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Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores

Computação Gráfica

Matemática para CG

© 2012 Corpo docente de Computação Gráfica / CG&M / DEI / IST / UTL

Edward Angel, Cap. 3

LEIC CGQuestão 1, exame de 06/06/11[1.0v] Explique, no contexto da computação gráfica interactiva, o que é uma frame e como esta se relaciona com o desempenho de um sistema gráfico.

Frame: � imagem estática gerada no final do pipeline� contêm vista a ser representada no dispositivo de visualização

Animação: � criada através da apresentação em sequência rápida deste frames. � tão mais fluida quanto mais frames se conseguirem apresentar

por unidade de tempo.

Para se medir o desempenho de um sistema gráfico usa-se o número de frames por segundo (fps).


?

Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores

Computação Gráfica

Matemática para CG


Edward Angel, Cap. 3

LEIC CGNotas

� As definições matemáticas aqui apresentadas são descritas na perspectiva de CG

� Vamos evitar definições genéricas demasiado formais

� Trabalhamos no espaço tridimensional • Apesar da maioria do que aqui dizemos ser válido para

espaços n-dmensionais


LEICCG

Escalares, Pontos e VectoresMatemática para CG


LEIC CGObjectos Geométricos

� Em CG trabalhamos com objectos geométricos� Linhas

� Polígonos

� Poliedros

� Objectos complexos podem ser definidos a partir de um conjunto limitado de entidades

� Objectos geométricos e as suas relações podem ser descritos usando:� Escalares, Pontos e Vectores


LEIC CGEscalares� Consideramos escalares os números reais

� Operações sobre escalares:� Adição � Multiplicação

� Propriedades destas operações� Comutatividade � Associatividade� Distributividade

� Identidade Escalar� Da adição (0)� Da multiplicação (1)

� Inversos Escalar� Da adição (-α)� Da multiplicação (α-1)


�, � ∈ �

� � � � � � �

� ∙ � � � ∙ �

� � � � � � � ��

� ∙ � � � � ∙ � � � ∙

� ∙ � ∙ � � ∙ �� ∙

� � 0 � �

� ∙ 1 � �

� � �� 0

� ∙ �� 1

LEIC CGVectores no Espaço Euclideano

� Espaço Euclideano contém escalares e vectores

� Vectores têm as seguintes operações (neste espaço)� Soma de vectores

� Multiplicação de escalar por vector

� Produto interno

� Produto externo

� Não se pode somar um escalar a um vector!

� Não se multiplicam vectores (só matrizes)


LEIC CG

VectoresConhecimentos Básicos

� Vector descreve um comprimento e uma direcção� Graficamente pode ser representado por uma seta

� Numericamente representado por matriz nx1 (2x1 em 2D)

� Vector unitário é um vector de comprimento 1

� Vectores têm variedade enorme de aplicações� Em CG e não só!


[ ]Ta 232

3=

=

a

LEIC CG



−=

1

1aa

Pergunta:

Vector é unitário?

LEIC CG



=

a

a

y

xa

a

22aa yxa +=r

Comprimento do vector?

LEIC CG



ab

ba +a

b

ab +

abba +=+

+++

=

+

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

LEIC CG



a

=

⋅

z

y

x

z

y

x

ka

ka

ka

a

a

a

k

ak ⋅ k escalar

LEIC CG



a

=

⋅

z

y

x

z

y

x

ka

ka

ka

a

a

a

k

ak ⋅ 0<kk escalar

LEIC CGProduto Interno (dot product)


a

b

φ φcosbaba =⋅

baba yyxxba +=⋅Ou melhor:

LEIC CGProduto externo


LEIC CGProduto Externo


−−−

=×

xyyx

zxxz

yzzy

baba

baba

baba

ba

φsinbaba =×

LEIC CGProduto Externo


=×

zyx

zyx

bbb

aaa

zyx

ba det

φsinbaba =×

LEIC CG

Produto Externo

Regra da mão direita


LEIC CG

Produto Externo

Regra da mão esquerda


LEIC CGAtenção!


�

�

�∙

�

�

�

É produto interno de dois vectores! Não é multiplicação de vectores!

�

�

��

�

�

�

É produto externo de dois vectores! Não é multiplicação de vectores!

�

�

�� Se d for escalar, isto não existe!

LEICCG

Espaço CartesianoMatemática para CG


LEIC CGBase Ortonormada

� Manipulação de sistemas de coordenadas é uma das tarefas base de computação gráfica

� Sistemas de coordenadas são bases ortonormadas

� Base ortonormada em 3D� Formada por três vectores unitários ortogonais entre si


1=== wvu

0=⋅=⋅=⋅ wuwvvu

vuw ×=

LEIC CGBase Ortonormada Cartesiana


LEIC CGBase Ortonormada Cartesiana

� Existe uma origem implícita� A localização O e os vectores x, y e z não são explicitamente

representados


LEIC CGPlano

� Superfície bidimensional planar

� Definido por� Três pontos

� Dois vectores • Dois vectores no plano

• Um vector no plano e outro normal ao plano

� Um ponto e um vector normal


LEIC CGPolígonos

� Figura geométrica definido por� Conjunto de vértices ligados entre si por segmentos de linha

� Polígonos regulares• Convexos

• Lados e ângulos iguais


LEIC CGSólido

Definição formal

Figura tridimensional que representa uma porção do espaço limitada pelas suas superfícies


Kern and Bland, 1948

LEIC CGSólidos Regulares

� Figuras geométricas:� faces são definidas por polígonos regulares idênticos

� mesmo número de faces a convergir em cada vértice


Tetratedro Cubo Octaedro Dodecaedro

LEICCG

TrigonometriaEnquadramento e Conceitos Fundamentais


LEIC CG

TrigonometriaConhecimentos básicos


αθββθαβαθ

−=−=+=

θ

αβ

LEIC CG


TrigonometriaConhecimentos básicos

h

a

o

( )( ) )cos(cos

)sin(sin

tan

cos

sin

φφφφ

φφφ

=−−=−

===

ao

ha

ho

φ

( )( ) ?cos

?sin

?tan

?cos

?sin

=−=−

===

φφ

φφφ

LEICCG

MatrizesEnquadramento e Conceitos Fundamentais


LEIC CGMatrizes

� Operações matrizes intensamente usadas em CG

� Revejam com atenção esta matéria (Álgebra Linear)

� Pratiquem a multiplicação de matrizes


LEIC CGMultiplicação de Matrizes


��

�� … ��⋮ ⋱ ⋮

�� … ��

�� … ��⋮ ⋱ ⋮

�� … ��

�� !� � � � !

�� !� � � � !

�� !� � � � !

�� !� � � � !�!� �! �!!


� Não é comutativa

� É associativa


��

�� … ��⋮ ⋱ ⋮

�� … ��

�� … ��⋮ ⋱ ⋮

�� … ��

�� " ��

��# � �� # � ��#�



=

=OMM

L

K

OMM

L

K

OMM

L

K

2,21,2

2,11,1

2,21,2

2,11,1

2,21,2

2,11,1

cc

cc

bb

bb

aa

aa

AB

∑=

=n

rjrriji bac

1,,,



?

01

12

13

131

201=

⋅

−

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