matemática

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada núme

unidade ao anterior. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos

considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas proprverdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Considerando-se a sucessão: O menor número natural é o zero (0). Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: (a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é

sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro

objeto matemático denominado função, algumas verepresentar o conjunto dos números naturais pares:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...) O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também cham

números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...} Expressão Numérica com Números Naturais Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma folha de caderno, alguns cálculos

a serem efetuados. Exemplo: 2 + 3 x 4 - 1 + 8 Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes cálculos, é a ordem em que se

deve efetuar cada uma das contas da expressão numérica. Portanto precisamos seguir a ordem certa, para o resu

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos:

Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na

verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo

maior número natural, ou seja, ela é infinita.

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também cham

Expressão Numérica com Números Naturais

Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma folha de caderno, alguns cálculos

Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes cálculos, é a ordem em que se deve efetuar cada uma das contas da expressão numérica.

Portanto precisamos seguir a ordem certa, para o resultado ser correto.

1111

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos:

ro seguinte é obtido acrescentando-se uma

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos iedades algébricas que os números naturais. Na

verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro zes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos

Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma folha de caderno, alguns cálculos

Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes cálculos, é a ordem em que se

Veja: * Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em

que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita. Por exemplo: 15 + 7 + 12 -13 = 22 + 12 - 13 = 34 - 13 = 21 * Nas expressões numéricas efetuamos as multiplicações antes das adições. Por exemplo: 28 + 7 + 15 x 3 = 28 + 7 +45 = 35 + 45 = 80 * Nas expressões numéricas efetuamos a divisão antes da subtração. Por exemplo: 87 - 36 : 3 - 8 = 87 - 12 - 8 =75 - 8 = 67 * Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da subtração. Agora vamos calcular a expressão citada no inicio deste capitulo: 2 + 3 x 4 - 1 + 8 x 2 = 2 + 12 – 1 + 4 =14 – 1 + 4 = 13 + 4 = 17 Para determinarmos uma expressão numérica que apareça potenciação, efetua

efetua-se as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS * Adição A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir

algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo. A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina

ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Para calcular a adição, colocamos os números em ordem d

a soma da operação adição. Exemplo:

* Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.

* Nas expressões numéricas efetuamos as multiplicações antes das adições.

* Nas expressões numéricas efetuamos a divisão antes da subtração.

* Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da subtração.

Agora vamos calcular a expressão citada no inicio deste capitulo:

Para determinarmos uma expressão numérica que apareça potenciação, efetua-se primeiramente a potenciação, logo se as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS

undamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada

2222

* Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em

* Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da subtração.

se primeiramente a potenciação, logo

undamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir


10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então,

e unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona

se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adicionasoma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se : a. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. b. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. c. A propriedade que permite trocar ou A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição. 2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (

o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11. Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Deduz-se : Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas

e posteriormente associar a primeira. Esta propri Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui

mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0). Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a ( * Subtração A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina

se diferença ou resto. Relembrar: 9 – 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9 O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de re Veja as análises abaixo: 1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo,

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE

1 2 5 3

2 7 1 5

se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adicionase 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

orme outra indicação:

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimase posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, parcelas. Este número é o zero (0).

se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.

10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.

Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

3333

e 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a

mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa. A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas edade tem como denominação propriedade associativa.

se que existe um número que não altera a o resultado final da soma,

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-

se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

para que uma operação de subtração se realize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 b. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6 Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0 c. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 d. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 A operação de subtração pode ser consid Considerando: 7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra. Observe esta sentença: Y + a = c ou a + y = c Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que

modo é possível calcular o valor de x? Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a * Multiplicação É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando,

tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os

fatores são os números que participam da operação. a. b = c a.b > fatores c > produto da operação. De um modo mais amplo e um pouco ava A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definia. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da

operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação b. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :


são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.

A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o

o ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da

operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

lo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

4444

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em

são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 5 não pertence a N.

(4-2)



se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o

o ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os

das: a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplicaresultado = 120

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama c. A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X. Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1. d. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a

propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N * Divisão É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número

contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de 1) A divisão exata Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 Propriedades da divisão exata a. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 nãob. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é

diferente de 1:3 c. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 d. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade. Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta

divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração. Um dos mandamentos da matemática é

que ser maior do que zero. 2) A divisão não-exata Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

resto. A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 De um modo geral na divisão : Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a

zero”. Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quo

se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação.

A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

nto neutro da multiplicação é o número 1.

se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é

A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

lguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta , com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a

exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

5555

se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o

ciativa da multiplicação.

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número

O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é

a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

lguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da

ue em uma operação o divisor tem

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a

ciente, r é o resto.

Dados dois números naturais x e y, a expressão x

O número que se repete como fator denomin

denominado expoente, que neste caso é o y. O resultado denominacom fatores iguais.

Exemplos:

• 23 = 2 . 2 . 2 = 8

• 43 = 4 . 4 . 4 = 64

Algumas Propriedades da Potenciação a. Sendo a base igual a 1, com qualquer expoente natural, sua potência será sempre 1. Exemplos: � 1

3 = 1 . 1 . 1 = 1

� 17 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1

b. Se x é um número natural "não nulo" então a potência x Exemplos: � x

o = 1

� 5o = 1

� 49o = 1

c. Qualquer que seja o número natural x diferente de zero, com expoente igual a 1, a potência x

mesmo). Exemplos: � 5

1 = 5

� 641 = 64

d. Toda potência de 10 é o número formado pelo alg

expoente. Exemplos: � 10

3 = 1000

� 108 = 100.000.000

� 10o = 1

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número

Onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação. Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por.

R

Que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito

a^(1/n).

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

Dados dois números naturais x e y, a expressão xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:

xy = x . x . x . x ... x . x . x

y vezes

O número que se repete como fator denomina-se base, que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente, que neste caso é o y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação

Sendo a base igual a 1, com qualquer expoente natural, sua potência será sempre 1.

Se x é um número natural "não nulo" então a potência xo será sempre 1.

Qualquer que seja o número natural x diferente de zero, com expoente igual a 1, a potência x

Toda potência de 10 é o número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número

bn = a

Onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por.

Rn[a], a

1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),

ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo:

6666

, representa um produto de y fatores iguais ao número x, ou seja:

se base, que neste caso é x. O número de vezes que a base se repete é se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação

Qualquer que seja o número natural x diferente de zero, com expoente igual a 1, a potência x1 será igual a x (ele

arismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo:

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada p Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quocient

Portanto 6 é a raiz quadrada de 36. Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve

Por tentativa, temos:

Portanto 4 é raiz cúbica de 64. Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica

necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

01 – O consecutivo e o antecedente de um número natural 02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se 03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número : 04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ;

6n – 1 ; 5n + 3 05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ? 06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades

simples. 07 – No número formado por 5 unidade

algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é : 08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... . 09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal

b2 = a

0 pode ser denotada por a1/2

.

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:

b2 = b × b = 36

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quocient

36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

b3 = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3

.

aiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter.

b3=b×b×b=64

1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64

se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbicanecessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

Exercícios

O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :

será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........

O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :

é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ;

Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?

Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades

No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :

A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?

7777

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal

se obter o valor numérico de b de forma que:

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não

será ...........

é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ;

Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades

s de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do

A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .

10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa nesse número ?

11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ? 12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ? 13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ? 14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes? 15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ? 16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ? 17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ? 18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ? 19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ? 20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o

ímpares e diferentes. 21 – Quantos algarismos utilizo para escrever 22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos . 23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ? 24 – Quantos algarismos são necessários para se escr 25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585? 26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos? 27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ? 28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre

numérico 42, 43, 44, ....444 ? 29 – Quantos algarismos são necessários para escre 30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ? 31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de 32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo

ocupará a 1.467º posição ? 33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo

ocupará a posição de número 454 ? 34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece n

unidades simples ? 35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das

centenas simples ?

A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa

número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?

Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?

Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?

o natural de três algarismos diferentes?

Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?

Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?

Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?

a entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o

escrever os 150 primeiros números naturais ?

Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?

Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?

Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo

Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?

Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo

Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo

Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece n

Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das

8888

A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa

número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?

número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?

maior número de 3 algarismos

Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .

ever os números pares situados entre 63 e 709 ?

Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?

Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?

Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?

vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo

Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?

um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?

escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo

Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo



36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarism 37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ? 38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ? 39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentam 40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus

dois algarismos ? 41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problem

era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão 42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Q

sucessão aparecerá o grupo “12” ? 43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175

inclusive. 44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais

algarismo 7 ? 45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando

para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarO número primitivo é :

A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4 D) maior que 180 000 E) divisível por 5 46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática )

ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessagrupo "89"?

a) 98 47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática )

aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

a) 6882 48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de doi

acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática )

diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática )

primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?

A) 4

51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menmaior deles será :

52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que

não sejam múltiplos de 5.

Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6

Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?

Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?

Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus

Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão

Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Q

Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175

Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o

Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levandopara o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo.

( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o

b) 32 c) 22 d) 89 e) 21

( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:

b) 5994 c) 4668 d) 7224 e) 3448

Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?

( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a tiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?

( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos

B) 1 C) 2 D) 3 E) nenhuma

se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o men

Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que

9999

Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?

os à sua direita o número 21 ?

Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus

a em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?

Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa

Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175

de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o

Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, ismos, o novo número é o triplo do número primitivo.

1 a 1.000 são escritos lado a lado, em seqüência, quantas vezes aparece o

São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1

s algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando

São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a

de duas formas como soma de dois números 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos

se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O

Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que

53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrterminando no número 333 ?

01) n + 1 e

03) ímpar

05) 8 ordens e 3 classes

07) 305

09) unidades simples

11) 9 dezenas

13) 98 e 10

15) 204 e 864

17) 9.876 e 1.234

19) 13.579 e 97.531

21) 340

23) 4.830

25) 783

27) 265

29) x

31) 300 páginas

33) 1

35) 236

37) 57

39) 28

41) 273

43) 207

45) letra b

47) letra a

49) 37 maneiras

51) 400

53) 636

Introdução A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de dos números racionais fracionários.

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

n9

Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e

GABARITO

n + 1 e n – 1 02) n + 2 e n – 2

04) 2n +1 e 6n – 1 è impar 8n – 6 è par 5n + 3 è depende de n

8 ordens e 3 classes 06) 52.748

08) próprio número

unidades simples 10) 4 e 3ª ordem

9 dezenas 12) 99 e 10

98 e 10 14) 987 e 102

204 e 864 16) 9.876 e 1.234

9.876 e 1.234 18) 9.875 e 1235

13.579 e 97.531 20) 49

22) 472 e 1.343

24) 951

26) 1.350

28) 82

x para n>1 30) 1.887

300 páginas 32) 5

34) 124

36) 1.364

38) 38

40) 29

42) 93

44) 865

letra b 46) 23

letra a 48) 19

37 maneiras 50) 1 è 2 + 23

52) 234

Numeração decimal

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de re

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

110

−n

10101010

ever todos os números naturais começando no 33 e

, que corresponde a uma outra forma de representação

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século

O uso dos números decimais é bem superior acalculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais Observe as frações:

Assim: Denominam-se frações decimais, todas as fraçõ Números Decimais O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète

escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal

Fração Decimal

Fração D

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Os denominadores são potências de 10.

, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.

Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001


= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005


= 11,7

= 1,17

11111111

o dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas

es que apresentam potências de 10 no denominador.

1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais.Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Leitura dos números decimais No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:

Leitura Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;centésimos milésimos ................... : quan Exemplos: 1,2: um inteiro e dois décimos;

2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimosQuando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal. Exemplos: 0,1 : um décimo;

0,79 : setenta e nove centésimos Observação: 1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53: Leitura convencional: cinco inteiros e cinqüenta e três centésimos; Outras formas: quinhentos e cinqüenta e três centésimos;Cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

= 0,117

= 0,0117

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as

Centenas Dezenas Unidades

Partes inteiras

Décimos Centésimos Milésimos

Décimos milésimos Centésimos milésimos

Milionésimos Partes decimais

Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;

. : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

dois inteiros e trinta e quatro centésimos Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.

Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:

cinco inteiros e cinqüenta e três centésimos;

inqüenta e três centésimos; Cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

12121212

No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as

do houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:

2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 Transformação de números decimais em frações decimais Observe os seguintes números decimais:

• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja,

• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,

• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis cent

• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

Verifique então que:

Assim: Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para

denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais. Transformação de fração decimal em número decimalObserve as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

Transformação de números decimais em frações decimais

Observe os seguintes números decimais:

.

se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja, .

se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, .

se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

13131313

Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para

Podemos concluir, então, que: Para se transformar uma fração decimal em

os zeros do denominador. Decimais equivalentes As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte,

respectivamente. Observe:

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes.Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade. Exemplos:

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000

Dos exemplos acima, podemos concluir que:

Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Comparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles.

Consideremos dois casos: 1º Caso: As partes inteiras

O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos: 3,4 > 2,943, pois 3>2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9. 2º Caso: As partes inteiras são iguais O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais

acrescentando zeros. Exemplos:

• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), po

• 8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem

As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte,

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes. Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000 95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

Dos exemplos acima, podemos concluir que:


ica estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles.

O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais

(igualando as casas decimais), pois 75 > 70.

8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

14141414

número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem

As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte,

8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

5,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000


ica estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles.

O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais

RESOLUÇÃO DE PROBLEM

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir

algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo. A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação. Relembrar: 10 + 5 = 15 10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima d

ADIÇÃO. A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada

a soma da operação adição. Exemplo:

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona

se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adicionasoma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 Deduz-se : 1. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. 2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. 3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa. A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição. 2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos

o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a n Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). Deduz-se : Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas

e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa. Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui

mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

ADIÇÃO

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir as as frações ou totalidades de algo.


10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima d

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.


1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE

1 2 5 3

2 7 1 5

se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adicionase 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa.

representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

ndiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

15151515

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir


10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então,


se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a

A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a propriedade comutativa. representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos úmero 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

ndiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

se que existe um número que não altera a o resultado final da soma,

Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (


se diferença ou resto. Relembrar: 9 – 5 = 4 Essa igualdade tem como resultado a subtração. Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9 O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5. Veja as análises abaixo: a) 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtrab) 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N. A operação de subtração nem sempre é viável entre dois númer

N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo. Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtA subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6 Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0 A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição. Considerando: 7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra. Observe esta sentença: Y + a = c ou a + y = c Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas

modo é possível calcular o valor de x? Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando,

tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

SUBTRAÇÃO


Essa igualdade tem como resultado a subtração.

rmos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.

10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.



Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.

A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2) A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.


Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

MULTIPLICAÇÃO

se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o

16161616

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-

se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.


os naturais. Então, é necessário que em uma subtração em

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: 5 não pertence a N.



se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação. De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar: A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas: a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da

operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : (4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (q

resultado = 120 A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 1 . x = x ou x.1 = x É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X. Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número

do fechamento da multiplicação



contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 1) A divisão exata Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 Propriedades da divisão exata Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N

diferente de 1:3 A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4 Pode-se afirmar que a divisão exata tem s

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os tores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w


operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação.

A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade


Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número m em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N

A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

17171717

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os


ue é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o

se associativa da multiplicação.

checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

natural que pode ser traduzido a propriedade


O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é

A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8 (10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8 O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta

divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração. Um dos mandamentos da matemática é

que ser maior do que zero. 2) A divisão não-exata Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

resto. A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 De um modo geral na divisão: Operação divisão exata: D: d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q

zero”. Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

1) Maria nasceu em 1980 e completou 29 anos do dia 23 de março de 2009, sua irmã Ra

1975. Quantos anos ela completará no ano de 2009. A) 30 ANOS B) 34 ANOS C) 29 ANOS D) 38 ANOS 2) Driele ganhou de seu pai R$ 800, 00 reais, para fazer compras. Comprou uma calça de 58,00 reais, uma blusa de 42,00

reais, fez um lanche que lhe custou R$ 20,00 reais e finalizou suas compras com uma linda sandália de R$ 128,00 reais. Com quanto Driela ficou?

A) R$ 300,00 B) R$ 400,00 C) R$ 552,00 D) R$ 429,00 3) Em uma competição escolar, havia 4 grupos , o Vermelho tinha 35 participante

com 25 participantes e o azul com 38 participantes, cada participante tinha que arrecadar 5 quilos de alimentos para particda competição. Quantos quilos de alimentos foram arrecadados.

A) 590 Kg B) 425 Kg C) 356 Kg D) 499 Kg 4) Em uma festa de aniversário foram comprados 10 sacos de balões coloridos, cada saco possuía 100 unidades de balões.

Foram estourados 60% dos balões. Quantos balões restaram. A) 900 balões B) 500 balões C) 400 balões D) Nenhum balão

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta , com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem

igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

Operação divisão exata: D: d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a


EXERCÍCIOS

1) Maria nasceu em 1980 e completou 29 anos do dia 23 de março de 2009, sua irmã Rafaela nasceu no dia 19 de julho de 1975. Quantos anos ela completará no ano de 2009.

2) Driele ganhou de seu pai R$ 800, 00 reais, para fazer compras. Comprou uma calça de 58,00 reais, uma blusa de 42,00 um lanche que lhe custou R$ 20,00 reais e finalizou suas compras com uma linda sandália de R$ 128,00 reais. Com

3) Em uma competição escolar, havia 4 grupos , o Vermelho tinha 35 participantes, o amarelo com 20 participantes, o laranja com 25 participantes e o azul com 38 participantes, cada participante tinha que arrecadar 5 quilos de alimentos para particda competição. Quantos quilos de alimentos foram arrecadados.

4) Em uma festa de aniversário foram comprados 10 sacos de balões coloridos, cada saco possuía 100 unidades de balões. Foram estourados 60% dos balões. Quantos balões restaram.

18181818

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da

. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem

igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o

= quociente e o resto é subentendido “igual a


faela nasceu no dia 19 de julho de

2) Driele ganhou de seu pai R$ 800, 00 reais, para fazer compras. Comprou uma calça de 58,00 reais, uma blusa de 42,00 um lanche que lhe custou R$ 20,00 reais e finalizou suas compras com uma linda sandália de R$ 128,00 reais. Com

s, o amarelo com 20 participantes, o laranja com 25 participantes e o azul com 38 participantes, cada participante tinha que arrecadar 5 quilos de alimentos para participar

4) Em uma festa de aniversário foram comprados 10 sacos de balões coloridos, cada saco possuía 100 unidades de balões.

5) Paula trabalha com a produção de salgados para aniversários, o cento de seu salgado custa R$ 115,00 reais. Em uma encomenda foram produzidos 300 pastéis, 400 coxinhas, 500 pãezinhos, 200 empadas e mais 300 risoles. Quanto Paula faturou nesta encomenda?

A) R$ 900,00 reais B) R$ 1.955,00 reais C) R$ 2.000,00 reais D) R$ 1.500,00 reais 6) Rosa trabalha em uma loja de confecções e sua renda salarial é de R$ 670,00 reais por mês. Em 4 anos de trabalho ela

ganhará quanto? A) 21,000,00 reais B) 19.060,00 reais C) 40.250,00 reais D) 32.160,00 reais 7) Em um restaurante japonês cozinha-se por dia 30 Kg de arroz branco. Cada quilo de arroz rende 18 porções de arroz.

Quantos porções renderá os 30 quilos. A) 30 PORÇÕES B) 300 PORÇÕES C) 180 PORÇÕES D) 540 PORÇÕES 8) Dona Amélia completou no dia 20 de abril 2007, 89 anos. Em que ano dona Amélia nasceu ? A) 1920 B) 1930 C) 1918 D) 1925 9- Responda os seguintes problemas: a) Júlio comprou 4 milheiros de tijolos na semana passada para fazer o muro de sua casa e, hoje, comprou mais 2 milheiros e

meio. Pelos próprios cálculos, Júlio precisa de 10 milheiros de tijolos para construir o muro todo. Quantos tijolos ele ainda precisa comprar para terminar o muro?

b) Dona Carmela tinha 8 laranjas em sua geladeira e comprou mais 4 dúzias para fazer doces de enco

laranjas e 2 quilogramas de açúcar no doce. Quantas laranjas sobraram? c) Seu Juca colheu 8 dúzias de mexericas em seu pomar. Ficou com 24 mexericas e o restante distribuiu igualmente entre

seus três vizinhos. Quantas mexericas ganhou c d) Rafael distribuiu R$ 45,00, igualmente entre seus três filhos. Os garotos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 3,50 cada

um. Quanto restou para cada um? e) Ana e seu marido recebem R$ 453,00 de salário cada um. Se eles gastam R$ 275,00 co

quanto sobra para outras despesas do casal? f) Marcelo comprou um televisor e um aparelho de som, pagando em quatro parcelas mensais iguais. Pelo televisor, ele

pagou R$ 120,00 por mês e pelo aparelho de som, R$ 82,00 por mg) Neusa organizou seu 100 CDs em quatro pilhas iguais. Quantos CDs foram colocados em cada pilha? h) O prédio em que Neusa mora tem 15 andares, com quatro apartamentos por andar. Quantos apartamentos

prédio em que Neusa mora? i) Neusa comprou 60 balas e montou saquinhos com 12 balas cada um, para dar aos seus sobrinhos. Quantos saquinhos de

balas Neusa montou?

rabalha com a produção de salgados para aniversários, o cento de seu salgado custa R$ 115,00 reais. Em uma encomenda foram produzidos 300 pastéis, 400 coxinhas, 500 pãezinhos, 200 empadas e mais 300 risoles. Quanto Paula faturou

6) Rosa trabalha em uma loja de confecções e sua renda salarial é de R$ 670,00 reais por mês. Em 4 anos de trabalho ela

se por dia 30 Kg de arroz branco. Cada quilo de arroz rende 18 porções de arroz.

dia 20 de abril 2007, 89 anos. Em que ano dona Amélia nasceu ?

a) Júlio comprou 4 milheiros de tijolos na semana passada para fazer o muro de sua casa e, hoje, comprou mais 2 milheiros e los próprios cálculos, Júlio precisa de 10 milheiros de tijolos para construir o muro todo. Quantos tijolos ele ainda

b) Dona Carmela tinha 8 laranjas em sua geladeira e comprou mais 4 dúzias para fazer doces de encolaranjas e 2 quilogramas de açúcar no doce. Quantas laranjas sobraram?

c) Seu Juca colheu 8 dúzias de mexericas em seu pomar. Ficou com 24 mexericas e o restante distribuiu igualmente entre seus três vizinhos. Quantas mexericas ganhou cada vizinho?

d) Rafael distribuiu R$ 45,00, igualmente entre seus três filhos. Os garotos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 3,50 cada

e) Ana e seu marido recebem R$ 453,00 de salário cada um. Se eles gastam R$ 275,00 com o aluguel da casa onde moram, quanto sobra para outras despesas do casal?

f) Marcelo comprou um televisor e um aparelho de som, pagando em quatro parcelas mensais iguais. Pelo televisor, ele pagou R$ 120,00 por mês e pelo aparelho de som, R$ 82,00 por mês. Quanto Marcelo pagou pelos dois aparelhos juntos?

g) Neusa organizou seu 100 CDs em quatro pilhas iguais. Quantos CDs foram colocados em cada pilha?

h) O prédio em que Neusa mora tem 15 andares, com quatro apartamentos por andar. Quantos apartamentos

i) Neusa comprou 60 balas e montou saquinhos com 12 balas cada um, para dar aos seus sobrinhos. Quantos saquinhos de

19191919

rabalha com a produção de salgados para aniversários, o cento de seu salgado custa R$ 115,00 reais. Em uma encomenda foram produzidos 300 pastéis, 400 coxinhas, 500 pãezinhos, 200 empadas e mais 300 risoles. Quanto Paula faturou

6) Rosa trabalha em uma loja de confecções e sua renda salarial é de R$ 670,00 reais por mês. Em 4 anos de trabalho ela

se por dia 30 Kg de arroz branco. Cada quilo de arroz rende 18 porções de arroz.

dia 20 de abril 2007, 89 anos. Em que ano dona Amélia nasceu ?

a) Júlio comprou 4 milheiros de tijolos na semana passada para fazer o muro de sua casa e, hoje, comprou mais 2 milheiros e los próprios cálculos, Júlio precisa de 10 milheiros de tijolos para construir o muro todo. Quantos tijolos ele ainda

b) Dona Carmela tinha 8 laranjas em sua geladeira e comprou mais 4 dúzias para fazer doces de encomenda. Ela usou 50

c) Seu Juca colheu 8 dúzias de mexericas em seu pomar. Ficou com 24 mexericas e o restante distribuiu igualmente entre

d) Rafael distribuiu R$ 45,00, igualmente entre seus três filhos. Os garotos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 3,50 cada

m o aluguel da casa onde moram,

f) Marcelo comprou um televisor e um aparelho de som, pagando em quatro parcelas mensais iguais. Pelo televisor, ele ês. Quanto Marcelo pagou pelos dois aparelhos juntos?

g) Neusa organizou seu 100 CDs em quatro pilhas iguais. Quantos CDs foram colocados em cada pilha?

h) O prédio em que Neusa mora tem 15 andares, com quatro apartamentos por andar. Quantos apartamentos há ao todo no

i) Neusa comprou 60 balas e montou saquinhos com 12 balas cada um, para dar aos seus sobrinhos. Quantos saquinhos de

10) Walter mediu uma certa distância usando o seu passo e descobriu 75 passos80cm, qual foi a distância que ele mediu?

A) 6.000m B) 600m C) 60m D) 6m E) 60.000m 11) Um famoso cantor vai fazer um show num estádio de futebol. Já foram vendidos 45.318 ingressos, e ainda, restam

17.617 ingressos para serem vendidos. Quantos ingressos foram colocados à venda?A) 32.335 B) 27.701 C) 52.925 D) 63.325 E) 62.935 12) Uma loja realiza a seguinte promoção: cada R$50,00 gastos podem ser trocados por um cupom que dá direito a

concorrer ao sorteio de um carro. Isadora gastou R$1.370,00 nessa loja. Quantos cupons ela tem direito?A) 29 B) 17 C) 27 D) 270 E) 42 13) Um feirante quer colocar 1.250 laranjas em caixas. Se ele colocar 5 dúzias de laranjas em cada caixa, quantas laranjas

irão sobrar? A) 5 B) 2 C) 10 D) 50 E) 15 14) Pedro já pintou 5/9 de uma parede. Isso significa que: A) já pintou menos da metade da parede. B) já pintou mais da metade da parede. C) pintou a metade da parede. D) falta pintar 1/9 da parede. E) faltam pintar 3/9 da parede. 15) A assinatura anual de uma revista A

desse valor. Júlio resolveu assinar a revista A) R$176,00 B) R$275,00 C) R$44,00 D) R$396,00 E) R$125,00 16) Marília tem 7 anos e sua mãe, 35. Que idade tinha a mãe de Marília quando ela nasceu?A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 17) Eduardo trabalha em um escritório de contabilidade 6 horas por dia. Sabendodias, ao final desta semana, quantas horas ele trabalhará?A) 30 B) 35

10) Walter mediu uma certa distância usando o seu passo e descobriu 75 passos. Se cada um dos passos de Walter tem

11) Um famoso cantor vai fazer um show num estádio de futebol. Já foram vendidos 45.318 ingressos, e ainda, restam sos para serem vendidos. Quantos ingressos foram colocados à venda?

12) Uma loja realiza a seguinte promoção: cada R$50,00 gastos podem ser trocados por um cupom que dá direito a de um carro. Isadora gastou R$1.370,00 nessa loja. Quantos cupons ela tem direito?

13) Um feirante quer colocar 1.250 laranjas em caixas. Se ele colocar 5 dúzias de laranjas em cada caixa, quantas laranjas

14) Pedro já pintou 5/9 de uma parede. Isso significa que:

A) já pintou menos da metade da parede.

A custa R$220,00. O preço da assinatura anual de uma revista desse valor. Júlio resolveu assinar a revista B. Quanto ele terá que pagar por essa assinatura?

16) Marília tem 7 anos e sua mãe, 35. Que idade tinha a mãe de Marília quando ela nasceu?

17) Eduardo trabalha em um escritório de contabilidade 6 horas por dia. Sabendo-se que a sdias, ao final desta semana, quantas horas ele trabalhará?

20202020

. Se cada um dos passos de Walter tem

11) Um famoso cantor vai fazer um show num estádio de futebol. Já foram vendidos 45.318 ingressos, e ainda, restam

12) Uma loja realiza a seguinte promoção: cada R$50,00 gastos podem ser trocados por um cupom que dá direito a de um carro. Isadora gastou R$1.370,00 nessa loja. Quantos cupons ela tem direito?

13) Um feirante quer colocar 1.250 laranjas em caixas. Se ele colocar 5 dúzias de laranjas em cada caixa, quantas laranjas

custa R$220,00. O preço da assinatura anual de uma revista B corresponde a 4/5

16) Marília tem 7 anos e sua mãe, 35. Que idade tinha a mãe de Marília quando ela nasceu?

se que a semana de serviço é de 5

C) 25 D) 32 E) 37 18) Marli ganhou 18 rosas vermelhas e vai colocáem cada vaso? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 19) Jon Brower dos Estados Unidos da América, foi o homem mais pesado de toda a medicina com 635 Kg. Sua

decomposição corresponde a: A) 600 + 35; B) 6 + 100 + 30 + 5; C) 600 + 30 + 5; D) 300 + 300 +35. 20- O maior número de três ordens no sistema de numeração decimal é:A) 1.000; B) 100; C) 900; D) 999. 21- O sucessor do antecessor do primeiro número par menor que 98, corresponde a:A) 95; B) 96; C) 97; D) 98. 22- A distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 382A) 2a; B) 5a; C) 1a; D) 4a. 23- Dário usa por dia 4 vales-transporte para ir de casa ao trabalho. Ele trabalhou 92 dias ininterruptos. Ao todo, o número

de vales-transporte que ele precisou nesse perA) 368; B) 736; C) 184; D) 46. 24- Numa eleição a candidata X recebeu

que Y? A) 1.527; B) 1.572; C) 1.257; D) 1.752. 25- Pense num número. Dele subtraia 42. E

O número que você pensou foi de: A) 84; B) 94; C) 104; D) 114.

18) Marli ganhou 18 rosas vermelhas e vai colocá-las em 3 vasos em quantidades iguais. Quantas flores serão colocadas

Jon Brower dos Estados Unidos da América, foi o homem mais pesado de toda a medicina com 635 Kg. Sua

ordens no sistema de numeração decimal é:

O sucessor do antecessor do primeiro número par menor que 98, corresponde a:

A distância entre a Terra e a Lua é de aproximadamente 382.200 km. A ordem que o número oito ocupa equivale a:

transporte para ir de casa ao trabalho. Ele trabalhou 92 dias ininterruptos. Ao todo, o número transporte que ele precisou nesse período foi de:

recebeu 3.475 votos e o candidato Y, recebeu 1.948 votos. Quantos votos

Pense num número. Dele subtraia 42. Em seguida, some 35 ao resultado. Após essas operações, o resultado final foi 97.

21212121

las em 3 vasos em quantidades iguais. Quantas flores serão colocadas

Jon Brower dos Estados Unidos da América, foi o homem mais pesado de toda a medicina com 635 Kg. Sua

.200 km. A ordem que o número oito ocupa equivale a:

transporte para ir de casa ao trabalho. Ele trabalhou 92 dias ininterruptos. Ao todo, o número

votos. Quantos votos X recebeu a mais

m seguida, some 35 ao resultado. Após essas operações, o resultado final foi 97.

26- Num sítio há 98 galinhas, 12 galos, 03 patos e alguns marrecos, num total de 206 aves. O número de marrecequivalente a:

A) 23; B) 33; C) 43; D) 93. 27- O grande cientista “EINSTEIN” nasceu em 1879 e viveu 76 anos. Em que ano ele morreu?A) 1953; B) 1954; C) 1955; D) 1956. 28- Dudu comprou uma caneta por R$ 0,60, uma borracha por R$ 0,40 e uma lapisA) R$ 1,35; B) R$ 1,035; C) R$ 1,30; D) R$ 1,25. 29- Um automóvel está sendo vendido em 36 prestações de R$ 546,00. O preço total desse automóvel é:A) R$ 19.566,00; B) R$ 19.665,00; C) R$ 19.565,00; D) R$ 19.656,00. 30- Numa turma de 4º ANO (3ª série), em Tenente Laurentino Cruz, a professora “Fifica” escreveu no quadro negro:

Para sua surpresa, “Danadinho” resolveu rápido e correto.Ele encontrou como resposta certa: A) 120; B) 180; C) 210; D) 215. 31- Um pipoqueiro vende 183 saquinhos de pipoca por dia. Quantos saquinhos ele vende em um mês de 30 dias?A) 5.490; B) 5.940; C) 5.904; D) 5.409. 32- Quantos meses há em 12 anos e meio?A) 146; B) 148; C) 150; D) 152. 33- Mariana tem 19 álbuns de selos. Em cada álbum cabem 80 selos. Num álbum faltam 3 selos e em outro 5 selos. O total

de selos que Mariana possui somam: A) 1.520; B) 1.518; C) 1.514; D) 1.512. 34- Em um zoológico, o número de macacos é o triplo do número de leões. Os leões são

correspondem a: A) 44; B) 54; C) 64;

Num sítio há 98 galinhas, 12 galos, 03 patos e alguns marrecos, num total de 206 aves. O número de marrec

O grande cientista “EINSTEIN” nasceu em 1879 e viveu 76 anos. Em que ano ele morreu?

Dudu comprou uma caneta por R$ 0,60, uma borracha por R$ 0,40 e uma lapiseira por R$ 0,35. Ao todo Dudu gastou:

Um automóvel está sendo vendido em 36 prestações de R$ 546,00. O preço total desse automóvel é:

Numa turma de 4º ANO (3ª série), em Tenente Laurentino Cruz, a professora “Fifica” escreveu no quadro negro:

2 x 3 x 5 x 7 = ?

Para sua surpresa, “Danadinho” resolveu rápido e correto.

Um pipoqueiro vende 183 saquinhos de pipoca por dia. Quantos saquinhos ele vende em um mês de 30 dias?

Quantos meses há em 12 anos e meio?

ns de selos. Em cada álbum cabem 80 selos. Num álbum faltam 3 selos e em outro 5 selos. O total

Em um zoológico, o número de macacos é o triplo do número de leões. Os leões são

22222222

Num sítio há 98 galinhas, 12 galos, 03 patos e alguns marrecos, num total de 206 aves. O número de marrecos é

eira por R$ 0,35. Ao todo Dudu gastou:

Um automóvel está sendo vendido em 36 prestações de R$ 546,00. O preço total desse automóvel é:

Numa turma de 4º ANO (3ª série), em Tenente Laurentino Cruz, a professora “Fifica” escreveu no quadro negro:

Um pipoqueiro vende 183 saquinhos de pipoca por dia. Quantos saquinhos ele vende em um mês de 30 dias?

ns de selos. Em cada álbum cabem 80 selos. Num álbum faltam 3 selos e em outro 5 selos. O total

Em um zoológico, o número de macacos é o triplo do número de leões. Os leões são 18. O total de macacos

D) 74. 35- Todas as galinhas de “Timbica” puseram em um dia 141 ovos. Quantas dúzias de ovos essas galinhas haviam posto

naquele dia? A) 11; B) 12; C) 10; D) 13. 36- O resultado da divisão de 1.035 ÷ 23 A) 30; B) 35; C) 40; D) 45. 37- O preço de 7 bicicletas é R$ 1.400,00. O preço de 5 dessas bicicletas correspondem a:A) R$ 900,00; B) R$ 950,00; C) R$ 1.000,00; D) R$ 1.100,00. 38- Marcelo tinha na feirinha, de Tenente Laurentin

comprou três CD’s de preços iguais. O preço de cada CD representa uma importância de:A) R$ 9,00; B) R$ 10,00; C) R$ 11,00; D) R$ 12,00. 39) Assinale o número que antecede 498:A) 499 B) 497 C) 496 D) 500 E) 490 40) Assinale abaixo a alternativa correta:A) 35 + 35 = 60 B) 10 + 23 = 33 C) 52 - 25 = 30 D) 45 - 10 = 25 E) 30 - 15 = 16 41) Uma caixa contém 60 balas. Quantas dezenas de balas há na caixa?A) 6 B) 10 C) 4 D) 3 E) 8 42) Luiz foi à feira e comprou duas dúzias e meia de laranjas. Quantas laranjas ele comprou?A) 24 B) 30 C) 12 D) 18 E) 50 43) Em uma lanchonete foram vendidos 45 pastéis de queijo, 30 de carne e 12 de palmito. Quantos pastéis foram

vendidos no total? A) 73

Todas as galinhas de “Timbica” puseram em um dia 141 ovos. Quantas dúzias de ovos essas galinhas haviam posto

1.035 ÷ 23 é igual a:

O preço de 7 bicicletas é R$ 1.400,00. O preço de 5 dessas bicicletas correspondem a:

Marcelo tinha na feirinha, de Tenente Laurentino Cruz, R$ 50,00. Comprou uma camiseta por R$ 14,00 e com o restante comprou três CD’s de preços iguais. O preço de cada CD representa uma importância de:

39) Assinale o número que antecede 498:

40) Assinale abaixo a alternativa correta:

41) Uma caixa contém 60 balas. Quantas dezenas de balas há na caixa?

42) Luiz foi à feira e comprou duas dúzias e meia de laranjas. Quantas laranjas ele comprou?

43) Em uma lanchonete foram vendidos 45 pastéis de queijo, 30 de carne e 12 de palmito. Quantos pastéis foram

23232323

Todas as galinhas de “Timbica” puseram em um dia 141 ovos. Quantas dúzias de ovos essas galinhas haviam posto

o Cruz, R$ 50,00. Comprou uma camiseta por R$ 14,00 e com o restante

42) Luiz foi à feira e comprou duas dúzias e meia de laranjas. Quantas laranjas ele comprou?

43) Em uma lanchonete foram vendidos 45 pastéis de queijo, 30 de carne e 12 de palmito. Quantos pastéis foram

B) 92 C) 45 D) 81 E) 87 44) Adriana tem um caderno de 55 páginas. Já usou 28. Quantas páginas restam em branco?A) 25 B) 22 C) 27 D) 31 E) 42 45) O calendário mostra os dias, as semanas, os meses e o ano. Sobre as informações do

correta: A) Uma semana tem 9 dias. B) Um ano tem 12 meses. C) Um semestre tem 8 meses. D) Um ano tem 390 dias. E) Um mês tem 25 dias. 46. Rita foi ao supermercado e comprou 1 litro de óleo, meio quilo de farinha e 1 kg

pagamento uma cédula de R$ 10,00. Seu troco foi de:A) R$ 4,80 B) R$ 5,80 C) R$ 4,30 D) R$ 4,20 47. Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de carne de segunda por R$ 2,60 e 1 kg de arroz por R$ 1,40. O valor de sua

compra foi: A) R$ 3,80 B) R$ 5,00 C) R$ 4,00 D) R$ 3,90 48. Itaituba está distante de Belém 898 Km. O algarismo da ordem da dezena é:A) menor que 8. B) menor que 9. C) par. D) ímpar. 49. Na primeira quinzena de julho comemora

refere-se a um conjunto de: A) 15 semanas. B) 15 dias. C) 15 horas. D) 15 minutos. 50. A população do município de Itaituba é de aproximadamente 97.630 habitantes. A escrita correta deste numeral é:A) noventa e seis mil, setecentos e trinta.B) novecentos e setenta e seis mil e trinta.C) nove milhões, setecentos e sessenta e três mil.D) noventa e sete mil, seiscentos e trinta. 51. Se para o almoço de 600 alunos é necessário cozinhar 40 quilos de feijão, para 900 a

deveremos cozinhar? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80

44) Adriana tem um caderno de 55 páginas. Já usou 28. Quantas páginas restam em branco?

45) O calendário mostra os dias, as semanas, os meses e o ano. Sobre as informações do calendário, marque a

Rita foi ao supermercado e comprou 1 litro de óleo, meio quilo de farinha e 1 kg de feijão por R$ 5,20. Deu para pagamento uma cédula de R$ 10,00. Seu troco foi de:

Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de carne de segunda por R$ 2,60 e 1 kg de arroz por R$ 1,40. O valor de sua

Itaituba está distante de Belém 898 Km. O algarismo da ordem da dezena é:

Na primeira quinzena de julho comemora-se a Festa de Nossa Senhora de Santana, em Itaituba. O termo quinzena

A população do município de Itaituba é de aproximadamente 97.630 habitantes. A escrita correta deste numeral é:mil, setecentos e trinta.

B) novecentos e setenta e seis mil e trinta. C) nove milhões, setecentos e sessenta e três mil. D) noventa e sete mil, seiscentos e trinta.

51. Se para o almoço de 600 alunos é necessário cozinhar 40 quilos de feijão, para 900 a

24242424

44) Adriana tem um caderno de 55 páginas. Já usou 28. Quantas páginas restam em branco?

calendário, marque a informação

de feijão por R$ 5,20. Deu para

Dona Maria foi à feira e comprou 1 kg de carne de segunda por R$ 2,60 e 1 kg de arroz por R$ 1,40. O valor de sua

ntana, em Itaituba. O termo quinzena

A população do município de Itaituba é de aproximadamente 97.630 habitantes. A escrita correta deste numeral é:

51. Se para o almoço de 600 alunos é necessário cozinhar 40 quilos de feijão, para 900 alunos quantos quilos de feijão

E) 90 52. O consumo de água de uma escola num determinado mês foi de 87m3. Então, nesse mês foram gastos:A) 87 litros B) 807 litros C) 870 litros D) 8.700 litros E) 87.000 litros 53. Maria comprou uma lavadora de roupas no valor de R$ 832,00. Ela deu uma entrada de R$ 160,00 e o restante dividiu

em 12 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?A) R$ 50,00 B) R$ 52,00 C) R$ 54,00 D) R$ 56,00 E) R$ 58,00 54. Se 2 funcionários, trabalhando juntos, descascaram 40Kg de batatas em 20 minutos, quantos minutos serão necessários

para apenas 1 funcionário descascar 30Kg de batatas?A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 55) Pedro comprou três camisetas pagando R$15,00 cada uma. Deu du

pagar. Quanto recebeu de troco? A) R$15,00 B) R$5,00 C) R$35,00 D) R$25,00 E) R$10,00 56) A loja de aviamentos do Sr. Alberto teve, no mês de maio, uma despesa de R$4.256,00 e um faturamento deR$7.250,00. Podemos afirmar que nesse mês, essa loja teve um:A) lucro de R$11.506,00. B) prejuízo de R$7.250,00. C) lucro de R$2.994,00. D) prejuízo de R$4.256,00. E) prejuízo de R$2.994,00. 57) Para a aula de geometria, os alunos deveriam levar objetos cuja f

• Vitor levou uma bola.

• Ari levou um tubo de cola.

• Aline levou uma caixa de fósforos.

• Nina levou um tijolo. Quem levou o objeto correto? A) Vitor e Nina. B) Ari e Aline. C) Vitor e Aline. D) Ari e Nina. E) Nina e Aline. 58) Valdir e Mateus pesam juntos 78kg. Se o peso de Valdir é 38,4g o peso de Mateus é:A) 28,8kg B) 36,8kg C) 38,32kg D) 39,6kg

52. O consumo de água de uma escola num determinado mês foi de 87m3. Então, nesse mês foram gastos:

53. Maria comprou uma lavadora de roupas no valor de R$ 832,00. Ela deu uma entrada de R$ 160,00 e o restante dividiu em 12 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação?

onários, trabalhando juntos, descascaram 40Kg de batatas em 20 minutos, quantos minutos serão necessários para apenas 1 funcionário descascar 30Kg de batatas?

55) Pedro comprou três camisetas pagando R$15,00 cada uma. Deu duas notas de R$20,00 e uma nota de R$10,00 para

56) A loja de aviamentos do Sr. Alberto teve, no mês de maio, uma despesa de R$4.256,00 e um faturamento de0. Podemos afirmar que nesse mês, essa loja teve um:

57) Para a aula de geometria, os alunos deveriam levar objetos cuja forma lembrasse um paralelepípedo. Sabe

58) Valdir e Mateus pesam juntos 78kg. Se o peso de Valdir é 38,4g o peso de Mateus é:

25252525

52. O consumo de água de uma escola num determinado mês foi de 87m3. Então, nesse mês foram gastos:

53. Maria comprou uma lavadora de roupas no valor de R$ 832,00. Ela deu uma entrada de R$ 160,00 e o restante dividiu

onários, trabalhando juntos, descascaram 40Kg de batatas em 20 minutos, quantos minutos serão necessários

as notas de R$20,00 e uma nota de R$10,00 para

56) A loja de aviamentos do Sr. Alberto teve, no mês de maio, uma despesa de R$4.256,00 e um faturamento de

orma lembrasse um paralelepípedo. Sabe-se que:

E) 30,6kg 59) Manoel foi ao supermercado e comprou uma travessa de inox por R$21,49, duas latas de lei

potinhos de iogurte por R$0,98. Qual foi o valor da compra de Manoel?A) R$34,85 B) R$36,81 C) R$28,17 D) R$33,87 E) R$31,11 60) Eduardo ficou doente e precisou faltar algumas aulas. Ele sabe que não pode faltar a mais de 1/4

classe de Eduardo tiver 180 aulas de Ciências durante o ano, qual é o maior número de faltas que ele poderá terdisciplina?

A) 75 B) 45 C) 135 D) 40 E) 35 61) Hoje é sábado, 14 de junho. O casamento da sobrinha de Adolfo s

casamento? A) Sábado. B) Quinta-feira. C) Sexta-feira. D) Quarta-feira. E) Domingo. 62) Mirtes tinha no domingo uma quantia no banco. Na segunda

depósito de R$250,00. Com isso, o saldo bancário ficou em R$300,00. Quanto Mirtes tinha no domingo?A) R$150,00 B) R$440,00 C) R$550,00 D) R$450,00 E) R$200,00 63) Qual a unidade mais adequada para medir a massa de um comprimido?A) quilograma. B) miligrama. C) metro. D) grama. E) centímetro. 64. Durante um treinamento, um atleta correu 2450 metros. Depois de um descanso, o atleta correu mais 3500 metros. Ao

todo o atleta correu (A) 5500 metros. (B) 5650 metros. (C) 5950 metros. (D) 6000 metros. (E) 6150 metros. 65. Uma sala de cinema possui 1500 lugares. No lançamento de um filme, a sala ficou quase lotada, restando apenas 135

lugares vazios. Quantas pessoas compareceram ao lançamento do filme?(A) 1255 (B) 1365 (C) 1390 (D) 1405 (E) 1425 66. A tabela abaixo indica o consumo de energia elétrica mensal em uma residência nos três primeiros meses do ano:

59) Manoel foi ao supermercado e comprou uma travessa de inox por R$21,49, duas latas de leipotinhos de iogurte por R$0,98. Qual foi o valor da compra de Manoel?

60) Eduardo ficou doente e precisou faltar algumas aulas. Ele sabe que não pode faltar a mais de 1/4 classe de Eduardo tiver 180 aulas de Ciências durante o ano, qual é o maior número de faltas que ele poderá ter

61) Hoje é sábado, 14 de junho. O casamento da sobrinha de Adolfo será dia 27 de junho. Em que dia da semana será o

62) Mirtes tinha no domingo uma quantia no banco. Na segunda-feira retirou R$100,00 e na terçaito de R$250,00. Com isso, o saldo bancário ficou em R$300,00. Quanto Mirtes tinha no domingo?

63) Qual a unidade mais adequada para medir a massa de um comprimido?

64. Durante um treinamento, um atleta correu 2450 metros. Depois de um descanso, o atleta correu mais 3500 metros. Ao

65. Uma sala de cinema possui 1500 lugares. No lançamento de um filme, a sala ficou quase lotada, restando apenas 135 lugares vazios. Quantas pessoas compareceram ao lançamento do filme?

abela abaixo indica o consumo de energia elétrica mensal em uma residência nos três primeiros meses do ano:

26262626

59) Manoel foi ao supermercado e comprou uma travessa de inox por R$21,49, duas latas de leite em pó por R$5,70 e 4

60) Eduardo ficou doente e precisou faltar algumas aulas. Ele sabe que não pode faltar a mais de 1/4 das aulas dadas. Se a classe de Eduardo tiver 180 aulas de Ciências durante o ano, qual é o maior número de faltas que ele poderá ter nessa

erá dia 27 de junho. Em que dia da semana será o

feira retirou R$100,00 e na terça-feira efetuou um ito de R$250,00. Com isso, o saldo bancário ficou em R$300,00. Quanto Mirtes tinha no domingo?

64. Durante um treinamento, um atleta correu 2450 metros. Depois de um descanso, o atleta correu mais 3500 metros. Ao

65. Uma sala de cinema possui 1500 lugares. No lançamento de um filme, a sala ficou quase lotada, restando apenas 135

abela abaixo indica o consumo de energia elétrica mensal em uma residência nos três primeiros meses do ano:

Mês Consumo (kWh) Janeiro 210 Fevereiro 325 Março 367 Qual foi o consumo total de energia elétrica neste trimestre?(A) 707 kWh (B) 812 kWh (C) 835 kWh (D) 902 kWh (E) 927 kWh 67. Em uma adição de duas parcelas, a primeira é igual a 125 e a segunda é o dobro da primeira. O resultado da soma é(A) 375 (B) 225 (C) 250 (D) 175 (E) 390 68. Um comerciante comprou um aparelho de TV usado por R$ 620,00. Ele deseja revender o aparelho e obter um lucro de

R$ 310,00. Para isso, ele deve revender o aparelho por(A) R$ 860,00 (B) R$ 890,00 (C) R$ 900,00 (D) R$ 915,00 (E) R$ 930,00 69. Compraram-se 80 litros de refrigerante para serem servidos em uma festa de aniversário infantil. Depois da festa,

verificou-se que sobraram 32 litros. Quantos litros de refrigerante foram consumidos na festa?(A) 32 (B) 38 (C) 44 (D) 48 (E) 52 70. Renata foi fazer compras. Ela gastou R$ 120,00 em uma calça e R$ 145,00 em sapatos. Sabendo que Renata levou R$

320,00 para as compras, quanto dinheiro restou?(A) R$ 35,00 (B) R$ 40,00 (C) R$ 45,00 (D) R$ 55,00 (E) R$ 62,00 71. João fez compras em uma loja atacadista. Ele

Chegando a casa, ficou com 4 sacos de arroz e 3 latas de óleo e vendeu o restante para seus vizinhos, sendo que os sacos de arroz foram vendidos por R$ 7,20 cada e as latas de óleo por

(A) R$ 11,70 (B) R$ 9,60 (C) R$ 24,00 (D) R$ 8,40 (E) R$ 22,80 72. No começo do dia, uma loja de conveniência possuía 15 caixas com 25 barras de chocolate em cada uma. Até o final do

dia, foram vendidas 312 barras de chocolate.Quantos chocolates sobraram nas caixas?(A) 63 (B) 67 (C) 72

a elétrica neste trimestre?

67. Em uma adição de duas parcelas, a primeira é igual a 125 e a segunda é o dobro da primeira. O resultado da soma é

comerciante comprou um aparelho de TV usado por R$ 620,00. Ele deseja revender o aparelho e obter um lucro de R$ 310,00. Para isso, ele deve revender o aparelho por

0 litros de refrigerante para serem servidos em uma festa de aniversário infantil. Depois da festa, se que sobraram 32 litros. Quantos litros de refrigerante foram consumidos na festa?

pras. Ela gastou R$ 120,00 em uma calça e R$ 145,00 em sapatos. Sabendo que Renata levou R$ 320,00 para as compras, quanto dinheiro restou?

71. João fez compras em uma loja atacadista. Ele comprou 12 sacos de arroz por R$ 72,00 e 10 latas de óleo por R$ 35,00. Chegando a casa, ficou com 4 sacos de arroz e 3 latas de óleo e vendeu o restante para seus vizinhos, sendo que os sacos de arroz foram vendidos por R$ 7,20 cada e as latas de óleo por R$ 3,80 cada. Quanto João lucrou com a venda?

72. No começo do dia, uma loja de conveniência possuía 15 caixas com 25 barras de chocolate em cada uma. Até o final do barras de chocolate.

Quantos chocolates sobraram nas caixas?

27272727

67. Em uma adição de duas parcelas, a primeira é igual a 125 e a segunda é o dobro da primeira. O resultado da soma é

comerciante comprou um aparelho de TV usado por R$ 620,00. Ele deseja revender o aparelho e obter um lucro de

0 litros de refrigerante para serem servidos em uma festa de aniversário infantil. Depois da festa,

pras. Ela gastou R$ 120,00 em uma calça e R$ 145,00 em sapatos. Sabendo que Renata levou R$

comprou 12 sacos de arroz por R$ 72,00 e 10 latas de óleo por R$ 35,00. Chegando a casa, ficou com 4 sacos de arroz e 3 latas de óleo e vendeu o restante para seus vizinhos, sendo que os sacos de

R$ 3,80 cada. Quanto João lucrou com a venda?

72. No começo do dia, uma loja de conveniência possuía 15 caixas com 25 barras de chocolate em cada uma. Até o final do

(D) 75 (E) 82 73. Carlos foi à feira e comprou 1 queijo por R$6,00, 3 abacaxis por R$ 2,50 cada um e 8 maçãs por R$0,50 cada uma. Com

esta compra, ele gastou um total de (A) R$ 15,80 (B) R$ 16,20 (C) R$ 16,50 (D) R$ 17,00 (E) R$ 17,50 74. Uma caixa de bombons possui 12 unidades. Cada unidade contém 140 calorias. Se três pessoas dividirem a caixa

igualmente, quantas calorias cada pessoa irá consumir?(A) 420 (B) 480 (C) 540 (D) 560 (E) 590 75. Um bar cobra 4 reais por garrafa de cerveja vendida. Em uma noite de sexta

de garrafas de cerveja. Quantas garrafas foram vendidas nesta noite?(A) 84 (B) 93 (C) 98 (D) 105 (E) 112

9-

73. Carlos foi à feira e comprou 1 queijo por R$6,00, 3 abacaxis por R$ 2,50 cada um e 8 maçãs por R$0,50 cada uma. Com

74. Uma caixa de bombons possui 12 unidades. Cada unidade contém 140 calorias. Se três pessoas dividirem a caixa igualmente, quantas calorias cada pessoa irá consumir?

75. Um bar cobra 4 reais por garrafa de cerveja vendida. Em uma noite de sexta-feira, o bar apurou 372 reais com a venda de garrafas de cerveja. Quantas garrafas foram vendidas nesta noite?

GABARITO

1-a 2-c 3-a 4-c 5-b 6-d 7-d 8-c

- a) 3 milheiros e meio b) 6 laranjas c) 24 d) 11,50

e)178 f) 808 g) 25 h) 60

i) 5 10-C

11-E 12-C

13-D 14-D

15-A 16-D

17-A 18-E

19-C 20-D

21-B 22-B

23-A 24-A

25-C 26-D

27-C 28-A

29-D 30-C

31-A 32-C

33-D 34-B

35-A 36-D

37-C 38-D

39-B 40-B

28282828

73. Carlos foi à feira e comprou 1 queijo por R$6,00, 3 abacaxis por R$ 2,50 cada um e 8 maçãs por R$0,50 cada uma. Com

74. Uma caixa de bombons possui 12 unidades. Cada unidade contém 140 calorias. Se três pessoas dividirem a caixa

feira, o bar apurou 372 reais com a venda

Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 13

terminado com o algarismo 5 que não é par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3,

134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 16 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 10

é 0 (zero) nem 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível

por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3. Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um

número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete

41-A 42-B

43-E 44-C

45-B 46-A

47-C 48-D

49-B 50-D

51-B 52-E

53-D 54-D

55-B 56-C

57-E 58-D

59-E 60-B

61-C 62-A

63-B 64-C

65-B 66-D

67-A 68-E

69-D 70-D

71-A 72-A

73-E 74-D

75-D

DIVISIBILIDADE

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número

terminado com o algarismo 5 que não é par.

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3,

=8 que não é divisível por 3.

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 nã

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5. é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3. Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível

872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um or 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

29292929

não é divisível por 2, pois é um número

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4. não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

Repete-se o processo com este último número.



A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7. Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:


A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45

por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é div

não é divisível por 9. Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 634 Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é

um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp

16592 Número sem o último algarismo

-16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 Diferença

so com este último número.



1645 Diferença

se o processo com este último número.



154 Diferença

o processo com este último número.



7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:


-2 Dobro do último algarismo

424 Diferença




34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9. Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero). é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

30303030

número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8. não é divisível por 8 pois 321 não é divisível

isível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que

não termina em 0 (zero).

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem parlogo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.


A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e or

não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11. Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6

Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11 Divisibilidade por 13 Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo,

resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repetedivisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizaa soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.



Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por Divisibilidade por 16 Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45

divisível por 16. Divisibilidade por 17

Número 1 3 5 3

Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si,

Número 2 9 4 5 8

Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.


Número 2 5 4 3

Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Sinão é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Número 6 5 2 0 8

Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo,resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utiliza



+8 Quatro vezes o último algarismo

1664 Soma




182 Soma




26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é

31313131

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si,

ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as

dem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp

+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, se o processo até que se possa verificar a

divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16. não é divisível por 16 pois 5321 não é

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:



A diferença, embora negativa, é divisível por 17, log Divisibilidade por 19 Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último

algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtipossa verificar a divisão por 19.





Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19. Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande,


-40 Cinco vezes o último algarismo

1819 Diferença


181

Número sem o último algarismo

-45

Cinco vezes o último algarismo

136

Diferença


3 Número sem o último

algarismo

30 Cinco vezes o último

algarismo

17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete



+16 Dobro do último algarismo

16608 Soma

mo número.



1676 Soma




179 Soma




35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

32323232

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que

o o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último do ainda for grande, repete-se o processo até que se

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.



Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19. Divisibilidade por 23 Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, soma

último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repetese possa verificar a divisão por 23.




Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23. Divisibilidade por 29 Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algar


Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?




437 Soma




57 Soma




19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete




18653 Soma




1886 Soma




230 Soma


Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete



835 Diferença




68 Diferença

33333333

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

do ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que


ismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que


A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29. Divisibilidade por 31 Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repetepossa verificar a divisão por 31. Exemplo: 8598 é divisível por 31?



A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31. Divisibilidade por 49 Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do últ


Exemplo: 8598 é divisível por 49?



A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.




-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

plo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete


+24 Triplo do último algarismo

883 Soma




97 Soma




30 Soma


Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete


+40 Cinco vezes o último algarismo

899 Soma




134 Soma




33 Soma


34343434

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

plo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se


imo algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que

1- Responda sim ou não: a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133? 2- Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode

ser 42? Pode ser 72? Por que? 3- Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9: 4- Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12: 5- Ache o MMC: a) MMC (9, 18) b) MMC (20, 25) c) MMC (4,10) 6- Complete a tabela:

DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE

124 4

161 5

31 7

2020 2

1- a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par.b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro.d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro. 2- Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser

o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser. 3- 0, 9, 18, 27, 36, 45. 4- 0, 24, 48, 72, 96. 5- a) 18 b) 100 c) 20 6-

DIVIDENDO

124

161

31

2020

Exercícios

Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode

Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9:

a as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12:

QUOCIENTE RESTO

31 0

? ?

? ?

? ?

GABARITO

, pois 24 termina em 4, que é um número par. b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro. c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro. d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro.

utomóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.

DIVISOR QUOCIENTE

4 31

5 32

7 4

2 1010

35353535

Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos automóveis, o resultado pode

utomóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser

RESTO

0

1

3

0

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3. Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2. Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5. Múltiplos de um número natural Denominamos múltiplo de um número o produtonúmeros múltiplos é encontrado na tradicional tabuada. Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

2 x 0 = 0

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

2 x 5 = 10

2 x 6 = 12

2 x 7 = 14

2 x 8 = 16

2 x 9 = 18

2 x 10 = 20 É assim sucessivamente. Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)

3 x 0 = 0

3 x 1 = 3

3 x 2 = 6

3 x 3 = 9

3 x 4 = 12

3 x 5 = 15

3 x 6 = 18

3 x 7 = 21

3 x 8 = 24

3 x 9 = 27

3 x 10 = 30 É assim sucessivamente. Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos: Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ... Divisores de um número natural Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

MÚLTIPLOS DIVISORES

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:

Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.

e 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2.

Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.

produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.

Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)

Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)

Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos:

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ... Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...

Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0. Portanto,

36363636

desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo de

do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2, nos múltiplos de 3 a razão é 3 e assim sucessivamente. Veja mais exemplos:

12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e 48. Observações importantes:

O menor divisor natural de um número é s

O maior divisor de um número é o próprio número.

O zero não é divisor de nenhum número.

Os divisores de um número formam um conjunto finito.

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamaprimos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

Números primos são os números naturais que têm Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número c

Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número => ou uma divisão com quociente menor

Exemplos: 1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto

O menor divisor natural de um número é sempre o número 1.¬¬¬¬

O maior divisor de um número é o próprio número.¬¬¬¬

O zero não é divisor de nenhum número.¬¬¬¬

Os divisores de um número formam um conjunto finito.¬¬¬¬

Alguns números têm apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de primos. Observe os números primos de 1 a 100 destacados no crivo de Eratóstenes:

NÚMEROS PRIMOS

são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

, portanto 2 é um número primo. , portanto 17 é um número primo.

, portanto 10 não é um número primo.

, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. : 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,

quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

5, portanto não é divisível por 5;

, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

37373737

dos de primos. Observe os números

: o 1 e ele mesmo.

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

. Neste caso o número é primo.

é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E * Definição Se informados dois ou mais números inteiros e que não sejam nulos, ou seja = 0, os conjuntos dos múltiplos destes dados

números, terão sempre infinitos elementos comuns a todos eles, os quais podemos definir como múltiplos comuns. Então é possível dizer que um número natural (N) (a) é múltiplo de outro natural (b), se existe um número natural Q, que

satisfaça: a = Q x b * Primeiras Observações Analisando os dados informados abaixo, mais adiante se farão algumas conclusões: 1) M (4) ={0, +/-4, +/-8, +/- 12, +/-16, +/-20, 2) M (6) = {0, +/-6, +/-12, +/- 18, +/-24, +/ 3) M (8) = {0, +/-8, +/-16, +/- 24, +/-32, +/ É observado que possuímos nos resultados de multiplicação alguns valores que são comuns a todos eles, nos conjuntos

números formados acima: Neste caso o número comum a todos os elementos é : * Como calcular o conjunto dos múltiplos Dado a definição: a = Q x b Temos que a é múltiplo de b se podermos conhecer b e se queremos obter todos os múltiplos respec

que a variável Q assuma todos os números naturais possíveis. Para se obter os múltiplos de 3, isto é os números que satisfaça a sentença a = Q x 3, onde Q é substituído por todos os

números naturais que se possa ter. Veja alguns cálculos: 0 >>>>>> a = Q x b -> 0 = 0 x 3 0 >>>>>> a = Q x b -> 3 = 1 x 3 0 >>>>>> a = Q x b -> 6 = 2 x 3

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

nem em 5, portanto não é divisível por 5;

= 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

= 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de 113 é um número primo.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) E MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Se informados dois ou mais números inteiros e que não sejam nulos, ou seja = 0, os conjuntos dos múltiplos destes dados mpre infinitos elementos comuns a todos eles, os quais podemos definir como múltiplos comuns.

Então é possível dizer que um número natural (N) (a) é múltiplo de outro natural (b), se existe um número natural Q, que

Analisando os dados informados abaixo, mais adiante se farão algumas conclusões:

20, +/-24, +/-28, +/-32, +/-36, +/-40...}

, +/-30, +/-36, +/-42, +/-48, +/-54, +/-60...}

32, +/-40, +/-48, +/-56, +/-64, +/-72, +/-80...}

É observado que possuímos nos resultados de multiplicação alguns valores que são comuns a todos eles, nos conjuntos

Neste caso o número comum a todos os elementos é : +/-24.

Como calcular o conjunto dos múltiplos

Temos que a é múltiplo de b se podermos conhecer b e se queremos obter todos os múltiplos respecque a variável Q assuma todos os números naturais possíveis.

Para se obter os múltiplos de 3, isto é os números que satisfaça a sentença a = Q x 3, onde Q é substituído por todos os

38383838

= 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Se informados dois ou mais números inteiros e que não sejam nulos, ou seja = 0, os conjuntos dos múltiplos destes dados mpre infinitos elementos comuns a todos eles, os quais podemos definir como múltiplos comuns.

Então é possível dizer que um número natural (N) (a) é múltiplo de outro natural (b), se existe um número natural Q, que

É observado que possuímos nos resultados de multiplicação alguns valores que são comuns a todos eles, nos conjuntos

Temos que a é múltiplo de b se podermos conhecer b e se queremos obter todos os múltiplos respectivos, basta fazer com

Para se obter os múltiplos de 3, isto é os números que satisfaça a sentença a = Q x 3, onde Q é substituído por todos os

0 >>>>>> a = Q x b -> 9 = 3 x 3 0 >>>>>> a = Q x b -> 12 = 4 x 3 O conjunto formado pelos números naturais é infinito, des

conjuntos dos multiplicadores M(x) Então, calculando os múltiplos de 9, temos: M(9) = {0,18,27,36,45,54,63,72,80...} * Multiplicador Universal É notado que sempre estamos colocando o núm Desta forma o número “ 0” será múltiplo de todo número natural. Tendo Q = 0 na sentença a = Q.b, temos com resultado a =

0 para todo número b natural. Veja os exemplos: a = Q X b >> a = 0 x 1-> a = 0 a = Q X b >> a = 0 x 2-> a = 0 a = Q X b >> a = 0 x 3-> a = 0 a = Q X b >> a = 0 x 4-> a = 0 a = Q X b >> a = 0 x 5-> a = 0 * Mínimo Múltiplo Comum (MMC) O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais númer

positivo que seja múltiplo de todos os números dados na sentença. Desta forma, no exemplo pratico no início do tutorial: 1) M (4) ={0, +/-4, +/-8, +/- 12, +/-16, +/-20, 2) M (6) = {0, +/-6, +/-12, +/- 18, +/-24, +/ 3) M (8) = {0, +/-8, +/-16, +/- 24, +/-32, +/ Temos que MMC de (4,6,8) = 24, pois este é o * Determinando o MMC através do método de decomposição em fatores primos Siga o raciocínio dos cálculos abaixo: Ex.: Determinar o MMC dos números 12, 18, 24 1) Decomponha os números dados em fatores primos 12 , 18, 24 |2 6, 9, 12 |2 3, 9, 6 |2 3, 9, 3 |3 1, 3, 1 |3 1, 1, 1

O conjunto formado pelos números naturais é infinito, desta forma podemos ter infinitos múltiplos que formam os

Então, calculando os múltiplos de 9, temos:

É notado que sempre estamos colocando o número “ 0” em nossos conjuntos, pois ele é considerado número natural (N).

Desta forma o número “ 0” será múltiplo de todo número natural. Tendo Q = 0 na sentença a = Q.b, temos com resultado a =

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos, pode ser definido ao menor número positivo que seja múltiplo de todos os números dados na sentença.

Desta forma, no exemplo pratico no início do tutorial:

20, +/-24, +/-28, +/-32, +/-36, +/-40...}

, +/-30, +/-36, +/-42, +/-48, +/-54, +/-60...}

32, +/-40, +/-48, +/-56, +/-64, +/-72, +/-80...}

Temos que MMC de (4,6,8) = 24, pois este é o menor número positivo que é múltiplo de 4,6,8, simultaneamente.

* Determinando o MMC através do método de decomposição em fatores primos

Ex.: Determinar o MMC dos números 12, 18, 24

úmeros dados em fatores primos

39393939

ta forma podemos ter infinitos múltiplos que formam os

ero “ 0” em nossos conjuntos, pois ele é considerado número natural (N).

Desta forma o número “ 0” será múltiplo de todo número natural. Tendo Q = 0 na sentença a = Q.b, temos com resultado a =

os inteiros e não nulos, pode ser definido ao menor número

menor número positivo que é múltiplo de 4,6,8, simultaneamente.

x 3²�2 Explicando os cálculos: Anotar a esquerda todos os números envolvidos na sentença e traçar um traço vertical. Anotar na linha à direita após o traço vertical o menor número primo que seja capaz de dividir algum dos números dados

que estão à esquerda. Faça a divisão e anote abaixo dos números o resultado obtido da divisão (se divisível é claro) ou entãorepita o mesmo número se não for possível efetuar a divisão. Repita os mesmos procedimentos até que todos os números propostos estejam em unidade.

2) O MMC dos números 12,18,24 será o produto de todos os fatores primos resultantes encontrados, tomando sempre os

maiores expoentes encontrados, dentro todos os números decompostos:

x 3² = (2x2x2)x(3x3) = 72�MMC (12,18,24) = 2 Então, após efetuado a decomposição de todos os fatores primos dos números dados, basta fazer a multiplicação de todos

os termos encontrados. Divisores Comuns e Máximo Divisor Comum (MDC) * Definição Informados dois números inteiros e que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes

números e que terão sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos q Ou seja, dois números naturais têm sempre divisores comuns. Faça a observação dos números divisores dos seguintes elementos: D (24) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 8, D (36) = {+/-1, +/-2, +/-3, +/-4, +/-6, +/- 12 Chamamos de MDC (Máximo Divisor Comum) de dois elementos o

apresentados. Assim o MDC (24,36) = 12 * Como calcular o conjunto dos múltiplos No processo para se calcular o MDC (Máximo Divisor Comum), efetuamos basicamente duas formas para chegar ao

resultado: 1) a decomposição dos números até chegar a uma divisão exata MDC (12,16) = 12 |2 16 |2 6 |2 8 |2 3 |3 4 |2 1 | 2 |2 1 2 x 2 x 3 2 x 2 x 2 x 2 Desta forma o MDC é resultado da multiplicação dos fatores primos comuns entre os resultados na divisão.

Anotar a esquerda todos os números envolvidos na sentença e traçar um traço vertical.

a à direita após o traço vertical o menor número primo que seja capaz de dividir algum dos números dados que estão à esquerda. Faça a divisão e anote abaixo dos números o resultado obtido da divisão (se divisível é claro) ou então

não for possível efetuar a divisão. Repita os mesmos procedimentos até que todos os números

2) O MMC dos números 12,18,24 será o produto de todos os fatores primos resultantes encontrados, tomando sempre os es encontrados, dentro todos os números decompostos:

MMC (12,18,24) = 2

Então, após efetuado a decomposição de todos os fatores primos dos números dados, basta fazer a multiplicação de todos

ores Comuns e Máximo Divisor Comum (MDC)

Informados dois números inteiros e que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes números e que terão sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Ou seja, dois números naturais têm sempre divisores comuns.

Faça a observação dos números divisores dos seguintes elementos:

8, +/- 12, +/-24}

12, +/-36}

Chamamos de MDC (Máximo Divisor Comum) de dois elementos o número maior dentre os divisores dos números

* Como calcular o conjunto dos múltiplos

alcular o MDC (Máximo Divisor Comum), efetuamos basicamente duas formas para chegar ao

1) a decomposição dos números até chegar a uma divisão exata

esta forma o MDC é resultado da multiplicação dos fatores primos comuns entre os resultados na divisão.

40404040

a à direita após o traço vertical o menor número primo que seja capaz de dividir algum dos números dados que estão à esquerda. Faça a divisão e anote abaixo dos números o resultado obtido da divisão (se divisível é claro) ou então

não for possível efetuar a divisão. Repita os mesmos procedimentos até que todos os números

2) O MMC dos números 12,18,24 será o produto de todos os fatores primos resultantes encontrados, tomando sempre os

Então, após efetuado a decomposição de todos os fatores primos dos números dados, basta fazer a multiplicação de todos

Informados dois números inteiros e que não sejam nulos (# 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes uais são denominados divisores comuns.

dentre os divisores dos números

alcular o MDC (Máximo Divisor Comum), efetuamos basicamente duas formas para chegar ao

esta forma o MDC é resultado da multiplicação dos fatores primos comuns entre os resultados na divisão.

MDC (12,16) = 2 x 2 = 4 2)Divisão do maior número pelo menor número Regra prática: Nesta forma dividi-se o número maior pelo número menor O divisor então, deste cálculo será chamado de MDC (Máximo Divisor Comum). Desta forma, efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão será então o MDC.

Acompanhe o cálculo do m.d.c.(30,18). Acompanhe: 1º) dividimos o número maior pelo número menor

30 / 18 = 1 (com resto 12 ) 2º) dividimos o divisor 18, que é divisor da divisão anterior, por 12, que é o resto da divisão anterior, e ass

sucessivamente:

18 / 12 = 1 (com resto 6 ) 12 / 6 = 2 (com resto zero – divisão exata) 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então

Propriedades do Mínimo Múltiplas Comuns (MMC) e do * Definição Conforme definição no tutorial anterior, de n.º5, temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b),

caso exista outro número natural que o satisfaça (MMC). Também foi visto que se dois números inteiros que não sejam nulos 0), diferente de zero, temos os conjuntos dos divisores destes números (MDC), tendo sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Assim temos as propriedades imediatas do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e do

aplicação de alguns casos e soluções. * Propriedades 1) Se o MDC (b,c) = 1, então os números Exemplos: MMC (25,36) = 1 Assim os números 25 e 36 são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1. MMC (49,64) = 1 Desta forma os números 49 e 64 são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1. 2) MMC (b, n x b) = n x b e MDC (b, n x b) = b Exemplos: MMC (20,40) = 40 e MDC (20,40) = 20

2)Divisão do maior número pelo menor número

se o número maior pelo número menor, efetuando várias divisões até chegar uma divisão exata.

O divisor então, deste cálculo será chamado de MDC (Máximo Divisor Comum).

Desta forma, efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão será então o MDC.

dividimos o número maior pelo número menor

dividimos o divisor 18, que é divisor da divisão anterior, por 12, que é o resto da divisão anterior, e ass

divisão exata)

exata é 6. Então MDC (30,18) = 6.

Propriedades do Mínimo Múltiplas Comuns (MMC) e do Máximo Divisor Comum

Conforme definição no tutorial anterior, de n.º5, temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b), caso exista outro número natural que o satisfaça (MMC). Também foi visto que se dois números inteiros que não sejam nulos

conjuntos dos divisores destes números (MDC), tendo sempre dois ou mais números comuns a todos eles, aos quais são denominados divisores comuns.

Assim temos as propriedades imediatas do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e do Máximo Divisor Comum (MDC) para

b e c são denominados primos relativos ou somente primos entre si.

são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1.

Desta forma os números 49 e 64 são primos entre si, pois o MMC encontrado é igual a 1.

n x b e MDC (b, n x b) = b

41414141

, efetuando várias divisões até chegar uma divisão exata.

Desta forma, efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão será então o MDC.

dividimos o divisor 18, que é divisor da divisão anterior, por 12, que é o resto da divisão anterior, e assim

Máximo Divisor Comum (MDC)

Conforme definição no tutorial anterior, de n.º5, temos que um número natural (a) é múltiplo de outro número natural (b), caso exista outro número natural que o satisfaça (MMC). Também foi visto que se dois números inteiros que não sejam nulos (#

conjuntos dos divisores destes números (MDC), tendo sempre dois ou mais números comuns a

Máximo Divisor Comum (MDC) para

b e c são denominados primos relativos ou somente primos entre si.

Pois 40 = 2 x 20 MMC (8,16) = 16 e MDC (8,16) = 8 Pois 16 = 2 x 8 3) MMC (a,b) x MDC (a,b) = a x b Exemplos: Dados os números 57 e 60 = 57 x 60 = 3420 MMC (57,60) x MDC (57,60) = 3420 Dados os números 19 e 88 = 19 x 88 = 1672 MMC (19,88) x MDC (19,88) = 1672 4) MMC (c, d) = w, então MMC (qc, qd) = qm # 0 (q#0) Exemplos: MMC (2,4) = 4 Então MMC (20,40)= 40 (que é o cálculo de 4 x 10) MMC (8,12) = 24 Então MMC (80, 120) = 240 (que é o cálculo de 24x 10) 5) MDC (a,b) = d então MDC (qa, qb) = qd (q # 0) Exemplos: MDC (6,8) = 2 Então MDC (60,80) = 20 (que é o cálculo de 2 x 10) MDC (5,15) = 5 Então MDC (50,150) = 50 (que é o cálculo de 5 x 10) 6) Dado dois números ou mais, se dois a dois, eles são primos entre si, Exemplos: MMC (4,5,9) = 4 x 5 x 9 = 180 Pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si. MMC (2,5,7) = 2 x 5 x 7 = 70 Pois 2,5 e 7 são, dois a dois, primos entre si. 7) Dados dois números e eles sendo consecu Exemplos: MDC (17,18) = 1

Dados os números 57 e 60 = 57 x 60 = 3420

Dados os números 19 e 88 = 19 x 88 = 1672

4) MMC (c, d) = w, então MMC (qc, qd) = qm # 0 (q#0)

Então MMC (20,40)= 40 (que é o cálculo de 4 x 10)

Então MMC (80, 120) = 240 (que é o cálculo de 24x 10)

ntão MDC (qa, qb) = qd (q # 0)

Então MDC (60,80) = 20 (que é o cálculo de 2 x 10)

Então MDC (50,150) = 50 (que é o cálculo de 5 x 10)

6) Dado dois números ou mais, se dois a dois, eles são primos entre si, o seu MMC será o produto deles.

Pois 4, 5 e 9 são, dois a dois, primos entre si.

Pois 2,5 e 7 são, dois a dois, primos entre si.

7) Dados dois números e eles sendo consecutivos, estes são sempre primos entre si, ou seja, MDC(y, y + 1) = 1

42424242

o seu MMC será o produto deles.

tivos, estes são sempre primos entre si, ou seja, MDC(y, y + 1) = 1

MDC (37,38) = 1 * Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Item 1 – Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colo

tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?

Solução do problema: Calculando o MMC (4, 6 e 3 ) = 12 Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas. Como a última eleição foi feita no ano de 2001, então temos: 2001 + 12 = 2013. Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos. Item 2 – Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm

estragados. Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este

encontro. Solução do problema: Calculando o MMC (12,16) = 48 O número 48 representa o número de dentes que deverá passar Fazemos então o seguinte cálculo 48 / 12 e 48 / 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a

roda menor e a maior deverão fazer. Assim: 48 / 12 = 4 e 48 / 16 = 3 Seguindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar

segundo necessidade.

1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7. 2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12. 3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4.

Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48. 4) Determine os menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se

obtenham divisões exatas com quocientes iguais.

1) solução: O menor número chamamos de MMC (5,6,7) Fatore os números:

Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colotempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?

Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas.

a eleição foi feita no ano de 2001, então temos: 2001 + 12 = 2013.

Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos.

Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm 12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois den

Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este

O número 48 representa o número de dentes que deverá passar pelo ponto de origem para que se repita o encontro.

Fazemos então o seguinte cálculo 48 / 12 e 48 / 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a

guindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar o uso do MDC, apenas aplicando cada um

EXERCÍCIOS

1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.

inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4. Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48.

s menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se com quocientes iguais.

GABARITO

O menor número chamamos de MMC (5,6,7)

43434343

Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os 03 cargos, em que ano se

Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas.

12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes

Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este

pelo ponto de origem para que se repita o encontro.

Fazemos então o seguinte cálculo 48 / 12 e 48 / 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas que a

o uso do MDC, apenas aplicando cada um

inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.

3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4.

s menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo que se

5, 6, 7 | 2 5, 3, 7 | 3 5, 1, 7 | 5 1, 1, 7 | 7 1, 1, 1 MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210 2) Solução: Ser divisível por 4,8,12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o MMC MMC (4,8,12) = 24 Fatore os números 4, 8, 12 |2 2, 4, 6 |2 1, 2, 3 |2 1, 1, 3 |3 1, 1, 1 Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos. Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120 O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste 3) Solução: O maior divisor entre os números é chamado de MDC. Calculando o MDC: 24, 36, 48 |2 12, 18, 24 |2 6, 9, 12 |3 2, 3, 4 | MDC (24,36,48) = 2 x 2 x 3 = 12 4) Solução: O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24. Temos: 72 / 24 = 3 e 120 / 24 = 5 Portanto: 72 / 3 = 24 e 120 / 5 = 24.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) Definimos o conjunto dos números inteiros como a r

números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Ser divisível por 4,8,12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o MMC

Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos.

24 x 5 = 120

O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste modo é o número procurado.

O maior divisor entre os números é chamado de MDC.

O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

44444444

Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos.

modo é o número procurado.

O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

eunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somenteantecessor e também um e somente um sucessor.

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um

número inteiro é o número que está imediatamente à sua es Exemplos: (a) 3 é sucessor de 2 (b) 2 é antecessor de 3 (c) -5 é antecessor de -4 (d) -4 é sucessor de -5 (e) 0 é antecessor de 1 (f) 1 é sucessor de 0 (g) -1 é sucessor de -2 (h) -2 é antecessor de -1 Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto

geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é Exemplos: (a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é (b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras

ubconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a ar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a

seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somenteantecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -zestão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3. posto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |.

45454545

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a ar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite

se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um

z e ele é caracterizado pelo fato

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu

Assim:

Exemplos: (a) |0| = 0 (b) |8| = 8 (c) |-6| = 6 Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na

reta numérica inteira.

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7

perder 3 + perder 4 = perder 7

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3

perder 8 + ganhar 5 = perder 3

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (

dispensado. Exemplos: (a) -3 + 3 = 0 (b) +6 + 3 = 9 (c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z:

Comutativa: Para todos a,b em Z:

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíanalisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um

|x| = max{-x,x}

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na

OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS

Soma (adição) de números inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7

perder 3 + perder 4 = perder 7

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3

perder 8 + ganhar 5 = perder 3

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do núm

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3


z + 0 = z 7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíanalisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

46464646

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números

(+3) + (+4) = (+7)

(-3) + (-4) = (-7)

(+8) + (-5) = (+3)

(-8) + (+5) = (-3)

) antes do número negativo nunca pode ser

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.


A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto

, isto é:

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

Observamos que a multiplicação é um caso particular da Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais(+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números

Propriedades da multiplicação de números inteir

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número

inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z:

Comutativa: Para todos a,b em Z:

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

A potência a

n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a

número n é o expoente.

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivo

diferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros


a x ( b x c ) = ( a x b ) x c 2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3


z x 1 = z 7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1

=1/z em Z, tal que

z x z-1

= z x (1/z) = 1 9 x 9

-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) 3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

ro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a

an = a × a × a × a × ... × a

a é multiplicado por a n vezes

47474747

adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:



=1/z em Z, tal que

ro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o

Exemplos: a. 2

5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8 c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25 d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25 Com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um

número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o se Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a

potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode serobtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inte

que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radictrabalho.

Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n

ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=b

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro

que elevado ao quadrado coincide com o númer Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número

cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

Mas isto está errado. O certo é:

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um númernegativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos: (a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8. (b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8. (c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27. (d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27. Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o se

Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode serobtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteque elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radic

Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Résima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=b

n

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

equentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um númer


Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

48484848

Com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste

ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-

ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo

Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

equentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número


1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando

terceira, qual será o novo total? 2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo? 3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse

155 unidades. Quais são os dois fatores? 4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o

divisor. Qual é o valor do dividendo? 5. Certo prêmio será distribuído entre três v

60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?

6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média

35 letras. Quantas letras há nesse dicionário? 7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará

trabalhar, em média, 23 dias por mês? 8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$

9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo

montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina? 10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que

Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas? 11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José

considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia

o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

1. 82 2. 206 3. 20 e 31 4. 167 5. R$ 930,00 6. 4.256.000 7. R$ 1.440 8. 110 litros 9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 4810. Marta: R$ 110,00, Marisa: R$ 90,00 e Yara: R$ 75,0011. R$ 622,00 12. Renato: 15 e Flávia: 8

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racion

chamamos de conjunto dos números racionais

EXERCÍCIOS

1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo

2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo?

3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumen

4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o

5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?

io tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?

7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?

Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?

as, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?

11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José iderou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente.

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Fláviao mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

GABARITO

9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 48 90,00 e Yara: R$ 75,00


O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que

conjunto dos números racionais e é representado por Q.

49494949

se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da

2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo?

mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de

4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o

endedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do

io tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média

7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em uma ano se ela

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$

as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?

as, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que

11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José iderou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente.

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com


ais negativos e o zero são um novo conjunto que

Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. Outros subconjuntos de Q:

• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;

• Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;

• Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;

• Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos;

• Q-* é o conjunto dos números racionais negat

Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois n

dois números inteiros, com divisor diferente de zero. Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com si

(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

dos números racionais diferentes de zero;

é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;

é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;

é o conjunto dos números racionais e positivos;

é o conjunto dos números racionais negativos.

NÚMEROS RACIONAIS

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

é um número racional negativo

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

50505050

egativos que sejam quocientes de

Números Racionais Negativos São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

(-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que

pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Adição e Subtração Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos

os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros. Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2:

Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por

assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

e representam o número racional .

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos eros um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

51515151

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parênteses e escrevemos

numerador, e denominador por denominador,

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o

denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando

denominador, conforme o exemplo abaixo:

a) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com

contribuiu com das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas junt

Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu

b) a fração do livro que ela já leu. c) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

d) Em um pacote há de 1 Kg de açúcar.

pacote tem a mais que o segundo?

e) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os

resta asfaltar? Calcule:

f)

de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no

, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o os exemplos abaixo:

, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando

Exercício

a) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com das figurinhas, enquanto Cristina

das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e no dia seguinte leu do livro. Então calcule:

c) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há . Quantos quilos de açúcar o primeiro

e) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda

52525252

de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no

, quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o

, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao

das figurinhas, enquanto Cristina

as contribuíram?

do livro. Então calcule:

. Quantos quilos de açúcar o primeiro

da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda

g)

No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,

Assim: h) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?j) Calcule o valor da expressão:

mento de um prédio de apartamentos, desses apartamentos foi vendido e

h) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada? i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

GABARITO

Resposta a:

Resposta b:

Resposta c:

Resposta d:

Resposta e:

Resposta f:

Resposta g:

Resposta h:

Resposta i:

53535353

desses apartamentos foi vendido e foi reservado.

i) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

O PAPEL DO JOGO NA E

O que acontece durante um jogo de crianças? Aos olhos de um observador desatento, apenas brincadeiras, coisas sem importância. Aos olhos de um pesquisador, ou de um educador, tantas coisas importantes estão ocorrendo: assimilação e apropriação da realidadehumana, construção de hipóteses, elaboração de soluções para problemas, enriquecimento da personalidade. Tudo isto é demonstrado neste texto a partir da análise de uma situação de brincadeira. Tomando a importância da brincadeira no desenvolvimento infantil, a autora conclui expondo a necessidade de se incluir o jogo quando se sistematiza um projeto pedagógico.

"(...) o jogo permite uma assimilação e apropriação da realidade humana pelas crianças já que este "não surge de uma

fantasia artística, arbitrariamente construída no mundo imaginário da brincadeira infantil; a própria fantasia da criança é

engendrada pelo jogo, surgindo precisamente neste caminho pelo qual a criança penetra na realidade."

"Por último, é preciso sublinhar que, no jogo, relações reais de interação entre as crianças ocorrem com a mesma intensidade

que as lúdicas. Ao mesmo tempo em que os meninos desempenham papéis de trabalhadores e fazem a "avalanche" ter

existência real, discutem entre si como o conteúdo do jogo

organização entre as crianças que compreendem, durante a atividade, necessidades de uma escuta complementar e de ações

complementares que condicionam o próprio desenrolar do tema."

"Claro está em que, se as crianças brincam de maneira independente em casa, com os amigos ou parentes, a prática e a

história nos têm revelado que elas também brincam, e muito, na escola. O fato é que, nem sempre, suas brincadeiras são levada

em conta pelo currículo pré-escolar e quando o são aparecem apenas como recreação ou possibilidade de desgaste de energia

para que, em sala, as crianças possam concentrar

A questão que se coloca, nesse artigo, é como levar em conta o jogo i

escolares, considerando-se o exposto até agora. Ou seja, como transformar o jogo infantil em recurso pedagógico pré

construção de conhecimento pelas crianças e como instrumento de organização au

"Para garantir o aparecimento do jogo independente, faz

• que a rotina escolar contemple períodos razoavelmente longos entre as atividades dirigidas, para que as crianças sintam

à vontade para brincar;

• que existam materiais variados, organizados de maneira clara e acessível às crianças, de tal forma que possam deflagrar e

facilitar o aparecimento das brincadeiras entre elas. O acesso e a organização

crianças, sendo seu uso coordenado pelo adulto responsável pelo grupo. (...)

• que a sala onde as crianças passam a maior parte de seu tempo tenha uma configuração visual e espacial propícia ao

desenvolvimento da imaginação. (...)

• que haja um período em que as crianças e o adulto responsável pelo grupo possam

vivenciaram, sobre as questões que se colocaram, o material que utilizaram, os personagens que assumiram, as criança

quais interagiram;

• que o jogo seja incorporado no currículo como um todo, e as questões colocadas no seu desenrolar possam fazer parte de

pesquisas desenvolvidas em atividades dirigidas pelas crianças; ampliadas através de passeios, observação

de vídeos, escuta de rádio, música, leituras etc.;

• que o adulto seja elemento integrante das brincadeiras, ora como observador e organizador, ora como personagem que

explicita ou questiona e enriquece o desenrolar da trama, ora com

Resposta j:

O PAPEL DO JOGO NA EDUCAÇÃO DAS CRIANÇAS

O que acontece durante um jogo de crianças? Aos olhos de um observador desatento, apenas brincadeiras, coisas sem importância. Aos olhos de um pesquisador, ou de um educador, tantas coisas importantes estão ocorrendo: assimilação e apropriação da realidade humana, construção de hipóteses, elaboração de soluções para problemas, enriquecimento da personalidade.

Tudo isto é demonstrado neste texto a partir da análise de uma situação de brincadeira. Tomando a importância da brincadeira no

til, a autora conclui expondo a necessidade de se incluir o jogo quando se sistematiza um projeto pedagógico.


artística, arbitrariamente construída no mundo imaginário da brincadeira infantil; a própria fantasia da criança é


o jogo, relações reais de interação entre as crianças ocorrem com a mesma intensidade


existência real, discutem entre si como o conteúdo do jogo deve ser elaborado. Assim, a brincadeira aparece como fator de


complementares que condicionam o próprio desenrolar do tema."

á em que, se as crianças brincam de maneira independente em casa, com os amigos ou parentes, a prática e a

história nos têm revelado que elas também brincam, e muito, na escola. O fato é que, nem sempre, suas brincadeiras são levada

escolar e quando o são aparecem apenas como recreação ou possibilidade de desgaste de energia

para que, em sala, as crianças possam concentrar-se em atividades didáticas dirigidas.

A questão que se coloca, nesse artigo, é como levar em conta o jogo infantil ao serem elaborados planos pedagógicos pré

se o exposto até agora. Ou seja, como transformar o jogo infantil em recurso pedagógico pré

construção de conhecimento pelas crianças e como instrumento de organização autônomo e independente das mesmas."

"Para garantir o aparecimento do jogo independente, faz-se necessário:

escolar contemple períodos razoavelmente longos entre as atividades dirigidas, para que as crianças sintam

variados, organizados de maneira clara e acessível às crianças, de tal forma que possam deflagrar e

facilitar o aparecimento das brincadeiras entre elas. O acesso e a organização dos materiais devem levar em conta a idade das

crianças, sendo seu uso coordenado pelo adulto responsável pelo grupo. (...)

onde as crianças passam a maior parte de seu tempo tenha uma configuração visual e espacial propícia ao

em que as crianças e o adulto responsável pelo grupo possam conversar

vivenciaram, sobre as questões que se colocaram, o material que utilizaram, os personagens que assumiram, as criança


pesquisas desenvolvidas em atividades dirigidas pelas crianças; ampliadas através de passeios, observação

de vídeos, escuta de rádio, música, leituras etc.;


explicita ou questiona e enriquece o desenrolar da trama, ora como elo entre as crianças e os objetos.(...)"

54545454

DUCAÇÃO DAS CRIANÇAS


artística, arbitrariamente construída no mundo imaginário da brincadeira infantil; a própria fantasia da criança é


o jogo, relações reais de interação entre as crianças ocorrem com a mesma intensidade


deve ser elaborado. Assim, a brincadeira aparece como fator de


á em que, se as crianças brincam de maneira independente em casa, com os amigos ou parentes, a prática e a

história nos têm revelado que elas também brincam, e muito, na escola. O fato é que, nem sempre, suas brincadeiras são levadas

escolar e quando o são aparecem apenas como recreação ou possibilidade de desgaste de energia

nfantil ao serem elaborados planos pedagógicos pré-

se o exposto até agora. Ou seja, como transformar o jogo infantil em recurso pedagógico pré-escolar de

tônomo e independente das mesmas."

escolar contemple períodos razoavelmente longos entre as atividades dirigidas, para que as crianças sintam-se

variados, organizados de maneira clara e acessível às crianças, de tal forma que possam deflagrar e

dos materiais devem levar em conta a idade das

onde as crianças passam a maior parte de seu tempo tenha uma configuração visual e espacial propícia ao

conversar sobre a brincadeira que

vivenciaram, sobre as questões que se colocaram, o material que utilizaram, os personagens que assumiram, as crianças com as


pesquisas desenvolvidas em atividades dirigidas pelas crianças; ampliadas através de passeios, observação da natureza, projeção


o elo entre as crianças e os objetos.(...)"

matemática

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