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Universidad Autónoma de Guerrero. Educación Media Superior Plan de Estudios 2010

Programa de estudios de Matemáticas III 1

Universidad Autónoma de Guerrero

Comisión General de Reforma Universitaria

Educación Media Superior

Plan de estudios por Competencias 2010

MATEMÁTICAS III TERCER SEMESTRE



PLAN DE ESTUDIOS POR COMPETENCIAS 2010

PROGRAMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE MATEMÁTICAS III

Índice

Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje………………………………………………………………………………………………… 3 Tabla de contenido temático…………………….……………………………………………………………………………………………………..………… 6 Esquema gráfico de contenidos ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 7 Unidad temática de competencia I Ángulos y Triángulos…………………………………………………………………………………………… 8 Unidad temática de competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos……………………………………………………………………. 14 Unidad temática de competencia III Trigonometría…………………………………………………………………………………………………. 20 Evaluación de los aprendizajes……………….…………………………………………………………………………………..……………………………… 28 Referencias…………………………………….…………………………………………………………………………………………………..……………………… 29

Elaboración del programa………………………………….………………………………………………………………………………..……………………. 30



Identificación y ubicación de la unidad de aprendizaje

Unidad de Aprendizaje

Clave Tipo Semestre Etapa de formación

231 Obligatoria Tercero De Desarrollo

Núcleo integrador del semestre Créditos Horas semana

Horas semestre T P

Conoce tu país 6 2 2 64

Área de formación Matemáticas

Descripción del área de formación El área de Matemáticas busca desarrollar en los estudiantes la creatividad y el pensamiento lógico y crítico. Con los cursos que

corresponden al área se desarrollan las competencias disciplinares de matemáticas necesarias para que el estudiante argumente

y estructure mejor sus ideas y razonamientos; reconociendo que a la solución de cada tipo de problema matemático

corresponden diferentes conocimientos y habilidades, así como el despliegue de diferentes valores y actitudes. Los contenidos

que se estudian en esta área se abordan de manera que el estudiante razone matemáticamente, y no simplemente resuelva

ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos; que aplique las matemáticas más allá del

salón de clases y tenga la capacidad de hacer una interpretación matemática del entorno que los rodea.

Unidades de aprendizaje antecedentes del área Unidades de aprendizaje simultáneas Unidades de aprendizaje consecuentes del área

Matemáticas I y II

Física II Química III Filosofía II Historia III Taller de Lectura y Redacción III Inglés I Complementaria III

Matemáticas IV, V y VI



Descripción de la Unidad de Aprendizaje

La Geometría como la ciencia del espacio, es una herramienta para describir y medir figuras que nos proporciona métodos mediante los cuales podemos construir y

estudiar modelos tanto del mundo físico como de otros fenómenos de la vida cotidiana. Su extraordinaria versatilidad y adaptabilidad, la ha transformado en una de las

herramientas más universales y útiles en todas las partes de las matemáticas, más todavía, es una herramienta para el entendimiento, es tal vez la parte de las

matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad y nos permite captar los procesos con los cuales, partiendo de la realidad, se conduce gradualmente hacia

una percepción más refinada del espacio.

La Geometría es un método para las representaciones visuales de conceptos y procesos de otras áreas en matemáticas y en otras ciencias, por ejemplo gráficas y teoría

de gráficas, diagramas de varias clases. Es un punto de encuentro entre matemáticas como una teoría y matemáticas como una fuente de modelos. La Geometría es

una herramienta en aplicaciones, tanto tradicionales como renovadas. Estas últimas incluyen por ejemplo, gráficas por computadora, procesamiento y manipulación de

imágenes, reconocimiento de patrones, robótica, investigación de operaciones.

La geometría es el mejor ejemplo de ciencia experimental, para comprender el teorema de Pitágoras que mejor método que dibujar triángulos, medir y comprobar, es

decir ¡experimentar! No hay duda de que el paso de lo experimental a lo abstracto es prácticamente inmediato en Geometría e incluso se llega a confundir, se dice que

se dibujan rectas, triángulos, aunque los dibujos no corresponden fielmente a los conceptos abstractos. En el momento presente las herramientas informáticas pueden

ofrecer simulaciones virtuales de prácticamente todo, se podría pensar en otro tipo de ejemplos para llevar a cabo esta formación, pero sin duda nos alejaríamos de la

vida cotidiana, de la proximidad y del interés general que posee la Geometría.

Las TIC’s han acudido en la ayuda de la enseñanza de la Geometría y la revolución que están causando no ha hecho más que comenzar. La geometría forma parte de la

cultura básica de cualquier persona, los conceptos geométricos aparecen en la vida cotidiana de forma muy variada: folletos turísticos, comentarios deportivos,

manuales de construcción de muebles o utensilios, además de que la geometría es vital para continuar otros estudios, por ejemplo, arquitectura, ingenierías, física, y

un largo etc.



Propósitos generales de la Unidad de Aprendizaje

Al concluir el curso el alumno habrá desarrollado las competencias relativas a las relaciones métricas de los cuerpos reales desde el punto de vista de la magnitud y de la posición, aplicando las propiedades y operaciones de los triángulos, los ángulo los polígonos, el círculo, la circunferencia, y las propiedades de las funciones trigonométricas; formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido.

Categorías de competencias genéricas que se desarrollan

Se auto determina y cuida de sí Aprende de forma autónoma

Competencias Disciplinares Básicas que se desarrollan

1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas o aleatorios mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales. 2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques. 3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Perfil disciplinario de docente

Preferentes: Lic. en Matemática Educativa Lic. en Matemáticas Lic. en Física y Matemáticas Ing. Civil Afines: Lic. en Física Ing. Físico Lic. en Arquitectura Ing. Topógrafo y Geodesta Ing. Constructor Ing. en Computación Ing. Arquitecto Ing. Mecánico Ing. en Comunicaciones y Electrónica Ing. Metalúrgico Ing. Petrolero Lic. en Economía Ing. Electricista Ing. Industrial



Ing. Textil Ing. Mecánico Electricista Ing. en Aeronáutica

Competencias docentes requeridas

1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias, y los ubica en contextos

disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestión institucional.

Estructura de la Unidad de Aprendizaje

Unidad de Competencia I Ángulos y Triángulos

Unidad de Competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos

Unidad de Competencia III Trigonometría



Tabla de contenido temático

Competencias disciplinares Proceso de

construcción del aprendizaje

Unidades de competencia

I. 24 Hrs

II. 16 Hrs

III. 24 Hrs

1. Construye e interpreta modelos matemáticos deterministas mediante la aplicación de procedimientos geométricos para la comprensión y análisis de situaciones reales o formales.

2. Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos de problemas matemáticos buscando diferentes enfoques.

3. Propone explicaciones de los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos o gráficos, mediante el lenguaje verbal y matemático.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente magnitudes del espacio que lo rodea.

Respecto de las figuras y cuerpos geométricos:

Identifica

Caracteriza

Clasifica

Conoce sus propiedades

Justifica sus propiedades

Geometría Definición de punto, línea, línea recta, segmento, rayo, plano, ángulo y triángulo. Clasificación de los ángulos y triángulos. Líneas notables del triángulo Congruencia y semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas.

Los polígonos y sus elementos Definición de círculo y circunferencia Líneas notables de la circunferencia Tipos de ángulos en los polígonos y en la circunferencia.

Funciones trigonométricas de un ángulo Ley de senos y cosenos Funciones trigonométricas de un número real Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas



Esquema gráfico de contenidos

.

Ángulos y

triángulos

Círculo, Circunferencia

y Polígonos

Trigonometría

Conoce a tu país

Conoce el mundo

Representación del espacio



Unidad de competencia I Ángulos y Triángulos Sesiones previstas 24

Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de triángulos y ángulos, formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad.

Competencias disciplinares COMPONENTES DE COMPETENCIA

CONCEPTUALES (saber) PROCEDIMENTALES (saber hacer) ACTITUDINALES (saber ser, saber convivir)






Geometría Punto, línea, línea recta, segmento, rayo, plano, ángulo y triángulo. Los ángulos y los triángulos. Líneas notables del triángulo Congruencia y semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras y razones trigonométricas.

Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos en distintas figuras geométricas.

Representa con un esquema la clasificación de ángulos y triángulos.

Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos y lados de un triángulo utilizando congruencia y semejanza.

• Resuelve problemas generados por una situación real mediante el cálculo de ángulos y lados de un triángulo rectángulo utilizando Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.

Comunica y comparte de manera solidaria y respetuosa sus ideas y hallazgos.

Valora la importancia de estudiar geometría para una mejor comprensión de su entorno y su aplicación en la arquitectura, ingeniería, artes, etc.

Valora de forma crítica su desempeño personal en la interpretación adecuada de problemas matemáticos, reconociendo sus limitaciones y fortalezas.

Valora las propiedades de los ángulos y triángulos como herramienta para representar los fenómenos de su entorno.

Evalúa las ventajas de utilizar las propiedades de los ángulos y triángulos en la solución de problemas de su entorno inmediato.

Situación de aprendizaje

Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas

Nivel de desempeño esperado

Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada. Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas. Temas transversales

Educación para el consumo Educación para la sexualidad



Mo

me

nto

Función Actividades del alumno Estrategias didácticas

Recursos didácticos

Evaluación

Fun

ció

n

Par

tici

pa

ció

n

Producto Instrumento

Ap

ert

ura

1. Recuperar conocimiento previo.

2. Problematizar

Observa e identifica las distintas formas geométricas que están en su entorno: el salón de clases, el pizarrón, el plumón, etc. Escribe su conclusión personal acerca del objeto de estudio de la geometría. Observa en láminas presentadas por el docente distintos ángulos. Localiza triángulos rectángulos dentro y fuera del salón de clases.

Cada caso es el inicio de una sesión. Solución de problemas Producción individual Trabajo colaborativo Intercambio por la web

Pintarrón Marcadores Cuaderno Lápiz Juego geométrico

D F

A C H

Figuras geométricas. Definición de geometría. Identificación de ángulos. Identificación de triángulos.

Rúbrica Rúbrica Rúbrica Rúbrica

De

sarr

ollo

3. Adquirir y organizar nueva información.

Investiga las definiciones de los conceptos de punto, línea, línea recta, segmento semirrecta, plano y ángulo. Valora la importancia de estudiar geometría para una mejor comprensión de su entorno y su aplicación en la arquitectura, ingeniería, las artes, etc. Investiga la unidad de medición de ángulos llamada radianes. Realiza una búsqueda de diversos tipos de triángulos en internet. Investiga las diferentes definiciones del concepto “triángulo”.

Trabajo extra clase

Cuaderno Lápiz Internet

F A C H

Reporte personal Reporte de equipo

Lista de cotejo

Discute las definiciones encontradas sobre punto, línea, línea recta, segmento semirrecta, plano y ángulo. Describe los ángulos que reconoce y en una lluvia de ideas dice el nombre y explica que caracteriza a esos ángulos. Utilizando el transportador construye ángulos de distinta medida, por ejemplo de 60º, de 90º, de 100º, etc. Convierte medidas de ángulos de grados a radianes y viceversa.

Trabajo individual Trabajo en binas Trabajo en equipo

Juego geométrico

Cuaderno

Lápiz

F A C H

Producción personal Producción de equipo

Lista de cotejo



4. Procesar nueva información.

Identifica y traza los distintos tipos de ángulos que se observan dentro y fuera del salón de clases. Clasifique los ángulos de acuerdo a: Su medida Su forma Por pares Traza dos rectas paralelas y una transversal e identifica los distintos tipos de ángulos que se generan. Construye un triángulo de lados 4cm, 5cm y 6cm utilizando regla y compás. Deduce que para construir un triángulo con lados de longitudes a, b y c, es necesario que: 1.- a + b > c; 2.- a + c > b; 3.- b + c > a Llama a estas relaciones desigualdad triangular. Realiza un diagrama donde muestra la clasificación de los triángulos. Traza en una hoja de papel, dos triángulos congruentes. Deduce los criterios que sirven para demostrar la congruencia

de dos triángulos: 1.- LLL; 2.- ALA

3.- LAL Utilice estos criterios para demostrar algunas propiedades propiedades geométricas. Determina el baricentro, centroide o gravicentro; el circuncentro; el incentroy el ortocentro de un triángulo. Traza un triángulo con lados de longitudes 10cm, 8cm y 4cm con regla y compás en una hoja. Reconoce las características de los triángulos semejantes. Denota la semejanza de triángulos con ΔABC∼ΔEFG. Deduce los siguientes criterios que sirven para demostrar la

semejanza de dos triángulos: 1.- AAA; 2.- LAL; 3.- LLL




Utiliza estos criterios para demostrar algunas propiedades geométricas. En equipo, discute cómo calcular el ancho de un río; la altura de la torre de la iglesia de la ciudad en que se encuentra, de una torre de luz o de un poste, usando semejanza de triángulos (en alguno de estos casos pueden valerse de la sombra que proyectan). Comparte sus propuestas a sus demás compañeros y obtiene conclusiones. Usa la semejanza de triángulos y que prueba el Teorema de Pitágoras. Dibuja un cuadrado de lado 1 y traza una de sus diagonales. Muestre que el triángulo formado es el siguiente:

Prolonga los segmentos AC y AB, traza rectas paralelas al segmento BC .




Mide los segmentos y comprueba las siguientes proporciones:

a) AG

GH

AE

EF

AC

BC

Llama a estas proporciones seno del ángulo de 45° y lo denota con sen(45°).

hipotenusa

45º de ángulo al opuesto cateto)º45( sen

b) AG

AH

AE

AF

AC

AB

Llama a estas proporciones coseno del ángulo de 45° y lo denota con cos(45°).

hipotenusa

45º de ángulo al adyacente cateto)º45cos(

c) AH

GH

AF

EF

AB

BC

Llama a estas proporciones tangente del ángulo de 45° y lo denota con tan(45°)

45º de ángulo al adyacente cateto

45º de ángulo al opuesto cateto)º45tan(

Con ayuda del profesor, define cot(45°), sec(45°) y csc(45°) utilizando la figura anterior. Generaliza la actividad anterior y establece las siguientes proporciones para un triángulo rectángulo cualquiera:



Cierre

5. Aplicar, transferir

información.

Elabora sus conclusiones sobre la importancia que tiene los ángulos en construcciones y objetos que se observan en el entorno. Valora la importancia de conocer la clasificación de los ángulos para resolver problemas. Reflexiona sobre la importancia de la desigualdad triangular en la construcción de triángulos. Expone sus conclusiones sobre los tipos de triángulos y la relación que tienen con los lados y ángulos y valora la importancia de éstos en la actividad profesional. Utiliza y valora la importancia de la congruencia de triángulos en las siguientes construcciones con regla y compás.

a) Punto medio de un segmento dado b) Mediatriz de un segmento. c) Bisectriz de un ángulo dado e) Trazar una recta perpendicular a una recta dada, desde un punto fijo.

Comparte sus propuestas a sus demás compañeros de cómo calcular el ancho de un río; la altura de la torre de la iglesia de la ciudad en que se encuentra, de una torre de luz o de un poste, usando semejanza de triángulos y obtiene conclusiones. Utiliza las razones trigonométricas para resolver problemas Valora la importancia del uso de las razones trigonométricas en la solución de problemas de la vida cotidiana. Responde los siguientes cuestionamientos: ¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? ¿Qué fue lo que más se te dificultó representar? ¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? ¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?

Exposición individual

Exposición de

equipo

Proyector Pliegos de papel bond

F A C H

Exposición personal

Escala Lickert Lista de cotejo

6. Tomar conciencia



Evaluación de la unidad de competencia:

Actividad: Punto: Instrumento:

(Desarrollar el instrumento)



(Añadir las filas necesarias para completar la evaluación de los productos de la unidad de competencia)

Registro, evaluación y seguimiento del logro de las competencias genéricas del perfil de egreso

Fecha Actividades Competencias genéricas Evidencias Evaluación



Unidad de competencia II Círculo, Circunferencia y Polígonos

Sesiones previstas 16

Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las propiedades y operaciones de los polígonos, el círculo y la circunferencia, formalizando sus argumentos y resultados al socializar y lograr consensos sobre lo aprendido en la unidad.








Los polígonos y sus elementos Definición de círculo y circunferencia Líneas notables de la circunferencia Tipos de ángulos en los polígonos y en la circunferencia.

•Representa en un diagrama la clasificación y propiedades de los polígonos. • Representa en un diagrama los ángulos de un polígono. Representa en un diagrama las líneas y ángulos de una circunferencia.

Comunica y comparte de manera solidaria y

respetuosa sus ideas y hallazgos.

Valora de forma crítica su desempeño

personal en la interpretación adecuada de

problemas matemáticos, reconociendo sus

limitaciones y fortalezas.

Valora las propiedades del círculo, la

circunferencia y los polígonos como

herramienta para representar los

fenómenos de su entorno.

Evalúa las ventajas de utilizar las

propiedades del círculo, la circunferencia y

los polígonos en la solución de problemas

de su entorno inmediato.

Situación de aprendizaje Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas

Nivel de desempeño esperado Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada. Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas.

Tema(s) transversal(es) Educación para el consumo Educación para la sexualidad.



M

OM

ENTO

FUNCIÓN ACTIVIDADES DEL ALUMNO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

RECURSOS DIDÁCTICOS

EVALUACIÓN

FUN

CIÓ

N

PA

RTI

CIP

AC

IÓ N PRODUCTO INSTRUMENTO

AP

ERTU

RA

1. Recuperar conocimiento previo. 2. Problematizar

Utilizando una regla dibuja, una figura cerrada cuyos lados son segmentos.

Asigna un nombre a esta figura. Identifica distintos polígonos que están en su entorno. En una hoja dibuja el contorno de un disco compacto.

Asigna un nombre a la figura resultante y a su contorno o perímetro.



D F

A C H

Polígonos Identificación de polígonos Identificación de circunferencias y círculos

Rúbrica Rúbrica Rúbrica

De

sarr

ollo


Realiza una búsqueda de información acerca de las características de los polígonos. Investiga los tipos de ángulos que se definen en el círculo.

Trabajo extraclase


F A C H


Lista de cotejo




Clasifica estos polígonos en convexos y no convexos, regulares e irregulares, y según el número de lados. Identifica los elementos básicos de un polígono regular: centro, apotema, lado, vértices, diagonales. Analiza cuál de los elementos anteriores están presentes en los polígonos irregulares. Elabora un mapa conceptual de la definición, elementos y clasificación de los polígonos. Traza polígonos regulares, cada vez de mayor número de lados para observar el comportamiento de estos. Concluye que para los polígonos regulares, existen ángulos central, interior y exterior.

Analiza cuál de los ángulos anteriores están presentes en los polígonos irregulares. Elabora un mapa conceptual de la clasificación de los ángulos de un polígono. Conjetura las fórmulas que permitan calcular:

a) Ángulo central en función del número de lados del polígono. b) Ángulo interior en función del número de lados del polígono. c) Suma de los ángulos interiores en función


Juego geométrico

Cuaderno

Lápiz

F A C H


Lista de cotejo




del número de lados del polígono. d) Ángulo exterior en función del número de lados del polígono. e) Suma de los ángulos exteriores en función del número de lados del polígono. f) Número de diagonales en función del número de lados del polígono.

Traza una circunferencia con todas sus líneas y puntos notables (centro, radio, diámetro, cuerda, secante y tangente) Traza una circunferencia con todos los ángulos de esta. Elabora un mapa conceptual con el tema: Líneas, puntos y ángulos de la circunferencia. Con ayuda del profesor verifique las siguientes propiedades:

a) El ángulo central AOB se mide por su arco AB, es

decir está formado por dos radios. ABAOC

a) Todo ángulo inscrito en una circunferencia es

igual a la mitad del central que comprende el mismo arco.



ACAOCABC21

21

b) Todo ángulo semi-inscrito en una

circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.

BCBOCABC

21

21

Cie

rre

5. Aplicar, transferir información.

Valora cuál de las fórmulas conjeturadas es válida para polígonos irregulares. Resuelve problemas como los siguientes: Encontrar el valor del ángulo externo (e) de un pentágono regular:

º725

º360º360

ne

Calcular el valor de los ángulos internos de un decágono.

º144

10

210º180

2º180

i

i

n

ni


Exposición de

equipo


F A C H





6. Tomar conciencia

Responde los siguientes cuestionamientos: ¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? ¿Qué fue lo que más se te dificultó representar? ¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? ¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?











Unidad de competencia III Trigonometría Sesiones previstas 24

Propósitos Al finalizar la unidad, el alumno resuelve problemas reales aplicando las relaciones y propiedades de las funciones trigonométricas.








Funciones trigonométrica de un ángulo. Ley de senos y cosenos Funciones trigonométrica de un número real. Identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas

• Aplica las reglas de las funciones trigonométricas. • Resuelve problemas utilizando ley de senos y cosenos •Representa en un diagrama a la trigonometría. • Resuelve problemas aplicando las funciones trigonométricas.

Comunica y comparte de manera solidaria y

respetuosa sus ideas y hallazgos.

Valora de forma crítica su desempeño

personal en la interpretación adecuada de

problemas matemáticos, reconociendo sus

limitaciones y fortalezas.

Valora la trigonometría como herramienta

para representar los fenómenos de su

entorno.

Evalúa las ventajas de utilizar la trigonometría

en la solución de problemas de su entorno

inmediato.

Situación de aprendizaje Trabajo colaborativo. Aprendizaje basado en problemas

Nivel de desempeño esperado Comprensión: Identifica los detalles de la información que son importantes. Ubica la información en la categoría apropiada.

Temas transversales Educación para el consumo Educación para la sexualidad

Análisis: Utiliza lo que han aprendido para crear nuevos conocimientos y aplicarlo en situaciones nuevas.



MO

MEN

TO

FUNCIÓN ACTIVIDADES DEL ALUMNO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

RECURSOS DIDÁCTICOS

EVALUACIÓN

FUN

CIÓ

N

PA

RTI

CIP

AC

I

ÓN

PRODUCTO INSTRUMENTO

AP

ERTU

RA

1. Recuperar conocimiento previo. 2. Problematizar

Dibuja dos rectas que se cortan perpendicularmente. Llama a esta construcción plano cartesiano. Observa las cuatro regiones que se forman. Las numera con romanos en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Pone nombre a las regiones anteriores.

Considera la igualdad =x + x 0)2)(2( . Nota que la

igualdad solo se satisface cuando x = 2 ó x = −2. Considera la igualdad (x − 2) (x + 2) ≡ x

2 − 4 y da valores

cualesquiera a x. ¿Para qué valores de x se satisface esta igualdad? Nota que la igualdad se cumple para cualquier valor de x. Asigna nombre a este tipo de igualdad.



D F

A C H

Plano cartesiano Funciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Identidades trigonométricas

Rúbrica Rúbrica Rúbrica Rúbrica

DES

AR

RO

LLO


Investiga la definición de función y razón. Realiza una búsqueda de información acerca de la ley de los senos y la ley de los cosenos.

Trabajo extraclase


F A C H


Lista de cotejo

En una figura identifica con base en la definición de función y razón, seis nuevos tipos de funciones, llamadas funciones trigonométricas de un ángulo y obtiene la definición de las mismas, siendo α un ángulo que se forma entre el radio vector r y el eje X. Usa las definiciones de las funciones trigonométricas para establecer el signo de cada una de ellas en función del cuadrante en el que se encuentre α. Observa las definiciones de las funciones anteriores por pares, de la siguiente manera: sen(α) y csc(α) , cos(α) y sec(α) , tan(α) y cot(α) , y llámelas funciones


Juego geométrico

Cuaderno

Lápiz

F A C H


Lista de cotejo




trigonométricas recíprocas. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos utilizando calculadora. Grafica las funciones seno coseno y tangente. Observa los elementos de las gráficas: periodo, amplitud, rango, dominio. Calcula los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud, utilizando calculadora. Enuncia la ley de los senos y especifica los casos en los que se puede utilizar para resolver triángulos oblicuángulos. Enuncia la ley de los cosenos y especifica los casos en los que se puede utilizar para resolver triángulos oblicuángulos Analiza los casos cuando se puede resolver un triángulo oblicuángulo. Nota que la diferencia principal entre las funciones trigonométricas de un ángulo y las funciones trigonométricas de un número real radica en la terminología del argumento. Considera ahora un círculo de radio r = 1 y lo llama círculo unitario o círculo trigonométrico. Considera que el centro de un círculo unitario coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Usa la fórmula para la distancia entre dos puntos, para obtener x

2 + y

2 = 1.

Recuerda que la longitud de la circunferencia está dada por C = 2πr; en consecuencia, la longitud de la circunferencia unitaria es 2π unidades. Observa el arco del círculo unitario que parte del punto (1,0) y termina en el punto P o punto terminal y lo llama arco asociado al número real que representa; usa el símbolo u para el número real cuyo arco asociado parte del punto (1,0).




Llama también u para representar este arco. Considera que para cualquier número real u, existe un par de coordenadas, y solamente uno (x, y), para el punto terminal del arco asociado u. En un diagrama como el siguiente:

Considera nuevamente el círculo de radio 1, y α un ángulo en posición normal. Traza diagramas como el siguiente:

Obtiene a partir de este círculo y de la definición de las funciones seno y coseno, las siguientes relaciones:

yy

sen 1

)(

xx

1)cos(

A partir de las relaciones anteriores establece las




definiciones de las funciones tangente y cotangente, como sigue:

)cos(

)()tan(

sen

x

y

)(

)cos()cot(

seny

x

Llama a las relaciones anteriores Identidades trigonométricas de división o de cociente y las expresa de la siguiente manera:

)cos(

)()tan(

sen

)(

)cos()cot(

sen

Utiliza la definición de funciones recíprocas para deducir las expresiones siguientes:

1)csc()( sen

1)sec()cos(

1)cot()tan(

Y las llama Identidades trigonométricas de recíprocos. Utiliza el conocimiento del Teorema de Pitágoras para expresar a la hipotenusa en términos de los catetos, sabiendo que y = sen(α) y x = cos(α) , para obtener:

a) sen2(α) + cos

2(α) ≡ 1



Sustituye a continuación cuando sea pertinente en lugar de sen(α) y cos(α); y y x , respectivamente para obtener: b) 1+ tan

2(α) ≡ sec

2(α)

c) 1+ cot2(α) ≡ csc

2(α)

Llama a a), b) y c), Identidades trigonométricas de cuadrados o pitagóricas. Aplica las ocho identidades trigonométricas anteriores para resolver ejercicios como los siguientes: Verifica las identidades siguientes:

)cos(

)cot()(sc a)

c

1)(cot1)(en b) 22 s

Delibera la importancia que tienen las identidades trigonométricas en las sustituciones, para simplificar expresiones algebraicas como las anteriores.

CIERRE 5. Aplicar, transferir información.

Comprueba la relación que existe entre las funciones trigonométricas de un ángulo, Resuelve ejercicios como los siguientes: Halle las funciones trigonométricas del ángulo que satisface las condiciones dadas:

cuadranteprimer el en ,4

3)tan( a)

cuadrante segundo el en ,5

4)(en b) s


Exposición de

equipo


F A C H






cuadrante tercer el en ,12

13)(ec b) s

Utiliza la calculadora para encontrar ángulos cuyas medidas de las funciones se conocen. Con la ayuda del profesor resuelve problemas como los siguientes:

a) El ángulo de elevación de la parte más alta de una lámpara de alumbrado público es de 32º respecto a un punto situado a 20 m de su base; halle su altura.

Propone un diagrama para el problema anterior: Establece una función trigonométrica que relacione la incógnita con algún dato conocido: Resuelve triángulos oblicuángulos que impliquen el uso de la ley de los senos. Aplica la ley de los senos y cosenos para resolver problemas de la vida cotidiana como los siguientes: Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo, yendo uno hacia el noreste a 400 mph y el otro directamente hacia el oeste a 300 mph. ¿Qué tan alejados están dos horas después de salir? El lado mayor de un terreno triangular mide 1700 metros, los otros dos lados forman ángulos de 56 y 71 grados, respectivamente, con ese lado. ¿Cuál es el área del terreno? Diga con sus propias palabras la importancia que tienen las leyes de los senos y cosenos y la trigonometría en general para la vida y para su futuro profesional. Analiza el enunciado del siguiente problema:




Define las funciones trigonométricas del número real u. Determina para qué ángulos están definidas estas funciones. Resuelve problemas con apoyo del profesor como los siguientes: Dada una coordenada y el cuadrante del punto terminal del arco asociado al número real u, halle las funciones trigonométricas de u. Resuelve ecuaciones trigonométricas. Verifica si todos los valores obtenidos son soluciones de la ecuación. Observa que no existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Valora la importancia de resolver ecuaciones trigonométricas en la solución de problemas de distinta índole.

CIERRE 6. Tomar conciencia

Responde los siguientes cuestionamientos: ¿Qué complicaciones tuviste para solucionar los problemas anteriores? ¿Qué fue lo que más se te dificultó representar? ¿Hubo alguien de tu equipo que explicó cómo resolver el problema? ¿Te gustó cómo se organizó la actividad en el grupo?



Evaluación de los aprendizajes

Ponderación de calificaciones sugerida para los subproductos de las unidades de competencia y para la unidad de aprendizaje

Actividad: Punto: Subproducto Instrumento* Ponderación

parcial sugerida Ponderación final sugerida

Unidad de competencia I

Total para la unidad de competencia 100%

Unidad de competencia II


Unidad de competencia III


Total de la unidad de aprendizaje 100%



Referencias

Bibliografía básica para el estudiante:

Cuellar, A. (2006). Geometría y Trigonometría. Mc-Graw Hill. México Clemens, S. R. et. al. (2001). Geometría. Con Aplicaciones y Solución de Problemas. Addison-Wesley Iberoamericana. USA. García, J. (1995). Geometría y Experiencias, México, Alambra Mexicana.

Bibliografía complementaria para el estudiante:

Barnett, Ziegler & Byleen. (2003). Analytic Trigonomety. With Applications. Jhon Wiley & Sons, Inc. USA. Existe edición en español. Rodríguez, M. (2005). Geometría y trigonometría de bachillerato. Editorial Publicaciones Cultural. México. Niles, N. O. (1991). Trigonometría plana. Noriega Limusa. México. Acevedo S. V./ Valadez S. M. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill. Baldor, J. A. (1967). Geometría plana y del espacio y trigonometría. (Primera Edición). Bilbao, España: Cultural Centroamericana. Clemens, S. (1998). Geometría. (Primera Edición). México D. F., México: Prentice Hall. Clemens S. R ,/ O´Daffer P. G. (1998) Geometría, Ed. Pearson Educacion Fuenlabrada, T. S. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. McGraw Hill. Geltner, P../Peterson D. J. (1999) Geometría, Ed. Thomson Editores. Guzmán H. A. (2000) Geometría y Trigonometría, Ed. Publicaciones Cultural Guzmán A. (2004). Geometría y Trigonometría. (Cuarta Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural. Hemmerling, E. (1988). Geometría Elemental. (Primera Edición). México D. F., México: Editorial Limusa Ortiz F. (2005). Geometría y Trigonometría. (Segunda Edición). México D. F., México: Publicaciones Cultural. Perelman, Ya.I. (1965) Problemas y Experimentos Recreativos, Ed.Mir, Moscú. Perelman, Ya.I.,(1967) Geometría Recreativa, Ed.Mir, Moscú. Swokowski E. W/ Cole, J. A. (1993) Trigonometría, Ed. Thomson. Zubieta, F. (1989). Geometría razonada y trigonometría. (26ª Edición). México D. F., México: Editorial Porrúa. Salazar, P. (2002). Matemáticas II. (Segunda Edición). México D. F., México: Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V.

Mesografía de consulta para el estudiante:

http://endrino.cnice.mecd.es/~hotp0055/javierzabala/geometr.htm http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/cabriweb/Poligonos.htm http://www.scribd.com/doc/81068/Ejercicios-de-geometria http://www.escolar.com/geometr/04circycir.htm http://www.desarrolloweb.com/articulos/1341.php http://www.dmae.upct.es/~pepemar/angulo/home.htm



Elaboración del programa

Coordinación General: Raúl Javier Carmona, Flavio Manrique Godoy, Efraín Mejía Cazapa, Edilberto Meza Fitz, Samuel Hernández Calzada, Confesor Díaz Terrones.

Coordinación del Programa:

Elaboración:

Colaboración:

Asesoría metodológica: Sara Griselda Sánchez Mercado

Diseño y apoyo técnico: Hugo Enrique Mateos Serrano

Revisión de estilo y redacción: Samuel Hernández Calzada Jesús López Vega Arturo Díaz Cárdenas

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