Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA1MATEMTICA FINANCEIRAOBJETIVO: Estudarocrescimentonotempo de um capital aplicado,fornecendo osCRITRIOS para avaliar a rentabilidade dos investimentos no mercado de capitais, Fornecer instrumentos para auxiliar oprocesso decisrioda escolhada melhor alternativa numa economia de escassez. Tendo o dinheiro um valor diferente a cada momento, a Matemtica Financeira permite compar-lo qualquer que seja a diferena de datas.JUSTIFICATIVA:A acelerao do processo de globalizao econmica alterou profundamente o cenrio financeiro mundial. Hoje, as oscilaes imprevisveis do mercado exigem dos profissionais da rea financeira, particularmente os Contadores, conhecimentos profundos de Matemtica Financeira, uma ferramenta essencial para o gerenciamento eficiente de empresas de grande, mdio e pequeno porte.PROGRAMA:I . INTRODUOI.1 - O Problema Central da Engenharia EconmicaI.2 Anlise Matemtica versus Anlise ContbilII . EQUIVALNCIA E JUROSII.1 IntroduoII.2 Diagrama de Fluxo de CaixaII.3 - Fatores que determinam a existncia de jurosII.4 - Juros Simples e Juros CompostosII.5 - EquivalnciaII.6 - Valor AtualIII JUROS SIMPLESIII.1 Valor Presente e Valor FuturoIII.1.1 Taxas ProporcionaisIII.1.2 Taxas EquivalentesIII.2 Descontos SimplesIII.2.1 Desconto BancrioIII.2.2 Desconto RacionalIII.2.3 Saldos BancriosIV JUROS COMPOSTOSIV.1 Fator de Acumulao de Capital em Pagamentos SimplesIV.2 - Fator de Valor Atual em Pagamentos SimplesIV.3 Desconto CompostoIV.3.1 Desconto Bancrio...Chegou a hora dessa gente bronzeada mostrar o seu valor... Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA2IV.3.2 Desconto RacionalIV.4 - Fator de Acumulao de Capital em Sries UniformesIV.5 - Fator de Valor Atual em Srie UniformeIV.6 - Fator de Formao de Capital em Srie UniformeIV.7 - Fator de Recuperao de Capital em Srie UniformeIV.8 - Relao entre os FatoresIV.9 - Srie em GradienteIV.10 - Taxa Nominal e EfetivaV SISTEMAS DE AMORTIZAOV.1 Sistema do MontanteV.2 Sistema de Juros AntecipadosV.3 Sistema AmericanoV.4 Sistema Price, Francs ou de Prestaes ConstantesV.5 Sistema de Amortizaes Constantes SACV.6 Sistema de Amortizaes Misto SAMVI O MERCADO FINANCEIRO VI.1 O Mercado de CapitaisVI.1.1 Mercado de Renda VarivelVI.1.1.1 O que so AesVI.1.1.2 Tipos de Aes VI.1.1.3 Classes de AesVI.1.1.4 Direitos e ProventosVI.1.1.5 NegociaoVI.1.1.6 Bolsa de ValoresVI.1.1.7 BovespaVI.1.1.8 Comisso de Valores MobiliriosVI.1.1.9 ADRsVI.1.2 Mercado de Renda FixaVI.1.2.1 Mercado de Renda FixaVI.1.2.2 SELIC/CETIPVI.1.2.3 Ttulos PblicosVI.1.2.4 Ttulos PrivadosVI.1.3 Mercado de CmbioVI.1.3.1 Mercado de Cmbio no BrasilVI.1.3.2 Operaes de ArbitragemVI.1.4 Mercado de DerivativosVI.1.4.1 Mercado de DerivativosVI.1.4.2 Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F)VI.1.4.3 Opes de AesVI.1.4.4 Estratgia de OpesVI.1.4.5 Mercado a TermoVI.1.4.6 Mercado de FuturosVI.1.4.7 Mercado Futuro para Renda FixaVI.1.4..8 Mercado Futuro para MoedaVI.1.4.9 Mercado Futuro para Produtos AgropecuriosVI.1.4.10 SWAPS Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA3VI.1.5 Mercado de Fundos de InvestimentoVI.1.5.1 Fundos de InvestimentoVI.1.5.2 Fundos de Renda FixaVI.1.5.3 Fundos de Renda VarivelVI.1.5.4 Fundos de Previdncia PrivadaVI.1.5.5 Anlise de RentabilidadeVI.1.5.6 Tributao de FundosVI.2 As Taxas de JurosVI.2.1 A TaxaOverVI.2.2 - TBFVI.2.3 -TRVI.2.4 TJLPVI.6 Aplicaes Financeiras com Rendas FixasVI.6.1 Aplicaes Financeiras com Renda Pr-fixadaVI.6.2 Aplicaes Financeiras com Renda Ps-FixadaVI.7 Operaes de Emprstimos e Financiamentos.H duas ocasies na vida em que no devemos especular: quando no estamos em condies de faz-lo, e quando estamos.Mark Twain,O Calendrio de Puddnhead Wilson Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA4BIBLIOGRAFIA BSICAVieira Sobrinho, Jos Dutra Matemtica Financeira Ed. Atlas - 1997 Faria, Rogrio Gomes de Matemtica Comercial e Financeira 5 ed. Ed. Makron Books 2000Mathias,Washington F. & Gomes, Jos M. - Matemtica Financeira - Ed. Atlas 1995Assaf Neto, Alexandre Matemtica Financeira e suas aplicaes 5 ed. Ed. Atlas 2000Samanez, Carlos P. Matemtica Financeira: Aplicaes Anlise de Investimentos 2 ed. Ed. Makron Books - 1999BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARFaro, Clvis de - Matemtica Financeira - 9 ed.- So Paulo, Atlas 1993Kuhnen, Osmar L. & Bauer, Udibert R. - Matemtica Financeira Aplicada e Anlise de Investimentos - Ed. Atlas - 1996Shinoda, Carlos Matemtica Financeira para usurios do Excel 2 ed. Ed. Atlas 1988Laureano, J. L. & Leite, O . V. - Os Segredos da Matemtica Financeira - Ed. ticaNeves, Cesar das - Anlise de Investimentos - Zahar EditoresErlich, Pierre J.- Avaliao e Seleo de Projetos de Investimento Ed. AtlasSouza, Alceu & Clemente, Ademir - Decises Financeiras e Anlise de Investimento - Ed. AtlasPolo, Edison F. - Engenharia das Operaes Financeiras - Ed. Atlas - 1996Ross, Stephen & Jaffe, J.F. - Administrao Financeira -Ed. Atlas - 1996Hirschfeld, Henrique - Engenharia Econmica - Ed. Atlas - 1984Hess, G. et all - Engenharia Econmica - Difuso Editora S. A .Oliveira, Jos Alberto Nascimento de - Engenharia Econmica: Uma Abordagem s Decises de Investimento - McGraw Hill do Brasil - 1982Arida, Prsio et. All. - Inflao Zero - Paz e Terra Ed.Carvalho, Carlos Eduardo - Mercado Financeiro - Ed. GlobalOliveira Neto, Joo Carlos de - Salrio, Preo e Inflao - Ed. GlobalSecurato, Jos Roberto Decises Financeiras em Condies de Risco Ed. Atlas 1996Kassai, Jos Roberto et all. Retorno de Investimento 2 Ed. -Ed. Atlas - 2000 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA5... Assim, Robinson Cruso sacrificou parte de consumo em prol de fazer uma poupana. Desta forma, estaria garantindo o seu consumo de amanh. Ao sacrificar, ento, parte de sua poupana em prol de investimentos, estava garantindo seu consumo para depois de amanh...CAPTULO I - INTRODUOSeria possvel existirem Contadores sem a existncia de Empresas?Por que razo o homem criou as empresas?A resposta a essa pergunta pode ser encontrada na histria de Robinson Cruso, normalmente, citada nos livros de ensinamentos bsicos de economia, mostra-nos a essncia consumista do ser humano1. Em seus primeiros dias, na condio de nufrago em uma ilha deserta, todo seu tempo era destinado basicamente para obteno de alimentos para seu consumo. Provavelmente, alimentava-se de peixes apanhados com suas prprias mos.Aoquerer mudar essarotina, sacrificoupartedessetempo, etambmdesua prpria alimentao, para desenvolver um mecanismo mais sofisticado para a sua pescaria, talvez uma lana ou uma rede de pesca. A partir de ento, obtinha recursos excedentes aos que necessitava para seu consumo imediato, gerando assim uma reserva que caracterizamoscomoumapoupana,ouseja,umagarantiaparaoconsumododiade amanh. Em sua nova rotina, sobrava-lhe tempo para se dedicar ao lazer.Foi quando se deu conta da necessidade de uma moradia e sacrificando parte do tempo destinado a seu lazer, construiu uma cabana que lhe satisfazia no apenas o dia de amanh, mas tambm para os dias depois de amanh. Caracterizamos, assim, o conceito de investimentos, ou seja, uma garantia do consumo para o depois de amanh. Investimento, pois, representa um potencial de consumos presentes e futuros.Se essa histria fosse verdica e seus personagens se restringissem a nosso amigo nufrago, ou mesmo na companhia do amigo ndio chamado Sexta-Feira, ou at mesmo deuma pequenafamlia, esedesprezssemos tambma natureza ambiciosadoser humano, provavelmente o enredo dessa histria tivesse sempre umfinal feliz, com recursos naturais em abundncia. Entretanto, como podemos observar em nossa sociedade, os recursos naturais soescassos e a humanidade temque labutar arduamente para satisfazer a suas necessidades, ou seja, para garantir seu consumo.2AosolhosdostratadosqueversamsobreEconomia, essesrecursosque satisfazems necessidades da humanidadeso tambmchamados defatores de produo e podem ser representados por:1 E, se observarmos que esse consumo no se restringe apenas a suas necessidades fsicas, como alimentao, moradia e vesturio, mas tambm aos bens e servios que atendam a suas outras necessidades de natureza psquica, intelectual e moral (lazer, harmonia, conhecimento, amor...), poderemos concordar com a afirmao de que o ser humano nasceu para consumir.2 Os economistas destacam a lei da escassez como a mais severa das leis milenares, como uma condenao bblica que acompanha o homem desde a formao do mundo at s modernas e poderosas sociedades contemporneas. O nico bem de consumo excludo dessa realidade seria o ar que respiramos.CONSUMO HOJE AMANH DEPOIS DE AMANH Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA6 TERRA so os recursos oriundos da terra, ou a prpria terra, como, por exemplo: imveis, matria-prima, insumos, etc. TRABALHO representado pelo potencial de mo-de-obra de gerao de servios no apenas de forma quantitativa, ou de horas trabalhadas, mas tambm de forma qualitativa, como criatividade, disponibilidade, idias. CAPITAL representado principalmente pelos recursos financeiros (dinheiro) necessrios para custear o consumo ou novos investimentos. O conceito de capital to abrangente que aqui inclumos tambm a tecnologia e a capacidade empresarial.Esses fatores de produo, por sua vez, quando utilizados ou aplicados em determinadoempreendimentoso passveis deremunerao. Oproprietrio de um imvel (fator terra) podeceder temporariamenteousodessebememtrocadeuma remuneraochamadaaluguel; aspessoaspodemceder temporariamenteousodeseu potencial de mo-de-obra (fator trabalho) em troca de uma remunerao chamada salrio; osproprietriosdedinheiro(fator capital) podemceder temporariamenteousodesse recursosinstituiesfinanceirasouatmesmoaumamigoereceberemtrocauma remunerao chamada juro, como ilustrado abaixo:Assim, as pessoas procuram acumular fatores de produo e aplica-los de forma a seremremuneradosadequadamente, quersejamsobaformadesalrios, derendasde aluguis quer de juros, visando assim suprir suas necessidades de consumo.Enquanto a maior parte das pessoas busca remunerar individualmente seus fatores de produo, uma classe reduzida de pessoas age de forma diferente. Em vez de viverem sob a segurana de um salrio todo o final de ms, ou de outros rendimentos isolados, vestem a camisa de empreendedores e abrem uma EMPRESA.E o que diferencia a maior parte de ns da figura de um empreendedor? Ser que todos ns temos potencial para sermos empreendedores de sucesso?Onosso objetivo neste curso no abordar as caractersticas pessoais do empreendedor, massuavisodosfatoresdeproduoerespectivaremunerao. Um empreendedor consegueantecipar-sesoportunidadesdemercado, juntaseusrecursos disponveisemontaumnegcioouempresa. Passaaalmejar, apartir deento, no apenas aremunerao individual eisolada de cadaumdos recursos aplicados, mas tambm um ganho excedente, ou um valor agregado, que podemos sintetizar na palavra lucro, conforme ilustrado abaixo:TERRA AluguelTRABALHO SalrioCAPITAL Juros Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA7E, obviamente, o montante desse lucro superior (ou deveria ser) ao montante das remuneraes individuais de cada recurso ou fator de produo envolvido; se no o fosse, nosejustificaria oinvestimento. Obtm-se, assim, umvalor excedente quedever compensar os riscos e preocupaes inerentes atividade empresarial.Muito se tem trabalhado na conceituao de lucro, desde o enfoque quantitativo e monetrioatosaspectosqualitativosededifcil mensurao, como, porexemplo, as questes relacionadas com a satisfao pessoal, potencial de mercado, know-how.No objetivo deste curso discutir os aspectos sociais envolvidos com a figura do lucro, se o montante justo ou no sob o prisma da sociedade, nem mesmo as questes relacionadas com a distribuio de rendas, mas o aspecto do lucro como remunerao dos investimentos.Acreditamosqueosinvestimentosdevamserremuneradosadequadamente, no apenas para a satisfao dos proprietrios de capital, mas, principalmente, para garantir a continuidade dos negcios da empresa. E elegemos a figura do lucro como fator preponderante nessa questo.I.1 PROBLEMA CENTRAL DA ENGENHARIA ECONMICASendo os recursos de uma economia em desenvolvimento escassos, a deciso do que produzir, como produzir, quanto produzir e onde produzir tem de ser tomada em bases racionais.Torna-se imperioso, portanto, a compreenso e a correta aplicao dos mtodos de anlise de alternativas econmicas para alocao desses escassos recursos disponveis. O conjuntodestes mtodos necessrios s tomadas dedecises constitui oquenarea financeira se chama Engenharia Econmica.DEFINIO: o conjunto de conhecimentos necessrios tomada de deciso sobre investimentos TERRAAluguelTRABALHOSalrioCAPITAL JurosOportunidade do negcio e Capacidade empresarialExcedenteLUCRO Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA8 O PROBLEMA CENTRAL DA ENGENHARIA ECONMICAUm estudo de engenharia econmica envolve: COMENTRIOa. Emboraadefiniodoproblemasejaumafaseimportantedoestudo, eladispensa maiores comentrios.b.1- evidente que s existe deciso se existirem alternativas de ao. Quanto maior o nmerodealternativasconsideradas, tantomelhor tendeaseradeciso. Nobasta apenas relacionar as linhas de ao; necessrio que sejam tecnicamente viveis, isto , possuamsoluesefetivasaoproblema. Aqui nestafaseoconhecimentotcnico importante.2- svezesumaalternativaimperfeitapodevir asermaiseconmica. Nolimite, pode-semesmoadotar aalternativadenofazer nadacomoamelhor opo. O importante que a escolha no seja arbitrria, mas decorrente de um estudo cuidadoso e obedecendo critrios racionais. A movimentao de materiais por correias transportadoras, por exemplo, sem dvida uma soluo mais perfeita que o transporte manual. Entretanto, este poder ser o mais indicado quando o volume a ser transportado for pequeno, ou mesmo para grandes volumes, desde que haja excesso de modeobraeossalriosdostrabalhadoresnoqualificadossejambaixos. Deve-se levaremcontaaexperinciadeoutrasempresasoupasescomoumguiaseguroas tomadas de decises. S o estudo econmico justificar a soluo.c. necessrio um levantamento identificador e quantificador das vantagens e desvantagens futuras das alternativas. Observe-se que s interessam as diferenas entre as alternativas.d.Devemosestabelecer mtodos decomparaoecritrios dedecisoquepermitam representar cada alternativa por um nmero e que indiquem a soluo mais econmica.AMatemtica Financeiraestudando a evoluo no tempo do capital, empregando para isso raciocnios, mtodos e conceitos matemticos, oferece as bases para a soluo deste problema central.comesseespritoquedesenvolveremosonossocurso, visandosempreasua utilizao nas outras reas das finanas.a . um problema a resolver ou uma funo a executar. Por exemplo, transportar um materialb . diversas solues possveis. Por exemplo: transporte manual, em carrinhos, em empilhadeiras ou mediante rolos ou correias transportadorasc . avaliao de cada alternativa, determinao das vantagens e desvantagens. Por exemplo, custo eficincia, volume transportado, etc.)d . comparao e escolha da melhor alternativa. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA9Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer s necessidades foi solucionado atravs da especializao e atravs de troca de um bem por outro. Mais tarde, surgiu um bem intermedirio para este processo de trocas que a MOEDA.MOEDA=umamercadoriapadroparatrocas ecomparaodevalores dos bens.Todo mundo aceita esta mercadoria nas transaes financeiras.PREO = a medida do valor das utilidades (bens ou servios) e expresso em moeda.RIQUEZA = Acmulo de valor por meio de moedaESCASSEZ = a limitao da oferta de bens ou servios necessrios satisfao das pessoas.Os bens podemser consumidos ou guardados para consumo futuro. Sendo consumido, o bem desaparece. Sendo acumulado, o estoque de bens pode servir para gerar novos bens e/ou riquezas atravs do processo produtivo.I.2ANLISE MATEMTICA versus ANLISE CONTBILH dois momentos distintos que envolvem as decises de investimentos: antes e depois.Engenharia Econmica (Matemtica Financeira) Contabilidade ANTESDEPOISA anlise do retorno de investimento do empreendimento ocorre, inicialmente, na anlise de viabilidade econmica de determinado projeto (equipe de Engenharia Econmica)e, posteriormente, por meio dos relatrios contbeis (equipe de Contadores).As tcnicas de anlise de viabilidade econmica de projetos utilizam-se de instrumentos e conceitos oriundos da matemtica, especificamente de matemtica financeira e, graas a esses recursos, pode-se analisar determinado projeto a priori, mesmo antesdesua implementao. Istodeve ser feito na aquisio de uma nova mquina, na substituiodeequipamentos, nolanamentodeumnovoprodutoenaexpansode mercado, quer na anlise de um projeto global, como a construo de uma nova fbrica.Umaveztomadaadecisodeinvestir emdeterminadoprojeto, importante acompanharodesempenhorealdoprojeto, verificar seosnveisderetornos esperados inicialmente esto realmente se concretizando e se no h nenhum indcio de descontinuidade.Paraisso, noh outra alternativa a no ser recorrermos anlise dos relatrios contbeis que, entre outros objetivos, tem a finalidade de registrar as decises tomadas por meio da contabilizao das transaes econmicas e refletir seus respectivos efeitos nopatrimnio da empresa. Pela anlise dos relatrios contbeis, procuramos verificar se os resultados apurados pela empresa so compatveis comos retornos desejados por ocasio das decises de investimentos.Anlise da Viabilidade Econmica de Deciso de InvestirAnlise dos Relatrios Contbeis Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA10A princpio pode-se pensar que estabelecer comparaes dos ndices obtidos na anlise matemtica do projeto com os relatrios contbeis seja uma tarefa difcil ou impraticvel, devido incompatibilidade dos critrios utilizados.Entretanto, essejustamente nossoobjetivo. Identificaros prseoscontrasde cada uma das reas e propor medidas que possibilitema anlise das decises de investimentos antes, durante e depois.Em relao ao estgio e progresso atual da contabilidade, cumpre-nos dizer que, apesar das limitaes oriundas das regras de natureza fiscal e societria, a teoria contbil est bastante evoluda.Na abordagem contbil do retorno de investimento, apresentamos uma viso geral das principais metodologias de mensurao do lucro. Desde aquela apresentada rigorosamente de acordo coma legislao, at as mais avanadas, como: correo monetria integral, balanos convertidos em moeda estrangeiras (FAS 52), custo corrente, custo corrente corrigido modelo GECON e outros. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA11CAPTULO II - JUROSII.1 - INTRODUOCAPITAL = Qualquer valor expresso em moeda e disponvel em determinada poca.II.2 - DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA bom lembrar que o dinheiro tem um valor diferente a cada momento. Por isso, costuma-se adotar uma representao, chamada FLUXO DE CAIXA, para mostrar as receitas e as despesas ocorridas em instantes de tempo diferentes.Esta representao dada de forma analtica ou grficaEXEMPLO: Imaginemos investir, no instante inicial zero, R$ 5.000,00; no instante 1 e 2 receber, respectivamente, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00; no instante 3 investir R$ 1.000,0 e, no instante 4, receber R$ 9.000,00. O Fluxo de Caixa analtico representativo das constituies monetrias poderia ser assim:Se convencionssemos que as entradas de dinheiro so positivas e as sadas negativas, poderamos representar analiticamente o mesmo Fluxo de Caixa da seguinte maneira:O Fluxo de Caixa pode ser tambm representado graficamente por um diagrama como mostrado na figura a seguir: diagrama do fluxo de caixa.Instantes Entradas Sadas0 5.000,001 2.000,002 4.000,003 1.000,004 9.000,00Instantes Entradas (+) e Sadas (-)0 -5.000,001 +2.000,002 +4.000,003 -1.000,004 +9.000,00 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA12Escala Horizontal: representa o tempo (meses, semestres, anos, etc.)Entradas de caixa ou Receitas: Sadas de caixa ou despesas : OBS:- Investimento feito no instante 0.As receitas (ou despesas) so tratadas no fim do perodo considerado.3IMPORTANTE: Para efeito de decises, no nos interessa como as receitas ou despesas so contabilizadas.EXEMPLO: Fazer o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao de R$ 100.000,00 no RDB, em resgate de R$ 130.000,00 no final de 30 dias.3 As entradas e sadas de caixa devem ter sinais opostos. R$ 100.000,00R$130.000 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA13II.3 FATORES QUE DETERMINAM A EXISTNCIA DOS JUROSDEFINIO DE JUROS - o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como remunerao do capital empregado em atividades produtivasFATORES QUE DETERMINAM A EXISTNCIA DOS JUROSPara o investidor o juro a remunerao do investimento.Para o tomador o juro o custo do capital obtido por emprstimo.Chama-se taxa de juros a razo entre os juros J que sero cobrados no fim do perodo o capital VP inicialmente empregado. Assim, VPJi EXEMPLOAstaxas podem ser mensais, anuais, trimestrais, semestrais, etc. INFLAO (desgaste da moeda) - diminuio do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza retorno maior que o capital investido. UTILIDADE - investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanh ,o que s atraente quando o capital recebe remunerao adequada, isto , havendo preferncia temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinncia do consumo. O prmio para que no haja consumo o JuroRISCO - existe sempre a possibilidade do investimento no corresponder s expectativas. Isso se deve ao fato de o devedor no poder pagar o dbito, o tempo de emprstimo (as operaes de curto prazo so menos arriscadas) e o volume do capital emprestado. Pode-se associar ao acrscimo na taxa pelo maior risco, como sendo um seguro que o ofertante de fundos cobra para assum-los OPORTUNIDADE - os recursos disponveis para investir so limitados, motivo pelo qual ao se aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e preciso que o primeiro oferea retorno satisfatrio.dvida R$ 1.500,0juros anuais R$ 150,00taxa de juros...ia.a = (R$ 150,00/R$ 1.500,00) = 0,1 ou 10/100 ou 10% Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA14II.4 - JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOSO capital inicialmente empregado, denominado principal pode crescer devido aos juros segundo duas modalidades: JUROS SIMPLES : s o principal rende juros, ao longo da vida do investimento. JUROS COMPOSTOS: aps cada perodo, os juros so incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros. O perodo de tempo considerado , ento, denominado perodo de capitalizao. JUROS CONTNUOS:EXEMPLOConsidere R$100,00 empregados a 10% ao ano.EVOLUO DO CAPITAL SOB JUROS0204060801001201401601 2 3 4 5n(TEMPO)PRINCIPALJuro SimplesJuro CompostoOBSERVAESI. O uso de juros simples no se justifica em estudos econmicos no Brasil.As empresas, rgos governamentais e investidores particulares, costumamreinvestir as quantias geradas pelos fluxos de fundo: juros, no caso de emprstimos. lucros e depreciaes, nas demais situaes.Na prtica emprega-se o JURO COMPOSTO.II.A metodologia da anlise de investimento baseia-se em juros compostos para estabelecer padres de comparao; os casos em que no h reinvestimento podem ser tratados como reinvestimento taxa nula e analisados pelos mesmosprincpios.Juros Simples Juros CompostosPrincipal 100,00 100,00aps 1 ano 100 + 0,10 x 100 = 110 100 + 0,10 x 100 = 110aps 2 anos 110 + 0,10 x 100 = 120 110 + 0,10 x 110 = 121aps 3 anos120 + 0,10 x 100 = 130 121 + 0,10 x 121 = 133,1aps 4 anos130 + 0,10 x 100 = 140 133,1+0,10x133,1 = 146,41 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA15A inexistncia de informaes perfeitas entre tomadores e investidores de fundos, no mercado de capitais, faz surgir um intervalo de variao para a taxa de juros, ao invs de um valor nico de equilbrio. Alm disso, as operaes financeiras tm um CUSTO de efetivao referente aos contratos e intermediao dos agentes envolvidos. Tais custos so, geralmente, as comisses (spread), IOF, avais, etc..OFERTA DE FUNDOS = Nvel de riqueza das pessoas, suas preferncias temporais e o valor da taxa de jurosPROCURA DE FUNDOS = Rentabilidade das aplicaes existentes na economia e a preferncia temporal das pessoas.i procuraofertaiequilbrioCapital disponvel II.5 - EQUIVALNCIAA caracterstica particular dos problemas de engenharia econmica decorre do fato de as alternativas de investimentos envolverem entradas e sadas de caixas diferentes, em instantes de tempo diferentes.EXEMPLOAlugar ou comprar um apartamento ?AlternativaA:- alugar apartamento de sala e dois quartos por R$ 500,00/msAlternativaB:- comprar apartamento equivalente por R$ 45.0000,00 vistaAlternativa C: Comprar apartamento equivalente por R$ 20.000,00 vista e R$ 30.000,00 aps 12 meses.SOLUOOs diagramas de fluxo de caixa correspondentes so:ALTERNATIVA A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA16500 500 500 500 500500500500500500500 500ALTERNATIVA B 12 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 45.000ALTERNATIVA C 1 2 3 4 567 8 9 1011 1220.00030.000A soluo mais econmica ser a de menor custo, mas como comparar fluxos de caixa to diferentes para se achar o menor custo?S podemos comparar duas grandezas aps se ter definido uma medida de equivalncia.PONTO DE VISTA DO INVESTIDORDois fluxos de caixa so EQUIVALENTES quando se indiferente entre escolher um ou outroSuponha que se pea a um investidor para responder SIM ou NO s seguintes afirmaes: prefiro receber 100 hoje a 101 daqui a um ms prefiro receber 100 hoje a 102 daqui a um ms prefiro receber 100 hoje a 103 daqui a um ms prefiro receber 100 hoje a 104 daqui a um ms prefiro receber 100 hoje a 105 daqui a um msImagine-se que o investidor responde SIM s trs primeiras perguntas e NO s seguintes.4Pode-seentorepetiroprocesso, comperguntasdotipo100hojeou103,1daquiaumms? 103,3?.....103,9?Em determinado instante o investidor no poder mais escolher. As alternativas sero indiferentes e estar definida a medida de equivalncia.Se a dvida surgir na pergunta 100 hoje ou 103,5 daqui a um ms, diz-se que para ele a quantia de R$ 100,00 hoje equivalente a R$ 103,50 daqui a um ms. Da decorre que remuneraes abaixo de 3,5% no sero aceitas pelo investidor e que a taxa de juros a ser empregada nos estudos de engenharia econmica que fizer deve ser 3,5% ao ms. PONTO DE VISTA DO BANQUEIROConsidere-se um banqueiro que empresta dinheiro a 3% ao ms. Nestas condies um emprstimo de R$ 100,00, por exemplo, pode ser pago, em dois meses segundo um dos planos:PLANO I 012 3,00 103,00PLANO II4 As razes para isto podem ser variadas, como, por exemplo, risco, incertezas, etc. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA17 01 2106,9PLANO III0 1252,26 52,26PLANO IV0 12100,005,74Pontos Comuns: Apesar de envolverem pagamentos de magnitudes diferentes em tempos diferentes possuem os seguintes pontos em comum: juros de 3% a . m. dbito igual ZERO no fim do 2. Ms.CONCLUSO:- Os planos so equivalentes!!!!!R$100,00 hoje e 3% a . m.II.6 - VALOR ATUALChama-se VALOR ATUAL (VP) de um fluxo de caixa, a uma dada taxa de juros, como a quantia hoje equivalente ao fluxo em questo.Dois fluxos de caixa so equivalentes se tiverem o mesmo valor atual.EXEMPLO:- No exemplo anterior, o valor ATUAL dos planos, a 3% a . m., R$ 100,00Note-se que a noo de equivalncia est intimamente relacionada taxa de juros.No caso do investidor, o estabelecimento da equivalncia (indiferena) define imediatamente a taxa de juros que ele considera aceitvel - 3,5% ao ms.No exemplo do banqueiro, a fixao da taxa de 3% ao ms permite especificar as diversas modalidades de pagamentos. Observe-se que os planos apresentados deixariam de ser equivalentes se a taxa de juros fosse alterada. A taxa de 10% ao ms, a evoluo do dbito no plano I seria:Fim do msJuros no perodoDbito antes do pagamentoValor do pagamentoDbito aps o pagamentoPlano I 0 100,00 0 100,001 3,00 103,00 3,00 100,002 3,00 103,00 103 0Plano II 0 100,00 0 103,001 3,00 103,00 0 02 3,09 106,09 106,09 0Plano III 0 100,00 0 100,001 3,00 103,00 52,261 50,7392 1,522 52,261 52,261 0Plano IV 0 100,00 5,74 94,261 2,83 97,09 0 97,092 2,91 100,00 100,00 0 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA18R$0,00 R$100,00 R$0,00 R$100,00R$1,00 R$10,00 R$110,00 R$3,00 R$107,00R$2,00 R$10,70 R$117,70 R$104,00 R$14,70FimdoPerodoJuros cor-respondentesperodoDbitoantes dopagamentoValordopagamentoDbitoaps opagamentoO plano I no equivalente a R$ 100,00 hoje, a juros de 10% porque no paga exatamente o emprstimo. Em outras palavras, o valor atual do plano I a 10% ao ms no mais R$ 100,00.Da existncia de juros e da noo de equivalncia decorre o que se pode chamar valor-tempo do dinheiro, ou seja, a noo de que quando se lida com quantias monetrias no interessa apenas o valor numrico, mas tambm o instante em que tais quantias sero pagas ou recebidas. Tanto no caso do investidor como no caso do banqueiro, o fator tempo influi decisivamente na determinao da equivalncia entre os fluxos de caixa considerados. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA19CAPTULO III JUROS SIMPLESA comparao de fluxos de caixa exige quase sempre sua transformao em outros equivalentes. Torna-se conveniente, portanto, o estabelecimento de frmulas e fatores de converso aplicveis aos fluxos de caixa comumente encontrados.Inicialmente vamos tratar o regime de capitalizao simplesIII.1 VALOR PRESENTE E VALOR FUTUROSejaJ o juro, VF o VALOR FUTURO (montante ou total a ser recebido), i a taxa de juros5 e n o nmero de perodos.6FRMULAS:EXERCCIOS 1. Que montante receber um investidor que tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, taxa de 3% ao ms?SOLUO O problema pede o valor resgatado (montante) e no os juros. Para isso basta adicionar os juros ao capital inicial. Assim, temos:VP = R$ 280,00.......capital inicial ou principaln = 15 mesesi = 3% a . m. = 0,03 a . m.Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem:VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00 , isto ,VF = R$ 406,00 Soluo deste problema tambm pode ser obtida do seguinte modo:J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00ou seja VF = R$ 406,00Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:...limpa os dados dos registros financeiros e estabelece o nmero de casas decimais...muda o valor atual para negativo e armazena em PV...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12)...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30)... Com este comando a calculadora apresentar, no visor, o valor dos juros: R$ 126,005 Existem duas formas de expressarmos a taxa de juros: - Taxa Percentual (%) e a Taxa Unitria. Esta ltima consiste em dividirmos a taxa percentual por 100. Assim, 3% (forma percentual dado na forma unitria por 0.03).6 Os juros simples podem ser exatos (usa o calendrio civil - ano com 365 ou 366 dias) e ordinrios (usa o calendrio comercial - ano com 360 dias e ms com 30 dias). Este ltimo usado nas instituies financeiras.J = VP . i . nVF = VP + J VF = VP(1 + i n)f FIN f 2280 CHS PV3 ENTER 12 x i15 ENTER 30 x nf INT Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA20Poderamos construir uma PLANILHA EXCEL para resolver este todos os problemas semelhantes introduzindo o Principal, a Taxa de Juros e o nmero de Perodos. Assim, clicando na figura voc ter esta planilha. 2.Qual o capital inicial para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples? SoluoM = 148.000,00VP = ? n = 18 mesesi = 48% a . a . = 4% a . m.VF = VP + J = VP(1 + in) VP =0 , 047 . 8672 , 114800072 , 0 114800018 . 04 , 0 11480001 +++inVF3.Uma pessoa consegue um emprstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, aps 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada?SoluoVP = 86.400,00VF = 116.000,00i = ?n = 10 mesesVF = VP (1 + in) 116.640,00 = 86.400,00(1 + i.10)116 640864001 10.= + i 1,35 = 1 + 10 . i i = 0,035 a . m. = 3,5% a . m.equivalente a 12 x 3,5 = 42% a . a .4.Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 832.000,00? SOLUOn = ?VP = 800.000,00i = 16% a .a . = 0,16 a . a .VF = 832.000,00 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA21VF = VP (1 + in) 832.000,00 = 800.000 (1 + 0,16n)1,04 = 1 + 0,16nn = (0,04/0,16) = (1 / 4)ano = 12 meses/4 = 3 meses5.Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 vista. A prazo, vende por R$ 16,54 , sendo R$ 4,00 de entrada e o restante aps 4 meses. Qual a taxa de juro mensal cobrada? SOLUOVP = 15,00 vistaR$ 16,54 o seu valor a prazo que deve ser pago da seguinte maneira:01 234 4,00 12,54EXERCCIOS PROPOSTOS1. Calcule o montante de uma aplicao de R$ 50.000,00, taxa de 2,5% ao ms, durante 2 anos . Resp:- R$ 80.000,002. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, aps 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual? Resp: 20%3.Um capital foi aplicado taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado o resgate no valor de R$ 107,80. Qual o valor do capital inicial? Resp:- R$ 98,004. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se- a R$ 219.500,0? Resp:-16/05/905. Um negociante obteve R$ 441.000,00 de emprstimo, taxa de 21% ao ano. Alguns meses depois tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importncia a 18% ao ano, assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dvida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro emprstimo, saldou o dbito e verificou que pagou ao todo R$ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do primeiro emprstimo? Resp:- 3 mesesComo R$ 4,00 desembolsado na entrada o que vai ser financiado R$ 11,00 para ser pago R$ 12,54 da 4 meses. Ento,VF = VP (1 + in) 12,54 = 11 (1 + i4) 12 5411 001,,-= 4i i = 0,035 ou 3,5% a . m. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA22III.1.1 -TAXAS PROPORCIONAISDuastaxas so proporcionais quando os seus valores formam uma proporo direta com os tempos a elas referidos, reduzidos mesma unidade.Sendo i a taxa de juro relativa a um perodo e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa frao 1/k do perodo, temos:ii kk k= =111 EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao anoSOLUOLembrando que 1 ano = 12 meses, temos:i12 = 30/12 = 2,5 isto 2,5% a . m.EXERCCIO : Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Resp:- 2,4% a . m. III.1.2 -TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas so equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo perodo, produzem o mesmo juro.EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 taxa de 4% ao ms, durante 6 meses taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestresSOLUONo primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00Como os juros so iguais, podemos dizer que 4% a . m. e 12% a . t., so taxas equivalentesiikk= Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA23EXERCCIOS PROPOSTOS1.Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em:a . anos b. meses c. dias Resp:- 2,28 anos; 27,4 meses; 832 dias2.Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao ms? Resp:- 16,8% a . a .3.Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, taxa de 3% ao ms, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,004.Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importncia de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade. Resp:- 6% a . m.5.Que quantia deve-se investir taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? Resp:- R$ 200.000,006.Calcular os juros e o montante de uma aplicao de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m., pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias. Resp:- R$ 263.040,00 e R$ 463.040,007.Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital. Resp:- R$ 300.000,008.Um investidor aplicou R$ 120.000,00 a 42% a . a .. Decorrido um certo tempo, a taxa foi diminuda para 3% ao ms. Calcular o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao ms, sabendo que em 7 meses os juros totalizaram R$ 27.000,00. Resp:- 4 meses9.Duas aplicaes, uma taxa de 4,8% ao ms e a outra a 3,6 ao ms, renderam, em 1 ano e 3 meses, R$ 99.000,00 de juros. Calcular cada uma dessas aplicaes, sabendo que os juros da primeira excederam os da segunda em R$ 1.800,00 Resp:- 70.000,00 e 90.000,0010.A que taxa devemos investir para que, em 10 anos, o montante seja o dobro da aplicao inicial? Resp:- 10% a . a . Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA24III.2 - DESCONTOS SIMPLESSe uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, normal que entregue ao credor um ttulo de crdito, que o comprovante dessa dvida.Todo ttulo de crdito tem uma data de vencimento; porm, o devedor pode resgat-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.O desconto uma das mais comuns aplicaes da regra de juro.Os ttulos de crdito mais utilizados em operaes financeiras so a nota promissria, a duplicata e a letra de cmbio.A nota promissria um comprovante da aplicao de um capital com vencimento predeterminado. um ttulo muito usado entre pessoas fsicas ou entre pessoa fsica e instituio financeira.A duplicata um ttulo emitido por uma pessoa jurdica contra seu cliente (pessoa fsica ou jurdica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos no futuro, segundo um contrato.A letra de cmbio, assim como a nota promissria, um comprovante de uma aplicao de capital com vencimento predeterminado; porm, um ttulo ao portador, emitido exclusivamente por uma instituio financeira.Com relao aos ttulos de crdito, pode ocorrer: que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o ttulo de crdito a um terceiro e justo que este ltimo obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no ttulo de crdito.Em ambos os casos h um benefcio, definido pela diferena entre as duas quantidades. Esse benefcio, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.As operaes anteriormente citadas so denominadas operaes de desconto, e o ato de efetu-las chamado descontar um ttulo.Alm disso: dia do vencimento o dia fixado no ttulo para pagamento (ou recebimento) da aplicao; valor nominal N (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) o valor indicado no ttulo (importncia a ser paga no dia do vencimento); valor atualA o lquido pago (ou recebido) antes do vencimento: A = N - d tempo ou prazo o nmero de dias compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e no o ltimo, ou ento, incluindo o ltimo e no o primeiro. DESCONTO d a quantia a ser abatida do valor nominal, isto , a diferena entre o valor nominal e o valor atual, isto : d = N - A.O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. No primeiro caso, denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.III.2.1 DESCONTO BANCRIO Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA25Chamamos de desconto comercial, bancrio ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do ttulo no perodo de tempo correspondente e taxa fixada.Sejam d o valor de desconto comercial, N o valor nominal do ttulo, A o valor atual comercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto, ento:O valoratual bancrio dado por:EXERCCIOS1.Um ttulo de R$ 60.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando 45 dias para o vencimento do ttulo, determine:a . o valor do desconto comercialb . o valor atual comercial SoluoN = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 diasa. d = N i n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = R$ 1.890,00b. A = N d = 60.000 1.890 = R$ 58.110,00Na HP-12C, teramos: .... Coloca N em PV .... Passa a taxa i para anos, com sinal trocado. .... Passa n para anos .... Encontra o valor atual A (Desconto o contrrio) ....Calcula o desconto d2.Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. Calcule o tempo de antecipao, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% ao ms. SoluoN = 6.900,00 A = 6.072,00 i = 4% a.m.d = N A = N i n (6.900 6.072) = 6.900 x 0,04 x nn =304 , 0 6900828x

d = N . i . nA = N - d = N (1 - in)f finf 260000PV2,1 ENTER 12 x CHSi45 ENTER360 nFV+ RCL PV Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA26f finf 26900 PV 6072 CHS FVRCL PVRCL FVENTERRCL PV ENTER4 100xResp: 3 mesesIII.2.2 DESCONTO RACIONALChamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do ttulo numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.Sejam d o desconto racional e A o valor atual racional, ento7indinNinininNd+++1 1 1'EXERCCIOS 1. Um ttulo de R$ 60.000,00 vai ser descontado taxa de 2,1% ao ms. Faltando 45 dias para o vencimento do ttulo, determine:a . o valor do desconto racionalb . o valor atual racional SOLUO N = R$ 60.000,00i = 2,1% a .m. = 0,021 a . m.n = 45 dias = 1,5 mesesd = N i n = 60.000 0,021 1,5 = 1.890,00++5 , 1 021 , 0 100 , 18901x indd1.832,28A = N d = R$ 58.167,727 Sempre que o desconto no for explicitado, deve-se subentender desconto comercialA= N - d = Nin 1+d = A . i . n Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA27Na HP-12C, temos ... passa i para ano com sinal trocado para desconto comercial... passa n para ano ... calcula o valor atual comercial A = - 58.110,00... calcula o desconto comercial d = 1.890,00

... acha o d = 1832.28...acha o valor atual racional A = 58.167,72Observe que o valor atual racional A maior que o valor atual comercial A (A > A), por isso o comrcio e os bancos preferem o A comercial (pagam um valor menor pelo ttulo).A ttulo de curiosidade, vejamos os estados da pilha operacional da HP - 12C durante estes clculos:0 0 0 0 1890 1890 1890 18901890 1890 1890 18900 0 1890 1890 1 1 1890 1890 1890 1890 1890 18900 1890 1 1 0.021 0.021 1 1890 1890 1832.28 60000 18901890 1 1 0.021 0.021 1.5 0.0315 1.0315 1832.28 60000 1832.28 58167.75Arac1 ENTER 0.021 ENTER 1.5 x + RCL PV x> P). Butterfly de venda: Compra de opo de venda ao preo de exerccio P. Lanamento de 2 opes de venda ao preo de exerccio P' (P' > P). Compra de opo de venda ao preo de exerccio P" (P" > P' > P). Todas as opes se referem ao mesmo ativo-objeto e data de vencimento. VI.1.4.5 - MERCADO A TERMO No mercado a termo possvel comprar ou vender aes a um prazo e preo predeterminados. As operaes a termo possuem as seguintes caractersticas: Os prazos dos contratos a termo so geralmente fixados em 30, 60, 90, 120 ou 180 dias; Existem sempre dois lados envolvidos: o comprador e o vendedor; O contrato determina o tipo e a quantidade de aes; As aes esto disponveis para o comprador do contrato a partir do terceiro dia til do fechamento do negcio; O preo da cotao vista e a taxa de juros influenciam diretamente no preo final do contrato; O comprador do contrato ou o vendedor a descoberto (aquele que lana o contrato de venda de aes sem efetivamente possuir os ttulos) necessita depositar uma margem de garantia, que varia de acordo com a classe da ao, podendo ir de 20% a 100% do valor do contrato. A liquidao do contrato pode ser antecipada. Para tanto, paga-se o valor pro rata relativo aos dias corridos. Acompanhe o exemplo a seguir:EXEMPLOImagine que um investidor esteja interessado em comprar determinado papel, porm no possui capital disponvel para fazer a compra vista. Por conta dessa procura, surgem no mercado outros investidores para financiar a compra de aes a prazo. Eles competem entre si oferecendo a melhor taxa de juros para o investidor inicial. Ao fechar um contrato a termo, o comprador a termo recebe as aes do vendedor praticamente vista, e se dispe a pagar essas aes no prazo determinado do contrato. Para garantir o pagamento, aCVMexige um depsito de margem de garantia. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA94O comprador do contrato tem a liberdade de fazer o que quiser com as aes. Caso o papel suba consideravelmente ele poder vend-los e liquidar o contrato antecipadamente. O investidor que financiou as aes vista, isto , que vendeu as aes a termo, receber, no fim do contrato, o valor formado pelo preo das aes na data do fechamento do negcio acrescido de uma taxa de juros predeterminada, compatvel com os custos e riscos envolvidos.Existemestratgias utilizadas por investidores mais experientes nomercadoa termo. A primeira a operao de financiamento (report), que nada mais do que uma operaoderendafixa. O investidorcompra vista e vende a termo, garantindo assim uma remunerao fixa a uma taxa de juros mais atraente do que a oferecida pelo mercado. A segunda a chamada operao caixa (deport), o investidor vende vista as aes que possuieasrecompraatermo. Aqui, oinvestidor estariaprecisandodecaixa(capital) imediato e as taxas de financiamento eram maiores do que as taxas do mercado a termo. NaBM&Fsonegociados contratos a termo de diversascommoditiescomo Depsito Interfinanceiro(DI),ouro, etc. Esses contratos possuem as mesmas caractersticas dos contratos a termo de aes. Em 1993, foi criado o contrato a termo de Certificados de Energia, que garantem ao titular um preo de energia predeterminado.VI.1.4.6 - MERCADO DE FUTUROS Omercado de futuros foi criado como objetivo deprotegerprodutores e investidores de grandes oscilaes de preo sobre osativos finaanceiros, ndices e produtosagropecurios. Caracterizam-sepor envolver acompra/vendadedeterminado ativoa um preo predeterminado, ajustado diariamente em uma conta de ajuste e por ter depsitos de margens entre as contrapartes. Esses contratos ainda permitem a difuso de preos, administrao da composio deumacarteiraao risco, adiminuio da volatilidadedo preo do ativonomercado vista e tambm indicam o valor futuro do ativo. Quem participa do mercado: Hedgers:participantes do mercado de futuros que tentam afastar seus riscos financeiros das oscilaesdepreo(outaxadejuros) dosprodutos quegeralmenteproduzem.Especuladores: responsveis por assumirem os riscos das oscilaes de preo e garantir a liquideznomercadodefuturos. Normalmente, osespeculadoresliquidamoscontratos antes da data de vencimento e raramente entregam fisicamente os produtos.Arbitradores:Investidores que negociam em mercados distintos, obtendo lucro quando houver discrepncia de preos entre os mercados. Para entender o funcionamento bsico do mercado de futuro, acompanhe o exemplo a seguir: EXEMPLOUm produtor de caf vende toda sua produo para uma empresa de torrefao. Para assegurar que sua produo seja vendida a um preo que lhe garanta ter lucro, esse produtor lana um contrato de venda futura de caf na Bolsa de Mercadoria e Futuros (BM&F) ao preo de U$ 250,00 a saca. Um especulador, investidor ou arbitrador ir comprar o contrato. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA95Esse contrato vai garantir no futuro a compra das sacas ao preo de U$ 250,00, independente do preo de mercado. Imagine que, no vencimento do contrato, o preo do caf esteja em U$ 150,00 a saca.Neste caso o produtor conseguiu garantir sua produo ao preo preestabelecido. No vencimento do contrato ele ir vender sua produo a U$ 150,00 a saca e j ter recebido em sua conta de ajuste dirio U$ 100,00 por saca. O comprador do contrato, tambm chamado de titular, ir ter um prejuzo de U$ 100,00 por saca. Antes do vencimento ele poderia ter vendido esse contrato para um outro investidor.VI.1.4.7 - MERCADO FUTURO PARA RENDA FIXA O mercado de futuros foi criado pelas instituies financeiras para se protegerem degrandesoscilaesdastaxasdejuroqueexistiamnopasnadcadade80, mais precisamente em 1986. A taxa de juro um importante instrumento regulador do custo do dinheiro e tem grande impacto sobre as grandes variveis da economia, como a produo, os investimentos e o consumo.A taxa negociada no prego da BM&F refere-se s operaes de troca das reservas monetrias de um dia entre as instituies bancrias, que calculada pela Cetip, chamada de Depsito Interfinanceirode um dia futuro (DI-1). A grosso modo podemos chamar essa taxa como a que as instituies financeiras remuneram seu dinheiro emprestando a outras instituies.Entenda como funciona um contrato futuro de DI 1: Os contratos DI 1 esto vinculados s taxas dirias do overnight, que a taxa mdia de troca de recursos entre instituies financeiras, calculada na Cetip. Cada contrato calculado sobre um valor de R$ 100.000,00, descontada a taxa mensal do overnight no perodo de tempo que vai da data da operao at o vencimento. Esse valor chamado de Preo Unitrio (PU): PU = 100.000 / (1 + Taxa mensal overnight / 3000) nmero de dias teis at o resgate Os contratos possuem datas de resgate definidas, com vencimento no primeiro dia til do ms. A taxa de juros do contrato ps-fixada. A taxa do CDI-over o ativo objeto e reflete as tendncias do mercado interbancrio. O ltimo dia de negociao do contrato o dia til anterior data de vencimento. Soadmitidasoperaesdecompraevendaparaliquidaodiria(daytrade), desde que realizadas no mesmo prego, pelo mesmo cliente, ou operador especial, intermediadas pelamesmacorretorademercadorias eregistradas pelomesmo membrodecompensao. Osresultadosconseguidos comessasoperaes so movimentados financeiramente no dia til seguinte ao de sua realizao. As posies em aberto so combinadas, conforme as regras da BM&F, por ajustes dirios realizados ao final de cada prego, inclusive no dia de fechamento do negcio. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA96a) Ajuste das operaes realizadas no dia AD = (PA t - PO) x M x n b) Ajuste das posies em aberto no dia anterior AD = {PA t - [PA t-1 x ( 1 + i /100)]} x M x n onde: AD = valor do ajuste dirio;PA t = preo (PU) de ajuste do dia;PO = preo (PU) da operao;M = valor em reais de cada ponto de PU, estabelecido pela BM&F;n = nmero de contratos; PAt-1 = preo (PU) de ajuste do dia anterior; i = taxa mdia de DI de um dia, da Cetip, referente ao dia anterior, expressa em percentual ao dia (taxa efetiva dia), com at sete casas decimais. Ser creditado ao comprador e debitado ao vendedor o ajuste dirio que for positivo. Caso esse valor seja negativo acontecer o inverso. Todos os contratos de futuros exigem depsito de margem de garantia, estabelecido pela BM&F, com reduo de 20% para hedges. A margem de garantia podeser alteradaaqualquer momento. Oinvestidor podeutilizar osseguintes ativoscomo margem:dinheiro,ouro,cotas do FIFe, a critrio da Bolsa,ttulos pblicos e privados, cartas de fiana, aplices de seguro, aes e cotas de fundos fechados de investimento em aes. Acompanhe o exemplo a seguir: EXEMPLOUm banco vende um contrato de DI -1 dia futuro para se proteger da alta de juros. A data da operao 17/07, uma segunda-feira, e o vencimento no dia 21/07, uma sexta-feira.O prazo para saque no overnight de cinco dias. O PU negociado na BM&F no dia 17/07 foi de 99.750. VALOR DO CONTRATO 100.000,00 PU NEGOCIADO NA BM&F 99.750 Taxa Over a .m.1,50%Data Saques at Taxa de JuroTaxa de Juro..Mercado Futuro.. Ajuste.. Vencimento SETIPMercado BM&FPU AjustePu CorrigidoAjuste Corrigido.. .. .. .. .. .. .. ..17/7 5 1,50 1,49 99.752,04 .. (2,04) (2,04)18/7 4 1,51 1,53 99.796,26 99.801,91 (5,65) (5,66)19/7 3 1,49 1,49 99.851,15 99.846,49 4,66 4,6620/7 2 1,50 1,52 99.898,74 99.900,74 (2,00) (2,00)21/7 1 1,47 1,49 99.950,36 99.948,69 1,66 1,67 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA9724/7 0 .. .. 100.000,00 99.999,93 0,67 0,67.. .. .. .. .. .. .. .... Total taxa0,25% 0,25% .. ....Total =(2,71)Por que utilizar o mercado futuro de taxas de juros? A principal funo das operaes que envolvem futuros o hedging (proteo) contra grandes oscilaes na taxa de juro de algum contrato financeiro. As principais estratgias so: Taxa ps-fixada contra taxa prefixada: se o investidor tem uma grande dvida com a taxa de juro ps-fixada e o cenrio econmico aponta para uma alta de juros, a soluo para evitar o impacto da alta seria vender um contrato futuro, transformando a taxa ps-fixada em prefixada. As datas de liquidao financeira do contrato e do emprstimo devem coincidir. Taxa prefixada contra taxa ps-fixada: se o investidor tiver uma grande dvida com a taxa de juro prefixada, e houver uma expectativa de baixa de juro, por meio da compra de um contrato futuro, ser possvel proteger-se do impacto da baixa do juro sobre o resultado financeiro. VI.1.4.8- MERCADO FUTURO PARA MOEDAO mercado de futuros para moeda no Brasil negociado na BM&Fe o principal contrato realizado o contrato futuro de taxa de cmbio de reais por dlar comercial. Os investidores utilizam esse instrumento para se proteger das oscilaes cambiais realizando hedges, que asseguramumataxa de cmbiofutura fixa, almde limitar perdas e imprevistos.Algunsinvestidoresrealizamoperaesdearbitragemtentandoobter lucroem diferentes mercados. Outros ainda apostam em determinadas tendncias de comportamentodataxadecmbio, especulandonessemercado. Osespeculadoresso essenciais, pois garantem liquidez ao mercado. Veja a seguir as principais caractersticas de um contrato futuro: A unidade de negociao por contrato de U$ 100.000,00; A cotao de reais por U$ 1.000,00 com trs casas decimais; Soadmitidas operaes de compra e venda para liquidao diria(day trade), desde que realizadas nomesmoprego, pelomesmocliente, ouoperador especial, intermediadas pela mesma corretora de mercadorias e registradas pelo mesmo membro de compensao. Os resultados auferidos nessas operaes so movimentados financeiramente no dia til seguinte ao de sua realizao. As posies em aberto so combinadas, conforme as regras da BM&F, por ajustes dirios realizados ao final de cada prego, inclusive no dia de fechamento do negcio.a) Ajuste das operaes realizadas no dia AD = (PA t - PO) x M x n b) Ajuste das posies em aberto no dia anterior AD = (PA t - PA t-1) x M x n onde: AD = valor do ajuste dirio;PA t = preo (PU) de ajuste do dia; PO = preo (PU) da operao; M = multiplicador do contrato, estabelecido em 100; n = nmero de contratos; PAt-1 = preo (PU) de ajuste do dia anterior; Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA98 Ser creditado ao comprador e debitado ao vendedor o ajuste dirio que for positivo. Caso este valor seja negativo, ocorrer o inverso. M Muitos contratos sero liquidados antes do vencimento. Os contratos em aberto na data de vencimento sero liquidados financeiramente seguindo a frmula: VL = (TC x 1.000) x M VC = Valor de liquidao do contrato; TC = Taxa de cmbio do dlar para entrega imediata, divulgada pelo Banco Central, calculada pela mdia de venda no PTAX800;M = Multiplicador do contrato, estabelecido em 100 ; A BM&F exige um depsito de margem para garantir os ajustes dirios. Para melhor entender o funcionamento desse tipo de contrato, acompanhe um exemplo de uma empresa utilizando um hedge cambial: EXEMPLOUma grande empresa nacional X ir exportar sua produo para uma empresa localizada nos Estados Unidos. O contrato de exportao de U$ 5.000.000,00 (cinco milhes de dlares), com prazo de vencimento de 270 dias.De posse desse contrato, a empresa X realiza um emprstimo em dlar junto a um banco para receber adiantado o valor do contrato e assim financiar a produo. O juros do emprstimo em dlar so de 11% ao ano.A empresa X, por conta desse emprstimo, corre o risco da oscilao cambial. Para evitar o risco compra alguns contratos de dlar futuro, garantindo uma taxa futura. PTAX800 (to): 1,791 Dlar do vencimento (Dv): 1,850 Nmero de contratos (Nc): U$ 5.000.000,00 / 100.000 = 50 contratos Juros em reais: 16% a.a. Juros em dlares: 10% a.a. Resultado futuro (Rf): Rf = (Df - Dv) * Nc * 100.000 Dlar Futuro (Df): Df = ( 1 + Juros em reais / 1 + Juros em dlar)prazo/360 *PTAX(to) Df = ( 1,16 / 1,10)270/360 * 1,791 = 1.8638Rf = (1,8638 - 1,8500) * 50 * 100.000 = R$ 69.000,00 Resultado do Mercado vista (Ma): Ma = (1,8500 - 1,8638) * 50 * 100.000 = R$ -69.000,00 Neste exemplo, podemos notar que independente dos juros em dlar ou em real, o contrato futuro garantiu umhedgeperfeito. Ohedge resultou num lucro de R$ 69.000,00 e no mercado vista, um prejuzo de R$ 69.000,00.Caso a empresa X no tivesse comprado os contratos e travado o dlar futuro, sua dvida em dlar poderia gerar um grande prejuzo, se Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA99houvesse uma grande desvalorizao do real. Ao realizar o contrato futuro, independente da oscilao cambial, a empresa pode garantir uma cotao futura e planejar o seu fluxo de caixa.VI.1.4.9 - MERCADO FUTURO PARA PRODUTOS AGROPECURIOS NaBolsadeMercadorias e Futuro (BM&F) so negociadoscontratos futuros de produtosagropecuriosoucommodities, comocaf, soja, algodo, acar, milho, boi gordo e bezerro. Os contratos garantem ao vendedor e comprador de produtos um preo futuro fixo, que permite um planejamento financeiro previsvel.Os contratos futuros so cotados em dlar e cada produto possui uma unidade de referncia. O caf, por exemplo, cotado por sacas de 60 Kg; o boi gordo, em arrobas, e assimpor diante. A BM&Festabeleceumasriedepadreseregrasparagarantir a mesma qualidade dos produtos negociados entre os diversos produtores. Os produtos em geral so armazenados e inspecionados pela prpria BM&F.Os principais participantes desse mercado so os produtores que fazem a venda de contratos futuros e os compradores dascommodities, como indstrias de alimentos, torrefao de caf, etc. Ambos os participantes tentam se proteger de eventuais oscilaes nascotaesdascommodities. Htambminvestidoresqueprocuramespecular nesse mercado para conseguir lucro e aumentar a liquidez dos contratos.Acompanhe abaixo as principais caractersticas do contrato futuro de caf arbica, a commodity mais negociada no mercado . EXEMPLO O objeto de negociao o caf cru em gros tipo 6 inspecionado pela BM&F; A negociao de um contrato referente a 100 sacas de 60 Kg; Os meses de vencimento so maro, maio, julho, setembro e dezembro; As posies em aberto so combinadas, conforme as regras da BM&F, por ajustes realizados ao final de cada prego, inclusive no dia de fechamento do negcio. a) Ajuste das operaes realizadas no dia AD = (PA t - PO) x TC x 100 x n b) Ajuste das posies em aberto no dia anterior AD = (PA t - PA t-1) x TC x 100 x n onde: AD = valor do ajuste dirio;PA t = preo (PU) de ajuste do dia;PO = preo (PU) da operao;TC = Taxa de cmbio de reais por dlar (venda do pronto divulgada pelo Banco Central);n = nmero de contratos; PAt-1 = preo (PU) de ajuste do dia anterior; Ser creditado ao comprador e debitado ao vendedor o ajuste dirio que for positivo. Caso esse valor seja negativo, ocorrer o inverso; Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA100 A BM&F exige um depsito de margem para garantir os ajustes dirios. Para os investidores que realizam hedges, a BM&F reduz essa margem em 20%; O local de entrega fsica dos produtos o municpio de So Paulo. O incio o segundo dia til do ms de vencimento; Acompanhe a seguir um exemplo de hedge utilizando contratos futuros de caf: EXEMPLOPara assegurar um preo futuro de sua safra, um produtor de caf procura uma corretora credenciada pela BM&F que opera no mercado futuro e vende 10 contratos. Cada contrato se refere a 100 sacas de 60 Kg. Prazo de vencimento do contrato de 180 dias. A cotao do mercado vista de U$ 100,00/saca. A cotao do contrato para liquidao futura: Lf = U$ 93,00/saca. A cotao vista na data de vencimento do contrato: Cf = U$ 80,00/saca. O resultado futuro (Rf) calculado da seguinte forma:Rf = (Lf - Cf) x n Lf :Cotao Liquidao Futura do contrato = U$ 93,00/saca; Cf: Cotao na data de vencimento = U$ 80,00/saca; n : Nmero de sacas = 10 x 100 = 1.000 sacas Rf = (93 - 80) x 1.000 = U$ 13.000,00 No vencimento do contrato, caracterizado como mercado vista, o resultado foi de: Ra = U$ 80,00 x 1.000 = U$ 80.000,00 Resultado final para o produtor foi de: R = Rf + Ra = U$ 93.000,00 Os U$ 93.000,00 foi justamente o valor do contrato futuro acertado ( U$ 93,00/saca x 1.000 = U$ 93.000,00). Se a cotao na data de vencimento do contrato fosse Cf = U$ 120,00/saca. Rf = (93 - 120) x 1.000 = U$ -27.000,00 Ra = U$120,00 x 1.000 = U$ 120.000,00 R = U$ 93.000,00 Independente da cotao na data de vencimento, o valor que o produtor receber pela sua safra ser de U$ 93.000,00. No primeiro caso, ele Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA101obteve um lucro de U$ 13.000 em relao cotao de vencimento do contrato e, no segundo caso, um prejuzo de U$ 27.000. A maior vantagem, entretanto, ao vender esses contratos, assegurar uma cotao futura, caracterizando um hedge.VI.1.4.10 - SWAPS Os swapsso contratos assinados por duas contrapartes em que se d a troca de fluxo de caixa baseadaem indicadores,taxas de jurose taxas cambiaisentre contas de ativos e passivos. Os swaps so caracterizados como hedges perfeitos e sua utilizao visa diluir riscos s oscilaes do mercado, como desvalorizao cambial, aumento nas taxas de juros, entre outros. Eles podem ser negociados no mercado balco no seguindo normas padronizadas daBM&F. NestecasosoregistradosnaCentral deLiquidaoeCustdiadeTtulos Privados (Cetip). Alguns contratos so registrados e regulamentados na BM&Fe podem exigir depsitos de margem. Acompanhe este exemplo bsico : EXEMPLO A empresa X vendeu um imvel de sua propriedade e decide investir em um Certificado de Depsito Bancrio (CDB) com prazo de um ano a uma taxa de juros prefixada de 20% ao ano. Os diretores financeiros da empresa apostam que a economia sofrer algumas presses e a taxa de juros ir aumentar. Diante desse cenrio, decidem realizar um swap com um banco, trocando a taxa de juros prefixada do CDB pelo CDI-over ps-fixado. Se, no final do contrato, a taxa prefixada do CDB superar a taxa ps-fixada, a empresa receber os juros doCDB, descontada a diferena entre a taxa prefixada e a taxa do CDI-over do perodo. Caso contrrio, se as expectativas dos diretores da empresa se confirmarem, isto , a taxa ps-fixada for maior que a prefixada, a empresa X receber o rendimento doCDB, mais a diferena de taxas do CDB com o CDI-over. O vencimento dos contratos determinado pelas contrapartes e normalmente no possvel a venda ou a liquidao com antecedncia. A grande utilizao de swaps notada quandoumainstituiopossuiativosepassivos comindexadores distintos e umaoutra instituio possui uma posio oposta primeira. Em outras palavras: se uma instituio A tiver passivosemdlareativosindexadosaoCDI-over, enoquisercorrer riscosde variao cambial, ela procura uma instituio B, com ativos em dlar e passivos em CDI-over, e faz um contrato de swap, trocando o passivo em dlar por um passivo indexado ao CDI-over que o mesmo indexador do ativo. Os swapssoindicadostambm para os investidores que possuem descasamento deprazosentrepassivoseativos, ouseja, osprazosdevencimentodeemprstimose dvidas no coincidemcomos prazos de investimento ou de receitas e podem comprometer o fluxo de caixa de uma empresaSWAPENTREDLAR+ JUROSCOMATAXADOCDI-OVER:Este umdos mais tradicionais swaps realizados no mercado. Acompanhe um exemplo de como arbitrar taxas de diferentes mercados utilizando swaps e auferir lucro. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA102EXEMPLOUm Banco X possui uma linha de crdito para exportao e consegue um financiamento de R$ 1.000.000,00 a uma taxa de U$ (dlar) + 17% por um prazo de 180 dias. No mercado, a taxa de swap entre dlar contra CDI-over de U$ + 20%, que maior que a taxa de financiamento para o mesmo perodo. O Banco X ir arbitrar esta diferena de taxas entre estes dois mercados. A variao cambial no perodo de anlise foi de 8.57%. A taxa CDI-over no perodo foi de 15% . ARBITRAGEM POR MEIO DO SWAP.. ATIVO PASSIVOPosio originalCDI - overEmprstimo (U$ + 15%)..=1.000.000*1.151.150.000,00 =1.000.000*1.17*1.08571.270.269,00 .. ..Swap U$ + 20% CDI - over..=1.000.000*1.20*1.0857 1.302.840,00 =1.000.000*1.151.150.000,00 .. .. ..Total 2.452.840,002.420.269,00 .. .. ..Lucro no Swap32.571,00..SWAP ENTRE MOEDAS (Currency Foreign Exchange): Esse tipo de swap, tambm chamado de swap cambial, utilizado por instituies ou empresas que emitem ttulos nos mercados internacionais (eurobonds) em moedas diferentes do dlar como yen, lira, marco, libra, e outras moedas. Muitas vezes emitir ttulos em mercados diferentes do americano garante uma taxa de remunerao mais adequada, alm de uma maior base de investidores potenciais.Por tratar-se de troca de fluxo de pagamentos de ttulos, h periodicamente o pagamento de juros, que tambm devem fazer parte do swap. Acompanhe o exemplo a seguir: EXEMPLOUm investidor americano planeja comprar um eurobond de outra empresa, em liras italianas no valor de ITL 10.000.000,00, que paga juros anuais de 4,5%, com prazo de vencimento de dois anos. No ato da compra ele desembolsa os ITL 10 bilhes de liras e receber anualmente juros de ITL 450 milhes, no final de dois anos receber o valor do principal mais outra parcela dos juros . Valor do principal10.000.000.000,00Juros a .a . 4,50%Fluxo de caixa do Eurobond Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA103Ano 0 (10.000.000.000,00)Ano 1 450.000.000,00Ano 2 10.450.000.000,00Taxa interna de Retorno4,50%Supondo que esse investidor projete que, no futuro, a lira italiana ir se desvalorizar perante ao dlar, e que ele prefira no correr o risco de oscilaes cambiais. No mercado internacional a cotao da lira no presente e no futuro acompanha a seguinte tendncia: Cotao Lira/DlarAno 0 2.000,00Ano 1 2.100,00Ano 2 2.200,00Conforme a planilha abaixo, a lira Italiana estar se desvalorizando. O cliente ento decide trocar o fluxo de caixa do Eurobond junto a uma corretora de Swap ( Swap broker) por um fluxo em dlar. Valor do principal5.000.000,00Juros a .a . 6,50%Os U$ 5 milhes equivalem aos ITL 10 bilhes do Eurobond. A taxa de juros em dlar maior.Fluxo de caixa do EurobondAno 0 (5.000.000,00)Ano 1 325.000,00Ano 2 5.325.000,00Taxa interna de Retorno6,50%Ao realizar este contrato de Swap, todos os recebimentos de juros e do principal do Eurobond dever ser enviado ao Swap Broker, e este lhe enviar o fluxo do contrato de Swap em dlar. Acompanhe abaixo o efetivo fluxo de caixa em Liras da operao de Swap:Fluxo de caixa final do SwapAno 0 (10.000.000.000,00)= 5 mi x 2000,00 (cotao da ITL ano 0)Ano 1 682.500.000,00= 325 mil x 2000,00 (cotao da ITL ano 1)Ano 2 11.715.000.000,00= 5,325 mi x 2000,00 (cotao da ITL ano 3)Taxa interna de Retorno11,70%Repare que o rendimento do investidor aumentou. A taxa de retorno do Eurobond era de 4,5% e com o Swap a taxa passou para 11,70%. Se o Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA104lira italiana tivesse se valorizado, o investidor iria ter uma taxa de retorno menor comparada ao dlar. VI.1.5 - MERCADO DE FUNDOS DE INVESTIMENTO VI.1.5.1 - FUNDOS DE INVESTIMENTO Os fundos de investimento so condomnios abertos ou fechados, que possibilitam a seus cotistas a oportunidade de, em conjunto, investir no mercado de capitais - de renda fixa e/ou varivel - e mercados estruturados aos quais, individualmente, teriam pouco ou nenhum acesso. Os fundos conferem ao investidor melhores condies de remunerao no mercado, devido administrao profissional e por lidarem com volume de recursos extremamente expressivos.Cadafundotemseuprprioregulamentoemqueconstamas regras aserem seguidas na sua administrao, ou seja, o objetivo do fundo e sua poltica de investimento.Os fundos de investimento so criados por instituies financeiras autorizadas pelo Banco Centrale pelaComisso de Valores Mobilirios. Essas instituies so responsveis por administrar o patrimnio de um fundo e fornecer ao investidor todo tipo de informao de forma transparente aos investidores. Existem no mercado diversos tipos de fundo, para os mais variados perfis de investidores.Os fundos so uma alternativa para os investidores obterem rentabilidade de aes ettulos de renda fixasemnecessariamente conhecer profundamente omercado financeiro. Os fundos tambm diluem o riscode grandes perdas, pois o patrimnio deles aplicado em diversos ativos. Um pequeno investidor, sozinho, no conseguiria investir em tantos ativos !Categorias de fundos:Fundos de Investimento Financeiro (FIF)Modalidadequeagregaaplicaesemativosderendafixaouvarivel, bemcomoem instrumentos derivativos, emacordo coma regulamentao do fundo e regras de enquadramento do Banco Central.Opatrimniodessesfundos aplicadoemttulos pblicosprefixados, ps-fixados , ttulos mobilirios, ouro e operaes com derivativos. Podem ter prazo de resgate curto ou indefinido (de 30, 60 ou 90 dias). Com o objetivo de reduzir o riscodesses fundos, a legislao probe que uma pessoa jurdica obtenha, sozinha, mais de 10% do patrimnio total dofundo. Ogestor dofundotambmnopode aplicar mais doque20%do patrimnio numa nica empresa.Fundos de Aplicao em Cotas de FIF (FAC)Categoriadefundoscujosrecursossoaplicadosem cotasdefundosFIF, garantindo maiordiversidadedoportflioedistribuioderisco. ExisteumaregradaCVMpara distribuiodoriscoqueimpedeogestor dofundodeaplicar mais doque25%do patrimnio num nico fundo FIF. Osfundosseclassificamainda em Fundosde RendaFixa,Fundode Renda Varivel e Fundo de Previdncia Privada. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA105VI.1.5.2 - FUNDOS DE RENDA FIXA Fundos de Renda Fixa: Este fundo tem o patrimnio investido em ttulos prefixados/ps-fixadospblicosouprivados(por exemplo, CDB, RDB, debnturesettulospblicos federais). Os ttulos prefixados garantem uma rentabilidade alta no caso de queda da taxa de juros. Os ttulos ps-fixados acompanhamas taxas de juros no vencimento.FundosDI:Investidores mais conservadores, quepreferemcorrer poucos riscos, tm nestes fundos uma opo.Estes fundos so atrelados aoCertificado de Depsito Interfinanceiro(CDI).Fundos de Derivativos:Tm seu patrimnio aplicado em derivativos deativos prefixados/ps-fixados. Por meio de swaps, opes, futuros, o administrador consegue se alavancar e obter maiores rendimentos. Entretanto, tambmpode haver perda de patrimnio.Fundos Cambiais:Segmento cujo objetivo seguir a variao dos ttulos cambiais. Esta modalidadedefundocompostapor umpatrimniodettulos dadvidapblicaou privada atrelada atrelado ao dlar e/ou por derivativos cambiais (exemplo: mercado futuro de dlar).Fundos de Investimento no Exterior (FIEX): O patrimnio aplicado em ttulos da dvida externa brasileira,como os C-bonds, ttulos de crdito de financiamento no Exterior e alguns derivativos vinculados aos ttulos de dvida externa. Fundo multiportflio: Tambm conhecido como multicarteira, composto por diferentes ativos(rendafixaouvarivel), emproporesdistintas, deacordocomapolticade investimento do fundoVI.1.5.3 - FUNDOS DE RENDA VARIVEL FundoMtuodeInvestimentoemTtuloseValoresMobilirios(FITVM):Nestefundoo investidor podeconseguir bonsrendimentoscomrendavarivel sem, necessariamente conhecer omercado.Opatrimnio do fundo investido em aes,ttulos mobilirios, ttulos pblicos e cotasde fundosFIF, FAC, FIEX. Pelo menos 51% devem ser aplicados em rendavarivel. Convm, porm,conhecer as estratgias do administrador, que deve ser compatvel com o perfil do investidor. Por estarem sujeitos a grandes oscilaes, estes undos tambmapresentammaiores chances de perda de patrimnio. Astaxasde administraoe deperformancevariam de acordo com a instituio gestora.Fundo Passivo: O fundo passivo de renda varivel acompanha o ndice Bovespa, ou seja, oadministrador aplicaopatrimniodofundonas aes quecompemondice. Os rendimentos, portanto, so iguais ao do Ibovespa.Fundo Carteira Livre - Ativo:Temseupatrimnio investidoemaesa critrio do administrador. Alguns fundos aplicamemsetores especficos comotelecomunicao, bancos, internet, etc. Os rendimentos costumam ser maiores e, portanto, tambm os riscos envolvidos costumam ser mais elevados. A poltica, estratgia e o histrico dos gestores so importantes e devem ser considerados pelo investidor antes de decidir em qual fundo aplicar.FundoDerivativo:Temseupatrimnioaplicadoem aes,ttulospblicoseprivados, cotas de fundos e derivativos(opo,futurose contratos a termo). Este fundo pode ser umaboa opopara investidoresagressivos, que procuram uma remunerao mais alta. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA106Osriscosenvolvidos costumamser altos egeralmenteopatrimnioestalavancado. Assim, o risco de haver perda de patrimnio maior, assim como tambm a necessidade de depsitos adicionais para cumprir as operaes realizadas.Fundo Off-Shore: Constitudo por carteiras que aplicam recursos disponveis no exterior emativosbrasileirosequetmsede formalmente localizada no exterior.So aplicados pelo gestor em ADRs, commercial paper e eurobonds de empresas brasileiras com sede no Exterior. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA107VI.1.5.4 - FUNDOS DE PREVIDNCIA PRIVADAH no mercado duas categorias de planos de previdncia privada: os planos individuais, ou FundosdePrevidnciaPrivadaAberta,eoscoletivos,ou Fundosde Previdncia PrivadaFechada, tambmchamados de fundos de penso. Dos planos individuais pode participar qualquer pessoa. So comprados individualmente no mercado de bancos, corretoras ou seguradoras. J os planos coletivos so vinculados a empresas e contratados por elas. Participamdos fundos depensoos funcionrios das empresas contratantes, por meiodecontribuiesmensais, geralmentedescontadasemfolhade pagamento. FUNDOSDE PREVIDNCIAPRIVADAABERTA:No momentoda contratao doplanoo participante estipula o tempo pelo qual deseja poupar, a idade com a qual gostaria de sair e ovalor dobenefcio(aposentadoria) quequerreceber. Atualmente, osaldodocapital formado pelas contribuies mensais corrigido anualmente em 6%, mais a variao do IGP-M. Apenas parte dos ganhos financeiros conseguidos acima da rentabilidade mnima garantida repassada ao participante. Oferece umbenefcio fiscal ao participante, permitindoqueabataat12%dasuarendabrutatributvel noAjustedaDeclarao Anual, reduzindo com isso a base de clculo do imposto.FUNDOSDEPREVIDNCIAPRIVADAFECHADA:Tambmconhecidoscomofundosde penso, socomprados nomercadopor empresas para usodeseus funcionrios. A participaodosfuncionriossedpormeiodecontribuiesmensais, geralmentevia desconto em folha de pagamento. Atualmente, o saldo do fundo corrigido anualmente em 6% mais a variao do IGP-M.FUNDOS DE APOSENTADORIA PROGRAMADA INDIVIDUAL (FAPI): uma modalidade de fundo de investimento voltado complementao da aposentadoria bsica da Previdncia Social. Pode ser considerado, portanto, um produto de previdncia complementar.Neste plano, oparticipantenotemagarantiadeumrendimentomnimocomoaconteceno plano de previdncia privada tradicional. Mas ele poder escolher o tipo de aplicao onde deseja que seu dinheiro seja investido, de acordo com seu perfil de risco (conservador ou agressivo). NoFAPIoparticipante adquirecotas de um fundode investimento comum (FIF).Todoganho excedente tido com a aplicao do dinheiro no mercado repassado integralmente ao participante.PLANO GERADOR DE BENEFCIOS LIVRES (PGBL): uma alternativa de complementao de aposentadoria. No oferece ao participante uma garantia de rendimento mnimo. Todo ganho excedente conseguido no mercado repassado integralmente ao contribuinte. Tambm aqui o participante pode escolher o tipo de fundo de investimento onde suas contribuies sero aplicadas. Pode estipular, ainda, o valor de suascontribuieseovalordobenefcio(aposentadoria)quequerreceberaofinal do plano.No PGBLoparticipantepodededuzir ascontribuiesfeitasatumlimite de12% da renda bruta anual. O valor da aposentadoria calculado no final de todas as contribuies, com base no montante acumulado na aplicao financeira. H hoje no mercado trs tipos de PGBL. A diferena entre eles est no tipo de aplicaofinanceira em que o fundo Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA108investido. Portanto, aescolhavai dependerdoriscoqueoparticipanteestdispostoa correr. Confira a seguir as caractersticas de cada um.Plano soberano:maisindicadoparaclientescom perfil conservador, estefundotemseupatrimnio aplicadoem ttulospblicos, comottulosdoTesouroNacional, TtulosdoBancoCentral eCrditos Securitizados do Tesouro Nacional.Plano renda fixa: indicado para quem tem perfil de investidor moderado, que no quer correr riscos. O patrimnio do fundo investido em renda fixa, alm de ttulos pblicos.Planocomposto:maisindicadoparainvestidorescom perfilagressivo. At49%dopatrimnioso investidos em renda varivel (aes). O restante aplicado em renda fixa ou em ttulos pblicos. Clique aqui e veja algumas questes (FAQ) interessantes sobre os Fundos de Investimentos.VI.1.5.5 - ANLISE DE RENTABILIDADEPara analisar a rentabilidade e o desempenho dos fundos existem alguns fatores que devem ser considerados pelo investidor.Volatilidade: mostra a variao de preo das cotas dos fundos, medindo a estabilidade das aplicaes realizadas, permitindo, com isso, que se mea a estabilidade das aplicaes feitas. Quanto mais alta for a volatilidade do fundo maior seu risco. ndice Sharpe: ndice que mostra a relao entre o risco contido num fundo de investimento e o valor pago ao investidor. Quanto maior esse ndice, melhor seu desempenho. Convm, ainda, comparar os rendimentos com as taxas de juros do CDI (Certificado de Depsito Interbancrio), poupana e o ndice Bovespa, referncias de anlise de desempenho. 5.6 - Tributao de Fundos A tributao dos fundos obedece alguns critrios: Nos fundos de renda fixa, o imposto de renda sobre o ganho nominal de 20%. Nos fundos com ativos vinculados renda varivel, o imposto de renda sobre o ganho nominal de 10%. NosfundosdeaposentadoriaFAPIePGBL, oporcentual doimpostoderenda varia de acordo com o valor do resgate. Resgates de at R$ 900 esto isentos; de R$ 900 at R$ 1800, o imposto de renda de 15% com uma deduo de R$ 135; acima de R$ 1800, o IR de 27,5%, com uma deduo de R$ 360. Nos fundos do tipo FAPI, alm da tributao do imposto de renda feita sobre o ganho nominal, o fundo ainda tributado em 20% sobre o rendimento apresentado. Sobre todos os fundos ainda incide a Contribuio Provisria sobre Movimentao Financeira (CPMF) de 0,30% do total resgatado e IOF proporcional aos dias de rendimento (at 29 dias). VI.2 AS TAXAS DE JUROS Vamos, agora, estabelecer quatro taxas que so muito importantes no mercado financeiro: a taxa OVER, a TBF, a TR e a TJLP Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA109VI.2.1 A TAXA OVERTodas as Instituies Financeiras e as Instituies autorizadas pelo Banco Central doBrasilaoperar noMercadoFinanceiro, particularmentenoMercadoAberto(Open Market),quer na CETIPouno SELIC,utilizam bastante a taxa Over Night ou, mais comumente chamada, a taxa over, para realizar as suas operaes. A taxa over uma taxa equivalente a umfator dirio,obtido por meio da descapitalizao de uma determinada taxa efetiva pelo nmero de dias teis (tambmchamado de saques) compreendidos no perodo a que ela se refere.EXEMPLO 1Suponha que a taxa over em determinado momento esteja definida em 5,4% a.m.. No perodo de referncia da taxa, esto previstos 22 dias teis. Qual a taxa efetiva do perodo?SoluoComo a taxa over geralmente definida por juros simples (taxa nominal), a taxa diria atinge:% 18 , 030% 4 , 5 iao dia .........taxa nominalSabendo que no perodode refernciadessa taxa existem 22 dias teis, a taxa efetiva obtida pela capacitao composta, ou seja:i = (1 + 0,0018)22 1 = 4,04% a.m...... taxa efetivaEm outras palavras, pode-se concluir que 4,04% representam a taxa efetiva para 22 dias teis, ou mesmo para os 30 dias corridos do ms.Em resumo, os procedimentos de apurar a taxa efetiva dada uma taxa nominal de juros over so os seguintes: Dividir a taxa de over geralmente mensal, pelo nmero de dias corridos no perodo para se obter a taxa nominal diria; Capitalizar a taxa diria pelo nmero de dias teis previstos na operao.A expresso bsica de clculo da taxa efetiva :1301 ) ( ,_

+ duoverefetiva isendo: over a taxa nominal mensal over, du o nmero de dias teis previstos no prazo da operao.Por outro lado, muitas vezes interessante transformar uma taxa efetiva em taxa de over. No exemplo acima, foi definida uma taxa nominal over de 5,4% a.m. para um perodo com 22 dias teis. Com isso, calculou-se a taxa efetiva de 4,04% a.m..Se fosse dada a taxa efetiva para se transformar em over, o procedimento de clculo seria o inverso, ou seja: Descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia til previsto na operao; Por ser nominal, e definida mensalmente, a taxa over obtida pelo produto da taxa descapitalizada pelo nmero de dias corridos do ms.Aplicando-se esses procedimentos na ilustrao, tem-se:i = 4,04% ao msdu = 22 dias teis1 ) 0404 , 1 (221 i = 0,18% ao dia tilOVER = 0,18% x 30 = 5,4% a.m. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA110A formula de clculo da taxa over, dada uma taxa efetiva de juros, pode ser desenvolvida da seguinte forma:( ) 30 1 11x i over du1]1

+ Substituindo os valores ilustrativos acima, chega-se aos 5,4% a.m., ou seja:( ) 30 1 0404 , 1 221x over1]1

= 5,4% a.m.EXERCCIOS RESOLVIDOS1. Uma taxa over est definida em 4,8% a.m.. Para um ms de 23 dias teis, determinar a taxa efetivaSoluo130048 , 01 ) (23 ,_

+ efetiva i= 3,75% a.m.2. Converter a taxa efetiva de 4,1% a.m. em taxa over, sabendo que no perodo existem 21 dias teis.Soluo( ) 30 1 041 , 0 1 211x over1]1

+ = 5,75% a.m.3. Uma aplicao pelo prazo de 35 dias corridos, que incluem 26 dias teis, remunerou o capital aplicado a uma taxa over de 4,3% a.m. Determinar a taxa efetiva mensal de juros.Soluo% 1433 , 030% 3 , 4 overao dia.Os juros so capitalizados somente nos dias teis. Os 25 dias teis considerados na operao equivalem a: 25/35 = 0,714286 dos 35 dias da aplicao financeira, ou a: 0,714286 x 30 = 21,42858 dias do ms. Logo:( ) 1 001433 , 0 1 ) (42858 , 23 + efetiva i= 3,12% a.m.4. Atualizar um valor financeiro de R$ 68.500,00 por 1 dia til taxa over de 2,25% a.m.Soluo1300225 , 01 ) (1 ,_

+ efetiva i= 0,075% ao diaValor Atualizado = 68.500,00 x (1 + iefetiva)1 = 68.500,00 x 1,00075 = R$ 68.551,38Se a atualizao financeira fosse por todo o perodo de 26 dias teis, ficaramos com:1300225 , 01 ) (26 ,_

+ efetiva i=1,9684% a.m. E o valor atualizado seria: 68.500,00 x 1,019684 = R$ 69.848,35Se quisssemos fazer a atualizao financeira pela taxa efetiva no perodo de 36 dias corridos, teramos:i(efetivo) = 1,9684% E o valor atualizado seria o mesmo que o anterior, ou seja R$ 69.848,35 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA1115. Se no exemplo anterior a taxa over permanecer a mesma nos primeiros 10 dias teis, subir para 2,28% a.m. nos 7 dias teis seguintes e descer para 2,26% a.m. nos ltimos 9 dias teis, qual ser o valor atualizado?SOLUOO fator de atualizao seria:019786 , 1 )300226 , 01 ( )300228 , 01 ( )300225 , 01 (9 7 10 + + + x x FO valor atualizado ser: 68.500,00 x 1,019786 = R$ 69.855,33Como se pode ver, a taxa over espelha a expectativa do Mercado para o custo do dinheiro futuro, dentro do prazo em que vai ser realizada determinada operao.6. Fulano quer aplicar R$ 500.000.000,00 em um ttulo de Beltrano por 36 dias, com 26 dias teis, e revende-lo no fim do prazo. Fulano projetou as taxas over acima (2,25% - 2,28 e 2,26% a.m.), respectivamente, para nmeros de dias teis indicados. Beltrano concordou com as projees de Fulano e o negcio foi fechado no prazo combinado. No fim dos 36 dias corridos ou 26 dias teis, verificou-se que as taxas over tiveram, na realidade, os seguintes valores: 2,20% a.m. para os 10 primeiros dias teis, 2,25% a.m. para os 7 dias teis seguintes e 2,27% a.m. para os ltimos 9 dias teis. Quem levou a melhor? Fulano ou Beltrano?Soluo F1 = 1,019786 (Projees)2,25%2,28%2,26%0 10 17 26 dias teis2,20%2,25% 2,27% F2 = 1,019575 (Realidade)019575 , 1 )300227 , 01 ( )300225 , 01 ( )30022 , 01 (9 7 102 + + + x x FAssim:V1 = 500.000.000,00 x 1,019786 = R$ 509.893.000,00V2 = 500.000.000,00 x 1,019575 = R$ 509.787.500,00Fulano projetou taxas over, de propsito ou no, acima da realidade, assim aplicou seu dinheiro com Beltrano, recebendo mais do que deveria na ocasio da revenda (26 dias teis aps). O valor a mais foi de (V1 V2) = R$ 105.500,00.Em termos de %, o ganho extra foi de (F1/F2) = 1,000207 ou 0,020695%, que deve incidir sobre o valor aplicado de R$ 500.000.000,00 (poca zero). Ento:0,020695% x 500.000.000,00 = R$ 103.474,50na poca zeroLevando o valor acima para a poca da revenda (26 dias teis aps), aplicando obviamente o F2 = 1,019575, vamos ter: Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA112103.474,50 x 1,019575 = R$ 105.500,00, exatamente o valor (V1 V2) acima.Fulano levou a melhor sobre Beltrano, pois na ocasio da revenda conseguiu R$ 105.500,00 a mais. Isto se deve s projees de taxa over realizadas por Fulano e Beltrano. Veja como importante fazer o clculo das projees da taxa o mais corretamente possvel. Essa a maior dificuldade da Matemtica Financeira e, por que no dizer, do Mercado Financeiro como um todo, pois baseando-se no comportamento das taxas futuras que se toma as decises mais acertadas no presente, tanto para comprar ativos (aplicar recursos) como para vender (tomar recursos)Posteriormente veremos como efetuar algumas operaes financeiras usando a taxa over.VI.2.2 - TAXA BSICA FINANCEIRA (TBF)Criada pelo Conselho Monetrio Nacional (CMN) por meio da Resoluo n 2.171 de 30/06/95, a TBF teve por principal finalidade ajudar no projeto de ampliao do prazo das aplicaes financeiras, ocorridas aps o Plano Real e paralelamente servir de base para o clculo da TR (Taxa Referencial) e o seu Redutor.A TBF, calculada pelo BACEN, consiste no estabelecimento dirio da taxa mdia mensal ponderada pelo volume dos 30 maiores Conglomerados Financeiros, eleitos semestralmente pelo BACEN, em funo da quantidade de captao de depsitos e recibos de depsitos a prazo (CDB e RDB) pr-fixados de 30 a 35 dias, quantidade essa obtida por meio de seus balanos semestrais. A amostra desses Conglomerados Financeiros composta de seus Bancos Mltiplos, Comerciais e de Investimento e de Caixas Econmicas.Diariamente as Instituies Financeiras da amostra devem fornecer ao BACEN sua taxa mdia mensal ponderada pelo volume captado, o qual calcula a TBF no dia til imediatamente posterior ao dia de referncia, segundo a relao:nkknkk kMxT MTBF11em que:TBF = taxa bsica financeira do dia da coleta1 k nn = nmero de Conglomerados da amostra = 30Mk = montante dos CDB/RDB emitidos pelo k-simo ConglomeradoTk = taxa mdia mensal ponderada do k-simo ConglomeradoAssim a TBF relativa coleta do dia 2, por exemplo, s calculada no dia 3 e publicada nos jornais do dia 4, supondo-se 2 e 3 , dias teis.Os mesmos tipos de Instituies Financeiras que ajudam a compor a TBF foram autorizadas pelo BACEN, quando da criao da TBF, a acolher os Depsitos a Prazo de Reaplicao Automtica (DRA), atrelados TBF, antes pelo prazo mnimo de trs meses e agora reduzido a dois meses.O mercado pode agora tambm realizar operaes, tanto ativas quanto passivas com base nas TBF, desde que o prazo mnimo seja de dois meses. Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA113VI.2.3 - TAXA REFERENCIAL (TR)Criada em 1991 com a finalidade de propiciar ao Mercado Financeiro uma taxa de juros bsica semelhante Libor do mercado londrino ou a Prima-Rate do mercado dos EUA e de ser, portanto, utilizada pelos agentes econmicos nos negcios financeiros, a TR veio tambm para substituir os BTN Fiscais, que refletiam taxas passadas. A TR, como veremos, baseada na expectativa de taxas futuras.A TR nada mais do que a TBF expurgada do juro real pago aos aplicadores e da tributao embutida nas taxas brutas, ou seja, mede a expectativa de inflao futura ou correo monetria, se considerarmos as duas como a mesma coisa, para os prximos 30 dias.Assim para obtermos a TR, basta que subtraiamos da TBF correspondente o juro real pago e a tributao cobrada. Estas duas variveis foram batizadas pelo BACEN de Redutor, que tambm uma taxa de juros. Entretanto, como no regime de juros compostos no se pode subtrair (nem somar) taxas e sim dividir (ou multiplicar) fatores, temos:100 11001xRTBFTR

,_

+ em que(1 + 100TBF) = fator da TBFe) (R Redutordo fator 1001 + RRPela Resoluo do BACEN n 2437 de 30/10/97, que revogou a Resoluo n 2387 de 22/05/97, a frmula do fator do Redutor, a partir de novembro de 1997, mudou para:R = A + B (TBFm)Em que:R = fator do RedutorA = 1,0025B = 0,45TBFm = mdia aritmtica simples das TBF relativas aos cinco ltimos dias teis do ms anterior, Ana forma decimal.As constantes A e B podem ser modificadas, porm com antecedncia de 180 dias. Assim, o Redutor da TR tem sempre o mesmo valor dentro de cada ms.EXEMPLOCalcular a TR em que os dados coletados foram:TBF = 1,7269% a.m....... sempre com 4 casas decimaisTBFm = 1,5600% a.m. ..sempre com 4 casas decimaisDia da Coleta da TBF = 28/07/97SoluoR = A + B x (TBFm) = 1,0025 + 0,45 x (0,0156) = 1,009520 que arredondado para 4 casas decimais d: R = 1,0095. . % 769589 , 0 100 10095 , 1017269 , 1m a x TR ,_

Arredondando tambm para 4 casas decimais, temos:TR = 0,7696% a.m. de 28/07/97 a 28/08/97 Bertolo MATEMTICA FINANCEIRA114OBS:- O BACEN, atravs da Resoluo n 2437 manda se calcular o fator R do redutor utilizando todas as casas decimais disponveis em cada mquina, arredondando depois, antes de calcular a TR, para 4 casasPor meio da Resoluo n 2459 de 18/12/97 do BACEN, foi modificado o clculo do fator do Redutor, o que implicou indiretamente a modificao do valor da TR. O fator do Redutor passou a:) (1mmTBF B ATBFR++em que:R = fator do RedutorA = 1,0000B = 0,3184TBFm =mesmo conceito e forma anteriores.As constantes vigoraro por prazo indeterminado, podendo, no entanto, ser alteradas com antecedncia, agora mais curta ainda, de 30 dias. O BACEN calcula o fator R do redutor utilizando todas as casas decimais disponveis, procedendo ao arredondamento do valor final para 4 casas decimais, exatamente como antes. fcil de ver que o redutor da TR continuou tendo o mesmo valor dentro de cada ms.EXEMPLOCalcular o fator R do Redutor de 01/02/98 a 01/03/98, em que:TBFm = 2,4028% = 0,024028Soluo) (1mmTBF B ATBFR++R = 1,016253 que arredondando para 4 casas decimais, temos:R = 1,0163ou R = 1,63% a.m. de 01/02/98 a 01/03/98 bom lembrar que a frmula inicial para o valor do TR no foi modificada. O que mudoufoi ametodologia declculodofator RdoRedutor, paraseenquadrar nos nmeros projetados pela autoridade monetria, pois s de observar a frmula original v-se que um maior redutor diminui o valor da TR (e vice-versa)e, por conseguinte diminui (ouaumenta)tambmosrendimentosouencargosdetodososativosatreladosaela, inclusive e principalmente a Caderneta de Poupana.Por meio da Resoluo n 2604 de 23/04/99, o clculo do fator redutor da TR foi novamente modificado, para entrar em vigor em 01/06/99. Assim temos:100TBFb a R + em que:R = Fator Redutora = 1,005b = 0,48TBF = Taxa Bsica Financeira do dia de referncia em termos porcentuaisEXEMPLOCalcular a TR do dia 14/06/99, em que a TBF = 1,5772%.Soluo1. Vamos calcular inicialmente o fator