Mecânica dos Fluidos

Conservação da Energia(Equação de Bernoulli)

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Programa da aula

Revisão Equação da Conservação da Energia

Equação de Bernoulli;Exercícios.

Conservação da Energia

Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:

Para deduzir a formulação para o volume de controle da conservação da quantidade de movimento, fazemos:

SCVC

Sistema dAun̂dVdt

d

Dt

DN

em

EEN

e

EN

Conservação da Energia

SC

2

u

VC

2

uSistemadAnVgz

2

Vedgz

2

Ve

tDE

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema

Conservação da Energia

Os estados inicial e final de energia de um sistema dependem do calor adicionado ou retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo o sistema:

dWdQdE

dQ = Calor agregado ou retirado ao sistemadW = Trabalho realizadodE = Variação da Energia

Conservação da Energia

dt

dW

dt

dQ

dt

dE

Sistema

A equação pode ser escrita em termos de taxas de energia, calor e trabalho:

Sistema

0dt

dW 0

dt

dQ

0dt

dW 0

dt

dQ

Conservação da Energia

dt

dQ

Examinando cada termo:

dt

dW

Condução, convecção e radiação(considerado como um termo único)

Realizado por um eixo, pressão e tensõesViscosas (o trabalho das forças gravitacionaisé incluido na energia potencial)

Conservação da Energia

Trabalho realizado:

dt

dWeixo Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquinaex.: bomba, turbina, pistão

dt

dWpressãoTrabalho devido às forças de pressão

VFdt

ldFlim

dt

dWldFdW 0t

pressãopressão

dt

dW .viscTrabalho devido às forças viscosas

dAVdt

dW

SC

gtan.visc

Conservação da Energia

SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ

Conservação da Energia em um volume de controle

Variação da Energia com

o tempo no V.C.

Fluxos de entrada e saída de Energia através da S.C.

Variação da Energia no

Sistema

SC

2

u

VC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Vedgz

2

Ve

tdt

dW

dt

dQ

Casos Especiais Escoamento permanente:

0

SC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ

Casos Especiais Volume de controle não deformável:

EntradaSaída

Volume de controle não deformável

Taxa de Energiaque sai

Taxa de Energiaque entra

entra

2

u

sai

2

u

SC

2

u Qp

gz2

VeQ

pgz

2

VedAnV

pgz

2

Ve

Equação de Bernoulli

Caso particular da Equação da Conservação de Energia;

Aplicada à um tubo de corrente.

Tubo de Corrente (tubo de fluxo)

No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente definidas por suas partículas fluidas

A superfície constituída pelas linhas de corrente formada no interior do fluido é denominada de tubo de corrente ou veia líquida

Equação de Bernoulli

Partindo da Equação da Conservação de Energia, considerando escoamento permanente:

SC

2

ueixo dAnV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ

Equação de Bernoulli

Em um tubo de corrente não deformável (escoamento laminar):

111

1

2

u222

2

2

ueixo AV

pgz

2

VeAV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ

Equação de Bernoulli

Dividindo todos os termos por:

e considerando ρ constante:

1

2

u

2

2

ueixo p

gz2

Ve

pgz

2

Ve

dm

dW

dm

dQ

dt

dmAVm

111

1

2

u222

2

2

ueixo AV

pgz

2

VeAV

pgz

2

Ve

dt

dW

dt

dQ

Equação de Bernoulli Reorganizado a equação:

Dividindo por g:

dm

dW

dm

dQeegz

2

Vpgz

2

Vp eixo2u1u2

22

2

21

21

1

1

dm

dW

dm

dQee

g

1z

g2

Vpz

g2

Vp eixo2u1u2

22

2

21

21

1

1

Altura de pressão

Altura de velocidade

Cota

Decréscimo líquido na energia mecânica do

sistema (transformado em perdas)

Trabalho de um eixo por unidade de peso

Equação de Bernoulli A equação pode ser escrita em termos de

cotas:

eixoL21 HHHH

Energia em 1

Energia em 2

Energia Perdida por atrito e calor

Energia fornecida (+) ou retirada (-) por

um eixo

Equação de Bernoulli modificada

Equação de Bernoulli Considerando as seguintes suposições:

Escoamento permanente e laminar; Não há perdas por atrito; Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho; Não há transformação de calor; A energia interna é constante em dois pontos.

Equação de Bernoulli“A energia ao longo de um tubo de corrente é

constante”

constzg2

Vpz

g2

Vp2

22

2

21

21

1

1

cinética aargc2g

v

pressão de aargcp

potencial aargcz

2

É importante saber que:

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli

Equação de Bernoulli Linha de energia

Plano de referência

Plano de Energia

Linha das pressões

Sem escoamento

1

2 3

hh h

Energia Total da Água (H)(Sem escoamento)

Energia Total da Água (H)(Com escoamento)

Plano de referência

Plano de Energia

Linha das pressões

1

2 3

h1h2 h3

H1 = H2 = H3 = CONSTANTE

Energia Total da Água (H)(estrangulamento da seção)

1

2 3

p2 = h2. p3 = h3.

h1

V22/2gV32/2g

H1 = H2 = H3 = CONSTANTE

Efeito da perda de carga

A perda ao longo da canalização é uniforme em qualquer trecho de dimensões constantes, independente da posição da tubulação. A perda de carga é uma perda de energia do sistema devido a transformação de Energia Mecânica para Térmica causada pelo atrito (interno e contato com superfícies sólidas).

Plano de energia

Plano de referência

H HfL

Exercício

Exercício

Exercício Calcule a força exercida no cotovelo redutor (Vol = 0,5 l) devido ao escoamento, para um escoamento permanente (Q=20 l/s) e com perdas de energia desprezíveis.

1

2

θ

V1

V2

D1 = 150 mm

D2 = 100 mm

10 cm

65 cm