Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com

números. Por exemplo:

a = 7+5+4

b = 5+20-87

c = (6+8)-10

d = (5×4)+15

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem

conter números. São também denominadas expressões literais.

Por exemplo:

A = 2a+7b

B = (3c+4)-5

C = 23c+4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa

que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor

numérico.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis

literais por valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294

TEORIA DOS CONJUNTOS

(parte 3)Símbolo Nome Explicação

{ , } chaves o conjunto de...Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.

{ } ou  conjunto vazio Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.Ex: A={1,2,3}B={4,5,6}

A   B= para todo Significa "Para todo" ou "Para qualquer

que seja".Ex:  x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.

pertence Indica relação de pertinência.Ex: 5  Significa que o 5 pertence aos números naturais.

não pertence Não pertence .Ex: -1  N. Significa que o número -1 não pertence aos números naturais.

existe Indica existência.Ex: x   Z | x > 3Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3.

está contido Ex: N  ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

não está contido Ex: R  ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.

contém Ex: Z   N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.

se...então se...entãop: José vai ao mercadoq: José vai fazer comprasp qSe José vai ao mercado  então  ele vai fazer compras.

se e somente se se e somente seEx: p: Maria vai para a praiaq: Maria vai tirar notas boasp qMaria vai para a praia se e somente se ela tirar notas boas.

A   B união de conjuntos

Lê-se como "A união B"Ex: A={5,7,10}B={3,6,7,8}A   B = {3,5,6,7,8,10}

A   B intersecção de conjuntos

Lê-se como "A intersecção B"Ex:

A={1,3,5,7,8,10}B={2,3,6,7,8}A   B={3,7,8}

A - B diferença de conjuntos

Lê-se como "diferença de A com B".É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Ex: A-B = {X | x A e x   B}

No final do século XIX, o matemático George Cantor (1845-1918) deu

início ao estudo da Teoria dos Conjuntos. Um conjunto pode ser considerado

bem definido quando é possível identificar os seus componentes. No exemplo

anterior, poderíamos dizer que o número 20 faz parte do conjunto? Vamos

analisar esse elemento: o número 20 é par? Sim, então o número 20 faz parte

do conjunto dos números pares. Podemos simplificar a linguagem chamando o

conjunto dos números pares de P. Então:

P = {conjunto dos números pares} ⇒ P= {0, 2, 4, 6, 8, 10...}

Podemos ainda afirmar que o número 20 pertence a esse conjunto da seguinte

forma:

20 € P

Tente agora imaginar um conjunto formado apenas pelos múltiplos de 5, vamos

chamá-lo de Q. Temos, então:

Q = {0, 5, 10, 15...}

Nesse caso, o 20 pertence ao conjunto Q? Ele é múltiplo de 5? Sim,

pois 4*5=20, então 20 é múltiplo de 5 e, portanto, pertence a Q. Mas

existem outros números que pertencem ao conjunto dos números

pares e dos múltiplos de 5 simultaneamente. Podemos melhor

representá-los através do Diagrama de Venn, como na imagem

abaixo:

Na parte roxa estão representados os números que fazem parte apenas do

conjuntoP; na seção verde, há os que fazem parte apenas do

conjunto Q; e, na parte laranja, estão os números que fazem parte

tanto do conjunto P quanto do Q. Dizemos que os

números 0, 10 e 20 pertencem à intersecção dos conjuntos P e Q,

isto é,{0,10,20} € P ᴨ Q. 

RAZÃO

O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a

comparação relativa entre duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra,

estamos comparando a primeira com a segunda, que passa a ser a base da

comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo mede 300 cm² e a área

de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, temos:

210/300=7/10=0,7

Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em

outras palavras, a área menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é

uma comparação muito significativa e fácil de ser feita.

RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero,

chamamos de razão entre a e b ao quociente a/b=k

Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de

antecedente, e o denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-

se “a está para b”). A razão k indica o valor do número a quando comparado ao

número b, tomando-o como unidade.

Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de

área livre. A razão da área construída para a área livre é:

A) 6/5

B) 3/5

C) 4/5

D) 1/10

E) 2/5

Solução: razão = área construída/área livre=1200/3000=25(letra E)

Isso significa que a área construída representa 2/5=0,4,ou 40%, da área

livre.

Questão 1

A distância entre duas cidades é de aproximadamente 500 km.

Determine a velocidade média de um veículo que faz esse percurso em

8 horas e 30 minutos.

ver resposta Resposta Questão 1

Temos que 8 horas e 30 minutos correspondem a 8,5 horas, e que a

velocidade medida de um veículo é dada pela divisão entre a distância e

o tempo da viagem.

A velocidade média do veículo é de, aproximadamente, 58,8 km/h.

Questão 2

Determine a densidade demográfica de uma cidade que possui 13.834.

971 habitantes, e que ocupa uma área de 564.692 km². A densidade

demográfica é calculada através da divisão entre número de habitantes

e área em km². 

 

Resposta Questão 2

A densidade indica que existem 25 habitantes por km². 

Questão 3

Um carro percorre cerca de 668 km com aproximadamente 48 litros de

combustível. Para determinarmos o consumo desse carro, devemos

dividir a distância percorrida pela quantidade de litros de combustível. 

Resposta Questão 3

O consumo desse carro é de, aproximadamente, 13,96 quilômetros por

litro. 

Questão 4

Um minério com massa igual a 32,24 kg possui volume igual a 12,40

cm³. Determine a densidade desse minério.

A densidade desse minério corresponde a 2,6 g/cm³. 

Questão 03 - Razão e proporção

Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o

número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante

uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo

que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de

pessoas que tomarão café puro será:

(A) 72.

(B) 86.

(C) 94.

(D) 105.

(E) 112.

Questão 07 - Razão e proporção

Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a

usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e

externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o

número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total,

o número de usuários atendidos foi

(A) 84.

(B) 100.

(C) 217.

(D) 280.

(E) 350.

PROPORÇÃOA igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale

lembrar que razão é a divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0

e pode ser escrito na forma de a/b. Observe os exemplos de

proporções a seguir:

é uma proporção, pois 10:20 = 3:6

é uma proporção, pois 9:12 = 3:4

As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em

uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos

meios.” Essa propriedade pode ser colocada em prática na verificação

da proporcionalidade, realizando uma operação denominada

multiplicação cruzada.

9 x 4 = 12 x 3

    36 = 36

Multiplicação cruzada

4 x 15 = 6 x 10

      60 = 60

As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações

problema envolvendo informações comparativas, na regra três a

proporcionalidade é usada no intuito de calcular o quarto valor com

base nos três valores estabelecidos pelo problema. Acompanhe os

exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância do estudo

das proporções.

Exemplo 1

Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha.

Quantos pães podem ser feitos com 25kg de farinha?

Estabelecemos a seguinte relação:

600 -------------- 100

x -------------- 25

Podem ser feitos 150 pães.

Exemplo 2

Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de

suco serão obtidos com 25 laranjas?

40 -------- 26

25 -------- x

Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco.

REGRA DE TRES

QUESTAO 01- Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40

minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses

panfletos? 

Resposta Questão 1

As três impressoras produziriam 2000 panfletos em 160 minutos, que

correspondem há 2 horas e 40 minutos. 

02- Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms

ele percorrerá em 06 horas?

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculo:

Distância 1  =  480 Km – 02 horas

Distância 2  =   ?   Km – 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms

regra de três composta

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se  mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

PORCENTAGEM

10) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) – Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando

45% da área total do terreno para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca e laboratórios. Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer. Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m², de

(A) 3 250.(B) 3 000.(C) 2 750.(D) 2 450.(E) 2 250.

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11) (PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço  normal de venda desse produto é

(A) R$ 59,40.

(B) R$ 58,00.(C) R$ 60,00.(D) R$ 59,00.(E) R$ 58,40.

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JUROS SIMPLES

    O regime de juros será simples quando o percentual de juros

incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a

cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou

simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado,

antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

 

J = P . i . n

 

Onde:

J = juros

P = principal

(capital)

i = taxa de juros

n = número de

períodos

   Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser

paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e

devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

    Ao somarmos os juros ao valor principal temos

o montante.

   Montante = Principal + Juros

   Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x

Número de períodos )

MONTANTE

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

 

    Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de

R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

    SOLUÇÃO:

    M = P . ( 1 + (i.n) )

    M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

    Observe que expressamos a taxa i e o período n, na

mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido

145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos,

já que um ano comercial possui 360 dias.

Questão 1

Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao

mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa

aplicação.

Resposta Questão 1

Capital (C) = R$ 1.200,00

Tempo (t) = 14 meses

Taxa (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02

Fórmula dos juros simples

J = C * i * t

J = 1200 * 0,02 * 14

J = 336

Montante

M = C + J

M = 1200 + 336

M = 1536

O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser

resgatado é de          R$ 1.536,00.

 

Exercícios de Equações de 1º Grau

2) Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resposta a:

18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6

Resposta b:

23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = 3/4

Resposta c:

10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20 5y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21

Resposta d: 

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 122x² + 6x = 2x² + 12Diminuindo 2x² em ambos os lados:6x = 12x = 12/6 = 2

Resposta e:

[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21

Resposta f:

4x² + 24x - x² = 5x²4x² - x² - 5x² = -24x-2x² = -24xDividindo por x em ambos os lados:-2x = - 24x = 24/2 = 12

Exercícios de Equações de 2º Grau1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x2  + 55 = 0c) x2 - 6x = 0d) x2 - 10x + 25 = 0

 Resposta a:

a = 5 ; b = -3 ; c = -2Equação completa

Resposta b:

a = 3 ; b = 0 ; c = 55Equação incompleta

Resposta c:

a = 1 ; b = -6 ; c = 0Equação incompleta

Resposta d:

a = 1 ; b = -10 ; c = 25Equação completa

FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU

 NOÇÃO DE FUNÇÃO

As funções são  definidas abstractamente por certas relações.  Descrevem relações matemáticasespeciais entre dois elementos.As funções estão presentes em diversas situações do dia a dia, e são utilizadas também em várias ciências como na física, química, biologia, estatísticas...Exemplos de funções polinomiais do 1ª grau:O consumo de combustível de um carro é dado em função do percurso percorrido. No exemplo citado, o gasto do combustível depende da distancia percorrida pelo veículo. Isto é, a variação de uma grandeza depende da outra.Um vendedor da loja B recebe um salário fixo de (650,00?) reais mais comissão de 5% por cada venda realizada. No final do mês seu rendimento será o seu salário mais as comissões, isto é, o salário final desse funcionário vai depende do total de vendas feitas pelo mesmo durante um mês.

Com a e b números reais quaisquer e a≠ 0, (a diferente de zero)Toda função do tipo f(x)=ax + c ou y = ax + c,  é dita função polinomial ou função do 1º grau. Coma e b números reais quaisquer e a≠ 0, (a diferente de zero)Exemplos:Y= 3x -1f(x)= 2x - 20

COEFICIENTES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

y=ax+ba → é o coeficiente angular, e a ≠ 0 a> 0 a função é crescente.a< 0 a função é decrescente.

b → é o coeficiente linear – é o termo independente.

Exemplo1: f(x)= 3x – 2; onde o coeficiente de  a=3,o coeficiente de b= - 2.a>0 logo, a função é crescente.

Exemplo2: f(x)= -2x ; onde a=-2 e b=0, nesse caso não termos o valor de b, então b é igual a 0(zero).a<0 logo, a função é decrescente

GRÁFICO DA FUNÇÃO

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.

Gráfico da função crescente: a>0y= ax + b:    F(x)= 2x – 2

vejamos como fica o gráfico dessa função que é crescente abaixo:

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU – MATEMÁTICA ENEM

Estude para o Exame Nacional do Ensino Médio com esta aula de Funções Polinomiais de 2º grau para a prova de Matemática Enem

Função Polinomial do 2º grau

Temos que uma função polinomial do 2º grau, é toda

função escrita na forma:

Exemplos:

a) 

b) 

Raiz da Função

É o valor de x que zera a função.

Vamos utilizar as mesmas fórmulas usadas na aula 3:

Dica 1 – Nesta aula de Matemática Enem vamos revisar sobre

Estudo do Delta, Equação Polinomial do 2º grau e como resolver

este tipo de equação

Ponto que intercepta o eixo y.

Temos como valor que intercepta o eixo y (eixo das

ordenadas) o coeficiente c.

Pois:

Portanto o ponto que intercepta o eixo das ordenadas é o

ponto (0;c)

Vértice

É o ponto que se encontra o valor máximo ou mínimo de

uma função polinomial do 2º grau. E podemos encontrar

utilizando as seguintes fórmulas:

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau será uma

parábola, como você pode observar no exemplo abaixo:

Analisando alguns gráficos podemos chegar a algumas

conclusões gerais:

Parábola concavidade para baixo:

Parábola concavidade para cima:

Valor mínimo para uma função 

Para  , não teremos valor mínimo, pois a função tende

a menos infinito.

Para   , o valor mínimo será o 

Para  , teremos valor mínimo, pois a função tende a

menos infinito.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência em que

cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma

constante r ao termo anterior. Essa constante r chama-se razão da

progressão aritmética.

A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética finita de razão 5

pois:

a1 = 2

a2 = 2+5 = 7

a3 = 7 +5 = 12

a4 = 12 + 5= 17

As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o

valor da razão r.

Se r > 0, então a PA é crescente.

Se r = 0, então a PA é constante.

Se r < 0, a PA é decrescente

Termo geral da PAA partir da definição, podemos escrever os elementos da PA(a1, a2,

a3, ..., an ) da seguinte forma:

a1 = a1

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

O termo an geral de uma PA é dado, portanto, pela fórmula:

an = a1+(n-1)r

Questão 1

A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18,

54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   

Razão da progressão: 6 : 2 = 3

an = a1 * q n–1

a8 = 2 * 3 8–1

a8 = 2 * 3 7

a8 = 2 * 2187

a8 = 4374

 

02- Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:          a1=5     r=11    a13=?        - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:

        a13 = 5 + (13 - 1).11        a13 = 5 + (12).11        a13 = 5 + 132        a13 = 137

GEOMETRIA PLANAA geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras

que não possuem volume, tal qual as figuras que fazem parte da geometria

espacial. A geometria plana também é chamada de euclidiana, uma vez que seu

nome representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria,

considerado o “pai da geometria”. Curioso notar que o termo geometria é a união

das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida); assim, a palavra geometria

significa a "medida de terra".

Conceitos de Geometria PlanaAlguns conceitos são de suma importância para o entendimento da geometria

plana, a saber:

Ponto: Conceitos adimensional, uma vez que não possuem dimensão.

Os pontos determinam uma localização e são indicados com letras

maiúsculas.

Reta: a reta, representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada

unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se

apresentar em três posições: horizontal, vertical ou inclinada.

Dependendo da posição das retas, quando elas se cruzam, ou seja,

possuem um ponto em comum, são chamadas de retas concorrentes;

por outro lado, as que não possuem ponto em comum, são classificadas

como paralelas.

Segmento de Reta: Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois

corresponde a parte entre dois pontos distintos. Não obstante, a

semirreta é limitada somente num sentido, visto que possui início, e não

possui fim.

Plano: corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja,

possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se

formam as figuras geométricas.

Ângulos: são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de

um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

ângulo reto (Â = 90º), ângulo agudo (0º < Â < 90º) e ângulo obtuso (90º <

 < 180º).

Área: A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma

superfície de modo que quando maior a superfície da figura, maior será

sua área.

Perímetro: corresponde a soma de todos os lados de uma figura

geométrica.

Circulo Área = pi x r²

Triangulo equilátero a= base. Altura

2

Área = lado . lado

Retângulo = base . altura

Triangulo retângulo= Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos catetos, o teorema pode ser expresso por meio da seguinte equação:

Manipulando algebricamente essa equação, chega-se a que se os comprimentos de quaisquer dois lados do triângulo retângulo são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser calculado:

         e  

ANALISE COMBINATORIA

A análise combinatória é um dos tópicos que a matemática é dividida,

responsável pelo estudo de critérios para a representação da quantidade de

possibilidades de acontecer um agrupamento sem que seja preciso

desenvolvê-los.

 

Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

Resolução:

Anagramas da palavra amor são todas as palavras, com ou sem

significado, que criamos usando todas as letras da palavra dada. Alguns

deles são ROMA, ROAM, MORA, AMOR, MROA, etc.

Veja que estamos simplesmente permutando todas as 4 letras. Assim, o

total de anagramas é dado por

P4 = 4! = 24

E se a palavra fosse BATATA?

Neste caso tem-se uma Permutação com Repetição.

Permutação com repetição

Fórmula:

(n objetos, onde um deles se repete á vezes, outro â vezes, e assim por

diante).

Calculando então o total de anagramas da palavra BATATA, temos 6

letras, com A repetindo 3 vezes e T duas vezes.

1. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?

Todos os elementos = PERMUTAÇÃO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) No

caso de utilizarmos todos os elementos, do conjunto dado, analise de acordo

com o enunciado se o problema proposto permite ou não repetição dos

elementos. Não = PERMUTAÇÃO SIMPLES Sim = PERMUTAÇÃO COM

REPETIÇÃO

2. Estamos utilizando todos os elementos do conjunto ou parte deles?

Parte dos elementos = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) ou

COMBINAÇÃO

3. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO

ORDENADO? Ordenado = ARRANJO (SIMPLES OU COM REPETIÇÃO) O

Agrupamento Ordenado com parte dos elementos permite ou não

REPETIÇÃO? Não = ARRANJO SIMPLES Sim = ARRANJO COM

REPETIÇÃO

4. O Agrupamento com parte dos elementos é ORDENADO ou NÃO

ORDENADO? Não Ordenado = COMBINAÇÃO

Probabilidade

A Probabilidade está presente nas nossas vidas. É comum ouvir em telejornais

que a probabilidade de um candidato obter a vitória é de x%. Provavelmente

por estar associada diretamente as pessoas, a probabilidade é uma das

matérias mais cobradas nos vestibulares. Nas Olimpíadas de Matemática deste

ano teve uma questão de probabilidade na prova.

Como calcular probabilidade.

Para calcular probabilidade vamos usar a seguinte fórmula. P = r/v. A variável

“r” é o resultado que foi obtido, e a “v” é o número de vezes que foi realizada a

experiência. Exemplo:

Em uma garrafa opaca fechada existem 10 bolinhas, distribuídas entre as cores

azul e branca. Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa, exceto se

virarmos a garrafa de ponta-cabeça, quando uma das bolinhas vai para o

gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiu-se 2000 vezes

a seguinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garrafa para então anotar

a cor da bolinha que aparecia no gargalo. Os resultados foram os seguintes:

Azul = 624

Branca = 1376

Na próxima vez que for repetida essa operação, qual a probabilidade de que a

cor da bolinha do garrafão seja azul?

Resolução.

Usando a fórmula, temos P = 624/2000 => P = 0,312.

Portanto, a chance que a cor da bolinha do garrafão seja azul na próxima vez é

de 0,312.

Questão 1

Ao lançarmos dois dados não viciados, qual a probabilidade de obtermos faces

voltadas para cima onde a soma entre elas seja 6?

ver resposta

Resposta Questão 1

Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo

produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado,

o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço

amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.

No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a

soma seja 6, será:

(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3).

No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para

cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%. 

Questão 2

No lançamento de uma moeda e um dado, determine a probabilidade de obtermos

o resultado dado por (coroa, 1). 

ver resposta

Resposta Questão 2

Temos que o espaço amostral do dado corresponde a 6 eventos e que o espaço amostral

da moeda equivale a 2 eventos. Envolvendo o dado e a moeda temos um espaço amostral

de 12 eventos. A probabilidade de obtermos o resultado (coroa, 1) é de 1 em 12. Portanto:

Ao lançarmos um dado e uma moeda, a probabilidade de obtermos o par (coroa, 1) será

de aproximadamente 8,3%. 

Questão 3

Em uma empresa, o risco de alguém se acidentar é dado pela razão 1 em 30.

Determine a probabilidade de ocorrer nessa empresa as seguintes situações

relacionadas a 3 funcionários:

Todos se acidentarem.

Nenhum se acidentar.

 

ver respostaResposta Questão 3

Probabilidade de todos se acidentarem

Como o risco é de 1 em 30 temos que:

Probabilidade de nenhum se acidentar

Para os acidentados temos a probabilidade de 1 em 30. Nesse caso para os não

acidentados temos a probabilidade de 29 em 30. Então:

Questão 4

(UFF–RJ)

Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75, e

um participante concorre com a cartela reproduzida abaixo. Qual é a probabilidade

de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?

ver respostaResposta Questão 4

Podemos resolver o exercício utilizando o princípio fundamental da contagem. Observe

que a cartela contém 24 números entre um universo de 75 que serão sorteados. A chance

dos três primeiros números dessa cartela serem sorteados nas três primeiras rodadas

respeita a seguinte ordem:

1º sorteio – 24/75

2º sorteio ¬– 23/74

3º sorteio – 22/73

Calculamos a chance realizando o produto entre os eventos:

A chance dos três primeiros números sorteados serem da cartela é de 3%.

 

Questão 5

(UFSCar)

Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números

observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:

a) 2/36

b) 1/6

c) 2/9

d) 1/4

e) 2/18

ver respostaResposta Questão 5

No lançamento de dois dados temos que a soma entre as faces ímpares em que o

resultado seja 8 é dado pelos pares (5, 3) e (3, 5). Somente 2 eventos dos 36 pertencentes

ao espaço amostral satisfazem a situação proposta. Portanto:

Temos que o item a fornece a resposta correta. 

EXERCÍCIOS SOBRE ESTATÍSTICATeste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre

Estatística e veja a resolução comentada.

Questão 1

Em um grupo de pessoas, as idades são : 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa

de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo? 

ver respostaResposta Questão 1

Questão 2

A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir:

Calcule a média salarial dessa empresa.

 

ver respostaResposta Questão 3

Questão 3

(Unicamp-SP)

Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min

46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e

segundos) desses eleitores? 

ver respostaResposta Questão 3

Questão 4

(Unifor-CE)

Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:

O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:

a) 178

b) 182

c) 184

d) 188

e) 191

ver respostaResposta Questão 4

Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos:

x + 26% + 24% + 22% = 100%

x = 100% – 72%

x = 28%

Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:

28% de x = 196

0,28x = 196

x = 196/0,28

x = 700

O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então:

26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos

Resposta correta item b.

Questão 5

(FGV-SP)

A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo

de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses

empregados, nesse mês, foi de:

a) R$ 2 637,00

b) R$ 2 520,00

c) R$ 2 500,00

d) R$ 2 420,00

e) R$ 2 400,00

 

Resposta Questão 5

Medidas de Comprimento: Múltiplos e Submúltiplos

Medidas maiores que o metro

1000 m = 1 km (quilometro)

100 m = 1 (hectômetro)

10 m = 1 dam (decâmetro)

Medidas menores que o metro

1 m = 10 dm (decímetro)

1 m = 100 cm (centímetro)

1 m = 1000 mm ( milímetro)

As medidas de comprimento são:

metro (m), quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam),

decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

O metro (m) é a unidade padrão, fundamental.

Quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dm) são os múltiplos do

metro. Usados normalmente para medir distâncias muito grandes.

Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm) são

os submúltiplos do metro. Usados normalmente para medir distâncias

muito pequenas.

Temos então a seguinte ordem:

quilômetro – hectômetro – decâmetro – metro – decímetro – centímetro –

milímetro

Essas medidas servem para avaliar (medir) a linha (linear). Representam

uma única medição (unidimensional).

Já as medidas de superfície (área), bidimensional (comprimento x

largura). Percebeu a diferença, só como exemplo?

Veja a tabela abaixo com as unidades de medidas:

5. Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em

grão em uma área plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade 

média do município em termos de sacas de 60 kg colhidas por hectare.

A) 50

B) 60

C) 72

D) 90

E) 100

Exercício 5

Sabemos que uma tonelada equivalem a 1000 kg, então 9000 toneladas

equivalem a 9000 x 1000 = 9.000.000 kg.

Isto é, 9.000.000 kg foram plantados em 2.500 hectares.

Mas o problema pede a produtividade  média do município em termos de

sacas de 60 kg colhidas por hectare. Vamos antes determinar a

quantidade de sacas de 60 kg.

9.000.000 / 60 = 150.000 sacas de 60 kg plantadas em 2.500 hectares.

Logo, a produtividade média por hectare é de

150.000 / 2.500 = 60 sacas / hectare. Ou seja, 60 sacas de 60kg por

cada um hectare.

ComprimentoVamos entender o que é uma medida de comprimento analisando o cubo ao lado.Caso você não saiba ou não se lembre, as arestas de um cubo são as linhas originadas pelo encontro de suas faces.Nosso cubo em estudo possui doze arestas, sendo onze pretas e uma vermelha.Como todas as seis faces de um cubo são formadas por quadrados iguais, todas as suas arestas possuem o mesmo tamanho.Pela figura identificamos que a aresta vermelha, e também as demais, já que são todas iguais, tem uma medida linear de5 cm. Esta é a medida do seu comprimento.Já que a aresta vermelha esta na posição vertical, podemos utilizá-la para medir a altura do cubo, ou seja, ele mede 5 cmde altura.Utilizamos medidas de comprimento para a medição de alturas, larguras, profundidades. Como você pode notar, todos estes exemplos tem apenas uma dimensão. A aresta do cubo só tem uma dimensão, você tem como medir o seu comprimento, mas não a sua espessura, por exemplo.Comprimentos são extensões unidimensionais.

Área ou Superfície

Agora o nosso cubo tem a sua face frontal em rosa.Qual é a superfície desta face?Quando falamos em superfície estamos falando em área.Áreas são extensões bidimensionais, pois como podemos ver na figura, a face que estamos analisando possui uma altura de 5 cm e uma base, que por se tratar de um cubo, com a mesma medida.Diferentemente da aresta que possui apenas uma dimensão, o seucomprimento, a área das faces possui duas dimensões, altura e base, por exemplo.Como este cubo tem uma aresta de 5 cm, a área das suas faces será igual a 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)2, igual a52 cm2, ou seja, 25 cm2.O expoente 2 do cm2 indica que esta é uma unidade de medida com duas dimensões, portanto não é uma unidade de medida linear que possui apenas uma dimensão.

Volume e Capacidade

Agora cubo está todo em rosa.Qual é o volume deste cubo?O volume é o espaço ocupado por um sólido. Normalmente para líquidos utilizamos o termo capacidade.Nosso cubo possui altura, largura e profundidade, portanto, possui três dimensões.Volumes são extensões tridimensionais. O volume do nosso cubo é obtido através do produto 5 cm . 5 cm . 5 cm que é igual a (5 cm)3, igual a 53 cm3 que resulta em 125 cm3.O expoente 3 do cm3 nos diz que esta é uma unidade de medida com três dimensões, portanto não é uma unidade de medida linear que só possui uma dimensão, nem bidimensional que só possui duas.

Como unidades de capacidade também são unidades de volume, podemos estabelecer relações como, por exemplo, 1 cm3equivale a 1 ml, o que nos permite transformações de unidade de medida de volume em unidades de medida de capacidade e vice-versa.Conversões entre unidades de diferentes dimensões não são possíveis, por isto as conversões levantadas acima pelos internautas não são permitidas.

Medidas de massaIntrodução    Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:    Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.    Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:    A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.    Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de  massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". Quilograma    A unidade fundamental de massa chama-se  quilograma.    

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.

     Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa. Múltiplos e Submúltiplos do grama

MúltiplosUnidade principal

Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g   Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g1 g = 10 dg

 

NOCOES DE LOGICA

07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é:

a) nenhum gato é pardo;

b) existe gato pardo;

c) existe gato não pardo;

d) existe um e um só gato pardo;

e) nenhum gato não é pardo.

08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é:

a) o gato não mia e o rato não chia;

b) o gato mia ou o rato chia;

c) o gato não mia ou o rato não chia;

d) o gato e o rato não chiam nem miam;

e) o gato chia e o rato mia.

07. C 08. C