Matemática

Aluno

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada – 01 7º Ano | 1º Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Série

Matemática Ensino Fundamental 1° 7º Ano

Habilidades Associadas

Reconhecer e ordenar Números Inteiros e sua representação na reta numérica.

Resolver situações envolvendo as operações com Números Inteiros.

Compreender o conceito de ângulo, identificar os principais tipos de ângulos, realizar cálculos envolvendo ângulos.

Identificar triângulos e suas classificações quanto à medida dos lados e dos ângulos.

2

A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar

suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma

autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções

para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades

roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é

efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,

também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o

a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior

domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para

o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as

ferramentas da autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se

para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o

aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede

estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim

de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às

suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

3

Caro aluno,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 1º Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 7º

Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o

período de um mês.

A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma

autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas

de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no

percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e

independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do

conhecimento do século XXI.

Neste Caderno de atividades, iremos desenvolver as ideias associadas às

operações com números inteiros bem como o conceito, o cálculo e as propriedades

dos ângulos. Na primeira parte do plano iremos trabalhar com as operações de adição,

subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e radiciação de números inteiros. Em

seguida, iremos aprender o conceito de ângulos e suas medidas.

Este documento apresenta 06 (seis) Aulas. As aulas são compostas por uma

explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias

relacionadas às habilidades e competências do bimestre em questão, e atividades

respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades

são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõem-se,

ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

4

Introdução ................................................................................................

03

Aula 01: Números Inteiros e sua representação na Reta Numérica ........

Aula 02: Adição e Subtração de Números Inteiros ...................................

Aula 03: Multiplicação e Divisão de Números Inteiros .............................

Aula 04: Potenciação e Radiciação de Números Inteiros .........................

Aula 05: Ângulos .......................................................................................

Aula 06: Operações com Ângulos .............................................................

Avaliação ...................................................................................................

Pesquisa ....................................................................................................

Referências: .............................................................................................

05

09

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19

26

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32

Sumário

5

Caro aluno, o conjunto dos números inteiros surgiu devido à necessidade do

homem em manipular valores negativos relacionados a assuntos comerciais e

financeiros. Nesta aula, você irá aprender uma pouco mais sobre este conjunto e sua

representação na reta numérica.

1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS:

O conjunto dos números inteiros é representado por Z, e formado pelos

seguintes elementos:

Z= { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } ou Z= { ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, ... }

Agora que já definimos o Conjunto dos Números Inteiros, vamos apresentar

alguns subconjuntos de Z:

a) Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... }

b) Conjuntos dos números inteiros não negativos: Z+ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = { ... -3, -2, -1, 0 }

Você já observou como podemos notar a presença dos números inteiros em

diversas situações da nossa vida? Observe os exemplos abaixo:

Situação 1:

Você sabia que se considera que seja zero a altitude ao nível do mar? Sabia que

existem lugares que estão localizados acima e abaixo deste nível?

O Everest, por exemplo, é o monte de maior altitude da Terra e atinge 8.850

metros acima do nível do mar. Por outro lado, na Holanda, alguns bairros da cidade de

Haia chegam a ficar 1 metro abaixo do nível do mar.

Aula 1: Números Inteiros e sua representação na reta

numérica.

6

Monte Everest Holanda – Cidade de Haia

Fonte: http://www.menosfios.com

Fonte: http://turismo.culturamix.com

Situação 2:

Ao acordar, pela manhã, você ouve no rádio a notícia de que uma cidade do Rio

Grande do Sul que, no verão, chega a atingir 35°C, amanheceu com – 5°C.

Fonte: www.incoterm.com.br/home/show_page.php?id=2401

As temperaturas menores que 0°C (medidas abaixo de zero) são representadas

por valores negativos. Os números negativos aparecem sempre com o sinal de –. Os

números positivos aparecem com o sinal de + ou sem sinal.

Observe que cada número inteiro positivo é associado a um número natural

diferente de zero, por exemplo: +1 = 1, +2 = 2, +3 = 3, ...

IMPORTANTE: O zero não é positivo nem negativo.

7

2 – REPRESENTAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA:

Para que você consiga comparar os números inteiros, é necessário

conhecermos a reta numérica. Observe:

Você sabe como construir uma reta numérica no conjunto dos inteiros? É fácil!

Vamos aos passos:

1º Passo: Com a ajuda de uma régua, você vai traçar uma reta. No exemplo abaixo,

chamamos a reta de r, mas você pode usar qualquer letra minúscula. Em seguida,

escolha um ponto O (geralmente é colocado no meio da reta, mas pode ser localizado

em qualquer parte). Esse ponto O será associado ao número 0.

O

r 0

2º Passo: Escolha outro ponto na reta, à direita do ponto O, e associe a esse ponto o

número 1, ou +1. Teremos assim, uma unidade de comprimento e o sentido positivo

da reta.

O

r 0 +1

3º Passo: A partir daí, represente as unidades de comprimento repetidas vezes,

sempre da esquerda para a direita, ao longo da reta, determinando, assim, a

localização dos pontos associados aos números positivos +2, +3, +4, e assim

sucessivamente.

O

r 0 +1 +2 +3 +4

8

4º Passo: Usando a mesma unidade de comprimento, você agora deve representar

distâncias à esquerda do zero e associar os números -1, -2, -3, -4, ..., determinando o

sentido negativo da reta.

O

r -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

01. Dado o conjunto x = { +3, -14, -9, -6, +6, -7, +2. -1}, identifique:

a) Os números positivos:

b) Os números negativos:

02. Escreva usando a simbologia matemática:

a) oitenta e cinco negativo:

b) quatorze positivo:

c) cento e cinco positivo:

d) setenta e dois negativo:

e) cento e noventa e nove negativo:

03. A figura seguinte é uma reta numérica que mostra a posição de dois aviões, A e B, em relação a cidade do Rio de Janeiro. Sabendo que cada intervalo corresponde a 50Km, dê a posição desses aviões em relação ao Rio de Janeiro.

Rio de Janeiro

A B

04. Localize os números +5, -4, +8, -6, +3 na reta abaixo.

O

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0

Atividade 1

Fonte: www.equipe7dombosco.blogspot.com

9

Agora que você já aprendeu que o conjunto dos números inteiros é formado

pelos algarismos inteiros positivos, pelos algarismos inteiros negativos e pelo zero, e

que esses números são muito importantes e utilizados no nosso dia a dia, vamos

mostrar a você que há também a necessidade de se realizarem cálculos envolvendo

esses números! Então, vamos começar estudando as operações de adição e subtração.

O que acha?

1 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

É importante estudar este assunto com muita atenção, pois ele envolve várias

regras que serão utilizadas em praticamente todas as séries seguintes. Para realizar

cada operação, será realizada uma regra diferente, que estará diretamente

relacionada ao sinal do número.

1.1 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:

Sempre que você for realizar adição e subtração com números inteiros,

precisará lembrar duas regras básicas:

1ª regra: Quando os sinais forem iguais, somamos os termos e repetimos o sinal.

Exemplos:

+ 4 + 3 = + 7

– 5 – 4 = – 9

2ª regra: Quando os sinais forem diferentes, subtraímos o maior termo pelo menor e

atribuímos ao resultado o sinal do maior termo.

Exemplos:

–6 + 2 = –4 (6 – 2 = 4 Como 6 é maior que 4 e 6 possui sinal negativo, o

resultado será negativo)

+ 8 – 3 = + 5 (8 – 3 = 5 Como 8 é maior que 3 e 8 possui sinal positivo, o resultado será positivo)

Aula 2: Adição e Subtração de Números Inteiros

10

1.2 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM A PRESENÇA DE PARÊNTESES.

Sempre que as operações apresentarem parênteses, colchetes ou chaves, nosso primeiro passo será eliminá-los. Como faremos isto?

Para eliminarmos os parênteses, devemos, a princípio, verificar qual o sinal que

antecede os parênteses.

1° Caso: + Basta eliminá-lo normalmente, como se os parênteses não existissem. É

importante ter atenção, pois os números que estiverem nos parênteses permanecem com os mesmos sinais:

+ ( + ) = + + ( – ) = – 2° Caso: ─ Quando, antes dos parênteses, temos um sinal de menos, devemos trocar o sinal de todos os números dentro dos parênteses.

– ( + ) = – – ( – ) = +

Exemplos:

+ (+7) = + 7

– (– 9) = +9

+ (– 11) = –11

– (+ 20) = –20

Depois da eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª regra que já

aprendemos anteriormente.

Exemplo 01:

+ (+7) + (–5) = + 7 – 5 = +2

– (– 9) – (+5) = +9 – 5 = +4

+ (– 11) – (– 4) = –11 + 4 = – 7

– (+ 20) − (– 6) = –20 + 6 = – 14

11

01. A pirâmide abaixo esconde um segredo em seu topo. Esse segredo é um número

inteiro. Complete cada bloco da pirâmide, conforme o modelo, e descubra o seu segredo.

Observe: + 10 - 13 = -3 -13 + 15 = +2

02. Determine o resultado das adições e subtrações abaixo:

a) (+5) + (+7) = b) (-9) - (-3) =

c) (-2) + (-4) = d) (-8) + (13) + (+5) =

e) (+15) - (+7) + (-2) =

03. O dono de uma loja tinha R$ 52,00 no caixa. Recebeu R$ 27,00, como pagamento

pela venda de uma mercadoria, deu R$ 3,00 de troco e pagou uma conta da loja no

valor de R$ 35,00. Quanto ainda restou no caixa dessa loja?

04. Uma pessoa, ao analisar seu extrato bancário, observou que sua conta estava com

saldo negativo de R$ 125,00. Naquele dia, ainda seria descontado em sua conta

corrente um pagamento de R$ 67,00, feito em débito automático, e um cheque de

R$ 92,00. Após esses descontos, qual será o novo saldo dessa conta corrente?

Atividade 2

-3 +2 +14 +2 -14

+10 -8 -6 -13 +15 -1

12

Conforme você já viu anteriormente, o conjunto dos números inteiros surgiu da

necessidade do homem de utilizar valores negativos. Na multiplicação e divisão de

números inteiros, devemos seguir algumas condições, de acordo com o sinal dos

números envolvidos na operação. São essas as regras que iremos estudar a seguir:

1 – MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

Quando estudamos os números naturais, vimos que a multiplicação funciona

como uma forma simplificada de uma adição em que os números são repetidos.

Vamos relembrar, através de um exemplo bem simples: suponha que você

ganhe R$ 10 reais em um determinado dia da semana, significa que você ganhou 1 X

10. Porém, se você ganhar R$ 10 reais na segunda-feira, R$ 10 reais na terça-feira, R$

10 reais na quarta-feira, R$ 10 reais na quinta-feira e R$ 10 reais na sexta-feira, então,

você terá recebido 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 5 X 10.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à regra de

sinais apresentada no quadro a seguir:

Sinais dos números Exemplo Resultado do produto

Iguais ( + ) x ( + ) = +

( – ) x ( – ) = + Positivo

Diferentes ( + ) x ( – ) = –

( – ) x ( + ) = – Negativo

Para que você compreenda este quadro com mais clareza, vamos apresentar

alguns exemplos:

Aula 3: Multiplicação e Divisão de Números Inteiros

13

Exemplo 1:

(+5) x (+2) = + 10 ou 10

(- 5) x (- 2) = + 10 ou 10

(+5) x (- 2) = - 10

(- 5) x (+2) = - 10

2 – DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS:

Para realizar a divisão de números Inteiros, você deverá dividir os valores e colocar o sinal de positivo ou negativo, seguindo as mesmas regras usadas na multiplicação de números inteiros.

Exemplo:

(+8) (+2) = + 4 ou 4

(- 8) (- 2) = + 4 ou 4

(+8) (- 2) = - 4

(- 8) (+2) = - 4

Resumindo: quando os números envolvidos na operação tiverem sinais iguais, o

resultado terá sinal positivo; caso os números envolvidos na operação apresentem

sinais diferentes, o resultado será negativo. A regra da multiplicação e da divisão é

bem simples, não acha?

Que tal treinar as regras que você acabou de aprender? Então vamos lá!

01 . Efetue as multiplicações e divisões abaixo:

a) (+3) x (+4) =

b) (+3) x (-4) =

c) (–8) x (+2) =

Atividade 3

14

d) (–15) : (–3) =

e) (+12) : (-4) =

f) (–10) : (+5) =

02. Siga o exemplo e complete as tabelas com os resultados das operações indicadas:

03. Complete:

a) Se 3 x = -6, então = _____

b) Se x (-2) = 10, então = _____

c) Se (-3) = -4, então = _____

d) Se 25 = -5, então = _____

04. Em um jogo de perguntas e respostas, você ganha 3 pontos por acerto, perde 2

pontos por erro e perde 1 ponto se não responder. Se você acertar 9 perguntas, errar 8

e deixar de responder 5, quantos pontos fará no jogo?

X -3 0 +2 -1 +8 -12 -16 +24

+4 -12 0 +8 -4 -2 -4 +6 +8 - 12

-5 +4

-2 -1

+8 +2

-1 -4

15

Agora que já viu as operações básicas com números positivos e negativos, que

tal aprendermos um pouco sobre potências e raízes quadradas de números inteiros?

Essas operações já foram estudadas anteriormente, quando você conheceu os

números naturais. No entanto, iremos estudá-las agora com relação aos números

inteiros!! É importante ter atenção com os sinais!! Bom estudo!

1 – POTENCIAÇÃO:

Toda potência é um produto de fatores iguais.

expoente

23 = 2 x 2 x 2 = 8

Fatores

Base potência

O estudo das potências envolve algumas consequências imediatas que não

podemos deixar de comentar! No entanto, iremos explicá-las através de exemplos.

Vamos lá?

Exemplos:

50 = 1 Toda potência de expoente zero é igual a 1.

(0)2 = 0 x 0 = 0 Toda potência de base zero e expoente diferente de zero

será sempre igual a zero.

(1)2 = 1 x 1 = 1 Toda potência de base um será sempre igual a um.

Aula 4: Potenciação e Radiciação de Números Inteiros

16

É importante ter cuidado com os sinais. Observe os exemplos a seguir:

(+2)2 = (+2) x (+2) = +4 Toda potência de base positiva é sempre positiva.

(-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = +16 Toda potência de base negativa e

expoente par é positiva.

(-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -32 Toda potência de base negativa e

expoente ímpar é negativa.

1.6 – PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO:

Agora que você já aprendeu como resolver potências de números inteiros,

precisará conhecer três propriedades importantes da potenciação.

1ª PROPRIEDADE: Multiplicação de potências de mesma base.

Repetimos a base e somamos os expoentes.

Exemplos:

(+5)2 . (+5)4 = (+5)2+4 = (+5)6

(-3)5 . (-3)2 . (-3)4 = (-3)5+2+4 = (-3)11

2ª PROPRIEDADE: Divisão de potências de mesma base.

Repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplos:

(+5)8 : (+5)2 = (+5)8-2 = (+5)6

(-10)12 : (-10)4 = (-10)12-4 = (-10)8

3ª PROPRIEDADE: Potência de um potência.

Repetimos a base e multiplicamos um expoente pelo outro.

Exemplos:

[(+6)2]4 = (+6)2 . 4 = (+6)8

[(-10)6]2 : (-10)6. 2 = (-10)12

(-2)2 é diferente de -22. Vou explicar, veja só:

(-2)2 representa o quadrado de -2, ou seja, (-2) . (-2) = +4

-22 representa menos o quadrado de 2, ou seja – (2 .

2) = ─ 4 Entendeu?

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2 – RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO NATURAL:

Agora você vai conhecer a radiciação, ou seja, a operação inversa da

potenciação. A raiz quadrada de um número positivo tem dois valores simétricos, ou

seja, dois valores iguais, porém com sinais diferentes:

9 = +3, pois (+3)2 = (+3) . (+3) = 9

9 = ─ 3, pois (─ 3)2 = (─ 3) . (─ 3) = 9

9 = +3 ou ─ 3

Vamos exemplificar para que você possa entender melhor!!

IMPORTANTE:

0 = 0, pois 0 x 0 = 0 ou 02 = 0.

−9 não existe, pois (+3)2 = +9 e (-3)2 = +9. Portanto, a raiz quadrada de um

número negativo não pertence ao conjunto dos números inteiros.

Exemplos:

25 = 5 ou -5, pois, 5 x 5 = 25 e (-5) x (-5) = 25

81 = 9 ou -9, pois, 9 x 9 = 81 e (-9) x (-9) = 81

1 = 1 ou -1, pois 1 x 1 = 1 e (-1) x (-1) = 1

−49 = não pertence aos números inteiros ( Z), pois 7 x 7 = + 49 e (-7) x (-7) = + 49.

Vamos exercitar um pouco sobre o que você acabou de aprender? Resolva as

atividades a seguir e, qualquer dúvida, retome os exemplos acima!

01. Escreva se o resultado de cada item será uma potência positiva ou negativa:

a) 03 ______________________________

Atividade 4

18

b) -511 ______________________________

c) -10 ______________________________

d) -918 ______________________________

e) 91 ______________________________

02. Efetue:

a) (-8)2 = f) 4 =

b) (+1)7 = g) 100 =

c) (-3)3 = h) 25 =

d) (-5)0 = i) −1 =

e) (-16)1 = j) 0 =

03. Descubra o valor de x em cada afirmação abaixo:

a) x2 = 16 x = _____ d) x = 5 x = _____

b) x3 = -8 x = _____ e) x = 1 x = _____

c) 2x = 32 x = _____

04. Utilizando as propriedades da potenciação, simplifique as sentenças abaixo:

a) (52. 54) =

b) (27. 26) =

c) (109: 103) =

d) (82 : 82) =

e) (32)6 =

19

Você já aprendeu, no 6º Ano, o que é ângulo. Você já deve ter percebido que os

ângulos estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Se você ainda não

percebeu, observe esses exemplos abaixo:

1 – ÂNGULOS:

Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.

A origem das semirretas é denominada de ponto O, ou vértice do ângulo, e

pode ser indicada por uma letra maiúscula.

As semirretas OA e OB são denominadas lados do ângulo. Para identificar esse

ângulo, utilizamos a notação AÔB.

Aula 5: Ângulos

Vértice do ângulo

20

1.1 – MEDIDA DE UM ÂNGULO:

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura e a unidade

padrão para medir ângulos é o grau. O símbolo do grau é (o). Para ter uma melhor ideia

do que significa a medida equivalente a um grau, vamos tomar como exemplo uma

circunferência. Observe:

Exemplo 1:

Uma circunferência tem 360o. Então, o ângulo de um grau seria o equivalente a

dividir uma circunferência por 360.

Para medir ângulos, utilizamos um instrumento de medida chamado

transferidor. O transferidor já vem graduado de 1o em 1o.

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm

Nos exemplos acima, apresentamos, respectivamente, um transferidor de 180o

e um transferidor de 360o.

21

1.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS:

Os ângulos são classificados de acordo com suas medidas: agudo, reto, obtuso,

ou raso.

A) ÂNGULO AGUDO:

B) ÂNGULO RETO

C) ÂNGULO OBTUSO

D) ÂNGULO RASO

Agudo é o ângulo com medida

menor que 90o.

Reto é o ângulo com medida

igual a 90o.

Obtuso é o ângulo com medida

maior que 90o e menor que 180º.

Raso é o ângulo com medida

igual a 180º.

22

1.3 - ÂNGULOS CONGRUENTES:

Dizemos que dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. Se

dois ângulos congruentes forem sobrepostos, ou seja, colocados um sobre o outro,

todos os seus pontos coincidem.

1.4 – BISSETRIZ DE UM ÂNGULO:

Bissetriz de um ângulo pode ser definida como a semirreta que se origina no

vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois ângulos com medidas iguais.

No exemplo abaixo, a semirreta C é bissetriz do ângulo AÔB e o divide em duas

partes iguais. O ângulo AÔB mede 40o e a bissetriz C divide esse ângulo em dois

ângulos de 20o cada um.

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1.5 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES:

Ângulos complementares são dois ângulos que, somados, totalizam 90º, isto é,

um é o complemento do outro.

Exemplo: Se = 30o, então = 90 o - 30 o = 60 o.

1.6 – ÂNGULOS SUPLEMENTARES:

Ângulos suplementares são dois ângulos que, somados, totalizam 180º, ou seja,

um é o suplemento do outro.

Exemplo: Se = 110o, então = 180 o - 110 o = 70 o.

Agora que você já estudou alguns dos principais conceitos relacionados aos

ângulos, vamos exercitar o que você aprendeu!!

α + β = 90o

α = 90o – β ou ainda β = 90 o – α

α + β = 180o

α = 180o – β ou ainda β = 180 o – α

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01. Observe o transferidor abaixo e dê as medidas dos ângulos indicados, conforme o

exemplo:

Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-ang.htm

a) med (AÔB) = 27o

b) med (AÔC) =

c) med (AÔD) =

d) med (AÔE) =

02. Complete:

a) Um ângulo que mede 90o chama-se ângulo _________________________________.

b) Se dois ângulos são complementares e um deles mede 25 o, entro outro mede ____.

c) O suplemento de um ângulo de 135o mede ______.

d) Um ângulo que mede entre 90o e 180o chama-se ângulo ______________________.

e) A semirreta que se origina no vértice do ângulo principal, dividindo-o em outros dois

ângulos com medidas iguais é chamada de _____________________.

Atividade 5

25

03. Calcule o valor de x nas figuras abaixo:

04. Observe o mapa abaixo, onde as vias principais estão demarcadas em amarelo.

Localize no mapa duas vias que formem um ângulo reto, outras duas que formem

um ângulo agudo, um ângulo obtuso e um ângulo raso. Como exemplo, já

localizamos para você um ângulo reto.

Fonte: https://maps.google.com.br

Ângulo reto

26

Como você já viu na aula anterior, o transferidor mede ângulos com intervalos

de 1 em 1 grau. No entanto, existem ângulos que não possuem como medida um

número inteiro de graus. Neste caso, iremos trabalhar com os submúltiplos do grau, ou

seja, com minutos e segundos.

1 – SUBMÚLTIPLOS DOS ÂNGULOS:

Os submúltiplos do grau são representados pelos seguintes símbolos: ( ‘ ) e (“).

Sendo assim, lê-se:

2° 32’ 40’’ = dois graus, trinta e dois minutos e quarenta segundos.

Observe que:

1 minuto = 1 do grau, ou seja, 1o = 60’ (1 grau é igual a 60 minutos)

60

1 segundo = 1 do minuto, ou seja, 1’ = 60” (1 minuto é igual a 60 segundos)

60

Exemplos:

a) Como expressar 15o em minutos?

Se 1o é igual a 60’, então, 15o = 15 x 60 = 900’.

b) Como expressar 90’ em graus e minutos:

90´= 1 x 60 + 30´

90´= 1o 30’ (1 grau e 90 minutos).

Aula 6: Operações com ângulos

90’ 60

30’ 1°

27

2 – OPERAÇÕES COM ÂNGULOS:

Operar com os ângulos é uma tarefa aparentemente fácil, mas exige um pouco

de atenção, pois, em alguns momentos, é necessário realizar algumas transformações

como as que aprendemos no início desta aula. No entanto, não iremos abordar aqui

estes casos mais complexos!

2.1 – ADIÇÃO DE ÂNGULOS: Para encontrar a soma de duas ou mais medidas de

ângulos, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus

com graus, fazendo a simplificação quando necessário.

Exemplo: 12o 17’ 30” + 20o 5’ 15” =

12o 17’ 30”

+ 20o 5’ 15”

32o 22’ 45”

2.2 – SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS: Para subtrair duas medidas de ângulos, devemos

subtrair segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Em alguns

casos, devemos fazer as transformações.

Exemplo: 52o 17’ 50”─ 1o 5’ 18”=

52o 17’ 50”

─ 41o 5’ 18”

11o 12’ 32”

2.3 - MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS POR UM NÚMERO NATURAL: Para multiplicar

uma medida de ângulo por um número natural, devemos multiplicar os segundos, os

minutos e os graus por esse número. Se precisar, devemos fazer as transformações.

Exemplo: 42o 15’ 23” x 2 =

42o 15’ 23”

x 2

82o 30’ 46”

28

2.4 - DIVISÃO DE ÂNGULOS POR UM NÚMERO NATURAL: Para dividir uma medida de

ângulo por um número natural, devemos dividir os graus, os minutos e os segundos

separadamente, não esquecendo que, se for possível, devemos transformar os restos.

Exemplo: 58o 62’ 46” : 2

58o 62’ 46” 2

00o 00’ 00” 29o 31’ 23”

Agora é hora de exercitar o que aprendemos!!

01. Escreva como se leem as medidas:

a) 35o 25’ =

b) 3o 14’ 51” =

c) 15o 47’ 13” =

02. Faça os cálculos e responda:

a) Quantos minutos há em 6o ?

b) Quantos segundos há em 15´ ?

c) Quantos segundos há em 3o ?

03. Segundo as explicações dadas, efetue:

a) 35o 29’ 13” + 19o 13’ 40” =

b) 32o 40’ 18” - 13o 18’ 12” =

c) 16o 15’ 14” x 3 =

d) 48o 50’ 12” : 2 =

Atividade 6

29

01. Localize e assinale na reta numérica abaixo:

a) A = +7

b) B = ─ 5

c) C = ─ 1

O | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0

02. Calcule:

a) (-8) + (10) + (-3) =

b) (+5) x (-7) =

c) (-32) : (-8) =

d) (-3)2 =

e) 36 =

03. Descubra o valor de x em cada afirmação abaixo:

a) x2 = 25 x = _____

c) x = 4 x = _____

b) x3 = -27 x = _____

d) x = 1 x = _____

04. Utilizando as propriedades da potenciação, simplifique as sentenças abaixo:

a) (23. 26) =

b) (87: 85) =

c) (53)4 =

Avaliação

30

05. Observe o transferidor abaixo e responda:

a) med (AÔB) = d) med (AÔE) =

b) med (AÔC) = e) med (AÔF) =

c) med (AÔD) = f) med (AÔG) =

06. Calcule o valor de x nas figuras abaixo:

07. Efetue:

a) 42o 23’ 37” + 29o 46’ 42” =

c) 36o 17’ 08” x 3 =

31

Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 1° bimestre, é hora de relaxar um pouco. Leia atentamente as questões a seguir e, através de uma pesquisa, responda cada uma delas de forma clara e objetiva.

Atenção: Não se esqueça de identificar as fontes de pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites que foram utilizados na sua pesquisa. I – Apresente alguns exemplos de situações reais em seu dia a dia onde você se depara com números inteiros negativos. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ II – No calendário Cristão, o nascimento de Cristo é considerado o marco zero (0). Pesquise e desenhe abaixo o diagrama conhecido por linha do tempo. III – Assista ao vídeo sugerido sobre os ângulos no nosso cotidiano e escreva suas observações sobre a existência dos ângulos em quase tudo que nos cerca. O vídeo está disponível em http://www.youtube.com/watch?v=BMEk1MBf3Ko

________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Pesquisa

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[1] Bianchini, Edwaldo. Matemática. 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006.

[2] Bosquilha, Alessandra. Mini-manual compacto de matemática: teoria e Prática. 2

ed. São Paulo: Rideel, 2003.

[3] Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Volume 1, 3ed. São Paulo: Ática, 2003.

[4] Ferreira, Marcus Vinicius Reis. Geometria Analítica e Espacial. 1 ed. Rio de Janeiro,

2004.

[5] Giovanni, José Ruy, 1937 – A conquista da matemática. Volume 1, Edição renovada.

São Paulo: FTD, 2007.

Referências

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COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Maurício Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Ivete Silva de Oliveira Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE

Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Alan Jorge Ciqueira Gonçalves Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo José Cláudio Araújo do Nascimento

Reginaldo Vandré Menezes da Mota Weverton Magno Ferreira de Castro

Equipe de Elaboração