Matria: GEOMETRIA ESPACIAL (MAT 3) Nmero do Tpico: 28 Assunto:Volumesfundamentos,princpiode Cavalieri e Poliedros de Plato. Ttulo:Volumesfundamentos, princpiodeCavalierie Poliedros de Plato. Resumo Terico 1. VOLUMES A unidade de volume um cubo de aresta 1. Assimumcubodearestaiguala1mtervolume igual a 1m3 e um cubo de aresta a ter volume a3. Umparaleleppedoretngulodecomprimentoa, largura b e altura c ter volume igual a abc. Ovolumedoparaleleppedotambmpodeservisto como o produto da rea da base (ab) pela altura (c). 2. PRINCPIO DE CAVALIERI Dadosdoisslidoseumplano.Setodoplano paraleloaoplanodadoseccionaosdoisslidos segundosuperfciesdemesmarea(superfcies equivalentes), ento esse slidos tm volumes iguais (slidos equivalentes). A B A Bh, S S V V = = OPrincpiodeCavalieriumaxiomaquepermite encontrar o volume dos demais slidos simples. 3.SLIDOS SEMELHANTES SejamSeSdoisslidosekumnmeroreal positivo,diz-sequeSeSsoslidossemelhantes comrazodesemelhanak,quandoexisteuma correspondnciabiunvoca:S S' o ,entreos pontosdeSeospontosdeStalqueseX,Yso pontosquaisquerdeSe ( )X' X = o , ( )Y' Y = ososeuscorrespondentesemS,ento X' Y' k XY = . Se ( )X' X = o ,diz-sequeospontosXeXso homlogos. Naprticadoisslidossemelhantespossuem nguloshomlogosiguaiselinhashomolgas proporcionais. Uma consequncia da definio acima que a razo entreosvolumesdeslidossemelhanteso cubo da razo de semelhana. 4. POLIEDROS REGULARES Umpoliedroregularquandosuasfacesso polgonosregularescongruentes,eemtodosos vrticesconcorreomesmonmerodearestas(os ngulos slidos so congruentes). Afrmuladongulodiedroentreduasfacesdeum ngulopolidricoemcujovrticeencontram-se3 arestas,conformeafigura,tilparadeterminar relaes mtricas no poliedros regulares. cos cos cosarccossen sen o | | |u = |o |\ . Notequeongulou odiedroopostofacede ngulo . Seja um poliedro de Plato, onde a o comprimento das arestas, n o nmero de lados de cada face e F o nmero de faces, temos: aptema da face: paa2tgn=t rea da face: 2FnaS4tgn=t rea total: 2TFnaS4tgn=t raio da esfera inscrita: a 1 cosr1 cos2tgn u=t+ u raio da esfera circunscrita: 22 2paR r a2| |= + + |\ . volume: T1V S r3= 4.1. Tetraedro regular F 4 V 4 A 6 = = = As faces so tringulos equilteros. ngulo diedro: 1arccos 70,53| |u = ~ |\ . Altura: a 6AH3= Aperpendicularcomumaduasarestasopostas a 2MN2= . OpontoO,interseodas4alturasedas3 perpendicularescomunsaoparesdearestas opostas, mdio de MN, divide a altura AH na razo OH 1OA 3= eequidistantedosvrticesdasfacese das arestas do tetraedro regular. Oraiodaesferacircunscrita 3 a 6R OA AH4 4= = = . O raio da esfera inscrita 1 a 6r OH AH4 12= = = . Oraiodaesferatangentesarestas a1 a 2r OM MN2 4= = = . A rea total 2tS a 3 =e o volume 3a 2V12= . Aseguirsoapresentadosalgunsexemplosde sees do tetraedro. Afiguraabaixoumaplanificaodotetraedro regular. 4.2. Hexaedro regular (cubo) F 6 V 8 A 12 = = = As faces so quadrados. ngulo diedro:90 u = Diagonal:AG a 3 = Diagonal da face:AC a 2 = O raio da esfera circunscrita a 3R OA2= = . O raio da esfera inscrita ar OP2= = . Oraiodaesferatangentesarestas aa 2r OQ2= = . A rea total 2tS 6a =e o volume 3V a = . Aseguirsoapresentadosalgunsexemplosde sees do cubo. A figura abaixo uma planificao do cubo. 4.3. Octaedro regular F 8 V 6 A 12 = = = As faces so tringulos equilteros. ACBD, RCSD e ARBS so quadrados de lado a. ngulo diedro: 1arccos 109,53| |u = ~ |\ . Diagonal:RS AB CD a 2 = = = A distncia entre duas faces opostas a 6PQ3= . O raio da esfera circunscrita a 2R OR2= = . O raio da esfera inscrita a 6r OP6= = . Oraiodasesferastangentessarestas aar OM2= = . Areatotal 2tS 2a 3 = eovolume 3a 2V3= . Aseguirsoapresentadosalgunsexemplosde sees do octaedro. Afiguraabaixoumaplanificaodooctaedro regular. 4.4. Dodecaedro regular F 12 V 20 A 30 = = = As faces so pentgonos. ngulo diedro: 5arccos 116, 65| |u = ~ |\ . O raio da esfera inscrita 250 110 5r a20+= . O raio da esfera circunscrita 15 3R a4+= . Oraiodasesferastangentessarestas a3 5r a4+= . Areatotal 2tS 3 25 10 5 a = + eovolume 315 7 5V a4+= . Aseguirsoapresentadosalgunsexemplosde sees do dodecaedro. Afiguraabaixoumaplanificaodododecaedro regular. 4.5. Icosaedro regular F 20 V 12 A 30 = = = As faces so tringulos equilteros. ngulo diedro: 5arccos 138, 23| |u = ~ |\ . O raio da esfera inscrita 3 3 15r a12+= . O raio da esfera circunscrita 10 2 5R a4+= . Oraiodasesferastangentessarestas a1 5r a4+= . Areatotal 2tS 5 3 a = eovolume ( )35 3 5V a12+= . Aseguirsoapresentadosalgunsexemplosde sees do icosaedro. Afiguraabaixoumaplanificaodoicosaedro regular. Exerccios de Aula (8 a 10) QUESTO 1(AFA 2000) A distncia entre as arestas reversas em um tetraedro regular de aresta a e aptema g : a) 2 24g a2 b) 2 24g a4 c) 2 2g 4a2 d) 2 2g 4a4 RESPOSTA: a RESOLUO: Seja M o ponto mdio de CD, entoAM CD . MAeMBsoalturasdetringulosequilterosde ladoa, eportanto soiguais.Logo,otringuloAMB issceles. Assim, se N mdio de AB, entoMN AB . Portanto,MNaperpendicularcomumsarestas reversas AB e CD. Lembrando que aptema em uma pirmide a altura da face lateral. NotringuloAMB,temos:AM g = e aAN2= . Aplicando o teorema de Pitgoras, vem: 2 2 22 24g a aMN g MN2 2| |+ = = |\ . Note que: 223a4 aa 3 a 24g MN2 2 2 = = = QUESTO 2Adistnciaentreduasarestasopostasdeum tetraedro regular p. O volume desse tetraedro : a) 3p3 b) 3p4 c) 3p6 d) 3p 23 e) 3p 24 RESPOSTA: a RESOLUO: SejaotetraedroregularVABCdearetaa.SejaMo ponto mdio de AB e N o ponto mdio de VC, temos MN AB eMN VC , entoMN p = . AplicandooteoremadePitgorasnotringulo retnguloMNC,onde aNC2= e a 3MC2= ,tem-se: 222a a 3p a p 22 2| || |+ = =| | |\ .\ . ( )33 p 2 2a 2V12 12= = 3pV3= QUESTO 3(CEFET 2000) Considere o cubo da figura e aslinhas nele traadas. INCORRETO afirmar que: a) tringulo GAH retngulo. b) as medidas das reas dos tringulos GAH e CAH so iguais. c) os ngulos GH e CH so coplanares. d) seno do ngulo BC 22. e) a tangente do ngulo GH 22. RESPOSTA: c RESOLUO: a) Verdadeira: 90 H GA =b) Verdadeira:GAH CAH A Ac) Falsa: plano= ) H , A , G (plano) H , A , C (d) Verdadeira: ( )2sen BAC sen452= =e) Verdadeira: ( )GH a 2tg GAHGA 2 a 2= = = QUESTO 4(UFF 2004) Considere o cubo ABCDEFGH de aresta medindo40cm.SejaPumpontodaarestaABdo cubo,queestlocalizadoa10cmdovrticeA. CalculeadistnciadopontoPaopontode interseo das diagonais do cubo. RESPOSTA:cm 30 RESOLUO: 2 2022 40OM = = ; ( ) 30 OP 900 2 20 10 OP22 2= = + = . QUESTO 5(UFRJ2002)OtringuloACFtemvrtices coincidindocomtrsdosvrticesdeumcubode aresta a, como mostra a figura abaixo. Determine a rea de ACF em funo de a. RESPOSTA: 23 a2. RESOLUO: ( )23 a43 2 aS 2 a AF CF AC22ACF= = = = = QUESTO 6Nocubodearestadafigura,MeNsopontos mdiosdeABeCD,respectivamente.Calculara medida deMN. a) 22 b) 32 c) 52 d) 24 e) 54 RESPOSTA: c SOLUO: Seja P o ponto mdio de AE, ento o tringulo MPN retngulo. 222 2MP 5 5MN MN22 4 2PN= | | = + = =` |\ .=) QUESTO 7No cubo de aresta da figura, calcular a medida da perpendicular comum s arestasBD eCE. a) 66 b) 63 c) 55 d) 53 e) 35 RESPOSTA: a SOLUO: Seja M mdio de BD eMI EC . ( ) BD plano ACE BD MI Logo, MI a perpendicular comum a BD e EC. 2MI CM 62CMI ~ CEA MIEA CE 63A A = = = QUESTO 8(ITA1987)Suponhaque(I)umcubo,talquea medidadesuadiagonalacmeadmitaque(II) umcubo,cujovolumeotriplodovolumede(I). Designandoporxamedidadadiagonalde(II), conclumos que: a) x =a 2 cm b) x= a.(1+2 )cm c) x=a33 cm d) x =a 3 cm e) x = 3a 3 cm RESPOSTA: c RESOLUO: 33 IIIV x3 x a 3 cmV a| |= = = |\ . QUESTO 9O ngulo entre as diagonais PQ e QR de duas faces adjacentes de um cubo igual a: a) 120b)60c)45d)75 RESPOSTA: b RESOLUO: SejaLaarestadocubo,ento PR PQ QR L 2 = = = . Logo,otringuloPQRequilteroeongulo RPQ 60 u = = QUESTO 10 EmumcuboD C B A ABCD ' ' ' ' dearesta6os pontosMeNsomdiosdasarestasABeBC, respectivamente,eopontoPdaarestaC C ' tal que4 = CP .Calculeopermetrodaseoqueo plano) (MNPdetermina no cubo. RESPOSTA: 2) 2 2 ( 15 + RESOLUO: A seo um hexgono tal que= + + + + ++ =6 2 5 3 52p 5 5 6 22 2 4 215(2 2)2p u.c.2 QUESTO 11 (EN1993)Umoctaedropossuiseusvrticesno centro de cada uma das faces de um cubo de aresta a . A rea lateral do octaedro : a) 2a8 b) 2a 3c) 2a 32 d) 22a3 e) 2a 22 RESPOSTA: b RESOLUO: Aarestadooctaedrometadedadiagonaldeface do cubo. 22La 232S 8 a 34| | | |\ .= = QUESTO 12 (IME2007F1)Ovolumedooctaedrocujosvrtices soospontosmdiosdasarestasdeumtetraedro regular de Volume V : a) V2 b) V4 c) V8 d) 2V2 e) 3V2 RESPOSTA: a RESOLUO: Seja V o volume do tetraedro ABCD de aresta a. OCTAEDRO TETRAEDROPEQV V 4 V = + O tetraedro pequeno possui aresta a2, ento TETRAEDROPEQVV8= . Logo, OCTAEDRO OCTAEDROV VV V 4 V8 2= + = . ExercciosdeAprofundamento (10 a 15) QUESTO 13 (FGV SP 2009) O volume de um cubo, em 3m , numericamenteigualasuareatotal,em 2cm .Assim,aarestadessecubo,emcm, igual a a) 66 10b) 45 10c) 46 10 d) 65 10 e) 66 10 RESPOSTA: e QUESTO 14 (AFA 1997) A relao entre o raio da esfera inscrita, e o da esfera circunscrita a um tetraedro regular a) 1/3 b) 3/4 c) 1/4 d) 2/3 RESPOSTA: a QUESTO 15 (AFA 2008) No cubo da figura abaixo, considere P o pontodeencontrodasdiagonaisda faceABCDeQ opontodeencontrodasdiagonaisdafaceEFGHe ua medida do ngulo PEQ. Analise as proposies seguintes. (01)2u um ngulo maior que 90. (02)u um ngulo do intervalo45 ,60 . (04)tg2 2tg u = u. (08) 1sen2 tg23u = u. (16) 3cossec tg602t | | u = |\ . Onmeroquerepresentaasomadasproposies verdadeiras mltiplo de a) 3 b) 7 c) 5 d) 2 RESPOSTA: b (V V V F F) QUESTO 16 Umoctaedroregularestinscritonumcubode aresta a. A razo entre o volume do cubo e o volume do octaedro : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: e QUESTO 17 Seja o cubo ABCDEFGH de aresta medindo 10 cm. A distncia entre os segmentos de retaBF e EC : a) 5 b)2 5c)5 2d)3 5 RESPOSTA: b QUESTO 18 Os segmentos VA, VB e VC so arestas de um cubo. Um plano o, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes iguais. A interseco do plano o com o cubo um: a) tringulo. b) quadrado. c) retngulo. d) hexgono. RESPOSTA: d QUESTO 19 (UNIFESP2007)Quatrodosoitovrticesdeum cubo de aresta unitria so vrtices de um tetraedro regular.Asarestasdotetraedrosodiagonaisdas faces do cubo, conforme mostra a figura. a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela igual a dois teros da diagonal do cubo. b)Obtenhaarazoentreovolumedocuboeo volume do tetraedro. RESPOSTA: a) 2 33b) 3 QUESTO 20 (ITA1979)Considereotetraedroregular(4faces iguais) (figura abaixo) inscrito em uma esfera de raio R, onde R mede 3 cm. A soma das medidas de todas as arestas do tetraedro dada por (em cm): a) 16 3b) 13 6c) 12 6d)8 3e)6 3 RESPOSTA: c QUESTO 21 (ITA 1973) Um octaedro regular inscrito num cubo, queestinscritonumaesfera,equeestinscrita numtetraedroregular.Seocomprimentodaaresta do tetraedro 1, qual o comprimento da aresta do octaedro? a) 227 b) 34 c) 24 d) 16 e) n.d.a. RESPOSTA: d QUESTO 22 (UFC2002)Umtetraedroregulartemarestas medindo6 cm.Entoamedidadesuasalturas igual a: a) 21cm b) 1 cm c) 23cm d) 2 cm e) 25cm RESPOSTA: d QUESTO 23 (UFC2002)SejamP1eP2doispontosquaisquer interioresaumtetraedroregular.Sejamd1,asoma das distncias de P1 s faces do tetraedro regular, e d2, a soma das distncias de P2 s faces do tetraedro regular. Mostre que d1 = d2. RESOLUO: SejaABCDumtetraedroregular.SejaPumponto qualquerinterioraessetetraedro.Considereas pirmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes dessas quatro pirmides obviamente igual aovolumedotetraedro.Sejamh1,h2,h3eh4, respectivamente, as alturas dessas pirmides e h , a altura do tetraedro. Temos:ABC 1 ABD 2 BCD 3 ACD 4ABC1 1 1 1S h S h S h S h3 3 3 31S h.3 + + + == Como o tetraedro regular, os tringulos ABC, ABD, BCD e ACD so todos congruentes. Logoh1 + h2 + h3 + h4 = h.Como h1, h2, h3 e h4 so as distncias de P s quatro facesdotetraedro,provamosqueindependenteda posio de P essa soma constante e igual altura do tetraedro. QUESTO 24 (AFA 2000) O volume, em 3cm , do octaedro regular inscrito numa esfera com volume 336 cm t a) 18 b) 36 c) 54 d) 72 RESPOSTA: b QUESTO 25 (EN2005)Umoctaedroregularestinscritonum cubo de aresta a. A razo entre o volume do cubo e o volume do octaedro : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 RESPOSTA: e QUESTO 26 (IME1998)ConsidereocubodebasesABCDe EFGH,earestas. DH e CG , BF , AE Sejamas arestasiguaisa3meospontosM,NePmarcados de forma que: M, AD e tal queAM 2 m, =N, AB e tal queAN 2 m = , e P, BF etal queBP 0,5 m. =CalculeopermetrodaseoqueoplanoMNP determina no cubo. RESPOSTA: 2p =2 2 5 4 + QUESTO 27 (IME2009)Oscentrosdasfacesdeumtetraedro regular so os vrtices de um tetraedro interno. Se a razoentreosvolumesdostetraedrosinternoe originalvale mn,ondemensointeirospositivos primos entre si, ento o valor de m + n a) 20 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 RESPOSTA: c QUESTO 28 (ITA2009)OspontosA = (3, 4)eB = (4, 3)so vrticesdeumcubo,emqueABumadas arestas. A rea lateral do octaedro cujos vrtices so os pontos mdios da face do cubo igual a a)8b) 3 c)12d) 4 e)18 RESPOSTA: c QUESTO 29 (IME1989)SejaABCDumtetraedroregularde aresta a. Seja O o baricentro da face ABC. Efetua-se umatranslaodotetraedroiguala AO2,obtendo-se um novo slido ABCD. a)Determineovolumedaesferainscritanoslido comum aos tetraedros ABCD e ABCD. b)Determineovolumedaesferacircunscritaaeste slido. RESPOSTA: a) 36a729tb) 36a27t QUESTO 30 (IME2008)Umplanocortaumcubocomarestade comprimento1passandopelopontomdiodetrs arestasconcorrentesnovrticeAeformandouma pirmide, conforme a figura a seguir. Este processo repetido para todos os vrtices. As pirmides obtidas soagrupadasformandoumoctaedrocujareada superfcie externa igual a: a) 32 b)3c) 1 d) 2 e)2 2 RESPOSTA: b QUESTO 31 (IME2000)Umaesferaestinscritanumoctaedro regulardearestaa.Determine,emfunodea,o volume interior ao octaedro e exterior esfera. RESPOSTA: ( )3a9 2 627 t QUESTO 32 (IME 1978) D-se um icosaedro ( I ) regular convexo de aresta. a)Calcularongulodiedro d de( I ).(Apresentar umaexpressotrigonomtrica,numrica,que permita calcular o valor do ngulo diedro d ). b)SejaVumvrticede( I ):Veosvrticesde( I ) adjacentes (isto , os que so ligados a V por arestas de( I )),determinamumpoliedro(P)cujasarestas so arestas do icosaedro. Calcular o volume de P em funo de. RESPOSTA: a) 5cosd3= b) 35 524+ Desafio Mil (5 a 10) QUESTO 33 (ITA2007)Osquatrovrticesdeumtetraedro regular,devolume8/3cm3,encontram-senos vrticesdeumcubo.Cadavrticedocubocentro deumaesferade1cmderaio.Calculeovolumeda parte do cubo exterior s esferas. RESOLUO: DACBGHF E Aresta do cubo: C = = = =3EAFH GCFH BACF DACHCV V V V6 = + + +FACH CUBO EAFH GCFH BACF DACHV V (V V V V ) = = =3 33FACHC C 8V C 4 .6 3 3 3C 8 C 2 ==| |= |\ .t= t = esferapedido cubo3pedidoVV V 8 .84 4V 8 . 1 8 cm .3 3 QUESTO 34 (ITA2003)Quatroesferas demesmoraioR > 0so tangentesexternamenteduasaduas,deformaque seuscentrosformamumtetraedroregularcom arestasdecomprimento2R.Determine,emfuno deR,aexpressodovolumedotetraedro circunscrito s quatro esferas. RESPOSTA: ( )332 2 1 6R3+ RESOLUO: Ocentrodotetraedroregular(T)dearesta2R coincidecomocentrodotetraedroregular circunscrito s 4 esferas (T). O raio r da esfera inscrita em (T) dado por2R 6 R 6r12 6= =O raio r da esfera inscrita em (T) dado por R 6 6r ' r R R 1 R6 6| |= + = + = + |\ . Assim,arelaoentreosvolumesVeVde(T)e (T), respectivamente, ser ( )3336 6RV' r '66 1 19 9 6V r R 66| |+ || | | = = = + = + |\ . | |\ . Como ( )332R 2 2 2V R12 3= = ,ovolume procurado ( )32 2V' 19 9 6 R3= + . QUESTO 35 Sejaumcubodearestaa.SejaNumpontona diagonaldeumafacelateral, Mumpontonocrculo queseencontranoplanodabasecomcentrono centrodabaseeraio 5a12| | |\ ..Encontreomenor valor da medida do segmento MN. RESOLUO:SejaOocentrodocrculoeLaprojeodeNno planodabase,entoopontoMdeveestarsobreo segmentoLO,jqueMopontodocrculomais prximo de N. Poroutrolado,comoNumpontodadiagonalde face mais prximo de M,MN perpendicular a essa diagonal,e,consequentemente,KNtambm perpendicularaessadiagonal,ondeKaprojeo de M sobre a face que contm a diagonal. SejaAL a x = ,ANKumtringuloretngulo issceles, logo,LK AL a x = = . LK axMK ODLD 1 2x= = ( )aKD 1 4x2= AplicandooteoremadePitgorasparaoMOE A(ondeMEparaleloaAD),temosaseguinte equao em x: ( )2 21 4x 1 x 254 2 1 2x 144 | |+ = | \ . ( ) ( ) ( ) ( )21 8x 9 1 2x 3 8x 4 5 16x 0 + = fcilverqueopontoKdeveestaresquerdado pontoD,assim 10 x4< < ,deformaquea expressoentrecolchetesnuncaseanula.Logo, 1x8=e 34MN a24= . REFERNCIA:Sharygin,I.F.Problems in Solid Geometry p. 53 QUESTO 36 Umaregiolimitadapelascurvas 2x 4y = , 2x 4y = ,x 4 =ex 4 = . 1V o volumedoslidoobtidopelarotaoda regioacimaaoredordoeixoy.Outra regioconsistenospontos( ) x, ysatisfazendo 2 2x y 16 + s ,( )22x y 2 4 + >e( )22x y 2 4 + + > . 2V ovolumedo slidoobtidopelarotaodestaregioao redor do eixo y. Ento a) 1 21V V2=b) 1 22V V3=c) 1 2V V =d) 1 2V 2V = RESPOSTA: c RESOLUO:

Odiagramamostraaseotransversaldos dois slidos de revoluo obtidos. Seccionandoambososslidosporplanos paralelos ao eixo y ( y 4 s ), obtemos: ( )21S 4 4 y = t ( )( ) ( )22 2 22S 4 y 4 2 y 4 4 y = t = t 1 2S S =PeloprincpiodeCavalieri,osdoisslidos possuem o mesmo volume, ou seja, 1 2V V = . REFERNCIA:Bin,X.eYee,L.P. Mathematical Olympiad in China pg. 5. QUESTO 37 Seja C um cubo de aresta unitria, encontre o maior valorquepodeassumiraprojeoortogonal( ) p Cdesse cubo em um plano. RESOLUO: Seja ( )S u areadafigurau,esejat o plano de projeo. Podemos assumir semperda de generalidade que o vrticeAdocuboestemt etodososoutros vrtices esto do mesmo lado do plano. Sejam ABEC, ABFD e ACGD faces do cubo, temos: ()( )( )( )( )( )( )( ) S p C S p ABEC S p ABFD S p ACGD = + +Denotemos por| ,eoos ngulos entrete as faces ACGD, ABFD e ABEC, respectivamente. ( )( )( )S p ACGD S ACGD cos cos = | = | ( )( )( )S p ABFD S ABFD cos cos = = ( )( )( )S p ABEC S ABEC cos cos = o = o ()( ) S p C cos cos cos = |+ + oAgora,precisamosencontrarumarelaoentre| , eo . Considere um segmento AX de comprimento unitrio, perpendicularat edomesmoladodet queo cubo. Sejam x, y, z, b, c, d as projees de AX em AB, AC, AD, ACGD, ABFD e ABEC, respectivamente. Assim, b sen = |,c sen = ed sen = o . ( )( )( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2sen sen sen b c dy z x z x y 2 x y z |+ + o = + + == + + + + + = + + 2 2 22 2 2sen sen sen 2cos cos cos 1 |+ + o = |+ + o = Pela desigualdade do rearranjo: ( ) ( )22 2 2cos cos cos 3 cos cos cos 3 |+ + o s |+ + o =()( ) S p C 3 sEssevalormnimoobtidoquandoastrsfaces determinam o mesmo ngulo diedro com o planot . REFERNCIA:OlimpadaFrancesadeMatemtica 1997