matemÁtica e suas tecnologias ensino médio, 2° ano equações lineares

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 2° ano

Equações Lineares

MATEMÁTICA, Ensino Médio, 2° anoEquações Lineares

Equações LinearesUM POUCO DA HISTÓRIA

Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares.

Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz (1646-1716), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações.

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Gottfried W. Leibniz

Arthur Cayley

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MATEMÁTICAEnsino Médio, 2° ano

Matrizes: Operações


Equações Lineares

APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARESA aplicação de equações e sistemas lineares é

fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região.


Acompanhe a situação a seguir

Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10,00, R$ 20,00, e R$ 50,00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque?

Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear.

Chamando de x o número de células de R$ 10,00, y o número de células de R$ 20,00 e z o número de células de R$ 50,00, podendo associar essa situação à equação 10x + 20y + 50z = 100.

A equação 10x + 20y + 50z = 100 é chamada equação linear.




De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,

x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo.

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

b é o termo independente.

Equações Lineares


x, y e z são as incógnitas;

4, 9 e 8 são os coeficientes;

40 é o termo independente;

Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.




Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40

Soluções de uma equação linear

x = 1y = 4z = 0

4.1 + 9.4 + 8.0 = 40 (Verdadeira)

x = 3y = 2z = 1

4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40 (falsa)


Solução de uma equação linear é toda sequência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

Soluções de uma equação linear




Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4.

Exemplo:

Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos

2.1 + a.(–3) – 4 = 4

→ 2 – 3a – 4 = 4

→ –3a = 6 → a = –2


1ª. Equação: 2x = 8

2x = 8 → x = 4

Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.

Número de soluções de uma equação linear




2ª. Equação: 0x = 3Não existe número real que, multiplicado por 0, resulte 3. Logo, a equação não têm solução.

3ª. Equação: x + 3y = 8Nessa equação o valor de uma incógnita depende do valor da outra (x = 8 – 3y).

y = 3 → x = 8 – 3.3 → x = –1 → (–1, 3)

y = 2 → x = 8 – 3.2 → x = 2 → (2, 2)

y = 1 → x = 8 – 3.1 → x = 5 → (5, 1)

Essa equação tem infinitas soluções.




Uma equação linear em que o termo independente é 0 (nulo) é chamada equação linear homogênea.

2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea

x + y – 5 = 0 → Não é equação linear homogênea

→ x + y = 5

→ Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.

Equação Homogênea




Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula?

0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula

→ Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.

Equação Nula




Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que:

todos os coeficientes são iguais a 0.

o termo independente é diferente de 0.

0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível

Equação impossível ou incompatível


Equação com variáveis naturais

Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas


Exemplos de exercícios sobre equações lineares

Exemplo 1: Resolva a equação 3x + 5y = 10

Resolução:A procura das soluções de uma equação é facilitada se uma das incógnitas é descrita em função da outra.

5y = 10 – 3x → y = 10 – 3x 5Definimos a variável y em função da variável x. Nesse caso, y é função de 1° grau em relação à variável x. Assim, para cada valor escolhido para x, podemos obter um valor para y. Organizamos uma tabela para alguns valores de x e y.


x y SOLUÇÕES-1 13

5-1, 13 5

0 2 0, 2

1 75

1, 7 5

2 45

2, 4 5

5 -1 5, -1

Poderíamos continuar essa tabela indefinidamente, pois essa equação linear com duas incógnitas tem um número infinito de soluções.

Podemos também representar o conjunto de soluções dessa equação por meio de um gráfico. Com a equação linear é do 1° grau , seu gráfico é uma reta.


x

y

01

2

3

1 2 3 4 5

.-1 .

Todos os pontos da reta que é gráfico da função y = 10 – 3x representam geometricamente soluções da equação e vice-versa. 5


Exemplo 1: Os pontos (3, -11) e (-2, 9) são soluções de uma equação linear com duas incógnitas. Determine outras duas soluções dessa equação.

Resolução:Representando graficamente os pontos (3, -11) e (-2, 9), todos os pontos da reta que passa por eles são soluções da equação linear. Graficamente, podemos encontrar algumas soluções da mesma equação, como:(0, 1), (2, 7), (-1, 5)

x

y

0

-7

5

9

2 3

-11

-1-2

1.(0, 1)

(-1, 5)

(2, -7)..

..


AGORA É SUA VEZ!

Atividade 1: Suponha que se pretendam transportar, em um elevador, caixotes de 10 kg e 30 kg. Sabendo que o elevador suporta no máximo 600 kg, então: a) É possível transportar 30 caixotes de 10 kg e 10 de 30 kg?

b) E 15 de 10 kg e 15 de 30 kg?

30 caixotes de 10 kg = 300 kg10 caixotes de 30 kg = 300 kgTotal = 600 kg

É possível

15 caixotes de 10 kg = 150 kg15 caixotes de 30 kg = 450 kg Total = 600 kg

É possível

Ope

nclip

art/

Dom

ínio

Pú

blico


c) Dê um par de números que seja solução desse novo problema.

d) Traduza esse problema por meio de uma equação.

45 caixotes de 10 kg = 450 kg05 caixotes de 30 kg = 150 kgTotal = 600 kg

Não é possível

X = número de caixotes de 10 kgY = número de caixotes de 30 kg10 . x + 30 . y = 60010 . (x + 3 . y) = 600X + 3 . Y = 60

Atividade 2: Considere a equação linear 2x + y = 3. a) Defina y em função de x.

2 . x + y = 3y = -2 . x + 3


b) Represente as soluções da equação em um referencial cartesiano.

x

y

0

1

2

3

1 2 4

.. 3

4

Os pontos marcados, (0, 3) e (3/2, 0), são os cortes nos eixos x e y.


Atividade 3: Cristiane foi a uma papelaria comprar fichários e canetas. As canetas custavam R$ 2,50 cada e os fichários, R$ 5,00 cada. Cristiane gastou R$ 40,00 na papelaria. Quantos fichários e quantas canetas terá comprado? a) Traduza esse problema por meio de uma equação.

b) Determine dois pares de valores que sejam solução da equação.

Se F = 1 → C = 16 – 2 . 1 → C = 14(Um fichário e 14 canetas)

Resolução:2,5 . C + 5 . F = 402,5 . C = 40 – 5 . FC = 40 – 5 . F 2,5

→ C = 16 – 2 . F

Resolução:C = número de canetasF = número de fichários2,50 . C + 5,00 . F = 40,00 → 2,5 . C + 5 . F = 40

Se F = 2 → C = 16 – 2 . 2 → C = 12(Dois fichários e 12 canetas)


c) Indique um par de números que não seja solução do problema.

d) Há pares de números que são soluções da equação mas não do problema? Justifique.

e) Organize uma tabela de modo que você encontre todas as soluções do problema.

Qualquer par de números que não satisfaz a equação anterior.Exemplo: C = 5 E F = 55 ≠ 16 – 2 . 5 → 5 ≠ 16 – 10 → 5 ≠ 6

Sim. Valores negativos ou fracionários , por exemplo.

Se F = -1 → C = 16 – 2 . (-1) → C = 18 Menos um fichário?

Se C = 9 → C = 16 – 2 . (9) → C = -2 Menos duas canetas?

Se F = 1,5 → C = 16 – 2 . (1,5) → C = 13 Um fichário e meio?


F C = 16 – 2 . F1 14

2 12

3 10

4 8

5 6

6 4

7 2

Admitindo que Cristiane não possua ter comprado apenas canetas ou apenas fichários.


RECURSOS COMPLEMENTARES

Ope

nclip

art/

Dom

ínio

Pú

blico

NO COMPUTADOR

Openclipart/

Domínio Público

Usar o Winplot para fazer gráficos de equações lineares.

O Winplot é um aplicativo que permite a plotagem de gráficos que auxilia na análise de equações lineares e/ou sistemas lineares.Link: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Acesso em 02/08/2015

ATIVIDADE NO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA: ATIVIDADE EM DUPLAO professor distribuir para os alunos 3 equações lineares e solicitar que representem o conjunto de soluções das equações por meio de um gráfico. Utilizando o aplicativo Winplot.

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

REFERÊNCIAS




DANTE, L. R. 2013. Matemática: Contexto e Aplicações. 2a ed. 2° ano. São Paulo: Ática.

IEZZI, G. e colaboradores. 2013. MATEMÁTICA – CIÊNCIA E APLICAÇÕES. 7ª ed. 2° ano. São

Paulo: Saraiva.

LEONARDO, F. M. de. Conexões com a Matemática. Obra coletiva. 2ª ed. 2° ano. São Paulo:

Editora Moderna, 2013.

PAIVA, M. 2009. Matemática - Paiva. 1a ed. 2 ° ano. São Paulo: Moderna.

http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-linear.htm. Acesso em 02/08/2015

http://www.mundoeducacao.com/matematica/sistemas-equacoes-lineares.htm. Acesso

em 02/08/2015

http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php. Acesso em 02/08/2015

https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_linear. Acesso em 02/08/2015

Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso

2 A Andrejj/public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg 02/08/2015

2 B Scewing/public domain https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arthur_Cayley.jpg 30/07/2015

20 Openclipart/Domínio Público http://publicdomainvectors.org/pt/vetorial-gratis/Sinal-de-vector-dispon%C3%ADvel-de-acesso-de-computador/9513.html 31/07/2015

26 A Openclipart/Domínio Público http://publicdomainvectors.org/pt/vetorial-gratis/Professor-de-ensino-de-gr%C3%A1ficos-vetoriais-de-matem%C3%A1tica/7500.html 31/07/2015

26 B Openclipart/Domínio Público http://publicdomainvectors.org/pt/vetorial-gratis/Gr%C3%A1ficos-vetoriais-do-mouse-de-computador-em-forma-de-ovo/22293.html 02/08/2015

TABELAS DE IMAGENS


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