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MATEMÁTICA

ENEM 2009

PROF. MARCELO CÓSER

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DESAFIO DO NOVO ENEM:

Aliar habilidades/competências a conteúdos específicos do Ensino Médio.

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01) (SIMULADO ENEM) As condições de saúde e a qualidade de vida de uma população humana estão diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O gráfico I mostra dados da produção brasileira de arroz, feijão, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no período

compreendido entre 1997 e 2003. O gráfico II mostra a distribuição da renda familiar no Brasil, no ano de 2003. Considere que três debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram às seguintes conclusões:

Debatedor 1 – O Brasil não produz alimento suficiente para alimentar sua população. Como a renda média do brasileiro é baixa, o País não consegue importar a quantidade necessária de alimentos e isso é a causa principal da fome.

Debatedor 2 – O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua população. A causa principal da fome, no Brasil, é a má distribuição de renda.

Debatedor 3 – A exportação da produção agrícola brasileira, a partir da inserção do País no mercado internacional, é a causa majoritária da subnutrição no País.

Considerando que são necessários, em média, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos gráficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es):

A) 1. B) 2. C) 3. D) 1 e 3. E) 2 e 3.

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02) (ENEM) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para 2050. Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050:

a) taxa de crescimento populacional da China seránegativa.

b) a população do Brasil duplicará.

c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA.

d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%.

e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo.

%4747,0212

212311

%4141,0283116

283283397

INDONESIA

EUA

Taxa

Taxa

x

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03) (ENEM) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é:

ATENÇÃO PARA A PERGUNTA!

Área plantada (em hectare), Produção (em toneladas) e

Produtividade (em kg/hectare) são conceitos diferentes, basta

analisar suas respectivas unidades.

Produtividadeno período

Produçãono período

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O conceito de ÁREA PLANTADA deve ser obtido a partir da Produtividade e da Produção:

Em 1995, a Produtividade foi de 1.500 kg/hectare. Ou seja, cada hectare em média produziu 1.500 kg (1,5 toneladas). Como foram produzidas 30.000 toneladas de algodão, a área plantada foi de 30.000/1,5 = 20.000 hectares.

Dessa forma, a ÁREA PLANTADA é obtida da divisão da Produção (em kg) pela Produtividade (em kg/hectare).

20.000480.00099

24.0002,560.00098

20.0002,550.00097

16.0002,540.00096

20.0001,530.00095

Área Plantada

(em hectare)

Produtividade(em t/hectare)

Produção (em t)

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04) (ESPM) As notas da prova de Matemática numa classe foram distribuídas conforme a tabela abaixo. A média aritmética dessa distribuição é:

a) 5,15b) 5,45c) 5,75d) 6,00e) 6,15

8Acima de 7, até 10

20Acima de 5, até 7

12De zero até 5

Número de AlunosNotas

45540

21882012

5886205212 ,,,

M

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ATENÇÃO: nem toda média é aritmética.

As médias aritméticas não se aplicam a todas as situações.

Por exemplo, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. No entanto, esses três aumentos acumulados não equivalem a um aumento de 90%, muito menos a três aumentos de 30%. Só utiliza-se média aritmética quando os valores são acumulados via adição.

A MODA de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes.

Por exemplo, a tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa realizada com 280 pessoas. A moda é ir ao dentista uma vez por ano.

1016473910563Número de pessoas

5 ou mais43210

Número de visitas ao dentista por ano

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VARIAÇÃO PERCENTUAL

FATOR DE VARIAÇÃO

O FATOR DE VARIAÇÃO é obtido somando ou subtraindo a variação desejada a 100%. A variação é obtida a partir da MULTIPLICAÇÃO pelo fator de variação.

Exemplos:

+ 15% f = 1,15+ 234% f = 3,34-23% f = 0,77

Ainda, a idéia de um fator decimal para porcentagem se mostra útil para equacionar problemas. Por exemplo, 23% de determinado valor corresponde a 0,23V.

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05) (CÓSER) A meta para a inflação no primeiro trimestre de 2009 em certo país era de 15%. Se a inflação em janeiro foi de 6% e em fevereiro foi de 5%, qual deverá ser a inflação em março para que a meta seja atingida?

%,

,,,

,,,,

33

0331051061

151151051061

MAR

MAR

TRIMESTREMARFEVJAN

f

fffff

Variações percentuais são acumuladas a partir da multiplicação dos fatores de variação correspondentes.

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06) (CÓSER) No primeiro bimestre de 2009, as ações de certa companhia valorizaram 21%. Qual foi a valorização percentual mensal média?

Temos que duas variações acumuladas devem equivaler a uma variação de 21%. O fator de variação correspondente a um aumento de 21% é 1,21. Assim, dois fatores desconhecidos multiplicados devem resultar em 1,21.

2

1,211,21

121 111,21 1,1100 10

10%

f ff

f

No exemplo dado anteriormente, um valor sofre aumentos sucessivos de 20%, 25% e 45%. O aumento mensal médio pode ser calculado por:

%56,292956,1175,2175,2

45,125,120,133

ff

fff

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07) (ENEM) Em um colégio, 40% da arrecadação das mensalidades correspondem ao pagamento dos salários dos seus professores. A metade dos alunos desse colégio é de estudantes carentes, que pagam mensalidades reduzidas. O diretor propôs um aumento de 5% nas mensalidades de todos os alunos para cobrir os gastos gerados por reajuste de 5% na folha de pagamento

dos professores. A associação de pais e mestres concorda com o aumento nas mensalidades, mas não com o índice proposto. Pode-se afirmar que:

a) o diretor fez um cálculo incorreto e o reajuste proposto nas mensalidades é insuficiente para cobrir os gastos adicionais. b) o diretor fez os cálculos corretamente e o reajuste nas mensalidades que ele propõecobrirá exatamente os gastos adicionais. c) a associação está correta em não concordar com o índice proposto pelo diretor, pois a arrecadação adicional baseada nesse índice superaria em muito os gastos adicionais. d) a associação, ao recusar o índice de reajuste proposto pelo diretor, não levou em conta o fato de alunos carentes pagarem mensalidades reduzidas. e) o diretor deveria ter proposto um reajuste maior nas mensalidades, baseado no fato de que a metade dos alunos paga mensalidades reduzidas.

AUMENTO CORRETO: 5% de 40% do gasto = 0,05 * 0,4 * G = 0,02G + 2%

x

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Funções Lineares: problemas com variação constante.

f(x) = ax + bVARIAÇÃO

CONSTANTEVALORINICIAL

a > 0 a < 0

xya

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B(x) = 40 para x 50. E para x > 50?

08) (UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações

locais é de R$ 1,50. Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que o plano A.

(50, 40) B(x). Logo, 40 = 1,5 · 50 +b.Assim, b = 40 - 75 = -35.

Para x > 50, a função B(x) tem sua lei na forma B(x) = ax + b.

Do enunciado, aB = 1,5. Assim, B(x) = 1,5x + b.

1,5x - 35 = 0,25x + 501,25x = 85

x = 68 minutos.

(50; 40)

A(x) = 0,25x + 50

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09) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é:

a) 300b) 350c) 400d) 450e) 500

C(x) = 25x + 5000 e R(x) = 45x.

Um lucro de R$ 4.000 implica R(x) - C(x) = 4000.

45x - (25x + 5000) = 400020x - 5000 = 4000

20x = 9000

450200009

.x

Lucro por bolsa

Lucro desejado

+Custofixo

CUIDADO! Raciocínios que envolvam “Regra de 3” só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!

X

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10) A água de uma piscina cheia, com capacidade para 100.000 litros, foi tratada com 1000g de cloro. Água pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazão constante, sendo o excesso eliminado através de um ladrão. Depois de uma hora, um teste revela que ainda restam 900g de cloro na piscina. Que quantidade de cloro restará na piscina 10 horas após sua colocação?

Água pura

Água com cloro

Repare que, em uma hora, a quantidade de cloro retirada foi de 100g. No entanto, éincorreto afirmar que a cada hora o comportamento será o mesmo, já que a quantidade de cloro que sai é proporcional àquantidade de cloro existente. Ou seja, a perda de cloro será menor durante a segunda hora; no entanto, seguirá a mesma proporção anterior.

10 reduções de 10% Q = 1000 · 0,9 · 0,9 · 0,9 · … · 0,9 = 1000 · 0,910 = 348,68 g.

Q(x) = 1000 · 0,9x

Uma abordagem mais adequada para o problema diz que, a cada hora, a quantidade de cloro existente na piscina reduz em 10%, já que foram perdidas 100g das 1000g iniciais.

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11) Uma pessoa tomou 60 mg de uma certa medicação. A bula do remédio informava que sua meia-vida era de 6 horas. Como o paciente não sabia o significado da palavra, foi a um dicionário e encontrou a seguinte definição:

Meia-vida: tempo necessário para que uma grandeza (física, biológica) atinja metade de seu valor inicial.

Após 18 horas da ingestão do remédio, qual será a quantidade de remédio ainda presente no organismo? E após 3 horas?

Aplicando a definição de meia-vida, a cada 6 horas temos uma redução de 50%. Ou seja, em 18 horas teremos três reduções de 50%: Q = 60 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 7,5 mg

Para o cálculo da quantidade após 3 horas, é preciso descobrir o fator de redução correspondente a esse intervalo de tempo. Sabe-se que para 6 horas a redução é de 50% e em que 6 horas temos dois intervalos de 3 horas.

Assim, é preciso descobrir o fator de variação f que aplicado duas vezes equivale ao fator de variação 0,5:

mgQ

f

fff

42,42707,0.60

707,04143,1

1215,0

5,05,0. 2

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Funções Quadráticas: geralmente associadas a problemas de Área.

f(x) = ax² + bx + c

vV

VV

xfy

RRxouabx

2221

a > 0

a < 0

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Toda parábola possui um foco e uma diretriz:

Uma propriedade particular das parábolas diz que raios perpendiculares à diretriz são refletidos e sempre passam pelo foco.

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12) (UFRN) O Sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares aele. Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, os valores de x e y são, em metros, respectivamente:

a) 45 e 45b) 30 e 90c) 36 e 72d) 40 e 60e) 20 e 120

3x + y = 180 → y = 180 - 3x

A(x, y) = x · y

A(x) = x · (180 - 3x)

1ª) A(x) = 180x - 3x²a < 0: voltada para baixoRaízes: 180x - 3x² = 00 e 60 são as raízes.

2ª) A(x) = x · (180 - 3x)a < 0: voltada para baixoRaízes: x = 0 ou 180 - 3x = 00 e 60 são as raízes

2270090303031803030

3032

180302600

mAA

xoux

MÁX

VV

....

X

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13) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente .

De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que:

( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.

0,5.2

1

201 19.10

201 19.10

20 20 6,891 1,9 2,9

N

N

N

0,5

201 19.10 tN

t = 0

0,5.0

201 19.10

201 19.120 120

N

N

N

0,5.4

2

201 19.10

201 19.10

20 20 16,81 0,19 1,19

N

N

N

F

t = 2

F

t = 4

VF

N = 20

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

20201 19.10

111 19.10

1 19.10 119.10 010 0

t

t

t

t

t

Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

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0,5

201 19.10 tN

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Escalas Logarítmicas: problemas com valores muito grandes.

6543210log2 x

6432168421x

Escalaem PG

Escalaem PA

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14) (FFFCMPA) A unidade de medida do som é o bel. Na prática, costuma-se utilizar o decibel, que corresponde a um décimo do bel. As sonoridades, medidas em bel, constituem uma escala de progressão aritmética, mas a intensidade do som cresce segundo uma progressão geométrica. Quando o som, na escala bel, cresce uma unidade, a intensidade do som (em watts por metro quadrado) aumenta 10 vezes. A

sonoridade, medida em decibéis, de uma determinada banda de rock é de 90 decibéis, ao passo que a da conversação normal corresponde a 60 decibéis. Assim sendo, pergunta-se: quantas vezes a intensidade do som, em watts por metro quadrado, da banda de rock é maior do que a intensidade do som de uma conversação normal?

a) 3 vezesb) 10 vezesc) 30 vezesd) 1.000 vezese) mais de 1.000 vezes

A diferença entre o som da banda e o da conversação é de 30 decibéis = 3 béis. Como a cada variação unitária em béis a intensidade do som aumenta 10 vezes, a intensidade do som da banda corresponde a 10 · 10 · 10 = 1.000 vezes a intensidade do som da conversação.

Observe que na escala em decibéis constata-se que a medida da banda de rock é 50% maior que a da conversação. No entanto, tal interpretação é incorreta pois a escala em questão não é linear, mas sim logarítmica.

X

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15) (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente:

a) 16 hb) 20hc) 25hd) 32he) 36h

Quito

Cingapura

CingapuraQuito

hhkm

kmtkmRd 25/800

000.20000.20637014,363702

2

20.000 km

12.740 km

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DICA: Lembrar da razão de semelhança para área e volume em polígonos/sólidos semelhantes.

GRANDE GRANDE

PEQUENO PEQUENO

COMP ÁREA=

COMP ÁREA( )2

GRANDE GRANDE

PEQUENO PEQUENO

COMP VOLUME=

COMP VOLUME( )3

2GRANDE

PEQUENO

ARESTAARESTA

´2

´ 2 4GRANDE

PEQUENO

A REAA REA

32 8GRANDE

PEQUENO

VOLUMEVOLUME

Exemplo de questão: Um fazendeiro deseja dobrar a capacidade de irrigação na sua plantação. Para isso, decide dobrar o raio de cada cano. A solução é eficaz?

Não, pois dobrando uma medida de comprimento quadruplica-se a área correspondente. Ele deveria multiplicar o raio por , já que .2 22

2

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Matemática e suas Tecnologias

Conhecimentos numéricos: operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções, porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões, princípios de contagem.

Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais; grandezas, unidades de medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos; posições de retas; simetrias de figuras planas ou espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; circunferências; trigonometria do ângulo agudo.

Conhecimentos de estatística e probabilidade: representação e análise de dados; medidas de tendência central (médias, moda e mediana); desvios e variância; noções de probabilidade.

Conhecimentos algébricos: gráficos e funções; funções algébricas do 1.º e do 2.º graus, polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas; equações e inequações; relações no ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências; paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.