EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

II

SEMIPRESENCIAL Educar para formar

MATEMÁTICA

ENSINO FUNDAMENTAL II

CADERNO DE ESTUDO

6ª ETAPA

1

PREFEITURA DA CIDADE DE SÃO JOÃO DE MERITI

Dr. João Ferreira Neto

Prefeito

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

Bruno Correa

Secretário

Subsecretária Pedagógica

Rita Barbosa

Subsecretário de Planejamento educacional

Hélio Porto

Superintendente de Educação

Silma Cleris

Coordenadora de Educação

Cristiane Alves

Coordenadora da Educação de Jovens e Adultos

Fabiana de Jesus Maciel

Equipe da Educação de Jovens e Adultos EJA – Semipresencial

Astenea Rocha dos Santos

Eryca Rodrigues Duarte

Ivani Vasconcelos Veiga

Luciane Nobrega Teixeira Arrais

Sandra de Almeida Martins

Sueli Fonseca Correa

2

BEM VINDO!

Caro estudante,

Vamos voltar aos estudos?

Começar uma nova etapa da vida, sempre nos proporciona conhecer outras pessoas,

lugares, histórias e nos oferece a chance de ir além de onde estamos.

Você vai aprender coisas importantes e com certeza terá condições de conhecer e

desenvolver com maior consciência as características em relação ao conhecimento,

aprendizagem e sua formação

Contamos com seu empenho e participação para que você tenha sucesso. O recomeço

pode ser um pouco difícil, mas vai ser cheio

3

APRESENTAÇÃO

Sabemos quanto é difícil para os jovens, adultos e idosos se dedicar de forma presencial

aos estudos no espaço escolar atualmente, principalmente quando há a necessidade de

trabalhar, ou porque parou de estudar há algum tempo, ou por tantos outros porquês.

A responsabilidade de estar diariamente em uma escola é, muitas vezes, um obstáculo

para a retomada dos estudos.

Nesse contexto a EJA II Semipresencial se apresenta como uma alternativa para garantir

o direito à educação aos que não conseguem frequentar regularmente a escola, tendo,

assim, a opção de realizar um curso com presença flexível que tem um olhar sobre as

experiências de vida, aprendizagem ao longo da vida e formação.

Para apoiar os estudantes como você ao longo de seu percurso escolar foram organizados

materiais específicos para os essa modalidade de ensino.

Os Cadernos do Estudante apresentam textos que abordam e discutem os conteúdos

propostos para cada área do conhecimento e atividades para você por em pratica o seu

conhecimento.

Nesses Cadernos, você ainda terá espaço para registrar suas dúvidas, para que possa

discuti-las com o professor sempre que for a escola.

É com grande satisfação que a Secretaria da Educação de São João de Meriti, apresenta

os Cadernos do Estudante da Educação de Jovens e Adultos II Semipresencial.

Esperamos que você conclua o Ensino Fundamental e, continue estudando e buscando

conhecimentos para seu desenvolvimento, exercício da cidadania e qualificação para o

trabalho. Afinal, o conhecimento é o bem mais valioso que adquirimos

na vida.

Bons estudos!

Secretaria Municipal de Educação

4

COMO SE APRENDE A ESTUDAR?

Estudar e aprender são atividades que exigem participação ativa, requer disciplina e

dedicação. Portanto fique atento as dicas que com certeza irão potencializar a

qualidade da sua aprendizagem e conhecimento.

• Leia. A leitura é uma das principais atividades de estudo quando estiver lendo

marque, sublinhe palavras-chave ou frases é uma excelente estratégia para

focalizar sua atenção.

• Crie um tempo diário para se dedicar ao estudo

• Organize seus materiais;

• Selecione os assuntos que tem dúvidas

• Utilize todos os seus sentidos para desenvolver sua aprendizagem assista

vídeos para estimular sua visão e audição, faça desenhos para estimular sua

criatividade, faça notas visuais e esquemas com os pontos principais de cada

conteúdo estudado.

• Faça fichamentos, esquemas e anotações.

Quanto mais você estuda, melhor seu cérebro processará as informações. Isso é

ótimo para ampliar sua aprendizagem e transforma-la em conhecimento.

Estudar tem muito a ver com sua vida. Pare de pensar nos estudos como algo

separado, estabeleça relações quanto mais conexões dos assuntos estudados com sua

vida maior será a qualidade da sua aprendizagem.

5

SUMÁRIO

Unidade 1 Cálculo com Números Naturais

Unidade 2 Múltiplos e Divisores

Unidade 3 A Forma Fracionária

Unidade 4 Comprimento, Massa , Volume e Capacidade

Querido estudante,

Bem-vindo ao Caderno de Estudos de Matemática – Ensino Fundamental – da EJA

II Semipresencial.

Já

Estudei

Tenho

Dúvidas

6

Matemática no Dia a Dia

Ao verificar a hora;

Batimentos cardíacos;

Em nossos exercícios físicos diários ou semanais

Ao verificar a medida de um

determinado:

Espaço;

Formas geométricas ...

Ao verificar nossas economias

Ao verificar nossa massa

corporal

7

UNIDADE 1

CÁLCULO COM OS NÚMEROS NATURAIS

Nesta unidade você vai desenvolver conhecimentos para resolver situações

problemas que envolvam cálculos mentais e escritos utilizando as operações de adição,

subtração, multiplicação, divisão e potenciação com e sem uso de calculadora.

ADIÇÃO

É a operação que trabalha com as ideias de juntar duas ou mais quantidades ou

acrescentar uma dada quantidade a outra.

Observe:

✓ Adição sem reserva:

Na Escola Meninos felizes estão matriculados 1.345 meninos e 1.134 meninas. Quantos

alunos ao todo estão matriculados?

1.345 – meninos = parcela

+ 1.134 – meninas = parcela

2.479 – Soma ou total

✓ Adição com reserva.

Na escola Meninos Felizes funciona em dois turnos. No período da manhã estudam

1.149 alunos e no período da tarde estudam 1349 alunos. Quantos alunos estudam na

Escola nos dois turnos?

Manhã --------1.149

Tarde------- + 1.349

2.498

8

• PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

✓ Comutativa: em uma adição de dois números naturais, a ordem da parcela não

altera o resultado.

3 + 5 = 8

5 + 3 = 8

Esta propriedade e aplicada para verificarmos se aceitamos ou não o cálculo, isto é,

trocando a ordem das parcelas, o resultado deverá ser o mesmo.

✓ Associativa: em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar

as parcelas de modos diferentes é o resultado será o mesmo.

( 3 + 5 ) + 4 = 12

8 + 4 = 12

✓ Elemento Neutro: em uma adição de um número natural com zero, a soma é

sempre igual a esse número natural.

23 + 0 + 8 = 31

23 + 8 = 31

SUBTRAÇÃO

É uma operação que trabalha com as ideias de tirar uma quantidade de outra, saber quanto

uma quantidade tem a mais que a outra ou saber o quanto falta a uma delas para atingir

a outra. É a operação inversa da adição.

Observe:

9

A professora da Escola Meninos Felizes planejaram uma excursão com seus alunos ao

Jardim Zoológico, ficaram sabendo que na semana passada 1980 visitaram o Zôo, e nesta

semana já haviam passado cerca de 780. Qual a diferença do número de pessoas foram

ao Zoológico nessas duas semanas?

- minuendo ----------- 1.980

- subtraendo ------- - 780

- resto ou diferença-- 1.200

✓ Subtração com transformações

a) Chegou o dia da excursão ao Zôo. Do total de 184 alunos da 2ª série, 156 foram ao

passeio. Quantos alunos não foram ao passeio?

184

- 156

028

b) Dorival vendeu 238 picolés, Daniel vendeu 215 a menos que Doriva. Quantos picolés

o Daniel vendeu?

238

- 215

023

10

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação também está associada à operação de união de conjuntos, desde que cada

conjunto tenha o mesmo número de elementos, observe :

( 3 x 10 ) = 10 + 10 + 10 = 30

A adição de parcelas iguais transforma-se em uma nova operação chamada multiplicação

que é indicada pelo sinal (.) ou (x).

Assim como na adição e na subtração a multiplicação também possui seus termos. Veja.

32 – multiplicando

x 3 – multiplicador

96 – produto

• PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO.

✓ Comutativa da Multiplicação: = a ordem dos fatores não altera o produto.

Vejamos:

( 3 x 4) = 4 + 4 + 4 = 12

( 4 x 3 ) = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

✓ Associativa da Multiplicação: observe o modelo:

( 3 x 4 x 5 ) = 60 podemos associar os primeiros:

( 3 x 4) x 5) = 60, ou associar os dois últimos:

3 x (4 x 50 = 60

✓ Elementos Neutro da Multiplicação: na multiplicação o elemento neutro e o

número 1, pois multiplicando o número 1, irá reproduzir o próprio número. Veja:

45 x 1 = 45

1 x 45 = 45 - Logo 45 x 1 = 1 x 45 = 45

11

✓ Distributiva em Relação à Adição. vejamos o exemplo:

3 x ( 4 + 5) = (3 x 4 ) + ( 3 x 5) =

12 + 15 12 + 15

✓ Distributiva em Relação à Subtração... “o produto de um número por uma

diferença é obtido pela multiplicação do número pela diferença dos produtos do

número pelo minuendo e subtraendo da subtração indicada”.

Ex.: 2 x (6 – 4) = ( 2 x 6 ) – ( 2 x 4 )

2 x 2 12 - 8

4 4

DIVISÃO

Divisão é a operação inversa da multiplicação. Está também relacionada à união de

conjuntos. O conjunto A foi separado em 3 conjuntos iguais com 4 elementos em cada

um deles. Realizamos a operação de divisão exata.

A divisão é indicada pelo sinal ( : ) Observe o modelo abaixo e os termos da divisão.

12 - dividendo

12 3 3 - divisor

- 12 4 4 - quociente

0 0 – resto.

Repare que:

12 = 4 x 3 ; donde concluímos que:

Dividendo = divisor x quociente.

12

É importante observar que:

➢ “O dividendo deve ser maior ou igual ao divisor”.

➢ “nem sempre podemos efetuar a divisão exata em IN.”

➢ “Não existe a divisão por zero.”

Pois (7 : 3) o resultado desta divisão não pertence a IN. Não há nenhum número que

multiplicado por 3 resulte em 7.

➢ Não tem sentido dividir um número por zero.

POTENCIAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS.

O produto é uma forma simplificada de escrever uma soma de parcelas iguais.

4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5

4 parcelas

A potenciação é uma forma simplificada de escreve produtos de fatores iguais. Temos 4

fatores iguais a 5. Então a forma simplificada de escrever este produto é:

5 x 5 x 5 x 5 – 54 (onde lemos 5 elevado a 4º potência)

Na operação:

4 – expoente ( nº de vezes que repetimos a base)

5 4 = 625 5 – base ( falta que se repete)

625 –potência ( resultado da operação)

Veja:

a) 2 2 = 2 x 2 = 4 b) 9 ³ = 9 x 9 x 9 = 729

• OPERAÇÃO COM POTÊNCIAS

✓ Produto de potências de mesma base. 24 . 23 = 2 4 + 3 = 27 ... “para

multiplicar potências da mesma base, conservamos a base e somamos os seus

expoentes”.

✓ Divisão de potências da mesma base: 25 : 23 = 2 5 - 3 = 22 ...”para

dividir potências de mesma base, com o primeiro expoente maior ou igual ao 2º

expoente. Conservamos a base subtraímos seus expoentes”.

13

ATENÇÃO

Qualquer número elevado ao expoente zero é igual à unidade (1).

50 = 1 30 = 1 150 = 1

Em toda potenciação de base zero e expoente diferente de zero, a potência e zero.

03 = 0 x 0 x 0 = 0 05 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0

Todo número elevado ao expoente (1) é igual a própria base.

21 = 2 31 = 3 71 = 7

Em toda potenciação de base 10, a potência é igual a 1, seguido de tantos zeros quantas

são as unidades.

10 1 = 10 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1.000 10 2 = 10 x 10 = 100

✓ POTENCIA DE POTENCIA

Veja: (22)3 = 2 2x3 = 26, neste caso para elevar uma potência a um expoente, conservamos

a base e multiplicamos os expoentes.

Obs: (22)3 = 2 6

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) Numa pesquisa feita pelos alunos da 5ª série sobre alguns estados brasileiros,

verificou-se que a população era a seguinte.

Estado População

Alagoas 2.335.000

Rio de Janeiro 13.278.000

Rio Grande do Sul 8.732.000

Santa Catarina 4.256.000

Ceará 6.100.000

14

a) Calcule o total da população dos estados Alagoas e Ceará. ......................................

b) Qual a população de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul – juntos? ...................

c) Se reuníssemos a população do Rio de Janeiro. Alagoas e Santa Catarina, quantos

habitantes teríamos? ...........................................................

02) Efetue com atenção as operações matemáticas abaixo:

a) 12750 – 6876 = b) 5212 + 4234 = c) 789 x 9 =

d) 379 x 38 = e) 10000 : 5 = f) 20880 : 4 =

03) Transforme num produto as operações:

a) 5 + 5 + 5 = ________ c) 9 + 9 = _____

e) 3 + 3 + 3 +3 = ________ b) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = _______

d) 8 + 8 + 8 + 8 = _______ f) 7 + 7 + 7 = _________

04) Transforme numa potência:

a) 3 x 3 = ________ c) 10 x 10 x 10= _______ e) 8 x 8 x 8=______

b) 9 x 9 x 9 x 9 = ______ d) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5= ______ f) 1 x 1 = _______

05) Efetue as operações com potências:

a) 62 x 63 = ______________ d) 52 : 51 =_____________

b) 25 x 24 = ______________ e) 68 : 64 = _____________

c) 71 x 70 = ______________ f) 100 = ___________

15

RESOLVENDO PROBLEMAS E EXPRESSÕES

NUMÉRICAS

Leia o problema abaixo:

• Otávio coleciona figurinhas de Fórmula 1.

Ontem comprou 18 figurinhas e hoje comprou mais 24. Deu para Luís 10 figurinhas

que vieram repetidas, em troca de 6 outras que ainda não tinha. Quantas figurinhas

Otavio poderá colar em seu álbum?

* Vejamos:

18 + 24 – 10 + 6

42 - 10 + 6

32 + 6

38

✓ Expressões numéricas: com as quatro operações.

Observe o exemplo abaixo:

a) Raquel tem uma loja de perfumes. Comprou para o dia das mães 4 caixas de

colônia, tendo 6 frascos em cada uma, e 5 caixas de loções com 10 vidros em cada

uma. já tinha em seu estoque 128 frascos, e vendeu nesta semana 32. Quantas

mercadorias?

Raquel tem ainda em sua loja?

4 x 6 + 5 x 10 + 128 – 32

24 + 50 + 128 - 32

202 – 32

170

16

✓ Expressões numéricas com potências

Marquinhos comprou na banca de revista 3 pacotinhos com 3 figurinhas cada um.

Dessas, 4 eram repetidas e ele deu-as para Luís. Ganhou 25 figurinhas brincando de bafo

bafo com seus amigos, e perdeu 12. Quantas figuras têm marquinhos?

32 – 4 + 25 – 12 =

9 – 4 + 25 – 12 =

5 + 25 – 12 =

30 – 12 =

18

✓ Expressão numérica com sinais de associação.

• Parênteses: ( ) :

Ex: ( 20 + 18 + 16) : 2

(38 + 16) : 2

54 : 2

27

• Chaves:

( 1º ) Parênteses

( 2º ) Colchetes

( 3º ) Chaves

• Colchetes: [ ]:

Veja: [(36 + 57) + ( 2 x 15)] : 3

[ 93 + 30 ] : 3

123 : 3

41

17

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) Resolva as expressões abaixo:

a) 72 – 5 x ( 27 : 3 – 6 ) =

b) ( 20 : 5 + 3 ) x 22 =

c) 33 : { 10 + [ 6 : 3 + ( 1 + 2 ) ] – 4 }=

d) 120 + { 560 : [ 40 + ( 300 : 10 ) ] – 19 }

02) Ao calcular a expressão [(18 + 3 x 2) ÷ 8 + 5 x 3] ÷ 6, vamos obter o resultado:

(A) zero (B) 03

(C) 18 (D) 20

03) Resolva com atenção as expressões numéricas abaixo:

18

Caverna do Diabo é uma caverna existente no Parque Estadual Caverna do Diabo, município

de Eldorado. É a maior caverna do Estado de São Paulo[1]

Descoberta por pesquisadores há mais de 100 anos, já era conhecida e utilizada por indígenas

e quilombolas há séculos, cuja história é povoada pelas mais incríveis lendas. Justamente por

isso, a Caverna do Diabo ou Gruta da Tapagem é um lugar que merece ser visitado

pessoalmente. A apenas 280 quilômetros da cidade de São Paulo, no município de Eldorado,

o Parque Estadual Caverna do Diabo é um dos parques que constituem o Mosaico de

unidades de conservação do Jacupiranga. A caverna não é totalmente aberta à visitação

pública. Dos 6,237 metros de extensão, apenas 600 metros estão livres para os turistas. Esta

área dispõe de sistema de luz, passarelas, escadas e corrimãos. A visitação na caverna é feita

de terça a domingo, das 8 da manhã ás 17 h. Os sobes e desces em seu interior, constitui,

sem dúvida, uma aventura para quem tem fôlego.

https://passeiosbaratosemsp.com.br/visite-caverna-do-diabo-uma-beleza-divina/

divisibilidade

multiplos

divisoresdecomposição

em fatores primos

minimo múltiplo comum

máximo divisor comum

19

UNIDADE 2

MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM

NÚMERO NATURAL

Nesta unidade você vai ampliar seus conhecimentos sobre as ideias de múltiplo e de

divisor, números primos, números racionais e grandezas e medidas vai perceber como

em situações do dia –a- dia utilizamos esses conhecimentos.

Observe:

16 : 2 = 8 Temos: dividendo _______16

Divisor _________ 2

Quociente _______ 8

O dividendo 16 é múltiplo de 2 e 8. E os números 2 e 8 são divisores de 16.

Então, o conjunto dos divisores de 16 que indicaremos por:

D (16) é = {1, 2, 4, 8 e 16}

O conjunto dos múltiplos de 2 é: = M(2) = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ...}

Observe:

➢ O zero é múltiplo de todos os números naturais.

➢ Com exceção do zero, todos os números naturais são divisores de zero.

➢ O 1 é divisor de todos os números naturais.

➢ Com exceção do zero, todo número natural é divisível por ele mesmo: e o

quociente é 1.

Quanto a divisibilidade, há dois tipos de números:

Os números primos

➢ Os números compostos.

➢ Um número primo maior do que 1 tem como divisores apenas ele mesmo e 1.

➢ Um número composto maior do que 1 tem mais de dois divisores.

Para identificamos um número primo é interessante que verifiquemos os critérios de

divisibilidade.

• Divisibilidade por 2 ... “um número é divisível por 2 quando é par, isto é, quando o

algarismo da primeira ordem é 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8”.

47.892 – é divisível por 2.

20

• Divisibilidade por 3... “um número é divisível por 3 quando a soma dos valores

absolutos dos seus algarismos for divisível por 3”.

2.742 – é divisível por 3., pois: 2 + 7 + 4 + 2 = é divisível por 3

9 + 6 = 15

• Divisibilidade por 4 ... “um número é divisível por 4, quando os números formados

pelos seus dois últimos algarismos da direita forem divisíveis por 4.”

63.436 é divisível por 4.

• Divisibilidade por 5 ... “um número é divisível por 5 quando o algarismo da 1 ordem

é zero ou 5. Ex : 493.215 divisível por 5

• Divisibilidade por 10... “um número é divisível por 10 quando termina em zero, ou

seja, quando o algarismo das unidades for zero. Ex: 412.350

NÚMEROS PRIMOS

Número primo – é um número natural com apenas dois divisores: o 1 e o próprio número.

Logo abaixo estão relacionados os números primos até 100.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.

61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.

71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.

81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90.

91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100.

21

ATENÇÃO!

O único número primo par é o 2.

D2 = { 1, 2}

✓ Decomposição em fatores primos

Todo número múltiplo pode ser decomposto em um produto de vários fatores primos.

Podemos obter esses fatores de modo prático.

Ex: 80 2

40 2

20 2

10 2

5 5

1

80 = 24 x 5

MÁXIMO DIVISOR COMUM E

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

✓ Máximo Divisor Comum (M.D.C) – podemos calcular o máximo divisor

comum de duas maneiras.

➢ Vamos calcular os divisores comuns dos números 144 e 96:

pelo método da decomposição em fatores primos.

1

144 2 2

72 2 4

36 2 8

18 2 16

9 3

3 3

1

3 – 6 – 12 – 24 – 48

9 –18 – 36 – 72 - 144

D 144 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24. 36,

48, 72, 144}

Verificando: 24 x 32 = (4 + 1) . (2+1) =

3 . 5 = 15

22

1

96 2 2

48 2 4

24 2 8

12 2 16

6 2 32

3 3

1

Temos os resultados, agora vamos destacar os divisores comuns e logo depois vamos

observar o maior divisor comum entre 144 e 96.

1º) Todos divisores comuns: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

2º) Observar o maior divisor comum: è o número 48.

Logo Máximo Divisor Comum (MDC entre 144 e 96 é 48)

Depois desses cálculos, vamos tentar encontrar o MDC de 144 e 96 pela (Grade de

Euclides). 2ª maneira

1

144 96 48

48 0

MDC é 48

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)

Da mesma maneira que obtemos o conjunto dos divisores comuns de dois números,

podemos também, obter o conjunto dos múltiplos comuns de dois ou mais números

naturais.

M(2) = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...}

3 – 6 – 12 – 24 – 48 - 96

D 96 = {1, 2, 3, 4, 6. 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}

Verificando: 25 x 3 = (5+ 1) . (1 + 1) =

6 . 2 = 12

23

Então o conjunto dos múltiplos comuns de dois números naturais é infinito. Por isso,

podemos obter o menor dos múltiplos comuns (com exceção do zero) ao qual chamamos

Mínimo Múltiplo Comum que indicaremos por m.m.c. Então o nosso resultado será 6

Como calculamos o m.m.c.?

Efetuamos a decomposição dos números em fatores primos e depois multiplicamos os

fatores comuns e não comuns com seus maiores expoentes.

Determine o m.m.c entre 48 e 60

48 – 60 2

24 – 30 2

12 – 15 2

6 – 15 2

3 – 15 3

1 – 5 5

1 – 1 m.m.c (48 e 60) = 24. 31. 51 logo: 16 . 3 . 5 = 240

24

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) A respeito da resolução de expressões numéricas, assinale a alternativa correta:

(A) As operações devem ser feitas na ordem em que aparecem.

(B) A pessoa que realiza os cálculos escolhe a ordem mais oportuna para eles.

(C) Não existe ordem para realização dos cálculos em uma expressão numérica.

(D) As adições e subtrações são os últimos cálculos na lista de prioridades das

expressões numéricas.

02) Calcule o valor numérico da expressão :

{[(8 · 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) · 3] · 2 – (19 – 7) ÷ 6} · 2 + 12 =

(A) 100

(B) 85

(C) 70

(D) 50

03) Tendo somente uma nota de R$ 20,00, comprei um saquinho de pipoca por

R$ 2,75, um suco por R$ 2,00 e quatro balas por R$ 0,50. Quanto devo receber de

troco?

(A) Rs: 14,15

(B) Rs: 14,25

(C) Rs: 14,50

(D) Rs: 14,75

25

04) (Bio – Rio) O MDC entre 2³. 3. 5² e 2². 3 .7² é igual a:

(A) 06 (B) 12

(C) 60 (D) 50

05) (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do

mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o

segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de

quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela

primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas,

respectivamente?

(A) 5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

(B) 6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

(C) 7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

(D) 8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

06) Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 90, 150 e 20?

(A) 90 (B) 150

(C) 20 (D) 900

07) Quais dos números a seguir estão entre os divisores de 148?

(A) 4, 7 e 8 (B) 4, 8 e 37

(C) 2, 4, 37 e 148 (D) 2, 8 e 37

08) Coloque (v- verdadeiro ) ou ( f – falso ), e indique com (x) a sequência correta:

(A) 958 é múltiplo de 3 ( )

(B) 55 é múltiplo de 8 ( )

(C) 70 é múltiplo de 2 ( )

(D) 25 é múltiplo de 5 ( )

( ) Todas são verdadeiras

( ) Somente A e B são falsas

( ) Somente C é verdadeira

( ) Todas são falsas

26

09) Um conjunto possui 18 elementos. Quantas são as possibilidades existentes para

se dividir esse conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

(A) 6

(B) 5

(C) 4

(D) 3

10) Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, EXCETO:

(A) Todo número natural é múltiplo de 1.

(B) O número 1 só não é múltiplo de si mesmo.

(C) Todo número natural é múltiplo de si mesmo.

(D) O Zero é múltiplo de qualquer número natural

https://www.humorcomciencia.com/blog/134-tirinha-de-matematica/

27

UNIDADE 3

O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Definição: define-se por Número Fracionário, ou simplesmente

Fração, todo par ordenado de números no qual o segundo número represente em quantas

partes ficou dividido o inteiro e o primeiro número represente quantas dessas partes iguais

foram tomadas.

O primeiro é chamado (Numerador) e o segundo de (Denominador) – sempre diferente

de Zero.

✓ EXTRAÇÕES DE INTEIROS – NÚMEROS MISTOS

Para obter os inteiros de uma fração imprópria basta dividirmos o numerador pelo

denominador. Veja:

Ex: 17 17 3

3 2 5

Logo 17 = 5 2

3 3

Para transformar um número misto em uma fração imprópria, devemos formar uma

fração que possua um numerador e um denominador. Veja como:

Ex: 5 2 = 5 x 3 + 2 = 15 + 2 = 17

3 3 3 3

✓ Simplificação de frações

Para simplificar uma fração, é só dividirmos ambos os membros pelo

Máximo Divisor Comum (MDC) entre eles. Assim temos:

Ex: 24 MDC ( 24, 27) = 3.

27

Logo: 24 : ( 3 ) = 8

27 : ( 3 ) = 9

A fração 8 assim obtida é chamada Fração Irredutível.

28

✓ Redução de frações ao mesmo denominador

Para reduzir frações ao mesmo denominador, vamos calcular o m.m.c. entre os

denominadores ( que como vamos ver são diferentes ). A seguir divide-se o m.m.c. obtido

pelo denominador de cada fração, e o resultado obtido multiplica-se pelo numerador – ou

seja constroem-se frações equivalentes às frações dadas.

Ex: Reduzir as frações abaixo ao mesmo denominador.

2, 3, 4 = 40, 45, 48

320 415 512 60 60 60

As frações assim obtidas são chamadas de homogêneas pois possuem os mesmos

denominadores.

• OPERAÇÃO COM OS NÚMEROS NACIONAIS

✓ Adição de Frações

➢ Frações com o mesmo denominador - neste caso, conserva-se o denominador

comum e adicionam-se os numeradores. Assim temos;

2 + 1 = 2 + 1 = 3

7 7 7 7

➢ Frações com denominadores diferentes - aqui, determinamos o m.m.c. entre os

denominadores, reduzindo, as frações ao mesmo denominador e recai-se no

primeiro caso.

2 + 3 = 10 + 9 = 19

3/5 5/3 15 15

m.m.c. ( 3,5 ) = 15

( vamos dividir 15 pelos denominadores 3 e 5 )

3 4 5 2

3 2 5 2

3 1 5 3

1 1 5 5

1 1 1

22 x 3 x 5 = 60

29

✓ SUBTRAÇÕES DE FRAÇÕES:

• Frações com o mesmo denominador: neste caso, conserva-se o denominador

comum e subtraem-se os numeradores. Assim, temos:

2 - 1 = 2 - 1 = 1

7 7 7 7

• Frações com denominadores diferentes - neste caso determina-se o m.m.c. entre

os denominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores e retornamos

no primeiro caso. Logo:

m.m.c. (3,5) = 15

2 - 3 = 10 - 9 = 1

3/5 5/3 15 15

• Multiplicação de frações – para multiplicar várias frações, devemos calcular uma

nova fração que terá, para numerador, o produto dos numeradores: para

denominador o produto dos denominadores. Assim temos:

2 x 5 x 1 = 2 x 5 x 1 = 10 2 de 5 = 2 x 5 = 10

3 7 3 3 x 7 x 3 63 3 7 3 7 21

• Divisão entre frações: para dividir uma fração por outra, conservamos a fração

dividendo e multiplicamos pela inversa da fração divisor. Logo:

2 : 5 = 2 x 7 = 14

3 7 3 5 15

• Potenciação de frações: devemos elevar tanto o numerador como o denominador

à potência indicada. Veja:

22 = 23 = 8

3 33 27

30

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) Classifique as frações abaixo segundo:

( I ) Frações Próprias ( II ) Frações Impróprias ( III ) Frações Aparentes

( ) 1 ( ) 98 ( ) 5

4. 3 3

( ) 7 ( ) 16 ( ) 19

3 9 4

02) Simplificar as seguintes frações, reduzindo-as às suas formas mais simples.

a) 12 b) 30 c) 56

144 42 40

03) Transformar em frações impróprias os seguintes números mistos.

a) 2 3 b) 7 2 c) 8 1

5 3 7

04) Calcule com atenção, lembre-se com denominadores diferentes calcule o m.m.c.:

= .................... = .................... = .................

a)

b)

c)

d)

e)

f) 1 ⁄ 2 x 4 ⁄ 5 = g) 2 x 5 ⁄ 3 = h) 3 ⁄ 7 x 3 ⁄ 9 = i) 3 ⁄ 1 x 8 ⁄ 3 = j) 4 ⁄ 7 x 7 ⁄ 9 =

31

GRANDEZAS E MEDIDAS

No Brasil adota-se o Sistema Métrico Decimal, cuja unidade fundamental

é o Metro (m).

✓ Medidas de comprimento – observe o esquema abaixo:

km hm dam m dm cm mm

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Quilômetro – km = 1000m

• Múltiplos Hectômetro – hm = 100m

Decâmetro – dam = 10m

• Fundamental Metro – m = 1m.

Decímetro – dm = 0,1m

• Submúltiplos Centímetro – cm = 0,01m

Milímetro – mm = 0,001m

Para efetuar a leitura, considera-se primeiramente o número decimal e a seguir a

unidade correspondente. Assim temos:

74,285m – setenta e quatro metros e duzentos e oitenta cinco milímetros.

• Mudança de unidade – para se mudar de uma unidade para a outra, deslocaremos a

vírgula para a direita (quando for de uma unidade superior para inferior) e para esquerda

(quando for de uma unidade inferior para superior).

Ex: Exprimir em dam = 327,4 dm

Logo 327,4 dm = 32,74m = 3,274dm

Exprimir em metros – 32,74km.

Logo: 32,74m = 327,4dam = 3274hm = 32740km

Qualquer

unidade neste

sistema é dez vezes

maior do que a

unidade inferior e

dez vezes menor do

que a unidade

imediatamente

superior.

Para facilitar observe o

esquema acima.

32

✓ Unidade de Superfície: área é a medida de uma superfície relativa a uma dada

unidade. A unidade fundamental é o metro quadrado – (m2). observe o esquema.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Quilômetro Quadrado – km2 = 1.000.000m2

• Múltiplos Hectômetro Quadrado – hm2 = 10.000m2

Decâmetro Quadrado – dam2 = 100m2

• Fundamental Metro Quadrado – m2 = 1m2.

Decímetro Quadrado – dm2 = 0,1m2

• Submúltiplos Centímetro Quadrado – cm2 = 0,0001m2

Milímetro Quadrado – mm2 = 0,000001m2

Qualquer unidade neste sistema é cem vezes maior do que a unidade imediatamente

inferior e cem vezes menor do que a unidade superior.

Para realizar a leitura basta lembrarmos da unidade anteriores, só que agora

acrescentamos a palavra quadrado.

• Mudança de unidades – para se mudar de uma unidade para a outra, deslocaremos a

virgula duas casas para a esquerda ou para a direita, conforme se queria uma unidade

superior ou inferior.

Ex.: Exprimir em m2 = 372,27 cm2

Logo 372,27 cm2 = 3,7227 dm2 =

Exprimir em dm2 = 473,23 dam2

Logo 473,23 dam2 = 4732,3 m2 =

0,037227m2

47323.00 dm2

Em alguns casos na

mudança de unidade

preencheremos as

casas decimais c/zero.

33

➢ Unidade agrária – nas medições de grandes lotes de terras, são usadas as medidas

agrárias. São elas:

Hectare - há - 1 há = 1 hm2

Are - a - 1 a = 1 dam2

Centare - ca - 1 ca = 1m2

Ex: Exprimir 28,73 há em dam2

Logo: 28,73 há = 28,73 hm2 =

Exprimir 283,47.a em dam²

Logo: 283,47 a =

283,43 dam2

2873 dam2

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) Complete a tabela fazendo as transformações:

3 km ............. m

12 m ............. dm

4 cm ..............mm

3,5 m ............. cm

7,21m ............ cm

02) Quanto vale em metros:

a) 3,6 km + 450 m = ......................................................

b) 6,8 hm - 0,34 dam = ......................................................

c) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm = ......................................................

d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam = ......................................................

34

03) Transcreva as frases abaixo usando os símbolos adequados.

a) Apareceu em Santa Catarina uma tartaruga que media 2 metros e 43 centímetros de

comprimento: ................................................

b) O poste de luz da Rua da Ponte mede 2 decâmetros e 5 metros: ...................

04) Calcule a área do espelho do quarto de Ana. Ele tem 90cm de cm de comprimento

por 50cm largura.

05) Sabemos que existem medidas especificas para medir grandes extensões, como

sítios, chácaras e fazendas.

São elas o hectare e o are.

1 hectare (ha) = 10.000(m2)

1 are(a) = 100(m2)

Então:

a) Uma fazenda possui 120 000 m2 de área, qual a sua medida em hectare?

...................................................................

b) Uma fazenda possui 23,4 ha de área, qual a sua área em m2 ? ...............................

35

✓ Unidade de volume: - observe com atenção.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Quilômetro Cúbicos – km3 = 1.000.000.000m3

• Múltiplos Hectômetro Cúbicos – hm3 = 1.000.000m3

Decâmetro Cúbicos – dam3 = 1.000m3

• Fundamental Metro Cúbicos – m3 = 1m3.

Decímetro Cúbicos – dm3 = 0,001m3

• Submúltiplos Centímetro Cúbicos – cm3 = 0,000001m3

Milímetro Cúbicos – mm3 = 0,000000001m3

A leitura é realizada considerando-se o principalmente o número decimal e a seguir

a unidade correspondente. Assim temos:

8,731m3 = 8 metros cúbicos e setecentos e trinta e um decímetros cúbicos.

• Mudança de Unidade - vamos deslocar a vírgula três casas para esquerda ou para

direita, conforme se queria uma unidade superior ou inferior.

Ex: Exprimir 2,74m3 em hm3

Logo 2,74 m3 = 0,00274 dam3 =

Exprimir 4,783 km3 em dam3

Logo: 4,783 km3 = 4783 hm3 =

0,00000274 hm3

4.783.000 dam3

36

✓ Unidade de Capacidade – esquematicamente temos:

Quilolitro – kl = 1.000 litros

• Múltiplos Hectolitro – hg = 100 litros

Decalitro – dal = 10 litros

• Fundamental litro – l = 1litro.

Decilitro – dl = 0,1 litro

• Submúltiplos Centilitro – cl = 0,01 litro

Mililitro – ml = 0,001 litro

A leitura é análoga à dos casos anteriores.

Ex: 3,27 – três decalitros e vinte e sete decilitros.

• Mudança de Unidade – para transformar uma unidade para outra, deslocaremos a

vírgula uma casa para a esquerda, quando desejamos em unidade superior, ou para a

direita quando desejamos em unidade inferior.

Ex: Exprimir 3871 - kl

Logo 3871 kl = 38,7 dal = 3,87hl =

Exprimir 3871 – cl.

Logo 3871 = 3870dl =

kl h dal l dl cl ml

0,387kl

38700cl

37

✓ Unidade de Massa: vejamos:

Quilograma – kg = 1.000 g

• Múltiplos Hectograma – hg = 100 g

Decagrama – dag = 10 g

• Fundamental grama – g = 1g

Decigrama – dg = 0,1 g

• Submúltiplos Centigrama – cg = 0,01 g

Miligrama – mg = 0,001 g

A leitura e escrita é análoga dos casos anteriores.

Logo: 32,274 = trinta e dois gramas e duzentos e setenta e quatro miligramas.

• Mudanças de unidades – para transformar uma unidade em outra, deslocaremos a

vírgula para a esquerda quando desejarmos em unidade superior ou para direita,

quando se deseja em unidade inferior.

Ex: Exprimir 831 dag em kg

Logo 831 dag = 83,1 hg = 8,31kg

Exprimir 831 dag em dg

Logo 831 dag = 8310 g = 83100dg

kg hg dag g dg cg mg

38

TESTE SEU CONHECIMENTO

01) Ao efetuar a transformação de 9,56 dg em miligrama, vamos obter:

(A) 96,60 mg (B) 960 mg

(C) 9,6 mg (D) 0,960 mg

02) Uma caixa contém 24 unidades de latas de milho, cada uma com 200g. Calcule o

total do peso das latas em quilogramas.

(A) O peso total das latas é 4,8 kg (B) O peso total das latas é 2,0 kg.

(C) O peso total das latas é 2,4 kg. (D) O peso total das latas é 48 kg.

03) O artigo 306 do Código de Trânsito Brasileiro prevê detenção de um condutor se

este possuir “concentração igual ou superior a 6 decigramas de álcool por litro de

sangue”. Qual o valor desta massa em miligramas?

(A) 6 mg

(B) 60 mg

(C) 600 mg

(D) 6000 mg

04) Um objeto de 13g foi divido em 5 partes. Quantos miligramas cada parte possui?

(A) 2600 mg (B) 6,5 mg

(C) 2,6 mg (D) 65 mg

05) Quantos quilogramas pesa um boi de 25 arrobas? ( Use: 1 arroba = 15 kg )

(A) 375 kg (B) 3,750 kg

(C) 1.666 … kg (D) 16,66 kg

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06) Calcule a capacidade, em litros, de uma piscina com as seguintes dimensões: 8

m de comprimento, 6 m de largura e 1,8 m de profundidade (altura).

(A) 864 litros de água (B) 8.640 litros de água

(C) 86.400 litros de água (D) 8.640.000 litros de água

07) Um reservatório possui volume de 3000 m³. Qual a capacidade desse

reservatório em litros?

(A) 3.000 litros (B) 3.300 litros

(C) 3.000.000 litros (D) 33.000.000 litros

08) O volume interno de um tanque de combustível de um automóvel é de 0,06 m³.

Estando a 3/ 4 de sua capacidade total, quantos litros faltam para encher o tanque ?

(A) 11 l (B) 15 l

(C) 13 l (D) 18 l

09) Calcule qual a altura desta casa? E quanto falta para que ela tenha 6 metros ?

(A) 5 m 25 cm ; 0,75 cm

(B) 525 m ; 75 cm

(C) 5.250 m ; 750 cm

(D) 525 cm ; 7,5 cm

10) Pablo dividiu um queijo de 1 kg em oito partes iguais. Qual é a massa, em grama,

de cada uma dessas partes?

(A) a massa de cada pedaço é de 025 gramas.

(B) a massa de cada pedaço é de 125 gramas.

(C) a massa de cada pedaço é de 150 gramas.

(D) a massa de cada pedaço é de 200 gramas.

1,35 m

1,80 m

2,10 m

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REFERENCIAS

✓ https://www.somatematica.com.br/soexercicios/medidasc.php

✓ maniadecalcular.blogspot.com/2015/04/exercicios-de-matematica-de-

situacoes.html

✓ exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercícios matemática

✓ ensinodematemtica.blogspot.com

✓ exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica

✓ rachacuca.com.br