Módulo 1 – Conjuntos

Noção de conjuntos A noção de conjuntos em matemática, é a

mesma que a noção de conjunto que se tem no dia a dia, ou seja, conjunto, em matemática, é um agrupamento de “coisas” que possuem uma característica em comum.

Exemplo: Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8,... Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira.

Um conjunto é formado por elementos. Entre elementos e conjuntos podemos determinar duas relações. Essas relações serão descritas a seguir. Relações de Pertinência

Dizemos que se o elemento x está dentro de um conjunto A, então este elemento x pertence ao conjunto A. Matematicamente temos: x A. Mas, se um elemento x não está dentro de um conjunto A, dizemos que este elemento não pertence ao conjunto A. Matematicamente, temos: x Conjunto universo, unitário e vazio

Conjunto universo Considere a seguinte situação:

Uma empresa de consultoria foi contratada para fazer um estudo sobre a faixa salarial dos funcionários de uma indústria. Para isso, é necessário que a empresa conheça o universo em que ela realizará seu estudo, ou seja, o conjunto ao qual os funcionários pertencem. Esse conjunto pode ser considerado como conjunto universo. Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado por todos os elementos utilizados para estudar uma situação.

Por exemplo, ao resolver a equação x² = 4, considerando como conjunto universo U tal que U é o conjunto dos números naturais, encontramos uma única solução: x = 2

Agora, se considerarmos U como o conjunto dos números inteiros, a equação terá duas soluções: x = −2 ou x = 2 Conjunto unitário

Considere o conjunto C = {x | x é um número natural primo e par}. Como o único número natural primo e par é o 2, pois os outros números naturais pares são divisíveis por 2, o conjunto C é formado por um único elemento. Chamamos esse conjunto de conjunto unitário. Podemos representar o conjunto C por: C = {2} Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento. Conjunto vazio

Considere o conjunto B = {x | x é um número primo par maior que 5}. Como não existe nenhum número primo par maior que 5, o conjunto B não

possui nenhum elemento. Nesse caso, podemos chamar esse conjunto de conjunto vazio. Conjunto vazio, cuja notação é Ø ou { }, é o conjunto que não tem elementos. Representação de um conjunto

Podemos representar os conjuntos utilizando três formas: • Levando em consideração uma propriedade

que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam;

• Enumerando os elementos; • Desenhando uma figura (diagrama de Venn).

Exemplos: Vamos representar de diferentes formas o

conjunto A formado pelos elementos 1, 3, 5, 7 e 9: • Considerando uma propriedade que todos os

elementos do conjunto, e somente eles, verificam:

A = { x | x é um número ímpar menor que 10} (Lemos: “x tal que x é um número ímpar menor

que 10”.) • Enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9} • Utilizando o Diagrama de Venn:

Igualdade de conjuntos Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais (A = B) se e somente se todos os elementos de A também forem elementos de B. Porém, se o conjunto A tem um elemento que não pertence ao conjunto B, dizemos que A é diferente de B (A≠B). Subconjunto de um conjunto Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem a B. Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Sendo assim, podemos afirmar que A é

subconjunto de B, já que todos os elementos de A, também pertencem a B. Para indicar a relação entre os conjuntos A e B,

usamos a notação: A B (Lemos: “A está contido em B”.)

Como o conjunto A está contido em B, também dizemos que B contém A. Usando notação: B ⊃ A (Lemos: “B contém A”.)

Se um conjunto A não é subconjunto de B,

afirmamos que A não está contido em B. Indicamos

por: A ⊃ B. Por exemplo, considere os conjuntos abaixo: A = {1, 2, 3, 7} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {0}

A ⊄ B C ⊄ B C ⊄ A

Operações com Conjuntos União de conjuntos Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {0, 2,

4, 6}. Unindo em um conjunto C os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao B, temos:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Dizemos que C é o conjunto resultante

da união de A e B e indicamos por: A B = C (Lê-se: “A união B é igual a C”.). Assim,

definimos a união de conjuntos como: Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o

conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} Intersecção de conjuntos

Considere A = {x | x é um número natural menor que 8} e B = { x | x é um número natural par menor que 10}. Se formarmos um conjunto C com os elementos comuns a A e a B, ou seja, com elementos que pertencem tanto a A quanto a B, obteremos: C = {0, 2, 4, 6}

Dizemos que C é o conjunto resultante da intersecção de A e B e indicamos por: A B = C (Lemos: “a intersecção de A e B é igual a C, ou A inter B é igual a C”.). Assim, podemos definir a intersecção como:

Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B.

A ⋂ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} Observação: Quando A ⋂ B = Ø, dizemos

que A e B são conjuntos disjuntos. Diferença de conjuntos

Considere os conjuntos: A = {x | x é um número natural e está entre 20 e

30} e B = {x | x é um número primo menor que 30} Podemos formar um conjunto D com os

elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. Dizemos que o conjunto D é a

diferença entre A e B. Listando os elementos do conjunto D, temos: D = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}. Definimos então a diferença de conjuntos, como:

Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B} Complementar de um conjunto

Considere agora dois conjuntos, A e B, tais que B ⊂ A. Chamamos de complementar do conjunto B em relação a A o conjunto dado

por A − B, que indicamos por . Assim, podemos definir o complementar de um

conjunto como sendo:

Matematicamente, temos:

Observação: O complementar de um

conjunto A em relação ao conjunto universo U também pode ser escrito com a notação AC. Aplicação das operações com conjunto

Em alguns problemas que envolvem a noção de conjuntos, especialmente aqueles que se referem a pesquisas, não importa saber quais elementos pertencem a um ou a outro conjunto, mas sim estabelecer o número de elementos de cada conjunto. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos pela aplicação das operações com conjuntos. Vamos analisar o que ocorre com o número de elementos de um conjunto resultante de algumas operações.

No quadro abaixo, considere as seguintes representações: • A e B são dois conjuntos finitos quaisquer; • n(A) é o número de elementos do conjunto A; • n(B) é o número de elementos do conjunto B.

Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos números naturais: A origem dos números naturais está associada à necessidade de contagem.

O conjunto dos números naturais tem infinitos

elementos e é indicado por: {0, 1, 2, 3, …}. Todo número natural pode ser associado a um

ponto da reta. Para representar o subconjunto dos números

naturais sem o zero, utilizamos a notação: {1, 2, 3,...}

Obs.: Em geral, o asterisco junto ao símbolo de um conjunto significa que o elemento zero foi retirado desse conjunto.

No conjunto dos números naturais, são definidas as operações de adição e de multiplicação, nas quais verificamos que quaisquer dois números naturais somados ou multiplicados resultam em um número natural. Mas se efetuarmos a subtração de dois números naturais, nem sempre o resultado será um número natural. Subtraindo, por exemplo, 78 de 73, a diferença será −5, e −5 ∉ . Conjunto dos Números Inteiros ℤ

Se acrescentarmos os números negativos aos naturais, formamos o conjunto de números ainda maior que o conjunto dos naturais e que recebe do nome de conjunto dos números inteiros, representado por:

ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} Os números inteiros também podem ser

representados em uma reta ordenada, assim como a maioria dos conjuntos.

No conjunto dos números inteiros, dizemos que dois números são opostos ou simétricos, quando eles possuem mesmo valor absoluto (desconsiderando o seu sinal) e sinais opostos, por exemplo: 1 e -1 são opostos.

O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros: ⊂ ℤ

Algumas notações especiais: • Conjunto dos inteiros não nulos: ℤ* = {…, −2,

−1, 1, 2, …} • Conjunto dos inteiros não negativos: ℤ+ = {0, 1,

2, 3, …} • Conjunto dos inteiros não positivos: ℤ– = {…,

−3, −2, −1, 0}

Em ℤ, além da adição e da multiplicação, podemos operar livremente com a subtração, porém na divisão entre dois números inteiros nem sempre o resultado será um número inteiro. Daí a necessidade de ampliar o conjunto ℤ. Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma

de uma razão 𝑎

𝑏, com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*.

ℚ = {x | x = 𝑎

𝑏, a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*}

Todo número inteiro pode ser expresso por meio de uma fração, então todo número inteiro também é um número racional, o mesmo acontece para os números naturais, visto que, todo número natural também é inteiro. Pelo diagrama de conjuntos, temos:

Além disso, temos que os números racionais também podem ser representados na forma decimal. Sendo assim, tem-se que os números racionais podem ser escritos como números decimais na forma de um decimal exato ou de uma dízima periódica.

Algumas notações especiais dos subconjuntos de ℚ:

• Conjunto dos números racionais não nulos: ℚ* • Conjunto dos números racionais não

negativos: ℚ+ • Conjunto dos números racionais não positivos:

ℚ–. Conjunto dos Números Reais

Sabemos que os números racionais podem ser escritos na forma de razão entre inteiros e sua representação decimal pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica. Mas há números que não podem ser escritos na forma de fração e sua representação decimal é infinita e não periódica. Esses números são chamados de números

irracionais. Exemplo: √2. A reunião do conjunto dos números

racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por R.

Utilizando o diagrama, temos que R é:

Outros subconjuntos de R que têm notação

especial são:

• Conjunto dos números reais não nulos: R* • Conjunto dos números reais não negativos: R+ • Conjunto dos números reais não positivos: R–

Intervalos Numéricos Representação de subconjuntos por

intervalos Certos subconjuntos de R podem ser

representados pela notação de intervalos. A representação pode ser algébrica ou geométrica.

Veja alguns exemplos: • O intervalo dos números reais entre −4 e 0.

A representação geométrica desse intervalo na reta numérica é:

Observe que, nas extremidades −4 e 0, usou-se

uma bolinha aberta (o). Isso significa que os números −4 e 0 não estão dentro do intervalo.

Nesse caso, chamamos o intervalo de intervalo aberto. A representação algébrica desse intervalo pode ser: {x ∈ R | −4 < x < 0} ou ]−4, 0[

A indicação −4 < x < 0 é o agrupamento de x > −4 (portanto, −4 < x) e x < 0. • O intervalo dos números reais

entre 1

3 (inclusive o

1

3) e

1

2.

A representação geométrica desse intervalo é:

Observe que o extremo

1

3 pertence ao intervalo,

por isso foi usada uma bolinha fechada (•) no ponto correspondente a esse número. Dizemos, então, que o intervalo é fechado à esquerda. A representação algébrica desse intervalo pode

ser: {y ∈ R | 1

3 ≤ y < entre

1

2 } ou

No entanto, se o intervalo fosse { y ∈ R | 1

3 ≤

y ≤ 1

2 }, ou seja, se os dois extremos pertencessem ao

intervalo, diríamos que o intervalo é fechado. • O intervalo dos números reais maiores que −3.

A representação geométrica desse intervalo é:

A representação algébrica desse intervalo pode

ser: {z ∈ R | z > −3} ou ]−3, + ∞[. O símbolo ∞ representa infinito.

Nesse caso, dizemos que é uma semirreta aberta de origem em −3.

Agora, se o intervalo fosse {z ∈ R | z ≥ −3}, ou seja, se o −3 pertencesse ao intervalo, diríamos que a representação geométrica é uma semirreta de origem em −3.

Observe o quadro resumo de todas as possibilidades de representação de um intervalo de números reais (consideramos a e b números reais tais que a < b).

Observação: O intervalo em que aparece +∞ é aberto à direita

e o intervalo em que aparece –∞ é aberto à esquerda.

Operações com Intervalos Vamos analisar como realizar as operações de

união, intersecção e diferença com intervalos numéricos utilizando o recurso da representação geométrica.

Exemplos

a. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | −3 ≤ x < 2} e B = {x ∈ R | 0 < x ≤ 8}, determine A ⋃ B. Inicialmente, representamos a união desses conjuntos A e B em retas de números reais, paralelas. Em seguida, representamos a união desses conjuntos em uma terceira reta real paralela às anteriores.

Como o conjunto procurado é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, temos: A ⋃ B = {x ∈ R| –3 ≤ x ≤ 8} ou [–3, 8]

b. Dados os conjuntos A = {x ∈ R| –1 ≤ x < 4} e B = {x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 7}, determine A ⋂ B. Inicialmente, representamos os

conjuntos A e B. Em seguida, representamos a intersecção desses conjuntos.

O conjunto procurado será o conjunto de

todos os elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo: A ⋂ B = {x ∈ R| 2 ≤ x < 4} ou [2, 4[

c. Dados os conjuntos A = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 3} e B = {x ∈ R | −4 < x ≤ 7}, determine A − B. Vamos determinar A − B:

Como a operação A − B indica que devemos

encontrar o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, temos: A − B = {x ∈ R | x ≤ −4 ou x > 7} ou ]−∞, −4] ⋃ ]7, +∞[

Módulo 2 – Função

Função – definição

A ideia de função é encontrada no dia a dia com facilidade e muitas vezes não é levada em consideração, sendo assim, vamos exemplificar situações nas quais podemos identificar a ideia de função.

Consumo: Sabendo que, em certa padaria, o preço do pão integral é R$ 1,81 por unidade, podemos calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade de pães comprados e o preço correspondente a essa quantidade. A variável preço está em função da variável quantidade de pães, sendo assim, na medida que aumentar o número de pães, aumenta o preço a ser pago.

Meteorologia: Todos os dias, antes de ir para o trabalho, Luciana consulta a previsão do tempo pela internet. Pelas medições do serviço meteorológico, é possível fazer a relação mensal da temperatura média de uma cidade a cada dia e registrar em uma tabela.

Assim sendo, podemos então definir função da

seguinte forma: Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é simbolizado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Representação: : A→ x→(x) Exemplos: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} a) : A→, representado no diagrama abaixo, é uma função de A em B (para cada elemento de A só há um elemento de B):

Domínio de uma Função - D(f) Quando definimos uma função y=f(x) , o

domínio D(f) é o conjunto dos possíveis valores reais assumidos por x. Esses possíveis valores podem estar implícitos ou explícitos:

- Se é dado apenas f(x)=3x + 2, sem esclarecer qual é o domínio, está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D(f)=R - Se é dado f(x)=3x + 2, com 5 < x < 20, está explícito que o domínio da função dada pertence ao conjunto dos número reais entre 5 e 20, ou seja, D(f) = {xR | 5 < x < 20}.

- Se é dado apenas vejamos: - O domínio D(f) não está explícito; - Há valores variáveis no divisor; - Divisão por zero não é definida em R. Logo, o domínio D(f)={x R | x 4 }, ou seja, x

será qualquer número real, com exceção de 4, pois se x = 4, teremos uma divisão por 0. Note que quando x = 4, o divisor ficará ((2 . 4)-8).

- Se é dado apenas f(x)= , sem explicitar D(f), está implícito que (x-5) pode ser qualquer número real não negativo, ou seja, x-5 0 ou x 5. Logo, D(f)={x R | x 5}

Conjunto Imagem de uma Função - Im(f) O conjunto imagem, ou simplesmente

imagem de uma função y=f(x), é o conjunto dos valores de y que estão associados a algum valor de x do domínio da função. A letra x pode assumir qualquer valor do primeiro conjunto e é por isso que é chamada variável independente. A letra y é a variável dependente, pois depende do valor de x. Exemplos:

Procurando D(f) e Im(f), sendo f(x)= 2x+3, função de A em B, onde: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 5, 7, 9,11, 13, 15} A função f(x) multiplica x por 2 e adiciona 3. Observe a tabela abaixo:

Veja os diagramas:

D(f) = {1, 2, 3, 4, 5} Im(f) = {5, 7, 9, 11, 13} Conjunto B é o contradomínio Im(f) B No exemplo dado:

5 é a imagem de 1 e pela função, indica-se f(1)=5;

7 é a imagem de 2 e pela função, indica-se f(2)=7;

9 é a imagem de 3 e pela função, indica-se f(3)=9;

11 é a imagem de 4 e pela função, indica-se f(4)=11;

13 é a imagem de 5 e pela função, indica-se f(5)=13. Gráfico de uma Função

Sendo f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x) = y) de um plano cartesiano (plano coordenado) , onde x pertence ao domínio de f. Exemplos:

O gráfico da função f(x)= 2x+3, consiste em todos os pares (x, y) ou (x, f(x)) R tais que y=2x+3. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares ordenados (x, 2x+3) do plano xy.

Vamos utilizar uma tabela de valores para traçarmos o gráfico:

Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano

Observando o gráfico de uma função no plano

cartesiano, podemos determinar o seu domínio e a

sua imagem da seguinte forma.

No gráfico abaixo temos:

O domínio de uma função é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem.

Este gráfico não representa uma função, pois ao ser projetada uma reta sobre o eixo das abscissas encontra-se o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, há para o mesmo x dois y correspondentes. Exemplo: f(-3)=4 e f(-3)=-4 Quando x=-3, temos y=-4 e y=4

Função Crescente e Decrescente a) Função Crescente :

Se A B, então f é crescente em A [x2 > x1 = f (

x2 ) > f ( x1 ) , x1 , x2 A] Isto é, a um maior valor de x corresponde um

maior valor de f(x).

b) Função Decrescente :

Se A B

f é decrescente em [A x2 > x1 = f ( x2 ) < f ( x1

) , x1 , x2 A]

Função Inversa

Denomina-se função inversa da função bijetora f : A→ B a função f-1: B→ A que se obtém trocando de posição os elementos de todos os pares ordenados da função f.

f = {(1, 4) , (2, 5) , (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, 3)}

Observação:

Para se obter a inversa de uma função, devemos proceder da seguinte forma:

- isola-se o x - troca-se x por y e y por x

O gráfico abaixo, representa uma função e a

sua inversa.

Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exemplo:

Dar a inversa da função:

Resolução:

( 5x + 1)y = 2x - 3 5xy + y = 2x - 3 5xy - 2x = - y - 3 x(5y - 2) = - y – 3

x = =

Assim: Função Constante

Uma função é chamada de função constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x.

Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = -3

Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .

Veja o gráfico a seguir:

Função Composta

Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função “dentro” de outra. Usam-se duas notações para se representar uma composição de funções, ou seja: (1) F(g(x)) (2) Fog.

Cálculo de uma função composta Para podermos calcular essa composição,

devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), “dentro” da primeira função.

Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x) = x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o “x” por algum número, substituímos o “x” por uma função correspondente.

Função Inversa Devemos entender que a função inversa

“transforma” o que é domínio em imagem e “transforma” o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora (injetora e sobrejetora) ao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa.

Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1) Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir “x” na função troque por “y” e vice-versa. (3) Isole o “y” Esses são os passos para se encontrar a função inversa.

A notação para a função inversa é dada a seguir: Função inversa= f-1 Ou seja, a notação da inversa é a função “elevada” a menos 1. Devemos lembrar que a notação f(x) é a mesma coisa que y. Definição: Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ -1 : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x).

OBS.: 1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa. Nota sobre Função Bijetora Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é sobrejetora e injetora.

Exemplo:

2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa:

• Trocar ƒ(x) ou a função que está representada por y.

• Trocar x por y e y por x. • Isolar y para representá-lo como função de x. • Trocar y por ƒ -1 (x).

Exemplo: 1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x – 2. ƒ(x) = 3x – 2 y = 3x – 2 x = 3y – 2 3y = x + 2 y = (x + 2)/3 ƒ -1 (x) = (x + 2)/3

Módulo 3 - Função Afim

Lei de formação da função afim A lei de formação da função afim é dada por: y=f(x)=ax+b com a≠0, pois com a=0 a função seria constante. Exemplos de função afim: a) y=2x+3 em que a=2 e b=3 b) y=-12x em que a=-12 e b=0

O que é coeficiente angular (taxa de crescimento)? Dada uma função f(x)= ax + b, o termo a é denominado de taxa de crescimento ou de coeficiente angular (em caso de gráfico), porque é ele que determina o quanto a função cresce. Exemplo: Um táxi cobra um valor fixo de bandeirada no valor de R$ 5,20 e a cada quilômetro rodado cobra um valor adicional de R$ 3,00. Determine a função que modela o preço da corrida em função dos quilômetros rodados. Caso uma pessoa entre no táxi e não ande, o preço da corrida será de R$ 5,20. Ao andar 1 quilômetro, o preço subirá para R$ 8,20. Ao andar 2 quilômetros, o preço será de R$ 11,20. Repare que a taxa de crescimento a cada quilômetro é de R$ 3,00. Logo, a taxa de crescimento da função é 3 e a lei de formação será f(x) = 3x+5,20, onde x é a quantidade de quilômetros rodados.

O que é coeficiente linear?

Dada uma função afim f(x) = ax + b, bé o coeficiente linear da função. Pelo coeficiente linear, é possível determinar onde o gráfico da função afim intersecta, ou seja, toca o eixo das ordenadas (eixo dos y) e isso acontece com o x=0. Exemplo: f(x) = 3x + 2 A função irá intersectar (tocar) a o eixo das ordenadas no ponto (0,2) f(0)=3.0+2=2

O gráfico de uma Função Afim

O gráfico da função afim sempre será uma reta e ela pode ser crescente (caso a taxa de crescimento seja

maior que zero – a>0) ou decrescente (caso a taxa de crescimento seja menor que zero – a<0). Exemplos de gráfico de uma função crescente:

Em uma função crescente quanto maior o x, maior será o f(x).

Exemplos de gráficos decrescente:

Em uma função decrescente quanto maior o x, menor será f(x).

Raiz da função afim A raiz da função afim ocorre quando f(x)=0. Assim, em uma função f(x)=ax+b, a raiz da função será ax+b=0. ax=-b x=-b/a

Estudo do Sinal de uma Função Afim Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página. Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1° grau nada mais é que identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Vamos voltar ao gráfico da

função e analisá-lo deste outro ponto de vista.

Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos que f(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.

Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma

Função Afim

Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida

por , terá a seguinte raiz: Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0)

Como citado acima, para saber se uma função afim é crescente ou decrescente isto vai depender do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este:

Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz. Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já que f(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0.

Ao continuar a análise do gráfico vemos que para valores de x maiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a. Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula.

Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0)

Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico: Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0. Para valores de x menores que a raiz podemos observar que f(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.

Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a. Lembrando que a raiz da

função é , para uma melhor compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela:

a < 0 a > 0

f(x) < 0

f(x) = 0

f(x) > 0

Estudando o sinal da

função , porém através da tabela: Como a = 3 e, a > 0, utilizaremos os dados a

última coluna, além disto foi visto anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3.

Vamos reconstruir a tabela substituindo a

raiz pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo:

a > 0

f(x) < 0

f(x) = 0

f(x) > 0

Concluindo o estudo da

função , partir da tabela temos que:

• A função é

negativa para .

• A função é nula para . • A função é

positiva para .

Inequações de 1º grau Uma inequação é uma expressão que conterá, ao contrário do sinal de igual (=) de uma equação, outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais:

• Se x≥y, dizemos que x é maior ou igual a y; • Se x>y, então x é maior do que y; • Se x≠y, dizemos que x é diferente de y.

Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades:

• Reflexiva: x≥x • Antissimétrica: x≥y e y≥x⇒x=y • Transitiva: x≥y e y≥z⇒x≥z • Compatibilidade com a

Adição: x≥y⇒x+z≥y+z • Compatibilidade com a

Multiplicação: x≥y e z≥0⇒xz≥yz Exemplo:Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados x≤y e z≤w. Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que: x≤y⇒x+z≤y+z z≤w⇒y+z≤y+w Agora, pela propriedade transitiva temos: x+z≤y+zy+z≤y+w}⇒x+z≤y+w Concluindo: x≤yz≤w}⇒x+z≤y+w Resolvendo inequações do primeiro grau Exemplo: Resolver a inequação: 3x+4<x−8, inicialmente solucionamos como uma equação do primeiro grau comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais: 3x−x<−4−8 2x<−12 x<−122 x<−6 Dessa forma, o conjunto solução da equação será: S={x∈R:x<−6}

A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou representado na reta real como:

S=]−∞,−6[

Exemplo: Agora, note a solução da inequação 3x+4≤7x−8: 3x−7x≤−4−8 −4x≤−12

Pode-se perceber que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão negativos. Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os lados da igualdade multiplicando toda a expressão por (-1), essa relação é garantida pelo princípio multiplicativo das equações e inequações. Porém, numa inequação (ou seja, desigualdade), quando invertemos o sinal de toda a expressão, também invertemos a desigualdade, o que nos leva a: 4x≥12 x≥124 x≥3 Escrevendo então o conjunto solução desta equação nas três possíveis representações temos:

S={x∈R:x≥3} S=[3,+∞[

Sinais de inequações

Estudar sinais de inequações permite saber todas as possibilidades para determinar o valor de variáveis em uma expressão. Veja os exemplos abaixo: Exemplo: Estudar o sinal da expressão x-4.

Perceba que esta expressão não está definida em uma igualdade ou desigualdade. Podemos dizer então que existem três possibilidades, são elas:

• x−4>0⇒x>4 • x−4<0⇒x<4 • x−4=0⇒x=4

Escolhendo valores maiores, menores ou iguais a 4, vemos que o seu sinal sofrerá mudanças à medida que variarmos o valor de x. Supondo que escolha um valor de x que seja menor do que 4, por exemplo, 3. Pela expressão teríamos: x−4⇒3−4=−1 Então, para qualquer valor menor do que quatro, o resultado da expressão será sempre um número negativo. Agora um valor maior que 4, pode ser o 5: x−4⇒5−4=1 Qualquer valor maior do que 4 a expressão resultará sempre em um número positivo. E se o valor de x fosse 4, teríamos o zero: x−4⇒4−4=0 Por fim, se analisarmos o resultado obtido pelo nosso estudo de sinal na reta real, chegaríamos à seguinte representação:

O que significa que qualquer valor à direita da reta sempre nos retornaria um valor positivo, à esquerda valores negativos e quando x for 4 a expressão será igual a zero. Exemplo: Existem algumas inequações onde, para obtermos uma solução, é necessário estudar o comportamento do sinal. Vamos solucionar a inequação 3x+1x−5>0: Como esta inequação está na forma de uma fração, devemos inicialmente estudar o sinal dos dois termos separadamente assim como fizemos no exemplo 4 e depois comparar as análises com a inequação completa:

Como a nossa inequação originalmente

era 3x+1x−5>0 vemos que após o estudo do sinal, nossa solução não estará entre −13 e 5, pois neste intervalo qualquer valor de x terá valor negativo. Substituindo o valor de x na equação original por −13 temos: 3⋅(−13)+1−13−5=0−13−5=0 A nossa inequação originalmente dizia quer o valor da expressão deve ser maior do que zero, logo −13não estará contido no nosso conjunto solução. Vamos agora substituir por 5: 3⋅(5)+15−5=160=∃ Então, 5 também não estará contido no intervalo do conjunto solução. Por fim, a solução para esta equação será: S={x∈R:x<−13 ou x>5} S=]−∞,−13[∪]5,+∞[

Módulo 4 – Função quadrática Função Quadrática

Função quadrática ou função do segundo grau é

uma aplicação F de → que associa a cada x o

elemento (ax² + bx + c) ∈ , em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não

teremos mais uma função quadrática e sim uma

função afim: y = bx +c.

O que é função?

Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F

de A → B (lê-se A em B) é denominada aplicação de

A – domínio, conjunto de partida – em B –

contradomínio, conjunto de chegada –, ou função

definida em A com imagens em B se para todo x ∈ A

existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ F.

Exemplos de funções quadráticas: 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7.

-x², em que a = -1 e b = c = 0.

x² + x + 1, em que a = b = c = 1.

6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5.

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico da função quadrática é uma parábola

(isso será provado em Geometria Analítica):

Concavidade A parábola representativa da função quadrática

pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a:

• Se a > 0, a concavidade será voltada para cima.

• Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo.

Zeros da Função Quadrática Os zeros ou raízes da função são os valores de x

para os quais .

Utilizando a forma canônica temos: i)

ii) Mas sabemos que , então: Portanto:

Observemos que, para existir raízes reais na

equação do segundo grau, precisamos que seja real. Logo, temos três casos: i) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que

serão: . ii) e, portanto, a equação apresentará duas

raízes reais e iguais, que serão: .

iii) e sabemos que, neste caso, , portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais. Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Máximo e Mínimo

Sendo o conjunto imagem, dizemos

que é o valor de máximo da

função se, e somente se, para

qualquer . E então, o

número , sendo o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função.

Dizemos que é o valor de mínimo da

função se, e somente se, para

qualquer . E então, o

número é chamado de ponto de mínimo da função. Sucintamente, podemos dizer que:

i) Se , a função quadrática admite o valor

máximo . ii) Se , a função quadrática admite o valor

mínimo .

Vértice da Parábola

O ponto é chamado vértice da parábola. Estudo do Sinal de uma Função Quadrática Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.

Vamos analisar novamente o gráfico da

função : • Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico

que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.

• Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.

• Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.

Então para a

função temos que: • A função é

negativa para

. • A função é

nula para

.

• A função é positiva para

. A representação também pode ser assim realizada:

• • •

Módulo 5 – Função modular

Módulo de um número real

O módulo ou valor absoluto de um número

real r, que é representado por |r| é considerada igual

a r se r ≥ 0 e igual a – r se r ≤ 0.

Exemplo: |2| = 2 𝑒 |−2| = −(−2) = 2

Em resumo, temos:

|r| = r, se r ≥ 0

|r| = – r se r ≤ 0.

Propriedades envolvendo módulos

1ª propriedade: Para todo r R, temos que |r| = | −

r|

2ª Propriedade: Para todo x R, temos que |x²| = |x|2 = 𝑥². Daqui, podemos concluir que: √x² = |x|

3ª propriedade: Para todo x e y R, temos que |x . y| = |x| . |y|

4ª propriedade: Para todo x e y R, |x + y| ≤ |x| +

|y|

5ª propriedade: Para todo x e y R, ||x| − |y|| ≤

|x − y|

Valor de x a partir do módulo de x

• |x| = 0 → 𝑥 = 0

• Não existe x R, tal que o |x| = a com a < 0.

• |x| = a e a >0 → x = a ou x = - a.

Distância entre dois pontos na reta real

Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, a distância entre A e B

pode ser escrita como |a − b| ou |b − a| que são

iguais.

Equação modular

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. Exemplos de equações modulares: |x| = 7 |x + 6| = x + 6 |x – 3| + 4x = 7 |x + 2| = 4

Formas de resolução

Exemplo 1 |x + 2| = 4 Condições: x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 Resolução: x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 S = {–6; 2} Exemplo 2 |4x – 8| = x + 1

Condições: |4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. |4x – 8| = x + 1 4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) Resolução: 4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} Exemplo 3 |x + 1| = |x – 3| x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 Solução: {1} Exemplo 4 |x² – 5x + 6| = 2 x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) x’ = 1 e x” = 4 x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) Solução: {1,4} Função Modular Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. De maneira mais formal, podemos definir função modular como: f(x) = |x| ou y = |x| A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características: f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0 Essas características decorrem da definição de módulo. Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x| Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x

O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:

A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| Solução: pela definição de módulo, temos que: f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 e f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 Daí, segue que: x2 – 3x = 0 x = 0 ou x = 3, logo :

Temos também que: – (x2 – 3x) = 0 x = 0 ou x = 3

Daí, segue que:

Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|

Inequação modular Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:

• |x| > 6 • |x| ≤ 4 • |x + 3| > 7 • |4x + 1| ≥ 3

Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:

• |x| > a → x < – a ou x > a. • |x| < a → – a < x < a. • |x| ≤ a → – a ≤ x ≤ a. • |x| ≥ a → x ≤ – a ou x ≥ a. • |x – a| ≤ b → – b ≤ x – a ≤ b → a – b ≤ x

≤ a + b Resolução de inequações modulares

Para resolver os exemplos a seguir, será preciso aplicar as propriedades vistas anteriormente. As resoluções estão feitas a seguir, mas antes disso, tente resolver cada um dos exemplos, sem utilizar da resposta formalizada!

Veja as resoluções a seguir: • |x| > 6

x < – 6 ou x > 6 S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}

• |x| ≤ 4 – 4 ≤ x ≤ 4 S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4}

• |x + 3| > 7 x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7

Se x + 3 < – 7, então: x < – 7 – 3 x < – 10 Se x + 3 > 7, então: x > 7 – 3 x > 4 S = {x ∈ R | x < – 10 ou x > 4}

• |4x + 1| ≥ 3 4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3 Se 4x + 1 ≤ – 3, então: 4x ≤ – 3 – 1 4x ≤ – 4 x ≤ – 1 Se 4x + 1 ≥ 3, então: 4x ≥ 3 – 1 4x ≥ 2 x ≥ ½ S = {x ∈ R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½}

Módulo 6 – Potenciação e função exponencial

Potenciação

Potência de um número real com expoente natural

Dado um número real “a” qualquer e um número natural “n” sendo n>1, a potência an é o produto de n fatores iguais ao fator a. a n = a . a . a . a .... a Exemplos:

a) 5³ = 5 . 5 . 5 b) 4² = 4 . 4

Potência de um número real com expoente inteiro

Os números inteiros dividem-se em inteiros positivos, inteiros negativos e o número zero. Sendo assim, a maneira de calcular as potências quando o expoente é negativo, difere do cálculo para expoentes positivos. Potência com expoente negativo

Seja x - y uma potência de expoente negativo, o resultado dessa operação é: o inverso de x elevado a y, em termos matemáticos:

(1/x) –y. Exemplos:

a)

b)

Definições Todo número elevado à zero é igual a um a0=1 Potência com expoente 1 Qualquer número, elevado a 1 será igual a ele mesmo. De modo geral: a¹=a Toda potência de base 1 é igual ao próprio 1. Nas potências com base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais, não importa o valor de "n", será sempre 1.

1n =1 Potências com base igual a 0 Toda potência com base igual a 0, 0n, sendo o expoente n >0, será igual a zero.

0n = 0 Propriedades de Potência

Produto de Potências de mesma base: No produto de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes. Exemplo: 2³ . 2² = 23+2 = 25. Quociente de Potências de mesma base: No quociente de potências de mesma base, repete-se a base e subtrai-se os expoentes. Exemplo: 2³ . 2² = 23-2 = 21.

Potência de Potência: Nos casos em que há uma potenciação elevada a um outro expoente, existem duas situações que devem ser analisadas. 1ª situação: Caso em que a primeira potência está separada da segunda por parênteses. Exemplo: (3²)³ - Nesses casos, resolve-se primeiro a primeira potência para que assim, possa-se resolver a potência externa aos parênteses. Assim, 3² = 3 . 3 = 9 e 9³ = 9 . 9 .9 = 729. Mas há uma outra maneira de resolver estes tipos de potências, basta que se multiplique o expoente de dentro do parêntese pelo expoente que está fora. Desse modo, temos: (3²)³ = 36 = 3. 3. 3. 3. 3. 3 = 729. 2ª situação: Caso a primeira potência não esteja separada por parênteses da segunda, elevamos primeiro os expoentes um ao outro, e depois resolvemos a potência com a base inicial. Potência de uma multiplicação: A multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um dado expoente é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente:

Exemplo: (a . b)n = (an . bn) Potência de uma divisão: A divisão de dois fatores elevados a um dado expoente é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente.

Exemplo: Potência de base 10

Na potência de base 10 algumas definições são importantes: 1ª: O número de zeros na potência é igual ao valor do expoente. Exemplo: 10² = 100; 10³ = 1000. 2º: Quando a potência possui expoente negativo, o resultado será um número decimal, onde o número de zeros a esquerda do 1, é igual ao valor absoluto do expoente. Exemplo: 10 -1 = 0,1; 10 -2 = 0,01; 10 -3 = 0,001 3º: Quando se multiplica um número decimal por 10, 10², 10³, ..., a vírgula do número decimal se desloca para a direita, ou seja, o valor desse número tende a aumentar. Exemplo: 0,65 . 10 = 6,5; 7,6 . 10² = 7,6 . 100 = 760,0 4º: Quando se multiplica um número decimal por uma potência de base 10, porém com expoente negativo, o produto será também um decimal, e a vírgula, desloca-se para a esquerda, ou seja, o valor desse número diminuirá. Exemplo: 45,8 . 10-1 = 45,8 . 1/10 = 45,8/10 = 4,58. Notação científica Em notação científica, um dos fatores é um número maior ou igual a 1 e menor ou igual a 10 e o outro fator é uma potência de 10. Equação exponencial

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais:

3x =81 (a solução é x=4) 2x-5=16 (a solução é x=9) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1). Para resolver equações exponenciais,

devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a

potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade:

Exemplo: 3x=81

Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34. Logo, x=4. Função exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IR→IR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero). Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: ➔ quando a>1; ➔ quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: Exemplo 1: y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4

Exemplo 2: y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 4 2 1 1/2 1/4

)0 e 1( == aanmaa nm

Nos dois exemplos, podemos observar que:

• o gráfico nunca intercepta o eixo

horizontal; a função não tem raízes; • o gráfico corta o eixo vertical no ponto

(0,1); • os valores de y são sempre positivos

(potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1

f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) 0<a<1

f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

Inequações exponenciais Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de inequações exponenciais:

)3x2 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)

-3) xpara satisfeita é (que 5

4

5

4 3)

real) x todo para satisfeita é (que 22 2)

)4x é solução (a 813 1)

xx

3x

1x2-2x

x

2

+

−

−

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1

am > an m>n

(as desigualdades têm mesmo sentido)

am > an m<n

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

Exercício resolvido:

negativos) (reais IRS Portanto

0x 44

:obtemos 1, que maior é (4) base a Como

.44 14 Porém,

14 daí, e 114.11- 114).1641(

:seja ou , 114.164.44

:temos 4 por lados os ambos ndoMultiplica

.4

114.44

4

4 escrita ser pode inequaçãoA

:Resolução

4

11444 )1

-

0x

0xx

xxx

xxx

xxx

1xx1x

=

−−−+

−−+

−−+

−−+ +−

Módulo 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA Introdução

A função f:IR+→IR definida por f(x)=logax, com a1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais).

Gráfico cartesiano da função logarítmica Temos 2 casos a considerar: ➔ quando a>1; ➔ quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

X 1/4 1/2 1 2 4 Y -2 -1 0 1 2

y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x ¼ 1/2 1 2 4

y 2 1 0 -1 -2

Nos dois exemplos, podemos observar que • o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; • o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A

raiz da função é x=1; • y assume todos os valores reais, portanto o

conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1

Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) 0<a<1

Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Equações logarítmicas

Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de equações logarítmicas:

• log3x =5 (a solução é x=243) • log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e

x’’=2) • log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é

x=4) • logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)

Alguns exemplos resolvidos 1) log3(x+5) = 2 Resolução: Condição de existência: x + 5 > 0 => x > -5

log3(x+5) = 2 => x + 5 = 32 => x = 9 - 5 => x = 4

Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 2) log2(log4 x) = 1

Resolução: Condição de existência: x > 0 e log4x > 0

log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então: log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x = 16

Como x=16 satisfaz as condições de existência,

então o conjunto solução é S={16}. 3) Resolva o sistema:

=−

=+

1ylog.2xlog.3

7ylogxlog

Resolução:

Condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 => => log x =3 => x=103

Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.

Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(103;104)}. Inequações logarítmicas

Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Exemplos de inequações logarítmicas: 1) log2x > 0 (a solução é x>1) 2) log4(x+3) 1 (a solução é –3<x1)

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1

logam > logan m>n>0

(as desigualdades têm mesmo sentido)

logam > logan 0<m<n (as desigualdades têm sentidos diferentes)

Módulo 8 – Sequência e Progressões

Sequências numéricas

A ideia de sequências e/ou sucessões

numéricas, acontecem diariamente na vida e dessa

forma, torna-se importante que a noção matemática

seja apresentada.

Temos, como exemplo de sucessão ou sequências, os

seguintes casos:

• A sequência dos dias da semana;

• A sequência dos números inteiros;

• A sequência de meses do ano;

Nessas situações supracitadas, observamos sempre

que para a formação desses conjuntos, obedecemos

uma ordem de elementos. Esses elementos são

chamados de termos de uma sequência.

Se representarmos, por exemplo, a sequência dos

meses do ano, teremos os seguintes termos: (Janeiro,

fevereiro, março, abril, ..., dezembro).

Os termos de uma sequência, receberão a

nomenclatura de an, onde cada n representará a

posição do termo na sequência dada.

Assim temos: a1 = janeiro; a2 = fevereiro ...

Definição: Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico:

{1, 2, 3, ..., n}. Os números do contradomínio são

indicados por a1, a2, ...

Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio

é N* = {1, 2, 3, ..., n, ...}.

Determinação de uma sequência

Algumas sequencias são dadas por regras ou leis

matemáticas, chamadas de leis de formação, que

determinam a explicitação dos seus termos a partir

dela.

Exemplo: A sequência de termo geral an = 2n – 1 com

n pertencendo a N*. Temos:

A1 = 2 . 1 – 1 = 1; A2 = 2 . 2 – 1 = 3; A3 = 2 . 3 – 1 = 5. ...

Progressão aritmética (PA)

Definição: é toda sequência de números na

qual a diferença entre cada termo (a partir do

segundo) e o termo anterior é constante. Essa

diferença constante é chamada de razão da

progressão e é representada pela letra r.

Exemplos: 1. A sequência {2, 7, 12, 17...} é uma

progressão aritmética infinita de razão 5, em que A1

= 2 e r = 5.

2. A sequência {20, 10, 0, -10, -20} é uma P.A de cinco

termos onde o 1º termo é A1 = 20 e a razão é r = -10.

Fórmula do termo geral de uma PA.

Em uma progressão aritmética (a1, a2, a3, ...,

an, ...) de razão r, partindo do 1º termo, para avançar

um termo basta somar r ao 1º termo (a2 = a1 + r) para

avançar dois termos tem-se que somar 2r ao

primeiro termo (a3= a1+2r) e assim sucessivamente.

Dessa maneira, encontra-se o termo geral de ordem

n, denominado termo geral da PA, que é dado por:

an = a1 + (n-1)r

Nessa fórmula temos:

an = termo geral.

a1 = 1º termo.

N = número de termos (até o an).

r = razão.

Soma dos termos de uma PA finita

Sn = (𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝒏

𝟐

Essa fórmula permite calcular a soma dos n

primeiros termos de uma PA.

Progressão geométrica (PG)

Assim como em uma progressão aritmética, a Progressão Geométrica (P.G) também é representada por uma sequência, porém seus elementos são dados pelo produto do termo anterior por uma constante que chamaremos de razão q. Em outras palavras, dada a sequência: (a1, a2, a3, a4, ..., an) Temos que: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = (a2 . q) . q = [(a1 . q) . q ] . q = a1 . q3 ... Naturalmente, se quisermos obter a razão de uma P.G., devemos dividir um termo an pelo seu anterior, assim: q=a2a1=a3a2=a4a3=...anan−1 Ao continuarmos a operação para determinar um termo qualquer em uma P.G., obtemos então a fórmula do termo geral: an=a1⋅qn−1 E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.G. Sejam m e n posições consecutivas quaisquer dos elementos, temos: an=am⋅qm−n Interpretação geométrica da P.G.

Podemos representar o termo geral de uma P.G. como uma função do tipo f(x), onde podemos reescrever a fórmula em função de x e também desenhar o gráfico da função. Dizemos então que:

f(x)=aq⋅qx Supondo conhecidos os valores de a1 e de q, a sua razão, a fórmula do termo geral assumirá então a forma de uma função exponencial. Vejamos um exemplo em que an = ½ e que q = 2, escrevemos:

f(x)=12⋅(2)x Sabemos, por definição que esta P.G. será dada por: (12,1,2,4,8,...)

Neste exemplo, o nosso primeiro termo será dado por f(0)=12 o que claramente já foi dado, confirmando então que o zero da função é o termo

a1. Abaixo segue o gráfico da função onde estão indicados os quatro primeiros termos da P.G.:

Vemos que os valores de f(1), f(2), ..., f(x) com x sendo um número inteiro serão os termos da P.G. Tipos de progressão geométrica

Crescente Quando a razão q >1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplos: (1, 4, 16, 64, ...), onde q = 4 (-150, -30, -6, ...), onde q = ½

Decrescente Quando 0 < q < 1 e os termos são positivos, ou quando q > 1 e os termos negativos. Por exemplo: (200, 100, 50, ...), onde q = ½ (-1, -3, -9, ...), onde q = 3

Oscilante Quando q < 0, ou seja: (3, -6, 12, -24, ...), onde q = -2

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita

Seja uma P.G. (a1, a2, a3, a4, ..., an) e Sn soma dos seus termos, podemos então escrever: Sn=a1+a2+a3+a4+...+an−1+an Multiplicando ambos os lados da equação por q temos:

q⋅Sn=q⋅(a1+a2+a3+a4+...+an−1+an) q⋅Sn=q⋅a1+q⋅a2+q⋅a3+q⋅a4+...+q⋅an−1+q⋅an)

E que pela definição: q⋅Sn=a2+a3+a4+...+an+q⋅an

Podemos então dizer que: Sn−q⋅Sn=(a1+a2+a3+...+an−1+an)−(a2+a3+.

..+an+q⋅an) O que nos resulta em:

Sn−q⋅Sn=a1−q⋅an E pela equação do termo geral, an=a1⋅qn−1 pode-se:

Sn−q⋅Sn=a1−q⋅(a1⋅qn−1) Isolando as variáveis, tem-se:

Sn(1−q)=a1(1−qn)

Por fim, obtemos então a fórmula da soma da P.G. finita:

Sn=a1⋅(1−qn)(1−q) OBS: Se a razão for igual a um (q=1), em outras palavras, se a P.G. for constante (onde todos os seus termos são iguais) então não será possível obter a soma dos seus termos. Módulo 9 – Matemática Financeira

Razão e proporção

O número 3 representa a metade do número

6, assim como o número 10 representa a metade do

número 20, como também é número 9 representa a

metade do número 18. Dizemos então que 3, 10 e 9 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e

18, respectivamente.

Podemos então afirmar que: Os números

reais a, b, c, d, ..., n são diretamente proporcionais ao

números a’, b’, c’, d’, ..., n’, nessa ordem, se e somente

se: 𝑎

𝑎′=

𝑏

𝑏′=

𝑐

𝑐′=

𝑑

𝑑′= ⋯ =

𝑛

𝑛′

Obs.: A FRAÇÃO IRREDUTIVEL EQUIVALENTE A 𝑎

𝑎′

É CHAMADO DE COEFICIENTE DE

PROPORCIONALIDADE (K).

Dizemos que os números reais não nulos

a,b,c, ..., n são inversamente proporcionais aos

números reais a’, b’, c’, d’, ..., n’, respectivamente, quando são diretamente proporcionais aos números 1

𝑎′,

1

𝑏′,

1

𝑐′,

1

𝑑′, ...,

1

𝑛′.

Ou seja, 𝑎

1/𝑎′=

𝑏

1/𝑏′=

𝑐

1/𝑐′=

𝑑

1/𝑑′= ⋯ =

𝑛

1/𝑛′

Porcentagem

A porcentagem é uma forma usada para

indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer

representação que tenha representação equivalente

a ela.

Exemplo: 50% é o mesmo que

50

100 que é equivalente a ½.

Porcentagem de uma dada quantia

Se uma dada mercadoria custa o valor de

R$850,00 e está com um desconto de 45%, como

calcular essa quantia?

Devemos calcular 45

100 de 850,00 =

45

100 . 850,00 (Lembra que, em

multiplicação de frações, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador).

Aumentos e descontos

Na comparação entre dois valores distintos de uma mesma grande. F>1 indica que houve um aumento em relação ao valor inicial e f<1 indica que houve um desconto no valor inicial. O fator f = 1 indica que o valor inicial não sofreu variação nem de aumento e nem de desconto.

𝑓 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑣𝑜

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜

f>1 – aumento f<1 – desconto f=1 – não há variações. Exemplo: Uma mercadoria que custava R$ 450,00 reais sofreu um reajuste de 15% de acordo com a inflação do período. Qual é o seu preço atual?

Podemos determinar 15% de R$ 450 = R$ 67,50 e somar o valor a R$ 450, obtendo R$ 517,50. Mas também podemos utilizar uma forma mais direta de cálculo, observe: Sabemos que o valor a ser reajustado corresponde a 100% e, na situação, sofrerá um reajuste de 15%, dessa forma, o novo valor corresponderá a 115% ou 115/100 = 1,15. Assim, podemos realizar a seguinte multiplicação: R$ 450,00 * 1,15 = R$ 517,50. O valor 1,15 corresponde ao fator de reajuste referente a 15%. Observe a tabela a seguir, ela demonstrará alguns fatores de aumento e desconto. Aumento

Desconto

Exemplo: Uma loja de eletrodomésticos está oferecendo um desconto de 14% nas compras feitas com pagamento à vista. Qual o valor de uma geladeira de R$ 1.200,00 na promoção oferecida? 100% – 14% = 100/100 – 14/100 = 1 – 0,14 = 0,86 (fator de desconto) R$ 1.200,00 . 0,86 = R$ 1.032,00

Portanto, o preço da geladeira na promoção será de R$ 1.032,00.

Juros Simples e juros compostos

A taxa de juros é um conceito central da Matemática Financeira que está bastante presente em nossas vidas cotidianas. Sempre que realizamos uma compra ou simplesmente ouvimos e lemos uma propaganda, nos deparamos com este conceito. Juros é um atributo de uma aplicação financeira, isto é, é uma determinada quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (a pessoa que pede o dinheiro emprestado) pela utilização de dinheiro de um credor (a pessoa que empresta o dinheiro). Existem dois tipos de juros: os juros simples e os juros compostos. Juros simples

Os juros simples referem-se aos acréscimos somados ao capital inicial no final da aplicação. O capital é o valor financiado na compra de produtos ou nos empréstimos em dinheiro. Calcular os juros simples é: j = C. i.t Sendo que: j = juros, C = capital, i = taxa, t= tempo.

Exemplo: Uma pessoa empresta a outra uma quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 3% ao mês. Quanto será pago de juros?

Observe que: O capital aplicado ( C ) é a quantia do empréstimo (R$2.000); o tempo de aplicação (t) é de 3 meses e a taxa (i) é de 3% ou 0,03 ao mês (a.m.). Para realizar o cálculo, usa-se a fórmula e teremos que:

J = C.i.t -> J = 2.000 x 3 x 0,03 -> R$ 180,00. A pessoa pagará o valor de R$ 180,00 de juros ao final do empréstimo. Juros compostos

Os juros compostos (juros sobre juros) referem-se aos acréscimos somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando um novo capital com essa soma. Os bancos e as lojas normalmente utilizam os juros compostos na cobrança do dinheiro emprestado. A fórmula para calcular os juros compostos é: M = C. (1 + i)t, em que: M = montante C = capital i = taxa t = tempo

Exemplo: Considere o mesmo problema utilizado no exemplo dos juros simples, veremos que: Capital aplicado ( C ) = R$ 2.000,00 Tempo de aplicação (t) = 3 meses Taxa de aplicação (i) = 0, 03 (3% ao mês) Com a aplicação da fórmula, teremos que: M = 2.000 . (1 + 0, 03)³ -> M = 2.000 . (1,03)³ -> M = R$ 2.185,45. A pessoa pagará R$ 185,45 de juros ao final do empréstimo.

Módulo 10 – Semelhança de triângulos

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu

medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

O Teorema de Tales pode ser determinado

pela seguinte lei de correspondência: “Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”. Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no

Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo: Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3 BC = x + 2 A’B’ = 5 B’C’ = 6 Determinando o valor de x:

AB = 2x – 3 → 2.4 – 3 = 5 BC = x + 2 → 4 + 2 = 6 Exemplo: Determine o valor de x na figura a seguir:

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

△ABC∼△DEF O símbolo ∼ significa “semelhante”.

Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes. Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança. ABDE=BCEF=ACDF=k Exemplo: Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os

lados homólogos são proporcionais. Note que AB/DE=BC/EF=AC/DF⇒4/2=8/4=6/3=2.

A razão de semelhança será k = 2. Podemos

dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC.

Propriedades Da definição de triângulos semelhantes

decorrem as seguintes propriedades: 1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. △ABC∼△ABC 2. simétrica: se △ABC o é semelhante ao △DEF , então o △DEF é semelhante ao △ABC . △ABC∼△ABC⟺△DEF∼△ABC 3. transitiva: se o △ABC é semelhante ao △DEF, e △DEF é semelhante a outro △JKL, então o △ABC é semelhante ao △JKL. {△ABC∼△DEF△DEF∼△JKL⟺△ABC∼△JKL Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada. Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

{B≡E {C≡F ⟺△ABC∼△DEF Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

{AB/DE=BC/EF {B≡F ⟺△ABC∼△DEF Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

AB/DE=BC/EF=AC/DF⟺△ABC∼△DEF Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles. Observe a pequena demonstração:

A área do triângulo ABC será: AABC=BC⋅AM/2. A área do triângulo DEF será: ADEF=EF⋅DN/2. Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos: AABC/ADEF=BC⋅AM/2/EF⋅DN/2=BC⋅AM/2⋅2/EF⋅DN=BC⋅AM/EF⋅DN

Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que BCEF=AMDN=k.

Assim: AABC/ADEF=BC⋅AM/EF⋅DN=BC/EF⋅AM/DN=

=k⋅k=K² Portanto, teremos que: AABC/ADEF=k² Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

△ABC≡△DEF⟺ A≡D; B≡E E C≡F e AB≡DE, AC≡DF, BC≡EF.

Exemplo: As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y:

Observando os lados e os ângulos, os lados

homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos: AB/DE=BC/EF 18/y=12/9 12.y=162 y=162/12=27/2=13,5 Para encontrar x fazemos: AC/DF=BC/EF x/18=12/9 9x=216 x=216/9=24.

Módulo 11 – Trigonometria no triângulo

retângulo

A Trigonometria é o estudo das relações

entre ângulos e lados de um triângulo. Os triângulos

retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto.

Os triângulos retângulos

Considere o triângulo:

O triângulo ABC é reto em A, isto é, o ângulo

em A mede 90º graus.

Elementos:

a – Hipotenusa

c e b – representam as medidas dos catetos;

Os ângulos B e C são agudos e complementares (B +

C = 90º).

Quadro-resumo sobre os triângulos retângulos:

• Relação entre os lados (Relação de

Pitágoras): a² = b² + c²;

• Relação entre os ângulos: A+B+C = 180º;

• Relações entre lados e ângulos:

SenB = 𝑏

𝑎; CosB =

𝑐

𝑎; tgB =

𝑏

𝑐

SenC = 𝑐

𝑎; CosC =

𝑏

𝑎; tgC =

𝑐

𝑏

• Relações entre seno, cosseno e tangente dos

ângulos agudos:

• Sen²B + cos²B = 1

• Sen²C + cos²C = 1

• TgB= 𝑠𝑒𝑛𝐵

𝑐𝑜𝑠𝐵

• TgC= 𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑐𝑜𝑠𝐶

SenB = cosC

SenC = cosB, pois B+C = 90º

Módulo 12 – Resolução em triângulos quaisquer

As relações trigonométricas não estão restritas apenas a triângulos retângulos.

Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente.

Importante sabermos que: sen x = sen (180º - x) cos x = - cos (180º - x)

Lei dos senos

Resolvendo a situação da figura 1, temos: Iremos aplicar a lei dos senos

Pela tabela de razões trigonométricas:

Lei dos cossenos a² = b² + c² - 2*b*c*cosA b² = a² + c² - 2*a*c*cosB c² = a² + b² - 2*a*b*cosC Exemplo

Analise o esquema abaixo:

Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?

x² = 50² + 80² - 2.50.80.cos60º x² = 2500 + 6400 – 8000.0,5 x² = 8900 – 4000 x² = 4900 x = 70 m Seriam gastos 70 metros de cano

Referências https://www.infoescola.com/matematica/progressoes-geometricas/ http://pagina.de/mat https://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-primeiro-grau/ https://blogdoenem.com.br/funcao-composta-e-funcao-inversa/ https://descomplica.com.br/blog/matematica/o-que-e-funcao-afim/ http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoAfimVariacaoSinal.aspx LIMA, Elon Lages. Um Curso de Análise: Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2017.

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