mecânica a - prec - 2011
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Prova de recuperação de Mecânica A (Mecânica Vetorial) de 2011TRANSCRIPT
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ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO Departamento de Engenharia Mecnica
PME 2100 Mecnica A Prova de Recuperao - Durao 110 minutos 14 de fevereiro de 2012
Questo 1 (3,5 pontos). A polia de raio L/2 ligada barra delgada AC de comprimento 2L atravs de uma articulao em C. Um fio flexvel e inextensvel passa
pela polia e tem uma de suas extremidades presa barra
por uma argola D e a outra presa a um bloco de peso P. A
estrutura vinculada a uma articulao em A e a uma vertical BE, de comprimento L. Considerando a barra, a
polia e o fio com pesos desprezveis, pedem-se:
(a) os diagramas de corpo livre das barras e da polia; (1,5 ponto) (b) as reaes vinculares em A; (1,0 ponto) (c) as foras na barra BE. (1,0 ponto)
Questo 3 (3,5 pontos). Os discos homogneos de centros A e B, raios iguais a r e massas mA= m e mB =2m, respectivamente,
esto ligados entre si por uma barra AB de massa desprezvel,
conforme indicado na figura. Sabendo que os discos rolam sem
escorregar, descendo uma uma rampa que faz um ngulo com
a horizontal, pedem-se:
(a) os diagramas de corpo livre dos discos de centros A e B; (b) as foras de atrito atuantes nos discos de centros A e B; (c) a fora atuante na barra AB. Pontuao: a: 1,0; (TMB+TMA: 1,0); Vnculos cinemticos: 0,5; b+c: 1,0
Questo 3 (3,0 pontos). Uma placa plana gira em torno do eixo fixo vertical OO com velocidade angular & constante ao mesmo tempo que transporta uma barra AB,
de comprimento 2 l, vinculada por meio de um pino A situado a uma distncia l do
eixo OO. (Portanto, a barra somente pode se mover no plano da placa). Em um dado instante a barra AB forma um ngulo com a vertical e apresenta velocidade
angular & e acelerao angular && . Utilizando a base kjiOrrr
solidria placa,
determinar, para esse instante:
(a) os vetores rotao relativa e de arrastamento da barra AB; (0,5 ponto) (b) as velocidades relativa e de arrastamento do ponto B; (1,0 ponto) (c) os vetores acelerao rotacional relativa, de arrastamento e complementar (ou de Rsal) da barra AB. (0,5 ponto) (d) as aceleraes relativa, de arrastamento e complementar (ou de Coriolis) do ponto B. (1,0 ponto)
A D C
L L 2L
P
B
E
ir
O
O
A
B jr
kr
l
2l h
A
B r
r
g m
2m
-
RESOLUO
QUESTO 1. Os diagramas de corpo livre da polia e das barras so apesentados nas figuras abaixo:
Resposta (a) Aplicando-se as equaes de equilbrio polia, tem-se:
PTrPrTM Cz === 00
23
23030cos0 PHTHTHF CCCx ====
23030sin0 PVPTVF CCy ===
Aplicando-se as equaes de equilbrio barra AC, tem-se:
( ) )(2
5022
32
0230sin0 compressoPFLPLPLFLVLTFM BEBECBEAz ==+=+=
002
323030cos0 ==+=+= AACAx H
PPHHTHF
230
23
25
2030sin0 PVPPPVVFTVF AACBEAy ==++=++=
Resposta (b)
QUESTO 2.
Os diagramas de corpo livre dos discos de centros A e B so apresentados na figura abaixo:
Resposta (a)
Para calcular as foras de atrito atuantes nos contatos dos discos com o plano inclinado, bem como a fora atuante na barra AB, aplicaremos os teoremas do movimento do baricentro e do momento da quantidade de movimento.
Para o disco de centro A, tem-se:
11 sin mamgTF =+ (1) 0cos1 = mgN (2)
&&&22 1
2
1mrFmrJrF Az === (3)
Para o disco de centro B, tem-se:
22 2sin2 mamgTF =++ (4)
A
B T T
mg
2mg
N1
N2
F1
F2 ,&
,&
ar
ar
P
T VC
HC
VA
HA
T HC
VC
FBE
30
FBE
FBE
A C
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ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO Departamento de Engenharia Mecnica
0cos22 = mgN (5)
&&& mrFmrJrF Bz === 22
2 22
(6)
Alm disso, as equaes vinculares da Cinemtica fornecem:
raaa &=== 21 (7)
Substituindo-se (7) e (3) em (1) e (7) e (6) em (2), obtm-se:
sin2
3sin
2mgTmrrmmgTmr +==+ &&& (8)
sin232sin2 mgTrmrmmgTmr +==++ &&& (9)
Adicionando-se (8) e (9), resulta:
r
gmgmrmr
3sin2
sin332
3 ==
+ && (10)
Substituindo-se (10) em (9) obtm-se:
0sin23sin23 =+= TmgTr
gmr
Resposta (b)
Substituindo-se (10) em (3) e em (6), obtm-se:
3sin
3sin2
2 11 mgF
r
gmrF ==
3sin2
3sin2
22 mgF
r
gmrF ==
Resposta (c)
QUESTO 3.
O vetor rotao relativa da barra AB : irelr&
r = O vetor rotao de arrastamento da barra AB : karr
r&
r = Portanto, o vetor rotao absoluta da barra AB : ikabs
r&
r&
r += Resposta (a)
A velocidade relativa do ponto B dada por: ( ) ( ) ( )kjkjiABVV relrelArelB rrl&rrlr&rrrr sincos2cossin20,, +=+=+=
A velocidade de arrastamento de B dada por: ( ) ( )[ ] ( )ABOAVABVV arrarrOarrarrAarrB ++=+= rrrrrr ,, ( ) ( ) ( )iiikjkkhjkV arrB rl&rl&rl&rrlr&rrlr&rr sin21sin2cossin20, +==+++=
Portanto, a velocidade absoluta de B : ( ) kjiV absB rl&rl&rl&r sin2cos2sin21, +++=
Resposta (b)
-
O vetor acelerao rotacional relativa da barra AB : irelr&&&r =
O vetor acelerao rotacional de arrastamento, : 0r
&r=arr
O vetor acelerao rotacional complementar, : jikrelarrcr&&
r&
r&
rr&r === Portanto, o vetor acelerao rotacional absoluta, : jiabs
r&&
r&&&r +=
Resposta (c)
A acelerao relativa do ponto B : ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]kjiikjiABABaa relrelfixokjiOrelrelArelB rrlr&r&rrlr&&rrr&rrr rrr cossin2cossin20,, ++=++=
( ) ( )kjkjjka relB r&&&ls&&&lr&ls&lr&&lr&&lr cossin2sincos2cos2sin2cos2sin2 2222, ++=++=
A acelerao de arrastamento do ponto B : ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]ABaABABaABABaa arrarrarrAarrarrarrAarrarrarrarrAarrB +=++=++= rrrrrrrrr&rrr ,,,, 0
Mas ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] jkhjkkOAkkOAOAOAaa arrarrarrOarrA rl&rrlr&r&r&r&rrrr&rrr 2, 00 =+=++=++= ( )[ ] ( ) jjjkjkkja arrB rl&rl&rl&rrlr&r&rl&r sin21sin2cossin2 2222, +==+=
A acelerao complementar do ponto B : ( ) ikjkVa relBarrcB rl&&rrl&r&rrr cos4sincos222 ,, =+==
Portanto, a acelerao absoluta do ponto B : ( ) ( )[ ] ( )kjia absB r&&&lsl&&&&rl&&r cossin2sin21sincos2cos4 222, ++++= Resposta (d)