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MATEMÁTICA, 12.ª CLASSE

PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

Capítulo 6

1

Pág. 197 Actividades de investigação

Mostremos, inicialmente, que a velocidade média em qualquer

trajecto feito em ambos os sentidos é de 4 km/h.

Seja uma subida de comprimento A km. A ida e volta nesse

trajecto, de comprimento 2A, demora 2

3 6 2 4

A A A A , logo a

velocidade média é de 4 km/h. Os cálculos são análogos no caso da

parte plana do percurso.

Como a viagem de ida e volta demora 4 horas, o percurso foi de

16 km, ou seja, a distância entre as cidades é de 8 km.

Pág. 202

1. Analisemos, em primeiro lugar, o que se passa com a

função 3f x x .

3 se 3

33 se 3

x xf x x

x x

3

3 03 lim 1

3x

xf

x

e

3

3 03 lim 1

3x

xf

x

e

Logo, 3 3f f e portanto não existe 3f .

f é derivável em \ {3}.

Considere-se agora a função:

s x x

0

0

0

00 lim

0

lim

1lim

x

x

x

xs

x

x

x

x

1

0

0

0

0

00 lim

0

lim

1lim

x

x

x

xs

x

x

x

x

1

0

A derivada de s para x = 0 não existe porque e

não são números reais.

s é derivável em \ {0}.

Considere-se agora a função: 2h x x

2: 0hD x x R

Dado que 2h x x x , a função h é derivável em

\ 0 .

Pág. 204

2.1 2 3f x x

0

0

0

0

limx x

f x f xf x

x x

0

0

0

2 3 2 3limx x

x x

x x

0

0

0

2 3 2 3limx x

x x

x x

0 0

00

0 0

22 2lim lim 2x x x x

x xx x

x x x x

2.2 ' :f

x 2y

Pág. 205 3.1 s (x) = – 3

s’ (x) = 0, a derivada de uma função constante é igual a

zero;

3.2 1

3t x ; t ' (x) = 0

3.3 2 2f x ; f ' (x) = 0

Pág. 206 4.1

4.2

4.3


PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO CAPÍTULO 6

2

4.4

Pág. 208

5.1 2

1y

x

2 2 1 3

2 3

1 22 2y x x x

x x

;

5.2

1

3y x

1 1 21

3 3 3

2

3

1 1 1 1

3 3 3y x x x

x

3 32 2

1 1 1

3 3x x

5.3 1

2y

x

1

2

1

2

y

x

1

21

2y x

1 1 31

2 2 21 1 1 1

2 2 2 4y x x x

3 3 32

1 1 1 1 1

4 4 4x xx

5.4

1 1

2 2

2 22

x x x xy

x

1 1 11

2 2 21 1 1

2 4 4y x x x

1

2

1 1 1

4 4 xx

Pág. 209

6.1 23y x

23 6y x x

6.2 3 25y x x

3 25y x x

15x2 + 2x

6.3 22 3y x

22 3 4 0 4y x x x

6.4 26 2 7y x x

26 2 7 12 2 0y x x x

= – 12x + 2

6.5 3 2

13 2

x xy x

3 2

13 2

x xy x

21 1

3 2 1 03 2

x x = – x2 + x + 1

6.6 4 3 23 52

xy x x x

4 3 23 52

xy x x x

= – 4 x3 + 3 x

2 – 6 x + 1

2

7.1 3 1y x

3 1y x

3 1' 3 0y x

3 1' 3y x

7.2 1 1

2 21 1

33y x x x

x

1 1

2 21

3y x x

1 11 1

2 21 1 1

2 3 2x x

1 3

2 21 1

2 6x x

3

1 1

2 6x x

7.3

13 3

3 32 21 1

2 2y x x x x

1 3

3 22y x x

1 31 1

3 21 1 3

3 2 2x x

3 1

2 21 3

3 4x x

3 2

1 3

43

x

x



3

7.4 2x x

y x x x xx x

1 1 3 3 3

22 2 2 2 22x x x x x x x

3

22y x

31

23

22

x

1

23x

3 x

7.5 1

2 1 2 123

3 2 3 3 2y x x x x xx

1

2 123 3 2y x x x

1

11 12

16 3 2 1

2x x x

3

223

6 22

x x x

23

3 26

2x

xx

7.6 2

1 11x xy x x x x

x

1 1

1 1 12 2x x x x x x x

1

12y x x x

1

112

11

2x x

3

221

12

x x

23

1 11

2 xx

7.7 3 2

3 4 2 4 4

4

1x xy x x x

x

1 2 4x x x

1 2 4y x x x

1 1 2 1 4 12 4x x x

2 3 52 4x x x

2 3 5

1 2 4

x x x

Pág. 211

8.1 1 2 3x x x

2 2 3x x x

Aplicando a regra da derivada do produto de funções:

2 2 3x x x

2 22 3 2 3x x x x x x

22 1 2 3 2 0x x x x

2 24 6 2 3 2 2x x x x x

= 6x2 – 10x + 3

8.2 4 3 1 2 3f g h j x x x x x

24 3 1 2 3x x x

3 212 4 2 3x x x

Aplicando a regra da derivada do produto de funções:

3 212 4 2 3x x x

3 2 3 212 4 2 3 12 4 2 3x x x x x x

2 3 236 8 2 3 12 4 0 3x x x x x

2 3 2 3 272 108 16 24 36 12x x x x x x

3 2144 108 16x x x

Logo, 0f g h j

=

3 2144 0 108 0 16 0 0

Pág. 212

9.1 1

,3

yx

2

1 3 1 3

3

x xy

x

2

0 1

3x

2

1

3x

9.2 22 1

xy

x

2 2

22

2 1 2 1

2 1

x x x xy

x

2

22

2 2

22

2 1 4 0

2 1

2 1 4

2 1

x x x

x

x x

x

2

22

2 1

2 1

x

x



4

9.3 2 2 1

xy

x x

2 2

22

2 1 2 1

2 1

x x x x x xy

x x

2

22

2 1 2 2

2 1

x x x x

x x

2 2

22

2 1 2 2

2 1

x x x x

x x

2

22

1

2 1

x

x x

2

22

1

1

x

x

3

1

1

x

x

9.4 2

2 3

1

xy

x

2 2

22

2 3 1 2 3 1

1

x x x xy

x

2

22

2 1 2 3 2

1

x x x

x

2 2

22

2 2 4 6

1

x x x

x

2

22

2 6 2

1

x x

x

9.5 2

3

1

1 3

xy

x

2 3 2 3

23

1 1 3 1 1 3

1 3

x x x xy

x

3 2 2

23

2 1 3 1 9

1 3

x x x x

x

4 4 2

23

2 6 9 9

1 3

x x x x

x

4 2

23

3 9 2

1 3

x x x

x

9.6 2

2

2 π

12

x xy

x

2 2

2 2

22

2 π 1 2 π 12 2

12

x xx x x x

yx

2

2

22

2 2 1 2 π2

12

xx x x x

x

3 2 3 2

22

2 2 2 π

12

x x x x x x

x

2

22

2 π 2

12

x x x

x

Pág. 213

10.1 5

2 1y x

4

5 2 1 2 1y x x

4

5 2 1 2 10 2 1x x

10.2 1

2 23y x

1

12 22

13 3

2y x x

1

2 21

3 22

x x

2 3

x

x

10.3 1

3 3 3 32 2y x x

1

13 33

12 2

3y x x

2

3 231

2 33

x x

2

22 2

x

x



5

10.4

22x

yx

2 2

2

2 2x x x xy

x

2

2

2 2 2 2x x x x

x

2 2

2

2 4 4 4x x x x

x

2

2

4x

x

10.5

23

3

xy

x

2 2

2

3 3 3 3

3

x x x xy

x

2

2

2 3 3 3 3

3

x x x x

x

2

2

2 6 3 3

3

x x x

x

2 2

2

2 6 6 18 6 9

3

x x x x x

x

2

2

6 27

3

x x

x

10.6

31

2

xy

x

21 1

32 2

x xy

x x

2

2

1 2 1 213

2 2

x x x xx

x x

2

2

1 2 13

2 2

x x x

x x

2

2

1 13

2 2

x

x x

2

4

3 1

2

x

x

10.7

3

1xy

x

1 1

2x x

yx x

2

2

1 112

x x x xx

x x

1

2

2

1 11

2

x x xx

x x

1

12

2

11 1 1

1 22

x x x xx

x x

2

11 2 1

2

xx

x x

x x

22

1 12

2 1

x x x

x xx x

2

2 3

2 11 x x

x x

3

2x

x

10.8

3

1

xy

x

3

31 1

x xy

x x

2

2

1 13

1 1

x x x xx

x x

1

22

2

1 1

31 1

x x xx

x x

1

22

2

11

23

1 1

x x xx

x x

32 2

4

33 3

2

1

xx x x

x

x

22

4

3 2

2 1

x x x

x x



6

11. 5

2 1f x x

5

0 1 1f

1 1 11 0,1

0 10f

f

Cálculos auxiliares

4 4

5 2 1 2 10 2 1f x x x

4

0 10 2 0 1 10f

Pág. 214

12.1 3ex

y

3 31

' e e3 3

x xx

y

12.2

1

3ex

y

1 1

3 31

' e e3

x x

y x

Pág. 215

13.1

1

3 xy

11 1

2 2

1 1 3 ln 3' ln 3 3 ln 3 3

xx xy

x x x

13.2 2 1

2x

xy

2 1

2 1' ln 2 2

xxy x

x

2 1

2

1ln 2 2 2

xxx

x

Pág. 216

14.1 ln 3y x

3 3 1

'3 3

xy

x x x

14.2 ln 3y x

3 3 1

'3 3

xy

x x x

14.3

ln 3 se 0ln 3

ln 3 se 0

x xy x

x x

Se x > 0:

3 3 1'

3 3

xy

x x x

Se x < 0:

3 3 1'

3 3

xy

x x x

Pág. 217

15.1 2

3log 3y x

2

2

2

3

3 ln 3

2

3 ln 3

xy

x

x

x

15.2 2

3log 3y x

1

2

1

2

11

2

1

2

ln 2

1

2

ln 2

1

2

ln 2

1

2 ln 2

x

y

x

x

x

x

x

x

15.3 1 2

2

3log

1y

x

2

2

3

1

3 1ln

21

xy

x

2 2

22

2

3 1 3 1

1

3 1ln

21

x x

x

x

22

2

6

1

3 1ln

21

x

x

x

2

2

2

6

1

3ln 2

1

x

x

x

2

22

6 1

3ln 2 1

x x

x

2

2

ln 2 1

x

x

Pág. 218

16.1 sin 3 1y x

' 3 1 cos 3 1y x x

3cos 3 1x



7

16.2 5sin 3y x

4' 5sin 3 3 cos 3y x x x

45sin 3 3cos 3x x

415sin 3 cos 3x x

16.3 23sin 1y x

' 3 2sin 1 1 cos 1y x x x

6sin 1 1 cos 1x x

6sin 1 cos 1x x

16.4 2

3sin 1y x

2 2

' 3 1 cos 1y x x

2

3 2 1 1 cos 1x x x

2

3 2 1 1 cos 1x x

2

6 1 cos 1x x

16.5 3sin 2sin 3y x x x

3 3' sin sin 2 sin 3y x x x x x

3 3 31 sin cos 2 3 cos 3x x x x x x

3 2 3sin 3 cos 2 3cos 3x x x x x

3 3 3sin 3 cos 6cos 3x x x x

17.1 2cos 5 7y x

2 2' 5 7 sin 5 7y x x

210 0 sin 5 7x x

210 sin 5 7x x

17.2 2cosy x

' 2cos cosy x x

2cos sinx x

2cos sinx x

sin 2x

17.3 3 3cosy x

2 3 3' 3cos cosy x x

2 3 3 33cos sinx x x

2 2 3 39 cos sinx x x

17.4 sin cosy x x

' sin cos sin cosy x x x x

cos cos sin sinx x x x

2 2cos sinx x

cos 2x

17.5 2 23cos 3 sin 3y x x

2

' 3 cos 3 2sin 3 sin 3y x x x

2 2

3 3 sin 3x x

2sin 3 3 cos 3x x x

2

6 3 sin 3 2sin 3 cos 3x x x x

Pág. 219 18.1 A velocidade, v, é a derivada da função s.

24,9 2 5d

v t t tdt

v (t) = – 9,8 t + 2

18.2 A aceleração, a, é a derivada da velocidade.

9,8 2d

a t tdt

a (t) = – 9,8

18.3 v (3) = – 9,8 × 3 + 2 a (3) = – 9,8 m/s2

v (3) = – 27,4 m/s

Pág. 220 1. O declive da recta r é igual a m = h’ (0).

Assim, 2 2ln 1h x x

1

21

xh x

x

2

1x

Logo, 2

0 20 1

h

Resposta : (D).



8

2.

22

2lim

6x

f x f

x x

2

2lim

2 3x

f x f

x x

2 2 2

2 1 1lim lim 2 lim

2 3 3x x x

f x ff

x x x

5 1 1

2 5 2

Resposta: (D).

3. A função velocidade é a derivada da função h, assim:

2220 5d

v t t tdt

v (t) = 220 – 10 t;

Logo, v (10) = 220 – 10 × 10

v (10) = 120

Resposta: (A).

4. ef x x

e 1ef x x

e 1ef x x

Resposta: (C).

5. 1f x g x

f x g x

Resposta: (D).

6. Vamos determinar uma equação da recta t:

y mx b

0 3 3

2 2 4m

substituindo na equação:

3

4y x b e como o ponto (– 2, 0) pertence à recta t:

3 3

0 24 2

b b

Logo, 3 3

4 2y x e

32

4f .

Vamos averiguar qual das opções verifica esta condição:

(A): 18

xf x

2 3

2 18 4

f .

Resposta: (A).

Pág. 221

1.1 Equação da recta r: 4 7y x .

O declive desta recta é – 4.

A recta s é tangente ao gráfico de f no ponto P de abcissa

17

4, daí que o declive desta recta é

17

4f

.

Como as rectas, r e s, são perpendiculares, vem:

17

4 14

f

, relação entre os declives de duas

rectas perpendiculares.

Donde, 17 1

'4 4

f

.

1.2 1 1y y m x x , onde 1

17

4x ;

1 3y e

17 1'

4 4m f

.

Substituindo na equação, vem:

1 17 1 17

3 34 4 4 16

y x y x

1 31

4 16y x

2.1 f a é igual ao valor do declive da recta tangente ao

gráfico de f no ponto de abcissa a, isto é, ao declive da

recta t:

3 0 3

0 5 5f a

2.2 Seja s a recta que passa pelo ponto de coordenadas (4, 0) e

é perpendicular à recta t, então:

:s y mx b , onde 5

3m (relação entre os declives

de duas rectas perpendiculares).

Como (4, 0), pertence à recta s, vem:

5 20

0 43 3

b b

Logo, 5 20

:3 3

s y x .

3.1 1 1y y m x x , onde:

1 1x ;

1 1 0f x f

1

1 ln 1 2' 1

1 2m f x f

.

Substituindo na equação, temos:

0 1 1 1y x y x .

3.2 Sim, pois toda a função com derivada finita num ponto é

contínua nesse ponto.



9

3.3 1 ln 2

2

xf x

x

2

1 ln 2 2 1 ln 2 2

2

x x x x

x

2

12 1 ln 2 1

2

2

x xx

x

2 2

1 1 ln 2 ln 2

2 2

x x

x x

Daí que

2

ln 2 2 ln 42

162 2f

2ln 2 2 ln 2

16 16

ln 2

8

4.1 e , 0BtQ t A t

00 e B tQ A A

Significado: Inicialmente, isto é, para t = 0, a quantidade

de qualquer substância radioativa é igual a A.

4.2 O gráfico de Q tem uma assimptota horizontal se:

limt

Q t a

, com aR

lim lim e 0Bt

t tQ t A

, pois

lim e 0Bt

t

Daí que y = 0 é uma assimptota horizontal do gráfico de Q.

Significado: com o decorrer do tempo a quantidade Q, de

qualquer substância radioativa tende a ser igual a zero.

4.3 ' e , 0BtQ t AB t

Q e Q’ são directamente proporcionais se

'

Q t

Q tfor

constante.

e 1

' e

Bt

Bt

Q t A

Q t BAB

, logo Q e Q’ são directamente

proporcionais.

4.4 01 10 e e

2 2

BtQ t Q A A

1

e2

BtA A 1

e2

Bt

1

ln2

Bt

ln 2Bt

ln 2

tB

c. q. m.

4.5

0

1010

2000 200 e 200

50e10 50 e 50

200

BB

AQ A

Q A

10

200200

1110 lne

44

B

AA

B

2

200200

ln 210 ln 4

10

AA

B B

200 200

2 ln 2 ln 2

10 5

A A

B B

Pág. 223

1.1 Se ,f x a a R

num intervalo E, para todos os

números reais b e c de E, se b < c então f (b) ≥ f (c) e

f (b) ≤ f (c), dado que f (b) = f (c) = a.

1.2 a) [a, b]

b) [a, b] e [c, d]

c) [d, e]

d) [b, c]

Pág. 226

2.1. 25 6 2f x x x

' 12 2f x x

1

' 0 12 2 06

f x x x

Assim, f é estritamente crescente em 1

,6

e estritamente decrescente em 1

,6

.

2.2. 2

31f x x

2 1

13 3

2 2'

3 3f x x x

3

2'

3f x

x

' 0f não existe

x 1

6

f ' (x) + 0 –

f (x) 1

6f



10

Sinal de f’ e monotonia de f:

Assim, f é estritamente crescente em , 0

e estritamente decrescente em 0, .

2.3. e xf x x

' e xf x x

e ex xx x

e 1x x

' 0 e 0 1 0xf x x

e 0 1x x 1x e 0,x x

Assim, f é estritamente crescente em ,1

e estritamente decrescente em 1, .

2.4. lnf x x x ; fD R

lnf x x x

ln lnx x x x

1

ln x xx

ln 1x

0 ln 1 0f x x

1 1ln 1 e

ex x x

Assim, f é estritamente decrescente em 1

0,e

e estritamente crescente em 1

,e

.

Pág. 228

3.1. 23 10 7f x x x em [–1, 4]

' 6 10f x x

5

' 0 6 10 03

f x x x

Como a derivada existe para x , os únicos pontos

críticos são os que anulam a função derivada, ou seja,

5

3.

Calcule-se: 5

, 13

f f

e 4f

5 4

3 3f

; 1 20f ; 4 15f

Máximo: 20

Mínimo: 4

3

3.2. 212

2f x x x em [0, 6[

' 2f x x

' 0 2 0 2f x x x

Como a derivada existe para xR , os únicos pontos

críticos são os que anulam a função derivada, ou seja,

2.

Calcule-se: 0f e 2f

0 0f

2 2f

6

lim 6 0x

f x f

Máximo: não tem

Mínimo: – 2.

x 0 2 6

f ' (x) – 2 – 0 +

f (x) 0 – 2

x – 1 5

3 4

f' (x) – 16 – 0 + 14

f (x) 20 4

3 15

x 0 1

e

f' (x) – 0 +

f (x) 1

ef

x 1

f ' (x) + 0 –

f (x) 1f

x 0

f' (x) + –

f (x) 0f



11

3.3. e xf x x em ]– 1, e]

e ex xf x x x

e ex xx

e 1x x

' 0 e 1 0 e 0 1 1x xf x x x x

1 11 1 e

ef

e 1 e

e

ee e e e

ef

1

lim e ex

f x f

Máximo: 1

e

Mínimo: não tem.

3.4. ln

xf x

x em [2, e]

2

' ln ln ''

ln

x x x xf x

x

2

ln 1

ln

x

x

2

ln 1' 0 0

ln

xf x

x

2ln 1 0 ln 0x x e 1x x

ex

22

ln 2f ; e ef

Máximo:

2

ln 2

Mínimo: e

Pág. 231

4.1. 2 3 1f x x x

' 2 3f x x

3

' 0 2 3 02

f x x x

A função tem um único extremo relativo.

3

2f

é o máximo da função.

23 3 3 13

3 12 2 2 4

f

4.2. 2 34 20 2g t t t t

2' 20 2 6g t t t

2' 0 20 2 6 0g t t t

2 4 4 6 20

2 6t

2 484

12t

2 22

12t

2 22

12t

20

12t

24

12t

5

3t 2t

A função g tem dois extremos relativos.

2 32g é o máximo da função e

5 467

3 27g

é mínimo relativo da função de g.

x 2 e

f' (x) f' (2) – 0

f (x)

2

ln 2

e

t – 2 5

3

g' (t) + 0 – 0 +

g (t) 32 467

27

x 3

2

f ' (x) + 0 –

f (x) 3

2f

x – 1 1 e

f ' (x) + 0 – f ' (e)

f (x) 1

e

f (e)



12

4.3. 3 4 32 2f t t t t t

3 2' 4 6f t t t

3 2 2' 0 4 6 0 4 6 0f t t t t t

2 30 4 6 0 0

2t t t t

A função f tem um mínimo para 3

2t e esse mínimo é:

23 3 3 27 1 27

22 2 2 8 2 16

f

4.4. 2 2e xf x x

2 2 2' 2 e 2ex xf x x x

2 2 22 e 2 ex xx x 2 22 e ex xx x

2' 0 2 e 1 0xf x x x

22 0 e 0 1 0xx x 0 1x x

A função f tem dois extremos relativos.

0f é o mínimo da função e 1f é o máximo.

Mínimo: 0 0f ; Máximo: 2

11

ef .

4.5. ln t

f tt

2 2

1ln 1 1 ln

'

t t ttf tt t

2

1 ln' 0 0

tf t

t

21 ln 0 0t t

ln 1 0t t

et

A função f tem um máximo que é ef .

Máximo: 1

ee

f .

Pág. 234

5. 2exf x x x

2 2' e ' e 'x xf x x x x x

2e e 2 1x xx x x

2e 2 1x x x x

2e 1x x x

2 2'' e ' 1 e 1 'x xf x x x x x

2e 1 e 2 1x xx x

2e 1 2 1x x x x

2e 3x x x

2' 0 e 3 0xf x x x

2e 0 3 0x x x

e 0 3 0x x x

e 0 0 3x x x

0 3x x

O gráfico de f tem a concavidade virada para baixo em

]– 3, 0[ e a concavidade virada para cima em

, 3 e em 0, .

Os pontos 3, 3f e 0, 0f são pontos de

inflexão do gráfico de f.

t 0 e

f ' (t) + 0 –

f (t) 1e

x – 3 0

f '' (x) + 0 – 0 +

f (x) 3f

f (0)

x 0 1

f ' (x) – 0 + 0 –

f (x) 0 2e

t 0 3

2

f ' (t) – + – 0 +

f (t) 0 27

16



13

Pág. 235

6.1. 1 ln

'2

xf x

x

2

1 ln '2 1 ln 2 '''

4

x x x xf x

x

2

12 1 ln 2

4

x xx

x

2

2 2 1ln

4

x

x

2

ln'' 0 0

2

xf x

x

2ln 0 2 0x x

1 0x x

O gráfico de f tem a concavidade virada para cima em

]0, 1[ e a concavidade virada para baixo em 1, .

O ponto 0, 1f é um ponto de inflexão do gráfico

de f.

6.2. O segundo gráfico, pois – 1 é zero da função e esta

muda de sinal neste ponto.

Pág. 237

7. 2 3lnf x x x ; fD R

1

' 2 3f xx

3

2x

3 3 3

' 0 2 0 22

f x xx x

A função tem um mínimo relativo.

3 3 3 3

2 3ln 3 3ln2 2 2 2

f

é o mínimo de f.

Pág. 240

8. ex

f xx

(i) Domínio: \ 0fD

(ii) Continuidade:

A função f é contínua no seu domínio, isto é,

em \ {0}.

(iii) Intersecção com os eixos:

Intersecção com o eixo Ox:

e0 e 0 0

xx x

x

Equação impossível, pois e 0,x x

Então, o gráfico de f não intersecta o eixo Ox.

Intersecção com o eixo Oy:

e

0x

y xx , impossível pois \ 0fD .

O gráfico de f também não intersecta o eixo Oy.

(iv) Simetria: e x

f xx

; ex

f xx

A função f não é par nem ímpar. O gráfico de f

não é simétrico relativamente ao eixo Oy nem à

origem.

(v) Monotonia e extremos:

2

e ' e ''

x xx xf x

x

2 2

e 1e exx x xx

x x

2

e 1' 0 0 0

x xf

x

e 1 0 0x x x

e 0 1 0x x x

1 0 1x x x

A função f é decrescente em , 0 e em

]0, 1] e crescente em 1, .

1 ef é um mínimo relativo da função f.

x 0 1

f' (x) – – 0 +

f (x) e

x 0 3

2

f ' (x) – 0 +

f (x) 3

2f

x 0 1

f '' (x) + 0 –

f (x) f (1)



14

(vi) Concavidade e pontos de inflexão:

2 2

4

e 1 ' e 1 '''

x xx x x xf x

x

2

4

e ' 1 e 1 ' e 1 2x x xx x x x x

x

2

4

e 1 e e 1 2x x xx x x x

x

2 2

4

e 1 e e 1 2x x xx x x x x

x

2

3

e 2 2x x x

x

'' 0f x 2 32 2 0 0x x x

x

f '' não tem zeros.

'' 0f x se 0 '' 0x f x se x > 0; então,

o gráfico de f tem a concavidade virada para

baixo em , 0 e virada para cima em

0, e não tem pontos de inflexão.

(vii) Assimptotas:

Verticais

20

e 1lim

0

x

x x

0

e 1lim

0

x

x x

A recta da equação x = 0 é assimptota vertical

(bilateral) do gráfico de f.

Não-verticais

2

elim lim

x

x x

f xm

x x (limite notável)

Como m não é finito, não existe assimptota não

vertical do gráfico de f, quando x .

2

elim lim 0

x

x x

f xm

x x

e

lim lim 0x

x xb f x mx

x

Logo, a recta da equação y = 0 é uma

assimptota horizontal do gráfico de f.

(viii) Contradomínio: ´ ,0 e,fD .

Pág. 242

9. lnf x x x

(i) Domínio:

: 0fD x x R

(ii) Continuidade:

A função é contínua no seu domínio.

(iii) Simetria:

Como o domínio é , a função não é par nem

ímpar.

(iv) Monotonia e extremos:

1

' 1f xx

1 1

' 0 1 0 1 1f x xx x

A função f é decrescente em ]0, 1] e crescente

em 1, .

1 1f . O mínimo relativo da função f é 1.

(v) Concavidades e pontos de inflexão:

1

'' 1f xx

2

1''f x

x

f não tem zeros. '' 0, ff x x D . O

gráfico de f tem a concavidade virada para cima

em todo o seu domínio. Não tem pontos de

inflexão.

x 0 1

f' (x) – 0 +

f (x) 1



15

(vi) Assimptotas:

Verticais

0 0

lim lim ln 0x x

f x x x

A recta da equação x = 0 é assimptota vertical

do gráfico de f.

Não-verticais

lnlim limx x

f x x xm

x x

lnlim lim 1 0 1x x

x x

x x

lim lim lnx x

b f x mx x x x

lim lnx

x

Como b , então o gráfico de f não tem

assimptotas não-verticais.

(vii) Contradomínio:

1,fD

Pág. 243

10.1. a) sine xf x

sin' sin 'e xf x x

sin' cos e xf x x

sin' 0 cos e 0xf x x

sincos 0 e 0xx sine 0,x x

π

π,2

x k k

Como 0, 2πx , vem: π

2x ou

3π

2x

Por análise do quadro, facilmente se verifica que:

f tem um mínimo para x = 0 que é f (0) = 1 e tem outro

para 3π

2x que é 13π 1

e2 e

f

.

Tem também dois máximos para π

2x e 2πx , que

são respetivamente, π

e2

f

e 2π 1f .

b) O contradomínio de f é: 1

, ee

fD

.

10.2. a) e cosxf x x

' e 'cos e cos 'x xf x x x

e cos e sinx xx x e cos e sinx xx x

e cos sinx x x

' 0 e cos sin 0xf x x x

e 0 cos sin 0x x x e 0,x x

πcos sin π,

4x x x k k

Como 3π

2π,2

x

, vem:

7π

4x e

3π

4x e

π

4x e

5π

4x .

Extremos: Tem mínimos para x = – 2π, 3π

4x e

5π

4x que são:

2π 2π

2π

12π e cos 2π e 1

ef .

3π 3π

4 4

3π

4

3π 3π 2 2e cos e

4 4 22e

f

5π5π 5π 44 4

5π 5π 2 2ee cos e

4 4 2 2f

x 2π 7π

4

3π

4

π

4

5π

4

3π

2

'f x 0 + 0 – 0 + 0 – 0 + +

f x

x 0 0 π

2 3π

2 2π

cos x + 0 – 0 +

sine x + + + + +

'f x + 0 – 0 +

f x



16

Tem máximos para 7π

4x ,

π

4x e

3π

2x que são

respectivamente:

7π 7π

4 4

7π

4

7π 7π 2 2e cos e

4 4 22e

f

ππ π 44 4

π π 2 2 ee cos e

4 4 2 2f

3π

23π 3π

e cos 02 2

f

b) Para determinar os pontos de inflexão, calcula-

se a segunda derivada:

' e cos sinxf x x x

' (e ) cos sin (e ) cos sinx xf x x x x x

e cos sin e sin cosx xf x x x x x

e cos e sin e sin e cosx x x xx x x x

2e sinx x

'' 0 2e sin 0xf x x

2e 0 sin 0x x e 0,x x

sin 0x π,x k k

Como 3π

2π,2

x

, vem:

2π, π, 0, πx x x x

O gráfico da função tem pontos de inflexão para

πx , 0x e πx

Determinem-se as ordenadas desses pontos:

π π

π

1π e cos π e 1

ef

00 e cos 0 1 1 1f

π π ππ e cos π e 1 ef

Pontos de inflexão: π

1π,

e

, (0, 1) e ππ, e .

c) Esboço gráfico de f:

Pág. 245

11. Pretende-se determinar x de modo que a capacidade da

caleira seja máxima.

A capacidade da caleira é máxima quando for máxima

a área da secção rectangular de dimensões: x e 28 – 2x.

Seja: 28 2f x x x

22 28f x x x

' 4 28f x x

' 0 4 28 0 7f x x x

A função f tem um máximo relativo para x = 7. Logo,

devem ser dobrados 7 cm de cada lado da folha para

que a caleira tenha capacidade máxima.

Pág. 246 12. Seja:

r : raio da base do cilindro, em cm.

h : altura do cilindro, em cm.

Área da base: 2πbA r , em cm2.

Área da superfície lateral: 2πlA r h , em cm2.

Volume do cilindro: 2πV r h , em cm3.

Sabemos que 48πV , em cm3.

Então:

2

2

4848π πr h h

r (em cm)

O custo C em função de r é dado, em meticais, por:

2 2

2

48 2 2 32π π π

10000 10000 1000C r r r r

r

21 192π5π

10000C r r

r

x 0 7

f ' (x) + 0 –

f (x) f (7)

x 2π – π 0 π 3

2

''f x 0 – 0 + 0 – 0 +

f x



17

x 20

f ' (x) – 0 +

f (x) f (20)

2

1 192π' 10π

1000C r r

r

2

192π' 0 10π 0C r r

r

3

2

10π 192π0

r

r

3 210π 192π 0 0r r

3 192π0

10r r

r

3 19, 2 0r r

3 19, 2 2,68r cm

2

3

86,69

19, 2

h cm

Logo, o custo mínimo dos materiais para construir as

embalagens cilíndricas obtém-se para cilindros com

2,68 cm de raio da base e 6,69 cm de altura.

Pág. 247

13. Sabemos que a hipotenusa do triângulo rectângulo

inscrito no círculo é um diâmetro.

20AB cm

AC x cm

BC y cm

A área do triângulo rectângulo é igual ao semiproduto

dos catetos, ou seja:

2

xyA

Mas pelo Teorema de Pitágoras, vem:

2 2 2 2 220 400x y x y

2400y x e y > 0, então:

2400

2

x xA

21' 400

2A x x

2

2

1 21 400

2 2 400x x

x

2

2 2

2

4001

2 400

x x

x

2

2

400 2

2 400

x

x

2

2

200

400

x

x

2 2' 0 200 0 400 0A x x

200 20x x 10 2x

Como x > 0, 10 2x

A função tem um máximo para 10 2x .

Então, o triângulo rectângulo de área máxima inscrito

num círculo de raio 10 cm tem dimensões:

2

10 2 400 10 2 10 2x y

Catetos: 10 2 cm; hipotenusa: 20 cm.

O triângulo, quanto aos lados, classifica-se como isósceles.

Pág. 248

14.1. 2 0,1 0,1 29 e ex xf x

2 0,1 0,1 2' 9 e ' e 'x xf x

2 0,1 0,1 29 0,1e 1ex x

2 0,1 0,1 20,9e 0,9ex x

2 0,1 0,1 20 0,9e 0,9e 0x xf x

2 0,1 0,1 2e e 2 0,1 0,1 2x x x x

40, 2 4 20

0, 2x x x

É no ponto de abcissa 20 que é mínima a função f.

Como a distância A e B é 40 m e 40 : 2 = 20, a distância

mínima de um ponto da linha DC obtém-se no ponto

em que a linha dista igualmente de A e de B.

x 0 10 2 20

A’ + 0 –

A

r 0 3 19,2

C' (r) – 0 +

C (r)



18

14.2. 2 0,1 0 0,1 0 2 2 20 9 e e 9 e ef

2 0,1 40 0,1/40 2 2 4 4 240 9 e e 9 e ef

2 29 e e

Como f (0) = f (40), então AD BC .

Pág. 249

15.1. 2ln 16f x x 4, 4fD

2

2 2

16 ' 2'

16 16

x xf x

x x

2' 0 2 0 16 0f x x x

0 4x x

Tal como a figura sugere, é no ponto de abcissa zero

que a altura do arco é máxima.

15.2. 2' 0 ln 16 0f x x

2 216 1 15x x

15 15x x

A distância de A a B é igual à soma dos valores

absolutos dos zeros da função f, ou seja, 2 15AB .

Pág. 250 16.

De acordo com a figura, o João terá de percorrer a

distância d1 + d2 no menor tempo possível.

2

1 36d x e d2 = 4 – x

O tempo T de viagem é dado por:

236 4

4 8

x xT x

Calcule-se a derivada da função T:

12 236 4

'4 8

x xT x

1

2 2

2

1 1 1 136 2

4 2 8 84 36

xx x

x

2

1' 0 0

84 36

xT x

x

2 2 28 4 36 4 36x x x x

2 23 36 12 2 3x x x

Como x > 0, vem 2 3 3, 46x .

A única solução possível seria o João dirigir-se ao

ponto P, que dista 3, 46 km do ponto F e, em seguida,

dirigir-se por terra para o ponto N.

Pág. 251

17. Pretendemos determinar o mínimo da função.

e e

2

x x

f x

; e e

'2

x x

f x

e e

' 0 0 e e 02

x xx xf x

e e 2 0 0x x x x x x

A função é mínima para x = 0.

Assim, 0 0e e

0 12

f

A distância mínima da rampa ao solo representado na

figura pelo eixo das abcissas é igual a 1.

17.2. Se AB = 4 m, então a abcissa de A é – 2.

2 2e e

22

AD f

.

Pág. 252 1.

Sabemos que 2x + y = 60

60

2

yx

Por outro lado:

Área =

22

4

2

yy x

2 260

2 4

2

y y

A y

3600 120

4

y y

x 0

f ' (x) – 0 +

f (x) 1



19

A função A tem um máximo para y = 20, que é,

aproximadamente, 173.

Resposta: (B).

2. 1

lnf x xx

2 2

1 1 1'

xf x

x x x

Pretendemos determinar o máximo de 'f x , logo:

2 2

4

1 ' 1 '''

x x x xf x

x

2 2

4 4

2 1 2''

x x x x xf x

x x

2 4'' 0 2 0 0f x x x x

Pretendemos estudar a função no intervalo [1, 2e]:

A função f ' tem um máximo para x = 2.

Então, uma equação da recta tangente ao gráfico de f

que tem declive máximo é:

2 ' 2 2y f f x

1 1

ln 2 22 4

y x

1ln 2

4y x

Resposta: (A).

3. Comparando a função f com a sua derivada

( ' 0f x f é crescente e ' 0f x f é

decrescente) e com a função e a sua segunda derivada

( '' 0f x o gráfico tem a concavidade virada para

cima e '' 0f x o gráfico tem a concavidade

virada para baixo) conclui-se que a resposta é (A).

Resposta: (A)

4. Resposta: (D).

Sendo o domínio de f, c é necessariamente ponto de

acumulação do domínio.

5. ' 1f x x

' 0 1 0

1

f x x

x

A função f tem um máximo para x = 1.

Resposta: (D).

6. ' e 1xf x

' 0 e 1 0

e 1

x

x

f x

e 1x

Equação impossível

A função f ’ não se anula, então a função f não tem

extremos.

Por outro lado, ' 0,f x x IR , daí que a função f

seja estritamente decrescente em .

Resposta correcta: (C).

Pág. 253 1.1. Por observação e análise do gráfico de f ', temos:

A função f é decrescente no intervalo , 2 e

crescente em 2, .

A função f tem um mínimo relativo para x = 2.

1.2. Expressão analítica de f :

y mx b , 6b (ordenada na origem)

m = 3 (declive)

Logo, 3 6y x

Donde ' 3 6f x x

'' 3f x

Como ''f x não se anula, então a função f não tem

qualquer ponto de inflexão.

x 2

f x – 0 +

x 1

( )f x + 0 –

f x 1f

x 1 2 2e

( )f x 1 + 0 –

( )f x



20

1.3. O gráfico de f tem a concavidade virada para cima, uma

vez que '' 3 0,f x x R .

2. 1

1ex

xf x

\ 1fD

Assimptotas verticais:

1

1

1lim e

x

x

x

e

1

1

1lim e 0

x

x

x

A recta da equação x = 1 é uma assimptota vertical

(unilateral).

Assimptotas não-verticais: y mx b

1

1elim lim 0

x

x

x x

f xm

x x

1

1lim lim e ex

x

x xb f x mx

1

1elim lim 0

x

x

x x

f xm

x x

1

1lim lim e ex

x

x xb f x mx

Logo, a recta da equação y = e é uma assimptota

horizontal, do gráfico de f.

Extremos:

1

11

' e1

x

xx

f xx

1

1

2

2' e

1

x

xf xx

' 0, \ 1f x R , então a função f é decrescente

em ,1 e em 1, e não tem extremos.

Pontos de inflexão:

1 1

1 1

2 2

2 2'' e e

1 1

x x

x xf xx x

1 1

1 1

4 2 2

4 1 2 2e e

1 1 1

x x

x xx

x x x

11 1 11 1

4 4 4

4 1 4 4 ee e

1 1 1

xx x xx x

x x

x x x

'' 0 0f x x

A função tem um ponto de inflexão para x = 0, sendo

esse o ponto de coordenadas 1

0,e

.

3. Seja o volume da caixa, em função de x, dado por;

V (x) = área da base × altura

30 2 25 2V x x x x

2 3750 110 4V x x x x

212 220 750V x x x

220 48400 36000

' 024

V x x

220 12 400

24x

220 20 31

24x

55 5 31 55 5 31

6 6x

55 5 31

6x

, pois 0 < x < 12,5

A função V tem um máximo para

55 5 314,53

6x

.

Assim, a caixa tem capacidade máxima quando a

dimensão dos cantos a cortar for igual a 4,53 cm.

4.

Sabemos que o agricultor dispõe de 1680 metros de

rede para vedar dois terrenos: um rectangular e outro

quadrangular, como os ilustrados nas figuras acima

x 0 55 5 31

6

12,5

V x + 0 –

V(x)

x 0

f x – 0 +

f (x)



21

Assim:

1680 61680 6 4

4

xx y y

840 3

2

xy

Pretendemos determinar as dimensões dos terrenos de

modo a maximizar a área dos dois espaços, daí que:

2 22A x y

Mas, 840 3

2

xy

, donde:

2

2 840 32

2

xA x

2

2 705600 5040 92

4

x xA x

228 705600 5040 9

4

x x x

217 5040 705600

4

x x

34 5040'

4

xA

8,5 1260x

' 0 8,5 1260 0

2520

17

A x

x

A função A tem um mínimo relativo para 2520

17x , ou

seja, a área dos dois espaços é mínima quando a medida

da largura do rectângulo é igual a 2520

17.

Rectangular:

2520

17m de largura e

5040

17m de comprimento.

Quadrangular:

2520840 3

336017

2 17

m de lado.

5. O volume do cone é igual à terça parte do

produto da área da base pela altura.

21π 10 60

3V = 200π

O volume do cilindro é igual ao produto da área da base

pela altura.

Os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes (têm

dois ângulos geometricamente iguais). Então os

comprimentos dos seus lados são proporcionais, isto é:

60 60

10 60 6010

hh r

r

600 10 60

60 6

h hr r

ou h = 60 – 6 r, sendo r o raio do cilindro e h a sua

altura.

Volume do cilindro = área da base × altura

2πV r h

2 2 3π 60 6 60π 60πV r r r r

2' 120π 18πV r r

2' 0 120π 18π 0V r r

2π 60 9 0r r 2π 0 60 9 0r r

60

2π 09

r r 20

03

r r

20

3r , pois r > 0

r 0 20

3

( )V r + 0 –

V (r)

x 0 2520

17

A x – 0 +

A(x)



22

A função V tem um máximo quando 20

3r .

Assim, o volume máximo do cilindro é:

2 320 20

60π 6π3 3

V

400 8000

60π 6π9 27

V

72000π 48000π

27V

8000π

9V

O volume máximo do cilindro é 8000π

9cm3.

6. A função que traduz o problema é dada, em função de

n, número de clientes perdidos, por:

30 200 10 200 10f n n n n

210 1000 6000f n n n

' 20 100f n n

' 0 20 100 0 5f n n n

A função f é máxima para n = 5.

Assim, para que o lucro obtido pelo proprietário do

restaurante seja máximo, cada refeição deve custar

200 10 5 250 meticais.

n 0 5

( )f n + 0 –

f(n) 6000 6250

matemÁtica, 12.ª classe propostas de ...matemÁtica, 12.ª classe propostas de resoluÇÃo...

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