matemática · 2014. 2. 15. · neste caderno, você encontrará atividades diretamente...
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Matemática
Professor
Caderno de Atividades
Pedagógicas de
Aprendizagem
Autorregulada - 01 8° Ano | 1° Bimestre
Disciplina Curso Bimestre Série
Matemática Ensino Fundamental 1° 8°
Habilidades Associadas
Resolver problemas com números racionais envolvendo as operações
Reconhecer de forma intuitiva a existência dos números irracionais
Ordenar e comparar números reais
Resolver problemas que envolvam retas paralelas cortadas por uma transversal
Resolver problemas relacionados ao cálculo da soma dos ângulos internos de um triângulo
Classificar triângulos quanto aos lados e ângulos
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A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam,
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as
ferramentas da autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às
suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
Apresentação
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/mailto:[email protected]
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Caro Tutor,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas
habilidades e competências do 1° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 8°
Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o
período de um mês.
A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades
com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as
trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no
percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da
disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de
nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI.
Neste Caderno de Atividades, os alunos irão estudar sobre as operações com
números racionais, a existência de números irracionais chegando aos números reais
com suas localizações na reta. Também estudaremos sobre retas paralelas, triângulos e
suas classificações.
Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas
relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal
eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o
Professor Tutor.
Este documento apresenta 6 (seis) aulas. As aulas podem ser compostas por uma
explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias
relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e
atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As
Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem,
propõe-se, ainda, uma avaliação e uma pesquisa sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Equipe de Elaboração
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Introdução ............................................................................................... 03
Objetivos Gerais ......................................................................................
Materiais de Apoio Pedagógico ..............................................................
Orientação Didático-Pedagógica .............................................................
Aula 1: Operações com números racionais ..........................................
Aula 2: Existência de números irracionais .............................................
Aula 3: Ordenando números reais ........................................................
Aula 4: Retas paralelas cortadas por uma transversal ...........................
Aula 5: Triângulos ................................................................................
Aula 6: Classificação de triângulos ........................................................
Avaliação .................................................................................................
Avaliação Comentada ..............................................................................
Pesquisa ...................................................................................................
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Referências .............................................................................................. 34
Sumário
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No 8° Ano do Ensino Fundamental, o tema central é o estudo das equações e
sistemas de equações. Inicialmente, os alunos irão estudar sobre os números reais, a
fim de estabelecer uma base para o estudo de equações. No campo geométrico, o
estudo começa com os Triângulos, suas propriedades e classificações.
No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais
que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir:
Orientações
Pedagógicas
do CM
Disponíveis em:
http://www.youtube.com/watch?v=ljEI5UpZQYk
http://www.youtube.com/watch?v=JdYYZc5XTJw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=KDA9rjfXP9A
http://www.youtube.com/watch?v=ksC6ANqYpyg
Materiais de Apoio Pedagógico
Objetivos Gerais
http://www.youtube.com/watch?v=ljEI5UpZQYkhttp://www.youtube.com/watch?v=JdYYZc5XTJw&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=KDA9rjfXP9Ahttp://www.youtube.com/watch?v=ksC6ANqYpyg
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Para que os alunos realizem as Atividades referentes a cada dia de aula,
sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no
Caderno do Aluno:
1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado para que o aluno possa
compreendê-lo sem o auxílio de um professor.
2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3.
3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma
individual ou em dupla.
4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na
seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o.
5°- Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos
abordados no texto-base.
6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas
nas Atividades.
7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas
com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da
sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na
Atividade.
Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação.
Orientação Didático-Pedagógica
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Caro aluno, nesta aula você estudará sobre operações com números racionais.
Primeiro, vamos estudar quais números podem ser chamados de racionais. Em
seguida, iremos aprender algumas operações, relacionando-os! Vamos lá, leia com
atenção, pois esta parte inicial, apesar de conter poucos cálculos, pode confundi-lo!
1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS:
Um número é chamado de racional quando ele pode ser escrito em forma de
fração, onde numerador e denominador (diferente de zero) são números inteiros.
Observe abaixo alguns exemplos de números racionais:
Números naturais
Números inteiros
Números decimais finitos
Números decimais finitos periódicos
Aula 1: Operações com números racionais
Note que o conjunto dos números racionais
contém o conjunto dos números naturais (N) e
o conjunto dos inteiros !
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O símbolo do conjunto dos números racionais é . Portanto podemos dizer que
os números racionais são formados por todas as frações , onde , e .
Ou seja, .
2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS:
Agora chegamos a um tópico muito importante da nossa aula. No conjunto dos
números racionais, podemos efetuar sempre as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão (sempre com divisor diferente de zero). Veja alguns exemplos
de como operar números racionais:
a) Como calcular ?
Para realizar esta soma, é preciso que os dois números estejam na mesma
representação. Ou seja, ou colocamos os dois em forma de fração ou em forma
decimal. Vamos optar, neste momento, por colocar 0,6 em forma de fração.
Como 0,6 tem apenas uma casa decimal, vamos multiplica-lo e dividi-lo por 10:
Assim podemos continuar nossa operação. Vamos lá:
b) Como calcular ?
Como podemos
multiplicar 0,6 por ele numa
boa! Você concorda?
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Este caso é parecido com o anterior. No entanto, agora vamos passar a fração
para decimal. Para isto, basta dividir o numerador da fração pelo denominador da
fração. Ou seja, . Então, podemos continuar a operação:
c) E na multiplicação? Como resolver ?
No caso da multiplicação de racionais, é sempre ideal que todos os fatores
sejam representados na forma de fração, principalmente quando os racionais
envolvidos na operação forem decimais infinitos periódicos. Assim, representando 0,2
em fração temos:
Agora, vamos retomar a operação inicial:
d) E para resolver 5,3 . 6,1?
Note que os dois racionais estão em forma decimal finita. Assim, podemos
operar facilmente, conforme o esquema abaixo:
5, 3
x 6, 1
5 3 resultado da multiplicação por 1.
3 1 8 resultado da multiplicação por 6, dando o espaço de uma casa!
3 2, 3 3 resultado final.
Assim, nossa resposta final é 32,33.
Observe que, inicialmente, cada número
possuía uma casa decimal. Por isso o
resultado final possui duas casas decimais!
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e) Vamos fazer uma divisão? Quanto vale ?
Para realizar uma divisão entre racionais, o ideal é que ambos estejam na forma
fracionária. Então, vamos converter -0,5 em fração:
Após simplificar a fração, podemos proceder à operação:
Dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Dessa forma, repetimos a
primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda fração:
Agora, depois de observar bem cada exemplo, vamos treinar. Chegou a sua vez
de tentar resolver algumas operações com números racionais! Bom estudo!
Nas atividades de soma, subtração e multiplicação utilize o método que achar
mais adequado: ou transforme ambos em fração ou ambos em decimal!
01. Resolva a seguinte soma de racionais:
Resolução:
Esta atividade pode ser feita de duas maneiras:
1°) Passando 6/5 para decimal.
6/5 = 1,2. Então a resposta final é:
1,2 + 0,4 = 1,6
Atividades Comentadas 1
Definindo Plano Cartesiano
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2°) Passando 0,4 para fração.
0,4 = 4/10 = 2/5. Então a resposta final
é:
02. Resolva a seguinte subtração de racionais:
Resolução:
Esta atividade pode ser feita de duas maneiras: 1°) Passando 3/2 para decimal.
3/2 = 1,5. Então a resposta final é:
2,1 – 1,5 = 0,6
2°) Passando 2,1 para fração.
2,1 = 21/10. Então a resposta final é:
03. Resolva a seguinte multiplicação de racionais:
Resolução:
Esta atividade pode ser feita de duas maneiras:
1°) Passando 1/5 para decimal.
1/5 = 0,2. Então a resposta final é:
0,2 . 2,5 = 0,5
2°) Passando 2,5 para fração.
2,5 = 25/10 = 5/2. Então a resposta final
é:
04. Resolva a seguinte divisão de racionais:
Resolução:
Diferente do que aconteceu nas últimas atividades, esta também poderia ser feita de
duas maneiras. No entanto, indicaremos apenas uma maneira:
Representando 3,2 na forma de fração, temos 32/10 = 16/5. Então a resposta final é:
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Caro aluno, nesta aula você estudará sobre a existência de números que não
são racionais. Estes números são chamados de irracionais. Alguns deles têm uma
importância muito grande para a matemática e para outras ciências.
1 – EXISTÊNCIA DE NÚMEROS IRRACIONAIS:
Você estudou na aula passada que os números racionais são todos os números
que podem ser escritos em forma de fração onde o numerador e denominador
(diferente de zero) são números inteiros. Quem são os números que podem ser
escritos desta forma? Vamos relembrar?
a) Os naturais.
b) Os inteiros.
c) Os decimais finitos.
d) Os decimais infinitos periódicos.
Observe que faltam nesta lista os números decimais infinitos não periódicos. Estes
serão chamados de números irracionais, pois não podem ser expressos em forma de
fração. O conjunto dos números irracionais é simbolizados por ou r. Veja alguns
exemplos:
1,2365894512657842...
3,01001000100001000001...
-11,1234567891011121314151617...
Aula 2: Existência de números irracionais
Veja que as casas decimais podem até ter um padrão,
mas não um padrão periódico!
Esta é uma ótima oportunidade para ver o que
significa a palavra “periódico”. Consulte um dicionário!
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A palavra irracional tem o seguinte significado: aquilo que não é racional. Ou
seja, é importante ressaltar que não existem números que sejam racionais e irracionais
ao mesmo tempo.
2 – RADICAIS NÃO EXATOS:
Os radicais não exatos também geram números irracionais. Quando se tenta
calcular o resultado decimal de um radical não exato, não se consegue chegar a um
decimal finito ou infinito periódico. Ou seja, os resultados destes radicais são decimais
infinitos não periódicos. Veja alguns exemplos:
a) = 1,4142135...
b) = 2,2360679...
c) = 1,5874010...
d) = 1,5650845...
3 – O NÚMERO PI ( ):
Pi ( ) é uma letra grega que representa
um número irracional muito famoso. Com ele
podemos resolver problemas que envolvem o
comprimento e a área de uma circunferência.
Abaixo podemos ver as primeiras casas decimais
de Pi:
Existe entre os cientistas e pesquisadores uma busca incessante para descobrir cada
vez mais as casas decimais do Pi, a fim de mostrar que ele é periódico. Mas, até então,
Você pode conferir os resultados de raízes quadradas não
exatas em uma calculadora simples. Os outros podem ser
verificados em calculadoras científicas!
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/s
torage/discovirtual/galerias/imagem/0
000001523/0000018247.jpg
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpghttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001523/0000018247.jpg
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nada foi descoberto neste sentido. Uma das descobertas foi feita no ano de 2009 pelos
pesquisadores da Universidade de Tsukuba no Japão. Eles utilizaram um
supercomputador, que verificou 2,5 trilhões de casas decimais de Pi, mas não foi
descoberto um padrão periódico em suas casas decimais. Atualmente, um engenheiro
Japonês anunciou que bateu este recorde, dizendo que encontrou aproximadamente
2,7 trilhões de casas decimais do Pi.
Chegou a hora de mostrar que você aprendeu, vamos para as atividades.
01. Ultilize os símbolos (Racionais) e r (Irracionais) para classificar os números
abaixo:
a) ( ) 3,111...
b) ( ) 3,12112111211112...
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
g) ( r ) 3
h) ( r )
02. Utilize uma calculadora e encontre as primeiras casas decimais das raízes
quadradas abaixo. Lembre-se de colocar reticências no final, pois estes números têm
expansão decimal infinita não periódica.
a) = 2,645751311... b) = 3,605551275... c) = 9,539392014...
03. Aproximando para 1,41 e para 1,73. Diga entre quais inteiros se encontra
.
Resolução:
Note que = 1,41 + 1,73= 3,14. Logo, está entre os inteiros 3 e 4.
Atividades Comentadas
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Definindo Plano Cartesiano
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Nesta aula, você aprenderá a ordenar números reais e a identificar alguns
números reais na reta. Então vamos lá! Boa aula!
1 – ORDENANDO NÚMEROS REAIS:
Dada uma quantidade de números reais, podemos ordená-los de forma
crescente ou decrescente. Lembre que um número real é racional ou irracional. Assim,
para comparar números reais, basta escrevê-los na forma decimal.
Para colocar em ordem crescente, devemos obedecer aos seguintes passos:
Comece separando primeiro os números negativos;
Em seguida, verifique a parte inteira de cada um deles (a parte que fica à
esquerda da vírgula);
E, por último, vamos comparar as casas decimais de mesma ordem após a
vírgula.
É importante entender a seguinte propriedade: Dados dois números reais a e
b, somente três situações são possíveis, a > b (a é maior que b), a = b ou a < b (a é
menor que b). Observe alguns exemplos:
a) Quem é maior? 1,3 ou 1,2?
Note que 1,3 é maior que 1,2, pois eles possuem a mesma parte inteira, mas a
primeira casa decimal de 1,3 é maior que a primeira casa decimal de 1,2.
b) Vamos escrever em ordem crescente os seguintes números reais: ─ 0,3; 3,1; ─3
e 1,3.
Aula 3: Ordenando números reais
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Começando pelos negativos, perceba que - 3 é menor que - 0,3. Basta observar
a parte inteira. Já nos positivos, olhando também para a parte inteira, vemos que 1,3 é
menor que 3,1. Assim, nossa ordem crescente é: - 3; - 0,3; 1,3 e 3,1.
c) Vamos escrever e em ordem crescente:
Para isso, vamos passar as frações para decimal: e
. Você pode utilizar uma calculadora para verificar as primeiras casas decimais
das raízes quadradas não exatas. Assim,
Como todos os números reais da lista estão escritos na forma decimal, vamos
escrever os números em ordem crescente:
e .
Agora, no formato inicial dos números, temos:
e .
2 – POSICIONAMENTO NA RETA:
Para cada número real, existe um ponto correspondente na reta numerada. E,
para cada ponto da reta, existe um número real correspondente. Assim, além de
ordenar os reais, podemos posicioná-los em uma reta. Para isso, o ideal é que eles
estejam na forma decimal, pois, desta forma, fica mais fácil achar suas posições.
Vamos posicionar em uma reta numérica de forma aproximada os seguintes
números: ; ; ; 1,333... e . Seguindo o método apresentado,
primeiramente vamos representar todos os números na forma decimal:
; ; e .
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Agora é o momento de testar se você aprendeu. Faça as atividades abaixo e
bom estudo!
01. Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F):
a) ( V ) Todo número racional é também real.
b) ( F ) Todo número irracional pode ser expresso em forma de fração.
c) ( V ) Um número real é racional ou irracional.
d) ( F ) Um número inteiro pode ser também irracional.
02. Observe os números abaixo e escreva entre eles o símbolo > (maior) ou < (menor):
a) < d) <
b) > e) >
c) >
f) >
03. Escreva os números reais abaixo em ordem crescente:
Resolução:
Passando todos os números para decimal, encontra-se: 12/5 = 2,4;
= 1,7320... Agora é só comparar de acordo com os critérios e escrever na ordem
crescente:
04. Posicione, aproximadamente, os números reais e na reta
numérica.
Atividades Comentadas
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Definindo Plano Cartesiano
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Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre retas, especificamente sobre duas
retas paralelas que são cortadas por uma reta transversal. Vamos lá!
1 – RETAS PARALELAS:
Duas ou mais retas no plano são
consideradas paralelas quando não
possuem ponto em comum, ou seja,
quando não se intersectam. Veja, ao
lado, uma figura onde as retas r, s, t e u
são paralelas.
2 – ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE:
No cruzamento entre duas retas temos
a construção de quatro ângulos, que são, dois
a dois, congruentes. São exatamente os
ângulos que são opostos pelo ponto de
intersecção das retas, ou seja, são os ângulos
opostos pelo vértice. Veja na figura ao lado
que e .
3 – RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL:
Duas retas paralelas, quando cortadas por uma reta transversal, geram, em
cada cruzamento, quatro ângulos, totalizando uma construção com oito ângulos.
Aula 4: Retas paralelas cortadas por uma transversal
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Note que os quatro ângulos do cruzamento entre as retas r e t são, dois a dois,
congruentes aos quatro ângulos do cruzamento entre as retas s e t. Chamamos cada
par destes de ângulos correspondentes. Assim, , , e .
Além disso, comparando pares de ângulos do cruzamento superior com o
cruzamento inferior, geramos duas categorias de ângulos, os colaterais e os alternos.
Como o próprio nome já diz, os colaterais estão do mesmo lado em relação à reta
transversal e os alternos estão em lados alternados em relação à reta transversal.
Ainda temos dentro de cada uma destas categorias os ângulos que são internos
ou externos. Internos são os ângulos que estão entre as retas paralelas e externos os
que estão por fora das retas paralelas.
Resumindo todas estas informações, temos as seguintes categorias de ângulos:
1°) Colaterais internos: Estão do mesmo lado em relação à transversal e entre as
paralelas. São eles com e com . Note que estes ângulos são suplementares, ou
seja, a soma de suas medidas é igual a 180°. Assim, e .
2°) Colaterais externos: Estão do mesmo lado em relação à transversal e externos às
paralelas. São eles com e com . Note que estes ângulos são suplementares, ou
seja, a soma de suas medidas é igual a 180°. Assim, e .
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3°) Alternos internos: Estão em lados alternados em relação à transversal e entre as
paralelas. São eles com e com . Note que estes ângulos são congruentes, ou
seja, eles possuem a mesma medida. Assim, e .
4°) Alternos externos: Estão em lados alternados em relação à transversal e externos
às paralelas. São eles com e com . Note que estes ângulos são congruentes, ou
seja, eles possuem a mesma medida. Assim, e .
Agora chegou a hora de verificar se você aprendeu. Faça as atividades
abaixo e, se tiver alguma dúvida, consulte novamente a parte teórica. Bom estudo!
01. Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule o valor de x:
a) b)
Resolução:
a) Note que os ângulos são alternos internos. Logo, são congruentes. Assim, x = 120°.
b) Note que os ângulos são colaterais externos. Logo, são suplementares. Assim, x +
111° = 180° e x = 69°.
Atividades Comentadas
4
Definindo Plano Cartesiano
Você observou que os colaterais, internos ou
externos, são sempre suplementares?
E que os alternos, internos ou externos, são
sempre congruentes?
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02. Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule o valor de y:
a) b)
Resolução:
a) Note que os ângulos são colaterais internos. Logo, são suplemantares.
Assim, y + 35° = 180° e y = 145°.
b) Note que os ângulos são colaterais externos. Logo, são suplementares.
Assim, y + 152° = 180° e y = 28°.
03. Sabendo que as retas r e s são paralelas, calcule o valor de x e y:
Resolução:
Note que os ângulos y e 105° são alternos externos. Logo, são congruentes.
Assim y = 105°.
Para calcular o valor de x, podemos ver que ele é suplementar de 105°. Podemos ver,
ainda, que x e y também são suplementares, já que são colaterais externos.
De qualquer maneira, x + 105° = 180° e x = 75°.
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Caro aluno, nesta aula você vai estudar sobre triângulos. Esta figura geométrica
plana faz parte do cotidiano de qualquer pessoa em inúmeras situações. Observe as
figuras abaixo e identifique a aparição de triângulos:
1 – DEFINIÇÃO:
Dados três pontos A, B e C, chamamos de
triângulo à figura formada pelos três segmentos de
reta , e .
2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS:
Perceba que o triângulo possui três
ângulos internos , e , ou
simplesmente , e . A soma dos três
ângulos internos de um triângulo é igual a
180°. É possível verificar tal fato: traçando
Aula 5: Triângulos
Fonte: http://www.formasparaconcreto.com/imagens/TELHADO%20DE%20MADEIRA.JPG
Fonte: http://www.construlink.com/Homepage/imagemDestaqueArquitectura.php?id=78&posicao=-6.375
http://www.formasparaconcreto.com/imagens/TELHADO%20DE%20MADEIRA.JPGhttp://www.formasparaconcreto.com/imagens/TELHADO%20DE%20MADEIRA.JPGhttp://www.construlink.com/Homepage/imagemDestaqueArquitectura.php?id=78&posicao=-6.375http://www.construlink.com/Homepage/imagemDestaqueArquitectura.php?id=78&posicao=-6.375http://www.construlink.com/Homepage/imagemDestaqueArquitectura.php?id=78&posicao=-6.375http://www.construlink.com/Homepage/imagemDestaqueArquitectura.php?id=78&posicao=-6.375
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uma reta paralela à base e o prolongamento dos lados e , geramos três
ângulos, que são congruentes aos três ângulos internos do triângulo e cuja soma é
180°.
Então, se dois ângulos internos de um triângulo medem, por exemplo, 30° e
45°, o terceiro ângulo, obrigatoriamente, terá medida igual a 105°.
3 – ÂNGULO EXTERNO:
Prolongando-se os lados
de um triângulo, encontram-se
três ângulos externos. Observe
o ângulo externo construído na
figura e note que, junto ao
ângulo interno adjacente, ele
forma um ângulo de 180°. Ou
seja, a medida do ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não
adjacentes.
Vamos calcular os valores de x e y de acordo com a figura abaixo:
Sabemos que a soma das medidas
dos ângulos internos é 180°. Então,
temos que:
x + 47° + 53° = 180°
x + 100° = 180°
x = 180° - 100°
x = 80°
Para calcular y, podemos utilizar o fato de ser a medida de um ângulo externo.
Então, a medida y é a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. Logo, y
= 47° + 53° = 100°. Ou podemos considerar que x + y = 180°. Como x = 80°, temos y =
100°.
Vamos verificar se você entendeu bem os conceitos desta aula? Bom estudo!
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01. Utilize o fato de a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ser 180° para calcular o valor de x: a) b) Resolução:
a) x + 36° + 72° = 180°. Então, x + 108° = 180°. Ou seja, x = 180° - 108° = 72°.
b) 2x + 81° + 29° = 180°. Então, 2x + 110° = 180°. Ou seja, 2x = 180° - 110° = 70°. E x = 35°
Mesmo que o aluno não saiba montar e resolver uma equação, estes são dois
problemas que podem ser feitos utilizando cálculo mental.
02. Utilize o fato de a medida de um ângulo externo ser igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes e calcule o valor de x: Resolução:
x = 44° + 68° = 112°
Atividades Comentadas 5
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Caro aluno, nesta aula você vai estudar sobre a classificação de triângulos. Isto é,
sobre o nome que o triângulo recebe dependendo de alguns fatores, tais como seus
lados ou seus ângulos. Vamos lá?
1 – CLASSIFICAÇÃO DE TRIÂNGULOS:
Todo triângulo pode ser classificado quanto aos lados, ou seja, dependendo das
medidas de seus lados, ou quanto aos ângulos, ou seja, dependendo das medidas de
seus ângulos.
1.1 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS:
Três situações podem ocorrer quando comparamos os três lados de um
triângulo. Ou eles possuem a mesma medida, ou dois deles tem a mesma medida ou
os três lados possuem medidas distintas. Veja as figuras abaixo e a classificação destes
três casos:
Triângulo Equilátero
Três lados com a mesma
medida
Triângulo Isósceles
Dois dos lados com a mesma
medida, a saber, e . O
lado diferente, que é o , é
chamado de base.
Triângulo Escaleno
Três lados com medidas
distintas
Aula 6: Classificação de triângulos
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IMPORTANTE:
1ª) No triângulo equilátero, os três ângulos internos possuem a mesma medida.
2ª) No triângulo isósceles, os dois ângulos internos da base possuem a mesma medida.
1.2 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Mais uma vez, três situações podem ocorrer quando observamos os ângulos de
um triângulo. Ou todos eles são agudos (ângulos com medida menor que 90°), ou um
deles é obtuso (ângulo com medida maior que 90°) ou um deles é reto (ângulo com
medida igual a 90°). Veja as figuras abaixo e a classificação destes três casos:
Triângulo Acutângulo
Três ângulos agudos
Triângulo Obtusângulo
Um dos ângulos obtuso, a
saber,
Triângulo Retângulo
Um dos ângulos é reto, a
saber,
2 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:
Um triângulo tem uma condição
para existir: A soma da medida de dois de
seus lados deve ser maior que a medida
do terceiro lado.
Você notou que um mesmo triângulo pode
ser isósceles e obtusângulo?
Será que isso pode acontecer com outras
classificações?
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Observe a figura e veja que, se a soma da medida de dois dos possíveis lados de
um triângulo for menor, ou até mesmo igual, que a medida do possível terceiro lado, o
triângulo não existe. Você pode ver que os dois lados não se encontram!
Note que, com segmentos de medidas 3cm, 5cm e 10cm, não é possível
construir um triângulo, pois 3cm + 5cm = 8cm, soma que é menor que 10cm. Pegue
uma régua e tente desenhar este triângulo! Você vai ver que é impossível!
Agora vamos tentar construir um triângulo com lados medindo 4cm, 6cm e
8cm. Observe que a soma de quaisquer dois lados deste possível triângulo é maior que
a medida do terceiro lado! Vamos lá? Pegue uma régua e tente construir!
Interessante, não é mesmo?!
Chegou a hora de testar se você aprendeu tudo o que está nesta aula. Você
está pronto? Então, vamos às atividades. Bom estudo!
01. Sabendo que um triângulo equilátero possui os três ângulos internos com a mesma
medida. Calcule esta medida.
Resolução:
Como a soma dos ângulos internos é 180° e os três ângulos têm a mesma medida,
temos que cada um deles mede 180°/3 = 60°.
Atividades Comentadas 6
Lembre que a soma
das medidas dos
ângulos internos de
um triângulo é 180°.
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02. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) ( V ) Um triângulo isósceles tem dois ângulos internos com a mesma medida.
b) ( F ) Um triângulo com ângulos internos medindo 30°, 50° e 100° é acutângulo.
c) ( V ) Um mesmo triângulo pode ser isósceles e retângulo.
d) ( V ) Um mesmo triângulo pode ser escaleno e obtusângulo.
03. Sabendo que um triângulo isósceles tem lados medindo 6cm e 11cm, calcule os
possíveis valores do terceiro lado.
Resolução:
Como o triângulo é isósceles, ele possui dois lados com a mesma medida. Então ou o
terceiro lado mede 6cm ou mede 11cm.
04. Utilize a condição de existência de triângulos e diga se é ou não possível a
construção de triângulos com lados medindo:
a) 2cm, 3cm e 4cm.
Resolução:
Sim, é possivel. Note que a soma dos lados menores é maior que a medida do terceiro
lado.
b) 6cm, 10cm e 17cm.
Resolução:
Não é possível. Note que 6cm + 10cm = 16cm, soma que é menor do que o terceiro
lado (17cm).
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Caro Professor Aplicador, sugerimos algumas diferentes formas de avaliar as turmas
que estão utilizando este material:
Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se
utilizar a seguinte pontuação:
Saerjinho: 2 pontos
Avaliação: 5 pontos
Pesquisa: 3 pontos
As disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a
participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como
uma das três notas. Neste caso teríamos:
Participação: 2 pontos
Avaliação: 5 pontos
Pesquisa: 3 pontos
Nesta aula, você encontrará algumas atividades para relembrar e aplicar o que
estudou até aqui. São atividades simples e com certeza você consegue realizar. Vamos
fazer?
01. Quando os números abaixo são arranjados do menor para o maior, o número que
fica no meio é:
Avaliação Comentada
Avaliação
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30
(A) 0,1
(B)
(C) 0,6
(D)
Resolução:
Passando todos os números para fração, temos que -3/4 = -0,75 e 2/5 = 0,4. Assim, em
ordem crescente, temos:
O que ficou no meio foi o número 0,1.
02. Os números reais e ... são, respectivamente, os pontos:
(A) D e C
(B) B e A
(C) D e B
(D) D e A
Resolução:
Note que -5/4 = -1,25 e está localizado entre -2 e -1. Logo, é o 0,777... que está
localizado entre 0 e 1, sendo este representado pela letra B. Desse modo temos que a
opção correta é a letra C.
03. Considerando uma aproximação de em 3,14. O valor de é:
(A) 3,64
(B) 5,64
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(C) 5,34
(D) 3,34
Resolução:
Como 5/2 = 2,5, temos 3,14 + 2,5 = 5,64.
04. De acordo com a figura, os valores
de x e y são, respectivamente:
(A) 36° e 36°
(B) 144° e 36°
(C) 36° e 144°
(D) 36° e 54°
Resolução:
Note que x e 36° são alternos externos. Logo, são congruentes. Assim, x = 36°. Veja,
também, que x e y são suplementares, então x + y = 180°. Como x = 36°, temos que
y = 144°.
05. Aprendemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°
e que um ângulo externo tem medida igual a soma das medidas dos ângulos internos
não adjacentes. Sabendo disso, os valores de x e y na figura são respectivamente:
(A) 30° e 110°
(B) 80° e 150°
(C) 30° e 150°
(D) 80° e 110°
Resolução:
Note que x e 150° são suplementares, ou seja, x + 150° = 180° e x = 30°. Veja, também,
que y é ângulo externo ao triângulo. Logo, sua medida é igual à soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes. Daí, y = 80° + x = 80° + 30° = 110°.
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06. Um mesmo triângulo é retângulo e isósceles. Sabendo disso, qual das afirmações
abaixo é VERDADEIRA?
(A) Este triângulo possui dois ângulos retos.
(B) Este triângulo possui um ângulo reto e dois ângulos medindo 45°
(C) Este triângulo possui um ângulo reto e dois ângulos medindo 40°
(D) Este triângulo possui um ângulo reto e dois ângulos medindo 30°
Resolução:
Como o triângulo é retângulo e isósceles, ele possui um ângulo reto (90°) e dois
ângulos congruentes de 45°. Note que ele não poderia ter dois ângulos de 90°, pois já
teríamos somado 180°.
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Caro professor aplicador, o trabalho de pesquisa é uma oportunidade para
referenciar experiências. É composto de 2 questões onde o aluno responderá após
interagir com os colegas, assistir a videos, pesquisar na internet ou em literaturas
diversas.
É um momento no qual a busca do conhecimento é aguçada, trazendo o aluno
para um universo diferente, onde as respostas buscadas se tornam desafios, tirando
muitas vezes o aluno de um estado de acomodação e contribuindo para formar novos
pesquisadores.
Vamos à pesquisa, então!
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites que foram utilizados. I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar números racionais. _______________________________________________________________________
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II – Assista ao vídeo sugerido sobre triângulos, e escreva em quais estruturas ou objetos da sua casa ou escola você observa a aparição de triângulos com o fim de gerar rigidez. O vídeo está disponível em https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI
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Pesquisa
https://www.youtube.com/watch?v=9G3ga_2yAxI
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[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 7ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 8° ano. 1 ed. São Paulo: Ática,
2012.
[3] NAME, Miguel Asis. Vencendo com a matemática 7ª série. 1 ed. São Paulo: Editora
do Brasil, 2005.
Referências
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COORDENADORES DO PROJETO
Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Maurício Lessa
Coordenação de Áreas do Conhecimento
Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento
Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva
Ivete Silva de Oliveira Marília Silva
COORDENADORA DA EQUIPE
Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática
PROFESSORES ELABORADORES
Alan Jorge Ciqueira Gonçalves Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves
Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva
Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro
Jonas da Conceição Ricardo José Cláudio Araújo do Nascimento
Reginaldo Vandré Menezes da Mota Weverton Magno Ferreira de Castro
Equipe de Elaboração