matrizes (ap 01)

01

PROEBE – Tv. São Francisco, nº 1190, fone: (91) 81448701 facebook/e-mail: [email protected]

Matemática II Prof. Giancarlo Prof. Giancarlo Prof. Giancarlo Prof. Giancarlo –––– CursCursCursCursiiiinhonhonhonho

MATRIZES APOSTILA

01 1.1.1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

A tabela abaixo mostra a quantidade de alguns modelos de motos vendidas no primeiro quadrimestre do ano passado numa agência.

Janeiro Fevereiro Março Abril

I 30 38 22 21 II 33 36 18 20 III 18 16 11 10

Tabelas como essas são chamadas de matrizes .

Definição Chama-se matriz do tipo � � � (lê-se m por n) toda a tabela

com � ∙ � elementos dispostos em � linhas e � colunas.

2.2.2.2. REPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZ

Um elemento de uma matriz é representado por uma letra minúscula acompanhada de um duplo índice. De modo geral, representa-se um elemento qualquer por ��, onde � mostra a linha

em que está o elemento, e �� mostra a coluna. De modo geral, uma matriz � �� pode ser

representada assim:

� �� ⋯ �� ⋯ �� ⋯ ��⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ �� ⋯ ��

��

Exemplo 1 Construa a matriz � ��, sabendo-se que �� 3 � �.

3.3.3.3. ELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTES

Se duas matrizes, A e B, forem do mesmo tipo � � �, então os elementos com o mesmo índice são chamados elementos correspondentes .

Exemplo 2

Considere as matrizes � �� e ! "#�� #��#�� #��$, os

elementos correspondentes de A e B são: 4.4.4.4. TIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZES

Em função dos valores de seus elementos, do número de linhas e colunas ou ainda por serem aplicadas com muita frequência, algumas matrizes possuem nomenclatura especial. Vejamos algumas dessas matrizes.

4.1 Matriz quadrada

É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

Em uma matriz quadrada de ordem �, os elementos��, onde � formam a diagonal principal e os elementos ��, onde � � � � 1 formam a diagonal secundária.

� &�� '

• Diagonal principal: ��, ��, ��, �� → �. • Diagonal secundária: ��, ��, ��, �� → � � 4 � 1. • Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal

principal.

4.2 Matriz Diagonal É toda matriz quadrada � ��, onde �� 0 para todo , �. Exemplo 3:

� �1 00 -1 ! .2 0 00 -1 00 0 30

4.3 Matriz Escalar É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal

principal são iguais. Exemplo 4:

� �-1 00 -1 ! .2 0 00 2 00 0 20

4.4 Matriz Identidade É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal

principal são iguais a 1. Exemplo 5:

� �1 00 1 ! .1 0 00 1 00 0 10

4.5 Matriz Linha É toda matriz da forma � ��, onde � �� … ��.

Exemplo 6: � �2 1 3�� 4.6 Matriz Coluna

É toda matriz que apresentam uma coluna, onde � ��. Exemplo 7:

� 234��⋮��56

7��

! 82456;��

4.7 Matriz Nula

É toda matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero. Exemplo 8:

� 80 0 ⋯ 00 0 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯ 0;��

4.8 Matriz simétrica

É toda matriz quadrada onde cada elemento �� . Exemplo 9:

� .2 4 64 5 36 3 20 ! .1 5 65 3 26 2 70

4.9 Matriz Antissimétrica

É toda matriz quadrada onde �� -��. Exemplo 10:

� . 0 2 3-2 0 -5-3 5 0 0

4.10 Matriz Transposta

Seja uma matriz � ��=�>, chama-se transposta de � e representa-se por �?, a matriz �? ��>�=, que se obtem trocando linhas por colunas. Exemplo 11:

� 82 14 32 70 4;��

⟹ �? �21 43 27 04 ��

Modelo

Mês

02



MATRIZES APOSTILA

01 5.5.5.5. IGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZES

Dadas as matrizes � e !, dizemos que essas matrizes são iguais se, e somente se, elas possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais. AB�C DB�C ⇔ FGH IGH 6.6.6.6. OPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZES 6.16.16.16.1 ADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃO

Dadas as matrizes � �� e ! �#��, a soma delas, representada por � � !, é a matriz J �K��, em que K�� #��. Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos correspondentes das matrizes � e !.

Propriedades da adição

P1. � � �! � J �� ! � J → associatividade P2. � � ! ! � � → comutatividade P3. � � L � → elemento neutro P4. � � �-� L → elemento oposto 6.26.26.26.2 SUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃO

Dadas as matrizes � �� e ! �#��, a soma

delas, representada por � - !, é a matriz J �K��, em que K�� - #��. Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos correspondentes das matrizes � e !. A - D A � �-D. 6.36.36.36.3 MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO

Multiplicação de um número real por uma matriz

Sejam as matrizes � �� e um número real M. Ao multiplicarmos M pela matriz �, obtemos a matriz ! �#��, tal que #�� M ∙ ��. Multiplicação de matriz por matriz

Dadas as matrizes � ��do tipo � � � e ! �#�� do tipo � � N, o produto de � por !, é a matriz J �K�� do tipo � � N, em que cada elementoK�� é a soma dos produtos dos elementos da linha de � pelos elementos da coluna � de !, tomados ordenadamente. Indicamos o produto dessas matrizes por � ∙ ! ou �!.

O produto � ∙ ! de duas matrizes só é possível se o número de colunas da � for igual ao número de linhas da !. Dessa forma, a matriz J terá o mesmo número de linhas de � e o mesmo número de colunas de !: AB�C ∙ DC�O PB�O

Propriedades da multiplicação P1. Dadas as matrizes ��, !��= e J=�Q, temos �� ∙ ! ∙ J � ∙ �! ∙ J → associativa P2. Dadas as matrizes ��, !��= e J��=, temos � ∙ �! � J � ∙ ! � � ∙ J → distributiva à esquerda P3. Dadas as matrizes ��, !�� e J��=, temos �� ! ∙ J � ∙ J � ! ∙ J → distributiva à direita P4. Dadas as matrizes �� e as matrizes identidade R� e R�, temos R� ∙ � � e � ∙ R� � → elemento neutro P5. Dadas as matrizes �� e !��= e o número M ∈ T, temos �M ∙ � ∙ ! � ∙ �M ∙ ! M ∙ �� ∙ ! P6. Dadas as matrizes ��, !��=, temos �� ∙ !? �? ∙ !?

7.7.7.7. MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA

Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Quando existe uma matriz B, também de ordem n, tal que � ∙ ! ! ∙ � R�, B é chamada matriz inversa de A, a qual indicamos por �U�.

Se existe a matriz inversa de uma matriz dada, dizemos que esta é invertível ou não-singular . Caso contrário, dizemos que esta é não-invertível ou singular . 8.8.8.8. MODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSP

Proposição: Seja a matriz V �� #K W X WXYV , 0, então

VU� Z WWXYV - #WXYV- KWXYV �WXYV [

Exemplo 12

Determine a inversa da matriz � �1 31 2 , caso exista.

QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 1111

Determine as seguintes matrizes. a) � ��, tal que �� 2 � �. b) ! �#��, tal que #�� 3 - 2�. c) J �K��, tal que K�� \ - �, ]X , � � � ��, ]X � d) W ^W��_��, tal que W�� ` ∙ �, ]X �� , ]X a �� , ]X b �

QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 2222

A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas (dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias. Sendo G a ordem das linhas e H a ordem das colunas e FGH cd. G � fd. H o elemento genérico desta tabela, com e � dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B no terceiro dia foi de: a) 1 hora e 30 minutos. b) 1 hora e 50 minutos. c) 2 horas. d) 2 horas e 10 minutos. e) 2 horas e 30 minutos QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 3333

O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.

A matriz � �� associada a esse mapa é definida da seguinte forma:

Sabendo-se que e � referem-se as cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz �.

Atividades

03



MATRIZES APOSTILA

01 Questão 4 Determine os valores de x e y para que as matrizes � � 7 4g - 5h-2 3 e ! " 7 82g - 4h 3$ sejam iguais.

Questão 5 (UPM–SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz � ��, tal que �� , é: a) 3� b)2j c) 5� d) 4� e) 2k Questão 6 (Ufersa–RN) Se �, ! e J são matrizes do tipo 4 � 3, 3 � 4 e 4 � 2, respectivamente, a transposta do produto � ∙ ! ∙ J é uma matriz do tipo: a) 4 � 2 b) 3 � 2 c) 2 � 4 d) 2 � 3 Questão 7

As matrizes � l3 15 2m e � l-3 41 -8m são tais que 3n 2� - !.

Calcule a matriz n. Questão 8 (Unesp) Considere três lojas o�, o� e o�, e três tipos de produtos, p�, p� e p�. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido em cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento �� da matriz indica a quantidade do produto p� vendido pela loja o�, com , � 1, 2, 3. o� o� o� p�p�p� q30 19 2015 10 812 16 11s Analisando a matriz, podemos afirmar que: a) a quantidade de produtos do tipo p� vendidos pela loja o� é 11. b) a quantidade de produtos do tipo p� vendidos pela loja o� é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo p� vendidos pelas três lojas é 40. d) a soma das quantidades de produtos do tipo p� vendidos pelas lojas o�, com 1, 2, 3 é 52. e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos p� e p� vendidos pela loja o� é 45. Questão 9 (Esam–RN) O produto � ∙ ! de duas matrizes só é possível quando o número de colunas de � for igual ao número de linhas de !. Então, identifique a alternativa incorreta. a) Se � e ! são matrizes quadradas de ordem 3, então o produto � ∙! será, também, uma matriz quadrada de ordem 3. b) Se � é uma matriz 5 � 2 e ! é uma matriz 5 � 2, existe o produto ! ∙ �.

c) Se � q3 25 01 4s e ! l3 16 2m, então � ∙ ! é uma matriz do tipo 3 �2. d) Se � é uma matriz 2 � 2, então a matriz �� é, também, do tipo 2 � 2. e) Só podemos calcular !� quando ! é uma matriz quadrada.

Questão 10

(Facceba–BA) Considerando-se as matrizes V �1 22 5 e t � 5 -2-2 1 , conclui-se:

a) V é a matriz oposta de t. b) V 2t

c) V � t �6 00 2

d) V ∙ t �1 00 1

e) t é a matriz transposta de V. Questão 11

(PUC–SP) Na matriz � l20 18 518 21 4m, os elementos da primeira

linha representam os preços unitários em reais de três artigos diferentes na loja X e os da segunda linha, os respectivos preços unitários em reais dos mesmos artigos na loja Y. Os elementos da

matriz � ∙ !, com ! q121s, representam os preços a serem pagos

pela compra de 1 unidade do primeiro artigo, 2 do segundo e 1 d terceiro, nessas lojas. Se fizermos a compra em Y, gastaremos, em relação ao que seria gasto na loja X: a) R$ 3,00 a mais b) R$ 3,00 a menos c) R$ 4,00 a mais d) R$ 4,00 a menos e) N.R.A. Questão 12

(PUC–MG) Multiplicando as matrizes "1 gh 3$ ∙ �-1 23 0 , obtemos �11 211 -4 . O produto dos elementos x e y da primeira matriz é:

a) 4 b) 6 c) -4 d) -6 e) -8

RASCUNHO

matrizes (ap 01)

Education