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MATEMÁTICA APLICADAMATEMÁTICA APLICADA

Fernanda Cesar Bonafini

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Conteúdo do Curso

Funções e Gráficos de Uma Variável.

Derivadas Ordinárias.

Derivadas Parciais.

Integrais.

Matrizes e Sistemas Lineares.

BIBLIOGRAFIALivro Texto:

HOFFMANN, L.D.; BRADLEY, G.L. Cálculo: Um Curso Moderno e Suas Aplicações (7ª ed ). L.T.C., 2002.

Bibliografia Complementar:

GOLDSTEIN, L.J.; LAY, D.C.; SCHNEIDER, D.I. Matemática Aplicada: Economia, Administração e Contabilidade (8ª ed ). Bookman, 2000.

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia (5ª ed ). Pioneira-Thomson Learning, 2001.

Aula 1:

Funções e Gráficos de Uma Variável

Situação Problema

Qual deve ser o preço de um pãozinho francês ?

Uma função é uma regra que assinala para cada objeto no conjunto A um e somente

um objeto no conjunto B.

FUNÇÃO

ExemploExemplo

A demanda do consumidor pelo produto x depende de seu preço de mercado

y = x2 + 4

Dizemos que y é função de x, ou seja, y é uma variável dependente (ordenada), enquanto x é uma variável independente (abscissa).

y = f(x) Notação funcional

FORMALISMO MATEMÁTICO

EXEMPLO 1.4 (pág 3)

O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função:

C(n) = n3 - 30 n2 + 500 n + 200

a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto.

b) Determine o custo de fabricação de 10ª unidade do produto.

SOLUÇÃO

a) O custo de fabricação de 10 unidades do produto é:

C(10) = (10)3 - 30 (10)2 + 500 (10) + 200 = R$3.200

b) O custo de fabricação da décima unidade é:

C(10) - C(9) = 3.200 - [(9)3 - 30 (9)2 + 500 (9) + 200] =

= R$3.200 -R$2.999 = R$201

FUNÇÕES COMPOSTAS

x u=g(x) f[g(x)]

Dadas as funções f(u) e g(x), a composição f[g(x)] é a função formada de x substituindo

u por g(x) na expressão de f(u).


Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de carbono ( CO ) no ar durante o dia será de c(p) = 0,5 p + 1 partes por milhão (ppm) quando sua população for de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t anos será de p(t) = 10 + 0,1 t2 mil habitantes.

a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia em função do tempo.

b) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão?

SOLUÇÃO

a) Como o nível de CO está relacionado com a variável p e está com a variável t segue que:

c[p(t)] = c [10 + 0,1 t2] = 0,5 (10 + 0,1 t2) + 1 = 5 + 0,05 t2 + 1

c[p(t)] = 6 + 0,05 t2

b) Fazendo c[p(t)] = 6,8 e resolvendo para t temos:c[p(t)] = 6 + 0,05 t2 = 6,8

0,05 t2 = 0,8 t2 = 0,8/0,05 = 16 t = 4 anos

A concentração de CO atingirá o valor de 6,8 ppm daqui a 4 anos.

CONSTRUINDO A CURVA DE DEMANDA

A CURVA DE DEMANDAPreco (R$) Quantidade

Relativa Quantidade

Absoluta

3,5 1 13,2 2 33 5 82,7 2 102,5 6 162,2 3 192 9 281,8 4 321,5 2 341,3 6 40

Curva de Demanda

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

quantidade

pre

ço

(R

$)

Quantidade Absoluta

Preco (R$)

1 3,53 3,28 310 2,716 2,519 2,228 232 1,834 1,540 1,3

APLICAÇÕES DE FUNÇÕES

E

GRÁFICOS LINEARES

Construindo uma Curva de Demanda Linear

Função não linear

Linearização

Função linear

Curva de Demanda

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

quantidade

pre

ço (R

$)

Função linear é uma função que varia a uma taxa constante em relação à sua variável independente.

O gráfico da função linear é uma reta:

f(x) = y = mx +bonde m e b são constantes, conhecidos como:

12

12

xx

yy

x

ym

m é coeficiente angular, taxa de variação ou inclinação

b é coeficiente linear ou lugar onde a reta cruza o eixo das ordenadas

t1 t2 t3

R1

R2

R3

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

t

R

2R

1R3R

1t 2t

3t

A constante b na equação da reta é o valor de y correspondente a x = 0.

b é chamado de intercepto, onde a reta cruza o eixo y.

x

y

mb

x

ym > 0 m < 0

b


O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$ 200,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado.

SOLUÇÃO

C = custo total = (custo unitário) . (número de unidades) + custo fixo

custo unitário = R$50

custo fixo = R$200

número de unidades = x

Assim, a expressão procurada é:

C(x) = 50 x + 200

Esboçando o gráfico de C(x)= 50 x + 200

C(x)

x

C(x) = 50 x + 200

0

100

200

300

400

1 2 3 4

x = 0: C(x) = 200 x = 2: C(x) = 300

x = 1: C(x) = 250 x = 3: C(x) = 350

PONTO DE EQUILÍBRIO(Break-Even Analysis)

É o ponto no qual a curva de receita total R(x) cruza a curva de despesa total C(x).

quantidade

cust

o , r

ecei

ta

LUCRO

PERDA

PONTO DE EQUILÍBRIO

P C(x)

R(x)

Uma agência de aluguel de carros cobra R$25,00 mais R$0,60 por km. Uma segunda agência cobra R$30,00 mais R$0,50 por km. Qual agência você escolheria?

EXEMPLO

EXEMPLO 1 (pág. 72)

Um produtor pode vender um certo produto por R$ 110,00 a unidade. O custo total consiste num custo fixo de R$ 7500,00, mais os custos de produção de R$ 60,00 por unidade.

a) Quantas unidades um produtor deve vender para ter equilíbrio? Para essas unidades, qual seria o respectivo custo?

b) Qual é o lucro ou prejuízo do produtor se 100 unidades forem vendidas?

c) Quantas unidades devem ser vendidas para que o produtor realize um lucro de R$ 1250,00?

Solução:

a) R(x) = 110.x C(x) = 7500 + 60.x

Para obter o ponto de equilíbrio fazemos R(x) = C(x):

110 x = 7.500 + 60 x 50 x = 7.500 x = 150 unid.

C(150) = 7500 + 60.150 = 16500 reais.

x

y C(x)

(150, 16.500)

R(x)

( 150, 16.500 ) é o ponto de intercessão entre

receita e custo, ou seja é o ponto de equilíbrio

c) Quantas unidades devem ser vendidas para um lucro de R$1250,00?

L(x) = 1.250 = 50 x - 7.500 50 x = 8.750 x = 175 unidades

b) O lucro ou prejuízo do produtor se 100 unidades forem vendidas?

O lucro é a receita menos o custo: L(x) = R(x) - C(x)

L(x) = 110 x - (7.500 + 60 x) , L(x)= 50 x - 7.500

Logo, L(100) = 50.100 - 7.500 L(100) = -2.500

O sinal negativo indica que o produtor teve prejuízo.

O prejuízo já era esperado, uma vez que 100 unidades é menor que o ponto de equilíbrio (150 unidades). O produtor perderá

R$ 2500,00 se forem vendidas 100 unidades.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

WINPLOT

Ganhando Produtividade !!!!!

http://www.ime.usp.br/~leo/free.html

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

Desde o início do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo água à uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d’água; no dia 21, está apenas com 164 milhões de litros.a) Expresse a quantidade de água no reservatório em função do tempo e desenhe o gráfico relacionado.b) Quanta água estava no reservatório no dia 8?

c) Haverá água no último dia do mês?

PROBLEMA 3.41 (pág 32)

PROBLEMA 4.44 (pág 46)

A taxa cobrada para manter uma conta em um certo banco é de R$12,00 por mês mais 10 centavos para cada cheque passado. Outro banco cobra R$10,00 por mês mais 14 centavos por cheque. Determine um critério para decidir em qual dos dois bancos é mais vantajoso manter uma conta corrente.

E o Caso de Funções não Lineares ?

Quais outras aplicações ?

Uma pizzaria pode produzir pizzas ao custo de R$ 2,00 a unidade. As pizzas são vendidas por R$ 5,00 cada e, a este preço, os consumidores têm comprado 4.000 unidades por mês. O dono da pizzaria está planejando elevar o preço da pizza e estima que, para cada R$ 1,00 de aumento no preço, serão vendidas por mês 400 unidades a menos.

a) Expresse o lucro mensal da pizzaria em função do preço de venda das pizzas;b) Faça um gráfico do lucro versus vendas e obtenha o lucro máximo.

Situação Problema

Formulação Matemática

Melhoramentos

Problema Real

Entender o Problema

Hipóteses Simplificadoras

Formulação do Modelo Matemático

Relatório Validação da Solução

Interpretação Resolução do Problema

Contexto

Mundo Real Mundo Matemático


Lucro Mensal = (nº de pizzas vendidas) . (lucro por pizza)

onde, x = preço de vendas das pizzas

N(x) P(x)L(x)


L(x) = N(x) . P(x)

N(x) = 4000 - 400 . (nº de aumentos de R$ 1,00)

N(x) = 4000 - 400 . (x - 5) = 400.[10 - (x - 5)] = 400.(15 - x)

P(x) = x - 2

L(x) = 400.(15 - x).(x - 2)

x - 5

A resposta do item a): a expressão do lucro mensal da pizzaria em função do preço de venda das pizzas é:

Tabela de dados:

Análise Gráfica

Gráfico:

P reço Unitário Lucro

0 -120002 04 88006 144008 1680010 1600012 1200014 480016 -5600

Otimização das Vendas

1600016800

12000

-5600

-12000

8800

14400

4800

0

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

0 4 8 12 16 20

Preço Unitário (R$)

Lu

cro

(R

$)

L(x) = 400.(15 - x).(x - 2)

Solução (elementar) do Problema

Note que a função lucro é uma parábola:

L(x) = 400.(15 - x).(x - 2) = - 400.x2 + 6800.x - 12000

cuja equação geral é: L(x) = A.x2 + B.x + C

Se A > 0, a parábola estará virada para cima (vale).

Se A < 0, a parábola estará virada para baixo (pico).

O “pico” ou “vale” da parábola são chamados vértices. A abscissa do vértice V é calculada em termos dos coeficientes da parábola: xV= -B/2A.

Solução (elementar) do Problema

Neste caso, a função lucro é uma parábola que está aberta para baixo, pois A = - 400 < 0, cujo ponto mais alto

(vértice) ocorre em

Respondendo o ítem b) :

o lucro máximo ocorre quando o preço da pizza é R$ 8,50

cujo valor é: L(8,5) = 400.(15 - 8,5).(8,5 - 2) = 16.900,00 reais.

5,8)400.(2

6800

A.2

Bx

PROJETO

VAMOS FABRICAR REFRIGERANTES ?

FORMAR GRUPOS

Cada grupo deverá estabelecer o preço de venda de seu refrigerante baseado nas seguintes condições:

• Estabelecer um pro – labore

• O custo fixo de operação é de $100.000,00

• O custo de fabricação unitário é de $0,20 a unidade ( lata ) e o mercado é monopolista,

atendendo uma população de 200.000 habitantes

Qual seu preço de venda ?

LEVANTANDO A DEMANDA

CADA GRUPO DEVERÁ ENVIAR UM INTEGRANTE PARA ENTREVISTAR OS DEMAIS ELEMENTOS

DOS DEMAIS GRUPOS PARA LEVANTAR A CURVA DE DEMANDA.

Qual seu novo preço de venda ?

O MONOPOLIO FOI QUEBRADO !!!!

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