matemática aplicada - prof. giancarlo gssp infor

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1 OS NÚMEROS

1.1 Escrita dos números e unidades;

1.2 Conjuntos numéricos;

1.3 Sistema numérico e conversões;

1.4 Algarismos significativos e

1.5 Arredondamento;

1.6 Teoria dos conjuntos.

2 FUNÇÕES

2.1 Sistema de coordenadas cartesianas;

2.2 Relações, funções e equações polinomiais;

2.3 Progressão aritmética e progressão geométrica.

3 GEOMETRIA

3.1 Teorema de Pitágoras e Trigonometria;

3.2 Geometria plana: Áreas e perímetros;

3.3 Geometria espacial: áreas e volumes.

4 ESTATÍSTICA

4.1 Noções básicas de estatística.

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Escrita dos números e unidades;

Sistema numérico e conversões;

Algarismos significativos e notação científica;

Sistema de coordenadas cartesianas;

Relações, funções e equações polinomiais;

Progressão aritmética e progressão geométrica.

Teorema de Pitágoras e Trigonometria;

plana: Áreas e perímetros;

Geometria espacial: áreas e volumes.

Noções básicas de estatística.

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2 Prof. Giancarlo S. S. Pereira Matemática Aplicada

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1.1.1.1. OOOOs númeross númeross númeross números

1.11.11.11.1 ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADESESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADESESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADESESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES

� Como aconteceu...

Nos antigos sistemas de numeração a escrita dos números era bem complexa, o que dificultava muito os cálculos. Por isso, o homem criou vários instrumentos que o auxiliavam no cálculo.

Um dos primeiros instrumentos para calcular - o ábaco - foi inventado há mais de mil anos. A origem da palavra ábaco não é certa. Alguns a associam ao termo semita abac, que significa "poeira", e outros acreditam que ela deriva do termo grego abax, que significa "placa".

Os primeiros ábacos eram formados por placas de madeira com sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras.

Mais tarde, essas placas foram substituídas por tábuas ou pranchas com divisões em diversas linhas ou colunas paralelas, separando as diferentes ordens de numeração. Para representar números ou efetuar operações colocavam-se fichas valendo uma unidade simples cada uma.

Durante a Idade Média (séculos V a XV), o sistema indo-arábico de numeração e seus processos de cálculo foram muito divulgados. No século XIII (1202), Leonardo Fibonacci, famoso matemático italiano conhecido apenas como Fibonacci, escreveu a obra Liberabaci ("Livro dos cálculos"), em 1202. Nela ele explicava o sistema indo-arábico de numeração e suas regras de cálculo.

Os símbolos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação, antes de adquirirem a aparência que conservam até hoje.

Como os livros eram escritos a mão, a forma dos algarismos sofria várias alterações. Isso começou a mudar a partir de 1440, quando Gutenberg inventou a imprensa, permitindo que a escrita dos números fosse fixada.

A influência da imprensa foi tão importante que os símbolos atuais têm, em sua essência, a mesma aparência dos símbolos que eram usados no século XV.

Sabe-se hoje que, na Europa, houve uma forte resistência à utilização desses símbolos. Essa resistência só foi vencida depois que o comércio europeu se expandiu de tal forma que se tornou imprescindível à adoção de um sistema de numeração que facilitasse os cálculos.

� A evolução dos números

� Outras formas de contagem

1.21.21.21.2 CONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOSCONJUNTOS NUMÉRICOS

Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números e as figuras geométricas. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que você estudou durante sua vida acadêmica.

1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1. O cO cO cO conjunto onjunto onjunto onjunto ℕ

“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”

LeopoldKronecker

O conjunto dos números naturais é representado

por: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }



Um subconjunto importante de ℕ é o conjunto ℕ∗, obtido excluindo o zero de ℕ:

ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … } OBS1:ℕ é fechada em relação à adição e multiplicação. Dentro de ℕ podemos destacar os números pares e os números ímpares.

1.1.2.1.1.2.1.1.2.1.1.2. O cO cO cO conjunto onjunto onjunto onjunto ℤ

O conjunto dos números inteiros é representado por:

ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Do conjunto dos números inteiros podemos

destacar alguns subconjuntos importantes: � ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … } � ℤ� = {0, 1, 2, 3, 4, … } � ℤ� = {… , −4, −3, −2, −1, 0} � ℤ�∗ = {1, 2, 3, 4, … } � ℤ�∗ = {… , −4, −3, −2, −1}

OBS2:ℤ é fechada em relação à adição, subtração e multiplicação.

1.1.3.1.1.3.1.1.3.1.1.3. O cO cO cO conjunto onjunto onjunto onjunto ℚ

O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois inteiros. Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples:

ℚ = �� ∈ ℤ � � ∈ ℤ∗� Assim como o conjunto dos números inteiros, os

racionais apresentam cinco subconjuntos importantes: � ℚ∗: conjunto dos racionais não nulos; � ℚ�: conjunto dos racionais não negativos; � ℚ�: conjunto dos racionais não positivos; � ℚ�∗ : conjunto dos racionais positivos; � ℚ�∗ : conjunto dos racionais negativos.

Toda fração possui representação decimal e todo

número decimal possui representação fracionária. Para escrever uma fração na forma decimal,

basta efetuar a divisão correspondente, por exemplo: 2/5 = 0,4;2/3 = 0,666. ..;1/3 = 0, 3!.

Para representar um número decimal na forma de uma fração devemos considerar duas situações: � o número é decimal exato.

Transformamos o número decimal em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado.

Exemplo 1 Escreva a fração correspondente aos decimais dados.

a) 0,7 b) 2,3 c) 0,43

� o número é uma dízima periódica. Neste caso, devemos seguir alguns passos

que serão ilustrados no exemplo abaixo.

Exemplo 2 Determine a fração geratriz das dízimas abaixo.

a) 0, 5! b) 2, 13!!!! c) 1,325!!!!

OBS3:ℚ é fechada em relação as quatro operações.

1.1.4.1.1.4.1.1.4.1.1.4. O cO cO cO conjunto onjunto onjunto onjunto " Assim como existem números decimais que

podem ser escritos como frações – com numerador e denominador inteiros – que são os números racionais, há aqueles que não admitem tal representação. São números decimais não exatos, que possuem representação infinita não periódica.

Esses números são chamados de números irracionais, e seu conjunto é representado por ".

Exemplo 3 Note que os números abaixo apresentam representação infinita não periódica.

a) √2 = 1,4142136 …

b) √3 = 1,7320508 … c) $ = 3,141592 …

1.1.5.1.1.5.1.1.5.1.1.5. O conjunto O conjunto O conjunto O conjunto ℝ

O conjunto formado pelos números racionais e pelos números irracionais é chamado conjunto dos números reais e é representado por ℝ. Assim, temos: ℝ = ℚ ∪ ", sendo que ℚe " são disjuntos, ou seja, ℚ ∩ " = ∅.

Assim como o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais, os reais também apresentam cinco subconjuntos importantes, que podem ser representados pelas seguintes propriedades: � conjunto dos racionais não nulos:

ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* ≠ 0} � conjunto dos racionais não negativos:

ℝ� = {* ∈ ℝ |* ≥ 0} � conjunto dos racionais não positivos:

ℝ� = {* ∈ ℝ |* ≤ 0} � conjunto dos racionais positivos:

ℝ�∗ = {* ∈ ℝ |* > 0} � conjunto dos racionais negativos:

ℝ�∗ = {* ∈ ℝ |* < 0}

1.31.31.31.3 SISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕESSISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕESSISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕESSISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕES

1.3.11.3.11.3.11.3.1 Sistema métrico decimalSistema métrico decimalSistema métrico decimalSistema métrico decimal

O sistema de numeração que utilizamos atualmente é o sistema de numeração decimal, pois nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse sistema também é conhecido por sistema de



numeração indo-arábico , pelo fato de ter sido desenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido pelos árabes. Os símbolos utilizados nesse sistema são chamados algarismos , palavra decorrente do nome do matemático árabe Mohammed al-Khowarizmi.

No sistema de numeração decimal, podemos agrupar os elementos da seguinte maneira:

Os agrupamentos de 10 elementos também

podem ser representados em um ábaco .

Ao lado temos uma tabela que mostra a evolução dos algarismos utilizados em nosso sistema de numeração decimal.

1.3.21.3.21.3.21.3.2 Medidas de comprimentoMedidas de comprimentoMedidas de comprimentoMedidas de comprimento

Desde a Antiguidade, muitos povos criaram suas unidades de medida, ou seja, possuíam sua própria unidade padrão . Antes do surgimento das unidades de medidas de comprimento que conhecemos hoje, como o metro , diversos povos utilizavam partes do corpo como referência. Observe nas ilustrações abaixo.

Temos o metro como unidade padrão de

medida, com base nele foi que surgiram outra unidades de medida de comprimento, como o centímetro (cm), o milímetro (mm), o quilômetro (km), entre outras.

O quadro a seguir apresenta os múltiplos do metro.

Abaixo temos alguns dos principais instrumentos utilizados para a verificação de medidas de comprimento.

Exemplo 4

Efetue as transformações abaixo. a) 5 m → mm b) 150 cm → dam c) 12 km → m d) 12 m → cm e) 265 dm → hm

1.3.31.3.31.3.31.3.3 Medidas de Medidas de Medidas de Medidas de tempotempotempotempo

O relógio

Prof. Giancarlo S. S. Pereira


Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral, os relógios marcam as horas segundos , sendo que:

O calendário

Observando este calendário, podemos notar que o é dividido em 12 meses , os meses, em cada semana, em 7dias . O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um quadrimestre e o de 6 meses, a um semestre. 1.3.41.3.41.3.41.3.4 Medidas de superfícieMedidas de superfícieMedidas de superfícieMedidas de superfície

Quando medimos o comprimento ou a largura de

uma sala de aula, estamos utilizando medidas de comprimento. Quando queremos medir a superfície uma sala, estamos querendo saber qual a sala.

Neste tópico daremos ênfase apenas a conversão de unidades de medidas de superfície. A temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no capítulo 3.

Para a conversão de unidades de medida de superfície temos a seguinte tabela.

Exemplo 5

Efetue as conversões a seguir a) 1,93 m² → cm² b) 295 cm² → m² c) 535 cm² → m² d) 12,5 m² → mm² e) 0,95 dam² → dm²

5


Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral,

os minutos e os

Observando este calendário, podemos notar que o ano

, os meses, em semanas , e

O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um quadrimestre e o de 6 meses, a um semestre.

Quando medimos o comprimento ou a largura de uma sala de aula, estamos utilizando medidas de comprimento. Quando queremos medir a superfície de uma sala, estamos querendo saber qual a área dessa

Neste tópico daremos ênfase apenas a des de medidas de superfície. A

temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no

Para a conversão de unidades de medida de

1.41.41.41.4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃO

CIENTÍFICACIENTÍFICACIENTÍFICACIENTÍFICA

1.4.11.4.11.4.11.4.1 Algarismos significativosAlgarismos significativosAlgarismos significativosAlgarismos significativos

O que torna um algarismo significativo ou não?Hoje em dia, a obtenção de medidas é

fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá uma incerteza associada a cada medida e é essa incerteza que torna um número significativo ou não.

Considere a figura abaixo, em que uma régua comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o comprimento de um seg

De acordo com a figura, a medida exata do comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas, podemos estimar, com uma pequena margem de erro, que a medida do comprimento é 6,54 cm.

Em uma medida, dásignificativos a todos mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a medida 6,54 cm possui três algarismos significativos.Um outro exemplo seria o número 0,0034 que possui apenas dois algarismos significativos (observe que os zeros à deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número pode ser escrito como 3 1.4.21.4.21.4.21.4.2 Notação científicaNotação científicaNotação científicaNotação científica

A diversidade dos números que aparecem no mundo físico é enorme. Para ter uma ideia, a massa da terra, por exemplo, é de cerca 5.980.000.000.000.000.000quilogramas (12), enquanto o diâmetro de um próton é de cerca de 0,000000000000001 metro (

A grande quantidade de zeros torna a representação desses números e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a massa da terra como 5como 10�34 5. Esse tipo de nnotação científica .

Ao usar a notação científica para representar um número N qualquer, devemos escrevê6 � 5. 107, em que 1 .o número 253, por exemplo, deve ser escrito como 8, 9: ∙ <=8.

Matemática Aplicada


ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃO

Algarismos significativosAlgarismos significativosAlgarismos significativosAlgarismos significativos

O que torna um algarismo significativo ou não? Hoje em dia, a obtenção de medidas é

fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma absolutamente precisa; sempre existirá

uma incerteza associada a cada medida e é essa incerteza que torna um número significativo ou não.

Considere a figura abaixo, em que uma régua comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o comprimento de um segmento de reta.

De acordo com a figura, a medida exata do

se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas, podemos estimar, com uma pequena margem de erro, que a medida do comprimento é 6,54 cm.

Em uma medida, dá-se o nome algarismos os algarismos tidos como certos

o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a medida 6,54 cm possui três algarismos

Um outro exemplo seria o número 0,0034 que possui apenas dois algarismos significativos (observe que os zeros à esquerda indicam apenas um deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número 3,4 ∙ 10�>).

Notação científicaNotação científicaNotação científicaNotação científica

A diversidade dos números que aparecem no mundo físico é enorme. Para ter uma ideia, a massa da terra, por exemplo, é

de 000.000.000 ), enquanto o

diâmetro de um próton é de cerca de metro (5).

A grande quantidade de zeros torna a representação desses números bastante inconveniente e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a 5,98.∙ 12, e o diâmetro do próton

. Esse tipo de notação recebe o nome de

Ao usar a notação científica para representar um número N qualquer, devemos escrevê-lo na forma . 5 0 10 é a mantissa . Assim,

, por exemplo, deve ser escrito como



Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos representando as potências de dez. a tabela seguinte traz a denominação dos principais prefixos de acordo com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial).

Fonte: Resolução Conmetro 12/88, de 12 de outubro de 1988.

Exemplo 6 A lista a seguir apresenta valores numéricos que podem, ou não estar representados em notação cientifica. Faça as alterações necessária para que todos os valores estejam representados na forma de notação científica.

a) 3,2 ∙ 104 b) 23,5 ∙ 10�? c) 0,73 ∙ 10> d) 0,067 ∙ 10�@ e) 1560 ∙ 10�>

1.51.51.51.5 ARREDONDAMENTOARREDONDAMENTOARREDONDAMENTOARREDONDAMENTO

Regras de arredondamento na Numeração Decimal - Norma ABNT NBR 5891 de dezembro de 1977. 1.5.11.5.11.5.11.5.1 ObjetivoObjetivoObjetivoObjetivo

Esta norma tem por fim estabelecer as regras de arredondamento na Numeração Decimal. 1.5.21.5.21.5.21.5.2 Regras de arredondamentoRegras de arredondamentoRegras de arredondamentoRegras de arredondamento

� Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificação.

Exemplo 7

1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3.

� Quando o algarismo imediatamente seguinte ao

último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade.

Exemplo 8

1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7. 4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão : 4,9.


último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade.

Exemplo 9 4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,6.


último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se for par o algarismo a ser conservado, ele permanecerá sem modificação.

Exemplo 10

4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se-ão: 4,8.

1.61.61.61.6 TEORIA DOS CONJUNTOS. TEORIA DOS CONJUNTOS. TEORIA DOS CONJUNTOS. TEORIA DOS CONJUNTOS.

1.6.11.6.11.6.11.6.1 Conceito básicoConceito básicoConceito básicoConceito básico

A nível de segundo grau, conjunto é toda coleção de objetos, de animais, de palavras, de números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto qualquer é formado por elementos. Da mesma forma que conjuntos, elementos são conceitos matemáticos primitivos, portanto sem definição.

1.6.21.6.21.6.21.6.2 Tipos de conjuntosTipos de conjuntosTipos de conjuntosTipos de conjuntos

Em nosso cotidiano podemos perceber diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a



caminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto de cães; conjunto de carros, entre outros. 1.6.31.6.31.6.31.6.3 ElementosElementosElementosElementos

Se considerarmos o conjunto A, sendo os jogadores titulares de um time de futebol, temos que cada jogador é um elemento pertencente ao conjunto A. E que o conjunto A é limitado

ou finito e possui 11 elementos. 1.6.41.6.41.6.41.6.4 RepresentaçãoRepresentaçãoRepresentaçãoRepresentação

Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, entre as quais três são mais usuais: � Diagramas

Representamos um conjunto por diagramas (curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus elementos. � Listagem ou Enumeração

Representamos um conjunto por uma letra maiúscula e listamos seus elementos entre chaves. � Propriedade Característica

Representamos um conjunto por meio de uma propriedade característica de seus elementos, sem nomeá-los.

1.6.51.6.51.6.51.6.5 Relação de pertinência (Relação de pertinência (Relação de pertinência (Relação de pertinência (∈))))

Entre um elemento x qualquer e um conjunto A qualquer só existe duas, e somente duas, possibilidades de relacioná-los. 1ª Possibilidade B ∈ C 2ª Possibilidade B ∉ C 1.6.61.6.61.6.61.6.6 Conjunto vazioConjunto vazioConjunto vazioConjunto vazio

Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes não possui elementos. Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio, ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø. 1.6.71.6.71.6.71.6.7 Conjunto unitárioConjunto unitárioConjunto unitárioConjunto unitário

Quando um conjunto apresenta um único elemento o chamamos de conjunto unitário . Por exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol.

1.6.81.6.81.6.81.6.8 Conjunto universoConjunto universoConjunto universoConjunto universo

O conjunto de todos os elementos considerados em determinada situação é chamado conjunto universo. 1.6.91.6.91.6.91.6.9 Relação de inclusãoRelação de inclusãoRelação de inclusãoRelação de inclusão

O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e A ⊂ G, relação de inclusão , ou seja,A está contido em G ou G contém A (G ⊃ A).

Caso A não esteja contido em B, simbolicamente, temos A ⊄ G ou G ⊅ A (G não contém A). 1.6.101.6.101.6.101.6.10 SubconjuntSubconjuntSubconjuntSubconjuntoooo

Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer forem também elementos de um conjunto G, diz-se, então, que A é um subconjunto de G, ou seja, A ⊂ G. Observações: � Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou

seja, A ⊂ A ; � O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto

de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A.

Exemplo 11 Se considerarmos todos osalunos do NEPAM, podemos observar alguns subconjuntos?

1.6.111.6.111.6.111.6.11 Conjunto das partesConjunto das partesConjunto das partesConjunto das partes

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado de conjunto das partes de A, que indicamos por M(A).

Exemplo 12 Dados os conjuntos A = {1}, G = {1, 2} e N = {1, 2, 3}, vamos determinar M(A), M(G) e M(N). OBSOBSOBSOBS1111: Se um conjunto finito O qualquer tem P elementos, então M(Q) tem 27 elementos, ou seja: R[M(Q)] = 27. 1.6.121.6.121.6.121.6.12 Operações com conjuntos: união ou reunião de Operações com conjuntos: união ou reunião de Operações com conjuntos: união ou reunião de Operações com conjuntos: união ou reunião de

conjuntosconjuntosconjuntosconjuntos

Dados os conjuntos A = {U, V, W, X} e G ={U, V, Y, Z, 2}, vamos determinar o conjunto N de maneira que seus elementos pertençam a pelo menos um dos conjuntos, A ou G.

N = {U, V, W, X, Y, Z, 2} O conjunto N é chamado de união ou reunião

de A e G e pode ser indicado por A ∪ G, que se lê A união G ou A reunião G. � Simbolicamente : se * é um elemento de A ∪ G,

então* ∈ A ou * ∈ G, ou seja,A ∪ G = {*|* ∈A [\ * ∈ G}.

1.6.131.6.131.6.131.6.13 Interseção de conjuntosInterseção de conjuntosInterseção de conjuntosInterseção de conjuntos

Considere os mesmos conjuntos A e G usados acima, vamos determinar o conjunto ] de maneira que seus elementos pertençam ao conjunto A e ao G.

] = {U, V} O conjunto ] é chamado interseção de A e G e

pode ser indicado por A ∩ G, que se lê A interseção G. � Simbolicamente : se * é um elemento de A ∩ G,

então * ∈ A e * ∈ G, ou seja: A ∩ G = {*|* ∈A Y * ∈ G}.



OBSOBSOBSOBS2222: Quando A ∩ G � ∅, A e conjuntos disjuntos . 1.6.141.6.141.6.141.6.14 Quantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto união

Considerando os conjuntos Adeterminar o número de elementos do conjunto

Fórmula: 1.6.151.6.151.6.151.6.15 Diferença de ConjuntosDiferença de ConjuntosDiferença de ConjuntosDiferença de Conjuntos

Dados os conjuntos A �{2, 3, 4, 5�, vamos determinar o conjunto C de maneira que seus elementos pertençam ao conjunto pertença ao G. N � {0, 1�

O conjunto N é chamado diferença entre A e B

pode ser indicado por A– G, que se lê � Simbolicamente : se x é um elemento de

então * ∈ A e * ∉ G, ou seja: A Y * ∉ G�.

Questão1 (Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos; tem 12 elementos e A ∪ G tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto G é: (A) 28 (B) 36 (C) 40 (D) 48 (E) 52

Questão2 Numa creche com 120 crianças, verificouhaviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhumavacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo? Questão3 Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais você gosta?”. O resultado da pesquisa foi:• 35 gostam de lasanha; • 39 gostam de canelone; • 40 gostam de macarronada; • 15 gostam de lasanha e canelone;• 13 gostam de lasanha e macarronada;• 11 gostam de canelone e macarronada;• 5 gostam dos três pratos.

a) Quantos clientes gostam somente de canelone?

EXERCÍCIO PROPOSTO

8


e G são chamados

Quantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto uniãoQuantidade de elementos do conjunto união A e G acima, vamos

determinar o número de elementos do conjunto A ∪ G.

� �0, 1, 2, 3� e G �, vamos determinar o conjunto C de maneira

que seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não

é chamado diferença entre A e B e

, que se lê A menos G. : se x é um elemento de A � G,

, ou seja: A � G � �*|* ∈

tem 20 elementos; A ∩ G tem 60 elementos. O número

Numa creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra

Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais

?”. O resultado da pesquisa foi:

15 gostam de lasanha e canelone; 13 gostam de lasanha e macarronada; 11 gostam de canelone e macarronada;

gostam somente de canelone?

b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou apenas de canelone ou de ambos os pratos?

c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha nem de canelone?

Questão4 A parte hachurada no gráfico representa:

(A) A ∩ HG ∪ NJ (B) HA ∩ GJ ∪ N (C) HA ∪ GJ ∩ N (D) A ∪ HG ∩ NJ (E) N.R.A.

Questão5 Se R_MH`Ja � 64, então o conjunto

A) {a, b, c, d} B) {a, b, c, d, e, f} C) {a, b, c, d, e, f, g} D) ⍉ E) {a, b, c, d, e}

EXERCÍCIO PROPOSTO



Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou apenas de canelone ou de ambos os pratos? Quantos clientes não gostam nem de lasanha nem de canelone?

A parte hachurada no gráfico representa:

, então o conjunto ` é:



2.12.12.12.1 Sistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianas

O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num ponto denominado origem das coordenadasdeterminam um plano chamado plano cartesianoNo plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares ordenados:

Exemplo 13 Marque os pontos dado abaixo no plano cartesiano.A(1, 0)

B(-1, 3)

C(2, -2)

D(-3, -1)

E(0, 3)

F(2, 0)

G(3, 3)

H(1, -3)

J(0, 1)

2.22.22.22.2 Relações,Relações,Relações,Relações, funções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiais

2.2.12.2.12.2.12.2.1 FunçãoFunçãoFunçãoFunção

Dados os conjuntos A e G não vazios, a relação Z de A em G é uma função quando a cada elemento do conjunto A está associado um único elemento conjunto G.

Podemos representar uma função com a seguinte notação:

Z: A → GouA → G(lê-se: função Z de A em B)

2.2.22.2.22.2.22.2.2 Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma função

Quando escrevemos uma função denominamos o conjunto A de domínio (conjunto G, de contradomínio ( efHg de G associado ao elemento * de imagem de * pela função Z. Ao conjunto de todos os

9


2.2.2.2. FunçõesFunçõesFunçõesFunções

Sistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianasSistema de coordenadas cartesianas

O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num

origem das coordenadas e que plano cartesiano .

mos os seguintes pares

AH*h, ghJ

GH*i, giJ

NH*j , gjJ

]H*k , gkJ

Marque os pontos dado abaixo no plano cartesiano.

funções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiaisfunções e equações polinomiais

não vazios, a relação é uma função quando a cada elemento * está associado um único elemento g do

Podemos representar uma função Z de A em G

G de A em B)

Domínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma funçãoDomínio, contradomínio e imagem de uma função

Quando escrevemos uma função Z: A → G, domínio ( fHlJ) e o HlJ). Cada elemento de A, denominamos

. Ao conjunto de todos os

valores de g que são imagem de imagem da função ( "m

2.2.32.2.32.2.32.2.3 Função Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º Grau

2.2.3.12.2.3.12.2.3.12.2.3.1 DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição

Chama-se função polinomial do 1º graufunção afim , a qualquer função uma lei da forma ZHnúmeros reais dados e

Na função ZHchamado de coeficiente de termo constante.

Exemplo

Determine os valores dos coeficientes abaixo.

a) ZH*J � 5* � 3; b) ZH*J � �2* � 7c) ZH*J � 11*.

2.2.3.22.2.3.22.2.3.22.2.3.2 Zero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º Grau

Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau ZH*J � U* o V,ZH*J � 0. Temos: ZH*J � 0 ⇒ U* o V

ExemploObtenção do zero das funç

a) ZH*J � 2* � 5 b) ZH*J � * � 2 c) ZH*J � 3* o 6

d) ZH*J � q@ � 1

2.2.3.32.2.3.32.2.3.32.2.3.3 GráficoGráficoGráficoGráfico

Domínio

Contrad



que são imagem de * denominamos "mHlJ).

Função Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º GrauFunção Polinomial do 1º Grau

função polinomial do 1º grau , ou , a qualquer função f de IR em IR dada por H*J � U* o V, onde a e b são

números reais dados e U , 0. H*J � U* o V, o número r é chamado de coeficiente de * e o número s é chamado

Exemplo 14 Determine os valores dos coeficientes das funções

7;

Zero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º GrauZero e Equação do 1º Grau

se zero ou raiz da função polinomial do U , 0, o número real * tal que

V � 0 ⇒ U* � �V ⇒ * � �VU

Exemplo 15 funções a seguir.

Contrad omínio

Note que o

conjunto imagem é formado

apenas pelos elementos do

conjunto B que se relaciona

com elementos de A.

Conjunto imagem



O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, g � U* o V, com U , 0, é uma reta oblíqua aos eixos t* e tg.

2.2.3.42.2.3.42.2.3.42.2.3.4 Crescimento e DecrescimentoCrescimento e DecrescimentoCrescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento

O gráfico da função Afim será U / 0 (positivo) e, Decrescente(negativo). 2.2.3.52.2.3.52.2.3.52.2.3.5 Domínio e imagemDomínio e imagemDomínio e imagemDomínio e imagem

fHlJ � & "mHlJ

Exemplo 16 Construa os gráficos das funções a seguir.

a) g � 3* � 1 b) ZH*J � �* o 2

c) ZH*J � q@ � 3

2.2.42.2.42.2.42.2.4 Função Polinomial do Função Polinomial do Função Polinomial do Função Polinomial do 2222º Grauº Grauº Grauº Grau


Toda função Z: & → & tal que W, com U, V, W ∈ & e U , 0 é chamada função polinomial do 2° grau.

Exemplo 17

Determine os valores dos coeficientes das funções abaixo. ZH*J � *@ o 2* o 1; ZH*J � �2*@ � 4*. 2.2.4.22.2.4.22.2.4.22.2.4.2 Raízes da funçãoRaízes da funçãoRaízes da funçãoRaízes da função

Chamamos de raízes, ou zeros, da função polinomial do 2° grau os valores de função se anula, ou seja, Z H*J � 0.

Para determinar as raízes de uma função polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de Bhaskara.

∆� V@ � 4 ∙ U ∙ W ; *

Exemplo 18 Determinar as raízes reais das funções a seguir.

a) ZH*J � *@ � 4* o 3 b) ZH*J � *² � * � 2 c) ZH*J � 2*² � * o 3 d) ZH*J � *@ � 4 eJ ZH*J � 3*² � 9*

OBSOBSOBSOBS1111: A quantidade de raízes reais de uma função do 2° grau depende do valor do discriminante

� Quando ∆ / 0, a equação terá duas raízes reais e diferentes;

10


O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, , é uma reta oblíqua aos eixos

Crescimento e DecrescimentoCrescimento e DecrescimentoCrescimento e DecrescimentoCrescimento e Decrescimento

O gráfico da função Afim será Crescente quando Decrescente quando U 0 0

� &

ões a seguir.

º Grauº Grauº Grauº Grau

tal que ZH*J � U*@ o V* oé chamada função polinomial

Determine os valores dos coeficientes das funções

Chamamos de raízes, ou zeros, da função polinomial do 2° grau os valores de *para os quais a

Para determinar as raízes de uma função

polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de

* � �V x √∆2 ∙ U

s funções a seguir.

A quantidade de raízes reais de uma função do 2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido:

, a equação terá duas raízes reais

� Quando ∆ � 0, a equação terá duas raízes reais e iguais;

� Quando ∆ 0 0, a equação não terá raízes reais, mas sim raiz complexa, o que veremos nas próximas aulas.

2.2.4.32.2.4.32.2.4.32.2.4.3 GráficosGráficosGráficosGráficos

De acordo com as das funções quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir.

Exemplo

Determine a concavidade das funções:a) ZH*J � �*@ o 3b) ZH*J � 3*@ o 4*

2.2.4.42.2.4.42.2.4.42.2.4.4 Vértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábola

� Quando uma parábola tem concavidade voltada para baixo, ela tem um ponto de máximo

� Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ela tem um ponto de mínimo



, a equação terá duas raízes reais

, a equação não terá raízes reais, mas sim raiz complexa, o que veremos nas

De acordo com as características dos gráficos das funções quadráticas, podemos organizar o quadro

Exemplo 19 Determine a concavidade das funções: 3* � 2 * o 12

Vértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábolaVértice da parábola

Quando uma parábola tem concavidade voltada para baixo, ela tem um ponto de máximo y.

Quando a parábola tem concavidade voltada para cima, ela tem um ponto de mínimo y.



OBSOBSOBSOBS2222: As coordenadas do vértice parábola podem ser determinadas pelas relações abaixo:

*z � �V2U Y gz �

Exemplo 20

Determinar as coordenadas dos vérticeseguir.

a) ZH*J � *@ � 4* o 3 b) ZH*J � �2*@ � * o 1

Questão 1 O gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º grau dada por g � U* o V. Ache a lei que relaciona com *.

Questão 2 Encontre g � ZH*J sendo f uma função polinomial do 1º grau, sabendo-se que ZH�3J � 4 e Z

Questão 3 O gráfico ao lado descreve o valor cobrado por umtaxista, em reais, em função do número de quilômetros percorrido. Determine: a) o preço da bandeira; b) o preço cobrado por quilômetro rodado; c) a lei que define esse gráfico. Questão4 Dada a função Z: & → &, definida por ZH* o 1J � ZH*J o ZH1JeZH2J � 1, determine o valor de ZH4J. Questão5

Y

4

- 2 3

2

EXERCÍCIO PROPOSTO

11


As coordenadas do vértice yH*z , gzJ de uma parábola podem ser determinadas pelas relações

�∆4U

vértices das funções a

O gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º . Ache a lei que relaciona g

sendo f uma função polinomial do 1º ZH3J � 6.

, definida por , determine o valor de

Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo:a) ZH*J � *@ � 6* o 5 b) ZH*J � �3*@ o 6 c) ZH*J � 2* o *@ Questão6 Determine as raízes das funções abaixo:a) ZH*J � 3*@ � 7* o 2 b) ZH*J � �3*@ o 6 c) ZH*J � *@ o 5* o 7 Questão7 (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura função do tempo { (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula altura máxima atingida pela bola. Questão8 (PUCCAMP - Adaptadarepresentada a curva descrita por um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de equação g � �2*@ o 4*, qual é à distânAB, em metros?

Anotações

X

EXERCÍCIO PROPOSTO



Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo:

Determine as raízes das funções abaixo:

MT) Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura | (em metros) dada em

(em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula | � �5{@ o 20*. Qual é a altura máxima atingida pela bola.

Adaptada) Na figura a seguir tem-se representada a curva descrita por um projétil, desde o seu lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva descrita é a parábola de equação

, qual é à distância

Anotações



2.2.52.2.52.2.52.2.5 Função Função Função Função ExponencialExponencialExponencialExponencial


Chamamos de função exponencial toda função Z: } → }�

∗ , definida por ZH*J � Uq

U / 0 e U , 0.

Exemplo 21 Determine os valores das bases das funções seguintes.

a) ZH*J � ~3>�

q

b) ZH*J � 2q 2.2.5.22.2.5.22.2.5.22.2.5.2 GráficoGráficoGráficoGráficossss

Considere as funções abaixo e construa os respectivos gráficos.

UJ ZH*J � 2q VJ

OBSOBSOBSOBS1111 Se U / 1 Z é crescenteSe 0 0 U 0 1 Z é decrescente

2.2.5.32.2.5.32.2.5.32.2.5.3 Equação exponencialEquação exponencialEquação exponencialEquação exponencial

As equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvêusamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para r / 0 er , <, temos:

r� � r� ⟺ � � Questão 1 Determine o valor de B nas equações abaixo.

a) 2q � 32 b) 3q�3 � 81 c) 5@q�� 1 d) 3q � 27

EXERCÍCIO PROPOSTO

12


Chamamos de função exponencial toda função q ou g � Uq, com

Determine os valores das bases das funções

Considere as funções abaixo e construa os

J ZH*J � �12�q

é crescente. é decrescente

As equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê-las, usamos o fato de que a função exponencial é injetiva,

�

nas equações abaixo.

Questão 2 Mensalmente, a produção em toneladas de certa indústria é dada pela expressão <==. ��=,=9B na qual x é o número de meses contados a partir de uma certa data. Após dez meses, qual será a produção atingida? Questão 3 Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que 8�=,9�J seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após de fabricação. Se { � 14 Questão 4 Estima-se que daqui a seja igual a 9==. H:Jvalorização (aumento de valor) em relação a hoje será de: a) R$ 4.000,00 b) R$ 3.500,00 e) R$ 1.000,00 Questão 5 Sob certas condições, o número de bactérias uma cultura, em função do tempo é dado por �HIsso significa que, cinco dias após a hora zero, o número de bactérias é: a) 1.024 b) 1.120 c) 512 d) 20

e) √8:

Anotações

EXERCÍCIO PROPOSTO



Mensalmente, a produção em toneladas de certa indústria é dada pela expressão � � <== �

é o número de meses contados data. Após dez meses, qual será

Um empregado está executando a sua tarefa com mais eficiência a cada dia. Suponha que � � ��=H< �

seja o número de unidades fabricadas por dia por esse empregado, após t dias do inicio do processo 14, qual o valor de 6?

se que daqui a t anos o valor de um terreno J� reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em relação a hoje será

c) R$ 2.000,00 d) R$ 1.500,00

Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas,

H�J � H8J �<8 Isso significa que, cinco dias após a hora zero, o

Anotações



2.2.62.2.62.2.62.2.6 Progressão AritméticaProgressão AritméticaProgressão AritméticaProgressão Aritmética


Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética. 2.2.6.22.2.6.22.2.6.22.2.6.2 RepresentaçãoRepresentaçãoRepresentaçãoRepresentação

�C Hr<, r8, r:, . . . , rP); Onde:

r<é o primeiro termo; �é a razão � = r8 − r< = r: − r8 = … = rP − rP�<; rPé o termo da posição P; Pé o número de termos.

2.2.6.32.2.6.32.2.6.32.2.6.3 ClassificaçãoClassificaçãoClassificaçãoClassificação

I. Crescente: ocorre somente se � > 0; II. Constante: ocorre quando � = =;

III. Decrescente: isto somente ocorre se � < 0; 2.2.6.42.2.6.42.2.6.42.2.6.4 Fórmula dFórmula dFórmula dFórmula do Termo Geralo Termo Geralo Termo Geralo Termo Geral

rP = r + (P – <). � 2.2.6.52.2.6.52.2.6.52.2.6.5 Interpolação AritméticaInterpolação AritméticaInterpolação AritméticaInterpolação Aritmética

Interpolar meios aritméticos entre dois

números é formar uma progressão aritmética com todos estes termos. Estes problemas consistem no cálculo da razão.

Exemplo 22

Interpolar 2 meios aritméticos entre 7 e 22. 2.2.6.62.2.6.62.2.6.62.2.6.6 Soma Soma Soma Soma ddddos Termos os Termos os Termos os Termos dddde Uma Pe Uma Pe Uma Pe Uma PAAAA

Podemos calcular a soma de termos de uma

PA se conhecer o primeiro termo da progressão, o último termo e a quantidade de termos a serem somados através da fórmula:

�P = (r< + rP). P8

Onde:

• �Pé a soma de P termos da progressão; • r<é o primeiro termo; • rPé o último termo a ser somado; • Pé o numero de termos.

2.2.72.2.72.2.72.2.7 Progressão GeométricaProgressão GeométricaProgressão GeométricaProgressão Geométrica


É toda sequência numérica cujo quociente

entre um termo qualquer (a partir de segundo) e seu antecessor é uma constante chamada razão – indicada por �.

2.2.7.22.2.7.22.2.7.22.2.7.2 RepresentaçãoRepresentaçãoRepresentaçãoRepresentação

��(r<, r8 , r: , r� , . . . , r� , . . . , rP , . . . ) Onde:

r<é o primeiro termo; r�é o termo que ocupa a posição �; rPé o termo que ocupa a posição P; rP�<é o termo anterior a rP; �é menor que P (� < R).

2.2.7.32.2.7.32.2.7.32.2.7.3 ClassificaçãoClassificaçãoClassificaçãoClassificação

I. Crescente: ocorre quando(�< > 0 Y � >1)ou(�< < 0 Y 0 < � < 1).

II. Decrescente: ocorre quando(�< > 0 Y 0 < � < 1) ou(�< < 0 Y � > 1).

III. Constante: ocorre quando� = <. IV. Oscilante: ocorre quando� < 0.

2.2.7.42.2.7.42.2.7.42.2.7.4 Fórmula do Termo GeralFórmula do Termo GeralFórmula do Termo GeralFórmula do Termo Geral

rP = r< ∙ �P�< 2.2.7.52.2.7.52.2.7.52.2.7.5 Interpolação GeométricaInterpolação GeométricaInterpolação GeométricaInterpolação Geométrica

Interpolar meios geométricos entre dois números é formar uma progressão geométrica com todos estes termos. Estes problemas consistem no cálculo da razão.

Exemplo 23

Interpolar 3 meios aritméticos entre 64 e 4.

2.2.7.62.2.7.62.2.7.62.2.7.6 Soma dos Termos de Uma PGSoma dos Termos de Uma PGSoma dos Termos de Uma PGSoma dos Termos de Uma PG

Podemos calcular a soma de termos de uma

P.G. se conhecer o primeiro termo da progressão e a razão:

�P = r< ∙ (�P − <)� − <

Onde:

• �Pé a soma de P termos da progressão; • r<é o primeiro termo; • �é a razão da progressão. • Pé o numero de termos.



Questão 1 Determine o primeiro termo Hr<J, a razãoH� [\ �J, o último termo HrPJe o número de termos HPJdas seguintes progressões.

a) H<, :, 9, �, �) b) (−:, −�, −<<, … ) c) (8, �, �) d)d)d)d) (�, �, �, �, �, �) e)e)e)e) (9, <9, �9, … ) f) (<, :, 9, �, �) g)g)g)g) (<�, �, <, … )

Questão 2 Determine a razão e o décimo segundo termo da �C(:, 9, �, … ). Questão 3 Determine a razão e o sétimotermo da ��(<, :, �, … ). Questão 4 Qual o valor do primeiro termo de uma �C cujo décimo termo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5?

Questão 5 Qual o valor do primeiro termo de uma �� cujo sétimo termo é igual a 14 e cuja razão é igual a 2? Questão 6 Determine a soma dos 10 primeiros termos da�C(<, �, �, … ). Questão 7 Determine a soma dos 10 primeiros termos da��(<, 8, �, … ).

EXERCÍCIO PROPOSTO



3.13.13.13.1 Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras

Abaixo temos a figura de um triângulo retângulo C�e.

Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte

relação: r8 � s8 o �

3.23.23.23.2 TrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometria

3.2.13.2.13.2.13.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo

Seno

Cosseno

Tangente

15


3.3.3.3. GeometriaGeometriaGeometriaGeometria

Abaixo temos a figura de um triângulo

Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte �8

Relações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retânguloRelações trigonométricas no triângulo retângulo

��P r � sr��P � � �r�

�� r�� sr�

�� r � s�� s�

3.2.23.2.23.2.23.2.2 Tabela de Tabela de Tabela de Tabela de arcos narcos narcos narcos n

=° :=°��P �¡� ��

3.33.33.33.3 Geometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetros

3.3.13.3.13.3.13.3.1 Polígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais Figuras

3.3.1.13.3.1.13.3.1.13.3.1.1 PolígonosPolígonosPolígonosPolígonos

São figuras plana

segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos.

Através de conceitos primitivosreta e plano , podemos fopolígonos, dentre as quais temosos convexos.

3.3.1.23.3.1.23.3.1.23.3.1.2 Polígono não convexoPolígono não convexoPolígono não convexoPolígono não convexo

Um polígono é dito não convexo se, dados

dois pontos do polígono, o segmento que contém estes pontos como extremidades contiver pontos que estão fora do polígono.

3.3.1.33.3.1.33.3.1.33.3.1.3 Polígono convexoPolígono convexoPolígono convexoPolígono convexo

É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. OBSOBSOBSOBS1111: o perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

3.3.23.3.23.3.23.3.2 Triângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificações

Os triângulos são polígonos mais primitivos,

possuem três lados. Podemos classificámaneiras: � Quanto aos lados:



arcos narcos narcos narcos notáveisotáveisotáveisotáveis

° �9° �=° �=°

Geometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetrosGeometria plana: áreas e perímetros

Polígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais FigurasPolígonos e As Principais Figuras

planas formadas por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não são

Através de conceitos primitivoscomo ponto , , podemos formar os mais variados

, dentre as quais temos, os não convexos e

Polígono não convexoPolígono não convexoPolígono não convexoPolígono não convexo

Um polígono é dito não convexo se, dados dois pontos do polígono, o segmento que contém estes

extremidades contiver pontos que estão

Polígono convexoPolígono convexoPolígono convexoPolígono convexo

um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da

: o perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

Triângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificaçõesTriângulos e suas classificações

Os triângulos são polígonos mais primitivos, possuem três lados. Podemos classificá-los de duas



____________ ___________ _______________ � Quanto aos ângulos:

_____________ _________________________ OBSOBSOBSOBS2222: a formas de se calcular a área de um triângulo depende de qual triângulo se está trabalhando.

3.3.33.3.33.3.33.3.3 Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações

3.3.3.13.3.3.13.3.3.13.3.3.1 RetânguloRetânguloRetânguloRetângulo

Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos

iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: lados iguais ou lados adjacentes diferentes.

Área do retânguloÁrea do retânguloÁrea do retânguloÁrea do retânguloHC¢J

C¢ � rs

PerímetroPerímetroPerímetroPerímetro do retângulodo retângulodo retângulodo retânguloH�¢J

�¢ � 8Hr o sJ

3.3.3.23.3.3.23.3.3.23.3.3.2 QuadradoQuadradoQuadradoQuadrado

Caso particular de retângulo. Possui todos

os lados iguais.

Área do Área do Área do Área do quadrado quadrado quadrado quadrado HC£J

C£ � r8

16


____________ ___________ _______________

__________________________

: a formas de se calcular a área de um triângulo depende de qual triângulo se está trabalhando.

Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações Quadriláteros convexos e suas classificações

Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos pode ser de dois tipos: lados

iguais ou lados adjacentes diferentes.

J

aso particular de retângulo. Possui todos

PerímetroPerímetroPerímetroPerímetro do quadradodo quadradodo quadradodo quadradoH��

3.3.3.33.3.3.33.3.3.33.3.3.3 ParalelogramoParalelogramoParalelogramoParalelogramo

Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos

devem ser congruentes.

Área do Área do Área do Área do paralelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramoHC

C

PerímetroPerímetroPerímetroPerímetro do paralelogramodo paralelogramodo paralelogramodo paralelogramo

��

3.3.3.43.3.3.43.3.3.43.3.3.4 LosangoLosangoLosangoLosango

Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas

diagonais são sempre perpendiculares.

Área do Área do Área do Área do losangolosangolosangolosangoHC¤J

C

PerímetroPerímetroPerímetroPerímetro do losangodo losangodo losangodo losangoH�¤�

3.3.3.53.3.3.53.3.3.53.3.3.5 TrapézioTrapézioTrapézioTrapézio

O trapézio é uma figura que possui dois lados

paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. Pode se classificar em: possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais;trapézioescaleno: os lados possuem medidas de tamanhos diferentes.



�£J

�£ � �r

ParalelogramoParalelogramoParalelogramoParalelogramo

Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos devem ser congruentes.

C�J

C� � s¥

do paralelogramodo paralelogramodo paralelogramodo paralelogramoH��J

� 8Hr o sJ

Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas diagonais são sempre perpendiculares.

C¤ � f¦8

¤J

�¤ � �r

trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. Pode se classificar em: trapézio retângulo: possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais;trapézio escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos



Área do Área do Área do Área do trapéziotrapéziotrapéziotrapézioHC§�rJ

C§�r � H� o sJ8

PerPerPerPerímetroímetroímetroímetro do trapéziodo trapéziodo trapéziodo trapézioH�§�rJ

�§�r � � o s o

3.3.3.63.3.3.63.3.3.63.3.3.6 HexágonoHexágonoHexágonoHexágono

Área do Área do Área do Área do hexágono hexágono hexágono hexágono HC¥�BJ

C¨�B � � ∙ ©8√:�

PerPerPerPerímetroímetroímetroímetro do trapéziodo trapéziodo trapéziodo trapézioH�¨�BJ

�¨�B � �©

3.3.3.73.3.3.73.3.3.73.3.3.7 Circunferência e círculoCircunferência e círculoCircunferência e círculoCircunferência e círculo

Área dÁrea dÁrea dÁrea do círculoo círculoo círculoo círculo HCJ Ce � ª�8

Perímetro da circunferênciaPerímetro da circunferênciaPerímetro da circunferênciaPerímetro da circunferência H�eJ �e � 8ª�

3.43.43.43.4 Geometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumes

3.4.13.4.13.4.13.4.1 PoliedrosPoliedrosPoliedrosPoliedros

Define-se como poliedro a todo sólido formado por uma superfície fechada, por polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo. � O ângulo formado entre dois polígono

de um ângulo raso; � Cada lado dos poliedros pertence somente a dois

polígonos.

17


J¥

8¤

:

Circunferência e círculoCircunferência e círculoCircunferência e círculoCircunferência e círculo

Geometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumesGeometria espacial: áreas e volumes

se como poliedro a todo sólido formado por uma superfície fechada, limitada somente por polígonos e que satisfaça às duas condições

O ângulo formado entre dois polígonos é diferente

Cada lado dos poliedros pertence somente a dois

3.4.1.13.4.1.13.4.1.13.4.1.1 Elementos de um poliedroElementos de um poliedroElementos de um poliedroElementos de um poliedro

Os polígonos que limitam o

chamados de faces, os lados dos polígonos das faces são chamados de arestas e as intersecções das arestas são chamadas de vértices.

Os poliedros podem ser classificados em:

3.4.1.23.4.1.23.4.1.23.4.1.2 A relação de A relação de A relação de A relação de EEEE

O matemático suíço Leonhard Euler (1707 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice («), o número de aresta (número de faces (¬) de um poliedro convexo.

Em todo poliedrovértices e ¬ faces, vale a relação: « o 3.4.23.4.23.4.23.4.2 PrismasPrismasPrismasPrismas

Entre os poliedros mais conhecidos,

destacamos os prismas, os quais são número de lados das bases. Veja alguns exemplos de prismas.

3.4.2.13.4.2.13.4.2.13.4.2.1 Elementos de um prismaElementos de um prismaElementos de um prismaElementos de um prisma



Elementos de um poliedroElementos de um poliedroElementos de um poliedroElementos de um poliedro

Os polígonos que limitam o poliedro são chamados de faces, os lados dos polígonos das faces são chamados de arestas e as intersecções das arestas são chamadas de vértices.

Os poliedros podem ser classificados em:

EEEEuleruleruleruler

O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – descobriu uma importante relação entre o

), o número de aresta (C) e o ) de um poliedro convexo.

poliedro convexo com C arestas, « faces, vale a relação:

¬ � C o 8

Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, os quais são classificados pelo número de lados das bases. Veja alguns exemplos de

Elementos de um prismaElementos de um prismaElementos de um prismaElementos de um prisma



3.4.2.23.4.2.23.4.2.23.4.2.2 Planificação dos prismasPlanificação dos prismasPlanificação dos prismasPlanificação dos prismas

Prisma triangular Prisma quadrangular 3.4.2.33.4.2.33.4.2.33.4.2.3 Área Área Área Área lateral e área totallateral e área totallateral e área totallateral e área total

C¤r� � �s¥ ; C�¡�r© � 3.4.2.43.4.2.43.4.2.43.4.2.4 Volume de um prismaVolume de um prismaVolume de um prismaVolume de um prisma «��mr � Cs¥ OOOOBS3BS3BS3BS3: nos itens 3.4.2.3 e 3.4.2.4, temos:

� C¤r�→área lateral do prisma;

� C�¡�r©→ área total do prisma;

� Cs→área do polígono da base;

� �s→perímetro do polígono da base� «��mr→ Volume do prisma;

� ¥→altura do prisma. 3.4.33.4.33.4.33.4.3 CuboCuboCuboCubo

3.4.3.13.4.3.13.4.3.13.4.3.1 Área lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área total C¤r� � �r ; C�¡�r© 3.4.3.23.4.3.23.4.3.23.4.3.2 Volume dVolume dVolume dVolume do cuboo cuboo cuboo cubo «�®s¡ � r: 3.4.43.4.43.4.43.4.4 ParalelepípedoParalelepípedoParalelepípedoParalelepípedo

3.4.3.33.4.3.33.4.3.33.4.3.3 Área lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área total C¤r� � 8Hr� o s�C�¡�r© � 8Hrs o r�

18


Prisma quadrangular

� C¤r� o 8Cs

¥

temos:

da base;

do polígono da base;

�¡�r© � �r

s�J o s�J

3.4.3.43.4.3.43.4.3.43.4.3.4 Volume dVolume dVolume dVolume do o o o paralelepípedoparalelepípedoparalelepípedoparalelepípedo«�r� 3.4.53.4.53.4.53.4.5 CilindroCilindroCilindroCilindro

São sólidos que possuem duas regiões

paralelas na forma de círculos congruentes e uma superfície arredondada. Em um cilindro, as duas regiões circulares paralelas são chamadas de cilindro e a distância entre elas é chamada de cilindro.

3.4.5.13.4.5.13.4.5.13.4.5.1 Área lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalC¤r� � 8ª�¥ ; 3.4.5.23.4.5.23.4.5.23.4.5.2 Volume dVolume dVolume dVolume do cilindroo cilindroo cilindroo cilindro«�©P¦�¡ 3.4.63.4.63.4.63.4.6 ConeConeConeCone

Um sólido limitado por duas regiões: um

círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o círculo é chamado de base do come e a superfície arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto « é o vértice do cone. da base é chamada altura do cone e todo segmento de reta em que um dos extremos é da circunferência da base é chamado de geratriz.



paralelepípedoparalelepípedoparalelepípedoparalelepípedo �r� � rs�

São sólidos que possuem duas regiões paralelas na forma de círculos congruentes e uma superfície arredondada. Em um cilindro, as duas regiões circulares paralelas são chamadas de base do cilindro e a distância entre elas é chamada de altura do

Área lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área total ; C�¡�r© � 8ª�H� o ¥J

o cilindroo cilindroo cilindroo cilindro

�©P¦�¡ � ª�8¥

m sólido limitado por duas regiões: um círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o círculo é chamado de base do come e a superfície arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto

é o vértice do cone. C distância do vértice ao plano e é chamada altura do cone e todo segmento de

reta em que um dos extremos é « e o outro é um ponto da circunferência da base é chamado de geratriz.



3.4.6.13.4.6.13.4.6.13.4.6.1 Área lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área totalÁrea lateral e área total

C¤r� � ª�� ; C�¡�r© � ª�H� o �J 3.4.6.23.4.6.23.4.6.23.4.6.2 Volume do Volume do Volume do Volume do coneconeconecone

«�¡P� � ª�8¥ 3.4.73.4.73.4.73.4.7 EsferaEsferaEsferaEsfera

A esfera é um sólido limitado por uma

superfície curva de revolução que tem todos os pontos igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em torno do diâmetro.

3.4.6.33.4.6.33.4.6.33.4.6.3 Área totalÁrea totalÁrea totalÁrea total e volumee volumee volumee volume

C�¡�r© � �ª�8 ; «��l��r � �ª�:

:

Questão 1 Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as margens de um rio.

Determine a largura llll desse rio.

Questão 2 Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura.

Encontre a altura de cada degrau. Questão 3 No instante em que o ângulo de elevação do sol acima do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3 m, como mostra a figura ao lado.

Qual é a altura desse poste? Questão 4 Considere a sala representada na figura a seguir.

Determine qual a lotação máxima desta sala, sabendo-se que cada pessoa ocupa uma área de 1 m².

Questão 5 Determine a área e o perímetro de um terreno na forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 21 e 28 metros. Questão 6 Um disco de aço usado para o corte de peças de metal tem diâmetro igual a 10 cm. Determine o comprimento e a área deste disco. (considere $ � 3,1.)

EXERCÍCIO PROPOSTO



Questão 7 Num prisma quadrangular regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área lateral e a área total do prisma. Questão 8 figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 4 cm cada um e a altura do prisma mede 6 cm. Determine o volume do prisma.

Questão 9 Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Questão 10 A figura a seguir representa um tambor, desses que são usados para o transporte de óleo. O diâmetro da sua base mede 60cm e a altura, 85cm. Sendo assim, determine o custo do material utilizado na sua confecção (desprezando as perdas), sabendo-se que cada metro quadrado custa R$ 100,00. (Considere $ � 3.)

Rascunho



4.14.14.14.1 IntroduIntroduIntroduIntroduçãçãçãçãoooo

Com o desenvolvimento tecnológico, os meios de comunicação passaram a transmitir um número muito maior de informações e muito mais rapidamente. Essas informações, encontradas, por exemplo, em jornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc.

Programa das nações unidas para o desenvolvimento.

A estatística é uma área da Matemática que trabalha com a coleta de informações, bem como sua organização e análise. Com a análise dos dados coletados, podemos tomar decisões, além de fazer previsões e planejamentos com mais segurança.

4.24.24.24.2 Termos da estatísticaTermos da estatísticaTermos da estatísticaTermos da estatística

4.2.14.2.14.2.14.2.1 PopulaçãoPopulaçãoPopulaçãoPopulação População é todo universo que está sendo

estudado. Ex: população de uma cidade. 4.2.24.2.24.2.24.2.2 AmostraAmostraAmostraAmostra

Amostra é apenas uma parte da população que está sendo estudada. Ex: parte da população de uma cidade. A amostragem pode ocorrer de três formas:

� Amostragem aleatória (casual simples)amostra é composta de elementos retirados ao acaso da população.

� Amostragem sistemática:amostra são escolhidos com base em um sistema preestabelecido.

� Amostragem estratificada:composta de elementos proveniente de todos os grupos ou estratos da população.

� 4.2.34.2.34.2.34.2.3 VariávelVariávelVariávelVariável

A variável fornece as características da população, também sendo conhecida como estatística . As variáveis podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas.

21


4.4.4.4. ESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICAESTATÍSTICA

Com o desenvolvimento tecnológico, os meios de comunicação passaram a transmitir um número

informações e muito mais rapidamente. Essas informações, encontradas, por exemplo, em jornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc.

Programa das nações unidas para o desenvolvimento.

é uma área da Matemática que trabalha com a coleta de informações, bem como sua organização e análise. Com a análise dos dados coletados, podemos tomar decisões, além de fazer previsões e planejamentos com mais segurança.

é todo universo que está sendo população de uma cidade.

é apenas uma parte da população parte da população de

uma cidade. A amostragem pode ocorrer de três

(casual simples): a amostra é composta de elementos retirados ao

Amostragem sistemática: aos elementos da amostra são escolhidos com base em um

Amostragem estratificada: a amostra é os proveniente de todos

os grupos ou estratos da população.

fornece as características da população, também sendo conhecida como variável

. As variáveis podem ser classificadas em

� Variável qualitativa:

são expressos por atributos. preferência musical, etc. variáveis qualitativas poder ser classificadas em: ordinais .

� Variável quantitativa:são expressos em números. idade, salário, número de habitantes, etc. Variáveis quantitativas podem ser classificadas ser classificadas em

4.34.34.34.3 Distribuição de frequênciaDistribuição de frequênciaDistribuição de frequênciaDistribuição de frequência

4.3.1.4.3.1.4.3.1.4.3.1. FrequênciaFrequênciaFrequênciaFrequência HlJ É o número de vezes que um determinado elemento aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno é também chamado de 4.3.2.4.3.2.4.3.2.4.3.2. Frequência RelativaFrequência RelativaFrequência RelativaFrequência Relativa

É o quociente da frequência absoluta pelo número

elementos dados l� � lP 4.3.3.4.3.3.4.3.3.4.3.3. Frequência AcumuladaFrequência AcumuladaFrequência AcumuladaFrequência Acumulada

É a soma das frequências relativas até determinado dado.

4.3.4.4.3.4.4.3.4.4.3.4. Frequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada Relativa

Corresponde à proporção da frequência acumulada em

relação ao total da absoluta.

Exemplo

Organize a tabela de frequência abaixo, de acordo com os conceitos estudados nos pontos acima.

Nível de escolaridade

Frequência (f )

Ensino Fundamental

6

Ensino Médio 8

Ensino Superior

2

Total 16



qualitativa: é quando seus valores são expressos por atributos. Ex: sexo, preferência musical, etc. variáveis qualitativas poder ser classificadas em: nominais ou

Variável quantitativa: é quando seus valores são expressos em números. Ex: estatura, idade, salário, número de habitantes, etc. Variáveis quantitativas podem ser classificadas ser classificadas em discretas ou contínuas .

Distribuição de frequênciaDistribuição de frequênciaDistribuição de frequênciaDistribuição de frequência

H Jo número de vezes que um determinado elemento

aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno é também chamado de frequência absoluta , l.

Frequência RelativaFrequência RelativaFrequência RelativaFrequência Relativa Hl�J o quociente da frequência absoluta pelo número P de lP.

Frequência AcumuladaFrequência AcumuladaFrequência AcumuladaFrequência Acumulada HlrJ a soma das frequências relativas até determinado

Frequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada RelativaFrequência Acumulada Relativa Hlr�J orresponde à proporção da frequência acumulada em

relação ao total da absoluta. lr� � lrP .

Exemplo 24 frequência abaixo, de acordo com

os conceitos estudados nos pontos acima.

Frequência acumulada

(fa )

Frequência relativa (fr )

Frequência acumulada relativa

(far )



4.3.5.4.3.5.4.3.5.4.3.5. Intervalo de classeIntervalo de classeIntervalo de classeIntervalo de classe

Intervalos de classes são utilizados quando trabalhamos com um número elevado de elementos.

Exemplo 25 Considere as notas obtidas por 20 alunos de uma turma em certa avaliação na disciplina de matemática.

Construa a tabela de frequência utilizando intervalos de classes.

4.44.44.44.4 Representação gráfica de dados estatísticosRepresentação gráfica de dados estatísticosRepresentação gráfica de dados estatísticosRepresentação gráfica de dados estatísticos

Os dados de uma pesquisa podem ser representados de várias maneiras. Os meios de comunicação utilizam, em geral, os gráficos para apresentar esses dados. Isso ocorre porque os gráficos permitem uma melhor visualização e também uma análise mais detalhada dos dados apresentados.

4.4.14.4.14.4.14.4.1 Gráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barras

O gráfico de barras, também conhecido como gráfico de colunas , é utilizado, em geral, para representar dados de uma tabela de frequências associados a uma variável qualitativa. Exemplos:

4.4.24.4.24.4.24.4.2 Gráfico de linhasGráfico de linhasGráfico de linhasGráfico de linhas

O gráfico de linhas , também conhecidos como gráfico de segmentos , é utilizado, em geral, para representar a evolução dos valores de uma variável no decorrer do tempo de maneira contínua. Exemplos:

4.4.34.4.34.4.34.4.3 Gráfico de setoresGráfico de setoresGráfico de setoresGráfico de setores

O gráfico de setores , também conhecido como “gráfico de pizza ”, é utilizado, em geral, para representar partes de um todo. Atente para o fato de que o todo de gráfico de setor equivale a 360°, ou seja, 100% está para 360° . Essa relação será muito útil nas análises desses tipos de gráficos. Exemplos:

4.4.44.4.44.4.44.4.4 HistogramaHistogramaHistogramaHistograma

Este tipo de gráfico é utilizado para representar as frequências absolutas e as relativas de dados agrupados em intervalos de classes. O histograma é composto de retângulos justapostos cujas bases são apoiadas em um eixo horizontal. Exemplos:

Note que, se ligarmos os pontos médios das

bases superiores das barras do histograma a partir de segmentos de retas, obteremos uma linha chamada poligonal de frequência . 4.4.54.4.54.4.54.4.5 PictogramaPictogramaPictogramaPictograma

É uma técnica muito utilizada pelos meios de comunicação, como revistas, jornais, entre outros,afim de tornar os gráficos mais atraentes. Esses meios de comunicação costumam ilustrar imagens relacionadas ao contexto do qual as informações fazem parte. Exemplos:

72 43 91 65 67 70 83 87 81 85

39 52 58 53 88 73 50 86 68 73



4.54.54.54.5 Medidas de tendência centralMedidas de tendência centralMedidas de tendência centralMedidas de tendência central

Em estatística, as medidas de tendências centrais são utilizadas a fim de obter um valor que tende a caracterizar ou representar melhor um conjunto de dados. Dentre as medidas de tendência central, estudaremos a média aritmética , a moda e a mediana . 4.5.14.5.14.5.14.5.1 MédiaMédiaMédiaMédia Aritmética Simples Aritmética Simples Aritmética Simples Aritmética Simples H °̄ J

É o quociente obtido ao se dividir a soma das frequências da variável pelo número de valores.

°̄ � B< o B8 o B: o ⋯ o BPP � ∑ B

P³<P

4.5.24.5.24.5.24.5.2 Média aritmética ponderada Média aritmética ponderada Média aritmética ponderada Média aritmética ponderada H °́ µJ

É o quociente obtido ao se dividir a soma dos produtos das frequências da variável por seus respectivos pesos pela soma dos pesos.

°̄ � � B< ∙ �< + B8 ∙ �8 + B: ∙ �: + ⋯ + BP ∙ �P�< + �8 + �: + ⋯ + �P

= ∑ B ∙ �P³<∑ �P³<

4.5.34.5.34.5.34.5.3 Moda Moda Moda Moda (´�)

Denomina-se moda de um conjunto de dados o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode não existir e, mesmo quando exista, pode não ser única. 4.5.44.5.44.5.44.5.4 Mediana Mediana Mediana Mediana (´¶)

É o valor que ocupa a posição central de um rol quando este apresenta uma quantidade ímpar de valores. Para um rol que tem quantidade par de valores, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.

Exemplo 26 Em uma prova realiza com 40 alunos da 5ª série de uma determinada escola, obteve-se o seguinte resultado em número de pontos por alunos.

Pontos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alunos 1 5 3 2 2 6 8 2 6 5

Represente a distribuição de freqüência dos dados. Em seguida determine a moda, a mediana e a média aritmética da 5 maiores notas.

Exemplo 27 Um levantamento sobre a idade em anos, dos alunos do 1º ano do colégio Impacto resultou na seguinte distribuição:

Idade Número de alunos 14 4 15 12 16 8 17 1

a) Construa o gráfico de linha relativo a esses dados. b) Construa o gráfico de barras verticais relativo a esses dados. c) Construa o gráfico de setores relativo a esses dados.

matemática aplicada - prof. giancarlo gssp infor

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