MATERIAL DE ESTUDO – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

FAESA - AEV

UNIDADE IV – VARIÁVEL ALEATÓRIA

Variável aleatória (v.a) é uma variável que tem um valor numérico único, para

cada resultado de um experimento.

Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma

função X, que associe a cada elemento s S um número real X(s) é

denominada variável aleatória.

s• •X(s)

S

X

R

s• •X(s)

S

X

R

Variável aleatória

EXEMPLO:

E: lançamento de duas moedas

X: número de caras obtidas nas duas moedas

S = {(ca,ca),(ca,co),(co,ca),(co,co)}

X = 0: corresponde ao evento (co,co)

X = 1: corresponde ao evento (co,ca), (ca,co)

X = 2: corresponde ao evento (ca,ca)

IV.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Uma variável aleatória X será discreta se assumir valores em um conjunto finito

ou infinito numerável.

IV. 1. 1 Função de probabilidade da variável aleatória discreta

É uma função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a

probabilidade do evento correspondente.

1

Seja X uma v. a. discreta. A probabilidade da variável aleatória X assumir um

valor particular x, é a função de probabilidade X que se representa por P(X =

x). A função P(X = x) determina a distribuição de probabilidades da v.a.

Condições para uma distribuição de probabilidades

1. , onde x toma todos os valores possíveis.

2.

Exemplo: E: lançamento de duas moedas.

X: Nº de caras obtidas.

A distribuição de probabilidade da v. a. X é dada por:

X

P(x)

0 1 2

0,25 0, 5 0,25

X

P(x)

0 1 2

0,25 0, 5 0,25

O gráfico de P(x) em função de X do exemplo anterior acima é:

EXEMPLO: Verifique se as seguintes funções são funções de probabilidade e

determine as probabilidades requeridas:

1.

x -2 -1 0 1 2

f(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8

2

1/4

1/2

0 1 2

P(x)

x

a) P(X ≤ 2)

b) P(X > - 2)

c) P(-1 ≤ X ≤ 2)

2. , x = 0, 1, 2, 3, 4.

a) P(X = 2)

b) P(X ≤ 1)

c) P(2 ≤ X < 4)

d) P( X > -10)

IV. 1. 2 Média (ou valor esperado) e variância de uma variável aleatória

discreta

Valor esperado E(x) é uma medida de tendência da variável aleatória “x”. É

igual à média de um número infinito de observações desta variável.

A sua expressão matemática é a seguinte:

)()( xxPXE

É também chamada de esperança matemática ou média.

Exemplo: Considere que o valor de venda de um determinado imóvel pode

alcançar os valores a seguir, com as respectivas probabilidades de ocorrência:

0,10$280.000,000,45$250.000,000,30$215.000,000,15$180.000,00

PROBABILIDADEVALOR

0,10$280.000,000,45$250.000,000,30$215.000,000,15$180.000,00

PROBABILIDADEVALOR

Qual o valor esperado do preço de venda deste imóvel?

O valor esperado será, então, igual a:

3

10,000,000.28045,000,000.25030,000,000.21515,0000.180 xE

Isso significa que se este imóvel fosse vendido um infinito nº de vezes, a

média dos seus valores de venda seria igual a $232.000,00. Uma outra

interpretação seria a de que se um nº infinito de imóveis desse mesmo

tipo fosse vendido, o valor médio do preço de venda seria $ 232.000,00.

A variância para uma distribuição de probabilidades é dada por:

xPx 22

Podendo ser reescrita como:

222 )(XEXE

O desvio padrão ( ) da variável aleatória da v.a. discreta é dado por:

Cálculo da Variância de “X” a partir do seu Valor Esperado

EXEMPLO: Considere que o número de reclamações recebidas diariamente

em uma determinada empresa de telefonia segue a seguinte distribuição de

probabilidades:

Nº DE RECLAMAÇÕES PROBABILIDADE

1 0,10

2 0,30

3 0,35

4 0,25

Determine a variância do nº. de reclamações diárias.

O valor esperado do nº. de reclamações diárias será igual a:

O valor esperado do quadrado do nº de reclamações diárias será igual a:

A variância do nº de reclamações diárias será igual a:

4

ALGUMAS PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA

ALGUMAS PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA

1. VAR (k) = 0, k é constante;

2. VAR (k . X) = k2 . VAR (X), k é constante;

3.

QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS

1. O número de chamadas telefônicas recebidas tem a seguinte distribuição:

X= Número de chamadas

0 1 2 3 4 5

f(x) 0,60 0,20 0,10 0,04 0,03 0,03

Determine à média do número de chamadas. Resposta = 0,79

5

2. Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de venda na segunda-feira é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. Se lucro é de R$ 3000,00 se vender na segunda-feira e diminui 40% a cada dia. a) Calcule o valor esperado do lucro deste negociante nesta venda.b) Calcule o desvio padrão do lucro.Resposta: 2199,84 e 881,98

3. Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1000,00. Sabendo que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado?Resposta: R$100,00

4. Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de marketing de que o projeto seja bem sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado em sua vida útil é de R$ 100.000,00. Se isto não acontecer, o prejuízo deve chegar a R$ 50.000,00. Calcule o lucro médio.Resposta: 70000

5. Uma máquina de apostas tem 2 discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 pêras e uma laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha R$ 40,00. Se aparecerem 2 bananas ganha R$ 80,00, ganha R$140,00 se aparecerem 2 pêras e ganha R$ 180,00 se aparecerem duas laranjas. Se não aparecerem duas frutas iguais o jogador não tem ganho. Qual a esperança de ganho numa única jogada?Resposta: -59,00

6. Num jogo de dados, A paga R$20,00 a B e lança 3 dados. Se sair a face 1 em um dos dados apenas, A ganha R$20,00. Se sair a face 1 em dois dados apenas, A ganha R$50,00, e se sair 1 nos três dados dados, A ganha R$80,00. Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada. (Morettim pág 47). Resposta: -23,10

7. Se uma v.a. X apresenta E(X) = 10 e VAR(X)=9, calcule:a) E(3X) b) E(5X-3)c) E(-3/5X + 4/3)

8. Se uma v.a. X apresenta E(X) = 20 e VAR(X)=25, calcule:a) VAR(2X) b) VAR(5X-10)c) VAR(2/5X - 4)

9. Um produto é embalado em caixas de papelao que pesam em média 200 gramas, com desvio padrão de 10 gramas. Cada caixa contém 6 unidades do produto. O peso médio de cada unidade é 1 kg, com desvio padrão de 5g. calcule o peso médio e o desvio padrão de uma caixa cheia.Resposta: 6200 e 31,62

IV.1. 3 Função de Distribuição Acumulada (fda) da v.a. discreta

Definição: É a probabilidade de variável aleatória X assumir um valor menor

ou igual a X.

6

F(x) = P(X x) =

Exemplo: Seja X a variável aleatória número de caras obtidas no lançamento

de 2 moedas, determine F(x) e construa o gráfico de F(x).

x P(x) F(x)

0 1/4 1/4

1 1/2 3/4

2 1/4 1

Temos então:

Portanto os valores para F(x) são:

zero, quando: x < 0·.

1/4, quando: 0 x < 1.

F(x) = 3/4, quando: 1 x < 2.

1, quando: x 2.

4/4

3/4

1/4

0 1 2 X

F(X)

PROPRIEDADES DE F(X)

1.

2.

3.

4. F(X) é descontínua nos pontos X = X0, onde P(X=x0) ≠ 0.

7

5. F(X) é contínua a direita dos pontos X = X0, onde P(X=x0) ≠ 0.

6.

7.

8.

VI. 2. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Uma variável aleatória X contínua pode assumir qualquer valor no intervalo de

sua definição. EX.: medida da corrente de um fio delgado de cobre.

VI. 2. 1 Função de Densidade de Probabilidade

Assim como as variáveis discretas possuem suas funções de probabilidade, as

variáveis contínuas possuem suas funções densidade de probabilidade. A

diferença entre as duas é que enquanto a função de probabilidade fornece

diretamente a probabilidade da v.a. discreta assumir um determinado valor, tal

não acontece com a função de densidade. A probabilidade de uma v.a.

contínua assumir um valor localizado dentro de um determinado intervalo é

igual à área embaixo da função densidade, limitada pelos pontos extremos do

intervalo. Assim a probabilidade de uma v. a. contínua assumir um determinado

valor (probabilidade no ponto) é nula, pois a área embaixo de um ponto é igual

a zero. Uma função densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para

descrever uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória

contínua X.

Funções de densidade são usadas na engenharia para descrever sistemas

físicos, como por exemplo, a densidade de uma carga em uma viga longa e

delgada.

Definição: Para uma variável aleatória contínua X, uma função densidade de

probabilidade (fdp) é uma função tal que:

a) para todo x;

8

b) ;

c) = a área sob f(x) para quaisquer a, b, com

.

Obs.:

*

*

*

VI. 2. 2 Média (ou valor esperado) e variância de uma variável aleatória

contínua

A média e a variância de uma v.a. contínua são definidas de modo similar a

uma v.a. discreta. A integração substitui a soma nas definições.

Definição: Suponha que X seja uma v. a. contínua com uma função densidade

de probabilidade f(x).

A média ou o valor esperado de X, denotado por μ ou E(X) é

A variância de X, denotada por ou VAR(X), é

222 )(XEXE

onde

VI. 2. 3 Função de Distribuição Acumulada (fda) da v.a. contínua

Definição: A função de distribuição cumulativa de uma v.a. contínua X é

para

9

A função densidade de probabilidade de uma v.a. contínua pode ser

determinada a partir de uma diferenciação da função de distribuição

cumulativa. Ou seja, dada F(X), tem-se

, desde que a derivada exista.

QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS

1. (Morettim, pág 78)Seja

a) Construir o gráfico de F(x);b) Determinar a distribuicao de X, E(X) e Var(X)c) Sendo Y = 3X-2, calcular E(Y) e Var (Y).

2. Verificar se é uma fdp.

3. Verificar se é uma fdp.

4. Seja uma v.a. X a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampères. Suponha que a faixa de X seja [0,20 mA] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja

. Qual a probabilidade de que uma medida da corrente seja menor 10 miliampères?

5.Suponha que uma função densidade de probabilidade de comprimentos de cabo computadores seja f (X) = 0,1 de 1200 a 1210 milímetros. Determine a média e o desvio padrão do comprimento do cabo.

6. Suponha que o tamanho de uma partícula de contaminação possa ser modelado como para 1 < X. Determine a média de X.

7. Seja X o tempo até que uma reação química esteja completa é aproximado pela função de distribuição cumulativa abaixo:

Determine a função densidade de probabilidade de X. Que proporção de reações é completada dentro de 200 segundos?

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8. Seja X uma variável aleatória contínua, o tempo de falha de um componente eletrônico de uma copiadora e a fdp de X, , foi dada:

, para 0 < x < 1e , para quaisquer outros valores de x.

Determine:a) Construa a F(x)b) A probabilidade do tempo gasto ser de no máximo ¼ h, isto é,

9. Seja X: tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num cerro período de tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por:

Calcular E(X), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima.

10.Seja X uma variável aleatória contínua, o tempo de falha de um componente eletrônico de uma copiadora e a fdp de X, , foi dada:

, para 0 < x < 1e , para quaisquer outros valores de x.

Determine:a) Construa a F(x)b) A probabilidade do tempo gasto ser de no máximo ¼ h, isto é,

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