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Material Básico de Estudo

Vetores e Álgebra Vetorial

Paisagem Fractal com “Mandelbrot”

“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”. [Albert Einstein]

Estudante: ____________________________________________________

Turma: _________________________________ Semestre: ___________

Material elaborado pelo Prof. Júlio César Tomio* * Professor do Instituto Federal de Santa Catarina [IFSC] – Campus Joinville.

Vetores e Álgebra Vetorial Prof. Júlio César TOMIO

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MENSAGEM PARA O ESTUDANTE! Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte à unidade curricular [disciplina] de Geometria Analítica e/ou Álgebra Linear. Essas unidades curriculares se estendem durante os dois primeiros semestres do seu Curso Superior de Engenharia e, consequentemente, terão papel importante em futuras aplicações nas disciplinas subsequentes que necessitarão dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepção deste, baseada na experiência de alguns anos de docência, também objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente no ambiente de sala de aula. Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem de Vetores e da Álgebra Vetorial. Para tanto, contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material. A realização de um Curso Superior é um fato que pode fazer muita diferença na sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faça tudo da melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos melhores) investimentos que você já fez em você mesmo. Desejo que a sua vivência no ambiente acadêmico seja a melhor possível e que a passagem por mais esta etapa de sua vida contribua para o seu engrandecimento pessoal e futuramente profissional. Acredito que isso possibilitará uma melhora significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você. Muita garra e sucesso! Prof. Júlio César Tomio.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [Comentadas]

Este material foi produzido utilizando como base, parte da bibliografia indicada abaixo e também através de contribuições minhas e de alguns colegas professores, com os quais tive o prazer de trabalhar. Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer estudo que se queira realizar. Experimente! Vá até a biblioteca e faça uma consulta.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.

Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos neste material, com uma

linguagem bastante objetiva e acessível e também uma grande quantidade de exercícios. VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d.

Neste livro você encontrará a grande maioria dos conteúdos desenvolvidos neste material, porém com uma linguagem diferenciada do anterior. [Este livro pode ser “encontrado” na íntegra, no site do próprio autor. O endereço é: www.geometriaanalitica.com.br].

Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, são ótimas fontes de consulta e também se encontram em boas bibliotecas.

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.

STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1987.

ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 2: Álgebra linear e cálculo vetorial. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.

Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. [Provérbio chinês]


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ÍNDICE

GEOMETRIA ANALÍTICA

Sistemas de Coordenadas .................................................................................................................................... 04 Sistemas de Coordenadas Retangulares [ou Cartesianas] ................................................................................ 04

Sistema de Coordenadas Unidimensional [ℝ1 ou E1] ......................................................................................... 05

Eixo Real [ou eixo das abscissas] .............................................................................................................................. 06

Estudo do Ponto no ℝ1 – Distância entre dois Pontos ................................................................................................. 06 Sistema de Coordenadas Bidimensional ............................................................................................................. 07

Sistema Cartesiano Ortogonal [ ℝ2 ] .......................................................................................................................... 07

Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2 ......................................................................................................... 08

Sistema de Coordenadas Tridimensional ............................................................................................................ 09

Sistema Cartesiano Ortogonal: O Espaço ℝ3 [ ou E3 ] ................................................................................................. 09

VETORES E ÁLGEBRA VETORIAL

Vetores ................................................................................................................................................................. 14

Introdução .............................................................................................................................................................. 14

Noções Básicas ........................................................................................................................................................ 15

Particularidade dos Vetores ...................................................................................................................................... 17

Operações com Vetores na Forma Geométrica ........................................................................................................... 18

Vetores no ℝ2 .......................................................................................................................................................... 22

Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ2 ..................................................................................... 25

Vetores no ℝ3 .......................................................................................................................................................... 29

Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ3 ..................................................................................... 31

Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores ................................................................................................................. 33

Cálculo do Módulo [Norma] de um Vetor ................................................................................................................... 36

Vetor Unitário .......................................................................................................................................................... 38

Tópico Especial: Desigualdade Triangular .................................................................................................................. 39

Versor de um Vetor .................................................................................................................................................. 41

Produto Escalar .................................................................................................................................................... 42

Definição Algébrica do Produto Escalar ...................................................................................................................... 42

Definição Geométrica do Produto Escalar ................................................................................................................... 43

Ângulo entre dois vetores ......................................................................................................................................... 44

Tópico Especial: Projeção de um Vetor sobre Outro .................................................................................................... 48

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .................................................................................................. 51

Produto Vetorial ................................................................................................................................................... 53

Definição ................................................................................................................................................................. 53

Outras Aplicações do Produto Vetorial ....................................................................................................................... 55

Produto Misto ....................................................................................................................................................... 59

Definição ................................................................................................................................................................. 59

Interpretação Geométrica do Produto Misto ............................................................................................................... 59

Uma Aplicação do Produto Misto [na Mecânica Geral] ................................................................................................. 60

Apêndice ............................................................................................................................................................... 64


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Referencial (origem)

x

A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então, na pesquisa da verdade

e ajudar-nos na vida! [Jacques Bernoulli]

SISTEMAS DE COORDENADAS

Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativa precisão, pontos, objetos, partículas, pessoas, equipamentos, como um avião numa viagem intercontinental, por exemplo, entre outros.

Um simples mapa cartográfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) são exemplos, entre outros, de aplicações de sistemas de coordenadas.

Nosso estudo estará concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e três dimensões, por ser o sistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilização de outros modelos de sistema.

Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em:

Unidimensional: 1

R Real Reta ou Eixo

Bidimensional:

Polar

RCartesiano ou Retangular2

Tridimensional:

Esférico

C ilíndrico

RC artesiano ou Retangular3

Matematicamente é possível se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimensões, como por exemplo, o R4, onde poderíamos considerar a 4ª coordenada como sendo o tempo, entretanto sua representação gráfica ficaria restrita a somente 3 dimensões. Desta forma, poderemos criar um espaço Rn, onde as várias coordenadas podem assumir outros

valores de interesse.

SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES [OU CARTESIANAS]

Como nosso estudo estará baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos considerar algumas situações para melhor exemplificar a utilização dos sistemas de coordenadas, quanto às dimensões necessárias para cada caso. Vejamos a seguir:

1) Posição de um pistão no cilindro de um motor O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pistão num cilindro de um motor de combustão interna. Considere que seja de interesse a posição deste cilindro durante o funcionamento do motor.

Observe que o sistema trabalha com uma dimensão,

ou seja, para determinarmos a posição exata do pistão, necessitamos de apenas uma coordenada, considerando um referencial dado. Matematicamente, podemos escrever a posição “P” do pistão com a medida “x” P (x).

A medida “x” é dita coordenada do ponto P, ou ainda, abscissa do ponto P.

Sistema de Coordenadas Unidimensional


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2) Posição de uma bola de sinuca numa mesa O desenho abaixo apresenta uma visão superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posição da bola branca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfície de jogo da mesa).

Observe que o sistema trabalha com duas dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de duas coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x” e “y” P (x , y). As medidas “x” e “y” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P e “y” é a ordenada do ponto P.

3) Posição de uma bola de basquete numa quadra [em jogo]

Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse a posição da bola em qualquer momento do jogo.

Observe que o sistema trabalha com três dimensões, ou seja, para determinarmos a posição exata da bola, necessitamos de três coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posição “P” da bola com as coordenadas “x”, “y” e “z” P (x , y , z).

As medidas “x”, “y” e “z” são ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, “x” é a abscissa do ponto P, “y” é a ordenada do ponto P e “z” é a cota do ponto P.

SISTEMA DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL [ℝ1 ou E1]

Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dará origem aos outros que veremos em

seguida (ℝ2 e ℝ3, sendo este último o nosso campo de maior interesse). Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de “marcos quilométricos”. Elas determinam a sua posição na rodovia a partir de um referencial (origem), o “quilômetro zero”, que numa rodovia federal, localiza-se na divisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia não ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilométricos correspondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma única informação quilométrica poderemos determinar a posição de um veículo com problemas mecânicos, por exemplo. Matematicamente, teremos:

Referencial (origem) y

x

z

Referencial (origem)

y

x

Sistema de Coordenadas Bidimensional

Sistema de Coordenadas Tridimensional


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dAB = | xB – xA |

Eixo Real [ou eixo das abscissas] origem

A B C D E F G

– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

2

1 uc Obs.: uc unidade de comprimento

Temos que a abscissa (ou coordenada) do ponto A é – 4. Podemos escrever então: A 4 .

Daí, temos que: B

5

17, C 2 , D

3

8, E 4 , F 5 e G 7 .

Estudo do Ponto no ℝ1

Distância entre dois Pontos:

No caso do ℝ1, torna-se simples determinarmos a distância entre dois pontos. Veremos intuitivamente através de algumas perguntas... a) Qual a distância entre os pontos F e E? Resposta: 1 uc

b) Qual a distância entre E e G? Resposta: 3 uc

c) Qual a distância entre A e F? Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc d) Qual a distância entre B e D?

Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalização matemática. Veja: Logo:

↳ Distância entre dois pontos na reta ℝ1,

ou comprimento do segmento de reta AB. Obs.: Note que dAB = dBA. Veja:

dPQ = | xP – xQ | ou dQP = | xQ – xP | dPQ = | – 6 – 7 | dQP = | 7 – (– 6) | = | 7 + 6 | dPQ = | – 13 | dQP = | 13 | dPQ = 13 uc dQP = 13 uc

Observe que a distância entre dois pontos quaisquer é sempre um valor absoluto, ou seja, positivo. Agora, podemos retornar a pergunta ”d”, que ficou em aberto, e respondê-la: d) Qual a distância entre B e D?

x

xA xB

A B

dAB

x

– 6

P Q

0 7

5

17

2

1

3

8 14159265,3


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Então temos: BDBD xxd 3

8

5

17BDd

15

4051BDd

15

91BDd

15

91BDd

Portanto: ucBDd 07,6

SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal [ ℝ2 ] O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é um sistema bidimensional de coordenadas

[retangulares], formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas

quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. A intersecção

dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado “origem do sistema”. Cada ponto nesse plano é determinado

por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um ponto.

Localizando no sistema ao lado, os pontos indicados a seguir, temos:

)5,4(A

)5,4(B

)5,6( C

)2,6( D

)0,8(E

)0,5(F

)8,0(G

)7,0( H

)0,0(O Origem do sistema

Observações:

Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0).

Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y).

Notas:

O Sistema Cartesiano Ortogonal também é conhecido como Plano ℝ2 , Espaço E2 , ou ainda, Espaço ℝ2.

Trataremos aqui na Geometria Analítica simplesmente por ℝ2.

O “Sistema Polar”, que também é um Sistema Bidimensional, será estudado em momento oportuno.

1º Q. 2º Q.

3º Q. 4º Q.

y

x

H

A B

C

D

E F

G

6

4 – 4

– 6

– 2

8

8

– 7

O


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Tópico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do ℝ2 Veja os casos:

A(4, 4) C(–3, 3) B(–3, –3) D(4, – 4)

Genericamente Genericamente (p , p) (p , –p) ou (–p , p)

Os pontos (x, y) do plano, onde x = y, ou seja, de coordenadas iguais, definem uma reta denominada bissetriz dos

quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes b1,3), cuja equação evidentemente é y = x.

Já os pontos (x, y) do plano, onde x = – y (ou y = – x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominada

bissetriz dos quadrantes pares (2º e 4º quadrantes b2,4), cuja equação evidentemente é y = – x.

EXERCÍCIOS – Sistema Cartesiano Ortogonal

1) Observando a peça plana ao

lado [suporte de arco de serra],

determine as coordenadas dos

pontos A, B, C, D,..., L e M,

considerando:

a) a origem no ponto A;

b) a origem no centro da

peça ( ).

Nota: medidas em mm.

2) Calcule o valor de “m” de modo que o ponto Q(m2 + 5 , 6m) pertença à bissetriz do 2º e 4º quadrante.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1) Veja tabela abaixo: 2) m = –1 ou m = – 5

A B C D E F G H I J K L M a (0,0) (0,20) (20,40) (20,55) (40,80) (80,80) (80,60) (120,60) (120,20) (100,0) (60,0) (60,10) (25,0)

b (-60,-40) (-60,-20) (-40,0) (-40,15) (-20,40) (20,40) (20,20) (60,20) (60,-20) (40,-40) (0,-40) (0,-30) (-35,-40)

20 20 40

25 35 40

120

20

20

25

15

20

20

40

10

A

B

C

D

E F

G H

I

J K

L

M

4

–3

–3

4

45º

A

B

y

x

b1,3

135º

3

–3

4

– 4

C

D

y

x

b2,4

Esp. 3


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x y

z

1

2 4

3

O

x

y

z

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal: O Espaço ℝ3 [ ou E3 ]

Consideramos como sendo o espaço cartesiano ℝ3 (ou E3), o conjunto dado por três eixos reais perpendiculares dois a dois, denotados por “x” , “y” e “z”, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientação conforme abaixo:

z (eixo da cotas)

O

y (eixo das ordenadas)

x (eixo das abscissas)

5

Os três planos do ℝ3: yOz, xOy e xOz, geram oitos regiões (sub-espaços) chamadas de octantes (ou oitantes) que podem ser observados na figura acima e a direita (os números identificam cada octante). Os valores reais contidos nos três eixos estão ordenados de forma crescente conforme indicação das setas dos respectivos eixos. No espaço tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de números reais (x, y, z), associamos um único ponto; assim:

zP

P (xP , yP , zP)

yP

xP

Observação: Origem O (0 , 0 , 0)

Máquinas operatrizes, sistemas automatizados e sistemas de robótica utilizam, na sua grande maioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como no exemplo da fresadora ao lado:

Por questões técnicas, as posições dos eixos coordenados podem diferir das usadas no estudo científico (na geometria analítica e outras áreas de aplicabilidade da matemática). A figura apresenta os “eixos de deslocamento” de uma fresadora.

Para refletir: A receita para a ignorância perpétua é permanecer satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos.

[Elbert Hubbard]

. . .

Lembrete:

Além do ℝ3, existem

outros sistemas de

coordenadas com três

dimensões, como por

exemplo, o sistema

cilíndrico e o sistema

esférico.


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Para melhor exemplificação, tomemos o paralelepípedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3).

Com base na figura ao lado, e levando em consideração que um

ponto qualquer (x , y , z) está no:

eixo “x” quando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0);

eixo “y” quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0);

eixo “z” quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3);

plano “xy” quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0);

plano “xz” quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3);

plano “yz” quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3).

Assim, a figura à direita destaca os 3 planos do sistema ℝ3.

Ao lado (esquerdo) podemos observar uma representação usual de dois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de uma máquina operatriz com CNC (comando numérico computadorizado). Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posições diferentes daquelas que farão parte de nosso estudo. Este fato não interfere no entendimento da posição dos pontos, pois mesmo assim, a marcação e identificação dos pontos são processos análogos aos que estudamos aqui.

Para marcar um ponto no espaço, como por exemplo, o ponto A(3 , –2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento: 1º) marca-se o ponto A’(3 , –2 , 0) no plano “xy”; 2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo “z”, 4 unidades para cima (se fosse – 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obter então o ponto A desejado. A figura ao lado ilustra este procedimento. EXEMPLOS:

1) Considerando os pontos P(0, –3, –2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema

de coordenadas cartesianas ℝ3 e faça a representação do segmento PQ .

Assim sendo, temos a representação ao lado:

[Nota: desenho “um pouco” fora da escala]

E D

P F

A B

C O

4 2

3

y

z

x

P

Q

4

3

7

–3

–2

x

y

z


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2) Construa dois sistemas de coordenadas ℝ3 e localize os pontos A(2, 4, –3) e B(–3, 5, 4) separadamente, determinando em qual octante se encontra cada ponto.

EXERCÍCIOS

1) Observando a figura ao lado, determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P.

A ( , , )

B ( , , ) E ( , , )

C ( , , ) F ( , , )

D ( , , ) P ( , , )

2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema ℝ3 e compare suas representações com as dos seus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessário.

a) A(1, 5, 4) b) B(1, –5, 4) c) C(2, 0, –5) d) D(–2, 4, 1) e) E(2, –3, –1) f) F(–1, –4, –3)

3) No referencial da figura ao lado está representada uma pirâmide de base quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine: a) as coordenadas do ponto A e do ponto C. b) a altura da pirâmide. Observação: Medidas em metros.

4) Seja a pirâmide de base OABC e P o seu vértice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9), faça a representação geométrica da pirâmide e especifique o formato da base da pirâmide e também sua altura.

Para refletir: É uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes só consiga rastejar. [Mr. Pi]

C D

P B

A F

E O

7 3

5

y

z

x


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x

y

z

A

B

C

D

E

F

G

H I

J

5) Na figura a seguir, dois vértices de um paralelepípedo retangular com as faces paralelas ao planos coordenados estão indicados. Determine as coordenadas dos seis vértices restantes. 6) Observando a peça a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

7) Observando a peça abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

x

y

z

A

B

C

E

F

G

H

I

D


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A

C

G F

D

B

H

x

z

y

E

1

–2

–3

1

2

3

8) Observando a peça ao lado, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

9) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3.

Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que )2,1,2( A . Note que o ponto A está no 4º octante.

10) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 1, 2 e

3. Escrevas as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que 2)1,3,A ( . Observe atentamente que o ponto A se

encontra no 6º octante.

x

y

z

A

C

G

F

E

D B

H

I

x


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11) Representando os pontos A(10, –2, –2), B(2, 0, – 4) e C(4, –2, 4) num ℝ3 e ligando-os, temos o triângulo ABC. Faça a representação gráfica e diga se é possível determinar o tipo de triângulo em questão, quanto aos seus lados e quanto aos seus ângulos?

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2) Veja com seus colegas de classe! 3a) A(3,–3, 0) e C(3, 3, 0) 3b) 8 m 4) A base da pirâmide é quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc. 5) Vértices Superiores: (3, 3, 7), (3, 6, 7) e (–1, 3, 7) – Vértices Inferiores: (3, 6, 4), (–1, 6, 4) e (–1, 3, 4) 6) A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e J(40, 25, 10) 7) A(0, 0, 30), B(20, 0, 15), C(50, 0, 10), D(50, 0, 0), E(50, –20, 0), F(50, –20, 20), G(50, –20, 30), H(20, –20, 30) e I(0, –20, 30) 8) A(0, 30, 0), B(0, 30, 10), C(–5, 30, 10), D(–25, 30, 0), E(–30, 30, 10), F(–30, 10, 10), G(0, 10, 10), H(–15, 10, 25) e I(–15, 0, 40) 9) B(2, –3, 2), C(3, –3, 2), D(3, –1, 2), E(3, –1, 5), F(2, –1, 5), G(2, –3, 5) e H(3, –3, 5) 10) B(–3, 2, –2), C(–5, 2, –2), D(–5, 1, –2), E(–5, 1, –5), F(–3, 1, –5), G(–3, 2, –5) e H(–5, 2, –5)

11) Neste caso, graficamente não é possível (ou torna-se muito difícil) determinar com segurança o tipo de

triângulo (em relação aos lados e aos ângulos), pois a perspectiva aqui utilizada não permite tal verificação e mesmo

utilizando uma escala conveniente, algumas medidas não aparecem na sua verdadeira grandeza. Entretanto,

algebricamente (ou analiticamente) é possível determinarmos com precisão absoluta o tipo de triângulo. As medidas dos

lados do triângulo podem ser calculadas através da fórmula da distância entre dois pontos A e B no espaço dada

por: 222 )()()( ABABABAB zzyyxxd e através destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema

de Pitágoras, podemos classificar o triângulo quanto aos seus ângulos. Assim sendo, veremos que o triângulo ABC é

EQÜILÁTERO, pois ucCABCAB 2672 e desta forma também é ACUTÂNGULO, pois tem os seus ângulos

internos iguais a º60 . Em breve, poderemos calcular com precisão cada um dos 3 ângulos internos de um triângulo

qualquer através da aplicação do conceito de “produto escalar”.

VETORES – Introdução

Antes de tratarmos propriamente de vetores, precisamos identificar aquilo que chamamos de grandezas físicas. Na matemática e em outras ciências ditas “exatas”, só podemos equacionar e quantificar situações que envolvem grandezas físicas, ou seja, aquelas que, no mínimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distância entre a sua casa e a padaria mais próxima, por exemplo. Essa distância pode ser dada em metros, quilômetros, ou ainda, em uma outra escala que possa ser conveniente. As grandezas físicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo:

Sentido-

Direção-

unidade)(númeroMódulo -

V etoriais

unidade)(númeroMóduloEscalares

F ísicasGrandezas

Exemplos de grandezas físicas escalares:

Distância, tempo, massa, temperatura. Exemplos de grandezas físicas vetoriais:

Velocidade, aceleração, força, torque (momento), campo magnético. Com o crescimento da tecnologia e da área industrial, tornou-se crescente também a necessidade de equacionar situações que envolvessem grandezas vetoriais. Nesse momento, a sistematização da teoria vetorial ganha impulso, possibilitando estudar mais profundamente fenômenos ligados a tais situações.


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VETORES – Noções Básicas Conceito: O “vetor” pode ser definido de várias maneiras: É um ente matemático utilizado para representar grandezas físicas vetoriais.

É uma tripla constituída de uma direção, um sentido e um número não negativo (módulo).

É o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento. Etimologia da Palavra Vetor: O termo vetor pode ser oriundo do verbo latino vehere [transportar, levar]. Assim, vetor seria o particípio passado de vehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava o portador de uma mensagem, por exemplo. Pois: veho [levar] + or [aquele que faz]. Daí também a palavra vehiculum (veículo). No caso específico de Matemática, podemos dizer que um vector é um transportador de três informações de uma grandeza vetorial: direção, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A é transportado (pelo vetor) até um ponto B. Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazem bastante sentido. Representações e Notações: Algumas convenções são importantes para que possamos “desfrutar” ao máximo da utilização da linguagem vetorial. Vejamos algumas notações e representações usuais.

Um vetor normalmente é representado

por uma letra minúscula juntamente com

uma “flechinha” sobre ela, mas também

podemos representar um vetor pelos dois

pontos que o definem.

Então, no caso ao lado: ABv

Podemos considerar ainda que:

BvA

ABv

Resumindo, temos:

ABABv

Esquentando o Processador!

1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatro segmentos de reta unidos (consecutivos), passando em cada ponto exatamente uma vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traçado duas vezes!

2) Qual o valor do número “x” na sequência: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 , x } ?

Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. [Lair Ribeiro]

v

|| v

módulo do vetor

(depende de escala)

0

A

B

y

x

extremidade do vetor

origem do vetor


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Detalhando, temos: Módulo (intensidade, norma ou comprimento):

Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, é um número real não negativo

acompanhado de sua unidade. Geometricamente, o módulo é o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada de desenho).

Módulo do vetor v

: |AB||AB||v|

Direção:

É a reta suporte de atuação do vetor. A direção pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Quando a direção é oblíqua,

normalmente está associada a um ângulo de referência. Sentido:

Para cada direção sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direção for vertical, o sentido poderá ser para cima ou

para baixo. Exemplos:

cimapara:sentido

v ertical:direção

N150|f|:módulo

:f

baixopara:sentido

horizontalacomº160:direção

s/cm26|v|:módulo

:v

Vetor Livre:

Considere que os vetores v

, v

, v

e v

apresentados abaixo, tenham mesmo módulo, mesma direção e sentido. Assim

sendo, devemos considerar que v

= v

= v

= v

. Isso faz com que um vetor seja qualificado como “livre”, pois pode ser

transladado de uma posição para outra mantendo suas características de módulo, direção e sentido.

v

é o vetor posição.

Os vetores v

, v

e v

são denominados imagens geométricas de v

e esse vetor v

é dito, representante natural

de v

, v

e v

. O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas é

chamado vetor posição, no caso acima, o vetor v

.

v

|| v

módulo do vetor

(depende de escala)

A

B

f

y

x 0

v

v

v

v

160º

v


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Particularidades dos Vetores: Vetores Iguais:

Dois vetores u

e w

são iguais, e indica-se por wu

, se tiverem iguais todas as suas três características: módulo,

direção e sentido. Caso contrário, escrevemos: wu

. Uma ilustração sobre a igualdade de vetores já foi apresentada

anteriormente. Vetores Paralelos:

Dois vetores u

e w

são paralelos, e indica-se por wu

// , se os seus representantes tiverem a mesma direção. Na figura

abaixo temos vwu

//// .

Observe que u

e w

têm mesmo sentido e

que u

e w

têm sentido contrário ao de v

. u

w

v

A direção dos vetores dados ao lado é vertical.

Vetores Ortogonais:

Dois vetores u

e w

são ortogonais, e indica-se por wu

, se algum representante de u

formar ângulo reto (90º) com

algum representante de w

, como na figura [a] abaixo.

u

Na figura [b] ao lado, temos dois representantes

dos vetores u

e w

, com origem (em comum)

no ponto O, onde se forma o ângulo reto. w

w

Podemos utilizar, em alguns casos específicos, O u

perpendicular como sinônimo de ortogonal. [a] [b]

Vetor Nulo [ou Zero]:

Qualquer ponto do espaço pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por 0

ou também por A A

(a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A).

Desta forma temos:

definidonão:sentido

definidanão:direção

0|0|:módulo

:0

Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido definidos; em algumas situações torna-se conveniente considerar o vetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor. Vetor Oposto:

A cada vetor 0

v corresponde um vetor oposto v

, de mesmo módulo e direção, porém, de sentido contrário.

B B

v

v

A A

Se o vetor oposto de v

é o vetor v

, então o vetor oposto de AB é o vetor AB , que pode ser escrito BA .

Algebricamente temos: ABABABBABA )()(

É importante observar que: |||| vv

, porém vv

. Destacamos ainda que: 0)(

vv .

Para refletir: Existem vitórias da alma e do espírito. Às vezes, mesmo quando você perde, você ganha. [Elie Wisel]

v

u

Vetores com origem comum


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EXERCÍCIOS – Vetores – Noções Básicas

1) Considerando o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, e sendo O o ponto de interseção das diagonais deste losango, decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

D H C

E G

A F B

2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decida se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa.

a) BFDH f) |||| HFAC

b) GEAC g) |||| DFAG

c) CGAB h) GHAB //

d) BCAF i) DFDG

e) EDBG // j) )()( HDDB


1a) V 1b) F 1c) V 1d) V 1e) F 1f) F 1g) V 1h) V 1i) V 1j) F 1k) V 1l) V 1m) V 1n) F 1o) V 2a) V 2b) V 2c) V 2d) V 2e) F 2f) V 2g) V 2h) V 2i) F 2j) V

OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA GEOMÉTRICA

Multiplicação de um Vetor por um Escalar

Dado um vetor 0

v e um número real (escalar) 0n , chama-se produto do número real n pelo vetor v

, o novo vetor

vn

. , tal que:

vdecontráriosentidotemvn0nse

vdesentidomesmootemvn0nse:sentido

vdemesmaa:direção

|v|.|n||vn|:módulo

vn

Abaixo, segue um vetor v

com alguns de seus “múltiplos escalares”:

v

v

1

v

2

v

2

v

5

v

3

v

2

1

Nota: Observe que qualquer um dos múltiplos escalares de v

possui a mesma direção de v

. Logo, todos os vetores do

exemplo acima são paralelos. Assim, podemos escrever que, se dois vetores (não nulos) u

e v

são paralelos, então existe

um número real 0n , tal que vnu

.

a) OGEO f) COEH k) OC//AO

b) CHAF g) |BD||AC| l) OHAB

c) HGDO h) |DB|2

1|O A| m) CBEO

d) |BO||OC| i) CD//AF n) HFAO

e) |DH||OH| j) HG//GF o) FEOB

G

F

A B

C D

E

H

O


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Adição [e Subtração] de Vetores

CASO 1: Vetores com mesma direção [paralelos ou colineares]:

O processo de adição de dois ou mais vetores paralelos é bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir.

0ffR 21

N0|R|

N100|f| 1

e N100|f| 2

NOTA: Quando adicionamos dois ou mais vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor soma” ou “vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum.

1f

2f

1f

21 ffR

N220|R|

21 ff

R

N120|f| 1

e N100|f| 2

2f

1f

2f

21 ffR

N70|R|

1f

N50|f| 1

e N120|f| 2

21 ff

R

CASO 2: Vetores com direções diferentes [não paralelos]:

Abordaremos de forma sucinta dois métodos para adição de vetores não paralelos [não colineares]. Veja a seguir: Método do Paralelogramo

Para adicionarmos dois vetores pelo método do paralelogramo, inicialmente esses vetores devem ter uma origem comum [situação I]. Traçam-se linhas auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades [situação II], formando um paralelogramo. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum aos vetores somados e sua extremidade será a intersecção das linhas auxiliares [situação III]. Note que o vetor resultante está sobre a diagonal do paralelogramo.

I II III

1f

1f

1f

R

2f

2f

2f

Podemos dizer, de maneira informal, que o vetor resultante faz o mesmo papel, ou que tem a mesma função, ou ainda que executa o mesmo trabalho dos vetores que o resultaram.

1f

21 ff

R

2f

2f

1f

2f


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Observação: o cálculo do módulo do vetor resultante para o método do paralelogramo pode ser feito através da fórmula:

cos.|f|.|f|2.|f|f||R| 212

22

1

| [ sendo o ângulo entre os vetores 1f

e 2f

]

A relação acima é muito comum no estudo da Física. Trata-se de uma adaptação da lei dos cossenos (aplicada em triângulos quaisquer). Entretanto essa fórmula apresenta grande limitação em situações tridimensionais, que é o foco de nossos estudos futuros. Veremos métodos analíticos mais eficazes para o cálculo do módulo de um vetor resultante e também da sua direção, em estudos posteriores.

Método do Polígono [Linha Poligonal]

Para adicionarmos dois vetores pelo método do polígono [situação I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamente suas características de módulo, direção e sentido), colocando sua origem na extremidade do outro vetor [situação II], formando um “caminho”. O vetor resultante (vetor soma) terá sua origem comum ao “primeiro” vetor e sua extremidade comum à extremidade do “último” vetor [situação III]. Note que o vetor resultante fecha um polígono com os vetores somados.

I II III

2f

2f

1f

1f

1f

21 ff

R

2f

Para somarmos mais que dois vetores (três, no caso a seguir), o processo é análogo ao descrito acima.

I II III

1f

1f

1f

2f

3f

3f

3f

321 fff

R

Qualquer sequência escolhida para a soma dos vetores resultará no mesmo vetor resultante. Veja:

I II III

1f

2f

2f

2f

3f

132 fff

R

3f

1f

3f

1f

No caso abaixo, o vetor resultante é NULO. Observe que “organizando” os vetores na sequencia “extremidade-origem”, a linha poligonal se fecha não deixando espaço para o vetor resultante.

1f

2f

2f

3f

3f

4f

0ffff 4321

R

4f

1f

Comentário: O método do paralelogramo “adiciona” apenas dois vetores em cada operação, entretanto o método do polígono pode “adicionar” uma quantidade finita qualquer de vetores numa única operação, tornando-se assim um processo mais versátil.

2f

2f


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A Subtração de Vetores: Um Caso Particular da Adição

A expressão 21 ff

R pode ser escrita como )ff 21

(R .

Portanto, para subtrair 2f

de 1f

devemos ADICIONAR 1f

com 2f

, sendo este último, o vetor oposto de 2f

.

Veja o exemplo abaixo:

I II III

R

1f

1f

1f

com 21 ff

R

2f

2f

2f

21 ff

21 ff

Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante

da soma e da subtração dos mesmos dois vetores. 1f

2f

NOTA: Quando subtraímos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominado “vetor diferença” ou mesmo “vetor resultante”; sendo este último termo o mais comum.

EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Geométrica 1) Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantes D H C para cada caso, expressando-os com origem no ponto A.

O E G

a) CHOC d) EFEH A F B

b) FGEH e) BGEO g) EHBC 2

1 i) HOOG

c) AFAE .2.2 f) OCOE .2.2 h) FGFE j) AOFOAF

2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados:

a) b)

3) No hexágono regular ao lado, obter o vetor resultante de:

a) (B – A) + (E – F) + (F – A) expressando-o com origem no ponto A

b) (D – A) – (E – A) + (E – B) expressando-o com origem no ponto B

c) (C – D) + (F – B) – (A – B) expressando-o com origem no ponto F

d) (C – A) – (C – E) + (B – C) expressando-o com origem no ponto C

A

F

B C

E

D

A B

C D

E F

H G

A B

C D

E F

H G


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C

A B

M N

4) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo.

a) Os vetores v

3 e v

4 são paralelos e de mesmo sentido.

b) Se vu

// , então |||| vu

.

c) Se vu

// , 2|| u

e 6|| v

, então uv

3 ou uv

3 .

d) Se |||| vu

então vu

.

5) Dois vetores têm módulo 10 e 14. Qual o módulo máximo possível do vetor soma desses vetores? E o mínimo possível?

6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo qualquer é paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.

Sugestão: Devemos demonstrar que: ABMN2

1


1a) AE 1b) AC 1c) AC 1d) AB 1e) AO 1f) AD 1g) AH 1h) AD 1i) AO 1j) AC

2a) AG 2b) AE 3a) AD 3b) BD 3c) FF 3d) CD 4a) F 4b) F 4c) V 4d) F

5) Módulo Máximo: 24 [Vetores com mesma direção e sentido] – Módulo Mínimo: 4 [Vetores com mesma direção e sentidos contrários]

VETORES NO ℝ2

Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C(– 4, –6) e D(0, –3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Desta

forma, podemos considerar também os vetores: OPv

, ABw

e CDu

. Representando-os no plano, temos:

Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo módulo, direção e sentido. Então podemos

afirmar que uwv

ou que CDABOP . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os é o vetor OPv

.

O vetor v

também é chamado de vetor posição ou representante natural dos vetores AB ou CD , pois é aquele que

tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal.

C

– 4

– 3

– 6

4 5 9

3

O

8

P

A

B

D

5

v

w

u

x

y


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Tomando um vetor qualquer definido por dois pontos A e B , podemos escrever:

),(),( AABB yxyxABAB . Daí tem-se que: ),( ABAB yyxxAB .

Então, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer:

OPv

ABw

CDu

OPv

ABw

CDu

)0,0()3,4( v

)5,5()8,9( w

)6,4()3,0( u

)03,04( v

)58,59( w

)63,40( u

)3,4(v

)3,4(w

)3,4(u

Pode-se observar que as igualdades uwv

e CDABOP vistas anteriormente, confirmam-se algebricamente.

Formalizando, podemos dizer que dados dois vetores )y,x(m 11

e )y,x(n 22

, eles serão iguais [ nm

] se, e

somente se, 21 xx e 21 yy (Igualdade de vetores). Isto dará garantia de que estes vetores terão mesmo módulo,

direção e sentido.

A forma )y,x(v

é dita expressão analítica do vetor v

e determina que o vetor no plano é um par ordenado de

números reais com sua extremidade no ponto )y,x( e sua origem coincidindo com a origem )0,0( do Sistema

Cartesiano Ortogonal . Também se utiliza em alguns casos, a seguinte notação para um vetor: y,xv

.

Versores de um Sistema de Coordenadas:

Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que

i

e j

, nesta ordem, são os versores dos eixos cartesianos x e y,

tendo estes versores, origem no ponto )0,0(O .

Desta forma temos: )0,1(i

e )1,0(j

sendo que 1|j||i|

.

Estes vetores i

e j

formam o que chamamos de base do plano, esta em especial é dita Base Canônica. Isto quer dizer

que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma única, através da combinação linear dos versores i

e j

.

Observação: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores não paralelos constitui uma base no plano. Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais (que são bases formadas por vetores unitários perpendiculares entre si).

Escrevendo um vetor utilizando uma combinação linear:

Multiplicando i

por 4 e j

por 3, teremos os vetores i4

e j3

,

que estão representados no plano ao lado.

Observe que, se adicionarmos (método do paralelogramo) os

vetores i4

e j3

, teremos como resultante o vetor v

, e por isso,

podemos escrever o vetor v

como combinação linear dos

vetores i

e j

. Então escrevemos: j3i4v

, ou ainda,

)3,4(v

como vimos anteriormente.

Generalizando, teremos: jy .i.xy ),x(v

Acima temos: j3i4)3,4(v


Uma lesma começa a subir num poste de 10m de altura. De dia ela sobe 2m e à noite desce 1m. Em quantos dias a lesma atingirá o topo do poste?

v

P

y

x i4

j3

O

y

x i

j

O


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Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ2, temos:

)3,2(j3i2a

)5,6(j5i6b

2

7,0j

2

7c

0),(4i4e

EXEMPLO:

1) Dados os pontos A(–1,– 4), B(1, –7) e C(5, 2), represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo:

a) o vetor BA ;

b) o vetor u

, que é o vetor posição de BA ;

c) o vetor u

com origem no ponto C.

EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ2

1) Representar graficamente o vetor A B e o correspondente vetor posição v

para cada um dos casos abaixo:

a) A(–1 , 3) e B(3 , 5) b) A(–1 , 4) e B(4 , 1) c) A(4 , 0) e B(0 , –2) d) A(3 , 1) e B(3 , 4)

2) Qual é o ponto inicial A do “segmento orientado” (vetor) representado pelo vetor posição )3,1(v

, sabendo que sua

extremidade está no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetor v

e o “segmento orientado” em questão.


1a) v

= (4, 2) 1b) v

= (5, –3) 1c) v

= (– 4, –2) 1d) v

= (0, 3) 2) A(4, –2)

)2,4(i4j2d

4

2

–3

– 6

5

7/2

– 4

–2

a

b

c

d

e

y

x

x

y


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OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA [ANALÍTICA] NO ℝ2 Os vetores podem ser operados em suas formas geométricas (através de suas representações em desenho, como vimos

anteriormente). Porém, se estas operações forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos precisão absoluta dos resultados e maior quantidade de informações (módulo, direção e sentido), principalmente quando os vetores se encontram num espaço tridimensional. Inicialmente trataremos do espaço bidimensional. Vejamos:

Multiplicação de um Escalar [Número Real] por um Vetor:

Dado um vetor ),( 11 yxv

no ℝ2 e um número n ℝ, define-se que: )( 11 n.y,n.xvn.

.

Vamos exemplificar essa operação algebricamente e também graficamente. EXEMPLO:

1) Considere o vetor w

= (–2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal.

a) Determine o vetor v

de modo que w3v

. c) Determine o vetor u

de modo que w2

1u

.

b) Determine o vetor t

de modo que w2t

. d) Represente os vetores w

, v

, t

e u

no ℝ2.

Resolução:

a) w3v

b) w2t

1)2,3.(v

1)2,2.(t

3)6,(v

2)(4,t

c) w2

1u

1)2,(2

1u

2

1,1u

Observação: Note que no exemplo acima todos os vetores têm mesma direção (são colineares ou paralelos).

Quando um vetor qualquer 0v

é multiplicado por um escalar “n” (n ℝ), tem-se um novo vetor vn

que pode ser

denominado múltiplo escalar de v

.

Através do exemplo anterior podemos RELEMBRAR o conceito de multiplicação de um escalar por um vetor. Então:

Quando multiplicamos um número real “n” por um vetor 0v

, temos um novo vetor “ vn

”, sendo que:

vdecontráriosentidotemvn0nse

vdesentidomesmootemvn0nse:sentido

vdemesmaa:direção

|v|.|n||vn|:módulo

vn

Adição (e Subtração) de Vetores:

Dados os vetores ),( 11 yxv

e ),( 22 yxw

no ℝ2, define-se:

),( 2121 yyxxwv

),()( 2121 yyxxwvwv

Vamos exemplificar essa(s) operação(ões) algebricamente e também graficamente.

v

w

t

u

y

x –6

–2

3

4

–2

1

–1

1/2


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EXEMPLOS:

1) Considere uma bóia B’ flutuando num lago de águas calmas

(na origem) e que os vetores i40t

e 30)(0,v

representam duas forças (em N) aplicadas simultaneamente na

bóia em questão. Determine o vetor R

que representa a força

resultante aplicada e represente esquematicamente a situação

no ℝ2 ao lado.

Note que, para este caso: 30N|v|

, 40N|t|

e 50N|R|

.

2) Dados os vetores v

= (4, –1), j5iw

e 1)1,(t

, determine o vetor R

sabendo que twvR

, e faça a

representação desses no ℝ2 ao lado.

Observe que: w,v

teremos vwwv

(propriedade comutativa da adição de vetores).

3) Considerando os vetores ji3u

e 2)1,(v

, determine o vetor t

de modo que: tu2t3

1)vu(4

.

x

y

y

x


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Particularidades dos Vetores no ℝ2:

Vetor Oposto:

Relembramos que, a cada vetor 0v

corresponde um vetor oposto v

, de mesmo módulo e direção, porém, de sentido

contrário. Analiticamente, podemos concluir que o vetor 2),(3t

é o vetor oposto de 2)3,(w

e vice-versa. Veja a

representação gráfica abaixo:

Então, é verdade que:

wt

ou tw

N

ONOP ou OPON

Observe que:

|w||t|

, porém wt

0wt

Através do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Para o caso acima, algebricamente, temos:

00)(0,2)23,(32)3,(2)(3,wt

Relembrando o Vetor Posição:

Observando o ℝ2 abaixo, podemos escrever: OBABOA .

Então: OAOBAB

B )()( OAOBAB

OAOBAB

v

ABAB

A ABv

v

v

é o vetor posição de AB .

O

EXERCÍCIOS – Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ2

1) Dados os vetores )1,3(u

e )2,1(v

, determine o vetor t

de modo que: )u3t4(2)uv2(t3

.

2) Dados os pontos A(–1, 3), B(2, 5), C(3, –1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de:

a) ABOA b) BCOC c) CB4BA3

3) Dados os pontos A(3, –4) e B(–1, 1) e o vetor )3,2(v

, calcule os vetores determinados por:

a) v2)AB(

b) v)BA(

c) )AB(2B d) )BA(2v3

4) Dados os pontos A(–1, 2) e B(3, –1) e C(–2, 4), determine o ponto D de modo que A B2

1C D .

5) Dados os vetores jiu

2 e iw

3 , determine t

de modo que:

wutwut

4

3

2

15)24(3

x

y

y

x

3

2

0

t

P

–3

–2

w


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6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente: a)

b)

7) Considere os vetores

0,

2

1v

,

5

1,

4

3w

, j3it

e

10

1,2s

. Determine o vetor u

de modo que o

vetor resultante na expressão s5t3

4w2vuR

seja o vetor nulo.

8) Dados os pontos 2)(1,A e 5)3,(B , determine: D(14, 16)

a) o ponto M que divide o segmento AB em duas partes iguais.

[neste caso, o ponto M é chamado “ponto médio” do segmento AB] P

b) os pontos P e Q que dividem o segmento AB em três partes iguais.

9) O segmento de reta C D (figura ao lado) foi dividido em partes iguais.

Assim, determine as coordenadas do ponto P. C(–6, –1)


Página 29 de 66

z

y

x

i

j

k


1)

5

11,

5

23 2a) (– 4, 1) 2b) (2, 5) 2c) (–5, –30) 3a) (–8, 11) 3b) (6, –8) 3c) (–9, 11)

3d) (–14, 19) 4)

2

5,0D 5)

16

13,

32

121t

6a) 2)(1,R

6b) 1)(5,R

7)

10

39,

3

31u

8a)

2

31,M 8b)

3

1,

3

1 e

3

8,

3

5 9)

5

63,10P

O ponto médio ) y, x( M MM de um segmento AB, também pode ser calculado diretamente pelas expressões

2

xx BA Mx e

2

yy BA My , normalmente estudadas na Geometria Analítica do Ensino Médio.

VETORES NO ℝ3

As definições e conclusões relativas ao ℝ3, dar-se-ão de forma análoga ao que vimos até então para o ℝ2. Sendo assim:

Vetor definido por dois pontos:

Um vetor definido por dois pontos A e B será:

)z,y,x()z,y,x(ABAB AAABBB . Daí tem-se que: )zz,yy,xx(AB ABABAB

Igualdade de vetores:

Dados dois vetores )z,y,x(v 111

e )z,y,x(w 222

, 212121 zzeyyexxwv

.

Isto garante que os vetores em questão terão mesmo módulo, direção e sentido.

Versores da Base Canônica:

Os versores que formarão a base canônica do ℝ3 são: i

, j

e k

.

Sendo que: 1|k||j||i|

onde:

)0,0,1(i

, )0,1,0(j

e )1,0,0(k

Daí tem-se que: kzjyix)z,y,x(v

Vetores nos Eixos e Planos Coordenados:

Se um vetor posição v

está sobre o:

eixo x, então esse vetor é do tipo: )0,0,(xv

ou ixv

.

eixo y, então esse vetor é do tipo: )0,,0( yv

ou jyv

.

eixo z, então esse vetor é do tipo: ),0,0( zv

ou kzv

.


está sobre o:

plano xy, então esse vetor é do tipo: )0,,( yxv

ou jyixv

.

plano yz, então esse vetor é do tipo: ),,0( zyv

ou kzjyv

.

plano xz, então esse vetor é do tipo: ),0,( zxv

ou kzixv

.

Vetor Nulo [ou Zero]:

No ℝ3, o vetor nulo é definido pela terna (0, 0, 0) que também define a origem do sistema de coordenadas em questão.


Página 30 de 66

2

3,5,0

2

35 kjc

Representação Geométrica:

Exemplificando e localizando os “vetores posição” no ℝ3, temos:

)3,3,2(332 kjia

)5,0,4(54 kib

)0,2,1(2 jid

)4,0,0(4 ke

)2,1,5(52 ikjf

Finalizando:

Um vetor posição w

qualquer, tem algumas maneiras de ser representado algebricamente. A expressão analítica usual

)zy ,x,(w

é apresentada a seguir com as suas notações equivalentes: zy ,,xkz.jy .ix.z),y,(xw

.

Acrescentaremos ainda, um exemplo para “finalizar” esse tema. Veja:

Já sabemos que o vetor kj3i4w

pode ser escrito na forma analítica 1)3,(4,w

. Podemos verificar facilmente

esta correlação, substituindo os correspondentes versores: 0)0,(1,i

, 0)1,(0,j

e 1)0,(0,k

. Assim:

kj3i4w

1) 0, (0,0) 1, 3(0,0) 0, 4(1,w

1) 0, (0,0) 3, (0,0) 0, (4,w

1)3,(4,w

z

y

x

z

y

x


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Uma outra notação para vetores, que é importante e conveniente em algumas situações, é a MATRICIAL . Assim, um vetor

qualquer )zy ,x,(w

pode ser escrito como matriz-coluna:

z

y

x

w

, ou ainda, como matriz-linha: zyxw

.

OPERAÇÕES COM VETORES NA FORMA ALGÉBRICA [ANALÍTICA] NO ℝ3 As operações com vetores na forma algébrica tornam-se especialmente importantes no espaço tridimensional, devido à dificuldade de uma representação geométrica inteligível para muitos casos; sem mencionar a precisão absoluta dos resultados analíticos. Novamente, todos os processos descritos a seguir são análogos aos estudados no sistema bidimensional. A diferença nos processos algébricos reside apenas no acréscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos as operações:

Dados os vetores )z,y,x(v 111

e )z,y,x(w 222

no ℝ3 e um número n ℝ, define-se:

Multiplicação de um Escalar [Número Real] por um Vetor:

)n.z,n.y,(n.xvn. 111

Adição [e Subtração] de Vetores:

)zz,yy,xx(wv 212121

)zz,yy,xx()w(vwv 212121

EXEMPLOS COMPLEMENTARES:

1) Considere o vetor PQw

sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (–2, 3, 5). Determine o vetor t

, tal que: w4t

.

Resolução I:

Inicialmente, vamos calcular o vetor w

. Assim: PQw

4)3,(2,5)3,2,(PQw

1)0,4,(w

Agora podemos calcular o vetor pedido. Então: w4t

1)0,4,4.(t

4)0,(16,t

Resolução II:

Sabemos que w4t

e que PQw

, então, substituindo o vetor w

, temos:

PQ4.t

P)4.(Qt

4P4Qt

4)3,4.(2,5)3,2,4.(t

16)12,(8,20)12,(8,t

Assim, o vetor solicitado é: 4)0,(16,t

2) Dados os pontos A(2, –2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor )4,0,1(w

, determine o vetor: AB)BA(3w2

Resolução:

Inicialmente chamaremos de R o vetor solicitado. Então: R ABBAw )(32

Organizando... R )(332 ABBAw

R ABBAw 332

R ABw 222

Substituindo o vetor w

e os pontos A e B ... R )1,2,2(2)5,3,1(2)4,0,1(2

Multiplicando os valores... R )2,4,4()10,6,2()8,0,2(

R )2,4,4()2,6,4(

Enfim, temos o vetor solicitado: R )0,10,0(


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3) Encontrar o vértice oposto à B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(–3, –1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0). Esquema

4) Determine o vetor resultante de twu

, sendo que: 0)2,(3,u

, 4)2,(0,w

e 0)3,(0,t

.

Resolução:

Inicialmente chamaremos de R

o vetor resultante solicitado.

Então: twuR

0)3,(0,4)2,(0,0)2,(3,R

Logo: 4)7,(3,R

Ao lado, temos o problema representado graficamente.

EXERCÍCIOS – Vetores no ℝ3 + Operações com Vetores na Forma Algébrica [Analítica] no ℝ3

1) Determinar o vetor v

, sabendo que: (3, 7, 1) + 2 v

= (6, 10, 4) – v

.

2) Dados os pontos A(2, –2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor )4,3,1(v

, calcular:

a) A + v3

b) (A – B) – v

c) B + 2(B – A) d) v2

– 3(B – A)

3) Dados os pontos A(3, – 4, –2) e B(–2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que A B5

2A N .

4) Considerando os vetores )1,0,3( u

e )2,3,1( v

e os pontos )1,4,0( A e )7,6,2( B , determine o

vetor w

tal que: wBAuwvu

23

1)(4 .

5) Dados os pontos A(1, –2, 3), B(2, 1, – 4) e C(–1, –3, 1), determinar o ponto D tal que 0CDAB

. Em seguida

representar os vetores posição de A B e C D no ℝ3.

6) Sabendo que w2v4u3

, determinar “a”, “b” e “c”, sendo u

= (2, –1 , c), v

= (a , b –2 , 3) e w

= (4 , –1 , 0).


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7) Dados os vetores )1,3,2(u

, )1,1,1(v

e )0,4,3(w

;

a) determinar o vetor x

de modo que: w2x4xvu3

;

b) encontrar os números 1a , 2a e 3a tais que: )5,13,2(wavaua 321

.

8) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no ℝ3. Considere 2 casos:

a) A(–1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3, –2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5)

9) Sendo A(2, –5, 3) e B(7, 3, –1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4, –3, 3) o ponto de intersecção

das diagonais, determinar os vértices C e D.


1) v

= (1, 1, 1) 2a) (5, 7, –9) 2b) (0, –6, 2) 2c) (–1, 7, 9) 2d) (5, –3, –14) 3) N =

5

6,2,1

4)

12,

2

21,6w

5) D = (–2, –6, 8) 6)

2

1a ,

4

7b , 4c 7a)

3

4,

3

2,

3

11x

7b) 1a,3a,2a321 8a) D = (1, –3, 6) 8b) D = (2, 1, 3) 9) C = (6, –1, 3) e D = (1, –9, 7)

Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores

Dois ou mais vetores são paralelos [ou colineares] entre si, quando seus representantes possuírem a mesma direção. Assim, temos:

w//v

equiv ersossentidomesmo

direçãomesma

w//v

oscontraverscontráriossentidos

direçãomesma

Considerando agora o paralelismo com vetores posição, percebemos mais facilmente a adequação do termo “colinearidade”: Para refletir: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atiça o fogo da floresta. [Benjamim Franklin]

x

y

w

v

x

y

v

w

x

y

v

w

0

x

y

v

w

0


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Analiticamente:

Considere os vetores )z,y,x(v 111

e )z,y,x(w 222

. Simbolicamente temos: Se w//v

n ℝ / wn.v

Da expressão wn.v

escrevemos:

)z,y,x( 111 )z,y,n.(x 222

)z,y,x( 111 )n.z,n.y,(n.x 222

Comparando as coordenadas na igualdade acima, segue que:

21 n.xx e 21 n.yy e 21 n.zz

nx

x

2

1 n

y

y

2

1 n

z

z

2

1 Então, de uma outra forma, temos: (n)

z

z

y

y

x

x

2

1

2

1

2

1

Sendo esta última, uma relação “prática” para determinação de paralelismo (ou colinearidade) de vetores.

Assim, vamos exemplificar:

a) Os vetores 6)1, 4,w1 (

e 18)3, (12,w2

são paralelos, pois 18

6

3

1

12

4

com

3

1n .

b) Os vetores 0)6, 10,v1 (

e 0)3, 5,(v2

são paralelos, pois 3

6

5

10

com 2n .

c) Os vetores 1)6, 10,u1 (

e 2)3, 5,(u2

NÃO são paralelos, pois 2

1

3

6

5

10

]n [ R .

d) Os vetores 6)1, 4,t1 (

e 18)3, (12,t2

NÃO são paralelos, pois 18

6

3

1

12

4

]n [ R .

Observações:

Quando um vetor tiver uma das coordenadas nula, um outro vetor paralelo a este, também terá a coordenada

correspondente nula. Observe o exemplo (b) acima e veja o exemplo 2 a seguir.

Alguns autores consideram que o vetor nulo 0

não pode ser considerado paralelo a outro vetor qualquer.

EXEMPLOS:

1) Verifique se os vetores u

= (2, –4, 3) e k6j8i4w

são paralelos, representando-os no ℝ3.


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Nota: Observe que “n” pode assumir dois valores. Quando n = 2, temos neste caso que um vetor é o dobro do outro, e, quando n = 1/2, temos que um vetor é metade do outro. Os dois valores, obviamente, identificam a mesma situação. O valor encontrado dependerá da sequência de escolha dos vetores em questão.

2) Dados os vetores )0,4,3a(v

e )2b,6,8(w

, determine-os, sabendo que w//v

.

EXERCÍCIOS – Paralelismo [ou Colinearidade] de Vetores

1) Quais dos vetores: 2),6,(4u

, 3),9,6(v

, 9),21,(14w

e 5),15,(10t

são paralelos?

2) Dado o vetor w

= (3, 2, 5), determinar “a” e “b” de modo que os vetores u

= (3, 2, –1) e v

= (a, 6, b)+2 w

sejam

paralelos.

3) A reta que passa pelos pontos A(–2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(6, –1, –1) e D(0, m, n).

Determine o ponto D.

4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(–1 , –2 , 3) e B(2 , 1 , –5), calcule “m” e “n”.

5) Utilizando métodos vetoriais, verifique se os pontos A(–1, –5, 0), B(2, 1, 3) e C(–2, –7, –1) são colineares.

6) Os vetores

0,0,

7v

e

0,0,

3

5w

são paralelos? Justifique sua resposta.


1) São paralelos: u

, v

e t

2) a = 9, b = –15 3) D(0, 3, 1) 4) m = 5, n = –13

5) A, B e C são colineares 6) Sim, são paralelos, pois ambos estão sobre o eixo das abscissas (eixo x).

Para refletir: Ciência é feita de fatos, como uma casa é feita de pedras, mas um acúmulo de fatos não é mais ciência do que um monte

de pedras é uma casa. [Henri Poincare]


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Cálculo do Módulo [Norma] de um Vetor Já vimos e sabemos que, geometricamente, o módulo [ou norma] de um vetor é definido pelo seu comprimento.

Agora, definiremos como calcular o módulo de um vetor posição no ℝ2 ou ℝ3, a partir de suas coordenadas. Veja:

Considerando um vetor posição )y,x(v

no ℝ2 abaixo:

Note que: OP|v|

Por Pitágoras, temos: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2

222 yx|v|

22 yx|v|

Consequentemente, para um vetor posição )z,y,x(w

no ℝ3 teremos: 222 zyx|w|

Observação:

Algumas literaturas utilizam uma outra notação para o módulo de um vetor u

que é: ||u||

Perceba que os vetores descritos a seguir são DIFERENTES, mas têm todos o mesmo módulo, que neste caso é 5. Veja:

4),(3v1

4),3(v2

4),(3v3

4),3(v4

0),(5u1

0),5(u2

3),(4w1

3),4(w2

3),(4w3

3),4(w4

5),(0u3

5),(0u4

EXEMPLOS:

1) Determine o módulo do vetor PQw

, representando o vetor posição w

no ℝ3.

Dados: )105,(6,P e )1020,(7,Q

y

y

x

P

x 0


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2) Determine o valor “m” de modo que o vetor k3j4imv

tenha módulo igual a 7.


2

1,

2

1,

2

1u

e 0)4,(3,w

. Determine |w3u2|

.

4) Calcule a distância entre os pontos A(–1, 3) e B(4, –2) e represente graficamente a situação.

y

x

3


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OBSERVAÇÃO:

Para calcular o módulo de um vetor definido por dois pontos ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB no espaço (ou

simplesmente calcular a distância entre dois pontos A e B quaisquer) podemos utilizar a fórmula da distância entre dois

pontos:

222 )()()( ABABABAB zzyyxxd

que para o caso da sua utilização no cálculo do módulo de um vetor AB , ficaria:

222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB

Vetor Unitário Um vetor é dito “unitário” quando seu módulo for igual a 1. Em diversas situações faremos uso desse conceito.

Formalizando, temos:

Se )z,y,x(w

é UNITÁRIO, então podemos escrever 1|w|

.

Pela fórmula do módulo de um vetor, temos: 222 zyx|w|

Se é unitário, então: 222

zyx1

Simplificando, encontraremos: 1zyx 222

Observações:

i) As coordenadas de qualquer vetor unitário )z,y,x(w

fazem parte do intervalo: 1z,y,x1 .

ii) No caso de um vetor unitário ter uma de suas coordenadas igual a 1 ou a –1, as demais coordenadas obrigatoriamente

deverão ser nulas. No ℝ3, isso se resume em somente 6 casos. Quais são esses vetores? EXEMPLOS:


2

1,

2

1,

2

1u

e 0)4,(3,w

. Verifique se estes vetores são unitários.

Para refletir: Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se à derrota, do que formar fila com os pobres de espírito, os quais vivem nessa penumbra cinzenta, e não conhecem nem vitória, nem derrota. [Theodore Roosevelt]


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2) Determine o valor de “p” de modo que o vetor k2

1j

3

1ipu

seja unitário.

Resolução:

Para que o vetor u

seja unitário, é necessário que: 1zyx 222

Substituindo as coordenadas do vetor u

, temos: 12

1

3

1p)(

22

2

Note que:

22pp)(

Assim, buscando isolar o “p” na equação:

14

1

9

1p

2

4

1

9

11p

2

36

9436p

2

36

23p

2

36

23p

6

23p

Tópico Especial: DESIGUALDADE TRIANGULAR

A expressão |||||| vuvu

é conhecida como desigualdade triangular e afirma que: o módulo da soma de dois

vetores é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses mesmos vetores.

Pense a respeito!

Em que situação ocorre que: |||||| vuvu

? E quando ocorre que: |||||| vuvu

?

EXERCÍCIOS – Cálculo do Módulo de um Vetor + Vetor Unitário

1) Dados os vetores )0,1(u

, )4,3(v

e )6,8( w

, calcular:

a) || u

b) || v

c) || w

d) |||| vu

e) || vu

f) |2| wu

g) |3| uw

Observação: compare as respostas das sentenças (d) e (e) e tire suas conclusões!

2) Calcular os valores de “a” para que o vetor u

= (a, –2) tenha módulo 4.

3) Verificar se são unitários os seguintes vetores: )1,1,1(u

e

6

1,

6

2,

6

1v

4) Determinar o valor de “n” para que o vetor

5

4,

5

2,nv

seja unitário.

5) Seja o vetor k5j)2m(i)7m(v

. Calcular “m” para que | v

| = 38 .

6) Calcule a distância do ponto T(–12, 9) à origem.

7) Determine o valor de y para que o vetor

3

4,,

2

1yw

seja unitário.

8) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(–1, 0, –1) e C(2, –1, 0) e classificá-lo quanto aos seus lados.

9) Dados os pontos A(3, m – 1, – 4) e B(8, 2m – 1, m), determinar “m” de modo que 35|AB| .

10) Encontrar um ponto do eixo “x” de modo que a sua distância ao ponto A(2, –3) seja igual a 5 uc.

11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distância ao ponto T(–1, 2, –2) seja igual a 3 uc.

12) Dados A(1, 0, –1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de “m” para que || v

= 7, sendo que BCACmv .

.

13) Obter um ponto P, do eixo das abscissas, equidistante dos pontos A(2, –3, 1) e B(–2, 1, –1).


Página 40 de 66

x

y

z

A

B

C

D

E

F

M

N L

I

G

H J

K P O

14) Determine o módulo do vetor jθ)(cosiθ)(senv

.

15) Considerando a peça plana apresentada

ao lado, determine a distância entre os furos:

a) A e B b) B e C

Observação: medidas em mm

16) Determine as distâncias do ponto P(1, – 4, –2) aos

eixos coordenados x, y e z, representando “P” no ℝ3.

17) Na peça apresentada abaixo, determine a distância entre os pontos: a) A e D b) G e I c) L e E

Observação: medidas em mm

18) Prove que os pontos A(–2 , –1), B(2 , 2), C(–1 , 6) e D(–5 , 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado.

19) Utilizando a fórmula distância: 222 )()()( ABABABAB zzyyxxd , demonstre que os pontos

)0,2,1(P , )3,2,2( Q e )6,10,7(R são colineares.


1a) 1 1b) 5 1c) 10 1d) 6 1e) 52 1f) 26 1g) 61 2) 32 3) apenas v

é unitário

4)55 5) {–5, – 4} 6) 15 uc 7) 1||/ wRy

8) 32112 uc / Triângulo Isósceles, pois CABCAB

9) {–3, –1} 10) (6, 0) ou (–2, 0) 11) P(0, 0, 0) ou P(0, 0,– 4) 12) 3 ou –13/5 13) Faça: |||| PBPA e P(1, 0, 0)

14) 1 15a) 32,70 mm 15b) 25 mm 16) 52 , 5 e 17 uc 17a) 1145 mm 17b) 705 mm

17c) 25 mm 19) Demonstre que: QRPRPQ ddd


1) Se a metade de XII não é seis, então quanto é? 2) O pai do padre é filho de meu pai. O que sou do padre?

Para refletir: Todos ganham presentes, mas nem todos abrem o pacote. [Nei Ferrarini]

C

A

B


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Versor de um Vetor

O versor de um vetor 0w

é o vetor UNITÁRIO que tem a mesma direção e sentido de w

e representamos por

“ wvers

”.

y

wdemesmo:sentido

wdemesma:direção

1|wv ers|:módulo

:wv ers

0 x

Para encontrarmos as coordenadas do versor de um vetor w

, basta dividir cada uma das coordenadas de w

pelo seu

módulo. Assim, para determinarmos o versor w

, usaremos:

|w|

wwvers

É conveniente lembrar que, por exemplo, se um vetor v

de módulo 10, for multiplicado pelo escalar 1/10, isso resultará

num vetor de módulo 1, pois 1/10 de 10 equivale a 1.

Agora, vale a pena destacarmos os versores da base canônica do ℝ3.

)0,0,1(i

, )0,1,0(j

e )1,0,0(k

Observe que: .1|k||j||i|

Ao lado temos um ℝ3 mostrando os versores da base canônica.

Observações:

Um vetor unitário coincide com o seu próprio versor.

Encontramos em algumas literaturas: wu

como sendo a notação para o versor do vetor w

(vetor unitário de w

).

O processo de “transformar” um vetor qualquer num vetor unitário é conhecido como normalização.

EXEMPLO:

1) Dado o vetor )5,4,(2u

, determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no ℝ3.

w

wvers

1

1

1

z

y

x

i

j

k


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Observação:

Represente no ℝ2 o vetor v

e os vetores encontrados nas

questões “4a”, “4b” e “4c”.

EXERCÍCIOS – Versor de um Vetor

1) Dados os vetores 1),(1u

, 4),3(v

e 6),(8w

, calcular:

a) vvers

b) wvers

c) uvers

d) |uvers|

2) Determinar o valor de “a” para que u

= (a, –2a, 2a) seja um versor.

3) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(–6, –2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor w

, tal que BC2BA3w

.

4) Dado o vetor )3,1( v

, determinar o vetor paralelo a v

que tenha:

a) sentido contrário ao de v

e duas vezes o módulo de v

;

b) o mesmo sentido de v

e módulo 2;

c) sentido contrário ao de v

e módulo 4.

5) Determinar o vetor de módulo 5, paralelo ao vetor v

= (1, –1, 2).

6) Dado o vetor )3,1,2( v

, determinar o vetor paralelo a v

que tenha:

a) sentido contrário ao de v

e três vezes o módulo de v

;

b) o mesmo sentido de v

e módulo 4;

c) sentido contrário ao de v

e módulo 5.


1a)

5

4,

5

3 1b)

5

3,

5

4 1c)

2

1,

2

1 1d) 1 2)

3

1 3) vers w

=

9

4,

9

4,

9

7

4a) (–2, 6) 4b)

10

6,

10

2 4c)

10

12,

10

4 5) Os 2 possíveis são:

6

10,

6

5,

6

5

6a) (–6, 3, 9) 6b)

14

12,

14

4,

14

8 6c)

14

15,

14

5,

14

10


Um grande industrial, na necessidade de ir a São Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou: - Amanhã, acorde-me às 6 horas, por favor. Tenho que pegar o avião para São Paulo. - Pois não, chefe! Pontualmente às 6 horas o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovê-lo da ideia de viajar: - Patrão – disse o guarda – estou com mau presságio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje. O industrial titubeou, mas viajou mesmo assim. Sem incidentes, chegou a São Paulo e por telefone mandou despedir o guarda. Por quê?

PRODUTO ESCALAR Definição Algébrica do Produto Escalar:

Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

, chamamos de Produto Escalar de u e w

, o

número real dado por:

212121 ... zzyyxxwu

Observações:

O produto escalar também é conhecido como produto interno (ou ainda multiplicação interna) e pode ser indicado por

wu

, wu

ou wu

, (lê-se: u

escalar w

). A notação wu

para o produto escalar já está em desuso, e a

utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial.

Observe que: uwwu (propriedade comutativa).

Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no ℝ2, apenas suprime-se a coordenada “z”.


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Definição Geométrica do Produto Escalar:

Considerando os vetores ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

não nulos e “” o ângulo entre eles, o Produto Escalar de

u

e w

pode ser escrito por:

cos.. wuwu

(com 0 180º)

Prova das definições:

Considerando dois vetores u

e w

quaisquer e o ângulo “” entre eles, podemos representar geometricamente (abaixo):

Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo , temos:

Acos2.b.c.cba 222 ˆ

θ|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222

θ|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222

θ|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222

θ|.w|.|u.|wu cos2)(2

]2[

θ|.w|.|u|wu cos

Como queríamos demonstrar!

Agora, provaremos a definição algébrica. Inicialmente, vamos considerar que: ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

e

consequentemente: ),,( 212121 zzyyxxvu

.

Aplicando a Lei dos Cossenos para o ângulo (veja figura acima), temos:

Acos2.b.c.cba 222 ˆ

θ|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222

222cos2 |wu||w||u|θ|.w|.|u.|

2221

221

221

222

22

22

221

21

21 )()()(cos2 zzyyxxzyxzyxθ|.w|.|u.|

])()()( 2

21

2

21

2

21

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1 [cos2 zzyyxxzyxzyxθ|.w|.|u.|

].2.2.2 2

221

2

1

2

221

2

1

2

221

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1 [cos2 zzzzyyyyxxxxzyxzyxθ|.w|.|u.|

].2.2.2 212121[cos2 zzyyxxθ|.w|.|u.|

212121 222cos2 zzyyxxθ|.w|.|u.|

]2[

212121 ...cos zzyyxxθ|.w|.|u|

Como já vimos que: θ|.w|.|u|wu cos

212121 ... zzyyxxwu

Como queríamos demonstrar!

Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em

que a atividade matemática é nula ou quase nula. [Jacques Chapellon]

A B

C

u

w

A B

C

u

w

wu


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Ângulo entre dois vetores: O ângulo entre dois vetores é definido como sendo o menor ângulo que um vetor deve girar ao encontro do outro vetor para

que se tornem colineares. Desta forma, utilizaremos o ângulo com a seguinte variação: 0 180º.

Da igualdade θ|.w|.|u|wu cos

, vista anteriormente, temos:

||.||

coswu

wu

como sendo a fórmula a partir da qual se calcula o ângulo entre dois vetores não nulos.

A mesma relação pode ser escrita na forma:

||.||arccos

wu

wu

ou no padrão americano:

||.||cos 1

wu

wu

Se for o ângulo entre os vetores u e w

, então podemos utilizar a notação: ),( wu

Para determinar o ângulo entre dois vetores, através da relação descrita acima, será necessário consultar uma tabela

trigonométrica ou fazer uso de uma calculadora científica. Normalmente, encontraremos os ângulos em duas unidades: o grau (º) e o radiano (rad).

A conversão entre as unidades pode ser feita através de uma regra de três simples e direta: 180º rad

Lembretes:

- Uma volta completa possui 360º ou 2 rad.

- As calculadoras científicas trabalham com os ângulos em três unidades: DEG (grau), RAD (radiano) e GRAD (grados).

A seguir, têm-se as possíveis situações no estudo do ângulo e do produto escalar de dois vetores não nulos:

= 0º u

e w

são paralelos (equiversos) cos 0º = 1 wu > 0

↳ u

// w

= 180º u

e w

são paralelos (contraversos) cos 180º = –1 wu < 0

↳ u

// w

= 90º (ângulo reto) u

e w

são perpendiculares ( wu

)

cos 90º = 0 wu = 0

0 < < 90º (ângulo agudo) cos > 0 wu > 0

90º < < 180º (ângulo obtuso) cos < 0 wu < 0

^

u

w

u

w

u

w

u

w

u

w


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Observações: Nulidade do produto escalar:

0wu

, se:

i) Um dos vetores for nulo;

ii) Os dois vetores forem ortogonais (perpendiculares) entre si, ou seja, = 90º [Lembre-se que: cos 90º = 0].

A partir disso podemos escrever: 00

u e 00 u

; e particularmente: 0 kikjji

.

Vale lembrar os versores (base canônica) dos eixos cartesianos: i

= (1 , 0 , 0), j

= (0 , 1 , 0) e k

= (0 , 0 , 1).

Em especial, alguns autores consideram que o vetor nulo 0

é perpendicular a qualquer vetor, e escrevemos: u

0 .

Enfatizando:

Para os vetores 0

u e 0

w temos que wuwu

0 (o produto escalar é zero para vetores ortogonais).

Aplicações do Produto Escalar: Na molécula de metano CH4 (figura ao lado), os átomos de hidrogênio estão posicionados nos quatros vértices do tetraedro regular. A distância entre o centro do átomo de hidrogênio e o centro do átomo de carbono é 1,10 angstroms [1 Å = 10–10 m]

e o ângulo da ligação H–C–H é = 109,5º. Várias outras moléculas têm estruturas

geométricas espaciais que podem ser estudadas [cálculo de medidas e ângulos, por exemplo] através da aplicação dos conceitos de produto escalar. Nas situações em que for necessário o cálculo ou estudo de medidas e ângulos em situações espaciais (com 3 dimensões) podemos muito bem aplicar os conceitos do produto escalar. Algumas aplicações de engenharia (na mecânica geral) serão abordadas nos exercícios que veremos a seguir.

EXEMPLOS:

1) Dados os vetores kiu

83 e )5,2,4( w

determine o valor de uw .

Resolução: Aplicando a definição algébrica do produto escalar, temos:

212121 ... zzyyxxuw

)8).(5()0).(2()3).(4( uw

)40()0()12( uw

28uw

Observe que: uwwu

2) Mostre que, para qualquer que seja o vetor u

, teremos: 2|| uuu

.

Resolução: Seja o vetor ),,( zyxu

. Então, aplicando a definição algébrica do produto escalar, temos:

zzyyxxuu ...

222zyxuu

(I) Mas aplicando a fórmula do módulo, temos:

222|| zyxu

2222

|| zyxu

(II)

Agora, substituindo a equação (II) em (I), temos:

2|| uuu

, como queríamos mostrar.


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3) Sendo || u

= 2 , || w

= 3 e 120º o ângulo entre os vetores u

e w

, calcule wu

.

Resolução: Considerando os dados do problema, aplicaremos a definição geométrica do produto escalar.

Então: cos.. wuwu

º120cos.3.2wu

2

16wu

3wu

Note que o produto escalar é negativo, pois o ângulo entre os vetores é obtuso (120º).

4) Calcule o ângulo entre os vetores v

= (2, 1, –1) e AB , sabendo que A(3, 1, –2) e B(4, 0,– 4).

5) Prove que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, –1) e C(2, 2, –2) é retângulo em B.


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6) Determine um vetor ortogonal aos vetores 1v

= (1, –1, 0) e 2v

= (1, 0, 1).

Tópico Especial: Considerações Importantes Notação:

Alguns autores representam um vetor v

apenas por v (sem a “flechinha” e em negrito) e v (sem negrito) para o módulo

desse vetor v

. A fórmula (definição geométrica) do produto escalar com essa notação ficaria assim: u.v = u.v.cos ou

ainda, como podemos observar em alguns livros: A.B = A.B.cos . Fique atento! Observe e reflita:


é ortogonal ao:

eixo x, escrevemos Oxv

. Então esse vetor é do tipo: ),,0( zyv

.

eixo y, escrevemos Oyv

. Então esse vetor é do tipo: ),0,( zxv

.

eixo z, escrevemos Ozv

. Então esse vetor é do tipo: )0,,( yxv

.

Vale relembrar que, se um vetor posição v

está sobre o:

eixo x, escrevemos Oxv //

. Então esse vetor é do tipo: )0,0,(xv

.

eixo y, escrevemos Oyv //

. Então esse vetor é do tipo: )0,,0( yv

.

eixo z, escrevemos Ozv //

. Então esse vetor é do tipo: ),0,0( zv

.

Esquentando o Processador! Você tem um fósforo e entra num quarto frio e escuro, que tem um aquecedor a óleo,

uma lâmpada a querosene e uma vela. Qual você acende primeiro?

Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente... “As Três Peneiras”

Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e perguntou: - O que você vai me contar já passou pelas três peneiras? - Três peneiras? - indagou o rapaz. - Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? Arremata Sócrates: - Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo. Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de qualquer comentário infeliz.


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A B’

B

v

w

wprojv

↳

Tópico Especial: PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO

Sejam os vetores w

e v

não nulos e o ângulo entre eles, conforme a representação a seguir.

O segmento orientado 'AB é chamado de vetor projeção de w

em v

(ou projeção ortogonal de w

em v

) e

indicaremos por:

wprojAB v

'

O vetor projeção de w

em v

poderá ser encontrado através da relação:

vvv

vwwprojv

ou v

v

vwwprojv

2||

A dedução da relação acima fica a cargo do leitor. Nota: Existem situações específicas na engenharia, que a utilização da relação acima (projeção de um vetor sobre outro), facilita muito a resolução de diversos problemas que envolvem a geometria analítica. Observações:

Se é agudo, o vetor wprojv

tem mesmo sentido de v

.

Se é obtuso, o vetor wprojv

tem sentido contrário de v

.

O vetor wprojv

pode ser maior que v

.

Em geral: vprojwproj wv

Obviamente (pela definição) o vetor wprojv

sempre tem a mesma direção de v

.

A ÚNICA “simplificação” que podemos fazer na expressão vvv

vwwprojv

é v

v

vwwprojv

2||

.

A B’

B

v

w

wprojv

↳

A B’

B

v

w

wprojAB v

' ↳


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CASO PARTICULAR: Quando v

é UNITÁRIO.

Se v

é unitário, então 1|| v

.

Substituindo em: vv

vwwprojv

2||

, temos:

vvw

wprojv

2)1(

vvwwprojv

)(

|)(||| vvwwprojv

Aplicamos “módulo” nos dois membros da expressão.

|||)(||| vvwwprojv

Aplicamos uma propriedade de módulo e como 1|| v

, temos:

1|)(||| vwwprojv

|)(||| vwwprojv

Note que |)(|' vwAB

Assim, pela última expressão, podemos enunciar:

O comprimento do vetor projeção de w

em v

, sendo v

unitário, é igual ao módulo do produto escalar de w

e v

.

Notas:

A expressão destacada anteriormente é definida com a interpretação geométrica do módulo do produto escalar.

Caso o vetor v

não seja unitário, podemos utilizar o seu versor, ou seja, o vetor vvers

, que é unitário e tem a mesma

direção e sentido de v

.

EXEMPLO:

1) Determine o vetor projeção de )4,3,2(v

sobre )0,1,1( u

.

Resolução:

Para determinar a projeção de v

sobre u

utilizaremos: uuu

uvvproju

Então, inicialmente calcularemos: 1032)0).(4()1).(3()1).(2( uv

e

2011)0).(0()1).(1()1).(1( uu

Então:

)0,1,1(2

1

u

uu

uvvproju

Logo, o vetor pedido [que é o vetor projeção de v

sobre u

] é:

0,

2

1,

2

1vproju

.

Observação: Existem outras utilidades para a aplicação da projeção de um vetor sobre outro. Pesquise!

Para refletir: Sobre todas as coisas há três pontos de vista: o teu, o meu e o correto. [Provérbio chinês]

A B’

↳ wprojv

w

v

B B’

B

v

w

wprojv

↳


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EXERCÍCIOS – Produto Escalar

1) Mostrar que os pares de vetores dados são ortogonais: a) v

= (1, –2, 3) e w

= (4, 5, 2) b) i

e j

2) Dados os vetores )0,1,1(u

e )0,1,0(w

, calcule o valor de wu

pelas definições algébrica e geométrica.

Sugestão: Para auxiliar no cálculo de wu

através da definição geométrica, faça uma representação no ℝ3 dos vetores u

e w

, e assim perceba o valor do ângulo entre eles.

3) Seja o triângulo de vértices A(–1, –2, 4), B(– 4, –2, 0) e C(3, –2, 1). Determinar o ângulo interno aos vértices B e A.

4) Os pontos A, B, C são vértices de um triângulo equilátero com lado de 10cm. Calcule o produto escalar entre A B e A C.

5) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).

6) Calcular “n” para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u

= (1, n, 2) e j

.

7) Dados os vetores a

= (2, 1, m), b

= (m+2, –5, 2) e c

= (2m, 8, m), determinar o valor de “m” para que o vetor ba

seja ortogonal ao vetor ac

.

8) Determinar os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, –1) e C(–1, 2, 1).

9) Sabendo que o ângulo entre dois vetores )1,1,2( u

e )2,1,1( mv

é 3/ , determinar “ m ”.

10) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(–3, –2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.

11) Qual o valor de “m” para que os vetores k4j5ima

e k4j2i1)(mb

sejam ortogonais?

12) Determine o vetor w

, paralelo ao vetor )3,1,2( u

, de modo que 42uw

.

13) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor )1,1,2( v

.

14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em Â) medem 5, 12 e 13. Calcular CBCABCBAACAB .


, sabendo que 5|| v

, v

é ortogonal ao

eixo Oz , 6wv

e que kjw

32 .


, ortogonal ao eixo Oz , que satisfaz as

condições 101 vv

e 52 vv

, sendo )1,3,2(1 v

e

)2,1,1(2 v

.

17) Na torre da figura ao lado, determine o ângulo formado entre os cabos AB e AC, e o ângulo agudo que o cabo AD forma com a linha vertical. 18) Determine o menor ângulo formado entre duas diagonais de um

mesmo cubo. Sugestão: desenhe um cubo no ℝ3.

☺ Teste sua atenção e organização com o exercício 19!

19) Dados os vetores )12,,1( aau

, )1,1,( aav

e )1,1,( aw

, determine o valor de “ a ” de maneira que

wvuvu )( .

20) Calcule o módulo dos vetores vu

e vu

, sabendo que 4|| u

, 3|| v

e que o ângulo entre u

e v

é de º60 .

Esquentando o processador!

Movimente apenas um palito (no esquema ao lado) para ficar correto!

Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. [Provérbio chinês]


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1) Utilize a def. algébrica do produto escalar! 2) wu

= 1 3) B = 45º e A = 90º 4) 50 5) Â 6) 15

7) {– 6, 3} 8) A arc cos(0,630) 51º, B arc cos(0,544) 57º e C arc cos(0,309) 72º 9) m = – 4

10) 0BCBA 90ºB ˆ 11) {–3, 2} 12) (–6, 3, –9) 13) ’s vetores. Um deles é:

2

1,

2

1,0 ; para x = 0

14) 169 15) (4, 3, 0) 16) (–1, 4, 0) 17) 41,69º e 37,51º 18) Aprox. 70º 19) a = 2 20) 37 e 13

ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR

Considere o vetor ),,( zyxv

não-nulo, conforme a figura abaixo.

Então:

Ângulos diretores de v

são os ângulos , e que

v

forma com os versores i

, j

e k

, respectivamente.

Cossenos diretores de v

são os cosenos de seus ângulos

diretores, isto é, cos , cos e cos .

Nota: Observe que os ângulos diretores de um vetor, são os ângulos que o vetor forma com os semi-eixos coordenados

positivos. Vale detalhar então que: º180,,0 .

Para determinarmos os ângulos diretores , , e seus cossenos, utilizaremos a fórmula que calcula o ângulo entre dois

vetores não-nulos: wu

wu

.cos

, vista anteriormente quando estudamos o produto escalar de dois vetores.

Assim teremos:

||)1.(||

)0,0,1(),,(

||.||cos

v

x

v

zyx

iv

iv

||

cosv

x

||)1.(||

)0,1,0(),,(

||.||cos

v

y

v

zyx

jv

jv

||

cosv

y

||)1.(||

)1,0,0(),,(

||.||cos

v

z

v

zyx

kv

kv

||

cosv

z

Observação:

Note que os cossenos diretores de v

são exatamente as componentes do versor de v

:

)cos,cos,(cos||

,||

,||||

),,(

||

v

z

v

y

v

x

v

zyx

v

vvvers

Como o versor é sempre um vetor UNITÁRIO, decorre imediatamente que: 1coscoscos 222 .

Nota: os ângulos e cossenos diretores também podem ser chamados de ângulos e cossenos DIRECIONAIS.


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EXEMPLOS:

1) Calcule os ângulos diretores do vetor )0,1,1( v

.

2) Os ângulos diretores de um vetor são , º45 e º60 . Determine o ângulo .

EXERCÍCIOS – Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor

1) Calcule os ângulos diretores do vetor )3,2,6( v

2) Um avião está a 4km de altura, 5km ao sul e 7km à leste de um aeroporto, conforme figura ao lado. Sabendo que o avião partiu em linha reta até o ponto em questão, determine os ângulos direcionais do avião.

3) Os ângulos diretores de um vetor w

são º45 , º60 e º120 e 2|| w

.

Determine o vetor w

.

4) Os ângulos diretores de um vetor podem ser º45 , º60 e º90 ? Justifique sua reposta.

Para refletir: O conhecimento amplia a vida. Conhecer é viver uma realidade que a ignorância impede desfrutar. [Pensamento Logosófico]


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5) Determine, em graus, os ângulos que a barra OA forma com

os eixos cartesianos (veja figura ao lado).

6) Os ângulos diretores de um vetor são º120 , e º60 .

Encontre .

7) Num vetor v

são conhecidos 3/2cos e 3/2cos .

Determine:

a) cos [ é agudo] b) vvers

8) Determine um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme

º60 com o eixo Ox .

9) Determinar o vetor t

de módulo 5 , sabendo que é ortogonal

ao eixo Oy e ao vetor kiv

2 , e que forma ângulo obtuso

com o vetor i

.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1) º62,64)7/3arccos(;º60,106)7/2arccos(;º00,31)7/6arccos( 2) º06,65,º45,42,º19,58

3) 1)1,,2(w

4) Não, pois: 1º90cosº60cosº45cos222

5) º62,22,º34,103,º08,72

6) Existem duas possibilidades: S = {45º, 135º} 7a) 3/1cos 7b) )3/1,3/2,3/2(vvers

8) Os dois vetores possíveis são: )0,2/3,2/1()0,2/3,2/1( ou 9) O vetor procurado é: )5,0,52( t

PRODUTO VETORIAL Anteriormente vimos que, a cada par de vetores, podemos associar um número real, chamado de produto escalar entre estes dois vetores. Através desse produto escalar, conseguimos obter várias informações sobre vetores, como por exemplo, ângulos entre dois vetores e ângulos entre um vetor e os eixos coordenados. Chegamos até a resolver alguns exercícios de geometria euclidiana fazendo uso do mesmo!

Pois bem, vamos falar um pouco de um novo produto entre dois vetores: o produto vetorial. Diferentemente do

produto escalar, o produto vetorial entre dois vetores u e w

é um vetor! Veja se você entendeu: enquanto o produto

escalar é um número, o produto vetorial é um vetor; e este vetor tem várias características importantes e peculiares. Vamos então à definição de produto vetorial.

Definição:

Considerando o espaço ℝ3 e os vetores ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

, chamamos de Produto Vetorial de u e w

,

o vetor wu

definido por:

);;( 212121212121 xyyxzxxzyzzywu

kxyyxjzxxziyzzywu )()()( 212121212121

As componentes do vetor acima também podem ser escritas com determinantes de ordem 2, conforme abaixo:

kyx

yxj

zx

zxi

zy

zywu

22

11

22

11

22

11

222

111

zyx

zyx

kji

wu

E que, para simplificar, escreveremos o vetor wu

com um único determinante [simbólico] de ordem 3:


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Considerações Importantes:

O produto vetorial também é conhecido como produto externo (ou ainda produto cruzado) e pode ser indicado por wu

ou wu

(lê-se: u

vetorial w

).

Observe que: )( uwwu

(propriedade anti-comutativa).

Direção de wu

: é perpendicular (ortogonal)

aos vetores u

e w

simultaneamente.

Sentido de wu

: u

, w

e wu

Nesta ordem, formam um triedro positivo (segue a regra da mão direita).

Módulo de wu

: senwuwu .||.||||

(com 0 180º). Note que: |||| uwwu

.

Nulidade do produto vetorial: 0

wu , se:

i) Um dos vetores for nulo; ii) Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, = 0º ou = 180º.

A partir disso, podemos escrever: 0

uu , 00

u e 00

u ; e particularmente: 0

kkjjii .

Em particular, os versores i

, j

e k

, nesta ordem, formam um triedro positivo.

De uma forma prática, utiliza-se o esquema ao lado para determinar o produto vetorial de dois

desses versores, cujo resultado é o “versor faltante”, de sinal positivo se o sentido for anti-horário e negativo se no sentido horário. Veja alguns exemplos:

kji

jik

ijk

kij

jki

Enfatizando:

Para os vetores 0

u e 0

w temos:

wuwu

0 (o produto escalar é zero para vetores ortogonais)

wuwu

//0 (o produto vetorial é o vetor nulo para vetores paralelos)

Sobre a relação: senwuwu .||.||||

A dedução da expressão em questão ficará a cargo do leitor. Entretanto vale a pena comentar que sua prova fica mais

simplificada quando se conhece a “Identidade de Lagrange”: 22.

22 )(|||||| wuwuwu .


Considere que: ba 00 beacom

Multiplicando toda a equação por a : aba 2

Subtraindo 2b nos dois membros da equação: 222 babba

Desmembrando os produtos: )())(( babbaba

Simplificando a equação por )( ba : bba

Como inicialmente definimos que ba : bbb bb 2

Dividindo a toda equação por b : 12

Então: 12 . É possível? Existe algum erro?

w

u

wu

= wu

,

uw

^

i

j

k

+


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OUTRAS APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL Cálculo de Áreas (Paralelogramo e Triângulo)

Seja o paralelogramo ABCD, definido pelos vetores u

e w

.

Através da geometria plana, sabemos que a área de um paralelogramo é o produto de sua base pela altura, ou seja,

SABCD = base . altura Neste caso temos:

base = u

e altura = w

. sen , pois tem-se que:

Substituindo em SABCD = base . altura , temos:

SABCD = wu

. . sen

Ou seja:

SABCD = wu

↳A área de um paralelogramo determinado pelos vetores u

e w

é

numericamente igual ao módulo do produto vetorial desses vetores. Face o exposto anteriormente, facilmente escrevemos:

SABC = 2

wu

↳A área de um triângulo determinado pelos vetores u

e w

é numericamente

igual ao módulo do produto vetorial desses vetores, dividido por dois.

Torque (Momento de uma força)

O torque é uma grandeza física vetorial (representado por ) e está relacionada com a possibilidade de um corpo sofrer

uma torção ou alterar seu movimento de rotação. O torque pode ser calculado através da equação abaixo:

Fr

onde || r

é a distância do ponto de aplicação da força F

ao eixo

de rotação, ao qual o corpo está vinculado. A intensidade (módulo)

do torque será calculado através da equação:

sen.||.|||| Fr

, onde é o ângulo entre r

e F

.

A B

C D

u

w

h

.

..sen

hip

opcat

||sen

w

h sen.|| wh

A B

C

u

w


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EXEMPLOS:

1) Dados os vetores kjiu

32 e 5,4,3w

determine:

a) wu

b) uw

c) | wu

|

d) uu

2) Considerando os vetores u

= (1, –1, – 4) e w

= (3, 2, –2), determine um vetor que seja:

a) ortogonal a u

e w

(simultaneamente); c) ortogonal a u

e w

e que tenha módulo 4;

b) ortogonal a u

e w

e unitário; d) ortogonal a u

e w

e que tenha cota igual a 7.

a) Resolução: Um dos vetores simultaneamente ortogonais a u

e w

é o vetor wu

que chamaremos de t

. Então:

223

411

kji

wut

)283(2122 jikkji

kjit

51010 ou )5,10,10( t

b) Resolução: Um dos vetores unitários é o versor de t

. Inicialmente calculamos: 15)5()10()10(|| 222 t

Calculando o versor de t

teremos: 15

)5,10,10(

||

t

ttvers

15

5,

15

10,

15

10

3

1,

3

2,

3

2tvers

c) Resolução: Para que um vetor (que chamaremos de v

) seja ortogonal a u

e w

simultaneamente e tenha módulo 4,

basta fazermos:

3

1,

3

2,

3

2.4.4 tversv

3

4,

3

8,

3

8v

d) Resolução: Todos os vetores simultaneamente ortogonais a u

e w

são “múltiplos escalares” de wu

e, portanto, são

da forma )5,10,10.( m com Rm . Chamando o vetor procurado de p

temos:

)5,10,10.( mp

)5,10,10( mmm Como o vetor p

deve ter cota (z) igual a 7, fazemos: 75 m 5/7 m .

Reescrevendo o vetor p

encontraremos:

5

35,

5

70,

5

70)5,10,10.(

5

7)5,10,10.(mp

)7,14,14( p


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3) Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, –1, 0) e C(4, 2, –2), determine:

a) a área do triângulo ABC b) a altura do triângulo ABC relativa ao vértice C.

4) Seja o triângulo equilátero ABC de lado 10 cm. Determine a sua área utilizando os conceitos de produto vetorial. Resolução:

Aplicando a fórmula do módulo de um produto vetorial, temos:

senACABACAB ..

º60.10.10 senACAB

3502

3.100 ACAB

Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada através do módulo do produto vetorial dos vetores que compõem o triângulo. Assim temos:

30,433252

350

2

||

ACABS ABC

Então, a área do triângulo equilátero ABC é aproximadamente 43,30 cm2.

EXERCÍCIOS – Produto Vetorial

1) Se kjiu

23 , v

= (2, 4, –1) e kiw

, determine:

a) | uu

| d) )()( uvvu

g) )( wvu

j) vvu )(

b) )3()2( vv

e) wvu

)( h) )( wvu

k) wvu

)(

c) )()( uwwu

f) wvu

)( i) )()( wuvu

l) )( wvu

Observação: Alguns dos casos acima podem ser resolvidos apenas com uma análise prévia.

2) Dados os pontos A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) e C(2, –1, –3), determine o ponto D tal que ACBCAD .

3) Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1), B(1, –1, 1) e C(4, 1, –2).

4) Dados os vetores u

= (1, 1, 0) e v

= (–1, 1, 2), determinar:

a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u

e v

;

b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u

e v

.

10 cm

60º

A

B

C


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5) Determinar um vetor de módulo 2, ortogonal a u

= (3, 2, 2) e a v

= (0, 1, 1).

6) Com base na figura ao lado, calcular:

a) ADAB b) BCBA c) DCAB

d) CDAB e) ACBD f) CDBD

7) Determinar vu sabendo que | vu

| = 12, | u

| = 13 e que v

é unitário.

Dica: utilize a Relação Fundamental da Trigonometria: 1cos22

sen .

8) Dados os vetores u

= (3, –1, 2) e v

= (–2, 2, 1), calcular:

a) a área do paralelogramo determinado por u

e v

;

b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor v

.

9) Calcular a área do paralelogramo definido pelos pontos A(4, 1, 2), B(5, 0, 1), C(–1, 2, –2) e D(–2, 3, –1).

10) Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são os pontos A(2, – 4, 0) e B(1, –3, –1) e o ponto médio das diagonais é M(3, 2, –2). Calcule a área do referido paralelogramo.

11) Sabendo que | u

| = 6, | v

| = 4 e 30º o ângulo entre u

e v

, calcular:

a) a área do triângulo determinado por u

e v

;

b) a área do paralelogramo determinado por u

e (– v

).

12) Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC. Considere: A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0). 13) Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R, e calcule a área do triângulo PQR. Considere: P(2, 3, 0), Q(0, 2, 1) e R(2, 0, 2).

14) Calcular o valor de “m” para que a área do paralelogramo determinado por u

= (m, –3, 1) e v

= (1, –2, 2) seja 26 .

15) Calcular “z”, sabendo-se que A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(0, 0, z) são vértices de um triângulo de área 6. 16) Dados A(2, 1, –1) e B(0, 2, 1), determine o ponto C do eixo Oy, de modo que a área do triângulo ABC seja 1,5 ua. 17) Calcular a distância do ponto P(4, 3, 3) à reta que passa pelos pontos A(1, 2, –1) e B(3, 1, 1).


1a) 0 1b) 0

1c) 0

1d) 0

1e) (–5, 0, –5) 1f) (–1, –23, –1) 1g) (–6, –20, 1) 1h) (8, –2, 13)

1i) (8, –2, 13) 1j) 0 1k) 5 1l) 5 2) D(– 4, –1, 1) 3) Um deles é: ACAB = (12, –3, 10)

4a) Os dois vetores possíveis são:

3

1,

3

1,

3

1 4b) Os dois vetores possíveis são:

3

5,

3

5,

3

5

5) Os dois possíveis são: 2,2,0 e 2,2,0 6a) 32 6b) 32 6c) 0 6d) 0

6e) 34 6f) 32 7) 5 ou –5 8a) 103 ua 8b) 10 uc 9) 122 ua

10) 742 ua 11a) 6 ua 11b) 12 ua 12) 2

7ua e

5

7uc 13) t.(1, 4, 6) com t ℝ e S =

2

53ua

14) 0 ou 2 15) 4 ou – 4 16) C(0, 1, 0) ou C(0, 5/2, 0) 17) 3

65uc

Para refletir: Todos os homens morrem, mas nem todos os homens vivem. [Coração Valente]

2 2

2 2

A

B

C

D

30º


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PRODUTO MISTO Definição:

Dados os vetores ),,( 111 zyxu

, ),,( 222 zyxv

e ),,( 333 zyxw

, o produto misto (ou multiplicação mista) destes

três vetores é o número real representado por )( wvu

, quanto tomados nessa ordem.

O produto misto também pode ser indicado por ),,( wvu

e para calculá-lo, basta resolvermos o determinante formado

pelas coordenadas dos três vetores em questão. Veja:

Sabemos que: kyx

yxj

zx

zxi

zy

zywv

33

22

33

22

33

22 (definição de produto vetorial)

Então:

33

22

1

33

22

1

33

22

1 ...)(yx

yxz

zx

zxy

zy

zyxwvu

(aplicação de produto escalar)

Segue que:

333

222

111

),,()(

zyx

zyx

zyx

wvuwvu

Propriedades do Produto Misto:

Nulidade: 0),,( wvu

, se: Pelo menos um dos vetores for nulo;

Se u

, v

e w

forem coplanares;

Se dois deles forem paralelos.

Troca de sinal: O produto misto ),,( wvu

muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.

Se hipoteticamente tivermos 10),,( wvu

, então 10),,( wuv

.

Então, se num produto misto ),,( wvu

ocorrer:

Uma permutação de vetores haverá a troca de sinal do produto misto.

Duas permutações de vetores não haverá alteração no valor do produto misto.

Isto acarreta que: wvuwvu )()(

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO

Geometricamente, o produto misto dado por ),,( wvu

é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas

determinadas pelos vetores não-coplanares u

, v

e w

.

Ou seja: Volume Paralelepípedo = ),,( wvu

Como exemplo, considere o paralelepípedo composto pelos vetores:

u

= (2, 0, 0), v

= (0, 7, 0) e w

= (0, 0, 5).

Neste caso é fácil de verificar o volume do paralelepípedo gerado, pois os vetores são ortogonais entre si e estão sobre os eixos coordenados. Daí tem-se que o volume V pode ser assim calculado: V = (área da base OABC).(altura OG)

V = (2 . 7).5

V = 70 u.v. [Obs.: u.v. unidades de volume]

G F

E D

A B

C O

7 2

5

y

z

x


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Um Tetraedro Regular (as 4 faces são triângulos eqüiláteros)

Agora, aplicando o produto misto (em módulo) dos vetores u

, v

e w

, teremos:

Volume Paralelepípedo = 705.7.2

500

070

002

|),,(| wvu

Portanto, V = 70 u.v.

Decorrente do exposto até então, podemos também calcular o volume de um tetraedro gerado por três vetores não coplanares. Veja:

Sejam os pontos A , B , C e D não coplanares. Então os vetores ABu

, ACv

e ADw

também são não

coplanares. Assim sendo, os vetores em questão determinam um paralelepípedo (veja figura abaixo) cujo volume é:

Vparalelepípedo = ),,( ADACAB ou ainda: Vparalelepípedo = ),,( wvu

Este paralelepípedo, por sua vez, pode ser repartido em dois prismas de base triangular ABC (veja figura) de mesmo tamanho e assim o volume Vprisma de cada um dos prismas será metade do volume do paralelepípedo, ou seja:

ípedoparalelepprisma V2

1V

Por outro lado, através da Geometria Espacial, sabemos que um prisma pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume. Neste caso, considerando o prisma de base triangular ABC, temos que uma das pirâmides será o tetraedro ABCD. Como o volume da pirâmide (que neste caso é um tetraedro) é 1/3 do volume do prisma, teremos:

prismatetraedro V3

1V

ípedopareleleptetraedro V2

1

3

1V

ípedoparaleleptetraedro V6

1V

Volume Tetraedro = ),,(6

1wvu

UMA APLICAÇÃO DO PRODUTO MISTO [NA MECÂNICA GERAL]

↳ Momento de uma Força em

Relação a um Eixo Específico Por questões práticas pode ser vantajoso ou até mesmo necessário calcular o momento de uma força em relação a um eixo específico. Na figura ao lado, o momento resultante da força de F de 20N é ao longo do eixo “b”. Todavia esse momento resultante tem um componente ao longo do eixo y. Esse momento cria a tendência de afrouxar (ou apertar) as porcas do flange (que está na origem O). Daí a importância de sua determinação.


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Formulação Vetorial do Momento M de uma Força F

em Relação a um Eixo Específico [ a ]

O momento aM é calculado através do produto misto dos vetores

au

, r

e F

, sendo que au

é o versor que define a direção do eixo

específico 'aa . Assim:

FFF

rrr

uuu

aaa

zyx

zyx

zyx

FruFruMaaa

),,()(

Nota: Essa aplicação do produto misto ficará apenas como informativa, pois não faz parte do objetivo de nosso estudo. Tais conceitos serão estudados e aprofundados posteriormente, noutra disciplina. Interessou? Pesquise e procure saber mais!

Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]

EXEMPLOS: 1) Sejam A(1, 2, –1), B(5, 0, 1), C(2, –1, 1) e D(6, 1, –3) vértices de um tetraedro. Pede-se:

a) o seu volume; b) a sua altura relativa ao vértice D.

Esquentando o Processador! Quais os valores dos números “x” e “y” na sequência: { 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , x , y } ?


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2) Verifique se os pontos A(1, 2, 4), B(–1, 0, –2), C(0, 2, 2) e D(–2, 1, –3) estão no mesmo plano. Resolução:

Os quatro pontos dados A , B , C e D serão coplanares (estarão no mesmo plano) se os vetores AB , AC e AD

também forem coplanares (veja o esquema abaixo). Então devemos ter 0),,( ADACAB .

Inicialmente devemos escrever os vetores:

AB = )6,2,2()4,2,1()2,0,1( AB

AC = )2,0,1()4,2,1()2,2,0( AC

AD = )7,1,3()4,2,1()3,1,2( AD

Calculando o produto misto entre os vetores, temos:

01818)1440(6120

713

201

622

),,(

ADACAB

Como 0),,( ADACAB , os vetores em questão são coplanares.

Logo, os pontos dados A , B , C e D são coplanares.

EXERCÍCIOS – Produto Misto

1) Dados os vetores )1,1,3( u

, )2,2,1(v

e )3,0,2( w

, determine:

a) ),,( wvu

b) ),,( vuw

2) Sabendo que 2)( wvu

, calcule:

a) )( vwu

b) )3()( vwu

3) Os vetores k3j2i

, kji2

e k4ji3

são coplanares? Justifique sua resposta.

4) Calcule o volume do paralelepípedo construído sobre os versores i

, j

e k

.

A

D

C

B

Esquema


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5) Determine os valores de k para que os vetores )1,,2( ku

, ),2,1( kv

e )3,0,3( w

sejam coplanares.

6) Para que valor de m os pontos )2,1,(mA , )3,2,2( B , )1,1,5( C e )2,2,3( D são coplanares?

7) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores )4,1,3( u

, )1,0,2(v

e )5,1,2(w

. Calcule o seu volume

e a altura relativa à base definida pelos vetores u

e v

.

8) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores )2,1,0(1 v

,

)1,2,4(2 v

e )2,,3(3 mv

seja igual a 33 unidades de volume.

9) Determine o valor de n em função de m para que se tenha 9)]1,1,0()2,1,3[()2,,( nm .

10) Represente graficamente o tetraedro ABCD e calcule o seu volume, sendo )0,1,1(A , )1,4,6(B , )0,5,2(C e

)3,3,0(D .

11) Dados os pontos )1,1,2(A , )1,0,1(B e )2,2,3( C , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do

paralelepípedo determinado por AB , AC e AD seja 25 unidades de volume.

12) Calcule a distância do ponto )2,5,2(D ao plano determinado pelos pontos )0,0,3(A , )0,3,0( B e )3,0,0(C .

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) –29 1b) –29 2a) –2 2b) –6 3) Sim, pois o produto misto é zero. 4) 01 u.v. 5) {2, –3} 6) m = 4

7) V = 17 u.v. e h = 17/ 30 u.c. 8) {4, –17/4} 9) n = m + 1 10) 19/2 u.v. 11) D(0, 0, –10) ou D(0, 0, 15) 12) 4/ 3 u.c.

Para refletir: A verdadeira viagem de descoberta não está em procurar novas paisagens, mas em adquirir novos olhos. [Marcel Proust, Em busca do tempo perdido]


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APÊNDICE

Roteiro e Observações para Resolução de Problemas em Matemática [Geometria Analítica]

1 – Leia com muita atenção o enunciado (texto) do problema e veja que parte da Matemática (ou da Geometria) ele envolve. 2 – Se possível, faça uma representação gráfica (figura) para ilustrar o enunciado. 3 – Anote os dados, verificando se as grandezas envolvidas pertencem ao mesmo Sistema de Unidades, transformando-as se necessário. 4 – Verifique o que precisa ser calculado ou resolvido (o que o problema pede como solução). 5 – Escreva as relações matemáticas (fórmulas) referentes ao tema envolvido. 6 – Relacione os dados e as incógnitas que aparecem nas fórmulas escritas, empregando aquelas que são necessárias para se chegar à

solução do problema. 7 – Dê qualidade a sua resolução, procurando resolver o problema com muita atenção e organização. 8 – Escreva a solução encontrada com a respectiva unidade, caso exista. 9 – Verifique se a solução condiz com o que foi perguntado no problema e se o resultado é coerente com situação em questão.

Informações Gerais sobre Triângulos

# Ângulos Internos de um Triângulo:

Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º. Os ângulos internos podem ser:

Ângulo Reto: ângulo de 90º Ângulo Agudo: ângulo menor que 90º (e maior que 0º) 0 < < 90º

Ângulo Obtuso: ângulo maior que 90º (e menor que 180º) 90º < < 180º

# Classificação dos triângulos quanto ao tamanho dos LADOS

Triângulo Equilátero

Os três lados têm medidas iguais (e três ângulos iguais de 60º).

d(A,B) = d(B,C) = d(C,A)

Triângulo Isósceles

Dois lados têm a mesma medida (e dois ângulos iguais ou congruentes).

d(A,B) = d(A,C) d(B,C)

Triângulo Escaleno

Todos os três lados têm medidas diferentes (e três ângulos diferentes).

d(A,B) d(B,C) d(C,A)

# Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ÂNGULOS INTERNOS

Triângulo Acutângulo

Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.

Triângulo Obtusângulo

Um ângulo interno é obtuso (Â), isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90o.

Triângulo Retângulo

Possui um ângulo interno reto (Â), isto é, com 90o.


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# Segmentos Notáveis:

Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.

Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º).

Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.

A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736).

# Pontos Notáveis:

Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo. Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo. Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.

Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.

# Lados de um Triângulo Retângulo:

Nomenclatura: Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo Origem da Palavra

Cateto Cathetós: (perpendicular)

Hipotenusa Hypoteinusa: Hypó (por baixo) + teino (eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotam-se as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice / Ângulo Medida

a Hipotenusa

A Ângulo reto A = 90°

b Cateto B Ângulo agudo B < 90°

c Cateto C Ângulo agudo C < 90°

Observação:

Dado um triângulo qualquer, podemos identificá-lo, quanto aos ângulos, sem mesmo conhecê-los. Para isto, devemos conhecer as medidas dos seus lados e então aplicarmos o teorema de Pitágoras. Assim:

Se a2 = b2 + c2 teremos um triângulo retângulo [Â = 90º]

Se a2 < b2 + c2 teremos um triângulo acutângulo [Â < 90º]

Se a2 > b2 + c2 teremos um triângulo obtusângulo [Â > 90º]

Importante:

Vale lembrar que “a” é a medida da hipotenusa e sempre será o maior lado de um triângulo retângulo. Porém, para os dois últimos casos (Acutângulo e Obtusângulo) essa nomenclatura não é válida, todavia o valor de “a” está associado ao maior

lado destes triângulos.

# Relações Trigonométricas para um Triângulo Qualquer:

Lei dos Cossenos: Acos2.b.c.cba222 ˆ

Lei dos Senos: 2RCsen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ

Cálculo de Área: 2

Ca.b.senS

ˆ

R

a

b

c

A

B

C


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Módulo: senwuwu .||.||||

com 1800

Observação: 0//

wuwuSe

FORMULÁRIO DE ÁLGEBRA VETORIAL NO ℝ3

Notação analítica (vetor posição): ),,( zyxv

Notação utilizando dois pontos A e B : ABABv

Notação através da combinação linear da base canônica (vetor posição): kzjyixv

Paralelismo: nnz

z

y

y

x

xcom

2

1

2

1

2

1 ℝ Versor de um vetor: || w

wwvers

Módulo de um vetor: 222

|| zyxw

Num vetor Unitário: 1||222 zyxu

Produto Escalar: 212121 ... zzyyxxwu

ou θ|.w|.|u|wu cos

com 1800

Ângulo entre dois vetores: ||.||

coswu

wu

com 1800 Observação: 0 wuwu

Se

Ângulos e cossenos diretores: ||

cosv

x ,

||cos

v

y e

||cos

v

z com 1coscoscos

222

Versor diretor: )cos,cos,(cos vvers

Vetor Projeção de w

em v

: vvv

vwwprojv

Produto Vetorial:

222

111

zyx

zyx

kji

wu

Aplicações do Produto Vetorial: Área Paralelogramo = wu

Área Triângulo = 2

wu

Produto Misto:

333

222

111

),,()(

zyx

zyx

zyx

wvuwvu

Obs.: Se u

, v

e w

são coplanares 0),,( wvu

Aplicações do Produto Misto: Volume do Paralelepípedo = ),,( wvu

Volume do Tetraedro = ),,(6

1wvu

Equação Vetorial de uma Reta r : vtAP ou em coordenadas: ),,(),,(),,( 000 vvv zyxtzyxzyx

Sendo que: rzyxA ),,( 000 , v

é o vetor diretor de r , t é o parâmetro, P é um ponto genérico de r .

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

Coordenadas polares ,rP

Coordenadas cartesianas y,xP

Conversão de polar para retangular: cos.rx e sen.ry

Conversão de retangular para polar: 222 yxr e x

ytg

VALORES TRIGONOMÉTRICOS Conversão graus radianos: 180º rad

0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º

sen

0 2

1

2

2

2

3

1 2

3

2

2

2

1

0

1

0

sen

cos

1 2

3

2

2

2

1

0 2

1

2

2

2

3

1

0

1

cos

tg

0 3

3

1

3

∄

3

1 3

3

0

∄

0

tg

y

y

x p

P

r

x 0

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