Unidade 2.4JUROS COMPOSTOSAmintas Paiva Afonso

INTRODUO Relembrando o que vimos na unidade 1At agora j estudamos a linguagem dos juros simples e do desconto simples. Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros compostos: Juros Compostos e suas aplicaes; Taxas equivalentes.

INTRODUOJuros Simples: Dado um principal (PV), ele dever render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado nmero de perodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento no rende mais juros.Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre so calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.Relembrando...

JUROS COMPOSTOS - CONCEITOCapitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.Assim sendo, no transcorrer de cada perodo, o que era priori Montante relativo a um determinado perodo, passa a ser o Principal no perodo seguinte. o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros

JUROS COMPOSTOS - FRMULASLembrando a frmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) Vamos calcular o montante acumulado a cada perodo (n = 1) no regime de juros compostosS1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1)S1 = P (1 + i)S2 = S1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1)S2 = P (1 + i)2 S3 = S2 (1 + i * n) = P (1 + i)2 * (1 + i * 1)S3 = P (1 + i)3S4 = S3 (1 + i * n) = P (1 + i)3 * (1 + i * 1)S4 = P (1 + i)4

JUROS COMPOSTOS - FRMULASATENO !!!1 - O perodo de capitalizao deve ser compatibilizado com a taxa.2 - A taxa quem define o perodo da capitalizao.Exemplo: 5% ao ms em trs meses (=15,76%) diferente de 15% ao trimestre.

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOSDeterminar o montante produzido por uma aplicao de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% ao ms durante 4 meses.FV = PV * (1 + i )nFV = 25.000 * (1 + 0,04)4FV = 25.000 * 1,1699FV = 29 246,46Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses ser de R$ 29.246,46

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOSDeterminar o montante produzido por uma aplicao de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao ms durante 4 meses.FV = PV (1 + i * n)FV = 25.000 (1 + 0,04 * 4)FV = 25.000 * 1,16FV = 29 000Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses ser de R$ 29.000,00

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOSCONCLUSO:O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalizao composta e R$ 29.000,00 na capitalizao simples.Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo principal que os juros simples mesma taxa, no mesmo perodo.POR QU?

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

Plan1

Principal R$ 25.000,00

Taxa de juros 2%

MsSaldo c/ juros simplesSaldo c/ juros compostosDiferena

0R$25,000.00R$25,000.000.0

1R$25,500.00R$25,500.000.0

2R$26,000.00R$26,010.00R$10.00

3R$26,500.00R$26,530.20R$30.20

4R$27,000.00R$27,060.80R$60.80

5R$27,500.00R$27,602.02R$102.02

6R$28,000.00R$28,154.06R$154.06

7R$28,500.00R$28,717.14R$217.14

8R$29,000.00R$29,291.48R$291.48

9R$29,500.00R$29,877.31R$377.31

10R$30,000.00R$30,474.86R$474.86

Plan2

Plan3

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

Plan1

Principal R$ 25.000,00

Taxa de juros 5%

MsSaldo c/ juros simplesSaldo c/ juros compostosDiferena

0R$25,000.00R$25,000.000.0

1R$26,250.00R$26,250.000.0

2R$27,500.00R$27,562.50R$62.50

3R$28,750.00R$28,940.63R$190.63

4R$30,000.00R$30,387.66R$387.66

5R$31,250.00R$31,907.04R$657.04

6R$32,500.00R$33,502.39R$1,002.39

7R$33,750.00R$35,177.51R$1,427.51

8R$35,000.00R$36,936.39R$1,936.39

9R$36,250.00R$38,783.21R$2,533.21

10R$37,500.00R$40,722.37R$3,222.37

Plan2

Plan3

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

Plan1

Principal R$ 25.000,00

Taxa de juros 0,1%

MsSaldo c/ juros simplesSaldo c/ juros compostosDiferena

0R$25,000.00R$25,000.000.0

1R$25,025.00R$25,025.000.0

2R$25,050.00R$25,050.03R$0.02

3R$25,075.00R$25,075.08R$0.08

4R$25,100.00R$25,100.15R$0.15

5R$25,125.00R$25,125.25R$0.25

6R$25,150.00R$25,150.38R$0.38

7R$25,175.00R$25,175.53R$0.53

8R$25,200.00R$25,200.70R$0.70

9R$25,225.00R$25,225.90R$0.90

10R$25,250.00R$25,251.13R$1.13

Plan2

Plan3

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOSCONCLUSES:

Taxas de juros baixas e/ou perodos de capitalizao curtos no provocam grandes distores entre juros simples e compostos.

Trabalhando com taxas altas e/ou longos perodos mostram grandes diferenas entre os montantes produzidos por juros simples e compostos.

PARA PENSAR Os bancos utilizam taxas de juros simples ou juros compostos nas operaes de cheque especial? Por qu?

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULA1o Grupo Dados PV, n, i, achar FV

Um capital de R$ 100.000,00 estar aplicado taxa de juros compostos de 5% ao ms durante 1,5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicao.1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados)FV = PV * (1 + i)nFV = 100.000 * (1 + 0,05)18FV = 100.000 * 2,4066192 FV= 240.661,92Resposta: O montante de R$ 240.661,92

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULA2o Grupo Dados FV, n, i, achar PV

A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o principal relativo ao emprstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao ms.FV = PV * (1 + i )n150.000 = PV * (1 + 0,05)12150.000 = PV * 1,7958563PV = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61Resposta: O valor do emprstimo foi de R$ 83.525,61

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULA3o Grupo Dados FV, n, PV, achar iConhecendo o montante R$ 172.000,00, o principal de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao emprstimo.1 ano = 12 mesesFV = PV * (1 + i )n172.000 = 100.000 * (1 + i)12172.000/100.000 = (1 + i)121,72 = (1 + i)12E agora? Como resolver?

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULAVamos lembrar da seguinte propriedade: (xa)b = xa.bEnto aplicando a propriedade na equao ...1,72 = (1 + i)121,721/12 = [(1 + i)12]1/12 1,721/12 = (1 + i)12 * 1/121,721/12 = (1 + i)11,0462 = 1 + ii = 1,0462 - 1 => i = 0,0462Resposta: A taxa de juros do emprstimo de 4,62% a.m.

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULA4o Grupo Dados FV, PV, i, achar nConhecendo o montante de R$ 368.000,00, o principal de R$ 200.000,00 e a taxa de juros compostos de 7% ao ms, determinar o prazo do emprstimo.FV = PV * (1 + i )n368.000 = 200.000 * (1 + 0,07)n368.000 / 200.000 = (1 + 0,07)n1,84 = (1,07)nE agora? Como resolver?

EXERCCIOS DE APLICAO DA FRMULAVamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x)a = a * Log xEnto aplicando a propriedade na equao ...

1,84 = (1,07)nLog (1,84) = Log(1,07)nLog (1,84) = n * Log (1,07) n = Log (1,84) / Log (1,07)n = 0,2648 / 0,0294 n = 9,01Resposta: O prazo do emprstimo de 9,01 meses.

Exerccios Prticos do Mercado FinanceiroUma corretora de valores comprou um ttulo de valor de resgate de R$ 148.000,00, prazo de 8 meses e taxa mensal composta de 5,5%. Passados dois meses, vendeu o ttulo para um investidor na taxa composta de 3,8% a.m.. Determinar a taxa alavancada obtida pela corretora.Valor de compra148.000i

Exerccios Prticos do Mercado FinanceiroValor de compraFV = PV * (1 + i )n148.000 = PV *(1 + 0,055)8148.000 = PV * 1,0558PV = 148.000 / 1,5347PV = 96.436,63Valor de VendaFV = PV * (1 + i )n148.000 = PV *(1 + 0,038)6148.000 = PV * 1,0386PV = 148.000 / 1,2508PV = 118.325,29Valor de comprai148.000Valor de venda2 meses

96.436,63118.325,29

Exerccios Prticos do Mercado FinanceiroTaxa da corretoraFV = PV * (1 + i )n118.325,29 = 96.436,63 * (1 + i)2118.325,29 / 96.436,63 = (1 + i)21,2270 = (1 + i)21,22701/2 = (1 + i)i = 1,1077 - 1 = > i = 0,1077 = 10,77% a.m.10,77 %

Como se Ganha Dinheiro no Mercado FinanceiroUma corretora de valores comprou e vendeu, no mesmo dia, um ttulo de valor de resgate de R$ 148.000 e prazo de 8 meses. Comprou por uma taxa de juros composta de 6,2% ao ms e vendeu por uma taxa composta de 3,5% ao ms. Determinar o lucro obtido nessa negociao.Preo pago na compraFV = PV * ( 1 + i )n148.000 = PV * (1 + 0,062)8PV = 148.000/ 1,6181 = 91.467,24Preo pago na VendaFV = PV * ( 1 + i )n148.000 = PV * (1 + 0,035)8PV = 148.000/ 1,3168 = 112.392,91Lucro = Preo de Venda Preo de compraLucro = 112.392,91 91.467,24 => Lucro = R$ 20.925,67

TTULOS - Vrias revendas antes do resgateAplicao inicial: R$ 100.000,00Prazo total: 12 mesesTaxa composta: 4% ao ms1 Comprador: 3,3% ao ms em 2 meses2 Comprador: 3,4% ao ms em 3 meses3 Comprador: i % ao ms em 5 meses (calcular a taxa)4 Comprador: 3,2% ao ms em 2 meses 100.000Valor de resgate

TTULOS - Vrias revendas antes do resgateValor de resgateFV = PV * (1 + i )nFV = 100.000 * (1 + 0,04)12FV = 100.000 * 1,0412FV = 100.000 * 1,601032FV = 160.103,22160.103,22

TTULOS - Vrias revendas antes do resgate1o CompradorFV = PV * (1 + i )nFV = 100.000 * (1 + 0,033)2FV = 100.000 * 1,0332FV = 100.000 * 1,067089FV = 106.708,90106.708,902o CompradorFV = PV * (1 + i )nFV = 106.708,90 * (1 + 0,034)3FV = 106.708,90 * 1,0343FV = 106.708,90 * 1,105507FV = 117.967,47117.967,47

TTULOS - Vrias revendas antes do resgate4o CompradorFV = PV * (1 + i )n160.103,22 = PV * (1+ 0,032)2160.103,22 = PV * 1,0322PV = 160.103,22 / 1,0650 PV = 150.328,27106.708,903o Comprador - taxaFV = PV * (1 + i )n150.328,27 = 117.967,47 * (1+ i )51,2743 = (1 + i)51,27431/5 = (1 + i)i = 1,0497 - 1i = 0,0497 = 4,97%117.967,47150.328,27i = 4,97%