matemÁtica ensino fundamental, 9º ano semelhança de figuras planas

MATEMÁTICAEnsino Fundamental, 9º Ano

Semelhança de figuras planas

Matemática, 9º ano, Semelhança de figuras planas

APLICAÇÃO DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS PARA O CÁLCULO

DE ALTURAS INACESSÍVEIS


OBJETIVOO objetivo desta aula é mostrar que existe a possibilidade de se utilizar de meios acessíveis aos alunos e aos professores para aplicarem na prática o conteúdo estudado.


PRÉ-REQUISITOS Inicialmente se fará uma breve revisão dos conteúdos, tais como: Grandeza ângulo, retas paralelas e perpendiculares, medição e instrumentos de medidas, semelhança de figuras planas, semelhança de triângulos, proporção e regra de três simples , todos pré-requisitos para a aula de aplicação da semelhança de triângulos na determinação de alturas inacessíveis.


GRANDEZA ÂNGULO“Chama-se ângulo a região do plano limitada por dois segmentos de reta que contém o mesmo ponto de origem. Esses segmentos recebem o nome de lados do ângulo e o ponto de origem recebe o nome de vértice do ângulo.”1

A

B

C

Ângulo formado pelas semirretas

AB e BC

1 Disponível em:http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm ; Acesso em julho 2015.

http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm


RETAS PARALELAS“Duas restas distintas no plano são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum.

2 Disponível em:http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-concorrentes.html ; Acesso em julho 2015.

rs

Indica-se assim: r//s

Um caso particular ocorre quando o ângulo entre duas retas é de 90° graus ângulo. Estas são então chamadas retas perpendiculares.”2

Indica-se assim: r s

RETAS PERPENDICULARES

r

s


INSTRUMENTOS DE MEDIDA“Os instrumentos de medições sempre foram e vão ser uma necessidade da humanidade. Medidas Exatas ou aproximadas podem resultar em resultados adequados para as diversas atividades. Esse tópico é tão importante que seu estudo é objeto de um ramo da ciência conhecido como Metrologia, que estuda o melhor método de obter a medição precisa de diferentes grandezas, e estabelece as unidades de medição dessas grandezas aceitas universalmente”.3

3 Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm#vermais ; Acesso em julho 2015.

http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm


“Dependendo do tamanho do objeto a ser medido, são necessários instrumentos e ou métodos diferentes para se obter as medições. As réguas, fitas métricas, são instrumentos adequados para medir a largura e o comprimento, ou seja, distâncias lineares.As figuras abaixo são instrumentos de medição de distâncias lineares, mas existem outros aplicados para as diversas finalidades e tipos de medições.”4

4 Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm#vermais ; Acesso em julho 2015.5 Disponível em: http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida/9instrmedida4.jpg ; Acesso em julho 2015.6 Disponível em: http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg ; Acesso em julho 2015.

Régua5

Fita métrica6


http://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida/9instrmedida4.jpg

http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg


“Em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes, elas constitui uma cópia da outra com escala diferente.”8 A fig.2 é semelhante a fig.1, neste caso ela é uma ampliação da fig.1, obedecendo a uma razão de semelhança (escala).

Observe as figuras abaixo:Fig.1 Fig.2

SEMELHANÇA DE FIGURAS PLANAS

Figuras semelhantes - ampliação 7

7 Disponível em: http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/uploadedfiles/images/semelhancas2.jpg ; Acesso em julho 2015.8 Disponível em: http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97 ; Acesso em julho 2015.

http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/uploadedfiles/images/semelhancas2.jpg

http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97


PARA QUE AS FIGURAS PLANAS SEJAM SEMELHANTES, ELAS DEVEM POSSUIR:

• Os ângulos correspondentes congruentes;• Os lados correspondentes iguais ou proporcionais;Vejam as figuras abaixo:

2cm

4cm

1cm2cm

Nesse caso os ângulos correspondentes são congruentes e os lados da figura menor é metade de seus correspondentes na figura maior.A semelhança indica-se assim:

A

D

B

D’C

B’A’

C’

D'C'B'A' ABCD

''''

D'D

C'C

B'B

A'A

^^

^^

^^

^^

dd

cc

bb

aa

~


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS“Dados dois triângulos não é necessário conferir se todos os lados correspondentes dos mesmos são iguais ou proporcionais e ainda se todos os ângulos correspondentes são congruentes para saber se eles são ou não semelhantes, basta que ambos apresentem algumas das condições necessárias, que serão mostradas a seguir: Caso AA (Ângulo, Ângulo) Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro, os dois triângulos são semelhantes”.9

C'B'A'~ABC'

'

CCBB

^^

^^

A

B C C’

A’

B’

9 Disponível em:http:// http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html ; Acesso em julho 2015.

http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/casos-de-semelhanca-de-triangulos.html


Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

“Se todos os lados de um triângulo forem iguais ou proporcionais aos lados de outro, os dois triângulos são semelhantes”.10

C'B'A'~ABC'''

cc

bb

aa

c

b’c’

a a’

b




Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)“Se dois triângulos possuírem um ângulo congruente formado entre dois lados de medidas iguais ou proporcionais, os dois triângulos são semelhantes.”11

C'B'A'~ABC

''

B'B^^

cc

aa

c

c'b

aa'

b'

B’B

A

CC’

A’




PROPORÇÃO“À igualdade entre duas razões equivalentes damos o nome

de proporção. Quando escrevemos estamos escrevendo

uma proporção que lê-se: 2 está para 5 assim como 4 está para

10.

104

52

O primeiro e o último termos são chamados de extremos da proporção (2 e 10 são os extremos).O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção (5 e 4 são os meios).”12

12 Disponível em: https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html ; Acesso em julho 2015.

https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.html


PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES“1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

5 x 410 x 2104

52

2. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus meios, ou os seus extremos:

410

25

24

510

105

42

104

52

Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos uma nova proporção.”13




“3. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente:

52

51024

104

52 e

156

10542

104

52

Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas.”14




REGRA DE TRÊS SIMPLES“Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.”15

Observe:

104

5x

Aplicando a primeira propriedade das proporções tem-se:

21020x20x.104.5x.10

104

5x

15 Disponível em: http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php ; Acesso em julho 2015.

http://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.php


UM POUCO DE ÓPTICA GEOMÉTRICA“Reflexão Regular: nesse tipo de reflexão, os raios (segmentos de retas) refletidos, ficam paralelos uns aos outros e formam o mesmo ângulo que os raios incidentes formam com o plano horizontal. É esse tipo de reflexão que forma a imagem em superfícies altamente polidas, como os espelhos, metais e em superfície d’água. A imagem que se forma nesses meios é altamente nítida, porém, ela não pode ser observada de diferentes posições.”16

16 Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/fisica/reflexao-luz.htm ; Acesso em julho 2015.17 Disponível em: http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo/Reflex%C3%A3o%20regular.jpg ; Acesso em julho 2015.

Diagrama mostrando como ocorre a reflexão regular 17

http://www.mundoeducacao.com/fisica/reflexao-luz.htm

http://www.mundoeducacao.com/upload/conteudo/Reflex%C3%A3o%20regular.jpg


AULA PRÁTICANesta aula os alunos do 9° ano foram reunidos na quadra em frente a escola, para determinar a altura de um dos postes de iluminação, o que não dava para fazer com fita métrica.

Alunos do 9º ano da Escola Carmela Dutra e seus reflexos no espelho d’água.

Detalhe do Espelho d’água.


A primeira ideia era usar um prato com o fundo preto para fazer o espelho d’água. Mas...


... como choveu instantes antes, surgiu a ideia de usar o espelho d’água formado na quadra pelas poças, como pode observado.

Detalhe do reflexo das imagens no

espelho d’água.


ESQUEMATIZAÇÃO DA SITUAÇÃOA linha vertical do aluno e a linha vertical do poste formam 90° com o plano horizontal refletor, que é o formado pelo piso da quadra e as poças d’água ocasionadas pela água da chuva.

Poste 18 Aluno 19

18 Disponível em: http://i00.i.aliimg.com/photo/v0/502043334/Galvanized_conical_street_light_pole.jpg ; Acesso em julho 2015.19 Disponível em: http://s414.photobucket.com/user/sem_tempero/media/depe.jpg.html ; Acesso em julho 2015.

Plano espelhado

http://i00.i.aliimg.com/photo/v0/502043334/Galvanized_conical_street_light_pole.jpg

http://s414.photobucket.com/user/sem_tempero/media/depe.jpg.html


Os raios de luz, que formam a imagem, se propagam em linha reta e quando encontram um plano polido eles são refletidos com mesmo ângulo que chegaram.

α β

Ângulo α é igual ao ângulo β

Raio de luz.Reflexo do raio de luz.


Fazendo uma sobreposição de imagens tem-se dois triângulos semelhantes pelo caso AA (ângulo, ângulo). Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro, os dois triângulos são semelhantes.

α β

Poste Aluno


Nomeando os vértices dos triângulos chama-se de “C e C’ ” o ponto onde o segmento de reta é refletido e também onde o aluno enxerga o topo do poste no espelho d’água.

α β

A’

B’ C=C’ B

A

Poste Aluno


Como os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, e portanto guardam a mesma razão de proporção.

α β

A’

B’ C=C’ B

A

BA''BA

=''CB

CB

Distância entre a base do poste e a

imagem de seu topo no espelho

d’água.

Distância entre o aluno e a imagem do topo do poste

no espelho d’água.

Altura do poste a qual se deseja

descobrir.

Altura do aluno.

Poste Aluno


AS MEDIÇÕES FEITAS PELOS ALUNOS COM A FITA MÉTRICA

Medição da altura dos olhos do aluno até o piso da quadra.

Medição da distância do aluno até o ponto onde ele avista o topo do poste.

Medição da distância do ponto onde se ver a imagem do topo do poste, até sua base.

Anotação das medidas feitas no caderno.


Altura dos olhos do aluno 1,75 metros.

Distância do aluno até a imagem do topo do poste no

espelho d’água 1,11 metros.

Distância entre a base do poste e a

imagem de seu topo no espelho d’água

5,10 metros.

Altura inacessível do poste, a qual deseja-

se conhecer.POSTE DO ALT.

75,1 = 10,511,1

SIMULAÇÃO DA SITUAÇÃO REAL


Utilizando a propriedade 1 da proporção e a regra de três simples, e fazendo o produto dos meios igual ao produto dos extremos, calcula-se assim a altura aproximada do poste.

1,75POSTE DO ALT. = 11,1

10,5

POSTE DO ALT. x 1,11

=

75,1 x 10,5

POSTE DO ALT.

=

11,175,1 x 10,5

POSTE DO ALT. = metros 04,8


ADAPTAÇÃO À SITUAÇÃONão precisa chover e nem de um piso especial para desenvolver esta prática, ela pode se feita utilizando um prato de louça colando no centro um fundo preto, utilizando os mesmos procedimentos vistos quando foi utilizados as poças d’água.


RECOMENDAÇÕESA importância de se usar o espelho d’água, e não o espelho convencional é que a água fica sempre nivelada, ou seja, mesmo que o piso ou prato tenha alguma inclinação isso será corrigido pelo nivelamento da água.

20 Disponível em: http://fscomps.fotosearch.com/printcomp.aspx?filepath=CSP/CSP275/k2758935.jpg&papersize=24x36&paperstyle=crop&paperborder=0 ; Acesso em julho 2015.

Alunos do 9º ano da Escola Carmela Dutra e seus reflexos no espelho d’água Espelho comum20

Detalhe do espelho

d’água no piso da quadra.

http://fscomps.fotosearch.com/printcomp.aspx?filepath=CSP/CSP275/k2758935.jpg&papersize=24x36&paperstyle=crop&paperborder=0

http://fscomps.fotosearch.com/printcomp.aspx?filepath=CSP/CSP275/k2758935.jpg&papersize=24x36&paperstyle=crop&paperborder=0


SUGESTÃO DE ATIVIDADEComo sugestão de atividade, pode ser feita a determinação da altura de algo acessível, como por exemplo a altura de uma haste de madeira, que deve ser fixada no chão, e estar na vertical (garantido com o auxílio de um prumo de pedreiro) e com altura aproximada de 2 metros,medido com a fita métrica antes, para depois comparar os resultados.

2 m

. .


INSTRUMENTOS QUE DEVEM OU PODEM UTILIZADOS NA AULA PRÁTICA MOSTRADA

Fita métrica21 Prato branco com o fundo preto 22 Prumo de pedreiro23

21 Disponível em: http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg ; Acesso em julho 2015.22 Disponível em : http://mlb-s2-p.mlstatic.com/porcelana-pratos-schmidt-en-decoracao-antiga-967101-MLB20279802929_042015-S.jpg ; Acesso em julho 2015. 23 Disponível em : http://tlgferramentas.com.br/wp-content/uploads/2014/08/prumo-de-aco-tlg.jpg ; Acesso em julho 2015.

http://mlb-s2-p.mlstatic.com/trenas-en-medicoes-instrumentacao-933601-MLB20348705707_072015-S.jpg

http://mlb-s2-p.mlstatic.com/porcelana-pratos-schmidt-en-decoracao-antiga-967101-MLB20279802929_042015-S.jpg

http://tlgferramentas.com.br/wp-content/uploads/2014/08/prumo-de-aco-tlg.jpg


EXTRAS1) Determinar a altura de uma torre de telecomunicação, cujo topo pode ser visto por um homem, através de um espelho d’água num ponto a 5 metros dele e a 25 metros da base da torre. Considere que a distância dos olhos do homes até o piso é de 1,80 metros. 2) Determinar a distância que uma pessoa, cuja altura de seus olhos em relação ao chão é de 1,7 metros deve ficar para que possa enxergar através de um espelho d´água o topo de um prédio, cuja altura é de 60 metros e está a 20 metros do ponto onde esta pessoa deve ver o topo deste prédio.


SITES E VÍDEOS SUGERIDOS:http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-concorrentes.htmlhttp://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htmhttp://www.notapositiva.com/trab_estudantes/trab_estudantes/eductecnol/9instrmedida.htm#vermaishttp://tecciencia.ufba.br/semelhancarazao-entre-duas-fracoes-qual-e-a-regra.htmhttp://educacao.uol.com.br/planos-de-aula/fundamental/matematica-https://www.algosobre.com.br/matematica/razao-e-proporcao.htmlhttp://www.somatematica.com.br/fundam/propor.phphttp://www.somatematica.com.br/fundam/regra3s.phphttp://www.mundoeducacao.com/fisica/reflexao-luz.htmhttps://www.youtube.com/watch?v=eB7NCwY-7Ushttps://www.youtube.com/watch?v=fv-pDDaQfvs

http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=97

http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-concorrentes.html

http://deborampmatematica.blogspot.com.br/2011/08/retas-paralelas-retas-concorrentes.html

http://www.brasilescola.com/matematica/angulos.htm



http://tecciencia.ufba.br/semelhanca

http://educacao.uol.com.br/planos-de-aula/fundamental/matematica-razao-entre-duas-fracoes-qual-e-a-regra.htm


PROFESSOR AUTOR:Adriano Alves da Silva

matemÁtica ensino fundamental, 9º ano semelhança de figuras planas

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