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PROF.DARCY MATEMTICA 2011 - DESAFIOS EM NMEROS COMPLEXOS

COMPLEXOS LISTA DESAFIO

01. (ELITE) Sendo n um mltiplo de 4, demonstre que

2 3 2 .1 2. 3. 4. ... ( 1).2

n n ni i i n i + + + + + + + = i 02. (ELITE) Utilizando propriedades dos nmeros complexos, prove que:

a) 2 21 .cos1 .cos .cos2 ...

1 2 .cosaa a

a a + + + = +

b) 2 2.sin.sin .sin2 ...

1 2 .cosaa aa a

+ + = +

c) sin sin2 sin3 2sin...2 4 8 5 4cos + + + =

03. (ELITE) Seja uma raiz primitiva da n-sima da unidade ( 1 ). Prove que . 2 11 ... n+ + + + = 0

04. (ELITE) Seja uma raiz primitiva de grau 2n da unidade ( 1 ). a) Prove que . 1n = b) Prove que 2 1 21 ...

1n+ + + =

05. (ELITE) Prove que 2 11 2 3 ...1

n nnw

+ + + + = , onde uma n-sima raiz da unidade ( ). 1

06. (LEDERMANN) Os pontos A e B esto representados pelos nmeros complexos e , respectivamente. Encontre um ponto

1 3a i= 3 4b = + iX no eixo real positivo tal que AXB um

tringulo retngulo com o ngulo reto em X .

07. (LEDERMANN) Prove que os pontos so colineares, se e somente se existirem nmeros reais , no todos nulos, tal que e .

1 2 3, ,z z z

1 2 3, , 1 1 2 2 3 3 0z z z + + = 1 2 3 0 + + =

08. (LEDERMANN) Mostre que as equaes 0zz az az + + + = , onde e so reais e complexo, representam um crculo se e

a

0 a > , e que representam uma reta se e 0 = 0a .

09. (LEDERMANN) Prove que o quadriltero pode ser inscrito em uma circunferncia se e somente se a razo

cruzada

1 2 3 4, , ,z z z z

{ } ( ) ( )( ) ( )1 2 3 41 3 2 4 1 4 3 2, ; ,z z z z

z z z zz z z z = real.

10. (LEDERMANN) Mostre que se , a equao 0 z az b =

representa um crculo que contm a ou b em seu interior sendo ou . 1 < 1 >

11. (LEDERMANN) Mostre que os nmeros complexos , ,o u vcorrespondem aos vrtices de um tringulo equiltero se e somente se . u v uv+ =

12. (LEDERMANN) Deduza do exerccio 11 que os nmeros complexos correspondem aos vrtices de um tringulo

equiltero se e somente se . 1 2 3, ,z z z

2 2 21 2 3 2 3 3 1 1z z z z z z z z z+ + = + + 2

13. (LEDERMANN) Expresse em fatores lineares e quadrticos 5 1z +com coeficientes reais. Deduza que 4 sen cos 1

10 5 = .

14. (LEDERMANN) Mostre que as razes de so 6 6( 1) ( 1) 0z z + + = cot

2i

I , 5cot

2i

I , . i

15. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos tal que 1 2 3, ,z z z

1 2 3 0z z z r= = = > e . 1 2 3 0z z z+ +

Prove que 1 2 2 3 3 11 2 3

z z z z z z rz z z+ + =+ +

16. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos com 1 2,z z

1 2 1z z= = . Prove que 1 2 1 21 1 1z z z z 2+ + + + + .

17. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos tais que 1 2 3, ,z z z

1) 1 2 3 1z z z= = = ; 2) 1 2 3 0z z z+ + ; 3) 2 2 21 2 3 0z z z+ + = . Prove que para todos os inteiros , 2n { }1 2 3 0,1, 2, 3n n nz z z+ + .

18. (TITU ANDREESCU) Seja z um nmero complexo tais que

\z e 2

2

11

z zz z

+ + + . Prove que 1z = .

19. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos tais que 1 2 3, ,z z z

1 2 3 0z z z+ + e 1 2 3 .z z z= = Prove que :

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1Re .Re 0z z z z z z

+ + + + .

20. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos tais 1 2 3, ,z z z

que 1 2 3 1 2 2 3 3 1 0z z z z z z z z z+ + = + + = . Prove que 1 2 3z z z= = .

21. (TITU ANDREESCU) Prove que para todos os nmeros complexos z com 1z = a seguinte desigualdade 22 1 1 4z z + + vlida.

22. (TITU ANDREESCU) Sejam e nmeros complexos distintos

tal que

x y

x y= . Prove que 12

x y x + < .

23. (TITU ANDREESCU) Seja tal que *1 2,z z 1 2 1 2z z z z+ = = . Calcule 1

2

zz

.

24. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros complexos. Prove

que 1 2 3, ,z z z

1 2 3 0z z z+ + = se e somente se 1 2 3z z z= + , 2 3z z z= + 1 e 3 1 2z z z= + .

25. (TITU ANDREESCU) Encontre as imagens geomtricas dos nmeros complexos , onde z .Re( ) .Im( )n nz z z z= , n um inteiro.

26. (TITU ANDREESCU) Sejam , nmeros reais com a b 1a b+ = e sejam nmeros complexos com 1 2,z z 1 2 1z z= = . Prove

que 1 21 2 2z z

az bz++ .

27. (TITU ANDREESCU) Sejam inteiros positivos e sejam ,k n

1 2,..., nz z z nmeros complexos no nulos com os mesmos mdulos tal

que 1 2 ... 0k k k

nz z z+ + + = . Prove que 1 2

1 1 1... 0k k knz z z

+ + + = .

28. (TITU ANDREESCU) Calcule a soma . 3 1

0

6( 1) 3

2 1

nk k

k

nk

=

+

29. (TITU ANDREESCU) Calcule a soma , onde 0

cosn

nk

nS k

k= =

[0, ] .

30. (TITU ANDREESCU) Prove a identidade:

2 2

... ... 20 2 4 1 3 5

nn n n n n n

+ + + = .

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31. (TITU ANDREESCU) Considere os inteiros , onde : , ,n n na b c

...,0 3 6

...,1 4 7

....2 5 8

n

n

n

n n na

n n nb

n n nc

= + + + = + + + = + + +

Mostre que: 1) . 3 3 3 3 2nn n n n n na b c a b c+ + =2) . 2 2 2 1n n n n n n n n na b c a b b c c a+ + =3) Dois dos inteiros so iguais e o terceiro difere-se por 1. , ,n n na b c

t32. (TITU ANDREESCU) Calcule a soma onde 2

0cos

n

nk

nS k

k= =

. [0, ]t

33. (TITU ANDREESCU) Prove que as seguintes identidades:

1) 1

21... 2 2 cos4 40 4 8

nnn n n n+ + + + = +

.

2) 1 11 ( 5 1) ( 5 1) 2... 2 cos 2 cos5 2 5 20 5 10

n nn n

n n

n n n n n

+ + + + = + + + 5

34. (TITU ANDREESCU) Considere os inteiros , ,n n nA B C definidos por:

...,0 3 6

...,1 4 7

....2 5 8

n

n

n

n n nA

n n nB

n n nC

= + = + +

= + +

Prove que as seguintes identidades so vlidas: 1) 2 2 2 3 ;nn n n n n n n n nA B C A B B C C A+ + =2) 2 2 3 .nn n n nA A B B

+ + = 1

35. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros reais tais que: , ,x y zsen sen sen 0x y z+ + = e . cos cos cos 0x y z+ + =Prove que e . sen2 sen2 sen2 0x y z+ + = cos2 cos2 cos2 0x y z+ + =

36. (TITU ANDREESCU) Prove que 3cos10 cos50 cos702

+ + = .

37. (TITU ANDREESCU) Calcule as somas e 1

cosn

k

kS q k

== x

x1

senn

k

kT q k

== .

38. (USAMO) Prove que a mdia dos nmeros , ( )senk k ( )2, 4, 6, ...,180k = . ( )cotg 1

39. (CRUX MATHEMATICORUM) Encontre o valor a soma das duas sries seguintes de termos para : n 30 = i) 2 3 1

cos cos(2 ) cos(3 ) cos(( 1) )1 ...cos cos cos cosn

n

+ + + + + , e

ii) . 2 3cos cos cos cos(2 ) cos cos(3 ) ... cos cos( )n n + + + +

40. (OLYMPIAD-CALIBER) Prove que :

2 2 2 22 ( 1)1 cos cos ... cos 4 22

n n n n nn nn n n

+ + + + = + + ,

para todos os inteiros . 2n

41. (TITU ANDREESCU) Sejam nmeros reais tais que , ,a b ccos cos cos sen sen sen 0a b c a b c+ + = + + = . Prove que: ( )i 1cos( ) (cos3 cos3 cos3 )

3a b c a b c+ + = + +

( )ii 1sen( ) (sen3 sen3 sen3 )3

a b c a b c+ + = + + .

42. (TITU ANDREESCU) Prove a igualdade:

1

2 ( 1)sen sen ... sen2n

n nn n n = .

43. (CAIO GUIMARES) Mostre que todo complexo de mdulo unitrio e com parte real diferente de 1 pode ser escrito na forma

11

kk+ , sendo k um nmero real arbitrrio.

44. (IME - 1981 ADAPTADA) Mostre que para todo n natural teremos (2 ) (2 )n ni i+ .

45. (LIDSKI) Considere os complexos z tais que: 1 1z z+ = . Determinar o valor mximo de mdulo de . z

Gabarito 01. Demonstrao. 02. Demonstrao. 03. Demonstrao. 04. Demonstrao. 05. Demonstrao. 06. 3x = 07. Demonstrao. 08. Demonstrao. 09. Demonstrao. 10. Demonstrao. 11. Demonstrao. 12. Demonstrao.

13. ( )5 2 2 31 1 2cos 1 2cos5 5

z z z z z z 1+ = + + + z i ,tome =14. Demonstrao. 15. Demonstrao. 16. Demonstrao. 17. Demonstrao. 18. Demonstrao. 19. Demonstrao. 20. Demonstrao. 21. Demonstrao. 22. Demonstrao.

23. 12

z tz

= qualquer soluo da equao 2 1 0t t+ + =

24. Demonstrao. 26. Demonstrao. 27. Demonstrao.

28. 0.

25. ( )( )

0 a unica soluo.4 1 |

4 2 1 |

n impar zn k z a i a

n k z a i a

= = = + = + =

29. 2cos cos2 2

n

nn nS

2isen = +

. 30. Demonstrao.

31. Demonstrao. 32. 2

2

0

22cos cos

2 2 2

nn k

k

n k t nt isenk k

= + 2

nt 33. Demonstrao. 34. Demonstrao. 35. Demonstrao. 36. Demonstrao.

37. 2 1cos cos( 1) cos 11

2 cos 1

n nq nx q n x q xSq q x

+ + + ++ = + ; 2 1 ( 1)

2 cos 1

n nq sennx q sen n x qsenxTq q x

+ + + += + . 38. Demonstrao.

39. ( )

( ) 12 30

)3

n

i n

sen ni S

=o

, ( ) ( )13 30

)2

n

ii n

sen nii S

+

=o

40. Demonstrao. 41. Demonstrao. 42. Demonstrao.

43. Demonstrao. 44. Demonstrao. 45. 1 52mx

z +=