mecflu

FATEC-JAHU

MECFLU

prof. ManeLucas

email: [email protected]

Fatec – Jahu

1S2013

mailto:[email protected]

Definição de Mecânica dos Fluidos 1. A mecânica dos fluidos é o ramo da mecânica que estuda o comportamento físico dos fluidos e suas

propriedades.

2. É a parte da física que estuda os efeitos das forças em fluidos

3. Física, por sua vez, é a ciência que estuda a natureza e seus fenômenos em seus aspectos mais gerais. Analisa suas relações e propriedades, além de descrever e explicar a maior parte de suas consequências.

4. A física busca a compreensão científica dos comportamentos naturais e gerais do mundo em que vivemos, desde as partículas elementares até o universo como um todo. Amparando-se em metodologias científicas e na lógica e tendo a matemática como linguagem natural, esta ciência descreve a natureza através de modelos científicos.

5. Os aspectos teóricos e práticos da mecânica dos fluidos são de fundamental importância para a solução de diversos problemas encontrados habitualmente na engenharia, sendo suas principais aplicações destinadas ao estudo de escoamentos de líquidos e gases, máquinas hidráulicas, aplicações de pneumática e hidráulica (industrial ou não), sistemas de ventilação e ar condicionado, além de diversas aplicações na área de aerodinâmica voltada para a indústria naval e aeroespacial.

6. Dessa forma, pode-se perceber que a mecânica dos fluidos está diretamente relacionada a muitos processos industriais presentes na engenharia e sua compreensão representa um dos pontos fundamentais para a solução de problemas geralmente encontrados nos processos industriais.

Por que estudar Mecânica dos Fluidos?

O projeto de todos os meios de transporte requer a aplicação dos princípios de Mecânica dos Fluidos. Exemplos:

• Projetos das asas e do corpo de aviões para vôos subsônicos e supersônicos • Aerobarcos • Pistas inclinadas e verticais para decolagem • Cascos de barcos e navios • Projetos de submarinos e automóveis • Projeto de carros e barcos de corrida (aerodinâmica) • Sistemas de propulsão para vôos espaciais; • Sistemas de propulsão para fogos de artifício e sinalizadores • Projeto de todos os tipos de máquinas de fluxo, incluindo bombas, separadores,

compressores e turbinas; • Sistemas de lubrificação de máquinas e veículos; • Sistemas de aquecimento e refrigeração para veículos,residências particulares e

grandes edifícios comerciais, etc..


• Dois exemplos:

• O sistema de circulação do sangue no corpo humano é essencialmente um sistema de transporte de fluido e, como consequência, o projeto de corações e pulmões artificiais são baseados nos princípios da Mecânica dos Fluidos;

• O posicionamento da vela de um barco para obter maior rendimento com o vento e a forma e superfície da bola de golfe para um melhor desempenho são ditados pelos mesmos princípios.


• O desastre da ponte do tipo pênsil sobre o estreito de Tacoma em 1940 evidencia as possíveis conseqüências que ocorrem quando os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos são negligenciados;

• Essa ponte, apenas 4 meses depois de ter sido aberta ao tráfego, foi destruída durante um vendaval;

• Inicialmente, sob a ação do vento (70 km/h), o vão central pôs-se a vibrar no sentido vertical, passando depois a vibrar torcionalmente, com as torções ocorrendo em sentido oposto nas duas metades do vão. Uma hora depois, o vão central se despedaçava.

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Diferença entre Fluidos e Sólidos

• Fluidos são moles e deformáveis.....

• Sólidos são duros e muito pouco deformáveis

• Em linguagem científica: A diferença fundamental entre sólidos e fluidos está relacionada com sua estrutura molecular.

• Nos sólidos as moléculas sofrem forte força de atração entre si, o que as mantém próximas umas das outras e lhes garante um formato próprio.

• Isto não ocorre com os fluidos, cujas moléculas apresentam um certo grau de liberdade de movimento, e isto garante que os mesmos apresentem pequenas forças de atração e não apresentam formato próprio.

Fluidos X Sólidos

• A principal distinção entre em sólido e um fluido diz respeito ao comportamento que apresentam em face às forças externas.

• Os fluidos não resistem a esforços tangenciais por menores que estes sejam, o que implica que se deformam continuamente.

F

Fluidos X Sólidos

• Se uma força de compressão fosse usada para distinguir um sólido de um fluido, este último seria inicialmente comprimido e, a partir de um determinado ponto, ele se comportaria exatamente como se fosse um sólido, isto é, seria incompressível.

Fluidos X Sólidos

• Já os sólidos, ao serem solicitados por esforços, podem resistir, deformar-se e ou até mesmo cisalhar.

Fluidos X Sólidos

• Os sólidos resistem às forças de cisalhamento até o seu limite elástico ser alcançado (este valor é denominado tensão crítica de cisalhamento), a partir da qual experimentam uma deformação irreversível, enquanto que os fluidos são imediatamente deformados irreversivelmente, mesmo para pequenos valores da tensão de cisalhamento.

O Estudo da Mecânica dos Fluidos

• O estudo da mecânica dos fluidos é dividido basicamente em dois ramos: a estática dos fluidos e a dinâmica dos fluidos.

• A estática dos fluidos (hidrostática) trata das propriedades e leis físicas que regem o comportamento dos fluidos livre da ação de forças externas quando o fluido se encontra em repouso ou então com deslocamento em velocidade constante.

• Já a dinâmica dos fluidos (hidrodinâmica) é responsável pelo estudo e comportamento dos fluidos em regime de movimento acelerado no qual se faz presente a ação de forças externas responsáveis pelo transporte de massa.

Classificação dos Fluidos • Os fluidos podem ser classificados como: Fluidos Newtonianos ou Fluido

Não Newtonianos. • Esta classificação está associada à caracterização da tensão cisalhante,

como linear ou não-linear, no que diz respeito à dependência desta tensão com relação à deformação e à sua derivada.

• Em um fluido newtoniano a tensão cisalhante é diretamente proporcional à taxa de deformação e cada componente dessa tensão é proporcional ao gradiente de velocidade na direção normal a essa componente. A essa constante de proporcionalidade dá-se o nome de viscosidade.

• Um fluido não-newtoniano é um fluido cuja viscosidade varia proporcionalmente à energia cinética que se imprime a esse mesmo fluido, respondendo de forma quase instantânea.

• A viscosidade é a grandeza que caracteriza o atrito entre as moléculas de um fluido. Por exemplo, você já percebeu a diferença quando se despeja uma lata de óleo em um tanque ou no chão e outra igual cheia de água. Diz-se que o óleo é mais viscoso que a água, pois "flui" com maior dificuldade que a água.

Divisão dos Fluidos

• Os fluidos também podem ser divididos em líquidos e gases. • Os líquidos formam uma superfície livre, isto é, quando em repouso

apresentam uma superfície estacionária não determinada pelo recipiente que contém o líquido.

• Os gases apresentam a propriedade de se expandirem livremente quando não confinados (ou contidos) por um recipiente, não formando portanto uma superfície livre.

• A superfície livre característica dos líquidos é uma propriedade da presença de tensão interna e atração/repulsão entre as moléculas do fluido, bem como da relação entre as tensões internas do líquido com o fluido ou sólido que o limita.

• Um fluido que apresenta resistência à redução de volume próprio é denominado fluido incompressível, enquanto o fluido que responde com uma redução de seu volume próprio ao ser submetido a ação de uma força é denominado fluido compressível.

• Uma das principais diferenças entre os gases e os líquidos é a propriedade que têm os primeiros de serem facilmente compressíveis.

Propriedades gerais dos fluidos

1. A superfície livre de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal.


2. A força exercida por um líquido sobre uma superfície qualquer é sempre perpendicular (normal) a essa superfície. Isto pode ser constatado quando furamos um vaso que contém líquidos e observamos que este se projeta (derrama, escoa) perpendicularmente à parede do vaso.


3. Líquidos de diferentes densidades, quando em equilíbrio, obedecem a uma propriedade chamada imiscibilidade.

• É o que se observa, por exemplo, entre o óleo de cozinha e a água que, quando colocados em um mesmo recipiente, não se misturam, apresentando uma superfície de separação plana e horizontal. O óleo, por ser menos denso do que a água, se sobrepõe a ela.


4. Um corpo mergulhado em um líquido fica sujeito a uma pressão que aumenta à medida em que é maior a profundidade que o corpo alcança. Ou seja, ocorre uma variação de pressão, em função da profundidade.

Unidades de Medida

• No dia-a-dia frequentemente expressamos quantidades ou grandezas em termos de outras unidades que nos servem de padrão. Um bom exemplo é quando vamos à padaria e compramos 2 litros de leite ou 400g de queijo. Na Física é de extrema importância a utilização correta das unidades de medida.

• Existe mais de uma unidade para a mesma grandeza, por exemplo, 1metro é o mesmo que 100 centímetros ou 0,001 quilômetro. Em alguns países é mais comum a utilização de graus Fahrenheit (°F) ao invés de graus Celsius (°C) como no Brasil. Isso ocorre porque, como não existia um padrão para as unidades, cada pesquisador ou profissional utilizava o padrão que considerava melhor.

Sistema Internacional de Unidades

• Como diferentes pesquisadores utilizavam unidades de medida diferentes, existia um grande problema nas comunicações internacionais.

• Como poderia haver um acordo quando não se falava a mesma língua?

• Para resolver este problema, a Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) criou o Sistema Internacional de Unidades (SI) que tem como objetivo uniformizar as medições.

• Na 14ª CGPM (1971) foi acordado que no Sistema Internacional existiria apenas uma unidade para cada grandeza.

• No Sistema Internacional de Unidades (também conhecido como SI ou Sistema Métrico) existem sete unidades básicas que podem ser utilizadas para derivar todas as outras.

Unidades básicas do SI

Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampere A Temperatura kelvin K Quantidade de matéria mol (mole) mol Intensidade luminosa candela c

O significado das unidades de medida

• Unidade de comprimento - O metro, que foi criado em 1791 durante a Revolução Francesa, inicialmente significava um décimo de milionésimo da distância do polo norte ao equador.

• Posteriormente o metro foi definido como sendo a distância entre duas linhas finas marcadas próximo aos extremos de uma placa de platina irradiada.

• Em 1960 o metro passou a ser definido como sendo 1.670.763,73 comprimentos da onda da raia alaranjada da lâmpada de vapor de criptônio 86.

• Em 1983, por ocasião da 17ª Conferência Geral sobre Pesos e Medidas, o metro foi relacionado com a velocidade da luz no vácuo e redefinido como sendo o comprimento da trajetória percorrida pela luz no vácuo durante 1/299.792548 de um segundo.


• Unidade de tempo - O segundo. No estudos dos fenômenos físicos geralmente é relevante saber o intervalo de duração do fenômeno para assim compará-lo com a duração de um outro fenômeno que define a unidade padrão de tempo.

• Existem várias unidades padrão para o tempo e geralmente elas estão baseadas em fenômenos que se repetem. Por exemplo, a rotação da terra (que é um fenômeno periódico) define a duração de 1 dia na terra.

• Inicialmente o segundo era definido como sendo a fração 1/86.400 do dia solar médio. Atualmente o segundo é definido como o tempo gasto para que se ocorram 9.192631.770 oscilações de luz (de um comprimento específico) emitidas por um átomo de césio-133.


• Unidade de Massa - No Sistema Internacional de Unidades a unidade padrão para a massa é o Kg (diz-se quilograma) que é definido como sendo a massa de um cilindro de platina irradiada mantido a 0ºC na sede da Agência Internacional de Pesos e Medidas em Paris

Unidades Derivadas do SI

• As unidades derivadas do SI são definidas de forma que sejam coerentes com as unidades básicas, ou seja, são definidas por expressões algébricas sob a forma de produtos de potências das unidades básicas do SI e/ou suplementares, com um fator numérico igual a 1.

• Várias unidades derivadas no SI são expressas diretamente a partir das unidades básicas e suplementares, enquanto que outras recebem uma denominação especial (Nome) e um símbolo particular.

• Se uma dada unidade derivada no SI puder ser expressa de várias formas equivalentes utilizando, quer nomes de unidades básicas/suplementares, quer nomes especiais de outras unidades derivadas SI, admite-se o emprego preferencial de certas combinações ou de certos nomes especiais, com a finalidade de facilitar a distinção entre grandezas que tenham as mesmas dimensões.

• Por exemplo, o 'hertz' é preferível em lugar do 'segundo elevado à potência menos um'; para o momento de uma força, o 'newton.metro' tem preferência sobre o joule.

Tabela de Unidades Derivadas

Resumo das Principais Unidades Derivadas usadas em MecFlu

• Unidade de velocidade - Um metro por segundo (m/s ou m. s-1) é a velocidade de um corpo que, com movimento uniforme, percorre o comprimento de um metro em 1 segundo.

• Unidade de aceleração - Um metro por segundo quadrado (m/s2 ou m. s-2) é a aceleração de um corpo, animado de movimento uniformemente variado, cuja velocidade varia, a cada segundo, de 1 m/s.

Unidades Derivadas com Nomes e Símbolos Especiais

Significado das Unidades Derivadas usadas em MecFlu

• Unidade de intensidade de força - Um newton (N) é a intensidade de uma força que, aplicada a um corpo que tem uma massa de 1 quilograma, lhe comunica uma aceleração de 1 metro por segundo quadrado.

• Unidade de pressão - Um pascal (Pa) é a pressão uniforme que, exercida sobre uma superfície plana de área 1 metro quadrado, aplica perpendicularmente a esta superfície uma força total de intensidade 1 newton.

• Unidade de Energia, trabalho, Quantidade de calor - Um joule (J) é o trabalho realizado por uma força de intensidade 1 newton, cujo ponto de aplicação se desloca de 1 metro na direção da força.

• Unidade de potência, fluxo radiante - Um watt (W) é a potência que dá lugar a uma produção de Energia igual a 1 joule por segundo.

Unidades Derivadas que possuem nomes especiais no SI

• Viscosidade dinâmica • Nome: pascal segundo • Símbolo: Pa s • Expressão em unidades básicas do SI: m-1 kg s-1

• Unidade de viscosidade dinâmica - Um pascal segundo (Pa s) é a viscosidade dinâmica de um fluido homogêneo no qual o movimento retilíneo e uniforme de uma superfície plana de 1 metro quadrado, dá origem a uma força resistente de intensidade 1 newton, quando há uma diferença de velocidade de 1 metro por segundo entre dois planos paralelos separados por 1 metro de distância.

Tabela de conversão de unidades

Tabela de Conversão de Unidades

Exercício

• Suponha que vc adquiriu um veículo de origem chinesa cujo indicador de consumo de combustível é representado pela unidade (litros / 100 km rodados). Agora suponha que numa viagem de 300 kms vc consumiu 24 litros de combustível. Isso posto responda:

• Qual a média de combustível no marcador original? • Qual a média de combustível na referência brasileira

(km/litro) ? • Quantos litros de combustível esse veículo consumirá

para percorrer 1300 km?

Próxima Aula

• Propriedades dos Fluídos:

• Massa Específica (densidade).

• Peso Específico.

• Peso Específico Relativo (Densidade relativa).

• Exercícios sobre o assunto

Propriedades dos Fluidos

• Algumas propriedades são fundamentais para a análise de um fluido e representam a base para o estudo da mecânica dos fluidos.

• Essas propriedades são específicas para cada tipo de substância avaliada e são muito importantes para uma correta avaliação dos problemas comumente encontrados na indústria.

• Dentre essas propriedades, as mais importantes são: a massa específica (densidade), o peso específico e o peso específico relativo.

MASSA ESPECÍFICA

• Representa a relação entre a massa de uma determinada substância e o volume ocupado por ela.

• A massa específica, ou densidade absoluta (conhecida pela letra grega Rho), pode ser quantificada através da aplicação da seguinte equação:

• onde ρ é a massa específica, m representa a massa da substância e V o volume por ela ocupado.

• No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é quantificada em kg e o volume em m³, assim, a unidade de massa específica é kg/m³.

• Outras unidades usuais para massa específica são o g/cm3 e o kg/litro

V

m

volume

massa

MASSA ESPECÍFICA

• Exemplo: Suponha que a figura a seguir represente um bloco homogêneo de ferro, com dimensões 2m x 1m x 1m e cuja massa (m) é conhecida e igual a 15.200 kg.

• Volume: V = 2m x 1m x 1m = 2m3

• Como: = m/V • = 15.200 kg / 2m3

• = 7.600 kg / m3

2 m

1 m

1 m

Substância g / cm3 Kg / m3

Água 1,0 1.000

Gelo 0,92 920

Álcool 0,79 790

Ferro 7,8 7.800

Chumbo 11,2 11.200

Mercúrio 13,6 13.600

Massa Específica de alguma substâncias

MASSA ESPECÍFICA

• Exercício 1: Qual o volume, em litros, ocupado por 30 toneladas de água, 30 toneladas de álcool, 30 toneladas de ferro e 30 toneladas de chumbo?

• Resposta: água: 30.000 litros

• álcool: 37.974 litros

• ferro: 3.846 litros

• chumbo: 2.678 litros

MASSA ESPECÍFICA

• Exercício 2: Admita que a massa específica da gasolina é = 0,66 g/cm3. Em um tanque com capacidade para 10.000 litros (10 metros cúbicos), qual a massa de gasolina correspondente?

• Resposta: 6.660 kg.

MASSA ESPECÍFICA

• Exercício 3: Um reservatório cilíndrico possui diâmetro de base igual a 2m e altura de 4m. Sabendo-se que o mesmo está totalmente preenchido com gasolina premiun ( = 0,72 g/cm3, determine a massa de gasolina presente no reservatório.

MASSA ESPECÍFICA

• Exercício 4: Admita que a massa específica do isopor vale 200 kg/m3 e a do chumbo 11.400 kg/m3. Qual é o volume necessário de isopor e chumbo, para se obter 1 kg de cada substância.

MASSA ESPECÍFICA

• Exercício 5: Suponha que são misturados volumes iguais de dois líquidos com massas específicas de 0,50 g/cm3 e 0,90 g/cm3. Determine a massa específica da mistura.

• Exercício:

• O heptano e o octano são duas substâncias que entram na composição da gasolina. Suas massas específicas valem, respectivamente, 0,68 g/cm3 e 0,70 g/cm3. Qual é a densidade da gasolina obtida quando se misturam 65 cm3 de heptano e 35 cm3 de octano?

MASSA ESPECÍFICA

• Resolução:

• Para resolver o problema, devemos aplicar a relação:

• Sabemos o volume de gasolina:

• Vg = VH + V0 = 65 + 35 = 100 cm3, porém, não conhecemos a massa de gasolina.

V

m

volume

massa

MASSA ESPECÍFICA

• Para calcular a densidade da gasolina resultante, é necessário conhecer as massas de heptano e octano.

• Da expressão acima obtemos:

• MH = 0,68 x 65 = 44,2 g

• M0 = 0,70 x 35 = 24,5 g

• A massa da gasolina, portanto, será: 69,7 g

• Logo, a densidade da gasolina será: 0,687 g/cm3

V

m

volume

massa

MASSA ESPECÍFICA

MASSA ESPECÍFICA X DENSIDADE

• Embora sejam definidas de forma análoga, existe uma diferença conceitual entre os termos densidade e massa específica.

• A massa específica é característica de um material homogêneo e isotrópico e não de um objeto (corpo) que, por sua vez, é caracterizado pelo termo densidade.

• Um objeto oco pode ter densidade muito diferente da massa específica do material que o compõe, a exemplo dos navios. Embora a massa específica do aço seja maior do que a massa específica da água, a densidade de um navio - assumido uma estrutura "fechada", é reconhecidamente menor do que a da água.

• Quando se fala de massa específica estamos nos referindo à substância que compõe um corpo. Quando falamos da densidade de um corpo, estamos nos referindo ao corpo como um todo, considerando seu formato, partes ocas e outras características.

• Para líquidos e gases as expressões densidade e massa específica - dadas as propriedades físicas destes estados - acabam sendo utilizadas como sinônimos.

Variação da densidade com a temperatura

• Você já deve ter observado que uma substância qualquer, quando aquecida, se dilata, isto é, seu volume se torna maior quando comparado com a situação inicial.

• Como exemplo pode ser citado o que acontece com o termômetro, utilizado para medir temperaturas. O mercúrio, quando aquecido, aumenta de volume, subindo na escala.

• Apesar desse aumento de volume, a massa da substância permanece a mesma (lembre-se de que a massa é uma grandeza constante).

• Vimos que a densidade absoluta é a relação entre massa e volume. Mantendo a massa constante e fazendo o volume variar, estamos, automaticamente, provocando uma variação na densidade da substância. A conclusão, portanto, é que a densidade absoluta varia com a temperatura.


• Vamos supor uma experiência com os seguintes dados sobre o álcool metílico:

1. Para 30°C, m = 790 g, V = 1.000 cm3

2. Quando aquecido a 50°C, ocorre um acréscimo de 12 cm3 no volume

• Deseja-se saber qual a densidade absoluta do álcool na temperatura de 30°C e 50°C.

RESPOSTA:

μ 30°C = m/V μ 30°C = 790/1.000 μ 30°C = 0,7900 g/cm3

Na temperatura de 50°C, o volume aumentou 12 cm3, portanto:

V = 1.000 + 12 V = 1.012 cm3

A massa não varia com a temperatura, daí:

μ 50°C = m/V μ 50°C = 790/1.012 μ 50°C = 0,7806 g/cm3

Variação: 0,7900 – 0,7806 = 0,0094 g/cm3


• Neste caso a variação foi pequena, pois o aumento de volume também foi pequeno, já que a temperatura elevou-se poucos graus, de 30°C para 50°C.

• Para maiores variações de temperatura, maiores serão as variações de volume e, consequentemente, os valores de densidade começam a diferir sensivelmente.

• Em se tratando de líquidos e sólidos, a dilatação tem pouco efeito sobre a alteração no volume, para variações de temperatura elevadas. Em relação a gases, contudo, a situação se modifica bastante pois é facilmente constatável que os mesmos apresentam grande dilatação volumétrica térmica.

• Exemplo prático: Um bloco de alumínio possui, a 0°C, um volume de 100 cm3. A densidade do alumínio, a esta temperatura, é 2,7 g/cm3 . Quando variamos a temperatura do bloco de 500°C, o volume aumenta de 3%. Calcular a densidade do alumínio na temperatura de 500°C.

• μ 0ºC = m/V0ºC → m = μ 0ºC . V0ºC Portanto: m = 2,7 x 100 → m = 270 g

• Variando a temperatura de 500°C, o volume cresceu 3% e passou a ser 103 cm3. Então: μ 500°C = 270/ 103 μ 500ºC = 2,6 g/cm3

Densidade Relativa - δ (ou simplesmente Densidade)

A Densidade Relativa (δ), ou simplesmente densidade, é definida como a relação entre a massa específica de uma substância e a de outra tomada como referência.

δ = / o • Em geral usa-se a água (para líquidos) e o ar (quando se tratar

de gases) como substâncias de referência. • No Sistema internacional: ρ0 H2O = 1.000kg/m3 e

ρ0 ar = 1,29 kg/m3

• A densidade é uma grandeza adimensional e, portanto, o seu valor é o mesmo para qualquer sistema de unidades.

PESO ESPECÍFICO • É a relação entre o peso de um fluido e o volume ocupado pelo mesmo. Seu valor pode

ser obtido pela aplicação da equação:

• Como o peso é definido pelo princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton)

como sendo igual ao produto da massa X a aceleração da gravidade (G = m x g) e a relação m/V corresponde à densidade do líquido em questão, a equação pode ser reescrita do seguinte modo:

• onde, γ (lê-se gama) é o peso específico do fluido, G é o peso do fluido e g representa a aceleração da gravidade. Em unidades do (SI), o peso é dado em N, a aceleração da gravidade em m/s² e o peso específico em N/m³.

V

G

volume

peso

gV

gm

V

G

PESO ESPECÍFICO

• Exemplo:

• Calcular o peso específico de um cano metálico de 6 kg e volume tubular de 0,0004 metros cúbicos.

• Peso G = 6 kg x 9,8 m/s2 = 58,8 N

• = G / V

• = 58,8 / 0,0004

• = 147.000 N/m3

VOLUME ESPECÍFICO

• Volume Específico - Vs - É definido como sendo o inverso do peso específico. Ou seja:

• Em unidades do SI, a unidade do volume específico é dada e, m3/N

Vs= 1/γ = V/G

PESO ESPECÍFICO RELATIVO

• Representa a relação entre o peso específico do fluido em estudo e o peso específico da água.

• γ = γ / γH2O

• Em condições de atmosfera padrão o peso específico da água é 10.000 N/m³. Como o peso específico relativo é a relação entre dois pesos específicos, o mesmo é um número adimensional, ou seja não contempla unidades.

TABELA DE PROPRIEDADES DE ALGUNS FLUIDOS

Lista de exercícios

1) Sabendo-se que 1.500 kg de massa de uma determinada substância ocupa um volume de 2 m³, determine a massa específica, o peso específico e o peso específico relativo dessa substância. (750 kg/m3, 7500 N/m3, 0,75)

2) Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6.300 kg, calcule sua massa específica, o peso, o peso específico e volume específico no sistema (SI).

Dados: γH2O = 10.000N/m³, g = 10m/s².


3) A massa específica de uma determinada substância é igual a 740 kg/m³, determine o volume ocupado por uma massa de 500 kg dessa substância. (0,675 m3

= 675 litros)

4) Sabendo-se que 400 kg de um líquido ocupa um reservatório com volume de 1.500 litros, determine sua massa específica, seu peso específico e o peso específico relativo.

5) Determine a massa de mercúrio presente em uma garrafa de 2 litros. (Ver propriedades do mercúrio na Tabela).

Dados: γH2O = 10.000 N/m³, g = 10m/s², 1.000 litros = 1m³


6) Um reservatório cúbico com 2 m de aresta está completamente cheio de óleo lubrificante (ver propriedades na Tabela). Determine a massa de óleo quando apenas ¾ do tanque estiver ocupado.

7) Sabendo-se que o peso específico relativo de

um determinado óleo é igual a 0,8, determine seu peso específico em N/m³.

PRÓXIMA AULA

• Estática dos Fluidos.

• Definição de Pressão Estática.

• Unidades de Pressão.

• Conversão de Unidades de Pressão.

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

• A estática dos fluidos é a ramo da mecânica dos fluidos que estuda o comportamento de um fluido em uma condição de equilíbrio estático.

• Para quantificar e resolver problemas relacionados à pressão estática e escalas de pressão é necessário primeiramente entender alguns Conceitos básicos de pressão.

Conceitos básicos de pressão

• O conceito de pressão foi introduzido a partir da análise da ação de uma força sobre uma superfície.

• Quando você pisa sobre um solo fofo como, por exemplo, a areia de uma praia, seus pés deixam marcas no chão. Nesse caso, diz-se que seu corpo exerceu uma pressão sobre o chão e que essa pressão deixou nele marcas. Se o solo fosse duro, as marcas não ficariam tão visíveis, mas ainda assim o chão estaria recebendo a mesma pressão de seus pés.

• De uma maneira genérica pode-se afirmar que Pressão é o resultado da ação de uma força sobre uma superfície.

A pressão exercida por um liquido • Considere um recipiente cheio de água, como mostra a figura.

• Nele foram feitos vários orifícios de mesmo tamanho, mas localizados em alturas diferentes. Vc perceberá facilmente que, quanto mais baixo estiver o orifício, mais forte será o jato de água.

• É por esse motivo que as pessoas não podem mergulhar muito fundo na água do mar sem os devidos equipamentos de proteção. A forte pressão das profundezas certamente as esmagaria.

• É por este motivo também, que os submarinos só podem mergulhar no mar até certa profundidade. Depois de certo ponto, eles correm o risco de ser esmagados pela forte pressão da água.

• Uma curiosa e importante propriedade da pressão exercida por um líquido é que um corpo mergulhado em seu interior recebe pressão do mesmo de todos os lados.

• Se a pressão viesse só de cima para baixo, um peixe, por exemplo, seria empurrado para baixo o tempo todo e não conseguiria se equilibrar nem ficar parado em algum ponto no meio da água


• Quando você exerce, com a palma da mão, uma força sobre uma superfície (uma parede, por exemplo), dizemos que você está exercendo uma pressão sobre a parede. A figura a seguir representa a força F aplicada em um determinado ponto da superfície, onde a componente normal (Fx) da força atua realizando pressão.

• Observe, porém que, na realidade, a força aplicada pela mão distribui-se sobre uma área, exercendo a pressão.

Fx

Fy F


• Define-se a pressão de uma força sobre uma superfície como sendo a razão entre a força normal aplicada a essa superfície e a área da mesma.

• Então: p = F/A, onde:

• p = pressão, F representa uma força normal à superfície e A = área da superfície.

Unidade de Pressão no SI

• Como a força aplicada é dada em Newtons [N] e a área em metro ao quadrado [m²], o resultado dimensional será o quociente entre essas duas unidades.

• Portanto, a unidade básica de pressão no sistema internacional de unidades (SI) é N/m² (Newton por metro ao quadrado).

• A unidade N/m² é usualmente chamada de Pascal (Pa), uma homenagem ao físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês Blaise Pascal (1623-1662), autor dos estudos que esclareceram os conceitos de pressão e vácuo e ampliaram o trabalho anterior de Evangelista Torricelli.

• É muito comum na indústria se utilizar a unidade Pa e seus múltiplos kPa (quilo pascal) e MPa (mega pascal).

• Desse modo, as seguintes relações são aplicáveis:

• 1N/m² = 1 Pa

• 1kPa = 1.000 Pa = 10³ Pa

• 1MPa = 1.000.000 Pa = 106 Pa

Frases (pensamentos) de Pascal • “O coração tem razões que a própria razão desconhece".

• “A justiça sem a força é impotente, a força sem justiça é tirana”.

• “A maior fraqueza do homem é poder tão pouco sobre aqueles que ama”.

• “A razão manda em nós muito mais imperiosamente do que um senhor; é que, desobedecendo a um, é-se infeliz, desobedecendo a outro, é-se tolo”.

• “Uma vez que não podemos ser universais e saber tudo quanto se pode saber acerca de tudo, é preciso saber-se um pouco de tudo, pois é muito melhor saber-se alguma coisa de tudo do que saber-se tudo apenas de uma coisa”.

• “Deixe-se um rei sozinho, sem nenhuma satisfação dos sentidos, sem nenhuma preocupação do espírito, sem companhia, a pensar apenas em si mesmo; e ver-se-á que um rei sem divertimentos é um homem muito desgraçado”.

• “Numa grande alma, tudo é grande”.

• “Não sendo possível fazer-se com que aquilo que é justo seja forte, faz-se com que o que é forte seja justo”.

• “A natureza detesta o vazio”.

• “Eloquência positiva é aquele que persuade com doçura, não com violência, ou seja, como um rei, não como um tirano”.

• “Há duas espécies de homens: uns, justos, que se consideram pecadores, e os pecadores , que se consideram justos”.

• “Nem a contradição é sinal de falsidade, nem a falta de contradição é sinal de verdade”.

• “É uma doença natural no homem acreditar que é dono da verdade”.

• “A maior parte dos problemas do homem decorre de sua incapacidade de ficar calado”.

• “Ninguém é tão ignorante que não tenha algo a ensinar, nem tão sábio que não tenha algo a aprender”.

• “Quanto mais inteligente um homem é, mais originalidade encontra nos outros. Os medíocres acham toda a gente igual”.

• “A virtude de uma pessoa mede-se não por ações excepcionais, mas pelos hábitos cotidianos”.

• "A falsa humildade é puro orgulho“.

Outras Unidades de Pressão

• Na prática, são utilizadas nos mostradores dos manômetros muitas outras unidades para a especificação da pressão.

• As mais comuns são: atm, mmHg, kgf/cm², bar, psi e mca, cujas especificações são apresentadas a seguir:

• atm (atmosfera) • mmHg (milímetro de mercúrio) • kgf/cm² (quilograma força por centímetro ao quadrado) • bar (nomenclatura usual para pressão barométrica) • psi (libra por polegada ao quadrado) • mca (metro de coluna d’água)

Tabela de Conversão de Unidades de Pressão

• Dentre as unidades definidas de pressão, tem-se um destaque maior para a atm (atmosfera) que representa teoricamente a pressão necessária para se elevar em 760 mm uma coluna de mercúrio.

• A partir dessa definição, usa-se a seguinte tabela para a conversão entre unidades de pressão pode ser utilizada:

• 1atm = 760mmHg • 1atm = 760mmHg = 101.230Pa • 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² • 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar • 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar = 14,7psi • 1atm = 760mmHg = 101.230Pa = 1,0330 kgf/cm² = 1,01bar = 14,7psi = 10,33mca

Pressão Atmosférica e Barômetro de Torricelli

• Sabe-se que o ar atmosférico exerce uma pressão sobre tudo que existe na superfície da Terra. A medida dessa pressão foi realizada por um discípulo de Galileu chamado Evangelista Torricelli, em 1643.

• Para executar a medição, Torricelli tomou um tubo longo de vidro, fechado em uma das pontas e encheu-o até a borda com mercúrio. Depois tampou a ponta aberta e, invertendo o tubo, mergulhou essa ponta em uma bacia com mercúrio.

• Soltando a ponta aberta notou que a coluna de mercúrio descia até um determinado nível e estacionava quando alcançava uma altura de cerca de 760 milímetros.

• Acima do mercúrio, dentro do tubo, Torricelli logo constatou que havia vácuo e que o peso do mercúrio dentro do tubo estava em equilíbrio estático com a força que a pressão do ar exercia sobre a superfície livre de mercúrio na bacia.

• Definiu assim que a pressão atmosférica local era capaz de elevar uma coluna de mercúrio em 760mm, definindo desse modo a pressão atmosférica padrão.

• O mercúrio foi utilizado na experiência devido à sua elevada densidade. Se o líquido fosse água, a coluna deveria ter mais de 10 metros de altura para haver equilíbrio, pois a água é cerca de 14 vezes mais leve que o mercúrio.

• Torricelli repetiu a experiência em diferentes cotas e percebeu que a altura da coluna variava de cota para cota.

• Tais variações permitiram concluir que a pressão atmosférica podia variar e suas flutuações eram medidas pela variação na altura da coluna de mercúrio.

• Torricelli não apenas demonstrou a existência da pressão do ar, mas inventou o aparelho capaz de realizar sua medida.

• ....... comprova a existência da pressão atmosférica, ou seja, a coluna de mercúrio equilibra-se por ação da pressão que a atmosfera exerce sobre a superfície livre de mercúrio na cuba e esta pressão é numericamente igual ao peso de uma coluna de mercúrio de 760 mm de altura.

• Variações em torno deste valor serão obtidas de acordo com o local em que se realize a experiência.

• Ao nível do mar, obtém-se 760 mmHg.

• Em lugares mais altos, como a pressão atmosférica é menor, a altura da coluna líquida de mercúrio também será menor.

• No alto do monte “Everest”, por exemplo, a experiência acusaria uma pressão atmosférica da ordem de 300 mmHg.

• A experiência também pode ser realizada com outros líquidos que não o mercúrio.

• A altura da coluna é inversamente proporcional à densidade do líquido empregado.

• Isto significa que quanto menor a densidade do líquido, maior a altura da coluna.

• No caso da água, atingiria o valor de 10,3 m.

A experiência de Torricelli....

Exercícios 1) Uma placa circular com diâmetro igual a 0,5m possui

um peso de 200 N. Determine em Pa a pressão exercida por essa placa quando a mesma estiver apoiada sobre o solo.

(Resp.: 1.052,6 Pa)

2) Determine o peso em N de uma placa retangular de área igual a 2m² de forma a produzir uma pressão de 5.000 Pa. (Resp.: 10.000 N)

3) Que pressão uma caixa d'água de área de base 1,2m X 0.5 m, altura de 1 m e peso de 1.000 N exerce sobre o solo? • a) Quando estiver vazia (Resp.: 1.666 Pa)

• b) Quando estiver cheia com água (Resp.: 11.666 Pa)

• Dados: γH2O = 10.000N/m³, g = 10m/s².

Exercícios

4) Converta as unidades de pressão para o sistema indicado. (utilize os fatores de conversão apresentados na tabela). • a) converter 20psi em Pa. • b) converter 3000mmHg em Pa. • c) converter 200kPa em kgf/cm². • d) converter 30kgf/cm² em psi. • e) converter 5bar em Pa. • f) converter 25mca em kgf/cm². • g) converter 500mmHg em bar. • h) converter 10psi em mmHg. • i) converter 80000Pa em mca. • j) converter 18mca em mmHg.

Próxima Aula

Teorema de Stevin.

Princípio de Pascal. Princípio de Arquimedes

Pressão hidrostática • Chama-se pressão hidrostática à pressão existente

em um ponto qualquer desse líquido, decorrente da ação exclusiva do peso do líquido.

• Matematicamente, essa pressão pode ser obtida através da seguinte expressão:

• P = ρ.g.h, onde:

• ρ = densidade do líquido

• g = aceleração da gravidade, e

• h = altura da coluna do líquido sobre o ponto estudado

Teorema de Stevin • Simon Stevin foi um físico e matemático belga que

concentrou suas pesquisas nos campos da geometria vetorial e, mais especificamente, da estática e hidrostática, no final do século 16.

• O teorema de Stevin (ou Lei de Stevin), também conhecido por teorema fundamental da hidrostática, permite determinar a pressão atuante em qualquer ponto de uma coluna de líquido.

• Entre outras coisas, Stevin demonstrou, experimentalmente, que a pressão exercida por um fluido depende exclusivamente da sua altura.

Teorema de Stevin • Considere os dois pontos A e B na figura que segue:

• A pressão hidrostática em cada um desses pontos é calculada da seguinte forma:

• PA = ρ.g.hA e PB = ρ.g.hB

• Portanto: PB - PA = ρ.g.hB - ρ.g.hA = ρ.g.(hB - hA)

• Logo: PB = PA + ρ.g.h

Teorema de Stevin

• Como o peso específico corresponde ao produto da densidade multiplicada pela aceleração da gravidade (γ = ρ.g), obtém-se que

• ∆P = γ⋅h que corresponde ao enunciado do teorema de Stevin:

“A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cota entre os dois pontos avaliados”.

Pressão Absoluta

• Utilizando o teorema de Stevin, pode-se constatar que, para um líquido em equilíbrio cuja superfície está sob ação da pressão atmosférica,

a pressão absoluta (P) sofrida por um ponto submerso qualquer do líquido afastado de uma cota (altura) h da superfície será:

P = Patm + Phidrost = Patm + ρ.g.h

EXERCÍCIO

• 1) Um reservatório aberto em sua superfície possui 8 m de profundidade e contém água. Determine a pressão hidrostática no fundo do mesmo.

• Dados: γH2O = 10.000 N/m³, g = 10 m/s².

• Resposta:

• P = ρ⋅g⋅h

• P = γ⋅h

• P =10.000⋅8

• P = 80.000 Pa

O Princípio de Pascal • O Princípio de Pascal representa uma das mais significativas

contribuições práticas no campo da mecânica dos fluidos no que tange a problemas que envolvem a transmissão e a ampliação de forças através da pressão aplicada a um fluido.

• Pascal descobriu que, ao se aplicar uma pressão em um ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, essa pressão se transmite a todos os demais pontos do líquido, bem como às paredes do recipiente que o contém (“quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma variação de

pressão, todos os outros pontos também sofrem a mesma variação””.

• Essa propriedade dos líquidos, expressa pela lei de Pascal, é utilizada em diversos dispositivos, tanto para amplificar forças como para transmiti-las de um ponto a outro.

• Um exemplo disso é a prensa hidráulica e os freios hidráulicos dos automóveis.

Elevador Hidráulico • Os elevadores para veículos automotores,

utilizados em postos de serviço e oficinas, baseiam-se nos princípios da prensa hidráulica. Ela é constituída de dois cilindros de seções diferentes sendo que em cada um desliza um pistão.

• Um tubo comunica ambos os cilindros desde a base.

• A prensa hidráulica permite equilibrar uma força muito grande a partir da aplicação de uma força pequena.

• Isso é possível porque as pressões sobre as duas superfícies são iguais (Pressão = Força / Área).

• Assim, a grande força resistente (F2) que age na superfície maior é equilibrada por uma pequena força motora (F1) aplicada sobre a superfície menor (F2/A2 = F1/A1) como pode se observar na figura ao lado.

EXERCÍCIOS

1. Na figura apresentada a seguir, os êmbolos A e B possuem áreas de 80 cm² e 20 cm² respectivamente. Despreze os pesos dos êmbolos e considere o sistema em equilíbrio estático. Sabendo-se que a massa do corpo colocado em A é igual a 100 kg, determine a massa do corpo colocado em B. (RESP.: 25 kg)

EXERCÍCIOS 2. Qual a pressão, em kgf/cm2, no fundo de um reservatório que contém água, com 3m de profundidade? (Resp.: 0,306 kgf/cm2) 3. Faça o mesmo cálculo para um reservatório que contém gasolina (peso específico relativo = 0,72). (Resp.: 0,220 kgf/cm2) 4. O nível de água contida em uma caixa d’água aberta à atmosfera se encontra 10m acima do nível de uma torneira. Determine a pressão de saída da água na torneira. 5. As áreas dos pistões do dispositivo hidráulico mostrado na figura mantêm a relação 50:2. Verifica-se que um peso P colocado sobre o pistão maior é equilibrado por uma força de 30 N no pistão menor, sem que o nível de fluido nas duas colunas se altere. Aplicando o principio de Pascal determine o valor do peso P.

EXERCÍCIOS

• 6. Na prensa hidráulica mostrada na figura, os diâmetros dos tubos 1 e 2 são, respectivamente, 4 cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 10.000 N, determine:

• a) a força que deve ser aplicada no tubo 1 para equilibrar o carro. (Resp.: 400 N)

• b) o deslocamento do nível de óleo no tubo 1, quando o carro sobe 20 cm. (Resp.: 500 cm)

Definição de Empuxo

Quando se mergulha um corpo em um líquido, seu peso aparente diminui, chegando às vezes a parecer totalmente anulado (quando o corpo flutua). Esse fato se deve à existência de uma força vertical, de baixo para cima, exercida no corpo pelo líquido, a qual recebe o nome de empuxo. O empuxo se deve à diferença das pressões exercidas pelo fluido nas superfícies inferior e superior do corpo. Sendo as forças aplicadas pelo fluido na parte inferior maiores que as exercidas na parte superior, a resultante dessas forças fornece uma força vertical de baixo para cima, que é o empuxo.

Princípio de Arquimedes

• A teoria para obtenção (calculo) da força de empuxo está diretamente relacionada ao Princípio de Arquimedes que diz:

• “Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sujeito à ação de uma força vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo fluido”.

• Esta força é denominada empuxo (E), cuja intensidade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.

Demonstração do Princípio de Arquimedes

• O Princípio de Arquimedes permite calcular a força que um fluido (líquido ou gás) exerce sobre um sólido nele mergulhado.

• Para entender o Princípio de Arquimedes, imagine a seguinte situação: um copo totalmente cheio d’água e uma esfera de chumbo.

• Se colocarmos a esfera na superfície da água, ela vai afundar e provocar o extravasamento de uma certa quantidade de água.

• A força que a água exerce sobre a esfera terá direção vertical, sentido para cima e módulo igual ao do peso da água que foi deslocada como mostra a figura.

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

• Um exemplo clássico da aplicação do Princípio de Arquimedes são os movimentos de um submarino.

• Quando o mesmo estiver flutuando na superfície, o seu peso terá a mesma intensidade do empuxo recebido.

• Para que o submarino afunde, deve-se aumentar o seu peso, o que se consegue armazenando água em reservatórios adequados em seu interior.

• Controlando a quantidade de água em seus reservatórios, é possível ajustar o peso do submarino para o valor desejado. A figura a seguir mostra as duas situações acima citadas.

FLUTUAÇÃO DO SUBMARINO

• Para que o submarino volte a flutuar, a água deve ser expulsa de seus reservatórios para reduzir o peso do submarino e fazer com que o empuxo se torne maior que o peso.

Formulação matemática do empuxo

• O Princípio de Arquimedes diz que o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado. Portanto, pode-se escrever que:

• E = WL E = mL . g • Na equação apresentada, E representa o empuxo e mL a massa do

líquido deslocado. • Essa mesma equação pode ser reescrita utilizando-se considerações

de massa específica, pois, como visto anteriormente:

• ρ = m / V e, portanto, mL = ρL . VL • Assim:

• E = ρL . VL . g • Nesta equação, ρL representa a massa específica do líquido e VL o

volume de líquido deslocado. Pela análise realizada é possível perceber que o empuxo será tanto maior quanto maior for o volume de líquido deslocado e quanto maior for a densidade deste líquido.

Considerações sobre o empuxo

• Três importantes considerações podem ser feitas com relação ao empuxo:

• a) se ρL < ρc, tem-se E < P e, neste caso, o corpo afundará no líquido.

• b) se ρL = ρc , tem-se E = P e, neste caso, o corpo ficará em equilíbrio quando estiver totalmente mergulhado no líquido.

• c) se ρL < ρc , tem-se E > P e, neste caso, o corpo permanecerá boiando na superfície do líquido.

• Dessa forma, é possível determinar se um sólido flutuará ou afundará em um líquido, simplesmente conhecendo o valor de sua massa específica.

Exercício

• 1) Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 m³ está totalmente imerso dentro de um reservatório de água (ρH2O = 1.000 kg/m³), determine:

• a) Qual é o valor do peso do objeto? (utilize g = 10m/s²)

• b) Qual é a intensidade da força de empuxo que a água exerce sobre o objeto?

• c) Qual o valor do peso aparente do objeto quando imerso na água?

Exercício - Resolução

• a) Peso do Corpo: Pc = m . g

• Logo: Pc = 10 . 10 = 100 N

• b) Empuxo: E = ρL . VL . g • Logo: E = 1.000 ⋅ 0,002 . 10 = 20 N

• C) Peso Aparente: PA = Pc – E • Logo: PA = 100 - 20 = 80 N

Exercícios propostos

• 1) Um bloco cúbico de madeira com peso específico γ = 6.500N/m³, com 20 cm de aresta, flutua na água (ρH2O = 1.000 kg/m³). Determine a altura do cubo que permanece dentro da água.

• 2) Um bloco pesa 50 N no ar e 40 N na água. Determine a massa específica do material do bloco. Dados: ρH2O = 1.000kg/m³ e g = 10m/s².

• 3) Um corpo com volume de 2,0m³ e massa 3.000 kg encontra-se totalmente imerso na água, cuja massa específica é (ρH2O = 1.000 kg/m³). Determine a força de empuxo sobre o corpo.

PRÓXIMA AULA

• Cinemática dos Fluidos.

• Definição de Vazão Volumétrica.

• Vazão em Massa e Vazão em Peso.

Cinemática dos Fluidos

• É o ramo da mecânica dos fluidos que estuda o comportamento de um fluido em uma condição dinâmica (ESCOAMENTO).

• Cinemática dos fluídos é a mesma coisa que dinâmica dos fluidos?

• Enquanto a cinemática se preocupa em estudar e descrever geometricamente um movimento, sem se importar com sua causa, a Dinâmica faz justamente o que a cinemática deixa de lado, investigando e analisando as causas do movimento .

• Em resumo, são duas grandezas complementares, sendo uma preocupada com a consequência (posição, deslocamento, espaço percorrido, velocidade, aceleração, trajetória e estabilidade dos corpos) e a outra com a causa (forças e suas relações).

Métodos utilizados para estudar a cinemática dos fluidos

• Método de Euler e • Método de Lagrange

Quem foi Euler • Leonhard Euler nasceu em 15 de Abril de 1707 em Basel, na Suíça, e morreu em 18 de

Setembro de 1783 em São Petersburgo, na Rússia.

• Johann Bernoulli desde cedo descobriu o grande potencial de Euler para a matemática durante as aulas privadas que lhe dava a pedido do pai de Euler, um teólogo e pastor protestante.

• Entrou na universidade em 1720, com 14 anos de idade, recebendo seu primeiro mestrado aos dezessete anos.

• Protegido pelos Bernoulli, que o recomendaram aos reis da Russia e da Alemanha, Euler é considerado o maior matemático do século dezoito. Teve 886 trabalhos publicados, a maioria deles no final de sua vida, quando já estava completamente cego.

• Teve contribuições em várias áreas da ciência, incluindo dinâmica dos fluidos, teoria das órbitas lunares (estudo das marés) e mecânica, bem como em todas as áreas da matemática existentes naquela época.

• Em 1735, perdeu a visão de um de seus olhos e, logo após seu retorno à Rússia, a visão em seu outro olho começou a deteriorar.

• Euler sempre teve uma memória excepcional e era capaz de fazer enormes cálculos de cabeça, logo ele se preparou para sua futura cegueira aprendendo a escrever fórmulas em uma tábua e ditar matemática a seus filhos ou secretária.

• Ele foi cego pelos últimos 17 anos de sua vida e durante este tempo sua produtividade somente aumentou.

Quem foi Lagrange • Joseph-Louis Lagrange nasceu a 25 de Janeiro de 1736 em Turim, na Itália, e faleceu a 10 de

Abril de 1813 em Paris, França. Desde muito cedo que despertou interesse pela matemática.

• De 1.755 até 1.766 foi professor de geometria na Escola Real de Artilharia, em Turim, onde ajudou a fundar a Real Academia das Ciências, em 1.757.

• Em 1764, a Academia de Paris atribuiu-lhe um prémio pelas suas investigações sobre a Lua.

• Em 1766, Lagrange sucedeu Euler como diretor da Matemática na Academia da Ciência de Berlim.

• Em 1787, deixou Berlim e tornou-se membro da Academia da Ciência de Paris, onde permaneceu o resto da sua carreira.

• Em 1788, publicou "Mécanique Analytique", que continha todo o trabalho e investigações feitas no campo da mecânica desde Newton (1643 – 1727) e que se tornou notável pelo uso que fazia da teoria das equações diferenciais. Com esta obra, Lagrange conseguiu transformar a mecânica num ramo da análise matemática.

• Na última década do século XVII, Lagrange lecionou na École Polytechnique, escola que ele ajudou a fundar, trabalhou em sistemas métricos e investigou a base decimal.

• Foi nomeado por Napoleão para a Legião de Honra e depois, em 1808, Conde do Império.

• Esteve bastante ligado à evolução da Análise e foi considerado o maior matemático europeu de sua época.

• A ele devemos a notação utilizada até hoje y’ e f’(x)

Método de Euler

• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local.

• O movimento do fluido é descrito pela especificação completa das suas propriedades (pressão, densidade, velocidade) em função das coordenadas espaciais e temporais.

• Ou seja, obtém-se informações do escoamento em função do que acontece em pontos fixos do espaço.

• É o método preferencialmente utilizado para estudar o movimento dos fluidos devido à sua praticidade.

Método de Lagrange

• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a ao longo de toda sua trajetória real;

• Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como as propriedades da partícula variam em função do tempo.

• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;

• Para a engenharia normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.

O que é escoamento??

• É a mudança de forma de um fluído que foi submetido à ação de um esforço tangencial.

• FLUIDEZ: corresponde à capacidade de escoar. É uma característica inerente aos fluidos

Definições importantes

• Trajetória

• Linha de Corrente (Linha de fluxo)

• Tubo de corrente

• Linha de emissão (filetes)

Trajetória

• Linha traçada por uma dada partícula ao longo de seu escoamento

X y

z

Partícula no instante t1



Linha de Corrente

• Linha que tangencia os vetores velocidade de diversas partículas, umas após as outras

• Duas linhas de corrente não podem se interceptar (o ponto teria duas velocidades)

X y

z

Partícula 1 no instante t

Partícula 2 no instante t

Partícula 3 no instante t v1

v2

v3

Tubo de Corrente (tubo de fluxo)

• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

• A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida

Linha de Emissão (filete)

• Linha definida pela sucessão de partículas que tenham passado pelo mesmo ponto;

• A fumaça em forma de pluma que se desprende de uma chaminé permite visualizar de forma grosseira uma linha de emissão;

Ponto de Referência

• Classificação Geométrica;

• Classificação quanto à variação no tempo;

• Classificação quanto ao movimento de rotação;

• Classificação quanto à trajetória (direção e

variação).

Classificação do Escoamento

Quanto à geometria:

• Escoamento Tridimensional

As grandezas que regem o escoamento variam nas três

dimensões.

• Escoamento Bidimensional

As grandezas do escoamento variam em duas

dimensões ou são tridimensionais com alguma simetria.

• Escoamento Unidimensional

São aqueles que se verificam em função das linhas de

corrente (uma dimensão).


Quanto à variação no tempo:

– Permanente

As propriedades médias estatísticas das partículas fluidas contidas em um volume de controle permanecem constantes.

– Não Permanente

Quando as propriedades do fluido mudam com o decorrer do escoamento.


Escoamento Permanente e Não Permanente

Dependência com o Tempo

Não Permanente Permanente

0t

0

t

• Quanto à Variação da trajetória:

– Uniforme:

Todos os pontos de uma mesma trajetória possuem a mesma velocidade.

– Variado:

Os pontos de uma mesma trajetória não possuem a mesma velocidade.


• Quanto ao movimento de rotação (atrito): – Rotacional: A maioria das partículas

desloca-se animada de velocidade angular em torno de seu centro de massa;

– Irrotacional: As partículas se movimentam sem exibir movimento de rotação

Na maioria das aplicações em engenharia despreza-se a característica rotacional dos escoamentos.


• Quanto à compressibilidade:

– Compressível: as propriedades do fluido variam conforme a posição da partícula;

– Incompressível: as propriedades não mudam com a posição.


• Quanto à direção da trajetória:

– Escoamento Laminar: As partículas descrevem trajetórias paralelas. O

fluido flui em camadas ou lâminas. (Re < 2000)

– Escoamento turbulento: As trajetórias são caóticas. O escoamento das

partículas de fluido é tridimensional. As componentes da velocidade apresentam flutuações ao redor de uma média (Re > 2400).

– Escoamento de transição: Representa a passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa


Classificação do Escoamento Laminar flow vs turbulent flow (smooth vs

corrugated tubes).wmv

Laminar

Turbulento

Laminar flow vs turbulent flow (smooth vs corrugated tubes).wmv







Escoamento Laminar ou Turbulento?

• Condutos Forçados: São aqueles onde o fluido apresenta contato total com suas paredes internas.

A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular.

Classificação básica dos condutos

• Condutos Livres

São aqueles onde o fluido apresenta um contato

apenas parcial com suas paredes internas. Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico.

Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados.


• Condutos Livres


Como entender a Cinemática?

• A cinemática dos fluidos estuda o COMPORTAMENTO (movimento) dos fluidos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar em conta as forças que o produzem;

• Para entender esse comportamento é necessário primeiramente entender os conceitos de:

• Vazão Volumétrica; • Vazão em Massa; e • Vazão em Peso

Vazão Volumétrica

• Na hidráulica e na mecânica dos fluidos define-se vazão como sendo a relação obtida quando se divide um volume por uma unidade de tempo.

• A vazão pode ser determinada a partir do escoamento de um fluido através de determinada seção transversal de um conduto livre (canal, rio ou tubulação aberta) ou de um conduto forçado (tubulação com pressão positiva ou negativa).

• Isto significa que a vazão representa a rapidez com a qual um volume escoa.

• As unidades de medida adotadas são geralmente o m³/s, o m³/h, o l/h e/ou o l/s.

Calculo da Vazão Volumétrica

• A forma mais simples para se calcular a vazão volumétrica é apresentada a seguir:

• 𝑸𝒗 = 𝑽

𝒕

Onde:

• 𝑸𝒗 representa a vazão volumétrica, 𝑽 é o volume e 𝒕 o intervalo de tempo necessário para encher determinado reservatório.

Calculo da Vazão Volumétrica método experimental

• Um exemplo clássico para a medição de vazão é a realização do cálculo a partir do enchimento completo de um reservatório através da água que escoa por uma torneira aberta como mostra a figura.

• 𝑸𝒗 = 𝑽

𝒕

• Considere que ao mesmo tempo em que a torneira é aberta um cronômetro é acionado.

• Supondo que o cronômetro foi desligado assim que o balde ficou completamente cheio marcando um tempo t, uma vez conhecido o volume V do balde e o tempo t para seu completo enchimento, a equação é facilmente aplicável resultando na vazão volumétrica desejada.

Relação entre a Área e a Velocidade

• Outra forma para determinar matematicamente a vazão volumétrica é através do produto entre a área da seção transversal do conduto e a velocidade do escoamento neste conduto como pode ser observado na figura a seguir.

Relação entre a Área e a Velocidade

• Pela análise da figura, é possível observar que o volume do cilindro tracejado é dado por: 𝑽 = d . A

• Substituindo essa equação na equação de vazão volumétrica 𝑸𝒗 = 𝑽

𝒕 pode-se escrever

• 𝑸𝒗 = 𝒅 . 𝑨

𝒕

• A partir dos conceitos básicos de cinemática aplicados à física, sabe-se que a relação d/t

corresponde a uma velocidade, neste caso denominada velocidade do escoamento. • Portanto, a vazão volumétrica pode ser escrita da seguinte forma:

• 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨

• Onde 𝑸𝒗 representa a vazão volumétrica, 𝒗 é a velocidade do escoamento e 𝑨 é a área da seção transversal da tubulação.

Vazão em Massa e em Peso

• De modo análogo à definição da vazão volumétrica é possível definir as vazões em massa e em peso de um fluido.

• Essas vazões possuem importância fundamental quando se deseja realizar medições em função da massa e do peso de uma substância.

Vazão em Massa

• A vazão em massa é caracterizada pela massa do fluido que escoa em um determinado intervalo de tempo.

• Dessa forma tem-se que: Qm = 𝒎

𝒕 onde m representa a massa do fluido.

• Como • Tem-se que:

• E, portanto: Qm = 𝝆.𝑽

𝒕

• Ou Qm = ρ . 𝑸𝒗 • Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a vazão

em volume pela massa específica do fluido em estudo, o que também pode ser expresso em função da velocidade do escoamento e da área da seção do seguinte modo: Qm = ρ. 𝒗. 𝑨

• As unidades usuais para a vazão em massa são o kg/s ou o kg/h.

V

m

volume

massa

Vazão em Peso • A vazão em peso se caracteriza pelo peso do fluido que escoa

em um determinado intervalo de tempo.

• Assim, tem-se que: Qw = 𝑾

𝒕

Como W = m . g e m = ρ⋅V obtém-se que Qw = 𝝆.𝑽.𝒈

𝒕

e Qw = .𝑽

𝒕 Qw = . 𝑸𝒗

• Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a

vazão em volume pelo peso específico do fluido em estudo, o que também pode ser expresso em função da velocidade do escoamento e da área da seção do seguinte modo: Qw = . 𝑽.A

• As unidades usuais para a vazão em massa são o N/s ou o N/h.

EXERCÍCIO 1

• Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3 m/s e o diâmetro do tubo conectado ao tambor é igual a 30 mm.

EXERCÍCIO 1 - Resolução

Cálculo da vazão volumétrica:

• 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 𝑸𝒗 = 𝒗 . π . 𝒅𝟐

𝟒

• 𝑸𝒗 = 𝟎, 𝟑 . π .(𝟎,𝟎𝟑)𝟐

𝟒 𝑸𝒗 = 0,00021 m3/s = 0,21 l/s

Cálculo do tempo:

• 𝑸𝒗 = 𝑽

𝒕 t =

𝑽

𝑸𝒗

• t = 𝟐𝟏𝟒

𝟎,𝟐𝟏 t = 1014,22 s = 16,9 min

EXERCÍCIO 2

• Calcular o diâmetro de uma tubulação sabendo-se que pela mesma escoa água a uma velocidade de 6 m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de 12.000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.

EXERCÍCIO 2 - Resolução

Cálculo do tempo em segundos: • 1h=3.600s • 5min=300s • t = 3.600 + 300 + 49 = 3.949 s

Cálculo da vazão volumétrica:

• 𝑸𝒗 = 𝑽

𝒕 =

𝟏𝟐

𝟑.𝟗𝟒𝟗 𝑸𝒗 = 0,00303 m3/s

Cálculo do diâmetro: • 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨 𝑸𝒗 = 𝒗 .

π . 𝒅𝟐

𝟒

• d = 𝟒 . 𝑸𝒗

π .𝒗 d =

𝟒 . 𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟎𝟑

π .𝟔

• d = 0,0254 m = 25,4 mm

EXERCÍCIO PROPOSTOS

1) Uma mangueira é conectada em um tanque com capacidade de 10.000 litros. O tempo gasto para encher totalmente o tanque é de 500

minutos. Calcule a vazão volumétrica máxima da mangueira.

2) Calcular a vazão volumétrica de um fluido que escoa por uma tubulação com uma velocidade média de 1,4 m/s, sabendo-se que o diâmetro interno da seção da tubulação é igual a 5 cm.


3) Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a vazão de escoamento de um líquido é igual a 5 l/s. Para encher o reservatório totalmente são necessárias 2 horas. 4) No entamboramento de um determinado produto são utilizados tambores de 214 litros. Para encher um tambor levam-se 20 min. Calcule: a) A vazão volumétrica da tubulação utilizada para encher os tambores. b) O diâmetro da tubulação, em milímetros, sabendo-se que a velocidade de escoamento é de 5 m/s. c) A produção após 24 horas, desconsiderando-se o tempo de deslocamento dos tambores.


5) Um determinado líquido é descarregado de um tanque cúbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de diâmetro. A vazão no tubo é 10 l/s, determinar: a) a velocidade do fluído no tubo. b) o tempo que o nível do líquido levará para descer 20 cm. 6) Calcule a vazão em massa de um produto que escoa por uma tubulação de 0,3m de diâmetro, sendo que a velocidade de escoamento é igual a 1,0m/s. • Dados: massa específica do produto = 1.200 kg/m³ 7) Baseado no exercício anterior, calcule o tempo necessário para carregar um tanque com 500 toneladas do produto.


8) A vazão volumétrica de um determinado fluído é igual a 10 l/s. Determine a vazão mássica desse fluído, sabendo-se que a massa específica do fluído é 800 kg/m3. 9) Um tambor de 214 litros é preenchido com óleo de peso específico relativo 0,8, sabendo-se que para que isso ocorra são necessários 15 min. Calcule: a) A vazão em peso da tubulação utilizada para encher o tambor. b) O peso de cada tambor cheio, sendo que somente o tambor vazio pesa 100 N c) Quantos tambores um caminhão pode carregar, sabendo-se que o peso máximo que ele suporta é 15 toneladas.


10) Os reservatórios I e II da figura abaixo são cúbicos. Eles são cheios pelas tubulações, respectivamente em 100 s e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção A indicada, sabendo-se que o diâmetro da tubulação é 1m.

Próxima aula

• Escoamento Laminar e Turbulento

• Cálculo do Número de Reynolds

• Equação da Continuidade para Regime Permanente.

Escoamento laminar • Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo

de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas (daí o nome laminar) ou camadas cada uma delas preservando sua característica no meio.

• No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência.

• Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade.

Escoamento Turbulento • Ocorre quando as partículas de um fluido não se movem ao longo de trajetórias

bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias irregulares e com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida.

• A velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto do fluido e, consequentemente, as partículas do fluido descrevem trajetórias que variam de instante a instante.

• Este escoamento é muito comum na água, cuja viscosidade é relativamente baixa e se estabelece em velocidades relativamente altas.

Caracterização da Turbulência

A turbulência é uma característica do escoamento, não do fluido.

A turbulência é rotacional e tridimensional.

A turbulência é um fenômeno altamente dissipativo.

A turbulência é um fenômeno contínuo.

A turbulência é um fenômeno e, atualmente, estudar suas causas e consequências é imprescindível.

A turbulência acontece em altos números de Reynolds e tem um largo espectro de energia.

VISCOSIDADE • A viscosidade µ representa a resistência do líquido ao escoamento e, como a

maioria das propriedades dos líquidos, é causada pelas forças de atração intermoleculares;

• A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de coesão entre moléculas relativamente juntas.

• Desta maneira, nos LÍQUIDOS a viscosidade é inversamente proporcional à temperatura e diretamente proporcional à pressão. Nos GASES ela é diretamente proporcional à temperatura e à pressão.

• Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo que as moléculas passam umas junto das outras, menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e menor é a viscosidade.

• A unidade de viscosidade no Sistema Internacional de Unidades é o pascal-segundo (Pa·s), que corresponde a 1 N·s/m² ou 1 kg/(m·s).

• No sistema CGS a unidade de viscosidade é o “poise” (1 poise = 0,1 Pa.S) mas é mais utilizado o seu submúltiplo: o centipoise (cp) devido ao fato da água apresentar uma viscosidade de 1,0020 cp a 20 °C

• 1 poise = 100 centipoise = 1 g/(cm·s) = 0,1 Pa·s. • 1 centipoise = 1 mPa·s.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro

VISCOSIDADE

• O inverso de µ é chamado de fluidez (φ). • É frequente expressar a viscosidade em termos da

chamada viscosidade cinemática, µcin, que resulta do quociente da viscosidade dinâmica (ou absoluta) pela densidade, ρ;

• A unidade da viscosidade cinemática no SI é o (m²/s). No Sistema CGS é o stokes (abreviado S ou St), cujo nome é uma homenagem dos franceses George Gabriel Stokes. Às vezes se expressa em termos de centistokes (cS o cSt).

• 1 stokes = 100 centistokes = 1 cm²/s = 0,0001 m²/s. • 1cSt = 10-6 m2.s-1).

Visualização de Escoamentos Laminar e Turbulento em Dutos Fechados

LAMINAR

TURBULENTO

Fluxo laminar uniforme Fluxo laminar não uniforme Fluxo turbulento

Número de Reynolds

• O coeficiente, número ou módulo de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície.

• É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais, asas de aviões e perfis de automóveis.

• O seu nome é uma homenagem a Osborne Reynolds, um físico e engenheiro hidráulico irlandês que popularizou o conceito em 1883.

• O seu significado físico é um quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade.

Importância do Número de Reynolds

• A importância fundamental do número de Reynolds é a possibilidade de se avaliar o tipo de escoamento (a estabilidade do fluxo) podendo obter uma indicação se o escoamento flui de forma laminar ou turbulenta.

• O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais pelo uso de modelos reduzidos.

• Um exemplo comum é o túnel aerodinâmico onde se medem forças desta natureza em modelos de asas de aviões.

• Pode-se dizer que dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds for o mesmo para ambos.

Número de Reynolds em Tubos

• Em tubos, o número de Reynolds é obtido através da seguinte expressão:

Re = 𝝆 . 𝒗 . 𝑫

µ sendo:

ρ = massa específica do fluido

µ = viscosidade dinâmica do fluido

𝒗 = velocidade do escoamento

D = diâmetro da tubulação

Através da análise dimensional de diversos experimentos em dutos que utilizavam a água como fluido, Reynolds classificou os escoamentos em três categorias: Re < 2.000 - escoamento laminar 2.000 < Re < 2.400 - Escoamento de Transição. Re > 2.400 - Escoamento Turbulento.

Número de Reynolds em Perfis Aerodinâmicos

• Para aplicações em perfis aerodinâmicos, o número de Reynolds pode ser expresso em função da corda média aerodinâmica do perfil da seguinte forma:

• Re = 𝝆 . 𝒗 . cµ

sendo:

ρ = massa específica do ar

µ = viscosidade dinâmica do ar

𝒗 = velocidade do escoamento

C = corda média aerodinâmica do perfil

Atualmente se considera que: Re < 2.000 - escoamento laminar 2.000 < Re < 4.000 - Escoamento de Transição. Re > 4.000 - Escoamento Turbulento.

Valores Típicos - Viscosidade Dinâmica

Exercícios

1) Dada a Viscosidade Dinâmica da água (μ = 1,0030 × 10−3 Ns/m²) calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,05m/s.

Re = 𝝆 . 𝒗 . 𝑫

µ

Re = 𝟏𝟎𝟎𝟎 . 𝟎,𝟎𝟓 . 𝟎,𝟎𝟒

1,003 . 10−3

Re = 1.994 Escoamento Laminar

Exercícios

2) Determine o número de Reynolds para uma aeronave em escala reduzida sabendo-se que a velocidade de deslocamento é 𝒗 = 16 m/s para um vôo realizado em condições de atmosfera padrão ao nível do mar. Considere ρ = 1,225 kg/m³, 𝑪 = 0,35 m e μ = 1,7894x10-5 kg/ms.

Re = 𝝆 . 𝒗 . 𝑪

µ

Re = 𝟏,𝟐𝟐𝟓 . 𝟏𝟔 . 𝟎,𝟑𝟓

1,789 . 10−5

Re = 3,833 ⋅105

Exercícios Propostos

1) Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,2m/s.

2) Um determinado líquido, com ρ =1.200,00 kg/m³, escoa por uma tubulação de diâmetro 3 cm com uma velocidade de 0,1 m/s. Sabendo-se que o número de Reynolds é 9.544,35 determine qual a viscosidade dinâmica do líquido.


3) Acetona escoa por uma tubulação em regime laminar com um número de Reynolds de 1800. Determine a máxima velocidade do escoamento permissível em um tubo com 2 cm de diâmetro de forma que esse número de Reynolds não seja ultrapassado. 4) Benzeno escoa por uma tubulação em regime turbulento com um número de Reynolds de 5.000. Determine o diâmetro do tubo em mm sabendo-se que a velocidade do escoamento é de 0,2m/s. Obs.: Para a solução dos exercícios ver propriedades nas tabelas das slides 55 e 152.

Equação da Continuidade para Regime Permanente

• Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário) quando se observa, ao longo do tempo, um volume de controle previamente escolhido e as propriedades médias (massa, p, v e t) das partículas fluidas contidas nesse volume permanecerem constantes.


• Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente:


• A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um sistema e admite que ela é igual em ambas as secções, ou seja:

• Qm 1 = Qm2

• Como Qm = ρ. 𝒗. 𝑨

• Tem-se que ρ1 . 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = ρ2 . 𝒗𝟐 .

𝑨𝟐

• Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a mesma tanto na entrada quanto na saída.

• Portanto: ρ1 = ρ2

• E logo: 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐. 𝑨𝟐 = CONSTANTE

• A equação apresentada mostra que as velocidades são inversamente proporcionais as áreas, ou seja, uma redução de área corresponde a um aumento de velocidade e vice-versa.

• Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do sistema, a equação da continuidade pode ser generalizada por uma somatória de vazões na entrada e outra na saída, isto é:

• ∑ Qm e = ∑ Qm s para quaisquer fluidos.

Exercício 1

1) Para a tubulação mostrada na figura abaixo, calcule a vazão em massa, em peso e em volume e determine a velocidade na seção (2) sabendo-se que A1 = 10cm² e A2 = 5cm².

• Dados: ρ = 1.000kg/m³ e v1 = 1m/s.

Exercício 1 - Solução

• Aplicando a Equação da Continuidade entre os pontos (1) e (2).

• 𝒗𝟏. 𝑨𝟏 = 𝒗𝟐. 𝑨𝟐 • 1 . 10 = 𝒗𝟐

⋅ 5 • 𝒗𝟐

= 10 / 5 • 𝒗𝟐

= 2 m/s

Exercício 2

2) Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 l/s e um outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a 800kg/m³ com uma vazão de 10 l/s. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30cm².

Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e calcule também qual é a velocidade de saída.


• Aplicando a Equação da Continuidade:

• Qm1 + Qm2 = Qm3 • ( ρ1 . 𝒗𝟏

. 𝑨𝟏) + ( ρ2 . 𝒗𝟐 . 𝑨𝟐) = ρ3

. 𝒗𝟑 . 𝑨𝟑

• Vazão volumétrica: 𝑸𝒗 = 𝒗 . 𝑨

• Portanto: ( ρ1 .𝑸𝒗𝟏) + ( ρ2 .𝑸𝒗𝟐

) = ( ρ3 .𝑸𝒗𝟑 )

• Vazão volumétrica (entrada): 𝑸𝒗𝟏 = 0,02 m3 e 𝑸𝒗𝟐 = 0,01 m3

• Vazão volumétrica (saída): 𝑸𝒗𝟑 = 0,02 + 0,01 = 0,03 m3

• Massa específica da mistura: ( ρ1 .𝑸𝒗𝟏 ) + ( ρ2

.𝑸𝒗𝟐 ) = ( ρ3

.𝑸𝒗𝟑 )

• Massa específica da mistura: ( 1000 . 0,02 ) + 800 . 0,01 = ( ρ3 . 0,03 )

• Massa específica da mistura: ρ3 = (20 + 8) / 0,03 = 933,33 kg/m3

Exercício 3

• Uma mangueira de diâmetro 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros e leva um minuto para enchê-lo.

• A) Qual é a velocidade que a água passa pela mangueira

• B) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta a sua vizinha com a água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira?


A) A área da seção transversal da mangueira é dada por:

• A = π . r2

• A = π . (1)2 = π cm2

Para encontrar a velocidade de escoamento usa-se a relação A1.V1

• A1.V1 = 20 litros / min = 20 . 1000 cm3 / 60 s

• π . V1 = 333,33

• V1 = 106,1 cm/s

B) A taxa de escoamento (A1.V1) que se aproxima da entrada da mangueira deve ser igual à taxa de escoamento que deixa a mangueira (A2.V2), logo:

V2 = (A1.V1) / A2

V2 = (π.106,1) / π . (0,5/2)2

V2 = 1698 cm/s


1) Água é descarregada de um tanque cúbico com 3m de aresta por um tubo de 3cm de diâmetro. A vazão no tubo é de 7 l/s. Determine a velocidade de descida da superfície livre da água do tanque e calcule quanto tempo o nível da água levará para descer 15cm. Calcule também a velocidade de descida da água na tubulação.

2) Um determinado líquido escoa por uma tubulação com uma vazão de 5 l/s. Calcule a vazão em massa e em peso sabendo-se que ρ = 1350 kg/m³ e g = 10m/s².


3) Água escoa na tubulação mostrada com velocidade de 2m/s na seção (1). Sabendo-se que a área da seção (2) é o dobro da área da seção (1), determine a velocidade do escoamento na seção (2).

Exercícios Propostos 4) Calcule o diâmetro de uma tubulação sabendo-se que pela mesma escoa água com uma velocidade de 0,8m/s com uma vazão de 3 l/s. 5) Sabe-se que para se encher o tanque de 20m³ mostrado abaixo são necessários 1h e 10min, considerando que o diâmetro do tubo é igual a 10cm, calcule a velocidade de saída do escoamento pelo tubo.


6) Determine a velocidade do fluido nas seções (2) e (3) da tubulação mostrada na figura.

Dados: v1 = 3m/s, d1 = 0,5m, d2 = 0,3m e d3 = 0,2m.


7) Para a tubulação mostrada determine: a) A vazão e a velocidade no ponto (3). b) A velocidade no ponto (4). Dados: v1 = 1m/s, v2 = 2m/s, d1 = 0,2m, d2 = 0,1m, d3 = 0,25m e d4 = 0,15m.


8) Sabendo-se que Q1 = 2Q2 e que a vazão de saída do sistema é 10 l/s, determine a massa específica da mistura formada e calcule o diâmetro da tubulação de saída em (mm) sabendo-se que a velocidade de saída é 2m/s.

Dados: ρ1 = 790kg/m³ e ρ2 = 420kg/m³.

Equação da Energia para Fluidos Ideais.

• No estudo dos chamados fenômenos de transporte e determinadas aplicações da física, define-se que um fluido é dito perfeito ou ideal se o mesmo for incompressível (i.e. sua densidade ρ é constante) e se sua viscosidade for nula (μ = 0)

• Em dinâmica dos fluidos existem problemas que são facilmente resolvidos usando a hipótese simplificadora de um fluido ideal que não possua viscosidade.

• O fluxo ou escoamento de um fluido que se presume não ter viscosidade é chamado de fluxo invíscido ou escoamento invíscido.

• O fluxo de fluidos com baixos valores de viscosidade comporta-se em estreita proximidade com o fluxo invíscido em todas as posições, exceto perto das fronteiras (paredes do duto), onde a camada limite de fluido desempenha um papel significativo

Energia Associada a um Fluido

• A energia total de um fluido (H) corresponde à soma das três parcelas a seguir:

1) Energia Potencial (hipsocarga - EP): É parte da energia do sistema devida à sua posição no campo da gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR). 2) Energia Cinética (taquicarga -EC): É a parte da energia determinada pelo movimento do fluido. 3) Energia de Pressão (piezocarga - Epr): Corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido.


• A energia potencial (EP) é medida pelo trabalho que um sistema poderia realizar ao se deslocar de sua posição até o PHR.

• Considere a figura:

• Como Trabalho = Força x Deslocamento

• E a força, neste caso, é igual ao peso do sistema, então:

• EP = W = G.z = m.g.z


• Seja um sistema de massa 𝒎 e velocidade 𝒗 .

• A energia cinética (EC) é obtida pela expressão:

• EC = 𝒎.𝒗𝟐

𝟐


• A energia de pressão (EPr) corresponde ao trabalho das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido.

• Considere o tubo:

• Supondo que a Pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido na área A será F = P.A

• No intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de uma distância ds, produzindo um trabalho dW que é calculado assim:

• dW = F . ds, ou dW = P.A.ds = P.V • Logo: EPr = P.V ou, como

• EPr = 𝐏.𝐆

γ

V

G

Energia Total de um Fluido

• A energia total de um sistema em uma determinado ponto é dada pela equação:

• H = (m.g.z) + 𝒎.𝒗𝟐

𝟐 +

𝐏.𝐆

γ

Princípio de Conservação de Energia

• “No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante”

• Logo: (m.g.z1) + 𝒎.𝒗

𝟏𝟐

𝟐 +

𝑷𝟏.𝑮

γ = (m.g.z2) +

𝒎.𝒗𝟐

𝟐

𝟐 +

𝑷𝟐.𝑮

γ = Cte

Equação de Bernoulli

• Hipóteses de Simplificação:

• Regime permanente.

• Sem a presença de máquina (bomba/turbina).

• Sem perdas por atrito.

• Fluido incompressível.

• Sem trocas de calor.

• Propriedades uniformes nas seções.

Equação de Bernoulli

Pelo princípio da conservação de energia:

(m.g.z1) + 𝒎.𝒗

𝟏𝟐

𝟐 +

𝑷𝟏.𝑮

γ = (m.g.z2) +

𝒎.𝒗𝟐

𝟐

𝟐 +

𝑷𝟐.𝑮

γ

• Como G = m.g

G.z1 + 𝑮.𝒗

𝟏𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟏.𝑮

γ = G.z2 +

𝑮.𝒗𝟐

𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟐.𝑮

γ

Ou z1 + 𝒗

𝟏𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟏

γ = z2 +

𝒗𝟐

𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟐

γ

Exercício 1

• 1) Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de grandes dimensões mostrado na figura.

Dados: ρh20 = 1000 kg/m³ e g = 10m/s².


• Aplicação da Equação da Energia entre os pontos (1) e (2).

z1 + 𝒗

𝟏𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟏

γ = z2 +

𝒗𝟐

𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟐

γ

𝒗𝟏 = 𝟐. 𝒈. 𝒛𝟐

𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟏𝟎 . 𝟓 = 10 m/s

Exercício 2 Enunciado e resolução

• FT MODULO 05 Equação de Bernoulli Ex Resolvido 01avi.wmv

FT MODULO 05 Equação de Bernoulli Ex Resolvido 01avi.wmv





• 1) Determine a altura da coluna da água no reservatório de grandes dimensões mostrado na figura.

Próxima aula

• Tubo de Venturi

• Tubo de Pitot

• Equação de Energia na presença de uma máquina

TUBO DE VENTURI

• É um aparato criado por Giovanni Battista Venturi (1746-1822) para medir a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido incompressível através da variação da pressão durante a passagem deste líquido por um tubo de seção mais larga e depois por outro de seção mais estreita.

• Este efeito é explicado pelo princípio de Bernoulli e pelo princípio da continuidade da massa.

• Se o fluxo de um fluido é constante, mas sua área de escoamento diminui, então, necessariamente, sua velocidade aumenta e, consequentemente, sua pressão diminui.

• Ligando um manômetro às duas ou a três secções do tubo pode ser medida a diminuição da pressão e pode ser calculada a velocidade do fluxo através da garganta.

TUBO DE VENTURI

• Algumas das principais razões para utilizar elementos de obstrução para se medir vazão são:

. Podem ser usados para medir qualquer fluido.

• . Não há nenhum elemento mecânico imerso no escoamento.

• . Não há limite de vazão a ser medida, ou seja, a tubulação pode ter qualquer diâmetro.

TUBO DE VENTURI

Velocidade do fluido dentro do cano na seção 1:

ρF

ρL

h

Exercício

• Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. Sabendo-se que A1 = 2,5A2 e que d1 = 10cm. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.

É um dos mais precisos instrumentos de medida de velocidade de fluxos, com aplicações importantes nos diversos ramos da engenharia.

Tubo de Pitot

EQUAÇÃO DE ENERGIA NA PRESENÇA DE UMA MÁQUINA

O QUE É UMA MÁQUINA?

• Uma máquina em uma instalação hidráulica é definida como qualquer dispositivo que quando introduzido no escoamento forneça ou retire energia do escoamento, na forma de trabalho.

• BOMBA HIDRÁULICA: máquina hidráulica que recebe energia de outra máquina (ex: motor).

• MÁQUINA HIDRÁULICA MOTRIZ OU TURBINA: máquina hidráulica que fornece energia mecânica para ser transformada em energia elétrica.

EQUAÇÃO DA ENERGIA NA PRESENÇA DE UMA MÁQUINA

• Considere a seguinte situação:

• H1 + HM = H2

• Logo: z1 + 𝒗

𝟏𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟏

γ + HM = z2 +

𝒗𝟐

𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟐

γ

POTÊNCIA DE UMA BOMBA

• Se a máquina for uma bomba, ela fornece energia ao escoamento.

• A potência de uma bomba é calculada pela equação apresentada a seguir.

• γ é o peso específico do fluido • Q é a vazão • NB é a potência da bomba. • HB é a carga manométrica da bomba. • ηB é o rendimento da bomba.

POTÊNCIA DE UMA TURBINA

• Se a máquina for uma turbina, ela retira energia do escoamento.

• A potência de uma turbina é calculada pela equação apresentada a seguir.

• NT = γ⋅ Q⋅ HT . ηT

• NT é a potência da turbina.

• HT é a carga manométrica da turbina.

• ηT é o rendimento da turbina.

EXERCÍCIO 1

1) Determine a potência de uma bomba com rendimento de 75% pela qual escoa água com uma vazão de 12 litros/s.

Dados: HB = 20m, 1cv = 736,5W, ρh20 = 1000kg/m³

• NB = (10000 . 12.10-3 . 20) / 0,75

• NB = 3200 W

• NB = 3200 / 736,5 = 4,34 CV

EXERCÍCIO 2

2) O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água com uma vazão de 10 litros/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e calcule sua potência sabendo-se que η = 75%.

Dados: γh20 = 10.000N/m³, Atubos = 10cm², g = 10m/s².

Exercício 2 - Solução • Carga manométrica da máquina: H1 + HM = H2

z1 + 𝒗

𝟏𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟏

γ + HM = z2 +

𝒗𝟐

𝟐

𝟐𝒈 +

𝑷𝟐

γ

Logo: HM = 𝒗

𝟐𝟐

𝟐𝒈 + z2 - z1

Calculo da velocidade: Q = 𝒗. A Portanto 𝒗𝟐 = Q / A2

• 𝒗𝟐 = (10.10-3) / (10.10-4) = 10 m/s

• HM = 𝟏𝟎𝟐

𝟐.𝟏𝟎 + 5 – 20 = - 10 m

• Potência da Turbina: NT = γ⋅ Q⋅ HT . ηT

• NT = 10000 . 10.10 -3. 10 . 0,75 • NT = 750 W = 1,01 CV

É TURBINA!!!!!!


1)Determine a potência de uma turbina pela qual escoa água com uma vazão de 1200 litros/s. Dados: HT = 30m, η = 90%, ρh20 = 1000kg/m³ e g = 10m/s². 2) A figura a seguir mostra parte de uma instalação de bombeamento de água. Considerando que a vazão é igual a 8 litros/s, que a tubulação possui o mesmo diâmetro ao longo de todo o seu comprimento e que os pontos (2) e (3) estão na mesma cota, determine a diferença de pressão entre a saída e a entrada da bomba. Dados: NB = 4cv, 1cv = 736,5W, η = 70%, ρh20 = 1000kg/m³ e g = 10m/s².


3) O reservatório mostrado na figura possui nível constante e fornece água com uma vazão de 15 litros/s para o tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e calcule sua potência sabendo-se que η = 75%. Dados: γh20 = 10000N/m³, Atubos = 10cm², g = 10m/s².

mecflu

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