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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_031

Razão entre área e volumeRazões são muito utilizadas em figuras seme-

lhantes para obter o percentual de diferença entre elas. No dia-a-dia ajudam muito na construção civil e na arquitetura quando estas montam suas maquetes ou stands.

Dados dois sólidos semelhantes, podemos afirmar que existe uma razão entre suas áreas e volumes.

h1 h2≈

es

s=

h

h1

2

1

2

2

v

v=

h

h1

2

1

2

3

Razões de semelhança em pirâmides e cones.

SBSB

h h

S S

H

S1

S2

S1

S2

32

2

1Hh

Vve

Hh

SS

=

=

TroncosOs troncos são partes de uma pirâmide ou de

um cone após serem seccionados. Você verá que as suas fórmulas são derivações das razões entre áreas e volumes.

Se retirarmos a pirâmide menor e o cone me- •nor, formamos dois troncos.

H

S

SB

S

g

R

r

SB

Área total (st):

St = Sb + SB +S

Volume (V):

VH

S S S Sb B b B= + + 3.

S = área lateral

No tronco de cone Sl = p (r + R) . g’

Sólidos inscritos e circunscritos

Esse assunto requer não só um conhecimento do aluno de toda geometria espacial, como também um pouco de conhecimento de semelhança, pois na maioria das vezes é necessário fazer associação entre o raio de uma esfera com o apótema ou a aresta.

Sólidos inscritos, circunscritos e

troncos


2 EM

_V_M

AT

_031

1.º caso: cubo circunscrito à esfera

a

a

r

a = 2r

2.º caso: cubo inscrito na esfera

a

33223

23

RaRDaDRa

=⇒=⇒==

a

33223

23

RaRDaDRa

=⇒=⇒==

a

33223

23

RaRDaDRa

=⇒=⇒==

3.º caso: tetraedro regular circunscrito à esfera

a

r

h

6243

6

43

6

rarhah

ra

=⇒=⇒=

=

ha

h ra

r

=

==

63

46

34

62

43

6

43

6

ra

rh

ah

ra

=

4.º caso: tetraedro regular inscrito na esfera

a

R

362

463

64343

36

Ra

Ra

aR

hR

ah

=

=

⋅=

=

=

362

463

64343

36

Ra

Ra

aR

hR

ah

=

=

⋅=

=

=

362

463

64343

36

Ra

Ra

aR

hR

ah

=

=

⋅=

=

=

5.º caso: cone equilátero circunscrito à esfera

h

r

R

h = 3r


3EM

_V_M

AT

_031

rR

Rh33

3=

=

R = r 3

6.º caso: cone equilátero inscrito na esfera

Podemos observar que o centro da esfera coin-cide com o centro do cone equilátero (baricentro da secção meridiana). Consequentemente, a distância do centro da esfera ao vértice é equivalente a

32 da

altura, a qual corresponde ao próprio raio.

r

R

h = r 3

R = 32

h R = 32

r 3

r 3 = 2

3R r = 2

3R

Dados dois cubos de arestas 3cm e 6cm. Ache quan-1. tas vezes a área e o volume do cubo 2 é maior que do cubo 1.

3cm6cm

12

Solução: `

S1 = 6 .32 = 54cm2

S2 = 6 .62 = 216cm2

V1 = 32 = 27cm3

V2 = 62 = 27cm3

SS

VV

SS

V

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

36

=

=

=

l

l

l

l

2 3

2

e

11

2

1

2

1

2

36

14

18

V

SS

VV

=

= =

3

e

Uma pirâmide com área da base valendo 144m2. 2, foi seccionada por um plano distando a terça parte de sua altura em relação à base. Calcule a área da secção formada pelo plano na pirâmide.

Solução: `

SS

hh S

hh

1

2

1

2 2

14423

=æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

® =

æ

è

ççççççççç

ö

ø

÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷

®2

2

1144 94

9 576 64

2

2 22

S

S S m

=

= ® =

Uma chapa de metal de formato circular foi aquecida au-3. mentando em 50% o seu raio. Calcule quanto aumentou sua área percentualmente.

Solução: `

SS

RR

SS

R

R

SS

S S

1

2

1

2

1

2

12

12

1

2

2 1

2 25

12 25

2 25

=æ

èçççç

ö

ø÷÷÷÷

® = ® =

=

2

, ,

,

Teve um aumento de 125%.

Calcule a área total de um tronco de cone, cujos raios 4. das bases valem 3cm e 6cm e a altura, 4cm.

4

3

g

Solução: `

g2 = 42 + 32

g = 5cm

St = Sb + SB + Sl

pr2 + pR2 + p(r + R).g

p . 33+ p62 + p(3 + 6).5 = 9 p + 36 p + 45p = 90 pEsse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

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4 EM

_V_M

AT

_031

Calcule o volume de um tronco de pirâmide quadran-5. gular regular, de apótema 13cm, cujas arestas da base medem 4cm e 14cm.

Solução: `

13h

5

132 = h2 + 52 h = 12

⋅++= 2222 144144

312V

V = 4.[16 + 196 + 56] V = 1 072cm3

Maria observou que seu vaso de planta tem o formato de 6. um tronco de cone e ela queria comprar exatamente um volume de areia correspondente ao volume do vaso. Para isso, comprovou que os raios das bases medem 5cm e 10cm, enquanto a altura mede 15cm. Considerando p = 3, calcule o volume de areia que ela precisa comprar.

Solução: `

[ ]

p pé ù é ù= + + Þ = + +ê ú ê úë û ë û

= + + Þ = =

2 2 2 2

3

H 5V r R rR V 5 10 5.10

3 3

V 5 25 100 50 V 5.175 875cm

Calcule a área total do cubo inscrito numa esfera de 7. raio R.

Solução: `

R

332Ra =

ST = 6a2

2

T 33R2.6S

=

93.R4.6S

2

T = ST = 8R2

Ache a razão entre o volume da esfera inscrita e da esfera 8. circunscrita a um cone equilátero.

Solução: `

r

R

Como h = 3r e R = 32

h

r332R ⋅= R = 2r

.cir

.ins3 3

.cir

.insr2

rVV

Rr

VV

=→

=

81

VV

.circ

.ins =

Pedro pegou uma bola de tênis com 3cm de raio e 9. observou que ela ficava exatamente inscrita em uma pirâmide com o formato de um tetraedro regular. Calcule o valor da aresta desse tetraedro

Solução: `

a

r

h

6243

6

43

6

rarhah

ra

=⇒=⇒=

=

Como já visto anteriormente, a altura do tetraedro em função da aresta é dada pela fórmula:

ha

=6

3

E também, como a altura em relação ao raio é dada pela fórmula h = 4r, chegamos a seguinte igualdade:

aa r

63

4 2 6= ⇒ =

Substituindo o valor do raio chegaremos à seguinte conclusão:

a = 6 6cm


5EM

_V_M

AT

_031

A figura abaixo representa uma pirâmide regular de 1. base quadrangular que foi seccionada por um plano β paralelo à base.

H

d

β

Sabendo-se que a altura da pirâmide é H e que d é a distância entre β e a base, determine o valor de d para que a pirâmide fique dividida em dois sólidos de volumes iguais.

(Unificado) Um projetor de 2. slides, colocado a 4 metros de distância de uma tela de cinema, projeta sobre ela um quadrado. Para que a área desse quadrado aumente 20%, a que distância da tela, em metros, deve ser co-locado o projetor?

4,20a)

4,40b)

4,80c)

5,60d)

6,00e)

Pelo ponto médio da altura de uma pirâmide, passa-se 3. um plano paralelo à sua base, que secciona essa pirâ-mide em duas partes, P1 e P2.

P2

P1

O percentual do volume da parte inferior (P2) em relação ao volume total da pirâmide é:

50%a)

63,5%b)

75%c)

87,5%d)

90%e)

Secciona-se uma pirâmide por dois planos paralelos 4. à base, que dividem sua altura em três partes iguais. Determine os números proporcionais aos volumes dos três sólidos em que fica dividida a pirâmide.

Uma pirâmide tem 30cm de altura e cada uma de suas 5. secções planas paralelas à base é um quadrado. Calcule a que distância do topo da pirâmide está a seção que determina um tronco de pirâmide de volume igual a 7/8 do volume total da pirâmide.

A que distância da base de um cone de altura H se deve 6. passar um plano paralelo à sua base, a fim de que a

seção determinada seja 19

da base do cone?

12

Ha)

23

Hb)

34

Hc)

45

Hd)

32

He)

A figura mostra dois cones de revolução iguais, de altura 7. 2 e raio da base 1. O vértice de cada um deles é o centro da base do outro.

2

O

O1

O volume da parte comum aos dois cones é:

p12a)

p6b)

p4c)

p3d)

p2e)


6 EM

_V_M

AT

_031

Se um cone de centro da base O e de altura H (figura I), 8.

obtém-se um tronco de cone de altura H2

(figura II).

Nesse tronco, faz-se um furo cônico com vértice O, como indicado na figura III.

H

0

H/2

o

Fig. I Fig. II Fig. III

Se o volume do cone da figura I é V, então o volume do sólido da figura III é:

34V

a)

V2b)

58V

c)

23Vd)

47V

e)

A figura abaixo é a seção de dois cones retos, cortados 9. por um plano perpendicular às bases.

2D

2D4D

D

O volume da região hachurada é:

5

63pDa)

7

123pDb)

1

33pDc)

pD3d)

2 3pDe)

A área da superfície de uma esfera cresce 4,04% quando 10. o raio dessa esfera sofre um aumento de:

3%a)

2,5%b)

2,2%c)

2%d)

1,5%e)

Calcule o volume do tronco de pirâmide quadrangular 11. regular de primeira espécie, sabendo que os lados das bases medem 3cm e 4cm e a altura mede 6cm.

37cma) 3

26cmb) 3

74cmc) 3

148cmd) 3

222cme) 3

Uma pirâmide regular tem base quadrada de área 4. Ela 12. é seccionada por um plano paralelo à base, de modo a formar um tronco de pirâmide de altura 2 e de base superior de área 1. Determine o valor da aresta lateral do tronco de pirâmide.

(ITA) A figura representa uma pirâmide hexagonal regu-13. lar, de altura 10m e lado da base 4m, que foi seccionada por um plano paralelo à base e distante 5m.

F

A

B 4 m CD

E

V

5 m

Determine o volume do tronco de pirâmide obtido.

(UFGO) O volume de um tronco de cone circular reto, 14. com base de raio R, cuja altura é a quarta parte da altura h do cone correspondente, é:

pR h2

4a)

pR h2

12b)

55

192

2pR hc)

37

192

2pR hd)

3

4

2pR he)


7EM

_V_M

AT

_031

(FCC) Um cone circular tem raio de base 4cm e altura 15. 12cm. Esse cone é cortado por um plano paralelo à sua base, gerando uma face circular de raio 2cm. O volume do tronco de cone assim obtido é, em cm2:

64a) p

56b) p

32c) p

24d) p

8e) p

(UFC) Um cone reto, de altura 4cm, é seccionado 16. por um plano paralelo à sua base à distância h de seu vértice. Para que o cone e o tronco de cone obtidos dessa secção tenham volumes iguais, a medida de h, em centímetros, é:

323a)

723b)

963c)

72d)

32e)

O volume do sólido gerado pela rotação completa da 17. figura a seguir em torno do eixo e é, em cm3:

2cm

3cm

3cm

6cm

e

38a) p

54b) p

92c) p

112d) p

128e) p

Calcule o volume do tronco de pirâmide quadrangular 18. regular de segunda espécie, sabendo que os lados das bases medem 3cm e 4cm e a altura, 6cm.

37cma) 3

26cmb) 3

74cmc) 3

148cmd) 3

222cme) 3

Um cone circular reto tem 24cm de altura e raio da 19. base medindo 9cm. Esse cone é cortado por dois pla-nos paralelos à sua base e que dividem sua altura em três partes iguais. Em cm3, o volume do tronco de cone compreendido entre esses dois planos é:

24a) p

168b) p

192c) p

504d) p

648e) p

Um cubo de aresta m está inscrito em uma semiesfera 20. de raio R de tal modo que os vértices de uma das fa-ces pertencem ao plano equatorial da semiesfera e os demais vértices pertencem à superfície da semiesfera. Então, m é igual a:

R 23a)

R 23

b)

R 33

c)

Rd)

R 32

e)

O volume do cilindro equilátero inscrito numa esfera de 21. raio igual a 8cm é:

128 2 3p cma)

64 2 3p cmb)

p 2 3cmc)

256 2 3p cmd)

128 3pcme)

Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio R. 22. O excesso do volume da esfera em relação ao volume do cone é:

2

33pRa)

2 3

33pRb)

23

243pRc)


8 EM

_V_M

AT

_031

13

123pRd)

29

243pRe)

Um tubo cilíndrico de altura 20cm e raio da base 2cm 23. é o recipiente onde se colocam peças esféricas que se ajustam perfeitamente ao tubo. Para proteger essas peças, o espaço vazio entre elas e o tubo é preenchido com um lubrificante líquido. O volume, em cm3, de lubrificante necessário ao total preenchimento desse espaço vazio é:

1603

pa)

803p

b)

80pc)

160pd)

Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo e outra 24. F está circunscrita a esse mesmo cubo.

E

F

r1r

αα

Então, a razão entre os volumes de F e de E é igual a:

3a)

2 3b)

3 32c)

3 3d)

4 33

e)

Uma esfera de raio 2R está inscrita em um cone de 25. revolução. Uma segunda esfera de raio R tangencia exteriormente a 1.ª esfera e tangencia também todas as geratrizes do cone. Calcular o volume do cone.

2

33pRa)

4

33pRb)

16

33pRc)

32

33pRd)

64

33pRe)

Considere o tetraedro regular (4 faces iguais) inscritos 26. em uma esfera de raio R, onde R mede 3cm.

A

H

BM

C

D

A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro é dada por:

16 3cma)

13 6cmb)

12 6cmc)

8 3cmd)

6 3cme)

Mostre que a área total do cilindro equilátero, inscrito em 27. uma esfera, é a média geométrica entre a área da esfera e a área total do cone equilátero inscrito nessa esfera.

Observe a figura abaixo, que representa um cilindro 28. circular reto inscrito em uma semiesfera, cujo raio OA forma um ângulo θ com a base do cilindro.

r

oθ

Se θ varia no intervalo 02

, p

e o raio da semiesfera

mede r, calcule a área lateral máxima desse cilindro.

(PUC) Considere um cilindro circular reto inscrito em um 29. cone circular reto com 10cm de raio e 24cm de altura.

Expresse o volume desse cilindro como uma função do raio da base do cilindro.

Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6cm, 30. encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura a seguir.


9EM

_V_M

AT

_031

Calcule:

a área total, em cma) 2, da superfície da embalagem;

a fração do volume da embalagem ocupado pelas b) bolas.

(ITA) A figura representa uma pirâmide hexagonal regu-1. lar, de altura 10m e lado da base 4m, que foi seccionada por um plano paralelo à base e distante 5m.

5m

4m

Determine o volume do tronco de pirâmide obtido.

Dada a pirâmide de altura h, a que distância y do vértice 2. devemos traçar um plano secante paralelo à base, de

modo que o volume do tronco seja 1127

do volume da pirâmide?

h

y

Um tanque cônico, de eixo vertical e vértice para baixo, 3. tem água até a metade de sua altura. Se a capacidade do tanque é de 1 200L, então a quantidade de água nele existente é de:

600La)

450Lb)

300Lc)

200Ld)

150Le)

(FEI-SP) Um cone circular reto tem 2m de raio e altura 4. 4m. A área da secção transversal feita por um plano paralelo à base e distante 1m do vértice é:

p2

2ma)

p8

2mb)

p4

2mc)

p m2d)

n.d.a.e)

(PUC) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone 5. circular reto invertido, de eixo vertical, e está cheio até a boca (nível do solo) com 27 000 litros de água e 37 000 litros de petróleo (o qual é menos denso que a água).

Sabendo que a profundidade total do tanque é de 8 metros e que os dois líquidos não são miscíveis, a altura da camada de petróleo é:

6ma)

2mb)

3 37p

mc)

2716

md)

3716

me)

Um copo tem a forma de um cone com altura 8cm e 6. raio da base 3cm.

3

x

8


10 EM

_V_M

AT

_031

Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:

83

a) cm

6cmb)

4cmc)

4 3d) cm

4 43e) cm

(Cesgranrio) Uma ampulheta repousa numa mesa, 7. como mostra a figura I (o cone B completamente cheio de areia).

H

A

B

(I)

?

A

B

(II)

A posição da ampulheta é invertida. A figura II mostra o instante em que cada cone contém metade da areia. Nesse instante, a areia do cone B forma um cone de altura:

H3

a)

H2

b)

H

23c)

H

33d)

H4

e)

(UFRJ) Quantos brigadeiros (bolinhas de chocolate) 8. de raio 0,5cm podemos fazer a partir de um brigadeiro de raio 1,0cm?

(Cesgranrio) Um recipiente cônico, com altura 2 e raio 10. da base 1, contém água até a metade de sua altura (figura I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a figura II.

Figura I Figura II

V

-0V

A distância do nível da água ao vértice, na situação da figura II, é:

32

a)

43

b)

3c)

73d)

63e)

Uma ampulheta é formada por dois cones de revo-9. lução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte

de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura.

No início 35 minutos depois

h h 2

Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo?

5 minutosa)

10 minutosb)

15 minutosc)

20 minutosd)

30 minutose)


11EM

_V_M

AT

_031

Calcular o volume de um tronco de pirâmide quadrangu-11. lar regular que tem a área lateral de 1 360cm2, sabendo que a razão dos lados das bases é 3

7 e que a altura do

tronco vale 38

da soma de tais lados.

Um tronco de pirâmide regular tem 3m de altura, o vo-12. lume de 133m3 e as bases são dois quadrados tais que

o lado de um deles vale 49

do lado do outro. Calcular

os lados das bases e o apótema do tronco.

Calcular a área lateral do tronco piramidal regular, cujo 13. apótema mede 2,5m e cujas bases são hexágonos de lados 4m e 6m, respectivamente.

As bases de um tronco piramidal regular são quadrados, 14. cujos lados medem 6m e 15m, respectivamente. Achar a área lateral do tronco, sabendo que o seu volume é de 702m3.

Um tronco de pirâmide regular tem por bases quadrados 15. de lados a e b; além disso, a área lateral do tronco é igual a soma das áreas das bases. Determinar a altura do tronco.

A seção meridiana de um tronco de cone é um trapézio 16. isósceles circunscritível a um círculo de raio 6cm. Calcu-lar o volume do tronco, sabendo que a soma dos raios das bases é 13cm.

As bases de um tronco de cone, com 10m de altura, são 17. círculos de raios 3m e 8m. Corta-se esse tronco por um plano paralelo às bases, obtendo-se uma seção cuja área é o quádruplo daquela da base menor. Calcular a distância do plano secante à base maior do tronco.

Num tronco de cone, o raio da base menor vale 18. 23 do

raio da base maior, a soma dos raios das bases e da altura é 19m, e a soma dos raios das bases supera de 3m o triplo da altura. Calcular a área total do tronco.

Um cone de raio 12cm e cujo apótema mede 36cm foi 19. cortado por um plano paralelo à base. Determinar a distância do vértice do cone ao plano secante, sabendo que o cone parcial e o tronco de cone obtidos têm áreas totais iguais.

Um tronco de cone, cujos raios das bases são a e b, 21. foi cortado por dois planos paralelos às bases, ficando decomposto em três partes equivalentes. Determinar os raios das seções feitas pelos planos secantes no tronco.

Calcular a área total do prisma quadrangular regular 22. inscrito numa esfera de raio 9cm, sabendo que a aresta lateral do prisma é o dobro da aresta da base.

Uma esfera está inscrita num cubo e este está inscrito 23. em um cilindro de raio 6cm. Achar a área e o volume da esfera.

Num cone equilátero de raio R está inscrito uma esfera 24. e nessa esfera está inscrito um cone equilátero. Achar a razão entre as áreas totais dos dois cones equiláteros.

A altura de um cone é o dobro do raio R da base. Cal-25. cular, em função de R, o volume da esfera circunscrita ao cone.

Duas esferas iguais, de raio 6cm, são tais que uma passa 26. pelo centro da outra. Calcular o volume da parte comum às duas esferas.

Calcular a razão entre os volumes das esferas inscrita e 27. circunscrita a um mesmo octaedro regular.

Achar a razão entre os volumes de dois tetraedros 28. regulares, estando um inscrito e o outro circunscrito a uma mesma esfera.

V é o volume e S29. t a área total de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de raio R. Demonstrar que: V = RSt/3.

Calcular o volume do octaedro regular inscrito numa 30. esfera de raio R.

Coloca-se uma esfera dentro de um vaso cônico com 31. 24cm de altura, cuja geratriz mede 30cm. Determinar o raio da esfera, sabendo que ela toca o vaso a 10cm de distância do vértice.

Um pote de sorvete tem o formato de um tronco de 20. cone com 10cm de altura e raios das bases medindo 4cm e 6cm.

Calcule o volume do sorvete, em ml, contido no pote, quando ele estiver totalmente cheio, sem transbordar.


12 EM

_V_M

AT

_031

O modelo astronômico heliocêntrico de Kepler, de 32. natureza geométrica, foi construído a partir dos cinco poliedros de Platão, inscritos em esferas concêntri-cas, conforme ilustra a figura abaixo:

A razão entre a medida da aresta do cubo e a medida do diâmetro da esfera a ele circunscrita é:

3a)

32

b)

33

c)

34

d)

Calcular o raio da esfera circunscrita a um tetraedro 33. SABC, sabendo que o triedro de vértice S é trirretângulo, e que AS = a, SB = b, SC = c.


13EM

_V_M

AT

_031

d H –=

11

231.

B2.

D3.

1; 7; 194.

15cm5.

B6.

B7.

A8.

A9.

D10.

C11.

3 22

12.

70 3 3m13.

D14.

B15.

A16.

E17.

B18.

B19.

A20.

D21.

C22.

B23.

D24.

E25.

C26.

Demonstração.27.

pr228.

VR

R cm= −125

102

3p( )29.


14 EM

_V_M

AT

_031

30.

126 2pcma)

23

b)

70 3 3m1.

yh= 16

3

3

2.

E3.

C4.

B5.

E6.

C7.

88.

A9.

D10.

6 320cm11. 3

9m ; 4m; 12. 612

75m13. 2

315m14. 2

aba b( )+

15.

532 3pcm16.

4m17.

19218. pm2

16 3cm19.

796ml20.

3 3 3 3

3 3b a 2 b a

;3 3

+ −21.

540cm22. 2

7223. pcm2; 72p; 2cm3

424.

12548

3pR25.

90 3pcm26.

39

27.

127

28.

Demonstração.29.

43

3R30.

7,5cm31.

C32.

R a b c= + +12

2 2 233.


15EM

_V_M

AT

_031


16 EM

_V_M

AT

_031


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