construiu o

primeiro barômetro que é um aparelho que mede a pressão

atmosférica.

Evangelista Torricelli

(1608- 1647)

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Primeiramente ele encheu com mercúrio um tubo de vidro, até

aproximadamente a altura de 1 metro (Fig. 1), e fechou a

extremidade. Em seguida ele virou o tubo e mergulhou sua

extremidade num recipiente contendo mercúrio (Fig. 2). Ao

destampar a extremidade do tubo a coluna baixou um pouco

(Fig.3), ficando com uma altura de aproximadamente 76

centímetros acima da superfície do mercúrio no recipiente.

Pressão atmosférica – exp. De Torricelli

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Na parte superior do tubo formou-se um vácuo quase perfeito. Na

realidade existe ali a formação de uma pequena quantidade de vapor de

mercúrio. No entanto a pressão desse vapor pode ser desprezada.

Assim, no ponto A a pressão é praticamente nula:


𝑃𝐴 ≅ 0

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Os pontos C e B pertencem ao mesmo líquido e estão no mesmo

nível; assim: pC = pB

mas a pressão no ponto C é a pressão atmosférica: pC = patm

temos: patm = d.g.h

onde d é a densidade do mercúrio e h = 76 cm = 0,76 m

Supondo g = 9,8 m/s2 e sabendo que a densidade do mercúrio é de

13,6 . 103 Kg/m3 , temos:

Pela lei de Stevin temos:


. . . .ABS AP P d g h d g h 0

𝑃𝐴𝑡𝑚 = 13,6.103𝑘𝑔

𝑚39,8

𝑚

𝑠20,76 𝑚 = 𝟏, 𝟎𝟏𝟑. 𝟏𝟎𝟓𝑵/𝒎𝟐

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Pressão atmosférica – hemisférios de Magdeburgo

Otto Von Guericke e o Vácuo

Experimento dos hemisférios de Magdeburg em 1654.

Leia mais: http://www.revistavitanaturalis.com/artigos/historia-da-ciencia/otto-von-guericke-e-o-vacuo/

Experimento: hemisférios, bomba de vácuo (balão)

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Unidades de pressão:

No Sistema Internacional de Unidades a unidade de pressão é o

pascal (Pa):1 Pa = 1 pascal = 1 N/m2

No entanto na prática são usadas outras unidades, inspiradas no

experimento de Torricelli. Uma delas é a atmosfera (atm). Uma

atmosfera é o valor da pressão normal:

Outra é o centímetro de mercúrio (cm Hg) que é a pressão exercida

por uma coluna de mercúrio de 1 cm, num local em que a gravidade

tem seu valor normal (9,8 m/s2). Assim:

1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg

1 𝑎𝑡𝑚 = 1,013. 105 𝑃𝑎 ≅ 100.000 𝑃𝑎 (𝑁/𝑚2)

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A enorme massa de ar existente acima de nós

exerce uma pressão sobre todos os seres

vivos na superfície terrestre.

À medida que subimos uma montanha, a

pressão exercida pelo ar se torna menor, pois o

peso do ar se reduziu (a quantidade ar acima

de nós é menor).

Por isso, a grandes altitudes a pressão é

bastante reduzida, forçando os escaladores de

montanha a tomar precauções. htt

p:/

/efisic

a.if.

usp.b

r/m

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nic

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asic

o/p

ressa

o/c

otidia

no/

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ALTITUDE

(m)

PRESSÃO

ATMOSFÉRICA

(cm Hg)

0 76

500 72

1.000 67

2.000 60

3.000 53

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Como o líquido sobe pelo canudinho?

Ao "chuparmos" o líquido, o que fazemos é diminuir a pressão no

interior de nosso pulmão.

Com isso, a pressão atmosférica fica maior do que a pressão no

interior de nossa boca e desse modo, a pressão atmosférica "empurra"

o líquido pelo canudinho.

Experimento: pipeta, bebedouro, vaso de tântalo

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Na água (d=1 g/cm3), a cada 10m de profundidade a

pressão aumenta 1 atm (100.000 N/m2).

𝑃 = 𝑑𝑔ℎ

𝑃𝑎𝑡𝑚 = 100.000𝑁

𝑚2; 𝑑 = 1

𝑔

𝑐𝑚3= 1000

𝑘𝑔

𝑚3 ; 𝑔 = 10

𝑚

𝑠2; ℎ =?

100.000 = 1000.10. ℎ → ℎ =100.000

1000= 10 𝑚

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Vasos comunicantes

EXEMPLO:

Os pedreiros, para nivelar

dois pontos em uma obra,

costumam usar uma

mangueira transparente,

cheia de água.

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Vasos comunicantes com líquidos imiscíveis

2211 .. hdhd 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

atm atm

P P

P d gh P d gh

d h d h

Experimento: tubo em U com líquidos imiscíveis

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Princípio de Pascal

O matemático e físico francês Blaise Pascal estabeleceu o

seguinte princípio:

O acréscimo (ou diminuição) de pressão,

produzido em um ponto de um líquido em

equilíbrio, se transmite integralmente para todos

os pontos do líquido.

Blaise Pascal

(1623- 1662)

Experimento: pressão grandeza escalar

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Princípio de Pascal

Como aplicação desse princípio temos o mecanismo

hidráulico empregado em elevadores de automóveis

nos postos de gasolina.

P1 = P2

2

2

1

1

S

F

S

F

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Uma força de intensidade F1 aplicada em um pequeno pistão

de área A1, produz uma pressão P que é aplicada no pistão de

área A2, que sustenta o automóvel. Desse modo, aplicando-se

uma força de “pequena” intensidade no pistão menor,

obteremos uma força de ”grande” intensidade no pistão maior.

Princípio de Pascal – multiplicador de força

Experimento: prensa hidráulica

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Princípio de Pascal – multiplicador de força

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Princípio de Arquimedes Arquimedes

(298 a.C. - 212 a.C.)

Quando um corpo se encontra imerso num fluido (num líquido, por

exemplo), fica sujeito a uma força vertical, dirigida de baixo para cima,

de valor igual ao peso do volume de fluido que é deslocado pela

presença do corpo. Esta lei, conhecida por Princípio de Arquimedes, já

tem mais de dois mil anos!

A força deve-se à diferença de

pressão exercida na parte de baixo

e na parte de cima do objeto.

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Princípio de Arquimedes

Quando um corpo está total ou parcialmente imerso em um fluido em

equilíbrio, este exerce sobre o corpo uma força , denominada

EMPUXO, que tem as seguintes características:

1ª) Sentido oposto ao peso do corpo ;

2ª) Intensidade dada por E = P onde P é o peso do fluido deslocado.

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No caso da figura A o volume deslocado é o volume da

região hachurada. No caso da Figura B o volume deslocado

é o próprio volume do corpo. Sendo dF a densidade do

fluido, g a aceleração da gravidade e VF o volume de fluido

deslocado, temos: E = pF = mF . g = (dF . VF) . g

E = dF . VF . g Experimento: empuxômetro, ludião, submarino

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1°) peso do corpo maior que o empuxo (P E). O corpo desce com

aceleração constante (dc dL)

Quando um corpo é colocado totalmente submerso

(imerso) em um líquido, distinguem-se três casos:

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2°) peso do corpo menor que o empuxo (P E). O corpo sobe com

aceleração constante até flutuar na superfície do líquido. Quando o

corpo flutua o peso torna-se igual ao empuxo (P=E e dc dL)

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3°) o peso do corpo é igual ao empuxo (P=E). O corpo fica em

equilíbrio, qualquer que seja o ponto em que tenha sido colocado.

(dc=dL)

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Princípio de Arquimedes - exemplos

1. Objetos com densidade uniforme flutuam

Objetos com densidade menor do que a do líquido no qual estão

imersos flutuam.

Uma bola de isopor flutua. Se a submergirmos num líquido ela tende a

subir.

Os dois efeitos resultam do empuxo

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2. Objetos "ocos" flutuam

Um objeto oco tem mais facilidade de flutuar. Um navio só flutua

porque ele não é todo de ferro. As partes ocas ou vazias do navio

reduzem sua densidade em relação àquela do ferro maciço. Um navio

é tão oco que a sua densidade média é bem menor do que a

densidade da água.

Tigela boiando

Garrafa boiando


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3. Facilitando a flutuação

As pessoas têm facilidade para

boiar na água. O mesmo vale

para os animais. Isso

demonstra que a densidade

média dos seres vivos é

praticamente igual à densidade

da água.

Quando você estiver de barriga

para cima na água, inspire uma

certa quantidade de ar a mais.

Você perceberá que o seu

corpo passará a flutuar com

mais facilidade.


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3. Facilitando a flutuação


No mar Morto, na Palestina, uma pessoa pode

flutuar facilmente, com parte de seu corpo fora da água.

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os 4. Objetos mais leves que o ar

Os gases também são fluidos. Eles diferem dos líquidos

por possuírem uma densidade menor do que estes. A

Terra é envolta por uma mistura de gases (a atmosfera

terrestre). A Terra está, portanto, envolta por uma

camada de fluido.

Objetos cuja densidade seja menor do que a densidade

da atmosfera tendem a flutuar (dizemos que esses

objetos são mais leves do que o ar). Novamente aqui

isso pode ser explicado pelo princípio de Arquimedes.

Você já deve ter visto os dirigíveis ou balões, que são

grandes objetos (relativamente leves) contendo no seu

interior gases mais leves do que o ar (especialmente

hidrogênio).

A ascensão de um dirigível é facilitada ao inflarmos o

mesmo. Esvaziá-lo facilita a sua descida.


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5. Os icebergs

Os icebergs são grandes massas

de água no estado sólido, que se

deslocam seguindo as correntes

marítimas nos oceanos. Em geral, a

ponta do iceberg corresponde a

menos de 10% do volume total do

mesmo.

O gelo tem uma densidade

ligeiramente menor do que a água,

próxima do ponto de fusão da

mesma. Assim, os icebergs flutuam

devido à menor densidade do gelo.


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