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Geometria, para que te quero?
Como o GPS
localiza com
exatidão qualquer ponto da superfície terrestre?
“
”
Grandes questionamentos nem sempre têm soluções complexas, têm, muitas vezes, ideias simples, porém geniais. Com conhecimentos básicos de geometria, muita imaginação e criatividade, cálculos aparentemente impossíveis de serem realizados foram feitos por mentes brilhantes que por aqui já passaram e deixaram seus feitos documentados ou gravados no imaginário popular, passando de geração em geração, até serem registrados por terceiros.
A TERRA É REDONDA?
O bibliotecário e diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes de Cirênia (276 – 194 a.C.), conhecia um fato curioso que chamava a atenção dos habitantes de Siena (atual Aswân). Ao meio-dia do primeiro dia do verão, era comum ver pessoas olhando a superfície da água de um velho poço para ver refl etida a luz do sol.
Em um desses dias, em Alexandria, observando a sombra gerada por uma coluna, Eratóstenes pensou: “Se é fato que, nesse momento, um poço profundo em Siena está refl etindo a luz do sol, e sendo a Terra plana, as colunas daqui de Alexandria não eram para gerar sombra. Há alguma coisa errada. Se existe sombra, só há uma explicação: a Terra é redonda.”
Raios solares
Poço em Siena
Coluna emAlexandria
Sombrada coluna
nº8MatemáticaProf. João Mendes
Matemática eSuas Tecnologias
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SE A TERRA É REDONDA, QUAL É O COMPRIMENTO DA MAIOR CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA?
Não satisfeito com a dedução de que a Terra era redonda, Eratóstenes decidiu calcular o comprimento da maior circunferência da Terra. Para isso, ele, atleta que era, e um grupo de amigos, contam alguns historiadores, caminharam de Alexandria até Siena e estimaram a distância percorrida em 5000 estádios (cerca de 800 km). De volta à Alexandria e com o conhecimento de que Alexandria e Siena ficavam praticamente sobre um mesmo meridiano, Eratóstenes imaginou os prolongamentos da coluna (em Alexandria) e o do poço (em Siena) se encontrando no centro da Terra e aguardou ansiosamente o primeiro dia do verão do ano seguinte, quando estimou em 1
50 de um círculo o ângulo que
os raios solares formavam com a coluna. Veja o seguinte modelo matemático compatível com os
dados conhecidos por Eratóstenes.
Raios solares
Poço em Siena
O (centro da Terra)
Coluna emAlexandria
Sombrada coluna
800 km
b
a = 1 de 360º50
Nesse esquema, os ângulos alternos internos de retas
paralelas, a e b, são congruentes, ou seja, b = 1
50 de 360°.
Com isto, Eratóstenes concluiu que a distância de Alexandria
a Siena (5000 estádios, 800 km) era 1
50 do comprimento
da maior circunferência da Terra. Ele encontrou, assim, o comprimento de 250000 estádios (cerca de 40000 km) para a circunferência da Terra, algo em torno de 15% a mais que o real. O erro ocorreu por duas razões: a distância entre Siena e Alexandria não era exatamente 5000 estádios, nem as duas cidades se localizavam no mesmo meridiano.
COMO MEDIR O RAIO DA TERRA?
Eratóstenes, assim como Aristóteles, Arquimedes e outros estudiosos gregos estimaram um perímetro para a circunferência máxima da Terra e, consequentemente, o seu raio. Não se sabe ao certo quem, mas foi na antiga Grécia que alguém idealizou o seguinte processo para o cálculo do raio da Terra.
Em uma praia, do alto de uma torre vertical, um observador olha para um ponto P da linha do horizonte. Os olhos desse observador estão a uma altura h do solo, enquanto o raio visual e a linha vertical da torre formam um ângulo de medida θ.
hP
θ
Conhecendo o fato de que toda reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência, pode-se criar o seguinte modelo matemático, no qual o ponto C representa o centro da Terra, e R, o raio.
R
h
O
θ
R
P
C
Com esse modelo e os conhecimentos rudimentares de trigonometria, uma vez conhecidos h e θ, o cálculo da medida R do raio da Terra é relativamente simples. Veja:
senR
R hR sen h sen R h sen R senθ θ θ θ θ=
+→ ⋅ + ⋅ = → ⋅ = −( )1
Daí, Rh sen
sen=
⋅−
θθ1
.
COMO UM NAVEGADOR, EM ALTO-MAR, PODE DETERMINAR A SUA LATITUDE?
A medida em grau do menor arco de circunferência, sobre a superfície terrestre, que liga um ponto à linha do equador é a latitude do ponto.
Para o cálculo da latitude de um ponto sobre a superfície terrestre, ao norte e ao sul da linha do equador, podem ser tomadas como referências as estrelas Polaris e Sigma Octantis, respectivamente. Essas estrelas, consideradas pontos do eixo de rotação da Terra, estão tão distantes da Terra que os raios de luz delas provenientes e que incidem sobre nosso planeta são considerados paralelos. Assim, olhando para uma dessas estrelas, de todos os pontos da Terra de onde é possível visualizá-la, os raios visuais serão paralelos ao eixo de rotação da Terra.
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Se, por exemplo, de um ponto A ao norte da linha do equador, um navegador, utilizando um sextante, mira a estrela Polaris sob um ângulo de 40º com o plano horizontal, a latitude do ponto A é 40º norte.
eixo derotação
linha do equadorcentro da
Terra
planohorizontal
raio visual donavegador ao mirara estrela Polaris
A
40º
Observe que o plano horizontal formando um ângulo θ = 40° (alternos internos de retas paralelas) com o eixo de rotação, o ângulo central α é tal que α = θ = 40°(α e θ são complementos do mesmo ângulo β).
40º
A
BC
α
β
θ
Assim, o arco AB� = α = 40° (ângulo central), mostrando que a latitude de A é 40°.
COMO O GPS LOCALIZA COM EXATIDÃO QUALQUER PONTO DA SUPERFÍCIE TERRESTRE?
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado para fins militares. No entanto, hoje, qualquer civil tem acesso a esse sistema, e seu uso é praticamente indispensável na localização de endereços, rotas, rastreamento de veículos, pessoas ou animais. Mas como se dá o funcionamento do GPS?
Com um período de 12 horas (tempo para dar uma volta), orbitando em torno da Terra, a uma altitude de 20200 km, existem 24 satélites enviando sinais para os receptores GPS. Quando o receptor GPS detecta um dos satélites, a distância entre eles é calculada. Com isso, já se sabe que o receptor se encontra na superfície de uma esfera cujo centro é o satélite e cujo raio é a distância calculada. Sabendo que o receptor está na superfície da Terra, as possíveis posições ficam restritas à circunferência que representa a intersecção dessa esfera com a Terra (note que o satélite não fica obrigatoriamente acima do receptor).
Quando o receptor detecta um segundo satélite, a distância entre eles é calculada e uma segunda esfera é formada, gerando uma segunda circunferência com as possíveis posições do receptor. Agora, as possíveis posições do receptor estão reduzidas a dois pontos, intersecções das duas circunferências determinadas.
Um terceiro satélite é detectado e, de modo análogo, uma terceira circunferência é gerada na superfície da Terra com as possíveis posições do receptor.
A posição do receptor é a intersecção das três circunferências geradas, respectivamente, nas três esferas pela superfície da Terra.
Matemática. Manuel Paiva – Textos diversos, coletados e adaptados.
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EXERCÍCIOS
1. Em certo momento, do observatório astronômico A, a Lua é vista no zênite, isto é, na vertical, sob um ângulo β, e, no observatório B, a Lua é vista na linha do horizonte, conforme as figuras seguintes.
O R
R
B
A L
α
Terra
Lua
Figura 1
A
T
T’
L LuaβTerra
Figura 2
Um estudante de astronomia, que já conhece a medida R do raio da Terra e a medida α do ângulo central AOB� , que é igual à medida do arco AB�, está interessado em determinar a medida r do raio da Lua. Para isso, ele estimou em β a medida do ângulo de visão da Lua (TÂT), a partir do observatório A. Já usando o cosseno de α na figura 1,
ele encontrou AL = R
cosR
α− .
Com base nessas informações e considerando a distância AL = d, a medida r do raio da Lua é igual a:
A) d sen
sen
⋅
−
β
β2
12
B) d ⋅
−
cos
cos
β
β2
12
C) d
sen
⋅
−
cosβ
β2
12
D) 2
2
12
d sen
sen
⋅
−
β
β
E) 2
2
12
d ⋅
−
cos
cos
β
β
2. Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata realizaram a seguinte experiência: Paulo fechou um dos olhos, e Renata segurou uma moeda de 2,5 cm de diâmetro entre a Lua e o olho aberto de Paulo, de modo que o jovem visse a moeda coincindindo com a imagem do disco lunar. A seguir, mediram a distância entre a moeda e o olho aberto de Paulo, obtendo 290 cm. Sabendo que a distância da Terra à Lua é 4 · 105 km, os jovens estimaram a medida do diâmetro da Lua.
Com esses dados, a melhor estimativa para a medida do diâmetro da Lua, em quilômetros, é:A) 3,30 · 103 B) 3,35 · 103
C) 3,40 · 103 D) 3,45 · 103
E) 3,50 · 103
3. (UFSCar-SP) Os satélites de comunicação são posicionados em sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra. Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.
Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q, passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha reta, a distância de:
A) 6 3RB) 7 3R
C) 8 3R
D) 10 2R
E) 11 2R
4. (Cesgranrio-RJ) Supondo a Terra esférica de centro C, o comprimento (perímetro) do paralelo PP’, mostrado na ilustração, é metade do comprimento da linha do equador EE’.
A latitude desse paralelo é:A) 30ºB) 40ºC) 45ºD) 60ºE) 70º
5. Consideremos a Terra como uma esfera de centro C e raio R. Qualquer plano secante à superfície terrestre e perpendicular ao seu eixo de rotação determina nessa superfície uma circunferência chamada de paralelo terrestre.
Sejam A e B dois pontos distintos de um paralelo de raio R 3
3.
Se um navio, indo de A até B, sobre esse paralelo, percorre 120º, então a medida α do ângulo ACB� é:
A) 30º B) 150ºC) 90º D) 60ºE) 120º
GABARITO (V. 7)
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D A D D A
Professor Colaborador: Fábio Coelho
OSG: 43716/11 - A.J - REV.: AR