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MATEMÁTICA

ENEM 2009

PROF. MARCELO CÓSER

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Funções Lineares: problemas com variação constante.

f(x) = ax + bVARIAÇÃO

CONSTANTEVALORINICIAL

a > 0 a < 0

xya

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B(x) = 40 para x 50. E para x > 50?

01) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

(50, 40) B(x). Logo, 40 = 1,5 · 50 +b.Assim, b = 40 - 75 = -35.

Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b.

1,5x - 35 = 0,25x + 501,25x = 85

x = 68 minutos.

(50; 40)

A(x) = 0,25x + 50

Do enunciado, aB = 1,5. Assim, B(x) = 1,5x + b.

Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos

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02) A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um corpo após x horas é dada por T(x) = TAMBIENTE + a · bx. Uma chaleira com água é colocada em uma sala a 20º C imediatamente após a águaferver. Uma hora mais tarde, sua temperatura era de 80º C. Qual será a temperatura ao final da segunda hora?

Parâmetros desconhecidos Pontos conhecidos

Se a chaleira foi colocada na sala logo após a água ferver, o ponto (0, 100) pertence àfunção. Ainda, temos o ponto (1, 80).

.438020,

43608080802080,1

8010020100,0

1

0

x

xTLogo

bbb

aba

CT o6595201698020

4380202

2

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03) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas?

Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg

Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas.

Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:

mgQ

f

fff

42,42707,0.60

707,04143,1

1215,0

5,05,0. 2

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04) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente

De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:

( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.

0,5.2

1

201 19.10

201 19.10

20 20 6,891 1,9 2,9

N

N

N

0,5

201 19.10 tN

t = 0

0,5.0

201 19.10

201 19.120 120

N

N

N

0,5.4

2

201 19.10

201 19.10

20 20 16,81 0,19 1,19

N

N

N

F

t = 2

F

t = 4

VF

N = 20

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

20201 19.10

111 19.10

1 19.10 119.10 010 0

t

t

t

t

t

Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

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0,5

201 19.10 tN

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Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.

6543210log2 x

6432168421x

Escalaem PG

Escalaem PA

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05) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A

sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?

a) 3 vezesb) 10 vezesc) 30 vezesd) 1.000 vezese) mais de 1.000 vezes

A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.

Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

X

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PROBABILIDADESão duas as questões pertinentes na resolução de um problema envolvendo probabilidades. Primeiro, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados possíveis, que será chamado de espaço amostral. Segundo, é preciso quantificar o conjunto de todos os resultados desejados, que será chamado de evento.

ADIÇÃO DE PROBABILIDADESSendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos:

Se A e B são eventos mutuamente exclusivos:

Importante: O evento A ocorre ou o evento B ocorre.

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Sendo A e B dois eventos independentes em um mesmo espaço amostral E, temos:

Importante: O evento A ocorre e o evento B ocorre.

Com tais dados obtidos, pode-se definir a probabilidade de um determinado evento X ocorrer como sendo a razão entre as quantidades de elementos dos conjuntos acima. Assim,

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06) (ENEM) Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará um prêmio de R$ 200,00. A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$400,00 é igual a:

Xa) 0b) 1/3c) 1/2d) 2/3e) 1/6

R$ 400 equivalem a dois acertos.

Seria possível acertar as duas primeiras, as duas últimas ou a primeira e a terceira.

No entanto, é impossível: se errar a primeira, por exemplo (com “V” ou “E”), automaticamente outra estará errada também, pois uma das letras já foi usada; ainda, se acertar as duas primeiras, então a última estará certa também.

Logo, P = 0.

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07) (ENEM) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagens um cartão de apostas conforme a figura. Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um cliente ganhar

o prêmio nunca seja igual a zero. Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é:

a) 1/27b) 1/36c) 1/54d) 1/72e) 1/108

Como são 7 bolas e quatro estarão nas linhas 4 e 5, restarão uma bola por cada uma das três primeiras linhas. Logo,

541

22

32

31

41

31

P

X

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08) (ENEM) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. Ao lado, a representação da letra A. O número total de caracteres que podem ser representados é:

a) 12b) 31c) 36d) 63e) 720

2 2 2 2 2 2 64Grande Grande Grande Grande Grande Grande

Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena Pequena

64 - 2 = 62

Todas grandes ou todas pequenas

=

Contam como um caractere! 62 + 1 = 63

X