mecânica a - prec - 2009
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Prova de recuperação de Mecânica A (Mecânica Vetorial) de 2009TRANSCRIPT
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PME 2100 Mecnica A Prova de Recuperao - Durao 100 minutos 5 de fevereiro de 2010 - GABARITO
1 (3 pontos) Considere uma barra rgida, de comprimento 3a e peso desprezvel, articulada sem atrito em A. Sobre esta barra apia-se um disco, de centro C, raio r e peso P, que est articulado sem atrito em B. Sabendo que o coeficiente de atrito entre a barra e o disco = 0,5, determine em funo de P os valores mximo e mnimo de Q compatveis com o equilbrio do sistema.
Soluo: Caso 1 Diagramas de corpo livre (0,5 pontos),
Equao de equilbrio, momento, Disco 00 =+= RPRFRNM atB
Equao de equilbrio, momento, Barra QNaNaQM A 3030 ===
(0,5 pontos) No limite:
23
2Q
FNFNF atatat === (0,5 pontos)
Substituindo: 00 =+= RPRFRNM atB
0290
233 ==+ PQRPRQRQ
92PQ =
(0,5 pontos)
Caso 2 Diagramas de corpo livre
Equao de equilbrio, momento, Disco 00 == RPRFRNM atB
Equao de equilbrio, momento, Barra QNaNaQM A 3030 ===
No limite:
23
2Q
FNFNF atatat ===
Substituindo: 00 == RPRFRNM atB
02
302
33 == PQQRPRQRQ
32PQ =
(1 ponto)
Portanto, para o equilbrio:
32
92 PQP
-
2 (3 pontos) - Na figura os discos concntricos so solidrios. A barra AB move-se horizontalmente com velocidade constante rv . No h escorregamento em D. Um fio, flexvel e inextensvel, enrolado no disco menor e sua extremidade E tem velocidade absoluta igual a 2rv como mostrado na figura. Adotando como referencial mvel a barra AB e utilizando os versores ( , , )r r ri j k determine: a) as velocidades relativa e absoluta do ponto D; b) o vetor de rotao absoluta ( r ) dos discos; c) o CIR (Centro Instantneo de Rotao) dos discos; d) as aceleraes relativa, de arrastamento, de Coriolis (complementar) e absoluta do ponto D do disco.
3rr
C
DA Bv
2vi
j E
Soluo: a) Velocidade relativa do ponto D: 0
,
rr=rDv .
Velocidade absoluta do ponto D: ivvDrr
= (0,5 pontos) b) A velocidade de E a mesma velocidade do ponto do disco em contato com o fio. Usando a
expresso de Poisson:
( ) kr
v
r
vjrkvivivv DErrrrrsrr
43
43422 ==+== (0,5 pontos)
c) A velocidade do CIR nula. Usando a expresso de Poisson:
( ) ( ) jCIRDkr
vivCIRDvv CIRDrrrrrr
=+=43
.
A soluo da equao vetorial resulta ( ) jrDCIR s34
= . (0,5 pontos)
d) Acelerao relativa do ponto D jra rDrr 2
,3= . (0,5 pontos)
Acelerao de arrastamento do ponto D 0,
rr=aDa . (0,5 pontos)
Acelerao complementar do ponto D 0,
sr=cDa . (0,5 pontos)
Acelerao absoluta do ponto D jraaaa cDaDrDDrrrrr 2
,,,3=++=
-
3 (4 pontos) - Um binrio de momento M aplicado a um cilindro de raio R e massa m. O coeficiente de atrito entre o cilindro e a superfcie e acelerao da gravidade g. Considerando que o cilindro parte do repouso, determine a acelerao angular do cilindro & para os seguintes casos: a) O cilindro rola e escorrega. b) O cilindro rola sem escorregar. c) Considerando o caso do cilindro que rola sem escorregar, e sabendo que o momento M constante, calcule a energia cintica do cilindro e o trabalho do momento M, decorridos t segundos aps a partida, lembrando que o sistema parte do repouso.
Dado o momento de inrcia do cilindro com relao a um eixo de direo normal ao plano da figura e que passa por pelo seu baricentro G:
2
2mRJG =
.
Soluo:
Sendo F a fora de atrito e N a reao normal da superfcie. a) Rola e escorrega - Teorema do Momento Angular com plo em G
( )2
2mR
mgRMmgNFFRMJ
MH
G
ExtGG
=
==
=
=
&
&
r&r
(1,5 pontos) b) Rola sem escorregar Teorema do Momento Angular com plo em C
2
2
32
23
0
mRM
MmR
MH
v
ExtCC
c
=
=
=
=
&
&
r&r
rr
(1,0 pontos)
c) Do item anterior: 23
2mRM
=&
Como M constante, e o cilindro parte do repouso: ( ) t
mRM
t 232
= (0,5 pontos) Energia cintica:
( ) ( ) ( ) 2222
2
22
22
2222
62
32
23
21
23
21
221
21
21
21
mRtM
tEtmRMmRmRmRRmJmvtE GG =
==+=+= (0,5
pontos) Trabalho do momento M: como apenas o momento realiza trabalho e o sistema parte do repouso, pelo TEC:
( ) ( ) ( ) 222
0 62
mRtM
tEtEtW == (0,5 pontos)
g
R
C
G
M