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Nível Médio Avançado – Matemática e Raciocínio Lógico – Professor Bruno Villar – Aula 03

Curso Nível Médio Avançado

Disciplina Matemática e Raciocínio Lógico

Prof. Bruno Villar

Aula 03

MATERIAL DO PROFESSOR

Inequação do 2ª grau

Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das

seguintes formas:

ax² + bx + c > 0;

ax² + bx + c < 0;

ax² + bx + c ≥ 0;

ax² + bx + c ≤ 0.

01.O conjunto-solução da inequação 9 – x² > 0 é

(A) - 3 > x > 3

(B) - 3 < x < 3

(C) x = 3

(D) x < 3

(E) x > 3

02. O conjunto solução da inequação, x²-6x+ 8 < 0, no universo N dos números naturais, é

(A) { 0 }

(B) {2 }

(C) { 3 }

(D) { 7/2 }

(E) { 4 }

Gabarito

01.B

02.C

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de base

a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que

zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar: quando a>1;

quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico

abaixo:


x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 4 2 1 1/2 1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que

*o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

*o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

*os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem

é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

f(x) é decrescente e Im=IR+



x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mes-

mo sentido)

x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm

sentidos diferentes)

01.(Petrobras) O número de acessos a determinado site vem aumentando exponencialmente, de acordo

com a função A = k.bm, onde k e b são constantes reais não nulas, como mostra o gráfico abaixo.

A primeira medição (1.000 acessos) foi feita em janeiro. Considerando-se que o aumento exponencial

observado tenha sido mantido ao longo dos meses, quantos foram os acessos a esse site em abril?

(A) 1.600

(B) 1.680

(C) 1.728

(D) 1.980

(E) 2.073

02.(PETROBRAS) Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo medicamento a

um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do medicamento no organismo reduz em função do

tempo t, em horas, de acordo com a função = C(t)=Ci.(1/2)0,25t , onde Ci representa a concentração inicial

de tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo com essas informações,

após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava

parte da concentração inicial ( Ci )?

(A) 4

(B) 8

(C) 10

(D) 12

(E) 16

03. (PETROBRAS) O governo federal vai usar recursos do FGTS para financiar projetos na área de trans-

porte urbano, visando à Copa do Mundo em 2014. Empresas que pegarem empréstimos para projetos de

transporte sobre trilhos pagarão 5,5% de juros ao ano. Uma empresa receberá um empréstimo de x re-

ais, a serem pagos em t anos. O valor total M pago por esse empréstimo é calculado pela fórmula

(A) M = x . (0,055)t

(B) M = x . (0,55)t

(C) M = x . (1,055)t

(D) M = x . (1,55)t

(E) M = x . (5,5)t


04.(PETROBRAS) A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo

de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010.

Disponível em: www.pt.wikipedia.org

Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia correspondesse a P habi-

tantes, a população de 2010 corresponderia a

(A) P. (0,9999)5

(B) P . (0,999)5

(C) P . (0,909)5

(D) P . (0,99)5

(E) P . (0,90)5

Gabarito

01.C

02.D

03.C

04.B

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expo-

ente.

A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de

base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores

que zero).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL


quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)


abaixo:

x -2 -1 0 1 2

y 1/4 1/2 1 2 4

2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


abaixo:

x -2 -1 0 1 2


y 4 2 1 1/2 1/4


*o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

*o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

*os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto ima-

gem é Im=IR+.


a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR+



mo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR+


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm

sentidos diferentes)

01.(Petrobras) O número de acessos a determinado site vem aumentando exponencialmente, de acordo

com a função A = k.bm, onde k e b são constantes reais não nulas, como mostra o gráfico abaixo.


A primeira medição (1.000 acessos) foi feita em janeiro. Considerando-se que o aumento exponencial

observado tenha sido mantido ao longo dos meses, quantos foram os acessos a esse site em abril?

(A) 1.600

(B) 1.680

(C) 1.728

(D) 1.980

(E) 2.073

02.(PETROBRAS) Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo medicamento a

um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do medicamento no organismo reduz em função do

tempo t, em horas, de acordo com a função = C(t)=Ci.(1/2)0,25t , onde Ci representa a concentração inicial

de tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo com essas informações,

após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um indivíduo equivalerá à oitava

parte da concentração inicial ( Ci )?

(A) 4

(B) 8

(C) 10

(D) 12

(E) 16

03. (PETROBRAS) O governo federal vai usar recursos do FGTS para financiar projetos na área de trans-

porte urbano, visando à Copa do Mundo em 2014. Empresas que pegarem empréstimos para projetos de

transporte sobre trilhos pagarão 5,5% de juros ao ano. Uma empresa receberá um empréstimo de x re-

ais, a serem pagos em t anos. O valor total M pago por esse empréstimo é calculado pela fórmula

(A) M = x . (0,055)t

(B) M = x . (0,55)t

(C) M = x . (1,055)t

(D) M = x . (1,55)t

(E) M = x . (5,5)t

04.(PETROBRAS) A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo

de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010.

Disponível em: www.pt.wikipedia.org

Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia correspondesse a P habi-

tantes, a população de 2010 corresponderia a

(A) P. (0,9999)5

(B) P . (0,999)5

(C) P . (0,909)5

(D) P . (0,99)5

(E) P . (0,90)5


Gabarito

01.C

02.D

03.C

04.B

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de

base a. O domínio dessa função é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é

IR (reais).

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA


quando 0<a<1.

Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso:

y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)


abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4

y -2 -1 0 1 2

y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)


abaixo:

x 1/4 1/2 1 2 4

y 2 1 0 -1 -2



*o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;

*o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1;

*y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR.


a>1 0<a<1

f(x) é crescente e Im=IR



mo sentido)

f(x) é decrescente e Im=IR


x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm senti-

dos diferentes)

Treinamento

01.Em calculadoras científicas, a tecla log serve para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digi-

tamos 100 e, em seguida, apertamos a tecla log, o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta al-

guns resultados, com aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua

calculadora científica.

Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é

(A) 0,563

(B) 0,669

(C) 0,966

(D) 1,623

(E) 2,402

02.Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de planta é dada, a

partir de um ano de idade, pela função h(x) = log(101,35 . 4 2x ) , onde h(x) representa a altura média,

em m, e x, a idade, em anos. Qual é, em m, a altura média de uma planta dessa espécie aos cinco anos

de idade?

(A) 1,5

(B) 1,6

(C) 1,7

(D) 1,8

(E) 1,9

03.(CESGRANRIO) Quando os alunos perguntaram ao professor qual era a sua idade, ele respondeu: "Se


considerarmos as funções f(x) = 1 + e g(x) = , e a igualdade g(i) = f(243), i corresponderá

à minha idade, em anos." Quantos anos tem o professor?

(A) 32

(B) 48

(C) 56

(D) 60

(E) 64

Gabarito

01.B

02.B

03.E

MATRIZ

Introdução

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda li-nha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo aci-

ma, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para

baixo e as colunas, da esquerda para direita:


Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes

m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas,

acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

Matrizes

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -

3 1], do tipo 1 x 4.

Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , do

tipo 3 x 1


Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas;

dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada

pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal

são nulos. Por exemplo:


Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas

por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª Matrizes

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sem-

pre a ij = a ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por


exemplo, .

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocu-

pam a mesma posição são iguais:

.

1.(CESGRANRIO) Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz

M4x7 abaixo, cada elemento mij representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na

loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento m13 corresponde às ven-

das da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m47, às vendas da loja 4 no dia 18 (sé-

timo dia da semana).

De acordo com as informações acima, qual a quantidade total de latas de lubrificante que esta rede distri-

buidora vendeu no dia 15/03?

(A) 459

(B) 463

(C) 477

(D) 479

(E) 485

2. (AFC-SFC 2001) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A =

(aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i² +j² e que bij = 2ij, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual

a:

(A) 12

(B) 14

(C) 16

(D) 24

(E) 32


Gabarito

01.A

02.E

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