matematica geometria plana exercicios gabarito quadrilateros

5/27/2018 Matematica Geometria Plana Exercicios Gabarito Quadrilateros

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Quadrilteros1) (OBM)O retngulo ao lado est dividido em 9quadrados,A, B, C, D, E, F, G, H eI.O quadradoAtem lado 1 e o quadrado Btem lado 9. Qual olado do quadrado I?

I

H

D

C

G

F

EB

A

2) (UFSCar) A figura mostra um crculo de centro O e raio R= 18 cm. O segmento AB o lado de um hexgono regularinscrito e ACE, um tringulo eqiltero inscrito.

Nessas condies, a rea do paralelogramo EFBG

a) 216 3 cm2

b) 180 3 cm2c) 116 3 cm2d) 120 3 cm2e) 108 3 cm2

3) (FGV) a) Na figura a seguir, ABCD um retngulo eAMCN um losango.Determine a medida do segmento NB, sabendo que AB =2AD = 20cm.

b) Considere dois polinmios, f(x) e g(x), tais que o grau def(x) n + 2 e o grau de g(x) n - 1. Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0),respectivamente, o quociente e o resto da diviso de f(x)por g(x). O que se pode afirmar a respeito dos graus dos

polinmios q(x) e r(x)?

4)Considere o hexgono ABCDEF da figura abaixo. Adiagonal AD paralela aos lados BC e EF do hexgono. SeAD = 32, qual o valor de x ?

5) (Unifesp) Em um paralelogramo, as medidas de doisngulos internos consecutivos esto na razo 1 : 3 .O ngulo menor desse paralelogramo medea) 45.

b) 50.c) 55.d) 60.e) 65.

6) (UEL) Embora o desenho abaixo parea representar umafigura em trs dimenses, ele foi feito no plano, usando-seapenas losangos congruentes entre si. Os ngulos internosdesses losangos medem:

a) 30oe 150ob) 36oe 72oc) 36oe 144od) 45oe 135oe) 60oe 120o

7) (Fuvest) Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGHtm, ambos, lado a e centro O. Se EP = 1, ento a :

a) 12

2



2

b) 13

2

c) 22

d) 2

e) 12

2

8) Na figura, ABC um tringulo equiltero, ABDE umquadrado e o ponto C pertence ao segmento EF. Qual ovalor do ngulo CFB ?

9) (UFPE) Na(s) questo(es) a seguir escreva nosparnteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso.

Analise as seguintes afirmaes:( ) Dois tringulos equilteros quaisquer sosemelhantes.( ) Dois tringulos retngulos so semelhantes se os

catetos de um so proporcionais aos catetos do outro.( ) Num tringulo qualquer, cada lado maior que asoma dos outros dois.( ) Se as diagonais de um quadriltero seinterceptam no seus pontos mdios, ento essequadriltero um retngulo.( ) Se pelo ponto mdio do lado AB de um tringuloABC traarmos uma reta paralela ao lado BC, ento estareta interceptar o lado AC no seu ponto mdio.

10) (Fuvest) No quadriltero ABCD da figura abaixo, E um

ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE mede 60 e osngulos EBC e BCD so retos. Sabe-se ainda que AB = CD

= 3 e BC = 1. Determine a medida de AD.

11) (Fuvest) No quadriltero ABCD, temos AD = BC = 2 e oprolongamento desses lados forma um ngulo de 60.

a) Indicando por , B , C e D , respectivamente, asmedidas dos ngulos internos do quadriltero de vrtices

A, B, C e D, calcule + B e C +D

b) Sejam J o ponto mdio de DC, M o ponto mdio de AC eN o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN.

c) Calcule a medida do ngulo MJN.

12) (Fuvest) No retngulo a seguir, o valor, em graus, de

+ :

a) 50b) 90c) 120

d) 130e) 220



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13)Num heptgono, seus ngulos internos medem x, 2x,3x, 4x, ... e assim por diante at o ltimo (e maior) ngulo.

a) Quanto mede esse maior ngulo?b) Este heptgono um polgono cncavo ou convexo?Justifique.

14) O permetro de um losango 80cm. Se uma de suasdiagonais o triplo da outra, qual a medida da diagonalmaior?

15) (Unicamp) O quadriltero formado unindo-se ospontos mdios dos lados de um quadrado tambm umquadrado.

a) Faa uma figura e justifique a afirmao acima.b) Supondo que a rea do quadrado menor seja de 72 cm2,calcule o comprimento do lado do quadrado maior.

16) (OBM) O trapzioABCDtem basesABe CD. O lado DA

medexe o lado BCmede 2x. A soma dos ngulos

DAB e

ABC 120o. Determine o ngulo

DAB .

17) (UFMG) Observe a figura

Nessa figura, B o ponto mdio do segmento DE e ABCD um retngulo de lados DC = 1 e AD = 2. Calcule a medidado segmento AE.

18) Obtenha o permetro de um losango cujas diagonaismeam 2cm e 4 cm.

19) (PUC-RJ) Os ngulos internos de um quadriltero

medem 152,102,453 xxx e 20x graus. O

menor ngulo mede:90654510580

20) (Seleo para Olimpada do Cone Sul) Prove que as

distncias entre um ponto sobre uma circunferncia e os

quatro vrtices de um quadrado nesta inscrita no podemser todos nmeros racionais.

21) Qual o menor nmero de quadrilteros que precisamser desenhados para que se tenha 2 quadrados, 3losangos, 2 retngulos, 4 paralelogramos e 4 trapzios ?

Faa esses desenhos.

22) (UFC) Um paralelogramo tem dois lados consecutivosmedindo 3cm e 4cm. Sabendo-se que esses lados formamum ngulo de 120o, ento, o produto dos valoresnumricos das medidas das diagonais do paralelogramo igual a:

a) 407

b) 444

c) 481

d) 518

e) 581

23) Um trapzio ABCD foi montado a partir de 2 trapziosretngulos, ABQP e QCDP, como mostra a figura. Obtenhao comprimento do segmento AP, estando todas asmedidas em cm.

24) (Unicamp) Um trapzio retngulo um quadrilteroconvexo plano que possui dois ngulos retos, um nguloagudo e um ngulo obtuso . Suponha que, em um tal

trapzio, a medida de seja igual a cinco vezes a medida

de .

a) Calcule a medida de , em graus.b) Mostre que o ngulo formado pelas bissetrizes de e

reto.

25) (Fuvest) Um trapzio retngulo tem bases 5 e 2 ealtura 4. O permetro desse trapzio :a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17

26) (VUNESP) Uma certa propriedade rural tem o formatode um trapzio como na figura. As bases WZ e XY do

trapzio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e olado YZ margeia um rio.



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Se o ngulo XYZ o dobro do ngulo XWZ, a medida, emkm, do lado YZ que fica margem do rio :

a) 7,5.b) 5,7.c) 4,7.d) 4,3.e) 3,7.

27)Veja as 3 primeiras alternativas desta questo que caiu

no vestibular para a U.F.MG, em 1992:

Sobre figuras planas, correto afirmar-se que:a) Um quadriltero um retngulo se os lados

opostos tm comprimentos iguais.b) Um quadriltero que tem suas diagonais

perpendiculares um quadrado.c) Um trapzio que tm 2 ngulos consecutivos

congruentes issceles.d) ....e) ....

Um aluno que marcou alternativa (c) acertou ? Justifique.



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Gabarito

1) O quadradoAmedida de lado 1cm enquanto que oquadrado Btem medida de lado 9cm. Da que aslongitudes dos lados dos quadrados restantes so:C = 10cm G= 4cm.F= 7cm E= 8cm.D= 14cm. I= 18cm.

2) Alternativa: A

3) a) BN =cm

2

415

b) gr(q) = 3 e - 1

4) x = 6+8 = 14cm

5) Alternativa: A

6) Alternativa: E

7) Alternativa: E

8) o

9) V - V - F - F - V

10) Resposta: 7

11) Seja P o ponto de encontro do prolongamento doslados AD e BC.Considerando que o ngulo de 60oseja o ngulo interno aotringulo ABP em P, ento temos:a) A+B = 120oe C+D = 240ob) JN = JM = 1c) NJM = 60o

Caso o ngulo de 60oseja o externo ao tringulo ABP em P,

ento:a) A+B = 60oe C+D = 300ob) JN = JM = 1c) NJM = 120o

12) Alternativa: D

13) a) 225ob) cncavo, pois tem pelo menos um ngulo maior que180o.

14) Diagonal maior = 6 2 cm

15) a) Para provar que MNPQ um quadrado, vamosmostrar que os seus quatro lados tm o mesmocomprimento e os seus ngulos internos so retos.

Os tringulos 1, 2, 3 e 4 so retngulos, issceles econgruentes [dois lados, que so os catetos, e os ngulos

compreendidos entre eles, que so retos, iguais]. Logo, ashipotenusas, que so os lados de MNPQ, so iguais.

Os ngulos , , ... medem, cada um deles 45o. Ou seja,

+ = 90o de modo que o ngulo N = 90o. Analogamente,os outros 3 ngulos do quadriltero tambm medem 90o.

b) L = 12cm.

16) Tracemos DM // BC(vide figura abaixo). Como AMD =ABC DAM AMD DAM ABC -se queADM AD=xe BC= 2x, sendoPo ponto

mdio de DM,ento,AD= DP=xeADP um tringuloequiltero, isto ,AP= a. PortantoAPM um tringulo

PAM AMP e com DPA umngulo externo do tringuloAPM DPA=

PAM AMP AMP ABC. ABC =DAB = - ABC =

A

D

M B

P

C

17) AE = 2 2 18) Permetro = 4 5 cm19) Alternativa: B

20) No caso do ponto coincidir com um dos vrtices, oresultado trivial. Caso isso no ocorra, suponhamos, sem

perda de generalidade que o ponto P esteja entre osvrtices C e D do quadrado ABCD inscrito na



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circunferncia, chamemos ainda, respectivamente, de a, b,c as distncias de P a A, de P a B e de P a C. Considerando oquadriltero ABCP, pelo teorema de Ptolomeu temos quea(BC) + c(AB) = b(AC), reescrevendo obtemos:

2b

AB

ACbca

.

Se b fosse racional, a ou c ento teriam de ser irracionais.

21) 4 quadrilteros:

22) Alternativa: C

23) AP = 9cm

24) ob) Ao se traar as duas bissetrizes mencionadas, temos um

o(j que os outros 2 ngulos dooe x = 180o-

o

25) Alternativa: DUsando Pitgoras temos que CD = 5 portanto o permetro 2+4+5+5 = 16

26) Alternativa: E

27) No, pois ele pode ser um trapzio retngulo que temdois ngulos retos consecutivos.

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